大学线性代数典型例题解析
江苏大学线性代数习题详解(6)
习题4.4
1.解：(1T2T3T)=
故12是L(123)的一组基，L(123)的维数为2，
该向量空间与三维空间R3不相等。
2.解：①任取 x=(x1x2…… xn)TV1
y=(y1y2…… yn)TV1
则 x1+x2+……+xn=0
y1+y2+……+yn=0
x+y=(x1+y1x2+y2……xn+yn)T
令 k11+k22+……+kn-rn-r+kn-r+1η*=0
则 kn-r+1=0，
否则 η*=(-k1/kn-r+1)1+(-k2/kn-r+1)2+……+(-kn-r/kn-r+1)n-r
Aη*=A[ (-k1/kn-r+1)1+(-k2/kn-r+1)2+……+(-kn-r/kn-r+1)n-r]
= (-k1/kn-r+1)A1+(-k2/kn-r+1)A2+……+(-kn-r/kn-r+1)An-r
=0b
又12……n-r是Ax=0的基础解系
k1=k2=……=kn-r=0
故12……n-rη*线性无关；
(2) 作线性组合
k1(1+η*)+k2(2+η*)+……+kn-r(n-r+η*)+kn-r+1η*
=c1(Au1)+c2(Au2)+……+ct(Aut)
=c1b+c2b+……+ctb
浙江财经大学线性代数习题详解1-2
浙江财经大学线性代数习题详解1-2习题解答习题1.11．试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果．解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果．（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x 表示，则有(,)x m m εε∈-+，其中m 为小包白糖的重量，ε为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．2．写出下列试验的样本空间．（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 [0 ，t ] 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标．解（1）Ω={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}；（2）Ω={0，1，2，3，……}；（3）Ω={（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1, 1,1), (1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x ，y ）,则x ，y 应满足条件221.x y +≤故此试验的样本空间为{}22(,)| 1.x y x y Ω=+≤3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．解A ={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6)} ;B ={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};C ={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)};{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B = ; ABC =?AC ={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)}; C A -={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};{(5,5)}.BC =4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：（1）呼唤次数大于2 ；（2）呼唤次数在5到10次范围内；（3）呼唤次数与8的偏差大于2 ．解 (1) 3A ；(2) 115A A -；(3) 611A A .5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件：（1）A 发生而B 不发生；（2）A 不发生但B 、C 至少有一个发生；（3）A 、B 、C 中只有一个发生；（4） A 、B 、C 中至多有一个发生；（5）A 、B 、C 中至少有两个发生；（6）A 、B 、C 不同时发生．解(1)AB ；(2)()A B C ；(3) ABC ABC A BC ； (4) AB A C BC ；(5)AB BC AC ； (6) ABC6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A 表示被选学生是女生，事件B 表示该生是大学二年级学生，事件C 表示该生是运动员．（１）叙述ABC 的意义．（2）在什么条件下ABC C =成立？（3）在什么条件下A B ?成立？解（1）该生是二年级女生，但非运动员．（2）全学院运动员都是二年级女生．（3）全系男生都在二年级 7．化简下列各事件：（1）()A B A - ；（2）()A B B - ；（3）()A B A - ；（4）()A B B - （5）()()()A B A B A A ．. 解．(1) ()A B A A -= ； (2) ()A B B AB -= ； (3) ()A B A A B -=- ； (4) ()A B B -=Φ；(5) ()()()()A B A B A B A A B AB == .习题1.21．已知事件A 、B 、A B 的概率分别为0.4，0.3，0.6．求()P AB 解由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 及题设条件得()0.40.30.60.1P AB =+-=又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-= 2．设1()()()4P A P B P C ===，()0P AB =，1()()16P AC P BC ==，求（1）A 、B 、C 中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C 都不发生的概率。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数习题册参考解答.docx
第一章行列式1、 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・・・321。
【解(1) r(1347265)=0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；(2) "〃(〃_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (〃_1) = 〃(；1)。
