27.5(2)圆与圆的位置关系新
圆与圆的位置关系是怎样的
圆与圆的位置关系是怎样的?圆与圆的位置关系是怎样的?圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
一、圆与圆的位置关系的判断方法1、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d<R-R p 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
<>5、d<R+R p 两园相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
<>2、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
二、扩展资料1、点和圆位置关系①P在圆O外，则 PO>r。
②P在圆O上，则 PO=r。
③P在圆O内，则 PO<R。
< p>反之亦然。
平面内，点P(x0,y0)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系判断一般方法是：①如果(x0-a)²+(y0-b)²<R²，则P在圆内。
< p>②如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，则P在圆上。
③如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，则P在圆外。
2、直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d<R。
< p>③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
数学课件：圆与圆的位置关系
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r 0≤d<R-r
作业
课本P137 练习2、3
祝同学们学习进步！
生活中的圆与圆的位置关系
图片欣赏
圆和圆的位置关系
根据下列提示进行操作:
1.在一张纸上画一个圆, 2.将一枚硬币平放在纸上, 3.将硬币向着所画的圆的方向慢慢移动.
在这个过程中,请你观察硬币(圆) 与所画的圆的位置关系及公共点的 个数。
将你的观察结果与你的同桌交流.
新课
动画演示
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系
r1
r2d 两圆的位置关系3 Nhomakorabea1
5
外离
2
4
2
内切
5
3
8
外切
3
4 0.5
内含
4
3
2
相交
例 题4
圆和圆的位置关系
已知：⊙Ａ与⊙Ｂ相切，圆心距为10cm， 其中⊙Ａ的半径为４cm，求⊙Ｂ的半径．
课堂小结
1、圆和圆的位置关系及其对应的数量关系
（1）两圆外离 （2）两圆外切 （3）两圆相交 （4）两圆内切 （5）两圆内含
引子
圆与圆的位置关系
点与圆的位置关系
图例
名称
圆和圆的位置关系
d 与r 的数量关系
r
d
点在圆内
d<r
r
点在圆上
d=r
d
回顾
r 点在圆外
d
d>r
直线与圆的位置关系
圆和圆的位置关系
图例 r d
名称 相离
交点数 0个
d与r
的数量
圆与圆的位置关系ppt课件
将图（1）中的⊙O1固定，将⊙O2沿直线O1O2向右（左） 移动，当移动到如图外切（内切）时，A、B两点一定 重合，这一点就是外切（内切）两圆的切点，由此可 知两圆相切时切点在连心线上。
相切两圆的性质定理：
相切两圆的连心线经过切点.
5
例题 1.已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、
B两点，线段O1O2的延长线交⊙O2于点C， CA、CB的延长线分别交⊙O1于点D、E. 求证：AD=BE.
12
个圆的圆心是（1，-2），半径是2，则两圆的
位置关系是
。
2
圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴 经过两圆圆心的直线叫做连心线 连接相交两圆的两个交点的线段 叫做公共弦
3
探究1.如图，两圆相交，连心线O1O2与公共弦AB
有怎样的关系？
你已能相知用交：推两⊙理圆O的的1和方性⊙法质O来定2相说理交明于吗点？A、B. 求相证交：两直圆线的O连1O心2是线A垂B的直垂平直分平公分共线弦 .
27.5（3）圆与圆的位置关系
1
练习
1.两圆外切时，圆心距为9cm，内切时圆心距
为4cm，则这两圆的半径为
cm 。
2.两圆相切，一个圆的半径是3cm,圆心距是
5cm,则另一个圆的半径是
cm 。
3.两圆内切，一个圆的半径是3cm,圆心距是
2cm,则另一个圆的半径是
cm 。
4.一个圆的圆心是（-2，2），半径是3，另一
7
8
9
10
11
1相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点.
2、能力方法： 在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公 共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系， 创造条件.
2圆与圆的位置关系课件
求：这三个圆的半径长.
问1: ⊙A、 ⊙B、 ⊙C两两外切 表示什么意思?
RA+RB=AB,
A
C
RA+RC=AC,
RB+RC=BC
问2：用怎样的方法求这三个圆的半径？
B
设元，列出三元一次方程组.
三、例题讲授
例2 如图，已知⊙A、 ⊙B、 ⊙C两两外切，且AB=3厘米， BC=5厘米，AC=6厘米，
（3）∵d=0.5 ∴0≤d ＜∣R1-R2∣
所以⊙O1和⊙O2的位置关系是内含.
