4.5 电路的S域模型
电路的s域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出 代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型1. 电阻元件的S 域模型电阻元件的伏安特性为V R (t) Ri R (t)(4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得V R (S ) RI R (S )(4-5-2)由上式可得电阻元件的 S 域模型如图4-5-1(b)所示2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为(4-5-3)对上式两边取拉氏变换，得V L (t)LdL(t)dtI R (S ) IV R (S )D R(b)电阻元件的S 域模型(c)图4-5-2电感元件的S 域模型所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为1 tv c (t) © i c ( )d对上式两边取拉氏变换，得由上式可得电感元件的由式(4-5-4)可以导出I L (S )的表达式为 I L (S )V L (S ) S L1-i L (0 )S(4-5-5)(4-5-6)V C (S )I C (S ) (1)i c (0 )(1)l c (s) 1 i c (0 )sC C S式中肖/1"。
)C 0i C ()dV c (0),所以11V C (S )I C (S ) — y(0)S CS(4-5-7)由上式可得电容元件的 S 域模型如图4-5-3(b)所示i c (t).V c (t)丰 CS 域模型如图4-5-2(b)I C (S )1 sC解:先按前述解题步骤求v c (t)(1)起始状态：t < 0时，电路已进入稳定状态，所以⑵ 画出电路的S 域模型图如图4-5-4(b)所示。
(3)由S 域模型图，列出S 域方程如下:(C)图4-5-3电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出l c (s)的表达式为l c (s) sCV c (s) Cv c (0 )(4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示利用S 域模型求电路的响应利用S 域模型求解电路响应的一般步骤如下：(1)求起始状态(0-状态)；(2)画s 域模型图；(3)列s 域方程(代数方程)；(4)解s 域方程， 求出响应的拉氏变换V(s)或I (s) ； (5)利用拉氏逆变换求v(t)或i(t)例4-5-1在图4-5-4所示电路中，t 0时，幵关S 位于“ 1”端，且电路已进入稳定状态，t 0时，幵关转至“图 4-5-4 例 4-5-1的电路及其S 域模型V c (0 ) EV c (t)21 E E l c(s) Rsc s s(4)解s 域方程，求得⑸对V c (s)取拉氏逆变换，得现在求v R (t)。
用laplace变换法分析电路
(1) H (s) h(t )
先求出H(s)
V0 ( s) 1 H ( s) 2 E ( s) r sl 1 s 2s 1 sc 1 1 1 t h(t ) L [ H ( s)] L [ ] te 2 ( s 1) 参见p181表4-1中9号公式
1 1 20t 20t h( )d [ (t ) 10e ]dt e u (t ) 0 0 2 2 t 1 1 20t t 1 20t 20t 0 2e d 40 e |0 40 (1 e )u(t )
t t
V2 (t ) e(t ) h(t ) e (t ) h( )d
用拉氏变换分析电路的步骤如下： A.将已知的电动势、恒定电流进行拉氏变 换。 B.根据原电路图画出运算等效电路图。 C.用计算线性系统或电路稳定状态的任何 方法解运算电路，求出待求量的象函数。 D.将求得的象函数变换为原函数。
*.电路如图所示： 求：
e(t )
2
1H
1F
v0 (t )
1.冲激响应h(t)=?
2.求系统的起始状态 iL (0 ), u c (0 ) 使得 在z.I.r=h(t).
3.求系统的起始状态,使系统对u(t)的激励 时的完全响应仍为u(t).
解:
用冲激平衡法求解h(t ) d 2 vc (t ) dvc (t ) LC RC vc (t ) (t )(第二章内容) 2 dt dt
20T
if . f (T ) 0, then, T 0
'
极大值点
T 0, f (T ) 400Te
'
20T
0
所以v2 (t)在t=T时为负值.