当〃=4奴4女+ 1时，〃(〃；1)=2机4*—1),2机4* + 1)为偶数，即为偶排列；当〃 = 412,413时，丝* = (2*+1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+ 3)为奇数,即为奇 排列。
■2、 用行列式定义计算2x x 1 21x1-1 f (X )=-- [3 2x1111%中『和r 的系数，并说明理由。
【解】由行列式定义可知：含b 有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2； 含有尸的项只能是(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,故/的系数为一1. ■2-512 --37-14 3、 求 =o45 -9 2 7 4-612【解】三角化法：2-5121-522 1-522 尸2+八1-12 0 6C[0 2-160 113D 4 =- _八3-211 1 0 3 0 113 0 2-16 r 4+r 211 0 60 1160 1161 -52 2 r3~2r 2 0 11 3r4~r 2 00 -3 00 0 31111 rk~r l0 10 0=120= 120o )l=2,3,40 0 100 0 0 1【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。
1 x 2q+C2 +•••+&n D"=(，-就1 x 2-mi=l1x21 0 0C k -X L C I 凡 q (»i) k=2,3,---,n1 —m ••- 01 0…-m【解】观察特点: 行和相等。
线性代数重要知识点及典型例题问题详解
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx
A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。
线性代数典型习题讲解
1 2 0 5
解1 首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个零，于是
从第三列着手，再变出一个零元素。
12 0 4
1 0 r3r2 1 2 D 3 1 1 0
（按第3列展开得）
1 2 0 5
12 4
12 4
D 1 (1)23 4 1
2
r3 r1
4 1
2 （再按第3列展开得）
1 2 5
0
0
1
2 1
1 0
11 11
【例】
利用逆矩阵求下列方程组的解
x2 2x3 1 x1 x2 4x3 0
2x1 x2
2
解 设所给方程组的系数矩阵为 A ，未知量矩阵为 X ，常数项矩阵
为 B ，即
0 1 2
x1
1
A
1
2
1 1
4
0
X
x2
x3
B
0
2
于是，线性方程组可以写成矩阵方程：AX B
012
因为 A 1 1 4 2 0
2 1 0
所以 A1存在，在上式 AX
B
两边同乘A1 ，得：X
A1B
12 12
下页继续……
又因为 所以
4 2 2
A
8
4
2
3 2 1
2 1 1
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A
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2
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则
X
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4
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3
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1
2
1
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2
2
即原方程组的解为：
线性代数习题及答案解析
1. 三阶行列式()100420563= 。
A. 6B. 1C. 2 答：A 。
2. n 阶行列式()00100200n=。
A.!nB. 2!- C. 1(1)!--n nn答：C 。
二、讨论题1. n 阶行列式怎样定义的？答：n 阶行列式是这样定义的：（1）位于不同行，不同列n 个元素的乘积；（2）共有!n 项，每一项确定：行标为自然数排列，列标为1,,n m m ，当列标为偶数排列时取正号，为奇数排列时取负号；（3）一般项为11(1),-n N m nm a a 即11(1)=-∑n N m nm D a a 。
2.从左上角到右下角，对角线称为什么？ 答：主对角线。
一、选择题1、将行列式转置，行列式值（ ）。
A. 变B. 不变C. 不确定 答：B 。
2、把行列式某一行的倍数加到另一行，行列式（ ）。
A. 不变B. 变C. 不确定 答：A 。
二、填空题1. 行列式123456789D =中12a 的代数余子式为 。
答 ： 12(1)(6)+--。
三、讨论题1、按第一列展开行列式的定理指的是什么？ 答：111111n n a A a A D ++=。
2.、按第一列展开行列式与第二列代数余子式乘积之和的定理指的是什么？答：1121120n n a A a A ++=。
一、选择题1、行列式100302540=（ ）。
A. 6B.（-8）C. 8答：B 。
2、行列式1000520067389104=（ ）。
A. 2!B. 3!C. 4!答：C 。
二、填空题1、行列式12345006D == 。
答：用上三角行列式24。
2、行列式127158169D =-=- 。
答：-8（其解题过程为：2131127715071588160816+==-+r r D r r ）。
三、讨论题1、用化零降阶法计算行列式111111a D a a=等于什么？答：213222301111011(1)(1)(2)1111---+--=-=-+--a a r ar a Da a a a a r r a。
微积分及线性代数典型例题解析(下)
(一 4 )又4
3 又 4+ 4 X (一 1)
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做矩阵乘法运算要注意
召
( l) 矩 阵
A
A
与
J 矩 阵 的 乘 法 运 算 既 是 重 点 也是 难 点 学 员 们
, ,
可 以 作乘 法 的 充 要 杀 倡 是
户 、 矛 . 、 了 q J
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的 代数 余子 式
一 1 一
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( 3 ) 解行 列 式 方 程
一 99 4
年第
12
期
当 代 电大 ( 经 济 版
)
微积 分 及 线 性 代数典 型例 题 解析 (下 )
中央电 大
辛家鼎
是 矩 阵 的 每 个 元 素 都乘 以 这 个 数 或 矩 阵 的
、
,
五 线 性 代数 部 分
其 中 以 第八 线性 代数 部 分共 三 章 内 容 犷
、
每 个 元 素 都 含 有公 因 子
1
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,
。.
