八年级数学知识点分类讲解8非负数
八年级数学重点知识点(全)
初二数学知识点因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化•2 •因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法” •3 •公因式的确定：系数的最大公约数•相同因式的最低次幕.注意公式：a+b=b+a a-b=-(b-a) (a-by=(b-a f; (a-b3=-(b-a j.4 .因式分解的公式：(1) 平方差公式：a i2-b2= (a+ b (a- b);(2) 完全平方公式：a2+2ab+b=(a+b2，a2-2ab+b=(a-b2.5 •因式分解的注意事项：(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；(5)因式分解的最后结果要求加以整理；(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6•因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2)提负号；(3)全变号；(4)换元；(5) 配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分组；(8)提取分数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项.7 .完全平方式：能化为(m+n) 2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q,有“ l+px+q是完全2平方式P q”.2分式A A1 .分式：一般地，用A、B表示两个整式，A* B就可以表示为一的形式，如果B中含有字母，式子一叫B B做分式.整式2. 有理式：整式与分式统称有理式；即 有理式 八亠.分式3. 对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为 零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义•4. 分式的基本性质与应用：（1） 若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2） 注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；测 分子 分子 分子 分子 即分母 分母 分母 分母（3） 繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单•5. 分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先 因式分解•求化为最简分式•9•负整指数计算法则:正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;n公式：-b公式： （-1） -2=1, （-1）-社-1.10•分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式, 叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母. 11 •最简公分母的确定：系数的最小公倍数•相同因式的最高次幕•a b a b a c ad be ad be12.同分母与异分母的分式加减法法则：；6. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式， 这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要7.分式的乘除法法则:c ac a ed bd ' b d d ad c ben8.分式的乘方：—bn a n. （n 为正整数）.b(1)公式：a °=1（a#o ）. a -n=2 (aT)； ab n a n b m, , • mn ?abac c c bd bd bd bd13. 含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=O(¥O)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程. 注意：在字母方程中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14. 公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程•特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15. 分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16. 分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17. 分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母)，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18. 分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1.平方根的定义：若*=a那么x叫a的平方根，(即a的平方根是x);注意：(1) a叫x的平方数，(2)已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2 .平方根的性质：(1) 正数的平方根是一对相反数；(2) 0的平方根还是0；(3) 负数没有平方根.3. 平方根的表示方法：a 的平方根表示为.a 和a .注意： a 可以看作是一个数，也可以认为是一个数 开二次方的运算•4. 算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为.a •注意：0的算术平方根还是0.5.三个重要非负数： a F >0 ,|a| >0 , a >0注意：非负数之和为0,说明它们都是0.6.两个重要公式： (1)a 2 a ；(a>0)7. 立方根的定义：若x 3=a |^么x 叫a 的立方根，(即a 的立方根是x ).注意：(1) a 叫x 的立方数；(2) a 的立方根表示为3，'a ；即把a 开三次方. 8. 立方根的性质:(1) 正数的立方根是一个正数; (2) 0的立方根还是0; (3) 负数的立方根是一个负数. 9.立方根的特性：3 a Va .10•无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意: 11.实数：有理数和无理数统称实数.14.无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：(1)近似计算时，中间过程要多保留一位; (2)要求记忆：21.414 . 3 1.732 .52.236 .a (a 0) a (a 0)和开方开不尽的数是无理数.有理数 正有理数12.实数的分类: (1)实数负有理数无理数正无理数负无理数13.数轴的性质: 数轴上的点与实数一- 一对应. 