二次量子化公式
高等量子力学补充专题二次量子化简介
im( xn xn1 ) 2 m ) 对自由粒子，已知 xntn | xn1tn1 2it exp( 2t
由于W(Δ t)与V(x)无关，可用自由粒子情况算出
1 w t m 2it
于是，对 t 0 ，有
九、Feynman路径积分公式
1. 无限小时间间隔的一段路径， x n t n
x n 1 t n 1 1 e iSn ,n 1 / Wt
w(Δ t)只与Δ t而（假定）与V(x)无关的权重因子。
由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而
2 x x 2 mx m n n1 xn xn1 S n, n 1 dt V x t V tn1 2 t 2 2 tn
x "| eiHt / |a ' a ' | eiHt0 / x ' x ", t | x ', t0
a'
这里 x ", t | 和 | x' , t 0 是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。 因 b' , t | a' , t 0 是从 | a' , t 0 到 | b' , t 态的跃迁振幅，故 x", t | x' , t 0
所有路径对 x N t N | x1t 1 的贡献： x N t N | x 1 t 1 ~
若 0，则相邻路径的贡献倾向于抵消。
所有路径
e
iS N ,i /
对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的， 因而可相干增强。所以 0 时挑出的轨道为经典轨道。
量子力学知识：量子物理中的二次量子化
量子力学知识：量子物理中的二次量子化二次量子化是一种广泛应用于量子物理中的数学形式，它是一种用二次量子化方程描述多体问题的方法。
在量子力学中，一个粒子的运动是由波函数描述的，而多个粒子的运动则需要用到多粒子波函数。
如果我们考虑三个粒子的问题，那么我们需要用到三粒子波函数。
多体问题包括原子、分子、晶体、凝聚体等，研究多体问题可以帮助我们更深入地理解物质。
传统的一次量子化方法只能描述单个粒子的运动情况，而在多体问题中，我们需要更高维度的描述。
我们需要考虑所有粒子之间的量子相互作用，这些相互作用不能由波函数描述。
为了解决这个问题，科学家们提出了二次量子化方法，这种方法可以帮助我们更好地处理多体问题。
二次量子化的基本思想是将多种粒子基态的相互作用转化为多个不同粒子状态之间的相互作用。
这种转化可以使原本复杂的多体问题简化为一个更简单的问题。
通过将多体波函数的二次量子化形式写出来，我们可以得到一些有关多体相互作用的重要信息。
在二次量子化方法中，我们首先定义一个产生和湮灭粒子的算符，这些算符能够在多粒子系统中产生或消灭一个粒子，从而形成新的多粒子系统。
接着我们定义一个Hamilton算子，这个算子描述了整个多体系统的能量和动量。
我们可以将多体波函数写成这些产生和湮灭算符的乘积形式，并将Hamilton算子表示为这些算符的多项式，从而得到一个描述多体相互作用的二次量子化方程。
二次量子化方法不仅可以帮助我们更好地处理多体问题，还可以帮助我们理解许多量子现象。
例如，通过二次量子化方法，我们可以更好地理解玻色-爱因斯坦凝聚现象。
在这种凝聚体中，所有粒子都处于同一个量子态，它们的波函数相干性非常强。
如果我们考虑这种相干性，那么我们可以把所有粒子看做一个巨大的波函数。
二次量子化方法可以将这个波函数的形式写出来，并帮助我们理解这个现象的同时，还可以为我们提供其他更深层次的信息。
除了玻色-爱因斯坦凝聚现象，二次量子化方法还可以用于解释许多其他量子现象，例如超流性、超导性等。
二次量子化基础
二次量子化基础大体思想一次量子化大体方程为Schr odinger 方程 ψψμψ),(222t r V t i +∇-=∂∂. 任意状态),(t x ψ可在Hilbert 空间按基矢)(x i ϕ展开为 ∑=)()(),(x t a t x i i ϕψ,基矢)(x i ϕ可为某不含时Hamiltonian 的本征态)()()()(2)(22r E r r U r r H i i i i i ϕϕϕμϕ=+∇-=.二次量子化的大体思想确实是将按基矢)(x i ϕ展开的Schr odinger 方程（或其它场方程）的解),(t x ψ看做场算符，展开系数+i i a a ,为相应于单粒子态)(x i ϕ的湮灭算符和产生算符。
1. Hartree-Fock 自洽场方式H-F 方式是一种有效的近似方式，在计算原子中电子壳模型势和原子核壳模型势时取得较好结果。
这种方式便于作独立粒子近似，即设粒子近似独立地在其它粒子的平均场中运动。
考虑由N 个全同Fermi 子组成的系统, 设粒子间有二体彼此作用，Hamiltonian 为∑∑≠+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=i ji j i i i r r V t r V m H ),(21),(222 （1）计及互换反对称性，试探波函数可表或Slater 行列式)()( )()()()()()()(!1),,2,1(21N 2221212111N N N N N q q q q q q q q q N N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕψ =（2）式中i ϕ为正交归一的单粒子态。
