高三数学 等比数列复习课件 新人教A版
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数学：课标A必修5第2.5等比数列复习课件(新人教版A必修5)
am 2是cn 中的项即cn 1项, cn 1 4cn , 故cn 是等比数列
考点7 等比数列综合题
例7 设各项均为正数的数列 a n 和 bn 满足
a n ， b n ， a n 1 成等比数列，lg b ，lga ， n n+1 5 5 5
lgbn+1 成等差数列，且 a1=1，b1=2， a2=3，求通项 an，bn。
考点4 等比数列前n项和公式的应用
1 例4 数列 an 的前n项和为sn，且a1 =1,a n+1 = sn 3 n=1,2,3,...求：
（1）a 2 a3 a 4的值及数列的通项公式；
（2）a 2 +a 4 +a 6 +...+a2n的值。
1 数列 an 的前n项和为sn，且a1 =1,a n+1 = sn 3 n=1,2,3,...求：（1）a 2 a 3 a 4的值及数列的通项公式；
等比数列的前n项和 复习课
鹿邑三高 史琳
考点复习
1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常
a n 1 数的数列称作等比数列. q(q为不等于零的常数) an
1 2．通项公式 a n a 1q n , 推广形式: a n
a m q n m ,
q 变式： n m
an (n m,m,n N ) am
例2.已知等比数列的前三项的和为168， a2-a5=42，求a5、a7 的等比中项。
A1=96,q=1/2
G2= a5a7 =9
练习
已知等比数列中，a1+a2+a3=-3， a1a2a3=8，求an。
a
n
2
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
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课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
高考数学总复习 第5章 第3讲 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版
第二十六页，共49页。
[变式探究(tànjiū)] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求 证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1， ∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴ an ＋ 1 ＝ Sn ＋ 1 － Sn ＝ (2an ＋ 1 ＋ 1) － (2an ＋ 1) ＝ 2an ＋ 1 － 2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，
－an－1)，不为定值，故不符合题意；对于 f(x)＝ |x|，f(an)＝
|an|，则
|an| ＝ |an－1|
aan－n 1＝ |q|为定值，
第二十四页，共49页。
符合题意；对于 f(x)＝ln|x|，f(an)＝ln|an|，由等比数列定 义得， ln|an| 并不为定值，故不符合题意；故①③正确．
(2)在等比数列{an}中，a2013＝8a2010，则 q＝________. (3)已知等比数列的公比是 2，且前 4 项的和为 1，那么 前 8 项之和为________．
第十页，共49页。
2. 等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{abnn}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aamn ＝________. (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq. 特别地，a1an＝a2an－1
填一填：(1)2 2n－1－12 (2)2
第十四页，共49页。
(3)17 提示：将 q＝2，S4＝1，n＝4 代入 Sn＝a111－－qqn， 得 1＝a111－－224，解之得 a1＝115， ∴S8＝11511－－228＝17.
[变式探究(tànjiū)] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求 证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1， ∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴ an ＋ 1 ＝ Sn ＋ 1 － Sn ＝ (2an ＋ 1 ＋ 1) － (2an ＋ 1) ＝ 2an ＋ 1 － 2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，
－an－1)，不为定值，故不符合题意；对于 f(x)＝ |x|，f(an)＝
|an|，则
|an| ＝ |an－1|
aan－n 1＝ |q|为定值，
第二十四页，共49页。
符合题意；对于 f(x)＝ln|x|，f(an)＝ln|an|，由等比数列定 义得， ln|an| 并不为定值，故不符合题意；故①③正确．
(2)在等比数列{an}中，a2013＝8a2010，则 q＝________. (3)已知等比数列的公比是 2，且前 4 项的和为 1，那么 前 8 项之和为________．
第十页，共49页。
2. 等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{abnn}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aamn ＝________. (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq. 特别地，a1an＝a2an－1
填一填：(1)2 2n－1－12 (2)2
第十四页，共49页。
(3)17 提示：将 q＝2，S4＝1，n＝4 代入 Sn＝a111－－qqn， 得 1＝a111－－224，解之得 a1＝115， ∴S8＝11511－－228＝17.
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件5
关于等差等比数列的基本运算，一般通过其通项公式 及前n项和公式构造关于a1和d或q的方程或方程组解决，如 果在求解过程中能够灵活运用等差等比数列的性质，不仅 可以快速获解，而且有助于加深对等差等比数列问题的认 识.