有限小数与无限循环小数 正实数(2)实数0 负实数无限不循环小数三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）5•等腰三角形的定义: 几何表达式举例:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(如图)6•等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形(如图)7•三角形的内角和定理及推论：(1 )三角形的内角和180°;(如图)(2)直角三角形的两个锐角互余；(如图)(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(如图)探(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.D&直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形(如图)(1) ••• A ABC是等腰三角形••• AB = AC(2) T AB = AC•A ABC是等腰三角形几何表达式举例：(1) v A ABC是等边三角形•AB=BC=AC(2) T AB=BC=AC•A ABC是等边三角形几何表达式举例：(1) •••/ A+Z B+Z C=180(2) •••/ C=90• Z A+Z B=90°(3) T Z ACD Z A+Z B(4) T Z ACD >Z A几何表达式举例:(1) T Z C=90• A ABC是直角三角形(2) T A ABC是直角三角形•Z C=909•等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形•(如图) A\B几何表达式举例：⑴•/ ZC=90 CA=CB••• A ABC是等腰直角三角形(2) •/ A ABC是等腰直角三角形•••/C=90 CA=CB10.全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等；(如图)(2)全等三角形的对应角相等.(如图)11•全等三角形的判定:“SAS “ASA “AAS “SSS “HL'.(如图)(1) (2)B EF几何表达式举例：(1) •/ A AB3A EFG• AB = EF .........(2) •/ A ABC^A EFG•••/A=/E .................几何表达式举例：(1) •/ AB = EF•/ Z B=Z F又••• BC = FG•A ABC^A EFG⑵ .......................(3)在Rt A ABC和Rt A EFG中•/ AB=EF又••• AC = EG•Rt A ABC^ Rt A EFG12•角平分线的性质定理及逆定理: 几何表达式举例:(1) 在角平分线上的点到角的两边距离相等；(如图)(2) 到角的两边距离相等的点在角平分线 上(如图)几何表达式举例：(1) •/ EF 垂直平分AB• EFL AB OA=OB (2) •/ EF L AB OA=OB• EF 是AB 的垂直平分线(1) 线段垂直平分线上的点和这条线段的 两个端点的距离相等；(如图)(2) 和一条线段的两个端点的距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上•(如图)14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理: 几何表达式举例:(1)：0C 平分/AOB 又•/ CDL OA CE 10B ••• CD = CE (2) •/ CDLOA CE10B 又 v CD = CE• 0C 是角平分线 13•线段垂直平分线的定义： 垂直于一条线段且平分这条线段的直线, 叫做这条线段的垂直平分线.(如图)(1) •/ MN 是线段AB 的垂直平分线• PA = PB (2) •/ PA = PB•••点P 在线段AB 的垂直平分线上15•等腰三角形的性质定理及推论：几何表达式举例：N17.关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全 等形；（如图）（1） 等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图） （2） 等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一; （如图） （3） 等边三角形的各角都相等，并且都是60° .（如图） (1) 16•等腰三角形的判定定理及推论： （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即 等角对等边）（如图） （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图） （3） 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图） （4） 在直角三角形中，如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边 是斜边的一半.（如图） ⑴•/ AB = AC(2) •/ AB = AC 又T /BADNCAD • BD = CD AD 丄 BC(3) •/ A ABC 是等边三角形• Z A=Z B=Z C =60几何表达式举例: (1) vZ B=Z C• AB = AC(2) •/ /A=/B=/C• A ABC 是等边三角形⑶•/ ZA=60°又••• AB = AC• A ABC 是等边三角形⑷•••/C=90 / B=30°• AC =1AB2几何表达式举例：（1） •/ A ABG A EGF 关于MN 轴M几何B级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)—一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1三角形中，第三边长的判断：另两边之差V第三边V另两边之和•2•三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3.如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD丄AB, BE1CA则CD- AB=B E CA.4 •三角形能否成立的条件是：最长边V另两边之和.5•直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6 .分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7 .如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1）AC- CB=CD AB ; （2）Z 仁/ B , Z2=Z A .8.三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9•全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10.等边三角形是特殊的等腰三角形.11•几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12.符合“AAA' “SSA条件的三角形不能判定全等.13•几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14•几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15.会用尺规完成“SAS、“ASA'、“AAS、“SSS、“HL'、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形” 的作图.16•作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17.几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.探18.几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加;②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角;④作辅助线必须符合几何基本作图•（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）⑷已知等腰三角形ABC中，AB=AC①作等腰三角形ABC底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全②作等腰三角形ABC一边的平行线DE构造新的等腰三角形•①过D点作DE// AC交AB于E,构造中位线；② 延长AD到E,使DE=AD连结CE构造全等，转移线段和角;③•/ AD是中线••• S A ABD= Si ADC（等底等高的三角形等面积）E。