45用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型(精)
第三种情况： 0 R 1 2L LC
p1 p2
0
以上四种情况的波形如下
i t
0
0 0 0
O
t
二、 S域元件模型概念及应用
1. 电阻元件(R) 设线性时不变电阻 R 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方 向关联， 则R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为
E VC ( s ) s
vC t
2E 1 s RC
t 0
E
O
t
E
思考题
• 1. 用拉氏变换分析电路的基本步骤？
• 2.电阻、电感、电容的S域等效模型？
I c ( s)
1 sc
1 v c (0 ) s
I c ( s)
1 sc
cvc (0 )
+
+
vc ( s)
（a)
-
-
+ vc ( s ) （b)
电容元件的非零状态S (a) 串联模型； (b) 并联模型
把电路中的每个元件都用它的s域模型来 代替，将信号用其变换式代替，于是就得
到该电路的s域模型图。对此模型利用KVL
2 2
（5）求逆变换
E i t e p1t e p2t L p1 p2
设
则
R ＝ , 0 2L
2 2
1 LC
2 2
无损耗的LC回路 第一种情况： 0， 0 第二种情况： 0 即R较小，高Q的LC回路，Q 2 第三种情况 0
E 1 这时有重根的情况， I s 表示式为 I s 2 L s R t E t E i t e te 2 L L L R越大，阻尼大，不能产 生振荡，是临界情况 第四种情况： 0 R较大，低Q，不能振荡
信号与系统(第四版)第四章课后答案
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4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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2
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拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
§4.05用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型
第四种情况 α ω R 较大，低 Q ，不能振 0
路 0 ， 无损 LC 回 耗 的 第一种情况：α p ω p ω 2 j 0 1 j 0 E 1 j ω t j ω t C 0 0 i t e e E sin 0t L2 j ω L 0 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 ω 0 ω 即 R 较小 Q 的 LC ， 回 高 路 Q ， 第二种情况： α 0 2 α 2 ω ω α 引入符号 α2 ω ω d 0 0 j d
(1) 起 始 i 状 0 0 态 A, v 0 为 0 V ０ L C (2) t 0的 s域等效模型 (3) 列方程
1 E LsI s RI s I s Cs s
1 E LsI s RI s I s Cs s E E 1 I s 1 L 2 R 1 s Ls R s s sC L LC 极点 p1, p2：
第三种情况：α ω0
R 2L 1 LC
p p α 1 2
E 1 Is 这时有重根的情况， I s 表示式为 2 L s α R t E E t L i t eα te 2 L L R 越大，阻尼大，不能产 生振荡，是临界情况
2 2 2 2 α ω E 1 0 α ω t αt t 0 i t e e e 2 2 L 2 α ω
Is ( ) c [ s U ( s ) u ( 0 ) ] c c c
I ( s ) scU ( s ) cu ( 0 ) c c c
u 0 ) 1 c( U s ) I s ) c( c( sc s
§ 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型
1′ 1 I1 (s)
单端口 网络
V1 (s) H(s) = I1 (s)
策动点导纳
I 2 ( s)
策动点阻抗
转移函数：激励和响应不在同一端口 转移函数：激励和响应不
+ V1 (s) −
1′
1 I1 (s) 2
响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
其中 R(s) = L[r(t )], E(s) = L[e(t )]
当e(t ) = δ (t )时, 系统的零状态响应
R(s) = H(s)
r(t ) = h(t )
则L[h(t )] = H(s)
2.H(s)的几种情况
策动点函数：激励与响应在同一端口时 策动点函数：
1 E e α 2 −ω02 t e− α 2 −ω02 t i(t ) = ⋅ e−αt − 2 2 L 2 α −ω 0 E 1 2 e−αt sinh α 2 −ω t = ⋅ 0 2 L α 2 −ω
0
波形
i(t )
α =0
α < ω0 α = ω0 α > ω0
第四种情况 > ω (R较大，低 ，不能振荡 α 较大， Q ) 0
p1 = −α + α +ω , p2 = −α − α −ω 0 0
2 2 2
2
第一种情况： 第一种情况： α = 0， LC (无损耗的 回路)
p1 = jω p2 = − jω 0 0
E 1 C jω0t − jω0t e −e i(t ) = ⋅ =E ⋅ sin(ω0 t ) L 2 jω0 L 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。 ω 第二种情况： 第二种情况：α < ω 即R较小，高 的LC回路， = 0 较小， Q 回路， Q 0 2α 引入符号 ω = ω −α 2 α 2 −ω = jω 0 d 0 d
电路的s域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出S 域代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型 1. 电阻元件的S 域模型 电阻元件的伏安特性为)()(t i R t v R R = (4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得)()(s I R s V R R = (4-5-2)由上式可得电阻元件的S 域模型如图4-5-1(b)所示。