注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公 比q是否为1的讨论.
三、预测押题不能少 1．已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列的公差为d，d>0.由题意得， (2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0， 得d＝2. 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n， 得an＝2n.
数列与函数的交汇
数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综 合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题 目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结 合，考查数列的基本运算与应用．
一、经典例题领悟好
[例1] (2013·湖南五对任意的正数x，y都有f(x·y )
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝2＋22n·n＋4·11－－44n ＝n2＋n＋4n＋31－4.
等差、等比数列的判定与证明 一、基础知识要记牢 数列{an}是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第三节 等比数列 (2)
q.依题意,q≠±1,S6=
,S9=
.由
1-
1-
1+3 +6
1+3
=
3
1
3
,解得 q =- 或 q3=1(舍去).由
2
2
a1-a4=3 得 a1(1-q )=3,于是得 a1=2,则有 an=2·
q .由
3
1
−
2
-1
3
=
1 2
=
2
1 2
-1
− ,从而有 =2,解得
2
3
n-1
1
am=2得
·
=
(+2) +1
2 ·
(+1)
∴数列{bn}是首项为 2,公比为 4
=
(+2) 4(+1)2
2 ·(+2) =4,且
(+1)
+1
的等比数列,∴bn= ·
an=2·
4n-1,则
an= ·
22n-1.
+1
(2)解 ∵bn=2·
4 ,∴Tn=2×(1+4+…+4
或 Sn= 1 -
1-
, ≠ 1
1-
, ≠ 1.
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防
止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*).
(2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*).
=q(n∈N*).
,S9=
.由
1-
1-
1+3 +6
1+3
=
3
1
3
,解得 q =- 或 q3=1(舍去).由
2
2
a1-a4=3 得 a1(1-q )=3,于是得 a1=2,则有 an=2·
q .由
3
1
−
2
-1
3
=
1 2
=
2
1 2
-1
− ,从而有 =2,解得
2
3
n-1
1
am=2得
·
=
(+2) +1
2 ·
(+1)
∴数列{bn}是首项为 2,公比为 4
=
(+2) 4(+1)2
2 ·(+2) =4,且
(+1)
+1
的等比数列,∴bn= ·
an=2·
4n-1,则
an= ·
22n-1.
+1
(2)解 ∵bn=2·
4 ,∴Tn=2×(1+4+…+4
或 Sn= 1 -
1-
, ≠ 1
1-
, ≠ 1.
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防
止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*).
(2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*).
=q(n∈N*).
高考数学一轮总复习 第32讲 等比数列的概念及基本运算课件 理 新人教A版
第二十六页，共62页。
(2)由(1)知，q＝f(c)＝c＋c 1， 又 bn＝f(bn－1)，所以 bn＝bnb－n1－＋1 1， 所以b1n＝bnb－n1－＋1 1＝bn1－1＋1， 即b1n－bn1－1＝1， 故{b1n}是以首项为b11＝3，公差为 1 的等差数列， 所以b1n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即 bn＝n＋1 2.
第二十页，共62页。
① ，
【点评】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关 于等比数列特征量 a1 和 q 的方程是求解等比数列问题的常 用方法，同时应注意，在使用等比数列前 n 项和公式时， 应讨论公比 q 是否等于 1.
第二十一页，共62页。
素材 (sùcái )1
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2 是 a2 和 a4 的等差中 项，求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.
第二十二页，共62页。
【解析】设数列{an}的公比为 q. 由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， 所以 q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0， 所以 q＝2，即 an＝2·2n－1＝2n. Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
第二十三页，共62页。
二 等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的判 定及证明
第四十三页，共62页。
＝22sin2α2＋si2ncαocso2sαα－cos2α ＝2sisni2nαα＋cocsoαs2α＝2tatna2nαα＋1 ＝2x2x＋1， 即 f(x)＝2x2x＋1.
