求值域的方法,带例题
函数值域的求法及例题

函数值域的求法在函数概念的三要素中,定义域和对应法则是最基本的,值域是由定义域和对应法则所确定,因此,研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约,以下试举例说明常用方法.[例1]:求下列函数的值域 (1)y =1-2x (x ∈R ) (2)y =|x |-1 x ∈{-2,-1,0,1,2} (3)y =x 2+4x +3 (-3≤x ≤1) (4)y =|x +1|-|x -2|(5)y =2x -3+134-x(6)y =2224)1(5+++x x x(7)y =521+-x x(8)y =1223222++--x x x x(9)y =3-2x -x 2x ∈[-3,1](10)y =21322+-x x分析:求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域,即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域.对于(7)可将其分离出一个常数,即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析,即利用“判别式”法求得其值域.对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域.解:(1)y ∈R(2)y ∈{1,0,-1}(3)画出y =x 2+4x +3(-3≤x ≤1)的图象,如图所示,当x ∈[-3,1]时,得y ∈[-1,8](4)对于y =|x +1|-|x -2|的理解,从几何意义入手,即利用绝对值的几何意义可知,|x +1|表示在数轴上表示x 的点到点-1的距离,|x -2|表示在数轴上表示x 的点到点2的距离,在数轴上任取三个点x A ≤-1,-1<x B <2,x C ≥c ,如图所示,可以看出|x A +1|-|x A -2|=-3-3<|x B +1|-|x B -2|<3,|x C +1|-|x C -2|=3,由此可知,对于任意实数x ,都有-3≤|x +1|-|x -2|≤3所以函数y =|x +1|-|x -2|的值域为y ∈[-3,3](5)对于没有给定自变量的函数,应先考查函数的定义域,再求其值域.∵4x -13≥0 ∴x ∈[413,+∞)令t =134-x 则得:x =4132+t∴y =21t 2+t +27∴y =21(t +1)2+3∵x ≥413∴t ≥0根据二次函数图象可得y ∈[27,+∞)(6)∵函数定义域为x ∈R 由原函数可化得:y =22222224)1(5)1()1(5+++=+++x x x x x x=2222222222)1(11)1(5)1()1(5+-+++=+++x x x x x x =111)1(5222++-+x x 令t =112+x∵x ∈R ∴t ∈(0,1] ∴y =5t 2-t +1=5(t -101)2+2019根据二次函数的图象得当t =101时y min =2019当t =1时,y max =5 ∴函数的值域为y ∈[2019,5](7)∵y =-21+5227+x∵5227+x ≠0 ∴y ≠-21∴函数y 的值域为y ∈(-∞,-21)∪(-21,+∞) (8)由y =1223222++--x x x x 得x ∈R 且可化为:(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0 ∴当y ≠21时,Δ=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0 ∴y 2+3y -4≤0 ∴-4≤y ≤1且y ≠21 又当y =21时,2(1+21)x +(21+3)=0 得:x =-67,满足条件∴函数的值域为y ∈[-4,1] (9)∵-3≤x ≤1 ∴-2≤x +1≤2∴|x +1|≤2即(x +1)2≤4∴y =3-2x -x 2=-(x +1)2+4∈[0,4] ∴函数值域为y ∈[0,4](10)由y =21322+-x x 可知,x ∈R 且yx 2+2y =3x 2-1即(3-y )x 2=2y +1若y =3时,则有0=7,这是不可能的. ∴y ≠3 得:x 2=y y -+312 ∵x 2≥0 ∴yy -+312≥0 解得:-21≤y <3 ∴函数值域为y ∈[-21,3) 评述:(1)求函数的值域是一个相当复杂的问题,它没有现成的方法可套用,要结合函数表达式的特征,以及与所学知识联系,灵活地选择恰当的方法.(2)对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域,请读者不妨试一试.(3)除以上介绍的方法求函数值域外,随着学生的继续学习,我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.二、二次函数(含参数)在区间上的值域问题 [例2]、求下列函数的值域 (1)]1,0(1222∈-++=x a ax x y(2)]1,[142+∈++=t t x x x y三、含参数的其他值域问题[例3]已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[1,+∞)(1)当a =21时,求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围.知识依托:本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析:考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法:解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式;解法二运用分类讨论思想解得.(1)解:当a =21时,f (x )=x +x21+2∵f (x )在区间[1,+∞)上为增函数,∴f (x )在区间[1,+∞)上的最小值为f (1)=27.(2)解法一:在区间[1,+∞)上,f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.设y =x 2+2x +a ,x ∈[1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a -1递增,∴当x =1时,y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时,函数f (x )>0恒成立,故a >-3.解法二:f (x )=x +xa+2,x ∈[1,+∞)当a ≥0时,函数f (x )的值恒为正;当a <0时,函数f (x )递增,故当x =1时,f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时,函数f (x )>0恒成立,故a >-3.练习一、选择题1.函数y =x 2+x1(x ≤-21)的值域是( )A.(-∞,-47]B.[-47,+∞)C.[2233,+∞)D.(-∞,-3223]2.函数y =x +x 21-的值域是( )A.(-∞,1] B.(-∞,-1]C.RD.[1,+∞)一、1.解析:∵m 1=x 2在(-∞,-21)上是减函数,m 2=x1在(-∞,-21)上是减函数, ∴y =x 2+x1在x ∈(-∞,-21)上为减函数,∴y =x 2+x1(x ≤-21)的值域为[-47,+∞).答案:B2.解析:令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∵y =212t -+t =-21 (t -1)2+1≤1∴值域为(-∞,1].。
值域_求值域的方法大全及习题加详解