(a) (b)图4-5-1电阻元件的S 域模型2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为tt i Lt v L L d )(d )(= (4-5-3) 对上式两边取拉氏变换，得[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s LI s i s sI L s V (4-5-4)由上式可得电感元件的S 域模型如图4-5-2(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-2 电感元件的S 域模型由式(4-5-4)可以导出)(s I L 的表达式为)0(1)()(-+=L L L i sL s s V s I (4-5-5) 所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示。
3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为⎰∞-=tc C i Ct v ττd )(1)( (4-5-6) 对上式两边取拉氏变换，得式中 )0()(1)0(10)1(-∞---==⎰-C C C v d i C i C ττ, 所以)0(1)(1)(-+=C C C v ss I sC s V (4-5-7)由上式可得电容元件的S 域模型如图4-5-3(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-3 电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出)(s I C 的表达式为)0()()(--=C C C v C s CV s s I (4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示。
电路的S域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出S 域代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型 1. 电阻元件的S 域模型 电阻元件的伏安特性为)()(t i R t v R R = (4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得)()(s I R s V R R = (4-5-2)由上式可得电阻元件的S 域模型如图4-5-1(b)所示。
(a) (b)图4-5-1电阻元件的S 域模型2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为tt i Lt v L L d )(d )(= (4-5-3) 对上式两边取拉氏变换，得[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s LI s i s sI L s V (4-5-4)由上式可得电感元件的S 域模型如图4-5-2(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-2 电感元件的S 域模型RRL)0(-LLi sL由式(4-5-4)可以导出)(s I L 的表达式为)0(1)()(-+=L L L i sL s s V s I (4-5-5) 所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示。
3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为⎰∞-=tc C i Ct v ττd )(1)( (4-5-6) 对上式两边取拉氏变换，得s i C sC s I s i s s I C s V C C C C C )0(1)()0()(1)()1()1(----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 式中)0()(1)0(10)1(-∞---==⎰-C C C v d i C i C ττ, 所以 )0(1)(1)(-+=C C C v ss I sC s V (4-5-7)由上式可得电容元件的S 域模型如图4-5-3(b)所示。
(a)(b) (c)图4-5-3 电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出)(s I C 的表达式为)0()()(--=C C C v C s CV s s I (4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示。
第4章信号与系统的S域分析
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]<的一个带状区域， 如图所示。
α
0
β
σ
第4-9页
■
©
信号与系统 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解
e ( s )t F2b ( s ) e e st d t (s )
0
t
0
1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )
jω
, Re[ s ] . 无界 不定 ， 1 (s ) ，
第4-28页
■
0
©
2
4
t
信号与系统
hysytangjianfeng
练
习
s s2 1
已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
求e-tf(3t-2)的象函数。
( s 1) s 1 -tf(3t-2) ←→ e 3 解：e ( s 1) 2 9 2
第4-29页
■
©
信号与系统
5. 时域卷积
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■
©
信号与系统
hysytangjianfeng 4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
第4-17页
■
©
信号与系统
2. 时移性
hysytangjianfeng
四、电路的s域模型：
Y s
Y s
uc 0
s
0
R sL
R
1
sc
Y s iL 0 s 3uc 0 us s
s2 4s 4
s2 4s 4
y s y s.
x
f
Y xs
6s 20
s2 2
8
6
s2 2 s 2
+
复频域：U(s)=RI(s) I(s)
<2>电感：L.