八年级数学实数非负数的性质同步讲义
初二数学初二数学1实数【知识要点】1、你知道实数的定义吗、你知道实数的定义吗??你能给实数具体分类吗你能给实数具体分类吗? ?2、什么叫做无理数呢、什么叫做无理数呢??了解无理数后了解无理数后,,你知道无理数主要具有哪些方面的特征吗你知道无理数主要具有哪些方面的特征吗? ?3、有关实数的相关概念和运算法则、有关实数的相关概念和运算法则,,你了解多少你了解多少? ?4、有关比较大小、有关比较大小,,你知道几种方法你知道几种方法? ?记一记：646.27,449.26,236.25,732.13,414.12»»»»»5、你知道怎样作长为n 的线段（以5为例）吗为例）吗? ?【典型例题】# 例1将下列各数填入相应的集合内：将下列各数填入相应的集合内：将下列各数填入相应的集合内： 0,7,6,1225,101001.2,345345.0,2,67,9,5,5,27------ p 整数集合整数集合{}有理数集合{} 无理数集合无理数集合{} 正数集合正数集合{}负数集合负数集合{}# 例2 在下列实数中是无理数的为（在下列实数中是无理数的为（在下列实数中是无理数的为（ ） A 、0 B 、-3.1415926 C 、3125D 、4p# 例3-1如果如果76,76,76---=---=--=c b a ，()76----=d ，试确定d c b a ,,,的大小关系的大小关系. .# 例3-2求下列各式中的求下列各式中的x . （1）()07<=x x（2）23=x例3-3 已知已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，在数轴上的位置如图所示， 求代数式()22a ab ac b c --++-++的值的值..# 例4-1 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小. .（1）p 与10 （2）23与（3）190189+-+-与（4）101321--与b 0 1 a c例4-2 求适合下列条件的数求适合下列条件的数求适合下列条件的数. . #（1）绝对值小于7的所有整数；的所有整数； （2）大于105且小于-的所有整数；的所有整数；例4-3 通过估算比较它们的大小通过估算比较它们的大小通过估算比较它们的大小. . （1）32316与-（2）41741-与（3）81425与-例4-4 现有四个无理数现有四个无理数8,7,6,5，其中在1312++与 之间的有（之间的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个D 、4个例4-5 若139139-+与的小数部分分别为的小数部分分别为=-+-234b a ab ,b a 则与 .# 例5-1 在数轴上作出在数轴上作出345和-的点，要求留下作图痕迹，的点，要求留下作图痕迹， 并写出作图过程并写出作图过程. .实数快速练习A姓名： 成绩：1．下列各组数中，都是无理数的一组是（．下列各组数中，都是无理数的一组是（ ） A 、10，p ，5，3100 B 、7-，5-，4，3 C 、p ，0，－p D 、×21.0，0.230.23，，××54.02．下列叙述中，不正确的是（．下列叙述中，不正确的是（ ） A 、绝对值最小的实数是零、绝对值最小的实数是零 B 、算术平方根最小的实数是零、算术平方根最小的实数是零 C 、平方最小的实数是零、平方最小的实数是零 D 、立方根最小的实数是零、立方根最小的实数是零3．若实数a 满足012=-a ，则a 的值为（的值为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、0.54．下列命题中，错误的是（．下列命题中，错误的是（ ） A 、相反数等于本身的实数是0 B 、绝对值等于本身的实数是1 C 、倒数等于本身的实数是1±D 、算术平方根等于本身的实数是1或0²5．在144，14.3-，p1，34，0.30.3，，01.0，2.3030032.303003……（两个3之间的0依次多一个），722中无理数有（中无理数有（ ） A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个6．已知x 是169的平方根，且y x y x 则,322=+的值是（的值是（ ） A 、65 B 、±、±65 65 C 、3143±D 、65或31437．如图2—6—1，若数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数表示数 -1-1，，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段（应在线段（ ） A 、AB 上B 、BC 上C 、CD 上D 、OB 上8．已知实数x 满足x x -=，则（，则（ ） A 、0³x B 、0>xC 、0£xD 、0<x9．与数轴上的点一一对应的是（．与数轴上的点一一对应的是（ ） A 、整数、整数 B 、有理数、有理数 C 、无理数、无理数D 、实数、实数1010．已知．已知b a ,是实数，下列命题正确的是（是实数，下列命题正确的是（ ） A 、若22,b a b a >>则B 、若22,b a b a >>则C 、若22,b a b a >>则D 、若2233,b a b a >>则1111．下列各式中，无论．下列各式中，无论x 为任何实数都没有意义的是（为任何实数都没有意义的是（ ）A 、x 3-B 、2x -图2—6—1 A O BCD -1123C 、12--xD 、321--x1212．．a 为无理数时a 是一个（是一个（ ） A 、非完全平方数、非完全平方数 B 、正实数、正实数 C 、完全平方数、完全平方数D 、非负实数、非负实数1313．在数轴上表示．在数轴上表示25-和的两点间的距离是（的两点间的距离是（ ） A 、25+B 、25-C 、)25(+-D 、25-1414．若．若a 是一个实数，那么a -表示的数是（表示的数是（ ） A 、负数、负数 B 、正数、正数 C 、非正数、非正数D 、实数、实数1515．若圆的半径是有理数，那它的面积值为（．若圆的半径是有理数，那它的面积值为（．若圆的半径是有理数，那它的面积值为（ ） A 、有理数、有理数 B 、无理数、无理数 C 、有理数或无理数、有理数或无理数D 、任意实数、任意实数1616．已知．已知b a a ,,0¹互为相反数，下列各组数中，不互为相反数的一组是（互为相反数，下列各组数中，不互为相反数的一组是（ ） A 、33b a 与 B 、22b a -与C 、b a 33与D 、33++b a 与1717．一个实数与它的相反数的倒数的和是零，这个实数是（．一个实数与它的相反数的倒数的和是零，这个实数是（．一个实数与它的相反数的倒数的和是零，这个实数是（ ） A 、0 B 、1 C 、－、－1 1D 、±、±1 11818．负数．负数a 与它的相反数的差是（与它的相反数的差是（ ） A 、2a B 、0C 、－、－22aD 、aa 1-1919．下列说法中正确的是（．下列说法中正确的是（．下列说法中正确的是（ ） A 、无限小数一定不是有理数、无限小数一定不是有理数 B 、有理数一定不带根号、有理数一定不带根号C 、一个数如果不是有理数，那么它一定是无理数、一个数如果不是有理数，那么它一定是无理数D 、若b a ,互为相反数，那么它一定是无理数互为相反数，那么它一定是无理数2020．设．设x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的实数，则y x +的值为（的值为（ ） A 、1B 、－、－1 1C 、0D 、－、－2 22121．设．设x 是有理数，则2x 是（是（ ） A 、正有理数、正有理数 B 、无理数、无理数 C 、非正有理数、非正有理数D 、非负有理数、非负有理数2222．．22不是（不是（） A 、分数、分数 B 、小数、小数 C 、无理数、无理数D 、实数、实数2323．已知．