求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则,求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
(★★)例2、求函数x 3y -=的值域。
(★★) 答案:值域是:]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. (★★)解:}210{≤<y y(2)、配方法:二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意)(x f 的X 围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
(★★)例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
(★★★) 解:将函数配方得:4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
(★★★★)(配方法、换元法)解:………所以当41=x 时,y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2,+∞)。
例4、设02x ≤≤,求函数1()4321xx f x +=-+的值域.解:12()4321(23)8xx x f x +=-+=--,02x ∵≤≤,24x 1∴≤≤.∴当23x =时,函数取得最小值8-;当21x =时,函数取得最大值4-,∴函数的值域为[84]--,. 评注:配方法往往需结合函数图象求值域. 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
数学-值域的10种求法(学生版)

函数值域1基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.;当a<0时,值域为(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为y y≥4ac−b24a.y y≤4ac−b24a.(3)y=k x(k≠0)的值域是y y≠0(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.2函数值域的求解方法方法归纳观察法根据最基本函数值域(如x2≥0,a x>0及函数的图像、性质、简单的计算、推理,凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.方法归纳配方法对于形如y=ax2+bx+c a≠0的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点,结合二次函数的定义城求出函数的值域.方法归纳图像法(数形结合)根据所给数学式子的特征,构造合适的几何模型.方法归纳基本不等式法注意使用基本不等式的条件,即一正、二定、三相等.方法归纳换元法(代数换元与三角换元)分为三角换元法与代数换元法,对于形y=ax+b+cx+d的值城,可通过换元将原函数转化为二次型函数.方法归纳分离常数法对某些齐次分式型的函数进行常数化处理,使函数解析式简化内便于分析.方法归纳判别式法把函数解析式化为关于x的-元二次方程,利用一元二次方程的判别式求值域,一般地,形如y=Ax+博观而约取 厚积而薄发B ,ax 2+bx +c 或y =ax 2+bx +cd x 2+ex +f的函数值域问题可运用判别式法(注意x 的取值范围必须为实数集R ).方法归纳单调性法先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性,再求出值域.对于形如y =ax +b +cx +d 或y =ax +b +cx +d 的函数,当ac >0时可利用单调性法.方法归纳有界性法充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程,故又常称此为反解有界性法.方法归纳导数法先利用导数求出函数的极大值和极小值,再确定最大(小)值,从而求出函数的值域.1.例题精讲题型一:观察法1函数y =1x +1-1的值域是( )A.-∞,-1B.+1,+∞C.-∞,-1 ∪-1,+∞D.-∞,+∞2下列函数中,值域为0,+∞ 的是( )A.y =x 2B.y =2xC.y =2xD.y =log 2x3下列函数中,函数值域为(0,+∞)的是( )A.y =(x +1)2,x ∈(0,+∞) B.y =log 2x ,x ∈(1,+∞)C.y =2x -1D.y =2x -1题型二:配方法1函数的y =-x 2-6x -5值域为()A.0,+∞B.0,2C.2,+∞D.2,+∞2函数y =f x 的图象是如图所示的折线段OAB ,其中A 1,2 ,B 3,0 ,函数g x =x ⋅f x ,那么函数g x 的值域为()Ox y 213ABA.0,2B.0,94C.0,32D.0,43已知正实数a ,b ,c 满足2a +b =1,abc +1=2c ,则c 的最大值为()A.12B.23C.815D.2题型三:图像法(数形结合)数形结合:即作出函数的图像,通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域,以下函数常会考虑进行数形结合(1)分段函数:尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域,但对于一些便于作图的分段函数,数形结合也可很方便的计算值域。
高中函数值域的经典例题12种求法