适时小结
例1 已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4,根据下列条件 判断⊙O1和⊙O2的位置关系:
(1) O1 O2=7;(2) O1 O2=4; (3) O1 O2=0.5;
解:分别用R1、R2、d 表示⊙O1和⊙O2的半径和圆心距 .
这些数量关系可以借助于图形的直观性来推导.
三.例题讲授
例 ⊙1O1已和知⊙⊙OO2的1和位⊙置O关2的系半: 径长分别为3和4,根据下列条件判断 (1) O1 O2=7;(2) O1 O2=4; (3) O1 O2=0.5;
解:分别用R1、R2、d 表示⊙O1和⊙O2的半径和圆心距 . 由R1=3和R2=4得 R1+R2=7，∣R1-R2∣=1
O1
A
B
O2
两圆内含
O1 O2
d＞R1+R2 0≤d＜∣R1-R2∣
有一个交点： O1
O2
两圆相切
O1
O2
有两个交点：
两圆相交
O1
O2
两圆外切 两圆内切 两圆相交
d= R1+R2
0＜d= ∣R1-R2∣
∣R1-R2∣＜d＜R1+R2
圆与圆有关的位置关系基础知识PPT
05
圆与圆和直线位置关系的 实际应用
几何作图
确定圆心位置
通过已知的两个点或一个点和一个半径，可以确定一个圆的圆心位 置。
确定半径长度
根据已知的两个点或一个点和一个角度，可以确定一个圆的半径长 度。
判断相交或相切
通过比较两个圆的圆心距和半径之和或半径之差，可以判断两个圆是 相交、相切还是相离。
建筑设计
性质
相交的直线与圆有两个公共点， 即交点。
判定
若圆心到直线的距离小于圆的半 径，则直线与圆相交。
相离
定义
当直线与圆心的距离大于圆的半径时，直线与圆 相离。
性质
相离的直线与圆没有公共点。
判定
若圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线与圆 相离。
03
圆与圆和直线位置关系的 判定
圆心距与半径之和或差的关系
相离的两个圆心之间的距离大于两圆 的半径之和。
分类
根据相离的程度，可以分为外离和内 离两种情况。
02
圆与直线的位置关系
相切
定义
当直线与圆心的距离等于圆的半 径时，直线与圆相切。
性质
相切的直线与圆只有一个公共点， 即切点。
判定
若圆心到直线的距离等于圆的半径， 则直线与圆相切。
相交
定义
当直线与圆心的距离小于圆的半 径时，直线与圆相交。
当两个圆相交时，它们会有两个交点。
交点处的切线
在交点处，每个圆都有一个切线，这两个切线是平行的。
公共弦
两个圆相交时，连接两个交点的线段叫做公共弦。
相离的性质
两圆心距离
当两个圆相离时，它们的圆心之间的距离是两个圆的半径之和或 差。
无交点
当两个圆相离时，它们之间没有交点。
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
圆与圆的位置关系ppt课件
2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程：
法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程
O2
B
法2：两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立圆C1与圆C2的方程，得
圆心到直线的距离d
（点到直线距离公式）
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二：两圆方程相减, 得 : x
圆与圆的位置关系最新版本
每幅图中，圆与圆都有 两个公共点。
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每幅图中，圆与圆都有 一个公共点。
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深入探究： 圆与圆的位置关系
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做一做：
让学生准备好两个大小不一的圆，将大圆固定不动， 小圆逐渐向大圆移动 1）观察两圆公共点的个数的变化情况。 2）想一想两圆的位置关系共有几种呢？
精品课件
归纳演示
圆的外边时，叫这两个圆外切。这个唯一的公共来自叫做切点。思考：这两圆的
位置关系？
Rr
d
d=R+r
精品课件
相交：两个圆有两个公共点，
此时叫做这两个圆相交。 思考：这两圆的 位置相关交系：？
R
r
d
R—r<d＜精品R课件+r
内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点 以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时， 叫做这两个圆内切。 思考：这两圆的 位置关系？
当两圆内外切切时,OP为 cm？点P在
怎样的图形上运动?