线性代数例题讲解学习
线性代数例题[ 1]行列式例1：若1, 2, 3, 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式「231 m,, 1 2 2 3|门，四阶行列式3 2 11 2等于多少？例2：设A是n阶方阵，且A 0，则A中()(A) 必有一列元素全为零；(B) 必有两列元素成比例；(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.例3:设A 佝»3 3，A j为a j的代数余子式，且A j a j，并且0，求 A.例4:设四阶方阵A (a j)44，f (x) E A，其中E是n阶单位矩阵，求：(1) 4的系数；(2) 3的系数；(3)常数项.例5:设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，AA T E，A 0，计算A E .例6:设A，B为n阶正交矩阵，若 A B 0，证明A B是降秩矩阵.1 0 0例1:设A 10 1，证明当n 3时，恒有A n A n 2A E .0 1 0111 例2:设(1,2,3,4), (1,—, T, T)，A,计算A .2 3 4例3:设三阶方阵A , B满足关系A 1BA 6A BA，且A求B1例4:设A是三阶方阵，|A -，求(3A) 1 2A*例5：证明：若实对称矩阵A满足条件A20,则A O例6:设A E '，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，证明：(1)A2 A的充要条件是’1 ；(2)当’1时，A是不可逆矩阵.例7:已知n阶方阵A满足2A(A E) A3，求(E A)10000100 1例8:设A*，且ABA 1BA 1 3E，求B.101003081 0 0例9:设f (x)1x2 x100 典x ，A0 0 0，求f(A), f (f (A)) 0 1 0例10:设A,B是n阶方阵，且满足AB A B，证明：AB BA例11:设A 是n 阶方阵，是否存在B E ，使得AB A ，若存在B ，指出例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第 列加到第三列得C ，则满足AQ C 的可逆矩阵为0 1 00 1 00 1 0 0 1 1(A )1 0 0（B ） 1 0 1（C ） 1 0 0 （D ） 1 0 01 0 10 0 11 10 0 1例14：设A,B 是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足A 2 AB B 2 0 ,证明A和A B 都是可逆矩阵，并求它们的逆一 1例16：求n 阶行列式例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使A m 0，又B 是n 阶可逆矩 阵，证明矩阵方程AX XB 只有零解.an a 12 a 13a 21 a 22 a 例12：设Aa 31 a 32 a33a 41 a 42 a430 0 0 1 0 1 0 0PP 20 0 1 0 1 0 0 0其中A 可逆，则 B 1（）a 14 a 14 a 13 a 12 ana 24a 24 a 23 a 22 a 21，Ba 34 a 34 a 33 a 32 a 31a 44 a 44 a 43 a 42 a 411 1(A)A PR ； (B)R A P 2 ；1 1(G P 1P 2A ； (D)P 2A R .例15：设A,C 分别是m 阶和n 阶非奇异方阵, B 是m n 矩阵，证明: （1） M A B 为可逆矩阵；（2）M0 CA 1BC 1中所有元素的代数余子式的和求B 的办法，若不存在，说明理由10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1例18:( 1)设A,B是n阶方阵，且AB 0，证明：R(A) R(B) n(2)设 A 是n 阶方阵，且A2 A 2E，证明：R(2E A) R(E A) n1 2 3例19:已知Q 2 4 t ，P为三阶非零矩阵，且PQ 0,则()3 6 9(A)t 6时，P的秩必为1；(B)t 6时，P的秩必为2；(C) t 6时，P的秩必为1；(D)t 6时，P的秩必为2.例20：设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m，若AB E，证明B的列向量线性无关.例21：求n(n 2)阶方阵A的秩，其中a b bb a bAb b aA B例22：求设A,B,C,D是和n阶方阵，G ，且C DAC CA, AD CB，又行列式A 0，求证：n R(G) 2n.