已知n 为任意整数，则1)1)(2)(3(+---n n n n 表示的数是（表示的数是（ ） A 、一定是整数、一定是整数 B 、一定是无理数、一定是无理数C 、一定是有理数、一定是有理数D 、可能是有理数，也可能是无理数、可能是有理数，也可能是无理数2424．实数．实数b a ,满足在数轴上的对应点到原点的距离相等，则b a 和应满足（应满足（ ）A 、b a =B 、b a =C 、22b a =D 、1=ba2525．全体小数所在的集合是（．全体小数所在的集合是（．全体小数所在的集合是（ ） A 、分数集合、分数集合 B 、有理数集合、有理数集合C 、无理数集合、无理数集合D 、实数集合、实数集合实数快速练习B姓名： 成绩：# 1．已知5=x，则x等于（）等于（A、5B、2.2362.236、±2.236C、±5D、±# 2．下列命题中，正确的个数是（）．下列命题中，正确的个数是（①两个有理数的和是有理数①两个有理数的和是有理数②两个无理数的和是无理数②两个无理数的和是无理数③两个无理数的积是无理数③两个无理数的积是无理数④无理数乘以有理数是无理数④无理数乘以有理数是无理数⑤无理数除以有理数是无理数⑤无理数除以有理数是无理数⑥有理数除以无理数是无理数⑥有理数除以无理数是无理数A、0个B、2个C、4个D、6个# 3．已知4=x，3=y，则yx+的值为（）.的值为（7、±7、±1A、±1 B、±C、1或7D、1或-7# 4．一个数是它的倒数的6倍，则这个数是（）.倍，则这个数是（A 、6B 、±6C 、6D 、±、±6 6# 5．3、5、2p的大小关系是（的大小关系是（）.A 、253p<<B 、523<<pC 、532<<pD 、352<<p# 6．a 、b 的位置如图所示，则下列各式中有的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（意义的是（ ）. A 、b a + B 、b a -C 、abD 、a b -#7．16949的算术平方根的倒数的相反数是的算术平方根的倒数的相反数是 . .8．若0463=-+-y x ，则y x 23+= .# 9．计算=-22817 ，312726=- .ao b# 1010．数轴上表示．数轴上表示5-的点与原点的距离是的点与原点的距离是 . .# 1111．已知．已知a 、b 互为相反数，互为相反数，c c 、d 互为倒数，互为倒数， 求()222222233cd b a cdcd b a b a ++++++-的值的值. .# 1212．比较大小．比较大小．比较大小. . （1）37与8（2）101010--与p1313．已知．已知25-x 有意义，试求()0213156-+--+--x x x x 的值的值. .1414．在数轴上作出．在数轴上作出3的点。
中考数学非负数专题讲座
中考数学非负数专题讲座所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则a1＋a2＋…＋a n≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，x n的值．解显然，x1=x2=…=x n=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，x n中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=x n=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，x n≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为x i为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习：1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。
初二数学知识点总结(包括八年级人教版上下两册知识内容-非常完整)
八年级上册知识点总结第十一章全等三角形复习一、全等三角形1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形有哪些性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)二、角的平分线：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。
1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”（5）截长补短法证三角形全等。
第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4.轴对称与轴对称图形的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
关于“非负数”知识数学的见解
关于“非负数”知识数学的见解“非负数”-a1.3算术根是“非负数”。
如≥0,一般的≥0。
绝对值与算术根的关系是: = ≥0。
2.非负数的几何意义在数轴上,原点和原点右边的点所表示的数以及数轴上表示数的点到原点的距离都是“非负数”3.“非负数”的地位与作用绝对值(非负数)这一概念是在七年级数学上册第二章有理数的2、4节结合数轴,从几何角度,从数轴上表示数的点在“数轴上的位置”(点到原点的距离)出发给的绝对值的定义。
这个概念相当重要,一是利用这个概念可以巩固对有理数的认识,即一个有理数(除0以外)都是由符号与绝对值两方面来确定的。
二是在有理数运算以及往后的根式等内容中,都是以绝对值的知识作为基础的。
界于绝对值的概念既是重点,又是难点,所以,在初中阶段为了让学生能够绝对值实质性的理解,教材分三个阶段来逐步提高。
在七年级仅停留在“语言叙述”阶段,并没给出“非负数”的概念。
这一概念是在八年级数的开方这一章中学习算术平方根时提出来的。
即“当又是正数或0(又叫非负数)时, 表示a的算术平方根”,并在介绍二次根式的简单性质时指出, (a≥0)是一个“非负数”,对于二次根式的定义,应着重让学生掌握被开方数必须是非负数。
非负数具有以下一些性质。
3.1最小的“非负数”是零,没有最大的非负数。
3.2如果有限个非负数的和为零,那么每个加数都必须为零,结果:x1≥0、x2≥0……xn≥0,且:x1 +x2……xn =0即:x1=x2……xn =03.3有限个非负数的和或积仍是一个非负数。
如果x1≥0、x2≥0……xn≥0,那么x1 +x2……xn =0 ;x1 x2……xn =03.4非负数的商(除数不能为0)仍是一个非负数。
若a≥0、b﹥0;则≥04.非负数的应用4.1 ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有实数根的充要和必要条件是(△b2-4ac≥0为非负数)4.2非负数概念的应用①对“实数的绝对值是非负数”的理解;如图:A、b、c在数轴上的位置如图所示,且= 、则+ + =。
八年级上册实数知识点讲解
八年级上册实数知识点讲解在数学学科中，实数是非常重要的一个概念。
它是指所有普通数字的集合，包括正数、负数和零。
在八年级上册中，实数也是重点学习内容之一。
本文将对八年级上册实数的知识点进行全面讲解，以便帮助学生加深对实数的理解。
一、实数的基础概念实数是指所有常见的数字集合，包括正数、负数和零。
实数的表示方法可以用数轴来表示。
其中，数轴的正方向表示正数，反方向表示负数，原点表示零。
在数轴上，任何一个实数都可以表示为一个唯一的点。
二、绝对值的概念绝对值是一个实数的非负值，表示这个数到零的距离。
比如绝对值为5的实数表示这个数与零的距离为5。
绝对值的表示方法可以用两个竖线（如|4|表示4的绝对值为4）来表示。
三、实数的运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
具体表示为：①交换律：a + b = b + a②结合律：(a + b) + c = a + (b + c)③分配律：a * (b + c) = a * b + a * c2. 实数的减法实数相减，可以转换为实数相加，即 a - b = a + (-b)。
其中，-b 表示b的相反数。