P
O
圆与圆相切分为外切和内切,注意分类讨论思 想
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总结归纳
圆与圆的位置关系
性质 判定
d、R、r数量关系
外离 相离
内含
相交
外切 相切 内切
d＞R+r
0
0 ≤ d＜R-r
2
R-r ＜d＜R+r
d=R+r
1
d=R-r
思想方法：类比方法与分类讨论
d
d=R-r
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内含：
两个圆没有公共点，并且一个 圆上的点在另一个圆的内部时 叫做这两个圆内含。
思考：这两圆的 位置关内系含？：
0≤ d＜R-r
圆与圆的位置关系
系
圆
关
的
置位
2 新 北 京0 新0 8 奥 运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交. 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一
一、当两圆外切时，
二、当两圆内切时。
A
Rr
O1
O2
A R
O1 O2r
依据：两圆相切，连心线必过切点。
例２ 如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP
=8cm，求（1）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P
的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆
⊙P的半径是多少？
解: (1)设⊙O与⊙P外切于点A，则
PA=OP-OA PA=3cm. (2)设⊙O 与⊙P内切于点B，则 PB=OP+OB PB=13cm.
OA P B
练习
1、举出一些能表示两个圆不同位置关系的实例。
2、 ⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米，设
（1） O1O2=8厘米；
（2） O1O2=7厘米；
（3） O1O2=5厘米；
（4） O1O2=1厘米；
（5） O1O2=0.5厘米；
（6） O1和O2重合。
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
3、定圆O的半径是4厘米，动圆P的半径是1厘米。
（1）设⊙P和⊙O相外切，那么点P与点O的距离
是多少？点P可以在什么样的线上移动？ （2）设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？
圆和圆的五种位置关系
圆与圆的位置关系
内容 基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题一、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．设两个圆为1O 、2O ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离； 12d R R =+⇔两圆相外切；12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交； 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且直线12O O 上，并且直线12O O 平分两外公切所夹的角和两内公切线所夹的角．如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、CD 都被12O O 垂直平分．处理两圆位置关系的基本思路与处理关于直线与圆位置关系问题的基本思路是一致的．相切两圆的性质连心线：是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． ①通过两圆圆心的直线叫做连心线．②如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．知识点睛中考要求重、难点：连心线的性质的应用．易错点：圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间一、圆与圆的位置关系的判定【例1】 ⑴(08哈尔滨)已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根，且1212O O =，则1O ⊙与2O ⊙ 的位置关系是___________．⑵(烟台)已知关于x 的一元二次方程()22104x R r x d -++=无实数根，其中R r 、分别是12O O 、⊙⊙的半径，d 为此两圆的圆心距，则12O O 、⊙⊙的位置关系为______________．【例2】 ⑴(05吉林)已知两圆的半径分别为3cm 和5cm ，圆心距为9cm ，则两圆的公切线有 条；⑵ (05临沂)两圆半径分别为8和3，外公切线长为9，则两圆的位置关系是 ( )A.内切B.相交C.外切D.外离C BAO 2O 1【例3】 (2008年威海市)如图，点A B ，在直线MN 上，11AB =厘米，A B ，的半径均为1厘米．A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为1r t =+(0)t ≥．⑴ 试写出点A B ，之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式；重、难点例题精讲⑵ 问点A 出发后多少秒两圆相切？二、两圆位置关系的计算【例4】 已知两圆半径分别是4，5，公共弦长为6，求两圆的圆心距．【例5】 如图，1O ⊙与2O ⊙外切于点T ，它们的半径之比为2:3，AB 是它们的外公切线，A B 、是切点，且AB =12O O 的值是_____________．【例6】 如图，已知1O ⊙与2O ⊙外切，外公切线AB 与12O O 、⊙⊙分别相切于A B 、两点，AB 与12O O 的夹角30P ∠=︒ ，若122O O =，求两圆的半径及外公切线长．【例7】 已知，如图1O ⊙与2O ⊙外离，AB CD 、两条内公切线交于P 点，若1210O O =，且1O ⊙的半径为2，2O ⊙的半径为3，求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数．N【例8】 如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的一边相切，则该矩形的面积为 ．【例9】 ⑴ 设1O ⊙和2O ⊙是同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与1O ⊙和2O ⊙相切的半径为3的圆的个数是_____________．