求值域的方法,带例题

1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a y y 4|2≥}；当a<0时，值域为{a

y y 4|2

≤}. 练习1．求下列函数的值域

① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②

x x

f -

+

=42)

(

③1

+=

x x

y

2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。

3．有解判别法：

有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例1．求函数y=1

1

22+++-x x x x 值域

解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题∆≥0，

即0)14(-)1(22≥+y-y ,

解得331

≤≤y 且 y ≠1.

综上：值域{y|33

1

≤≤y }.

例2．求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）

解：把已知函数化为(2)(3)36

1(2)(3)33

x x x y x x x x ---===-

-+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠

∵ x=2时 51-=y ∴ 5

1

-≠y

∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5

1

-}

练习3（1）31

(1)2

x y x x +=≤- （2）22

1x x y x x -=-+

4．二次函数在给定区间上的值域。

例3． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142

∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 注：对于二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f ,

⑴若定义域为R 时，

①当a>0时，则当a

b x 2-=时，其最小值

a

b a

c y 442min

-=

； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值a

b a

c y 442

max -=.

⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴a

b x 2-=是否属于区间[a,b].

①若2b a -

∈[a,b],则()2b

f a

-是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.

②若2b

a

-

∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

5．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例4：求函数

2)(2++-=x x x f 的值域。

练习4；设函数4

1

)(2-+=x x x f ，

（1）若定义域为[0，3]，求)(x f 的值域； （2）若定义域为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]

1

,1[-

，求a 的值.

故函数y 的值域为｛y ∣y ≠1,y ∈R ｝。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 7．换元法（化繁为简，化难为易） 例6．求函数x x y -+=142的值域 解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t 代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++ 开口向下，对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时，max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 8．分段函数

例7．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解：将函数化为分段函数形式：21(2)3(12)21(1)

x x y x x x ⎧-≥⎪

=-≤<⎨⎪

-+<-⎩，画出它

的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.