实数的减法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
具体表示为：①交换律： a * b = b * a②结合律： (a * b) * c = a * (b * c)③分配律： a * (b + c) = a * b + a * c4. 实数的除法实数的除法用分数表示。
若b不为0，则a/b = a * (1/b)。
其中，1/b表示b的倒数。
实数的除法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
四、实数的大小比较实数的大小比较可以通过比较它们的绝对值大小来实现。
其中，绝对值越大的实数，其大小越大；绝对值相等的实数，需要进一步比较它们的正负。
五、实数的平方与平方根实数的平方是该实数与自身相乘的结果，即a² = a * a。
八年级上册数学各章知识点总结
《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于 , 那么这个数就叫做 的平方根。
即 , 叫做 的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示: 正数 的平方根用 表示, 叫做正平方根, 也称为算术平方根, 叫做 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根: （根指数2省略） 0有一个平方根, 为0, 记作 , 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算⑷a 的双重非负性例: 得知⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位, 它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：4的平方根为 的平方根为 4开平方后, 得 3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若 , 则（二）立方根和开立方1. 立方根的定义如果一个数的立方等于 , 呢么这个数叫做 的立方根, 记作 2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０. 3.开立方与立方开立方: 求一个数的立方根的运算。
()a a =33a a =3333a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广: 次方根１.如果一个数的 次方（ 是大于１的整数）等于 ，这个数就叫做 的 次方根。
当为奇数时, 这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时, 这个数叫做的偶次方根。
２.正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。
０的奇次方根为０。
负数的奇次方根为负。
（四）实数1.实数: 有理数和无理数统称为实数实数的分类:①按属性分类: ②按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应, 即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数.的画法: 画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况:①尺规可作的无理数, 如②尺规不可作的无理数 , 只能近似地表示, 如π, 1.010010001……思考：（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？（2）大家都知道是一个无理数, 那么－1在哪两个整数之间？（3）的整数部分为a,小数部分为b, 则a= , b= 。
初中数学重点梳理：非负数
非负数知识定位知道常见的几种非负数，偶次根式，绝对值，二次方程有根的判别系数，常见的题型主要是利用非负数的性质建立方程，不等式，从而求值或证明。
知识梳理非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0)⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：（a≥0）＝2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；例题精讲◆专题一：利用非负数的性质解题： 【试题来源】【题目】已知实数x 、y 、z 满足，求x ＋y ＋z 的平方根。
【答案】0 【解析】∵，∴.∵|x-y|>=0， ， ，∴解得x ＋y ＋z =0所以求x ＋y ＋z 的平方根为0 【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知()0446222=+-+++y xy x y x ，则的值为______________；【答案】2【解析】（x+y-6）²≥0, 2244y xy x +- ≥0,（x+y-6）²+ 2244y xy x +- =0,两个非负数的和为0,只能都是0.所以x+y-6 =0,x²-4xy+4y²=(x-2y)²=0, 即x+y-6 =0, x-2y =0, 解得x=4,y=2. ∴x-y=2,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】若，的值【答案】【解析】解：因为，所以，从而.所以【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a 、b 、c 是实数，若，求a 、b 、c 的值【答案】1130===c ,b ,a 【解析】,,,,,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题二：对于 的应用【试题来源】【题目】已知x 、y 是实数，且 ；【答案】81 【解析】根据题意32112+-+-=x x y ，知012≥-x 且021≥-x ，所以21=x ，y=381=y x【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】已知、、适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20152015223 ，求z y x -+3 的平方根。
八年级上册数学知识点总结非常全
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结大战场中学第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边222 c 的平方，即a b c作用：用来在直角三角形中已知两边求第三边的长度2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b， c 有关系a2b2c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
作用：已知三边用来判断三角形是否为直角三角形3、勾股数：满足a2 b 2 c 2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数：3,4,5 ； 6,8,10第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（ 1）开方开不尽的数，如7 , 3 2 等；（ 2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001 , 等；（4）某些三角函数值，如 sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0， a=— b，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若 |a|=-a，则3、倒数（|a|≥0）。
零的绝对值a≤0。