利用（2），能量平均值为∑⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇->==<*i i ir t x V m r x d H H )(),(2)(||223ϕϕψψ∑⎰⎰∑⎰⎰≠**≠**''''-''''+ji j i j i ji j i j i r r r r V r r x xd d r r r r V r r x xd d )()(),()()(21)()(),()()(213333ϕϕϕϕϕϕϕϕ （3）利用散度定理和i ϕ在边界为零，上式第1项为⎰∑∇•∇*i i x d mϕϕ322 , 即⎰∑⎰∑⎰∑=∇•∇+∇=∇•∇***iii ii i i i x d x d x d 0)(3323ϕϕϕϕϕϕ. 证明：N =2时，)]()()()([2112212211r r r r ϕϕϕϕψ-=, )]()()()([21||12212211231321r r r r x d x d ****->=∇<⎰⎰ϕϕϕϕψψ )]()()()([1221221121r r r r ϕϕϕϕ-∇•)]()()()( )()()()()()()()( )()()()([2112211221211121122221122111212211211122222313r r r r r r r r r r r r r r r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∇+∇-∇-∇=********⎰⎰利用i ϕ的正交归一性，对r 2积分后得⎰∇+∇>=∇<**)],()()()([21||1221121121111321r r r r x d ϕϕϕϕψψ 同理⎰∇+∇>=∇<**)]()()()([21||2222222122212322r r r r x d ϕϕϕϕψψ 因此，略去x 和r 的下脚标后，有∑⎰∑=*=∇=>∇<2123212)()(21||i i i j jr r x d ϕϕψψ （4） ⎰⎰****->=<),()]()()()([21|),(|212112************r r V r r r r x d x d r r V ϕϕϕϕψψ )]()()()([12212211r r r r ϕϕϕϕ-⎰⎰****+=)]()(),()()()()(),()()([21122121122122112122112313r r r r V r r r r r r V r r x d x d ϕϕϕϕϕϕϕϕ)]()(),()()()()(),()()(22112112211221212211r r r r V r r r r r r V r r ϕϕϕϕϕϕϕϕ****--（5）此即（3）式中后两项的展开形式，证毕。
二次量子化方法
4
•
•
3 i1
( xi
(
)
xi
)
•
t
3 i1
(xi )
xi
将上式带入动力学方程可得
S t2 dt t1
dx
t
•
3
i1
xi
((xi
)
)
0
5
由于 任意，所以上式可得出
3
t• i1xi ((xi))0
我们引入广义坐标相联系的广义动量
(x,t)
•
6
•
场的哈密顿密度 (x,,t)
总的哈密顿量
H dx
系统的动力学 方程
•
•
•
3 i 1
xi
(
( xi
)
)
7
薛定谔波场的量子化
薛定谔方程
2
•
•
2 (x ,t) V (x ,t) (x ,t) i (x ,t)
2 u
为经典场的波动方程，但它是一个复数场，所以又存在
22Vi•
2u
本证函数集
a(x)k(x)
1 eikx
15
利 用 的 正 交 归 一 性
a
(
x
)
(x)dx
可得算符展开式是逆变换关系
a (x) (x,t)dx ba (t)
a(x) (x,t)dx ba (t)
16
利用变换关系和算符对易关系得出
b a (t ), b (t )
0
b
a
(t )
这里将外势场视为实数场
8
拉氏密度
i
2
V
2u
拉氏密度需要将它代入拉式方程中得到上面的薛定谔方程
高等量子力学补充专题二次量子化简介
2mE V
h
2
d 2W dx2
2m 2m dV dx
2h
d 2W dx2
2
2
2m
E
V
2m dV
2m dV
dx
dx
D 2 E V dV
dx
或者说 D 必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短
波极限下是可信的。
九、完整的WKB解
对 E V 0 区,有
uv x,t
cons
V
tan t
了与几该率点流上量等。相相位位面变垂化直越。激对烈平，面则波流量S 越 upv强. 。流量的方向
虽然形式上我们有
但将
v j
解释成
v v
t
.
