河南省卫辉市第一中学2012届高三4月月考试题(数学文)

河南省卫辉市第一中学2012届高三4月月考试题（数学文）本试卷分第I 卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。

共24题。

本试卷共150分，考试时间120分钟．一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合A ={}5,3,1，集合B ={}b a ,,2，若U B A B A == ，φ，则b a +的值是A ．10B ．9C ．8D ．72．已知复数z 的共轭复数z 的实部为－1，虚部为－2，且bi a zi +=（R b a ∈,），则a +b = A ．－4B ．－3C ．－1D ．13．幂函数y = f （x ）的图像经过点)21,4(，则f （41）的值为 A ．4 B ．3C．2D ．14．平面向量a 与b 之间的夹角为3π，a =（2,0），｜b ｜=1，则｜b a 2+｜= A ．3 Ｂ．32C ．4D ．125．已知数列{}n a 为等比数列，n s 是它的前n 项和。

若1322a a a =∙,且4a 与72a 的等差中项为45，则=5s A ．35 B ．33 C ．31 D ．29 6．计算机执行右面的程序后，输出的结果为 A ．110 B ．90 C ．132D ．2107．下列命题中正确命题的个数是（1）命题“若0232=+-x x ，则x =1”的逆否命题为“若x ≠ 1 则0232≠+-x x ”（2）设回归直线方程∧y =1+2x 中,x 平均增加1个单位时，y 平均增加2个单位（3）若q p ∧为假命题，则q ,p 均为假命题（4）对命题p :,0R x ∈∃使得01020<++x x ，则:p ⌝,R x ∈∀均有012≥++x x ； A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．斜二测画法中，边长为a 的正方形的直观图的面积为A ．2aB ．222a C ．221a D ．242a 9．过（2, 2）点且与曲线022222=--++y x y x 相交所得弦长为32的直线方程是A ．3x －4y ＋2 = 0B ．3x －4y ＋2=0 或 x = 2C ．3 x －4y ＋2 = 0 或 y = 2D ．x = 2 或 y = 210．函数)(x f 的定义域为R ，8)1(=f ，对任意,6)(,>'∈x f R x 设F （x ）=f （x ）－6x－2，则F （x ）＞0的解集为 A ．（1，+∞） B ．（－1，1）C ．（－∞，－1）D ．（－1,+∞）11．设a , b , c 均为正数，且a a21log 2=，b b21log )21(=，c c2log )21(=，则A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c12．定义在R 上的偶函数f （x ） , R x ∈∀, 恒有f （x +23）=－f （x ） , f （－1）=1． f （0）=－2，则f （1） + f （2） + f （3） + … + f （2012） = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2第Ⅱ卷（ 90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13． 从2008名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为 ．14．设246,0()2 4 0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩若存在互异的三个实数123,,,x x x 使123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是 ．15． 若=-⎩⎨⎧>≤-=)]2([,)0(log )0(|1|)(3f f x xx x x f 则 。

16径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为三、解答题（共6个小题，共70分）17． ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,1)m =-，(cos cos ,sin sin n B C B C = ，且m n ⊥ ．（1）求A 的大小；（2）现在给出下列三个条件：①1a =；②21)0c b -+=；③45B = ，试从中选择两个条件以确定ABC ∆，求出所确定的ABC ∆的面积．（注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分）．18．设函数a x x xax x f 若),1(1)(--+=是从1，2，3三个数中任取一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求b x f >)(恒成立的概率。

19． 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM //平面APC ；（2）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积． 20．设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2） ，N,1）两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。

21．已知函数x b x x b a x f )3(21)3ln()93()(2-++++-=．（参考：31))3(ln(/+=+x x ） （1）当0>a 且0)1('1=≠f a ，，时，试用含a 的式子表示b ，并讨论)(x f 的单调区间；（2）若)('x f 有零点,61)3('≤f ，且对函数定义域内一切满足|x |≥2的实数x 有)('x f ≥0． ①求)(x f 的表达式；②当)2,3(-∈x 时，求函数)(x f y =的图象与函数)('x f y =的图象的交点坐标．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π．⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．方案二:选择①③，可确定ABC ∆， 因为30,1,45,105A a B C ====又sin105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60=+=+=由正弦定理sin 1sin105sin sin 30a C c A ⋅===10分所以11sin 122ABC S ac B ∆==⋅=……………12分 （注意;选择②③不能确定三角形）19. 解：（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD//AP ， 又∴MD ⊄平面ABC ∴DM//平面APC ……………3分（Ⅱ）∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点。

∴MD ⊥PB又由（Ⅰ）∴知MD//AP ， ∴AP ⊥PB 又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC ， ∴AP ⊥BC ， 又∵AC ⊥BC∴BC ⊥平面APC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC ……………8分 （Ⅲ）∵AB=20∴MB=10 ∴PB=10 又BC=4，.2128416100==-=PC∴.2122124414121=⨯⨯=⋅==∆∆BC PC S S PBC BDC 又MD .351020212122=-==AP∴V D-BCM =V M-BCD =710352123131=⨯⨯=⋅∆DM S BDC ………………12分22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840km -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318mm r m k ===-++,r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为或(满足OA OB ⊥ ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥ .因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,||AB =====,综上, |AB |||AB ≤≤即: ||AB ∈22.解：解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB=mn=AE×AC ，即AB AEACAD =.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB所以C ，B ，D ，E 四点共圆． （Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12. 故 AD=2，AB=12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ， D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 21(12-2)=5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52（24）（本小题满分10分） 解： （Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥． 由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ) 由()0f x ≤得30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x aa a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-,由题设可得2a-= 1-，故2a=。