如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是 1 和 -1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根。
苏教版八年级数学全册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形 轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
八年级上册数学知识点总结非常全
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结大战场中学第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 作用：用来在直角三角形中已知两边求第三边的长度 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
作用：已知三边用来判断三角形是否为直角三角形3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数：3,4,5；6,8,10第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
人教版八年级数学下册竞赛专题04初识非负数.doc
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专题 4 初识非负数阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1. 去绝对值符号法则2. 绝对值的几何意义从数轴上看，a 即表示数a的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数，b 表示数轴上数 a 、数b 的两点间的距离3. 绝对值常用的性质① a 0 ② a2 a a2③ ab a b ④ a a b 0⑤ a b a b ⑥ a b a b例题与求解【例1】已知a 5,b 3，且a b b a，那么a b .祖冲之杯邀请赛试题）解题思路由已知求出a、b 的值，但要注意条件a b b a 的制约，这是解本题的关键例2】已知a、b、c均为整数，且满足a b10 a c 10 1，则a bA. 1B.2C.3D.4全国初中数学联赛试题）解题思路：a b10≥0，a c10≥0，又根据题中条件可推出 a b，a c中一个为0，一个为1.c ab ac bc abc c ab ac bc abc解题思路 ：根据 a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键希望杯邀请赛试题）【例5】设x 1, x 2 , x 3, x 4 , x 5 , x 6是六个不同的正整数，取值于 1，2，3，4，5，6.记S |x 1x 2||x 2 x 3| |x 3 x 4| |x 4 x 5| |x 5 x 6| |x 6 x 1|，求 S 的最小值 .（四川省竞赛试题）解题思路： 利用绝对值的几何意义建立数轴模型 .【例 6】已知（a b ）2 b 5 b 5，且 2a b 1 0，求 ab 的值.（北京市迎春杯竞赛试题）例 3 】 已 知 x 1 1 ＋2x 3x 2 2002x 2 2 ＋ x 3 3 ＋ ⋯ ＋ x 20022002 ＋ 2x2003 的值.解题思路：运用绝对值、 非负数的概念与性质， 的化简规律x 2003 2003 ＝ 0 ， 求 代 数 式先求出 x 1,x 2,x 3, ⋯，x 2002,x 2003的值，注意 2n 1 2n 例 4】设 a 、 b 、 c 是非零有理数，求2x 2解题思路：由2a b 1 0 知2a b 1 0，即b 2a 1，代入原式中，得(3a 1)2 2a 4 2a 4，再对3a 1的取值，分情况进行讨论A级1. 若m,n 为有理数，那么，下列判断中：1) 若m n，则一定有m n；2) 若m n，则一定有m n ；3) 若m n，则一定有m n ；4) 若m n，则一定有 2 m2( n)2；正确的是.(填序号)2.若有理数m,n, p满足m n p1，则2mnp.m n p 2mnp3.若有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图所示，则c 1 a c a b 化简后的结果是.4. 已知正整数a,b 满足b 2 b 2 0，a b a b 0，且a b，则ab的值是.四川省竞赛试题) 6. 如图，有理数a, b在数轴上的位置如图所示：则在a b,b 2a,b a,a b,a 2, b 4 中，负数共有( )A．3 个B．1 个C．4 个D．2个湖北省荆州市竞赛试题) 5.已知a 1,b 2, c 3,且a b c ，那么a b c2江苏省竞赛试题）求 b a d c 的值 . （希望杯邀请赛试题）B 级1.若 2 x 5，则代数式x 5 x 2 x的值为x 5 2 x xA ． 3 或 13B ．13 或－ 13C ．3 或－ 3D 8. 若 m 是有理数，则m m 一定是（ ）A ．零 B．非负数C ．正数D9. 如果 x 2 x 2 0，那么 x 的取值范围是（ ）A ． x 2 B． x2 C ． x 2 D10. a,b 是有理数， 如果a b ab ，那么对于结论（ 1） a 一定不是负数；（）A ．只有（ 1）正确B ．只有（ 2）正确C ．（1）（2）都正确D ．（1）（2）都不正确7. 若 a 8,b 5，且 a b 0，那么 a b 的值是（ ）－3 或－13负数x2（2）b 可能是负数，其中11. 已知 a,b,c 是非零有理数，且 abc0，求ab bcca的值.ca12. 已知 a,b,c,d 是有理数， a b 9,c d 16 ，且 a b c d 25 ，22. 已知a 1 ab 2 2 0 为. 那么 1ab11(a 1)(b 1) (a 2)(b 2)1的值(a2002)(b 2002)五城市联赛试题）希望杯邀请赛试题）创新杯邀请赛试题）希望杯邀请赛试题）湖北省黄冈市竞赛试题）3.数 a 在数轴上的位置如图所示，且 a 1 2，则 3a 7重庆市竞赛试题）4. 若 ab0，则ab的值等于ab5. 已知 (x5)6 0 ，则 y1 5xyx 2 x 36. 如果 0 15 ，那么代数式 x15p 15 在 p ≤ x ≤ 15 的最小值(A. 30B.0C.15D. 一个与 p 有关的代数式7. 设 k 是自然数，且 ka b 0，2 等于（ ）A.3B.2C.D. 22 k8. 已知 0 a4 ，那么 aa 的最大值等于（A ．1B ．5C ．D ．99. 已知 a,b,c 都不等于零，且abc，根据 a,b,c 的不同取值，abcx 有（A ．唯一确定的值B ．3 种不同的值C ．4 种不同的值D ．8 种不同的值10. 满足 a b b 成立的条件是A ． ab 0B ． ab 1C ． ab 0D ． ab 1中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1. 代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
华师大版八年级数学上册课件：小专题2 非负数性质(共11张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
八年级数学辅导： 非负数的性质
非负数的性质【知识要点】1．二次根式的基本性质（式子a （a ≥0），叫做二次根式）。
对于非负数a ，有（a ）2=a（1） 对于任意实数，则==a a 2（2）若a ﹥b ﹥0，则a ﹥b ；2、非负数即正数和0。
如果a 是实数，那么a ，)0(,2≥a a a都是非负数，非负数主要的性质有：（1）非负数的和或积仍是非负数；（2）如果非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0。
【典型例题】例1250x y --=，（1）求x 与y 的值； （2）求y x +的平方根。
例2()220ab -=，求()()()()1111119901990ab a b a b +++++++的值。