时域：u(t)=Ldi(t)/dt i(t)
+
s域：U(s)=sLI(s)-LiL(0_)
RR
UL(t) 串联 I(s)
U(s) Ls Li(t)
• 2.元件模型：
<3>电容：c
I(s)= U(s)/sL+ iL(0_) /s 并联 I(s)
时域：u(t)=
开路阻抗z0 s
sL
sL
R
sc 1
sc
u2s
z
0
R
s
R
U
oc
s
u1s 2 s3 2s2 2s 1
H (s)
u2 s u1s
2(s
1
1)(s2
s
1)
,又 t
1 s
Y f s Gs H st
-
s
Y(s)
1 sc
R3 -
例10：电路如图，输入u1t,输出u2 t；
为使电路输出不失真，各元件应满足什么条件。
解：电路中个初始值[uc 0 ，iL 0 ]等均为零。
§ 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型
1 VR (s) + sVR (s) − 2E = 0 RC
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型 2.电路定理的推广 KCL : ∑i(t ) = 0 → ∑I(s) = 0 i(t ) ↔ I (s),
v(t ) ↔V (s)
KVL : ∑v(t ) = 0 → ∑V(s) = 0
我们采用0 系统求解瞬态电路，简便起见， 瞬态电路 我们采用 -系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型 域模型。 求出元件的 域模型。
例4-5-1
− E t < 0 已知 e(t ) = E t >0 求vC (t ), vR (t )。
2
2
逆变换
E i(t ) = e p1t − e p2t L( p1 − p2 )
(
)
设 则
R 1 α＝ ,ω = 0 2L LC
第一种情况： α LC (无损耗的 回路) 第一种情况： = 0， ω α Q 第二种情况： 较小， Q 回路， 第二种情况： < ω 即R较小，高 的LC回路， = 0 0 2α α 第三种情况 = ω 0
vC (t )
E
E • vC (t )从0−的− E充电到 ;
t
O
• 在求vC (t )时，其 0− 和0+ 符合 换路定则， 均可。 换路定则，采用 0− 和0+ 均可。
−E
求 v (t ) = ? R
1 （）vR (0− ) = 0, vR (0+ ) = 2E (2)以vR (t )为变量列微分方程
电路的s域模型
电路的S 域模型利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出S 域代数方程，使得分析过程变得更加简单。
电路元件的S 域模型 1. 电阻元件的S 域模型 电阻元件的伏安特性为)()(t i R t v R R = (4-5-1)对上式两边取拉氏变换，得)()(s I R s V R R = (4-5-2)由上式可得电阻元件的S 域模型如图4-5-1(b)所示。
(a) (b)图4-5-1电阻元件的S 域模型2. 电感元件的S 域模型电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为tt i Lt v L L d )(d )(= (4-5-3) 对上式两边取拉氏变换，得[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s LI s i s sI L s V (4-5-4)由上式可得电感元件的S 域模型如图4-5-2(b)所示。
(a) (b) (c)图4-5-2 电感元件的S 域模型由式(4-5-4)可以导出)(s I L 的表达式为RRL)0(-LLi sL)0(1)()(-+=L L L i sL s s V s I (4-5-5) 所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示。
3. 电容元件的S 域模型电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为⎰∞-=tc C i C t v ττd )(1)( (4-5-6)对上式两边取拉氏变换，得s i C sC s I s i s s I C s V C C C C C )0(1)()0()(1)()1()1(----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 式中 )0()(1)0(10)1(-∞---==⎰-C C C v d i C i C ττ, 所以)0(1)(1)(-+=C C C v ss I sC s V (4-5-7)由上式可得电容元件的S 域模型如图4-5-3(b)所示。