S m
t
v v
0
需要坐标与速度的同时精确测量而不
可能（测不准关系）。
六、经典极限
据薛定谔方程有：
h2 2m
2
2i h
.S
1 h2
S 2 i h
x ,t0;t
而
uv
x
upv2
V
2m
v x
, t0 ; t
h2 2 2m
uv x ,t0;t
V
uv x
uv x ,t0;t
得含时薛定谔方程为
ih
uv x, t
h2 2
uv x, t
V
uv
x
uv x, t
t
2m
基于上式的量子力学有时称为波动力学，是当
p2 V
h2 2m
2
V
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
二次量子化 一维单原子链
二次量子化一维单原子链二次量子化是量子力学中的重要概念之一，它在描述多粒子体系时非常有用。
本文将讨论一维单原子链的二次量子化过程。
一维单原子链是由一系列相互作用的原子组成的，它可以用于研究材料的电子结构、声子传播等问题。
在二次量子化中，我们将一维原子链中的每个原子视为一个量子力学的基本单位，即一个量子态。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理多粒子体系的量子态和相互作用。
在一维单原子链中，每个原子可以处于两个可能的状态：自旋向上或自旋向下。
我们可以用一个二维希尔伯特空间来描述这个系统。
对于一个含有N个原子的链，我们可以用一个N维的列向量表示整个系统的量子态。
例如，对于一个含有三个原子的链，我们可以用如下的形式表示量子态：|↑↑↑⟩= |↑⟩⊗ |↑⟩⊗ |↑⟩其中|↑⟩表示自旋向上的态，⊗表示张量积。
在二次量子化中，我们引入了产生算符a†和湮灭算符a。
产生算符a†可以将一个粒子从自旋向下的态变换为自旋向上的态，而湮灭算符a则相反。
它们满足如下的对易关系：[a,a†] = aa† - a†a = 1利用这些算符，我们可以方便地表示一维单原子链中的量子态和相互作用。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示自旋向上和自旋向下的态：|↑⟩= a†|0⟩|↓⟩ = a|0⟩其中|0⟩表示真空态，即没有粒子的态。
在一维单原子链中，原子之间可以存在相互作用。
我们可以用相互作用哈密顿量来描述这种相互作用。
例如，我们可以用下面的形式表示相互作用哈密顿量：H = ∑(Ji a†i a†i+1 + hi a†i ai + h.c.)其中Ji表示相邻原子之间的相互作用强度，hi表示每个原子的自旋能级。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理相互作用哈密顿量。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示相互作用哈密顿量中的项：a†i a†i+1 = (a†i + a†i+1)(a†i - a†i+1)/2hi a†i ai = hi (a†i a†i - a†i ai)/2h.c.表示共轭项。
“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介
Z
Brillouin磁化率公式：
负温度（如晶格排列磁矩体系）：
1 1 S ln ( E ) , ( E ) : E处状态数 kT k E E
若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任 意k）：ρkk=1/N 对应于完全随机的系综，与β ->0（即T∞）的 正则系综分布相同
十四、配分函数
ρkk的分母为
是统计力学中的配分函数，可写为
ρ在能量本征态基中可写为
据此可得体系的所有性质， A tr e 对A=H，有
Ψi(x’)是对应于|α(i)>的波函数。 ρ的对角元素是几率密度的权重和。 混合态系综分解也是不唯一的（如不同平面波或波包 的叠加）
十一、密度算符与量子统计力学
对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有：
该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：
在ρ本征态为基矢时
U
H
A
Z
k k
N
A k e Ek
N
E e
k k N k
N
Ek
Ek e
Ek e
(ln Z )
与统计力学的对应知β =1/kT.