例23：设A是m n矩阵，B是n s矩阵，并且R(A) n,证明：R(AB) R(B)例24：设n维列向量组1, 2线性无关，向量组t可用s线性表示，表示矩阵为C，证明:(1) R( 1, 2, ，t) R(C)(2)当t s时，有s线性无关C是可逆矩阵.的转置.证明：（1）秩r（A） 2⑵若,线性相关，则秩r（A） 2（2008年数学一）例26：设AB均为2阶方阵，A*, B*分别为AB的伴随矩阵，若A 2,B 3, O A则分块矩阵B O的伴随矩阵为O*3B O*2B(A)"O (B)"O2A3AO*3A O2A（C）心O(D) *O2B3B（答案：B）（2009年数学一、例25:设,为三维列向量，矩阵A T,其中T分别是例1:设向量组例2:设向量组例3:设向量组3线性无关，证明向量组1 1也线性无关.关，则向量可由向量组例4：设向量佝&,m线性无关，讨论向量组1的线性相关性.m线性无关，向量组2, ，m线性表示.m?线性相,a n）'，A为n阶矩阵，如A m 1A m，则，A ,A2, ,A m1线性无关.例5:设A为n阶矩阵，证明R（A n） R（A n1）例6：设向量组m1（m 3）线性相关，向量组2，3? ，m线性无关，问（1）1能否由3? ，m 1线性表示？（2）m能否由1, 2，，m 1线性表示?例7：设向量组I线性无关，向量1可由它线性表示，向量2不能由它线性表示，证明I1个向量1, 2, ，l,k 1 2线性无关.例8：设向量组A {2, ，m}与向量组B { I}的秩相同，且向量组A可由向量组B线性表示，证明A与B等价.例9：设A为n阶矩阵, s是一组n维向量，满足A i i 1 i , i 2,3, ,S，并且 1 0，证明向量组s线性无关.例10：设3是线性无关的5维向量组, 3也是5维向量组,满足(i, j) 0,i, j 1,2,3。
2021年 线代大题 数二 解析
2021年线代大题数二解析一、题目分析2021年的线性代数大题数二是一个涉及线性空间、线性变换和矩阵的综合性题目。
题目内容包括线性空间的定义和性质、线性变换的定义和性质、矩阵的特征值和特征向量等内容。
在解答这道大题时，我们需要全面理解线性代数的相关概念，并灵活运用这些概念进行分析和求解。
二、线性空间的性质与定义我们来探讨线性空间的性质与定义。
线性空间是指一个集合，其中定义了加法和数量乘法运算，并满足一定的性质，例如封闭性、结合律、分配律等。
在解答题目时，我们需要明确线性空间的定义，并根据定义来判断给定的集合是否构成线性空间。
还需要深入了解线性空间的性质，例如零向量的存在唯一性、加法逆元的存在唯一性等，这些性质在后续的分析中将起到重要作用。
三、线性变换的性质与定义我们需要深入讨论线性变换的性质与定义。
线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，并满足保持加法和数量乘法运算的性质。
在解答题目时，我们需要理解线性变换的定义及其基本性质，例如线性变换的可逆性、零空间和值域的性质等。
通过对线性变换的深入理解，我们可以更好地应用线性变换的理论知识来解决实际问题。
四、矩阵的特征值和特征向量我们要讨论矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们对于描述矩阵的性质和行为起到了关键作用。
在解答题目时，我们需要掌握求解矩阵特征值和特征向量的方法，理解它们的几何和代数意义，并能够灵活运用这些知识来分析和解决与线性空间和线性变换相关的问题。
五、个人观点和总结从以上内容可以看出，2021年线代大题数二涉及的内容深度和广度都较大，需要我们在掌握线性代数基础知识的基础上，能够灵活应用这些知识来分析和解决复杂的问题。
在解答这道大题时，我深刻认识到了线性代数在数学和实际问题中的重要性，也意识到自己在理解和运用线性代数知识时还存在不足之处，需要进一步加强学习和实践。
2021年线代大题数二考察了我们对线性代数的全面理解和灵活运用能力，需要我们不断深化对线性代数概念和方法的理解，才能更好地应对这类综合性的数学问题。
大学线性代数典型例题解析
0 -10 £)=-6-1973Li-10；十1严-II—6-19 5-13 20 120 D=I-19 5-13 20 I=(-1 严20 -19I -13大学线性代数典型例题解析一•行列式计算的典型例题分析:1•利用降阶法。
计算3 5 1()2 14 5D =17 4 2-3511解邂第三列乘权-3和-5分别加到第一列、第二列■然厂按第一行展开.得再将第三列乘以6加到第一列:按第三片展开’探「I以上演算过程可知,对于任意n阶行列式D,皆町用行列贰性质变为等置的n-1阶行列式, 2•利用化三角形法计算。