(a)(b) (c)图4-5-3 电容元件的S 域模型由式(4-5-7)可以导出)(s I C 的表达式为)0()()(--=C C C v C s CV s s I (4-5-8)所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示。
含有外接电源s域电路模型节点方程
含有外接电源s域电路模型节点方程在电子电路中，外接电源S域是一种常见的电路模型，它主要用于描述具有外部电源的电路系统。
该电路模型可以通过一些基本的电路元件和节点方程来表示。
下面是一些可能含有外接电源S域电路模型的节点方程：电源元件的阻抗：该元件的阻抗可以表示为：Z=E/I，其中E是电源元件的电压，I是流过该元件的电流。
这个方程表示了电源元件的特性，即它是一个具有恒定电压和可变电流的元件。
电阻元件的电压电流关系：该元件的电压和电流成线性关系，可以表示为：V=R×I，其中V是电阻元件两端的电压，R是该元件的电阻值，I是流过该元件的电流。
这个方程表示了电阻元件的特性，即它是一个消耗能量的元件。
电容元件的电荷电压关系：该元件的电荷量和电压成线性关系，可以表示为：Q=C×V，其中Q是电容元件存储的电荷量，C是该元件的电容值，V是该元件两端的电压。
这个方程表示了电容元件的特性，即它是一个存储电能的元件。
电感元件的电流电压关系：该元件的电流和电压成反比关系，可以表示为：I=L×(dV/dt)，其中I是电感元件流过的电流，L是该元件的电感值，dV/dt是电压对时间的变化率。
这个方程表示了电感元件的特性，即它是一个存储磁能的元件。
这些方程都是含有外接电源S域电路模型的节点方程，它们描述了不同类型的电路元件在外接电源作用下的特性和行为。
在实际电路设计中，需要根据具体的电路要求和性能指标来选择合适的电路元件和节点方程，以实现电路的功能和优化电路的性能。
同时，还需要考虑电路元件之间的相互作用和电路模型的稳定性等因素，以确保电路的可靠性和稳定性。
外接电源S域电路模型还可以用于描述复杂电路系统的动态特性和稳定性。
例如，在通信电路系统中，需要使用外接电源S域电路模型来分析电路系统的传输特性和噪声特性，以确保电路系统的稳定性和可靠性。
含有外接电源S域电路模型的节点方程是电子电路设计的基础知识之一。
复频域中的电路定律电路元件及其模型
复频域（s域）中的电路定律、电路元件及其模型电路中最重要的两个定律是基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），其表达式为：KCL：?， KVL：对两个定律的方程式作拉普拉斯变换，即有：KCL：?，KVL：上面两式就是基尔霍夫定律的复频域（s域）形式。
这说明各支路电流的象函数仍遵循KCL；回路中各支路电压的象函数仍遵循KVL。
下面介绍各电路元件的复频域（s域）模型，也称运算电路模型。
一、线性电阻元件图9-4-1（a）表示线性电阻元件的时域模型，当其电压电流参考方向选为一致时，其电压、电流的关系是：经拉普拉斯变换得电压、电流象函数间的关系：（式9-4-1）因此，电阻复频域（s域）模型如图9-4-1（b）所示。
二、线性电感元件图9-4-2图9-4-2（a）表示线性电感元件的时域模型，当其电压电流参考方向一致时，电压电流的时域关系式是：经拉普拉斯变换后得：? （式9-4-2）根据（式9-4-2）可以画出电感元件的复频域模型，如图9-4-2(b)所示，其中sL称为电感的运算感抗，取决于电感电流的初始值，称为附加运算电压。
三、线性电容元件图9-4-3图9-4-3(a)表示线性电容元件的时域模型，当其电压电流参考方向一致时，电压电流的时域关系式是：经拉普拉斯变换后得：?? （式9-4-3）根据（式9-4-3）可以画出电容元件的复频域模型，如图9-4-3(b)所示，其中称为电容的运算容抗，取决于电容电压的初始值，称为附加运算电压。
四、独立电源对于独立电压源、电流源，只需将相应的电压源电压、电流源电流的时域表达式，经过拉普拉斯变换，得到相应的象函数即可。
例如：直流电压源电压变换为；正弦电流源电源变换为。
五、受控电源对于受控电源，如果控制系数为常数，那么复频域电路模型与其时域电路一样，形式不变。
图9-4-4(a)为时域中的VCVS,(b)为其复频域电路模型。
其他形式受控电源的复频域电路模型，同理可得。
四、电路的s域模型：
Y s
Y s
uc 0
s
0
R sL
R
1
sc
Y s iL 0 s 3uc 0 us s
s2 4s 4
s2 4s 4
y s y s.