应用举例：均匀磁场中的电子系综
e /2 0 0 e /2 , Z=e /2 e /2
关于算符函数矩阵的运算
二次量子化
二次量子化寒假里忽然想起曾经在看曾书10.3节角动量的Schwinger表象有一个奇思妙想。
当初记在书上的笔记是“一般Hamiltonian可表示为H(x,p), x、p可用a+、a处理，如果H为x、p的二次式，则可用H(a+,a)与[a+,a]求解”现在仔细回想这段话，当初的意思应该是：在经典力学里面，哈密顿量可以表示成两个独立变量的函数（上次还看到说只需要这两个独立变量x和x的一次导数就完备了，不需要诸如x的二次导数、三次导数那些变量，据说朗道书里有讲，本人没细究过），在处理谐振子的时候我们通过引入升降算符a+、a，把哈密顿量表示成H(a+,a)，接下来利用[a+,a]=1构造出粒子数算符，谐振子的各个能级就轻而易举的解出来了。
然后我看到角动量居然也可以用升降算符表示（确切的说是产生湮灭算符），这就很容易想到，是否所有的力学量都可以用升降算符表示？既然哈密顿量是力学量的函数，通过表象变换到升降算符表象，哈密顿量显然也可以表示成升降算符的函数H(a+,a)，如果哈密顿量是x、p的二次型，利用升降算符的对易子[a+,a]，可以很容易求解出各个能级（二次型的考虑是记得当初在学经典力学里面有一个说法，只要哈密顿量是x、p的二次型，总可以用泊松括号求解，而泊松括号可以即狄拉克普朗克常数趋向于零的对易子，曾书习题4.7），求解的过程似乎可以和哈密顿力学的求解过程对应起来。
后来学了二次量子化，在那里，哈密顿量确实都表示成a+、a的函数，再回首当初的奇思妙想，算是二次量子化的发轫，但确实too simple, too naive.1、二次量子化里面的a+、a表示的产生湮灭算符，是指产生或湮灭一个态（这里采用fock表象），和谐振子里面的升降算符在概念上是有差异的。
2、哈密顿量一般来说是偶数次型，不仅限于二次型，还有四次型。
3、二次量子化虽然看起来似乎是一个表象变换，但是它已经把场量子化，这样子，才会有可能产生一个粒子或湮灭一个粒子。
量子力学中的二次量子化
量子力学中的二次量子化量子力学是描述微观粒子行为的一种物理学理论，它描述了量子系统的波函数演化，并通过概率的方式预测微观粒子的性质和行为。
然而，传统的量子力学在描述复杂系统时存在一些困难，无法解释多粒子系统的相互作用等问题。
为了解决这些问题，二次量子化发展起来，并成为现代理论物理学的重要分支。
二次量子化是在量子力学的基础上，对多粒子系统进行重新诠释和描述的一种方法。
它通过引入二次量子算符，将粒子的波函数表示为一个算符的形式，使得描述多粒子系统的运算和计算更加方便和简洁。
在二次量子化中，系统中的每个粒子都由一个纯态或者混合态的波函数来描述，它们之间通过升降算符产生或湮灭算符消灭来描述相互作用。
在二次量子化的框架下，我们可以方便地处理多粒子系统的对称性和反对称性问题。
通过引入费米子和玻色子的概念，对应于自旋为1/2的粒子和自旋为整数的粒子，我们可以简洁地描述系统中粒子的统计行为。
费米子遵循泡利不相容原理，即同一量子态不能同时存在多个费米子，而玻色子则不存在这个限制。
二次量子化的框架也为描述相互作用提供了一种便捷的方式。
通过引入相互作用哈密顿量，我们可以方便地描述不同粒子之间的相互作用强度和形式。
这为研究多粒子系统的相互作用行为提供了一种便捷和统一的描述方法，使得我们可以更深入地理解和研究微观粒子之间的相互作用和耦合。
除了对多粒子系统的描述外，二次量子化还在量子场论中起着重要的作用。
量子场论是描述自然界基本粒子相互作用的理论，是粒子物理学的核心理论之一。
二次量子化的思想在量子场论中被广泛应用，使得我们能够描述和研究场的量子化过程，进一步理解与粒子的相互作用和宏观性质。
总结起来，二次量子化在量子力学的基础上建立了一种更加方便和统一的方法来描述多粒子系统的行为。
它通过引入二次量子算符和升降算符，使得多粒子系统的描述和计算更加简洁和方便。
二次量子化不仅为解决多粒子系统的相互作用问题提供了一个框架，还在量子场论中起到了重要的作用。
高等量子力学补充专题二次量子化简介
i, j
i, j
2 Hikci 2E Oikci
i
i
0
Oijcic j
Oijcic j
i, j
i, j
(Hij EOij )c j 0 j
基函数可有多种选择多类型的电子结构计算方法
作业： 5.14 , 5.19, 5.20
AS1 S2;
A 5.6me [( e )2 mp mec
1 2a03 ]
氢原子基态分裂：A
2
5.6me mp
[( e )2 mec
1 2a03
]
比精细结构还小约三个量级.