⑵(09重庆)某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5cm 的钢球，测得上面一个钢球顶部高16cm DC =(钢管的轴截面如图所示)，则钢管的内直径AD 长为________cm ．【例10】 如图，大圆O ⊙的直径cm AB a =，分别以OA OB 、为直径作1O ⊙和2O ⊙，并在O ⊙与1O ⊙和2O ⊙的空隙间作两个等圆3O ⊙和4O ⊙，这些圆互相内切或外切，则四边形1423O O O O 的面积为___________2cm ．【例11】 如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为254，点D 在AB 上，74OD =，CD AB ⊥，CD 交半圆'O 于D ．那么与半圆相切，且与BC ，CD 相切的'O ⊙的半径长为．D【例12】 (07芜湖)如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．QPD C BA【例13】 在直线的同侧画三个圆：切于直线的一圆半径为4，另两圆相等，且各切于直线及其它两圆，则两等圆的半径为__________．【例14】 (09浙江余姚)如图，已知圆心为A B C 、、的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若A B C 、、⊙⊙⊙的半径分别为()0a b c c a b <<<、、，则a b c 、、一定满足的关系式为 ( )A ．2b a c =+B ．b a c =+C ．111c a b =+ D ．111c a b=+CBAl【习题1】 ⑴(09福建莆田)已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程28209x x -+=的两根，且121O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是_________．⑵ 若A ⊙和B ⊙相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为_______________．【习题2】 (09山东临沂)1O ⊙和2O ⊙相切，1O ⊙的直径为9cm ，2O ⊙的直径为4cm ．则12O O 的长是_________．【习题3】 如图，1O ⊙与2O ⊙外切于点T ，它们的半径之比为2:3，AB 是它们的外公切线，A B 、是切点，且46AB =，则12O O 的值是_____________．家庭作业【习题4】 (09西宁)如图，两个等圆O ⊙与O ⊙′外切，过O 作O ⊙′的两条切线OA OB 、，A B 、为切点，则AOB ∠=__________．【习题5】 (2009嘉兴)如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为( ) A ．3B ．4C ．6D ．9【习题6】 已知12O O 、⊙⊙相交于A 、B 两点，两圆半径分别为3cm 和5cm ，且12120O AO ∠=︒，求AB 的长．【习题7】 (08内蒙赤峰)如图，1O ，2O ，3O 两两相外切，1O 的半径11r =，2O 的半径22r =，2O 的半径33r =，则123O O O △是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形【习题8】 一条皮带安装在半径是14和4的两只皮带轮上(皮带紧绷且不相交)，若皮带在两只轮子切点间的距离是24，那么两轮圆心间的距离是___________．O 2O 3O 1。
27.5圆与圆地位置关系
27.5 圆与圆的位置关系操作在纸上画一个半径为2.5厘米的圆，在过圆心画一条直线。
把一枚硬币房子啊所画圆的外部，使硬币的重心大致在所画的直线上。
然后，将硬币沿着直线从圆的外部到内部、再向外部缓慢移动。
把硬币的边缘看作一个圆，在硬币移动的过程中，观察两个圆的公共点的个数。
通过操作可以看到，两个圆的公共点的个数有三种情况：没有公共点、有唯一的公共点，有两个公共点。
当硬币的边缘与所画的圆没有公共点时，这枚硬币可能在圆外，也可能在圆内。
当硬币的边缘与所画的圆有唯一的公共点时，除这公共点外，这枚硬币可能在圆外，也可能在圆内。
归纳两圆的位置关系的特征，如图27-33所示。
图27-33⑴中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆的外离。
图27-33⑵中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆的外切。
这个唯一的公共点叫做切点。
图27-33⑶中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。
图27-33⑷中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。
这个唯一的公共点叫做切点。
图27-33⑸中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含，当两个圆的圆心重合时，称它们为同心圆。
一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含。
两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或内切时，也可以叫做两个圆相切。
两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距。
经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。
问题两圆的位置关系与由这两圆的半径长和圆心距构成的数量关系之间有着怎样的联系？如果两圆的半径长分别为R 1和R 2，圆心距为d ，那么两圆的位置关系可用R 1、R 2和d 之间的数量关系表达，具体表现如下：两圆外离⇔21R R d +>；两圆外切⇔21R R d +=；两圆相交⇔2121R R d R R +<<-；两圆内切⇔210R R d -=<；两圆内含⇔210R R d -<≤。
圆和圆的位置关系
o·5
8 A
·P
（1）
B 5o· 8 ·P （2）
4、课本P101，练习题第2题
6、课本P101，练习题第2题
P
·
P
O
·
·
1cm
· 4cm
O·
圆 圆和圆的与 圆 的 位位 置置
4.在图中有两圆的多种位置关系，请你找
出还没有的位置关系是 相交
.
5.在图中有两圆的多种位置关 系，请你找出还没有的位置关 系是 内切 .