a -b —c la计算D 二2b b-c-a2c 2cIff：将第二廿与弟三打都加到第一打上，帯提出公阖子(a+b+cj,得a + h + 匸口 + A + u o + /)+ cD - 2b b -c — a 2A2c 2c c-a-bI 1 I—(a h + c) 2b b^c —a 2b2c 2c c —a — Z?再将第一疔乘以(-2b)和(-2e)分别加到第二行与第三行，得1 IID = (a + fr + c)0 ^[a +b +c)= (a ^-b + c)3 =0 0 —(a + Z? + c)3.利用升阶法。
D-II=fl “y)(i+£亠n 这里设a^A(f=I 52,3,4) i±i t±］人・吗这个结论可以推广到n 阶疔列式的情兀即a,4.利用范德蒙公式。
10 0 0 011 1 1 1■4a Q \-^iZ — d ■0 0 0 -a za 2Za 2 5=0 0 -码Ja%-码0 0 A - a 3 0码zA - a 4^列代帥到第—列上條第3列急倍9.5已知1 11I0 1 1 1 0 0 1 I 0 0 0 I锂将行列式转置住知它是一个4阶范苞讓行列式-HI ：1 r i X1 11 1]4 Sx 2 -3 5 ] -3 9-27x z 49 25 1■25 125F 8-2712= (2-_r)(-3 -工)(5 -工)(-3 - 2)(5 - 2)(5 + 3) = 0(方程的解为x = 2,x = -3,x = 5)H.矩阵i vp| = i^a 用伴随矩阵法I I 1 岛】=0 I 1 = 1, Z 】2 = A 、、= A }i = 00 0 1ft m 悭方程X1 525 =00 I 0 00 =0 =0A=且|出| =#03可逆，由三儒块求逆法.宀-0鞘口2 切卑丫变耳広1 1 1 1 1 0 0 0_10 0 0 1 -1 0 厂0 1 1 1 0 1 0 0 町一牛0 1 0 0 0 1 -1 0 00 1 10 0 1 0 巾•口0 0 1 0 0 0 1 -1 _0 0 0 10 0 0 1_0 0 0 11超法(4)分块法'I I 0 Id J = - - ■-*b0 0 0 00 0 -1 0 I -I其忙0 |1 00 0_故f50 1 勺0 ©17 ;求X使XA=B F这里川二 1 -3 -2・B — 5 3 05 21\|126 0>分析；根辦矩阵乘法规则,X应为3阶方阵.若A可連，则XA-B两恻同乘T T［即可得X = BA'\箏注_:先求(5 0 I =10 0^I -3-2,10[-5 2 1 : 0 0 1>fl-3-2 ；0 1 (?| f ] -3_勺J i 0i d\0 9 2 i 1010 15i 7 5 8lo -13-9 ； 051〔0 22i 10 1/11II00 :fl -：1-2 =0 丨0、R4895110 1 5 : 7 5g010 :04lo 0-8 : -13 -100u I J西4515\848丿(I 2 3、.'.A~x- 9 10 11< —13—10—15>103(123、fl—3则x = BA~{=-530910 11—456A<26o「10-15;<7 £9Kt鯉因削執右佻因此匕別二血环是沪乩姊上狛于俯等式馳同时右乘八降二：= f可以看成-些初等矩阵Z札它储乘B,用当于对B进行碱换.Ift这輕初等斛桶A.删L即和細斷同軸列初等变礼IE A变切时出把B变为启旳=⑷(H卩1因此iii_^si4…=…/丿册"丿N10i 0円S001S24 -12317 48 4562d 71S9V 2孙 /. X = 4 5 6<7 8 9丿(51 0-3 「-2r i 9 0 - 3 0、-11{ 1 0 0 亠3 0 12-5 2 1-92ID *-3 21-80 0-8 0 8 -8 0 8-3 0_5 -35-14-3 171-2 -6 0 J1-2 -62 J1-20-6 26；( 10 0A (\0 0、胖法一；AX=2X+B. !^ij (A-21) X=B若 A-21 可迎，则X = (A~2/)-1 B. fl 0 0) f s先求(A-2I)-l .^j A _2f= 0 “ -I 为准載筲矩阵，呦只需戒匚.T ；'的逆.I 】2丿f \0 0'二（月- ■2/)-1 =0 -2 7<0 1L&：8:设卫二0 1一|10 1 4>% 「B= 1】'求X 便AX=2X-B i& 70 £ -89 （说朝：斌二阶方阵用件随陈求逆也很方熾）I I5 0(p卩'3:.X =0 -2-I1]=-411<0 11丿12 -匀13無法二：X = （A-2irB,^（A-2iy'^当于一些初等阵之积，它们右乘氐相当于对已进疗行初等变唤=丙此（A -21,8} F"苇孚臭・片人X）.f\ 0 0 3 6^<10 0 3 6、r l 0 0 30 10-410 -I -1 1 I—>0 1 1 -1 -1—>1<0122 -3；<0013 -2y<0 0 1 3:3 6> 二x = -4 1例1D设占为ri阶可逆方阵点证：①（・』尸=卜1严八②卜』厂=・犷③（屮）—卩厂鼻证：①设A = （a.t）^中®的代叢余子式为坷则卜牛卜附卜卜1）%|且・切的代数余子式为卜叮1尙于是（卜旷如~卜旷4）=卜1严屮②证法1：由定几卜川・卜沪）=（-1）小（」）才上卜1"才T 故卜川“ =-<\证法2:由公式③当A可逆时,才=|车J故（/（*）*=（|J|Z）*=|彳州•悴于=14 -p-j—tr1）-1\A\说明;这里几个等试证明中用到了以下结论：⑴片呵=昇・网(2) (k -B)-1⑶町卜『③也可有如下解法:AA^ = \A\-1设f =艮则B*B=\B\1 由AA* = \A\I t^\A\ \A•|=p|-/| = |^ v A可逆，屮|* 0. |叶|犷,即网="I j H 0而#T = A AA^ = \A\* l t：. -^A^A* = 1)HI 同冷十「冷八|旷/•向量和线性方程组附已脳产(即)角=(”1入妒®』)嘲*为Mtta［岛角職暂弱血滩牝泌泌拋联糊谓加佝脚t跆*：墟IB于翡附箭$ “+铤+竝广0抽&&只有黠脑泌曲魁无关;抑詁有丰需轨鸟卫擲I 3 2D=2 -I3◎二*于是孔] -i 日十] 1124?+8I1 -1 20盘+】011110 1-120 1 a 2占+】0 2 ・2 “5 27 j + = 0弓+ 3血=03^( + 2k2 + ak3=0 果数吁列式3 2—1 3 = -7(i? - 5)0 a-5⑴ 当D=-7(fl-5) HO时.方程#汀!有寧劣闵此当a W时.a：,他4』线性无关. ⑵ 当0=-7(<2-5>0时’方程组有非零解，因此当d =5时.4“如线性相关.设or, =k\a{+k\ a2则(3. 2, 5) = (#'3+3k\ f2k\ -k'2,3k\ ^-2k\)比+3心3B|l! ^2k\-fc'2= 2探'严2码二5a t = (1023)匚勺=(143.5)7,«3 =(l,-l,a +2>l)r t a<= (1^4,0 +8)r, 0 = (】」』+3上卩问a,b为何值时，0不能表示f&a]f a2 f a3f a4的线性组合;日，b为何虫时.0 口丁以由a n a iy a ir a4线性表示，且表示法>€—・輕：如俛6分析，上述问邇等价于0二禺％ +虬s +咫乙是否有崩即)11 1 ■\_■ 1 ■0 1-12工：1=2 3 o + 2 4d+33 5 1 a+^£5是否育第氐为供10设j1 A =11■—1 2 5 2 3 7 3 4 9 45 1110 )316=1#0,而所有包含D 的三阶子式为D* = 囲此秩A=2方法2I 12 I 23=0. I 34I I 5 2 =1 II I 7D 6 =I 2 10 1 4 16=0.兀中kr : + r 表不矩阵第i 吁乘収k 加到第j 行，因此,当b=0时丫方程组有无穷梦解，戸可以表示J&s 卫 2*的线性组合. 当廿二7上勿吋，方程魁育无穷爹隨此讨阿匕表示成色,/的线性坦今, 但表示注不唯一.天■的就 分析,一腹戒矩阵阿秩可以通过两个方法来戒’h 直接用行列式求矩埠的轶.即找出炬阵中屋高不为零子式的阶数. 2+利用初等变换來求矩阵的秩.方汇】与方注2-般根拯雄阵阶数夹定.对于做高建璋刖用初等变殃较为方怙112 5 71125 7 1 2 3 7 10 (-1) x f] +<0 11231 3 4 913i =2.3,4 0 2 246,」4 5 II 160 3 36 9I I 2I I 5I 1 7I 23=0, D 、=I 2 7 =0*Dy = 1 2 1C1 4 51 3 91 3 13聲 方法一：貞有一介二阶子式D ：D = 节＜7H-1时,0可以唯一；卫农示2b « + 6+ 10 0_1125 7(-2小5 十口 0 I 1(_3)卩 + 心0 0 0 0 0 0Alft] r(B)=2,因此 r (A) =2例5.判断务=(h 2 3), a2 =(3t2 J),勺=(kN I)是否线性相关.分析：研究向量弐％,並「…，宜般的线性相关的问題卜由定丈时知.就是考寰是否存在血个不全为零的数虬和，…，斤十便线性组劭兔&+$&+…+S出=0口/】+◎九姑因此.向量组S •’ 是否线性用关，等价于齐次线性方程组(引是否有非孚矮. 若方程红⑶有菲寧鹘.则务，线性期关.若方程经⑶只有零倒L则码j线性无关.那苗究向去间是否线性祁关同建•实质上就是硏究齐次线柱方程组⑶着没有零解问亂解法一设存在一组数昭出，灯使禺住1 +紿勺+ k i a i= 0 ■ 即^(1,2,3) +^13,23) + ^(133)= (0,0, Oh 亦即(A p. + 3& + &,2& + 2k2+ 3心,3A | + k2+ RJ = (0,0,0)・k}+3A F:+A J = 02A: +2A:+3k z= 03k -k2 +Aj =0_1 3 r系软矩忑2 2 3 =A.可以通过初等行变换求得r(A)=3. K'J此齐状线性方程鉉3 I 1■ ■只有零轉故碍住"住3统性无关.