【配套K12】高中数学 1.4 逻辑联结词“且”“或”“非”课后作业 北师大版选修2-1

§4逻辑联结词“且”“或”“非”
1.若命题p:2n-1是奇数,n∈Z,q:2n+1是偶数,n∈Z,则下列说法中正确的是( )
A.p或q为真命题
B.p且q为真命题
C.非p为真命题
D.非q为假命题
解析:命题p是真命题,命题q是假命题,则p或q为真命题,p且q为假命题,非p为假命题,非q为真命题.
答案:A
2.a,b不全为0是指( )
A.a,b全不为0
B.a,b中至少有一个为0
C.a,b中最多有一个为0
D.a,b中只有一个不为0
解析:a,b不全为0的否定是a,b全为0,
∴a,b中最多有一个为0.
答案:C
3.已知p与q是两个命题,给出下列命题:
(1)只有当命题p与q同时为真时,命题“p或q”才能为真;
(2)只有当命题p与q同时为假时,命题“p或q”才能为假;
(3)只有当命题p与q同时为真时,命题“p且q”才能为真;
(4)只有当命题p与q同时为假时,命题“p且q”才能为假.
其中正确的命题是( )
A.(1)和(3)
B.(2)和(3)
C.(2)和(4)
D.(3)和(4)
解析:因为当命题p与q同时为真时,命题“p或q”“p且q”都为真,而当命题p与q一真一假时,命题“p或q”为真,“p且q”为假,所以(1)错,(3)对;而当命题p与q只要有一个为假时,“p且q”就为假,所以(4)错;当命题p与q同时为假时,“p或q”才为假,所以(2)对,故选B.
答案:B
4.已知全集S=R,A⊆S,B⊆S,若p:∈(A∪B),则“非p”是( )
A.∉A
B.∈∁S B
C.∉(A∩B)
D.∈[(∁S A)∩(∁S B)]
解析:对一个命题的否定,只对命题的结论进行否定.
答案:D
5.已知命题p:存在x∈R,使tan x=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}.有下列结论:
①命题“p且q”是真命题;
②命题“p且非q”是假命题;
③命题“非p或q”是真命题;
④命题“非p或非q”是假命题.
其中正确的是( )
A.②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
解析:命题p:存在x∈R,使tan x=1正确.命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也正确, ∴①命题“p且q”是真命题;②命题“p且非q”是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④
命题“非p或非q”是假命题,故应选D.
答案:D
6.如果命题“非p或非q”是假命题,对于下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”
是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的是.(填序
号)
解析:由“非p或非q”是假命题知,“非p”与“非q”都是假命题,所以p,q都是真命题,从而判断①③正确,②④错误.
答案:①③
7.已知命题p:若x2+y2=0,则x,y都为0;命题q:若a2>b2,则a>b.给出下列命题:
①p且q;②p或q;③非p;④非q.
其中,真命题有.(填序号)
解析:命题p是真命题,q是假命题.
答案:②④
8.命题p:1是集合{x|x2<a}中的元素;
命题q:2是集合{x|x2<a}中的元素.
若“p且q”是真命题,则a的取值范围为.
解析:由p为真命题,可得a>1,由q为真命题,可得a>4.当“p且q”为真命题时,p,q都为真命题,即解得{a|a>4}.
答案:{a|a>4}
9.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题,并判断其真假.
(1)p:1是质数,q:1是方程x2+2x-3=0的根;
(2)p:平行四边形的对角线相等,q:平行四边形的对角线互相垂直;
(3)p:N⊆Z,q:0∈N.
解:(1)因为p假q真,所以
p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根,为真;
p且q:1是质数且是方程x2+2x-3=0的根,为假;
非p:1不是质数,为真.
(2)因为p假q假,所以
p或q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,为假;
p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,为假;
非p:平行四边形的对角线不一定相等,为真.
(3)因为p真q真,所以
p或q:N⊆Z或0∈N为真;
p且q:N⊆Z且0∈N,为真;
非p:N⊈Z,为假.
10.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p或q为真,p且q为假,求实数m的取值范围.
解:若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,则解得m>2,即p:m>2.
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.
因p或q为真,所以p,q至少有一个为真.
又p且q为假,所以p,q至少有一个为假.
因此,p,q两命题应一真一假,即p为真,q为假,或p为假,q为真.
所以
解得实数m的取值范围是m≥3或1<m≤2.
备选习题
1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中的真命题是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
解析:选项A中还有可能a⊥b;选项C中只需|a|=|b|;选项D中还有可能a=0.
答案:B
2.已知命题p:>0;命题q:lg()有意义,则非p是非q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由>0,得x>-1,由lg()有意义,得-1<x≤1,则q是p的充分不必要条件,故非p是非q的充分不必要条件.
答案:A
3.已知命题p:点P在直线y=2x-3上,命题q:点P在抛物线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是( )
A.(0,-3)
B.(1,2)
C.(1,-1)
D.(-1,1)
解析:点P(x,y)满足可验证各选项,只有选项C正确.
答案:C
4.写出下列各命题的否定及否命题.
(1)面积相等的三角形是全等三角形;
(2)若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b全为零;
(3)若xy=0,则x=0或y=0.
解:(1)命题的否定:面积相等的三角形不是全等三角形.否命题:面积不相等的三角形不是全等三角形.
(2)命题的否定:若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b不全为零.
否命题:若m2+n2+a2+b2≠0,则实数m,n,a,b不全为零.
(3)命题的否定:若xy=0,则x≠0且y≠0.
否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0.
5.是否存在同时满足下列三个条件的命题p和命题q?若存在,试构造出这样的一组命题;若不存在,请说明理由.
①“p或q”为真;②“p且q”为假;③“非p”为假.
解:由①知p,q中至少有一个为真.由②知p,q中至少有一个为假;从而p,q中一个为真,另一个为假.由③知p为真,故q为假.所以满足题设三个条件的命题p,q存在.
例如,p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的两条对角线相等.
6.已知a>0,且a≠1,设p:函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内是减少的;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p和q有且只有一个正确,求a的取值范围.
解:当0<a<1时,函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内是减少的;
当a>1时,y=log a(x+1)在(0,+∞)内不是减少的.
曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.
(1)若p正确,q不正确,则函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内是减少的,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x 轴不交于两点,因此a∈(0,1)∩,即a∈.
(2)若p不正确,q正确,则函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内不是减少的,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点,因此,a∈(1,+∞)∩,即a∈.
综上所述,a的取值范围是.。