x
f
Y xs
6s 20
s2 2
8
6
s2 2 s 2
+
复频域：U(s)=RI(s) I(s)
<2>电感：L.
时域：u(t)=Ldi(t)/dt i(t)
+
s域：U(s)=sLI(s)-LiL(0_)
RR
UL(t) 串联 I(s)
U(s) Ls Li(t)
• 2.元件模型：
<3>电容：c
I(s)= U(s)/sL+ iL(0_) /s 并联 I(s)
时域：u(t)=
1 c
t
0
i
x
d
x
uc
0
i(t)
c
u(t)
s域： U(s)=
1 I s uc 0
sc
s
I(s)
U(s)
U(s) 串
1/sc I(s)=scU(c)-cUc(Ω) I(s) 注：可以利用s域的电路定理和元件模型，对电路求解。 cUc(0_)
例9：如图电路，us t 12伏，i 1H , c 1F, R1 3, R2 2, R3 1,若原电路处于稳定态，当s闭合后， 求 Rs 两端电压的零输入响应yx t和 y f t。
四、电路的s域模型：
• 在时域时研究电路，要利用基氏电流、电压定律列方程处理，可推出s域的定律形式， • 并引出s域的元件模型列方程处理，一般电域方程为微分方程，而s域一般为代数方程。
电路的s域模型及s域分析_电路与信号基础_[共3页]
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电路与信号基础– 190 – 8.3 电路的复频域分析法电路的复频域分析法也称为拉普拉斯变换分析法，其分析电路的一般方法是：若给定了描述电路的微分方程和初始条件，则可利用拉氏变换将时域的微分方程转换为复频域的代数方程（该方程自动包含了电路的初始条件），然后通过求解该代数方程得到零输入响应、零状态响应和全响应的象函数，最后再对这些象函数进行拉氏反变换，从而求得电路的零输入响应、零状态响应和全响应；若给定了描述电路的时域电路图，则将其转换为s 域电路图，然后列出其所对应的s 域代数方程并求出所需响应的象函数，最后再通过拉氏反变换求得电路的各类响应。
8.3.1 微分方程的拉氏变换解法下面通过一道例题来说明微分方程的拉氏变换解法。
例 8.8 已知描述某电路的微分方程为''()3'()2()()y t y t y t f t ++=，外加激励信号3()e ()t f t t ε-=，且(0)1y -=，'(0)2y -=，求电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
解 对上述微分方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，可得2()(0)'(0)3[()(0)]2()()s Y s sy y sY s y Y s F s -----+-+=21(32)()(5)3s s Y s s s ++-+=+ 221816(32)()533s s s s Y s s s s ++++=++=++ 则25543()(1)(2)1232zi s s Y s s s s s s s ++===-++++++2110.510.5()(1)(2)(3)123(32)(3)zs Y s s s s s s s s s s ===-++++++++++ 222816816 4.540.5()(1)(2)(3)123(3)(32)s s s s Y s s s s s s s s s s ++++===-++++++++++所以12()[()](4e 3e )()t t zi zi y t L Y s t ε---==-123()[()](0.5e e 0.5e )()t t t zs zs y t L Y s t ε----==-+ 123()[()](4.5e 4e 0.5e )()t t t y t L Y s t ε----==-+8.3.2 电路的s 域模型及s 域分析1．常用电路元件的s 域模型（1）电阻元件。
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4.5 电路的S 域模型
利用S 域模型分析具体电路时，不必列写微分方程，而直接写出S 域代数方程，使得分析过程变得更加简单。