一.观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。
解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√知域为. 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。
本题质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
练习:求函数y=[x](0≤x≤5{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=( y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案:函或y>1})三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值x2+x+2)的值域。
点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习:求函数y=案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(<x≤10/3当y=2时,方程(*)无解。
求值域的方法大全及习题

求值域的方法大全及习题求值域方法常用求值域方法(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x=∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.(2)、配方法:二次函数或可转化为形如cx bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意)(x f 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log222222-+=++=x x x y 。
(配方法、换元法) 例4、设02x ≤≤,求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域.例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
(配方法、换元法)例6、求函数xx y 422+--=的值域。
(配方法)1、求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]x xy x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈,求函数12()4325x xf x -=-⋅+的值域. 6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
(3)、换元法:(三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向,这就是换元法.在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域. 例1、求()f x x =【同步练习3】求函数xx y 21--=的值域。
求值域的方法大全及习题

求值域方法常用求值域方法(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.(2)、配方法:二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意)(x f 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
(配方法、换元法)例4、设02x ≤≤,求函数1()4321x x f x +=-+g的值域.例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
(配方法、换元法)例6、求函数x x y 422+--=的值域。
(配方法) 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈,求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
(3)、换元法:(三角换元法)有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向,这就是换元法.在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的十三种方法
一、观察法(☆
)二、配方法(☆)
三、分离常数法(☆)
四、反函数法(☆)
五、判别式法(☆)
六、换元法(☆☆☆)
七、函数有界性
八、函数单调性法(☆)九、图像法(数型结合法)(☆)十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y
f x 的取值范围。
【例1】求函数1y
x 的值域。
【解析】∵0x ,∴
11x ,∴函数1y x 的值域为[1,)。
【例2】求函数x 1
y
的值域。
【解析】∵0x
∴0x 1显然函数的值域是:),0()0,(【例3】已知函数
112x y ,2,1,0,1x ,求函数的值域。
【解析】因为2,1,0,1x ,而331f f ,02
0f f ,11f 所以:3,0,1y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ,则函数的值域为
1|y y 。
二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c 的函数的值域问题,均可使用配方法。
【例1】求函数225,[1,2]y x x x 的值域。
【解析】将函数配方得:∵
由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,
故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。
值域的解法及例题