所得跃迁波长为21.4cm。该21-cm线是探测宇宙中氢分布的一种途径
三、Zeeman效应
均匀磁场可由矢势A=½(Bxr)得出。取B沿z方向,
回顾：近似方法之不含时微扰理论
H0 n(0) En0 n(0) , (H0 V ) n() En n() 求解精确至N阶的能量修正，只需精确至N-1阶的态矢修正
§5.1 非简并情况
比较对应λ 系数得：
理论要求：本 征态与本征值 在λ复平面上， 对λ =0附近解 析连续。 实用要求：取 少数阶展开便 是较好的近似。
{i }
变分法原则上可估计低激发态能量。若基态已知，则选与基态垂直的 尝试波函数，经变分可求出优化的E1。若只知近似基态(如通过变分 求得),则用变分求激发态的能量要慎重,因误差无确定符号,是线性的.
二、应用举例
例1：对H原子基态，用
作为尝试波函数,其中a为参量。
由于用了与基态波函数形式相同的函数作为尝试波函数，由变分条件
§5.2 兼并态微扰
二次量子化理论.
为使拉格朗日方程
(
3
1
0i i
i L L
L x
x t ψ
ψψ=∂∂∂∂∂-
-
=∂∂∂∂/∂∂∂∑
(
3
*
*
*
1
0i i i L L
L x t x ψ
ψ
ψ=∂∂∂∂∂--
*
'
'
3
3'
1
, , , , , 2
x t x t V x x x t x t
d x d x ψψψψ+
⎰⎰
在以上的讨论中, (, x t ψ和质点组( i x t一样,还是一个经典系统,找到正则动量后就可以进行量子化了。量子化的过程是把(, x t ψ和(*, x t ψ看成正则坐
标算符,把(, x t π和(*, x t π看成相应的正则动量算符,并给他们以对易关系。由于现在((*, , x t i x t πψ=而(*, 0x t π=,所以对易关系只有一套,即
一次量子化的对象是系统的正则坐标( i x t ,若系统是(非全同的n粒子系统,则1, 2, 3i n =⋅⋅⋅;而二次量子化的对象是一个复标量场(, x t ψ,如果把
(, x t ψ和(*
, x t ψ
看成独立的广义坐标,则其中的x与前者的i相当,由于x可取
连续的不可数无穷多个值,这是一个无穷多自由度的系统。
((, , S
x t x t ψ
ψ→ ((* , , S x t x t ψψ→
而它们仍满足原来的薛定谔方程,即(36.20式。(2赋予这些算符以同时对易关系式:
高等量子力学理论方法-二次量子化
一、一次量子化的薛定谔方程
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t N 常有 1 N H T ( xk ) V ( xk , xl ) 2 k l 1 k 1
这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标， T是动能，V是粒子间的相互作用势能。
用单粒子定态波函数的完备集合或完备基展开多粒子波 函数(理论上是严格的)：
( x1...xN , t )
' ' E1 ... EN
C(E ...E
' 1
' N
, t) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms)
二、二次量子化方法
多粒子希尔伯特空间 n1n2 n 1. 抽象不含时态矢 ' ' ' n n n 正交性 1 2 n1 n2 n n n n n n n 完备性 n1n2 n n1n2 n 1 nk 0,1, 2,,
二次量子化基本思想
多体量子体系的理论处理
多体波函数 ( x1...xN , t ) 包含了所有信息，但直接求解薛 定谔方程很困难。常需依赖于： 1. 二次量子化。用二次量子化算符体现全同粒子的统 计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描 述全同粒子的统计方便。 2. 量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只 关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态 能量和寿命等物理信息，可用Feynman-Dyson微 扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。
1 ˆ H bi i T j b j bib j ij V kl bl bk 2 ijkl ij
算符的二次量子化形式
14
在这个特定的对角表示中
V 1 4
CCC C CCC C
1
2
CCCC .
R
R1 CC . (40)
它的优点是无需涉及虚拟的粒子下标, 也不依赖于粒子数.