4.5.1电路元件的S 域模型 1. 电阻元件的S 域模型 电阻元件的伏安特性为
)()(t i R t v R R = (4-5-1)
对上式两边取拉氏变换，得
)()(s I R s V R R = (4-5-2)
由上式可得电阻元件的S 域模型如图4-5-1(b)所示。
(a) (b)
图4-5-1电阻元件的S 域模型
2. 电感元件的S 域模型
电感元件的端电压与通过它的电流的时域关系为
t
t i L
t v L L d )
(d )(= (4-5-3) 对上式两边取拉氏变换，得
[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s LI s i s sI L s V (4-5-4)
由上式可得电感元件的S 域模型如图4-5-2(b)所示。
(a) (b) (c)
图4-5-2 电感元件的S 域模型
由式(4-5-4)可以导出)(s I L 的表达式为
R
R
L
)
0(-
L
Li sL
)0(1
)()(-+=
L L L i s
L s s V s I (4-5-5) 所以电感元件的电流源形式S 域模型如图4-5-2(c)所示。
3. 电容元件的S 域模型
电容元件的端电压与通过它的电流的时域关系为
⎰∞
-=t
c C i C t v ττ
d )(1)( (4-5-6)
对上式两边取拉氏变换，得
s i C sC s I s i s s I C s V C C C C C )
0(1)()0()(1)()
1()1(----+=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+= 式中 )0()(1)0(10)1(-∞
---==⎰-
C C C v d i C i C ττ, 所以
)0(1
)(1)(-+=C C C v s
s I sC s V (4-5-7)
由上式可得电容元件的S 域模型如图4-5-3(b)所示。
(a) (b) (c)
图4-5-3 电容元件的S 域模型
由式(4-5-7)可以导出)(s I C 的表达式为
)0()()(--=C C C v C s CV s s I (4-5-8)
所以电容元件的电流源形式S 域模型如图4-5-3(c)所示。
4.5.2 利用S 域模型求电路的响应
利用S 域模型求解电路响应的一般步骤如下：(1) 求起始状态 (0-状态)；(2) 画s 域模型图；(3) 列s 域方程（代数方程）；(4) 解s 域方程，求出响应的拉氏变换V (s )或I (s )；(5) 利用拉氏逆变换求)(t v 或)(t i 。
例4-5-1 在图4-5-4所示电路中，0<t 时，开关S 位于“1”端，且电路已进入稳定状
C
s 1)
(s I C
态，0=t 时，开关转至“2”端，试求)(),(t v t v R C .
(a)
(b)
图4-5-4 例4-5-1的电路及其S 域模型
解: 先按前述解题步骤求)(t v C
(1) 起始状态：t < 0时，电路已进入稳定状态，所以 E v C -=-)0( (2) 画出电路的S 域模型图如图4-5-4(b)所示。
(3) 由S 域模型图，列出S 域方程如下:
s
E s E sC R s I C +=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+1)(
(4) 解s 域方程，求得
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+=
sC R s E s I C 12)(
RC
s E
s E R s I s E s V C C 12)()(+-
=⋅-=
(5) 对)(s V C 取拉氏逆变换，得
)(21)(t u e E t v RC t C ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=- 现在求)(t v R 。
由图4-5-4(b)可知
RC
s E
R s I s V C R 12)()(+=
⋅= e
2)(u(t)E t v RC
t R -=∴
)
(t v C +
-
)
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