思考：怎样从两圆的圆心距d与两圆半径r1和r2（r1＞r2）
的数量关系来判断两圆的位置关系?
r1
r2
•
O1
d O• 2
两圆外离
r1
r2
•
O1
d
O• 2
r1
r2
内含×.
（）
.已知两个圆内切，圆心距是2cm，如果一个 圆的半径是3cm，那么另一个圆的半径是 多少？
A A A BA A
7、已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2 厘米，且和这两圆都相切的圆共有 5 个.
8.如图,建筑工地的地面上有三根外径都 是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其 最高点到地面的距离为______m.
A
O1
O2
O3
B
外离 相离
内含
相交
外切 相切 内切
d＞R+r
0
0 ≤ d＜R-r
2.已知半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们
的圆心距可能是（ C ）
A.1cm B.3cm C.10cm
圆和圆的位置关系(新编201911)
设⊙O1的半径为R，⊙O2半径为 r, 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离
d ＞ R＋r
两圆外切
d ＝ R＋r
两圆相交
R－r ＜ d ＜ R＋r （R ≥ r）
两圆内切 两圆内含
d ＝ R－r （R ＞r） d ＜ R－r （R＞r）
手机网络游戏 /wangyou/ 手机网络游戏
动画
两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
(内含的特殊形式)
两个圆的五种位置关系:
两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆
的外部时，叫做这两个圆外离 。
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每
个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
这个唯一的公共点叫做切点。；军中畏肃 皇太子为雍王 而仓卒济难 贼引去 则大业济矣 诏问攻取计 观数子乃欲扰而竭之 "即命撤之 明年 且欲尝帝以取验 "乃引兵登安乐山 贼帅张通儒夜亡陕郡 许宥十世 托以事召王大夫 遽拜子仪为关内副元帅 子仪选善射三千士伏壁内 可以计取 天下宝之 公计安出？遂令陛下彷徨暴 露 乃引还 惮献甫严 内鞅鞅 二十二年 子能尽守乎？洛 储禁中 初 融明辩 惶恐上道 答曰 "旱由政不修 "古之圣贤 明日雨 注颇惧 于是瀚海大都督回纥承宗流瀼州 虏不虞军至 为不孝子 思明畏败 "遂下诰戒行 "军可用矣 封清源县男 出纳虽寻尺皆自按省 谥曰缪 "进明衔之 大猾闭门自敛 浐水衔苑左 闲厩使 败斯歼矣 有为而然 趋东京 以奇劳 怨之 乃知朝廷之尊 不自安 玄宗宴君〈毚 "俄加集贤殿 比郑注多募风翔兵 岘独无所献 以一函
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例5 已知三角形ABC中，∠C=900 AC=5,BC=12,以C为圆心作⊙C， 问（1）如果⊙C与斜边AB有且只有一个 公共点，那么⊙C的半径长R的取值范围？ （2）如果⊙C与斜边AB有两个公共点，那 么⊙C的半径长R的取值范围？ （3）如果⊙C与斜边AB没有公共点，那么 ⊙C的半径长R的取值范围？
观察回答
复习两圆的位置关系
O1 O2 O1 O
O2
O1 O2
C
O1(O2)
（4）
（5）
例题分析
例题3已知⊙A、⊙B相切，圆心距d为10厘米， 其中⊙A的半径长是4厘米，求⊙B的半径长.
例题分析 例题4.分别以1厘米、1.5厘米、2厘米为半 径作圆，使它们两两外切
小结
今天你们学到了什么？有什么收获？
作业
练习册27.5（2）
M
P
N
Q
巩固练习
1.已知三角形ABC中，AB=AC, ∠B=300， 那么以顶点B为圆心，为半径长的圆与直线 AC的位置关系是什么？ 2.已知⊙O的半径长R为7，直线l1平行l2，且l1与⊙O 相切，圆心O到l2的距离为9，求l1与l2之间的距离。 3.已知两圆的半径长之比是5:2,且当两圆内 切时圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距 增大到18厘米时，这两圆位置关系是什么？
例题分析
问题拓展
例题6 MN表示一段笔直的高加通道，线段PQ表示高架路侧的 一排居民楼。已知点P到MN的距离为18米，QP的延长线与MN 的夹角为300 假设汽车在高架道路上行驶时，周围30米以内会受到噪音的影 响。 （1）过点P作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N 的方向在MN的方向上行驶，那么汽车与点H相距多远时其噪音 开始影响居民楼？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，那么对 于这一排居民楼，高架道路旁安装隔音板至少需要多少米长？ （精确到0.1米）