第四十四页，共62页。
(2)因为 a2n＋1＝2anf(an)＝2an·2a2na＋n 1＝2a22na＋2n 1， 所以a2n1＋1＝2a22na＋2n 1＝1＋21a2n. 当 n≥2 时，a12n－2＝1＋2a1n2－1－2＝2a1n2－1－1＝12(a2n1－1－2)， 而a121－2＝2， 所以数列{a12n－2}是以 2 为首项，12为公比的等比数列．
(2)由(1)知，q＝f(c)＝c＋c 1， 又 bn＝f(bn－1)，所以 bn＝bnb－n1－＋1 1， 所以b1n＝bnb－n1－＋1 1＝bn1－1＋1， 即b1n－bn1－1＝1， 故{b1n}是以首项为b11＝3，公差为 1 的等差数列， 所以b1n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即 bn＝n＋1 2.
第二十页，共62页。
① ，
【点评】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关 于等比数列特征量 a1 和 q 的方程是求解等比数列问题的常 用方法，同时应注意，在使用等比数列前 n 项和公式时， 应讨论公比 q 是否等于 1.
第二十一页，共62页。
素材 (sùcái )1
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2 是 a2 和 a4 的等差中 项，求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.
第二十二页，共62页。
【解析】设数列{an}的公比为 q. 由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， 所以 q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0， 所以 q＝2，即 an＝2·2n－1＝2n. Sn＝211－－22n＝2n＋1－2.
第二十三页，共62页。
二 等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的判 定及证明
第四十三页，共62页。
＝22sin2α2＋si2ncαocso2sαα－cos2α ＝2sisni2nαα＋cocsoαs2α＝2tatna2nαα＋1 ＝2x2x＋1， 即 f(x)＝2x2x＋1.
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(2)因为 a2n＋1＝2anf(an)＝2an·2a2na＋n 1＝2a22na＋2n 1， 所以a2n1＋1＝2a22na＋2n 1＝1＋21a2n. 当 n≥2 时，a12n－2＝1＋2a1n2－1－2＝2a1n2－1－1＝12(a2n1－1－2)， 而a121－2＝2， 所以数列{a12n－2}是以 2 为首项，12为公比的等比数列．
高考数学复习课件 5.3 等比数列 理 新人教版
考点二 等比数列的判定与证明
【案例2】 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为 Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式以及Sn. 关键提示：通过条件转化构造以an＋1为整体的数 列．
(1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*， 可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4. 两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1. 即an＋1＝2an＋1.从而an＋1＋1＝2(an＋1)． 当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.
(2)证明：因为an＋11－an＝2n＋11－2n＝21n， 所以a2－1 a1＋a3－1 a2＋…＋an＋11－an ＝211＋212＋213＋…＋21n ＝1211－－1221n＝1－21n<1.
考点一 基本量运算 【案例 1】 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝ 230，求{an}的通项公式． 关键提示：将两个条件转化为与公比q有关的方程．
解：设{an}的公比为 q，则 a2＋a4＝230，得 aq3＋a3q＝230， 即 3q2－10q＋3＝0，解得 q＝13或 q＝3. 所以当 q＝3 时，an＝a3·qn－3＝2·3n－3； 当 q＝13时，an＝a3·qn－3＝2·13n－3.
于是 Sn＝6·11－－22n－n＝6·2n－n－6.
【即时巩固 2】 已知数列{an}的前 n 项和记为 Sn，且 a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn(n∈N*)．证明：Snn是等比数列，并求
Sn.
解：由已知得：Sn＋1－Sn＝n＋n 2Sn，
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件31
共同特点：从第2项起，每一项与其前 一项的比都等于同一个常数.
1.等比数列的定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列，这个常数就叫做等比 数列的公比（常用字母q表示）.
2.等比数列{an}的递推公式：
a n q(n 2) a n1
an－1·a n＋1 ＝an2 (n≥2)
等比数列
1 如图是某种细胞分裂的模型，那么这 种细胞每次分裂的个数组成一个什么数 列？
1，2，4，8，….
2 我国古代学者提出：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭.” 即一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也取不完.那么每日 取得的木棒的长度构成一个什么数列？
1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
（1）1，2，4，8，….
（2）1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
（3）1，20，202，203，….
（4）1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
3.如果在a与b中间插入一个数G，使 a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项。
下面四个等比数列的通项公式分别是什么?
2 （1）1，2，4，8，…. （1）an= n1
（（23））11，，2120,，142,0218，,2…03.，…（. 2）
an=
(
1 2
)
n
1
（4）1000×1.0198，1000×1.01982，
1000×1.01983，1000×1.01984，…
1.等比数列的定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列，这个常数就叫做等比 数列的公比（常用字母q表示）.