一、配方法适用类型:二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.【例1】求函数的值域.解:为便于计算不妨: 配方得: ,利用二次函数的相关知识得,从而得出: .【例2】已知函数y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0),求函数y的最小值.解析:y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2.令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2.∵t≥2,∴f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定义域为[2,+∞).∵抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,∴当a≤2且a≠0时,ymin=f(2)=2(a-1)2;当a>2时,ymin=f(a)=a2-2.练习○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.○2 当1≤x≤1000时,求y=(lgx)2-2lgx+3值域.二、换元法【例3】求函数的值域.适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换).解析:由于题中含有不便于计算,但如果令:注意从而得:变形得即:【例4】设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是______.解:∵a,b∈R,a2+2b2=6,∴令a=6cosα,2b=6sinα,α∈R.∴a+b=6cosα+3sinα=3sin(α+φ).∴a+b的最小值是-3;故填-3.练习○3 已知是圆上的点,试求的值域.三、反函数法(变量分类法)【例5】求函数的值域.解:原式中x∈R,将原式化为由○1解出x,得;(也可由直接得到)因此函数值域是(-1,1)四、不等式法利用不等式法求解函数最值,主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常常使用的基本不等式有以下几种:a2+b2≥2ab(a,b为实数);a+b2≥ab(a≥0,b≥0);ab≤a+b22≤a2+b22(a,b为实数).【例6】设x,y,z为正实数,x-2y+3z=0,则的最小值为________.解析:因为x-2y+3z=0,所以y=x+3z2,因此y2xz=x2+9z2+6xz4xz.又x,z为正实数,所以由基本不等式,得y2xz≥6xz+6xz4xz=3,当且仅当x=3z时取“=”.故y2xz的最小值为3五、数形结合法【例7】适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.六、判别式法把函数转化为x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得函数的最值.判别式法多用于求形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f(a,d不同时为0)的分式函数的最值.【例9】求函数y=x2-3x+4x2+3x+4的最大值和最小值.解析:∵x2+3x+4=0的判别式Δ1=32-4×1×4=-7<0,∴x2+3x+4>0对一切x∈R均成立.∴函数的定义域为R.∴函数表达式可化为(y-1)x2+(3y+3)x+4y-4=0.当y=1时,x=0;当y≠1时,由x∈R,上面的一元二次方程必须有实根,∴Δ=(3y+3)2-4(y-1)(4y-4)≥0,解得17≤y≤7(y≠1).综上得ymax=7,ymin=17.七、函数单调性法【例10】设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12,则a=________. 解析:∵a>1,∴函数f(x)=logax在区间[a,2a]上是增函数,∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a,logaa=1.又∵它们的差为12,∴loga2=12,a=4.八、导数法【例11】函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是________.解析:因为f′(x)=3x2-3,所以令f′(x)=0,得x=-1(舍正).又f(-3)=-17,f(-1)=3,f(0)=1,比较得,f(x)的最大值为3,最小值为-17.。
函数求值域例题

求函数值域的几种常见方法1直接法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};二次函数的定义域为R 当a>0时,值域为{y|y≥(4ac-b??)/4a};当a<0时,值域为{y|y≤(4ac-b??)/4a} 例1.求下列函数的值域①y=3x+2(-1≤x≤1) ②y=x??-2x+3 解:①∵-1≤x≤1,∴-3≤3x≤ 3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y≤5,∴值域是y∈[-1,5] ②y=x??-2x+3∵1>0,∴y(min)=(4ac-b??)/4a=[4×1×3-(-2)??]/4×1=1 即函数的值域是{y|y≥2}2.二次函数在定区间上的值域(最值):①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6] 因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函数所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12 f(x)的值域是[4,12] ②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5] 因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3 二次项系数1>0 所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是减函数,在x∈(3,5]是增函数所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7,所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12] 3观察法求y=(√x)+1的值域∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞) 4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域∵-x??-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1] ∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因为-5≤x≤-1 所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0终于得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2] 5.图像法求y=|x+3|+|x-5|的值域解:因为y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己画图像由图可知y=|x+3|+|x-5|的值域是[8,+∞) 6.利用有界性求y=3^x/(1+3^x)的值域解y=3^x/(1+3^x)两边同乘以1+3^x 所以3^x=y(1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y) 因为3^x>0 所以y/(1-y)>0 解得0<y<1值域为(0,1)7判别式法求y=1/(2x??-3x+1)解∵2x??-3x+1≠0∴函数的定义域是{x|x∈R,且x≠1, x≠1/2}将函数变形可得2yx??-3yx+y-1=0当y≠0时,上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y??-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0当y=0时,方程无解,所以=0不是原函数的值所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞) 8换元法求y=2x-√(x-1)的值域解令t=√(x-1)显然t≥0以x=t??+1所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8 因为t≥0所以y=2x-√(x-1)的值域是[15/8,+∞)。
高中函数值域的经典例题 12种求法

一.观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。
解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的知域为.点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想,是数练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
求值域的方法,带例题