a (a ﹥0)0 (a ﹦0)﹣a (a ﹤0)例3、若u,v 满足32v =+，求22u uv v -+的值。
例4、已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=例5、若m 适合关系式y x y x m y x m y x --•+-=-++--+19919932253。
试确定m 的值。
例6、设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且2228440a c b ab bc ++--=，试判断△ABC 的形状。
例7、设a 、b 、c 是实数，若14a b c ++=+-，求()()()a b c b c a c a b +++++的值。
思考题：设a 、b 为实数，求2072416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 取得最小值时a 、b 的取值。
【练习与拓展】1、 ）A ．m 是完全平方数B ．m 是负有理数C ．m 是一个完全平方数的相反数D ．m 是一个负整数2、计算2-a +a -2等于（ ）A ．0．B ．4-2aC ．4D ．2a-43、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为（ ）A.0.B.1.C.-1.D.-4.4、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c ++-----+-+-的结果是（ ）A 、0B 、222a b c ++C 、4aD 、22b c -5、设等式=其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy yx xy y +--+的值是（ ）A 、3B 、13C 、2D 、536、若式子2)4(a --有意义，则满足条件的a 有（ ）A 、0个B 、1个C 、4个D 、无数个7、已知10b -=，则33a b -+= 。
八年级数学知识点
1．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．2．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．5．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．6．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x＝ax＝b的形式表示．7．二元一次方程组的应用（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．8．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．9．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．10．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．11．待定系数法求正比例函数解析式待定系数法求正比例函数的解析式．12．一次函数与二元一次方程（组）（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．（2）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．13．两条直线相交或平行问题直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．14．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．15．一次函数综合题（1）一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．（2）一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．（3）用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．16．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．17．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．18．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．19．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．20．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．21．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…22．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．23．三角形综合题三角形综合题．24．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．26．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．27．关于x轴、y轴对称的点的坐标（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．28．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．29．用样本估计总体用样本估计总体是统计的基本思想．1、用样本的频率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．30．算术平均数（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，x n，则x¯＝1n（x1+x2+…+x n）就叫做这n个数的算术平均数．（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．31．加权平均数（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．32．中位数（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．33．众数（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．34．方差（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（x n﹣x¯）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．。
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八年级数学知识点分类讲解
第八讲非负数
所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．
1．实数的偶次幂是非负数
若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．
2．实数的绝对值是非负数
若a是实数，则
性质绝对值最小的实数是零．`
3．一个正实数的算术根是非负数
4．非负数的其他性质
(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则
a1＋a2＋…＋a n≥0．
(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．
在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．
(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．