4
下面证明(39)、(40)之间的等价性, 这 可通过它们对于任意一对n-体态矢具 有相同矩阵元而得证:
5
首先, 我们证明(40)对于基矢的变换不变, 比 如考虑另一基矢表示的相似的算符为
§5.4 算符的二次量子化形式
对于玻色子和费米子来说, 用产生算符、 湮灭算符表示动力学变量的形式在本质 上是相同的, 这里采用费米子来引入这 一形式, 因为它的反对易关系需要更加 注意 +、 号.
1
n个全同粒子系统的力学量有几种类型, 一种可以写成n个单体力学量Ri 之和, 如:
n
动量 Pi i 1
(43)
, ( , )*, , , .
10
根据反对称态矢 2 .
表示的矩阵元为:
x1, x2 , , .
11
又(42)式可表示为
V 1
2
, CCC C
1
2
, CCC C
1
2
( , )CCC C
(42)式
哑元
C C C C 0.
12
V 1
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( , , )CCC C
二次量子化哈密顿对角化
二次量子化哈密顿对角化二次量子化哈密顿对角化是一个用于研究量子波函数的理论框架，它的主要目的是对于能量本征值的计算和相关的振荡频率进行预测。
该理论基于量子场论和量子力学，给出了对于粒子运动和量子态的描述。
接下来，我们将详细地介绍二次量子化哈密顿对角化的步骤。
步骤一：哈密顿量的写法二次量子化哈密顿对角化的第一步是确定哈密顿量的写法。
哈密顿量可以写成产生算符和湮灭算符的二次型表达式的和，即H = ∑[H(nm) * a^+n * an + 1/2 ∑(H(mnpq) * a^+m * a^+n * an * am)]其中，a^+n是产生算符，an是湮灭算符，H(nm)表示每个模式的单粒子哈密顿量，H(mnpq)是相互作用哈密顿量。
步骤二：对角化哈密顿量二次量子化哈密顿对角化的第二步是对角化哈密顿量。
对角化是一个数学技巧，它可以将哈密顿量化为一组基矢的形式，其中每个基矢对应着一个不同的能量本征态。
具体来说，我们可以使用一组相互作用的自由粒子基矢来对角化哈密顿量。
这些基矢可以表示为产生算符和湮灭算符的乘积形式，它们被称为“准粒子”自由态。
步骤三：简化哈密顿量二次量子化哈密顿对角化的第三步是简化哈密顿量。
简化可以通过将哈密顿量化为自由基矢的形式来实现。
自由基矢是由相同的粒子数的自由粒子基矢组成的非相互作用态。
对于简化后的哈密顿量，它由两部分组成：一个单粒子部分和一个相互作用部分。
步骤四：计算有效汇流二次量子化哈密顿对角化的第四步是计算有效汇流。
有效汇流指的是关于基矢分量的一阶和二阶修正。
为了使求解有效汇流问题更加简单，我们可以引入“费曼图”技术来帮助求解。
费曼图技术是一种计算有效汇流的图像方法。
步骤五：解决动量不守恒的问题二次量子化哈密顿对角化的最后一步是解决动量不守恒的问题。
动量不守恒的问题是由于许多物理现象（如相互作用）导致的。
为了解决这个问题，我们可以引入一个称为Lamb-Dicke附加项的项。
该项允许动量不守恒，同时仍然保持哈密顿量的对角形式。
多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
（
C(E1'...EN' , t) E1'...EN' ）
E1' ...EN'
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms) 全同性的充分+必要条件： C( Ei Ej ,t) C( Ej Ei ,t)
充分性可通过代入得到证明；
必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。
态矢的全同对称性由完备基矢上的展开系数体现
N V
2
d 3xd 3 x ' e xx' x x'
1 2
e2
N V
2
d 3x d 3z ez z
1 e2 N 2 4 2 V 2
N
Helb e2
i 1
d 3x n(x)e xri x ri
N
e2
N
d 3 x e xri
i1 V
x ri
N
e2
N
d 3.z ez
多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
背景:多体波函数原则上包含了所有信息, 但直接求解薛定谔方程很困难:
i
t
(
x1...xN
,
t
)
H
(
x1...xN
,
t
)
N
H [T (xk ) Vext (xk )] V (x1, x2 ,..., xN ) k 1
由于粒子间相互作用势V(x1,…,xN)的存在, Ψ不能分离变量(平均场近似?)