F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1.直接观察法:利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,当a>0时,值域为{a b ac y y 44|2-≥};当a<0时,值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1.求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法:分离常数法在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3.有解判别法:有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1.求函数y=1122+++-x x x x 值域解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0;若y ≠1,由题∆≥0, 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上:值域{y|331≤≤y }.例2.求函数66522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢?)解:把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3(1)31(1)2x y x x +=≤- (2)221x xy x x -=-+4.二次函数在给定区间上的值域。
函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法(精选例题)函数值域的求法1.观察法1) 求函数 $y_1=\dfrac{1}{x^2+1}$ 的值域为 $(0,1]$。
2) 求函数 $y_1=2-x$ 的值域为 $(-\infty,2]$。
2.配方法1) 求函数 $y=x^2-2x+5$,其中 $x\in[-1,2]$ 的值域为$[4,8]$。
2) 求函数 $y=-x^2-6x-5$ 的值域为 $[-\dfrac{23}{4},2]$。
3) 已知 $x,y$ 是关于 $m$ 的方程 $m^2-2am+a+6=0$ 的根,则 $(x-1)^2+(y-1)^2$ 的最小值为 $-\dfrac{12}{4}$。
3.换元法1) 求函数 $y=2x+1+\dfrac{1}{x-1}$ 的值域为 $[3,+\infty)$。
2) 求函数 $y=\dfrac{x+2}{x+3}$ 的值域为 $[1,2)$。
3) 求函数 $y=x^3-x$ 的值域为 $[0,+\infty)$。
4) 求函数 $y=x+1-x$ 的值域为 $(-\infty,+\infty)$。
5) 求函数 $y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$ 的值域为$[0,1]$。
4.分离常数法1) 求函数 $y=\dfrac{x-1}{x+2}$,其中 $x\geq -4$,的值域为 $(-\infty,1]\cup[\dfrac{5}{2},+\infty)$。
2) 求函数 $y=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$ 的值域为 $[-\dfrac{1}{3},1]$。
5.判别式法1) 求函数 $y=\dfrac{2x^2-x+2}{x^2+x+1}$ 的值域为$[1,5]$。
2) 求函数 $y=\dfrac{2x^2+4x-7}{x^2+2x-9}$ 的值域为 $[-\dfrac{9}{32},2)$。
3) 已知函数$f(x)=\dfrac{x+a}{x^2+1}$ 的值域为$[1,3]$,求实数 $a,b$ 的值,其中 $a=2$ 或 $a=-2$,$b=6$。
求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系,应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多,其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一,是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法,举例说如下。
一.观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。
解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的知域为.点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
函数值域的求法例题详解

函数值域的求法例题详解函数是数学中一个重要的概念,它描述了输入和输出之间的关系。
在函数中,我们常常需要求出函数的值域,即函数可能的输出值的集合。
本文将通过一些例题来详细解析函数值域的求法。
例题1:求函数值域已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2,求函数f(x)的值域。
解析:要求函数的值域,首先需要确定函数的定义域,即输入值的取值范围。
对于这个例题中的函数f(x),它是一个二次函数,对于任意实数x都有定义。
因此,函数f(x)的定义域为全体实数。
接下来,我们可以通过一些方法来确定函数的值域。
常见的方法包括图像法、导数法和代数法。
图像法是通过绘制函数的图像来观察函数的值域。
对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2,我们可以绘制它的图像。
通过观察图像,我们可以发现函数的图像是一个开口向上的抛物线。
导数法是利用函数导数的性质来推导出函数的值域。
对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2,我们可以计算它的导数f'(x) = 2x - 3。
由于导数表示函数的增减性,我们可以通过求导数的零点来确定函数的极值点。
对于这个例题中的函数,它的导数f'(x)的零点为x= 3/2。
根据导数的正负性,我们可以知道当x < 3/2时,函数递增;当x > 3/2时,函数递减。
因此,函数的极值点为x = 3/2,它是这个函数的最小值点。
所以,我们可以得到函数f(x)的值域为大于等于最小值点对应的函数值。
代数法是通过分析函数的表达式来推导出函数的值域。
对于这个例题中的函数f(x) = x^2 - 3x + 2,我们可以通过完成平方的形式转化为确定函数的值域。
我们可以将函数进行平方完成,得到f(x) = (x - 3/2)^2 - 1/4。
因为平方的结果永远大于等于0,所以最小值为0。
所以,函数的值域为大于等于0的实数。
综上所述,根据图像法、导数法和代数法,我们得出函数f(x) =x^2 - 3x + 2的值域为大于等于0的实数。
高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的十三种方法一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性八、函数单调性法(☆)九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y x =+的值域。
【解析】∵0x ≥,∴11x +≥, ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数x 1y =的值域。
【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ,而()()331==-f f ,()()020==f f ,()11-=f 所以:{}3,0,1-∈y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ∈,则函数的值域为{}1|-≥y y 。
二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。
【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时, 故函数的值域是:[4,8]【变式】已知,求函数的最值。
【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。
函数的最小值为,最大值为。
图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,(1)求函数()g t(2)当∈t [-3,-2]时,求g(t)的最值。
最全函数值域的12种求法(附例题,习题)