2.等比数列{an}的递推公式：
a n q(n 2) a n1
an－1·a n＋1 ＝an2 (n≥2)
等比数列
1 如图是某种细胞分裂的模型，那么这 种细胞每次分裂的个数组成一个什么数 列？
1，2，4，8，….
2 我国古代学者提出：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭.” 即一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也取不完.那么每日 取得的木棒的长度构成一个什么数列？
1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
（1）1，2，4，8，….
（2）1，1 ， 1 ， 1 ， …. 24 8
（3）1，20，202，203，….
（4）1000×1.0198，1000×1.01982， 1000×1.01983，1000×1.01984， 1000×1.01985，…
3.如果在a与b中间插入一个数G，使 a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项。
下面四个等比数列的通项公式分别是什么?
2 （1）1，2，4，8，…. （1）an= n1
（（23））11，，2120,，142,0218，,2…03.，…（. 2）
an=
(
1 2
)
n
1
（4）1000×1.0198，1000×1.01982，
1000×1.01983，1000×1.01984，…
高考数学一轮复习等比数列精品课件文新人教A版
A1=2,A1qn+A1q2n=12, 要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值.
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由A1=2,A1qn+A1q2n=12, q2n+qn-6=0,则qn=2或qn=-3. 由得A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2·q3n·7=14·q3n
112 (qn=2) =
学案3 等 比 数 列
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规律探究
考纲解读
1.理解等比数列的概念.
等比数列
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比 数列,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
{an}成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-
S2m 成等比数列 ，公比为
qm
.
返回目录
考点1 等比数列基本量的计算
［和2,80a120+年a5高=0考,则浙SS江52 卷=］设Sn为等比数列{an}的( 前n)项
A.11
B.5
C.-8
D.-11
返回目录
【分析】建立关于a1,q的方程求解.
-378 (qn=-3).
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在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条 件,利用性质,可以减少运算量,提高解题速度,常用的性 质有(1)若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*，则aman=apaq; (2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.
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由A1=2,A1qn+A1q2n=12, q2n+qn-6=0,则qn=2或qn=-3. 由得A1q3n+A1q4n+A1q5n =A1q3n(1+qn+q2n)=2·q3n·7=14·q3n
112 (qn=2) =
学案3 等 比 数 列
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规律探究
考纲解读
1.理解等比数列的概念.
等比数列
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比 数列,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
{an}成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-
S2m 成等比数列 ，公比为
qm
.
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考点1 等比数列基本量的计算
［和2,80a120+年a5高=0考,则浙SS江52 卷=］设Sn为等比数列{an}的( 前n)项
A.11
B.5
C.-8
D.-11
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【分析】建立关于a1,q的方程求解.
-378 (qn=-3).
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在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条 件,利用性质,可以减少运算量,提高解题速度,常用的性 质有(1)若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*，则aman=apaq; (2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列.
《等比数列》人教A版高中数学实用课件
情 境 导 学
(1)法一：因为aa47＝＝aa11qq36，， 所以aa11qq36＝＝28
①， ②.
课 堂 小 结
·
探 新 知
② 由①得
q3＝4，从而
q＝3
4，而
a1q3＝2，
提 素 养
·
·
合
2n－5
作 探 究
于是 a1＝q23＝12，所以 an＝a1qn－1＝2 3 .
课 时 分
层
释
疑 难
法二：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4，q＝3 4.
课 堂
导
小
学 c2 的等比中项．
·
结
探
提
新 知
[证明]
因为 b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均
素 养
·
·
合 不为零，
作
课
探 究
时
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， 分
层
释 疑
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2
提 素 养
合 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
作
课
探 究
2在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项有穷数列的末项除
时 分
层
释 疑
外都是它的前一项和后一项的等比中项.
作 业
难
3a，G，b 成等比数列等价于 G2＝abab>0.
返 首 页
·
29
[跟进训练]
情 境
2．已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋
人教A版高中数学必修等比数列精讲课件-PPT导学课件
分析一：倒序相乘； 分析二;类比等差数列前n项和
nn
x1•x2•..•.xn(x1•xn)222.
(8)已知正项{a数 n}中 列， a1 1,{bn}是等比数列 且bn aann1，b10b112011150,求an.