一、一次量子化的薛定谔方程
i
t
(
x1...xN
,
t
)
H
(
x1...xN
,
t
)
第五章 多粒子问题--二次量子化
ˆ, b ˆ ] 1 由量子化 Possiom 括号知[x,p]= ib ，可以证明 [b
ˆ 之逆为 ˆ 和b 和 m 分别为特征长度和特征动量， b m
ˆ= x
ˆ + b ˆ) (b 2 m mb ˆ ˆ ( b - b )i 2
(5.2 c1 )
（5.1d） 故 Pij
ˆ ˆ x HP H ij x
（5.1e） 可得：
ˆ H-H p ˆ ）x(…t)=0 （p ij ij ˆ H-H p ˆ ）=[ p ˆ ，H]=0 （ p ij ij ij
（5.1f）
ˆ 与 H 对易，另外，将 p ˆ 作用于 Schrodinger 方程，可得： 可见 p ij ij
即 n1 = n 2 = n 3 =1 体系的波函数项
N! 3! 6 3 2 若 N=3， n1 =2， = n j ! 1 !
系 项 数
n2
=1
，
n3
=0
体
3! 3 2 3 n j ! 2
，
210
1 3
[1 q1 1 q 2 2 q3 1 q1 1 q3 2 q 2 1 q3 1 q 2 2 q1
n
j
N
j
N，
因 Bose 子的波函数具有对称性，整个体系的波函数可表示为
n n
1, 2 , L n N
(q1 , q 2 , L q N )
n j !
p n1 q1 L n j q j L nN q N N! p 14442444 31444 424443 nj n1
1 x ， 2 x 描述且两者在空间不交迭，在 V ( x1， x2 ) 相同的条件下
二次量子化
进一步地，我们可以证明，式 (1.19) 和 (1.20) 的量子化条件也可以等价地由产 生、湮灭算符的等时对易子给出： s=0 系统：
† [a⃗ (t)] = δ⃗ k (t) , a⃗ k⃗ k′ k′ † [b⃗ (t)] = δ⃗ k (t) , b⃗ k⃗ k′ k′
s=0 厄米系统：
† [a⃗ (t)] = δ⃗ k (t) , a⃗ k⃗ k′ k′
1
第一章
二次量子化
式 (1.4) 和 (1.5) 说明： { ϕ(⃗ r, t) , π † (⃗ r, t) , ϕ† (⃗ r, t) , π (⃗ r , t) ↑ Fouriré 变换 { q⃗ k (t) , ↓
† p⃗ (t) k
}
(1.6) } , p−⃗ k (t)
,
† q− (t) ⃗ k
*
i i [ϕ , π ] + [π † , ϕ† ] = 0 ω ω
这里，我们只给出非 0 的等时对易子。
5
第一章
二次量子化
√ [ ] −i⃗ k·⃗ r i⃗ k′ ·⃗ r′ e e i † i ωω ′ † 3 3 ′ † ′ ′ √ [a⃗ (t)] = d⃗ rd ⃗ r √ ϕ(⃗ r, t) + π (⃗ r, t) , ϕ (⃗ r , t) − ′ π (⃗ r , t) k (t) , a⃗ k′ ω ω Ω Ω 2 Ω √ ( ) ∫ −i⃗ k·⃗ r i⃗ k′ ·⃗ r′ e ωω ′ 1 e 1 3 3 ′ √ = d⃗ rd ⃗ r √ δ (⃗ r −⃗ r′ ) + ′ 2 ω ω Ω Ω Ω √ ( )∫ 1 1 ωω ′ 1 ⃗ ⃗′ r = + d3 ⃗ r e−i(k−k )·⃗ ′ 2 ω ω Ω Ω = δ⃗ k⃗ k′ ϕ −→ ϕ† 在上面的证明式中作替换： , a −→ b π −→ π † ∫
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场的拉氏和哈密顿形式
2211.(,,)t t t t S Ldt dt dx ζψψψ==∇⎰⎰⎰
.