12一.观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。
解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。
∴函数的知域为.点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})二.反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
求值域的五种方法及例题

求值域的五种方法及例题求值域的五种方法如下:1. 集合法:将函数的所有可能输出值组成一个集合。
例题:对于函数 f(x) = x^2,求其值域。
解答:可以发现,x^2 的结果只能是大于等于 0 的数,因此值域为[0, +∞)。
2. 平移法:通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。
例题:对于函数 f(x) = x^2 + 1,求其值域。
解答:函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线,平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值,因此值域为[1, +∞)。
3. 导数法:通过求函数的导数,判断其单调性,进而找到值域的最大值和最小值。
例题:对于函数 f(x) = x^3,求其值域。
解答:f'(x) = 3x^2,可以看出当 x > 0 时,f'(x) > 0,即函数是单调递增的。
当 x < 0 时,f'(x) < 0,即函数是单调递减的。
因此,最小值为负无穷,最大值为正无穷,值域为 (-∞, +∞)。
4. 逢边法:对于有界区间上的函数,将端点的函数值作为值域的边界。
例题:对于函数 f(x) = sin(x),求其在区间[0, π] 上的值域。
解答:f(0) = 0,f(π) = sin(π) = 0,在区间[0, π] 上,sin(x) 的最小值和最大值都为 0,因此值域为 [0, 0],即 {0}。
5. 图像法:通过观察函数的图像来确定其值域。
例题:对于函数f(x) = √x,求其值域。
解答:可以发现,√x 的结果只能是大于等于 0 的数,因此值域为[0, +∞)。
这些方法提供了不同的途径来求解函数的值域,根据具体情况选择合适的方法。
求函数值域的8种方法带例题

求函数值域的8种方法带例题嘿,伙计们!今天我们来聊聊一个很有趣的话题——求函数值域的8种方法。
你们知道吗,学习数学的时候,我们经常会遇到一些让我们头疼的问题,比如求一个函数的值域。
别着急,我今天就来教你们8种简单易懂的方法,让你轻松搞定这个难题。
我们来看第一种方法:观察法。
这种方法很简单,就是直接观察函数在哪些区间内取值。
比如,我们来看一个例子:求函数f(x) = x^2在区间[-1, 2]内的值域。
我们可以看到,当x = 0时,f(x) = 0;当x = 1时,f(x) = 1;当x = 2时,f(x) = 4。
所以,这个函数在这个区间内的值域是[0, 4]。
接下来,我们来看第二种方法:图像法。
这种方法需要用到一些图形工具,比如Excel或者Python的matplotlib库。
我们可以通过绘制函数的图像来直观地看到函数在哪些区间内取值。
比如,我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以在Excel中输入x和f(x)的值,然后通过“插入”->“散点图”功能绘制出函数图像。
从图像中,我们可以看出函数在[-1, 0]和[2, +\infty)内都单调递增,所以这两个区间都是函数的值域。
而在[0, 2]内,函数是先单调递减再单调递增的,所以这个区间也是函数的值域。
因此,这个函数的值域是[0, 4]。
第三种方法:分段法。
这种方法适用于那些在某个区间内单调递增或单调递减的函数。
比如,我们还是以f(x) = x^2为例。
我们可以发现,当x在[-1, 0]和[2, +\infty)内时,函数都是单调递增的;而当x在[0, 2]内时,函数是先单调递减再单调递增的。
所以,我们可以将这个问题分成两个子问题:求f(x)在区间[-1, 0]和[2, +\infty)内的值域;以及求f(x)在区间[0, 2]内的值域。
通过分段法,我们可以分别求出这两个子问题的解,然后将它们合并起来得到原问题的解。
因此,这个函数的值域是[0, 4]。
函数值域求解十法,分方法举例附练习题含参考答案