(9)已{知 an}是等比数 n项 列和 ， S， 为 前 前 n项倒数 T， 和求 为{数 an2}的 列n前 项.积
若 q＜0 时，则等比数列必为 摆动 数列。 若 q=1 时，则等比数列必为 常 数列。
探究4:画图像
an 2n-1 an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
结论 ： 等比数 an列 的图象是其对 1 应 ·的
(5)已 . 知等{比 an}中 数， 列 a1a2a37,a1a2a38,求a11a12a13.
（(63）)在 正 项 等 比 数 列an中 ,若 a5a681,
则 log3a1log3a2 log3a10的 值 是 (C ) A.5 B.10 C.20 D.2
(7)已知1 等 ,x1,x2,比 .x .n.,2 ,数 求 x1•x列 2•..•x .n.
三、课堂小结
等差数列与等比数列的类比
定义
首项、公差 （公比）取 值有无限制
等差数列 anan1d(n2)
a1R,dR
等比数列
an q (n 2) an 1
a1 0,q0
通项 公式
ana1(n1)d
an a1qn1
主要 性质
(1)anam(nm )d
nn
x1•x2•..•.xn(x1•xn)222.
(8)已知正项{a数 n}中 列， a1 1,{bn}是等比数列 且bn aann1，b10b112011150,求an.
(9)已{知 an}是等比数 n项 列和 ， S， 为 前 前 n项倒数 T， 和求 为{数 an2}的 列n前 项.积
若 q＜0 时，则等比数列必为 摆动 数列。 若 q=1 时，则等比数列必为 常 数列。
探究4:画图像
an 2n-1 an
8
·
上式还可以写成
an
1 2n 2
7 6
可见，这个等比数列
5
的图象都在函数
y
1 2
2x
4 3
·
的图象上，如右图所示。
2
·
结论 ： 等比数 an列 的图象是其对 1 应 ·的
(5)已 . 知等{比 an}中 数， 列 a1a2a37,a1a2a38,求a11a12a13.
（(63）)在 正 项 等 比 数 列an中 ,若 a5a681,
则 log3a1log3a2 log3a10的 值 是 (C ) A.5 B.10 C.20 D.2
(7)已知1 等 ,x1,x2,比 .x .n.,2 ,数 求 x1•x列 2•..•x .n.
三、课堂小结
等差数列与等比数列的类比
定义
首项、公差 （公比）取 值有无限制
等差数列 anan1d(n2)
a1R,dR
等比数列
an q (n 2) an 1
a1 0,q0
通项 公式
ana1(n1)d
an a1qn1
主要 性质
(1)anam(nm )d
高考数学总复习 63等比数列课件 新人教A版
4．等比中项 如果三个数 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 和 b 的 等比中项，即 G2＝ab.
5．等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)． (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{abnn}是等比数列． (3){an}为等比数列，则aamn ＝_q_m_－_n__. (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq. 特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
当 q＝2 时，得 a1＝1，所以 S8＝a111－－qq8＝255； 当 q＝－2 时，得 a1＝－1，所以 S8＝a111－－qq8＝85. 故答案为：S8＝255 或 85.
答案：255 或 85
(理)(2012·大纲全国，6)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1
＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn＝( )
(理)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝ an－23n＋49.
(1)当 m＝1 时，求证：对于任意的实数 λ，数列{an}一定 不是等差数列．
(2)当 λ＝－12时，试判断数列{bn}是否为等比数列．
解析：(1)证明：当 m＝1 时，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.
(文)已知数列{an}的首项
a1＝a，
an＝
1 2an－1＋1(n∈N* Nhomakorabea，
n≥2)．若 bn＝an－2(n∈N*)．
(1)问数列{bn}是否能构成等比数列？并说明理由．
(2)若已知 a1＝1，设数列{an·bn}的前 n 项和为 Sn，求 Sn.
解析：(1)b1＝a1－2＝a－2，an＝bn＋2， ∴bn＋2＝12(bn－1＋2)＋1， 即 bn＝12bn－1. 所以，当 a≠2 时，数列{bn}能构成等比数列； 当 a＝2 时，数列{bn}不能构成等比数列．
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B．3n
C．2n
D．3n－1
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17
解析：要{an}是等比数列，{an＋1}也是等比数列，则只 有{an}为常数列，故 Sn＝na1＝2n.