0,((,)(,)0)t t S x t x t δδψδψ===
21t t S dt dx ζ=⎰⎰ 3131()()()i i i
i i i
x x t x x ζζζψδζδψδψδψψψζζζδψδψδψψψψ∙∙=∙=∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∑∑
2131()()0
t t i i i S dt dx t x x ζζζδψψψψ∙=⎡⎤∂∂∂∂∂⎢⎥=--⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎢⎥∂⎣⎦=∑⎰⎰
31()0()i i i
t x x ζζζψψψ∙=∂∂∂∂∂--=∂∂∂∂∂∂∂∑
广义动量
(,)x t ξ
πψ∙∂=∂
哈密顿密度
(,,)x t ξππψζ
∙=-
总哈密顿量 H dx ξ
=⎰
系统的动力学方程 31()()
i i i x x ξ
ψπ
ξξπψψ∙
∙∙=∂=∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∑
薛定谔波场量子化
2
2(,)(,)(,)(,)2x t V x t x t i x t u ηψψηψ∙∙
-∇+=
2
22V i u ηψψηψ∙***
-∇+=-
拉式密度
2222,,0,()
2()2i i i i
i V u V i V i x u x x u x ηζηψψψψψψζ
ζψηψψψ
ψζ
ζηψψ
ψζ
ηψζηψψψ***∙***∙***=-
∇⋅∇-∂∂=-=-∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂∂∂∂∂
2
2(,)(,)(,)(,)02i x t x t V x t x t u ηηψψψ∙∙+∇-=
2
202V i u ηψψηψ∙***∇--=
薛定谔波场的量子化
,,,,(,),(,)0(,),(,)0(,),(,)()x t x t x t x t x t x t i x x ψψψππψπηδ∧∧∧∧∧∧⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
,,,,(,),(,)0(,),(,)0(,),(,)()x t x t x t x t x t x t x x ψψψψψψδ∧∧∧∧++∧∧+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
总的哈密顿量也变成了算符，
22()2()H dx V u dx H x ηψψψψ
∧∧+∧∧+=-
∇+=⎰⎰ 粒子数表象
(,)()()
(,)()()
a a a
a a a x t
b t x x t b t x ψϕψϕ∧∧∧∧++*==∑∑
()()ik x a k x x ϕϕ-==
()(,)()()(,)()a a a a x x t dx b t x x t dx b t ϕ
ψϕψ∧∧∧∧*
++
==⎰⎰
对易关系
(),()0(),()0(),()a a a b t b t b t b t b t b t βββαβδ∧∧∧∧++∧∧+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
量子化波场的哈密顿算符公式
2222()2()()()2a H dx V u b b dx x V x u βαβαβ
ηψψηϕϕ∧∧+∧∧*=-
∇+=-
∇+⎰∑⎰
12,,,,()0n a n n n b ααα∧Φ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏
二次量子化中的力学量
概率密度和粒子数密度
,,()()()()()()x x x dx x x x x ρψψψδψ**==-⎰
,,()()()()()()x x x dx x x x x ρψψψδψ∧∧∧∧∧++==-⎰
()()a x b b x βαβαβρρ∧∧∧+
=∑
,,,()()()()()()a a x dx x x x x x x αβββρϕδϕϕϕ**
≡-=⎰ 总概率
()a n x dx b b βαρ∧∧∧∧+
==∑⎰
动力学方程
1(),F F t H t i η
∧∧∧∂⎢⎥=⎢⎥∂⎣⎦ (,)1(,),()x t x t H t t i ψψη∧∧∧∂⎢⎥=⎢⎥∂⎣⎦ 22()()()()
()=(,)2H t dx t H x t H x V x t u
ψψη∧∧∧+=-
∇+⎰其中（） ,,,,,,,,(,),(,)()(,)()()(,)i dx x t x t H x x t t dx x x H x x t ψηψψψδψ∧
∧∧∧+∧∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦=-⎰⎰ 场算符海森堡动力学方程
二次量子化中的力学量是通过场算符来构造的，如果一次量子化中采用薛定谔绘景，那么二次量子化采用海森堡绘景
()(,)i H x x t t ψηψ∧
∧∂=∂ 场算符运动方程
(,)1(,),x t i x t H t i ψηψη∧
∧∧∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦
量子场的哈密顿算符
,()(,)()(,)H t dx x t H x x t ψψ+∧∧∧
=⎰ ,,,,,,(,)(,),(,)()(,)()()(,)x t i dx x t x t H x x t t dx x x H x x t ψηψψψδψ∧+∧∧∧∧⎡⎤∂=⎢⎥∂⎣
⎦=-⎰⎰方程最终可以化简为
(,)
()(,)x t i H x x t t ψηψ∧
∧∂=∂。