覚'r 1 h(4)如皿汕％馳表示等价刊济熾住方程姐⑷是 唯-的昶表示•若方灘（4）有无球性表示*但表乐法不唯一•若方程矩（4）无罠则 :…珂飙表示例6巳观产（MUM 厂仲厂卜加讦仏7卜1也小47卯小対1） 试務像示加i 角角和住■的唆齣含.分析:硏究某-向量雄否用向量釦角严几濾性表示糠歸有皿个救 匕岛「化使為0=&卫|祜角+"#屁虑立,N 占皿也杆叫A = Aa t J. + 偽屁 4Tor J. =h.u l孟■占"n* 皿 4眦向童滩否用向量脸崗否有麒着方脏沖）謎一亀M能妝q 穷多幣忖能用#能用©心解^P-k a也听+叭+也加即（1,2昇）詁伸山1）也（1」厂lHHMThTM—1」）£ + h + k3+£ = Iti +i, - L - k k= 2即0二一叭—a3 __g四.特征值与特征向量UJ例］.求矩阵的特征值和特征向量-1 r\ -3 4_ 4 = 2 0 1：.B =4 -7 81 -1 26 -7<-1 1(X「1 1 0\◎_2 4 -1 <2 = 0即:0 0 1X, = 0I -11 0>E 丿<< 0 0 oj <x 3©⑴fP解1 t :* A, 1 比q W)是屈F2的特证覚:ft ：4U/f-2 】-I Yx,竝于久严1；方程组好一旳X = Q 即为-2 1 -I<—1 1 —UL X 3>1刀■理=乂-31-1-】Z -*1-x-2 14-2 ZZ — = (z-2)|z- 1)1 1 01 Z 1-2 1 120 1Z — 10 1 1婆ir i -rJi 0 ©(0 -1 1 x 2 = 0 =>0 T I= 0<0 o o>\ J ><0<00 oj卫二丄的特征世为乙二久厂2,2严】*对于z ;: = 2P 方f^£(2l -AH=0, UI^J二解为1「出的持征置为2. 2. I . A的属于2的特征向量为仪I # 0),〔0丿◎I (帕RM二艺于2=1的持征向量T& 2向*切是属于-啲特征向量 I 】丿 4.1 (k 2 #0)是属于朝勺特征向董 WA 的属于1的特征向盘为& 1 (*2 *0) JJ= + "l =(A-3)(A + l)2 A 丹的特征值为右二心二一1,妇二3r■■f-23 -4\对于A, = =-l,^方程组C-I-A)X=0,^!(-Z-J)= 2 -I 0 J 7- jfo 2Ja -I <P0 -P (C0 —>10 1 lo o_2 —>0 I -2 *•!向童為=(2llj10 4一爲o y0 Ojf 2 3 -4X<2 3 -4^ 就于久严N 方程组(討「/1)X= a 3/-A =23 -40 16 -16厂6 7k 0 0 0 ；「2 o -r ((yT O 1 -1 解向量5 b 1・・/的特征值为T,-I3LO 0 0Jlb注I:求特社懐时戌难在于计算疔列式•应尽盘便中疔列式性质•理昊行(列)化成有冥 国一阴子(2的一次式人然后再计算•这样易于暹多项式区式分髀"由此化还可看出.半特花 值是重根时，不一宦有2个线性无关的特征向量.昂外，还可从解(AJ - A)X = 0中可验证 所求的特征值是否正确.(当(A1-A)X = O^有军解时，可以说明诸几不是特征值)注2：特tz 尙量是非零向量这要牢记.五.二次型L:将二次型 f = （x, J = + 2x} + 4x 占 + 2x }心 +4x 內 + 2毛屯+2兀心+2®兀表示成矩陈形式，井我该二次型的秩•勢：将二次型表示成矩阵形式X\4X H\其中A 是对帐矩阵’•且2化即为二巧阿系数（2丿）血叫即为疋的柬熱出此即得:几其秩为氛f 而该二诜A ->。
线性代数习题 1解析【哈工大版】
·1·习 题 一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列. 解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613a b b a ； (2) 32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解：(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++； (2) 111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345； (2) 010000200001000n n - .解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5．用行列式的定义证明：(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b c d； (2) 121102*********110----； (3) n x a a a x aD a a x=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a = ； (6) 1111111111111111n D -=--.