答案：C
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18
4．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝6，S4＝30， 则 S6＝__________.
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19
解析：对等比数列{an}有 S2、S4－S2、S6－S4 成等比数 列，
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22
法二：因为{an}是等比数列，所以 S3，S6－S3，S9－S6 也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将 S6＝12S3 代入得SS93 ＝34.
答案：34
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23
要点点拨
1．常数列与等差数列、等比数列的关系 常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，只有当常 数列各项不为零时，才是等比数列．
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11
(3)若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq ， 特别地，若 m＋n＝2p，则 am·an＝a2p . (4)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是 等比 数列(此时 {an}的公比 q≠－1)． (6)当 n 是偶数时，S 偶＝S 奇·q； 当 n 是奇数时，S 奇＝a1＋S 偶·q.
A．63
B．64
C．127
D．128
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15
解析：由 a1＝1，a5＝16，得 q4＝aa51＝16，q＝2，S7＝ a111－－qq7＝127.
答案：C
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16
3．在等比数列{an}中 a1＝2，前 n 项和为 Sn，若数列{an
＋1}也是等比数列，则 Sn 等于( )
A．2n＋1－2
(4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－ k(k 为常数且 k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
3．等比数列的单调性 当 a1>0，q>1 或 a1<0,0<q<1 时为递增数列；当 a1<0， q>1 或 a1>0,0<q<1 时为递减数列；当 q<0 时为摆动数列；当 q＝1 时为常数列．
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24
2．等比数列的判定方法 (1)定义法：若aan＋n1＝q(q 为非零常数)或aan－n 1＝q(q 为非零 常数且 n≥2)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 a2n＋1＝an·an＋2(n ∈N*)，则数列{an}是等比数列．
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25
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均为不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
∵S2＝6，S4－S2＝30－6＝24， ∴S6－S4＝2642＝96，S6＝S4＋96＝126.
答案：126
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20
5．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6∶S3＝1∶2， 则 S9∶S3＝________.
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21
解析：法一：∵S6∶S3＝1∶2， ∴{an}的公比 q≠1. 由a111－－qq6÷a111－－qq3＝12， 得 q3＝－12， ∴SS93＝11－－qq39＝34.
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26
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27
热点题型一
等比数列的基本运算
[例 1] (1)(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，
a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( )
A．7
B．5
C．－5
D．－7
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28
(2)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则SS52＝
Sn＝
na1 a11－qn
a1－anq
1－q ＝ 1－q
q＝1 q≠1
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10
2．等比数列的性质 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}({bn}也是等比数列)， {a2n}，{a1n}等也是等比数列． (2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
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8
[思考探究] b2＝ac 是 a，b，c 成等比数列的什么条件？
提示：b2＝ac 是 a，b，c 成等比的必要不充分条件， ∵当 b＝0，a，c 至少有一个为零时，b2＝ac 成立，但 a， b，c 不成等比数列；反之，若 a，b，c 成等比数列，则必有 b2＝ac.
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9
(4)等比数列的前 n 项和公式
必考部分
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1
第五章
数列
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2
第三节 等比数列
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3
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公 考
式． 纲
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关 点
知识解决相应的问题． 击
3．了解等比数列与指数函数的关系.
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4
理基础 明考向
悟题型 课时作业
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12
基础自测
1．在等比数列{an}中，a2 012＝8a2 009，则公比 q 的值为
()
A．2
B．3
C．4
D．8
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13
解析：∵aa22
012＝q3＝8，∴q＝2.
009
答案：A
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14
2．设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，
则数列{an}前 7 项的和为( )
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5
研
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6
知识梳理
1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 一般地，如果一个数列从 第 2 项 起，每一项与它的 前一项 的比等于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q (q≠0) 表示．
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7
(2)等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an ＝ a1qn－1 . (3)等比中项 如果三个数 a、G、b 组成 等比数列 ，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么Ga ＝Gb ，即 G2＝ ab .
()
A．11
B．5
C．－8
D．－11
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29
[ 解 析 ] (1) 设 数 列 {an} 的 公 比 为 q ， 由
a4＋a7＝2， a4·a7＝a5·a6＝－8，
得
a4＝4， a7＝－2
或
a4＝－2， a7＝4，
所以
a1＝－8， q3＝－12
或
a1＝1， q3＝－2.
所
以
a1＝－8， a10＝1