(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．
(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．
应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．
解得a=3，b=-2．代入代数式得
解因为(20x-3)2为非负数，所以
-(20x-3)2≤0．①
-(20x-3)2≥0．②
由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以
原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．
说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．
例3 已知x，y为实数，且
解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有
解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以
a2-4a+4+b2-2b+1=0，
即 (a-2)2+(b-1)2=0．
(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．
所以a=2，b=1．所以
例5 已知x，y为实数，求
u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3
=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2
=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．
因为x，y为实数，所以
(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当
时，u有最小值2，此时x=1，y=2．
例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．
解将原方程化为
a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，
即
(ax-1)2+x2+a2+3=0．
对于任意实数x，均有
(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故
(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．
例7 求方程的实数根．
分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．
解之得
经检验，均为原方程的解．
说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．
例8 已知方程组
求实数x1，x2，…，x n的值．
解显然，x1=x2=…=x n=0是方程组的解．
由已知方程组可知，在x1，x2，…，x n中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=x n=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，x n≠0时，将原方程组化为
将上面n个方程相加得
又因为x i为实数，所以
经检验，原方程组的解为
例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以
解得
例10 当a，b为何值时，方程
x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？
解因为方程有实数根，所以△≥0，即
△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)
=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8
=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，
所以
2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，
-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，
-(a-1)2-(a+2b)2≥0．
因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以
例11 已知实数a，b，c，r，p满足
pr＞1，pc-2b+ra=0，
求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．
证由已知得2b=pc+ra，所以
△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac
=p2c2+2pcra+r2a2-4ac
=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac
=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．
例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．
解用比差法．
(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)
=2x2-3x+2
即
(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，
所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．
说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．
例13 已知a，b，c为实数，设
证明：A，B，C中至少有一个值大于零．
证由题设有
A+B+C
=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3
=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．
因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．
若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．
例14 已知a≥0，b≥0，求证：
分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有
由不等式的性质知道，只须证明
因为a≥0，b≥0，所以
又因为
所以原不等式成立．
例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，
试判断四边形的形状．
解由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
所以
(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，
即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
因为a，b，c，d都是实数，所以
(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，
所以
由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四边形为菱形．
练习八
1．求x，y的值：
4．若实数x，y，z满足条件
5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，
6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。