解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7．证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证：222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解：121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ； (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a；(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827xx x 解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证：等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证：11n =时，1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ，其中x y ≠.证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ，依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩（1） 因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -===== . 15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。
线性代数的应用案例解析
案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩苹果 橘子 梨 人员 A 5 10 3 人员 B 4 5 5第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为 C 。
（1） 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2） 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）设该矩阵为 D ，则 D=BA ，即：5 10 3 0.10 0.15D0.15 0.204 5 50.10 0.10此结果说明， 人员 A 在商店 A 购买水果的费用为 2.30 3.05 1.65 2.102.30，人员 A 在商店 B 购买水果的费用为3.50，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为 1.65，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10。
（2）设该矩阵为E,则E=CB ，即：1000 500 5 10 3 E2000 1000 4 5 5 7000 12500 5500 14000 25000 11000此结果说明， 城镇 1苹果的购买量为 7000，城镇 1橘子的购买量为 12500，城镇 1 梨的购买 量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为 14000，城镇 2 橘子的购买量为 25000，城镇 2 梨的购买 量为 11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单 的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1 和城镇 2）；城镇 1 中有人员 A （ 1000 人）和人员B （500人）,城镇2中有人员A （2000人）和人员B （1000人）；人员A 需苹果、橘子 和梨分别 5、10和 3，而人员 B 需苹果、橘子和梨分别 4、5和 5；现不妨假设每个城镇中 都有两个商店（商店 A 和商店B ），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
商店 A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤 0.10、 0.15 和 0.10，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价 格分别为 0.15、 0.20、 0.10。