函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合,值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中,通常以选择题和填空题的形式。
一般求函数的值域时要明确两点,一是值域的概念,二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有:观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析,同时对抽象函数的值域问题进行举例分析,帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数,能够直接判断函数的单调区间或图像,可直接求值域.例1:求函数211y x=+的值域. 解:20x ≥,210x +≥,故0<y 1≤方法2.换元法:将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数,从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2:求函数y x =-.解:令t =则0,t ≥且212t t -=,故211(1)122y t =-++≤,所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式,即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3:求函数221x x y x x -=-+的值域. 解:2111y x x =--+,而22331(1)44x x x -+=-+≥,故214013x x <≤-+,所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法:求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域,常利用去分母的形式,把函数转化为一元二次方程,通过方程有实数根,判别式0∆≥求出值域.例4:求函数225851x x y x ++=+的值域. 解:由已知得2(5)850y x x y --+-=,,x R ∈得5y ≠时,2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤,而5y =时,0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法:函数图像的可以简单画出来,或者通过基本初等函数图像变换可得,则常常通过数形结合法求值域.例5:求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解:函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图:可知当12x =-时取最小值, 3x =时取最大值;故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法:形如cx d y ax b +=+的函数,经常采用分离常数法,将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6:求函数211x y x -=+的值域. 解:2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+,故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数,求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7:求函数12x y x -=+的值域. 解:反向求得211y x y+=-,故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法,中间变量一般大小范围确定.例8:求函数2241x y x +=-的值域. 解:易得241y x y +=-,而20x ≥,故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域,1sin 1x -≤≤,1cos 1x -≤≤例9:求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解:由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解:由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4,最小值为-1,则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=,那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________; 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。
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1.直接观察法:利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,
当a>0时,值域为{a y y 4|2≥};当a<0时,值域为{a
y y 4|2
≤}. 练习1.求下列函数的值域
① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②
x x
f -
+
=42)
(
③1
+=
x x
y
2.分离常数法:分离常数法在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围。
3.有解判别法:
有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例1.求函数y=1
1
22+++-x x x x 值域
解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y ≠1,由题∆≥0,
即0)14(-)1(22≥+y-y ,
解得331
≤≤y 且 y ≠1.
综上:值域{y|33
1
≤≤y }.
例2.求函数6
6
522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢?)
解:把已知函数化为(2)(3)36
1(2)(3)33
x x x y x x x x ---===-
-+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠
∵ x=2时 51-=y ∴ 5
1
-≠y
∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5
1
-}
练习3(1)31
(1)2
x y x x +=≤- (2)22
1x x y x x -=-+
4.二次函数在给定区间上的值域。
例3. 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②]4,3[,142
∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 注:对于二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f ,
⑴若定义域为R 时,
①当a>0时,则当a
b x 2-=时,其最小值
a
b a
c y 442min
-=
; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值a
b a
c y 442
max -=.
⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴a
b x 2-=是否属于区间[a,b].
①若2b a -
∈[a,b],则()2b
f a
-是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值.
②若2b
a
-
∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值.
注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
5.配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例4:求函数
2)(2++-=x x x f 的值域。
练习4;设函数4
1
)(2-+=x x x f ,
(1)若定义域为[0,3],求)(x f 的值域; (2)若定义域为]1,[+a a 时,)(x f 的值域为]
1
,1[-
,求a 的值.
故函数y 的值域为{y ∣y ≠1,y ∈R }。
这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
7.换元法(化繁为简,化难为易) 例6.求函数x x y -+=142的值域 解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t 代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++ 开口向下,对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时,max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 8.分段函数
例7.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解:将函数化为分段函数形式:21(2)3(12)21(1)
x x y x x x ⎧-≥⎪
=-≤<⎨⎪
-+<-⎩,画出它
的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.。