2014-2015年湖北省武汉市武昌区八年级(上)期末数学试卷(解析版)

2014-2015学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：每小题3分，共30分．四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣3．（3分）点M（﹣2，1）关于x轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，6，11D．5，9，15 5．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．x2•x3=x6C．（a5）2=a7D．a2÷a5=a﹣3 6．（3分）分式与的最简公分母是（）A．6y B．3y2C．6y2D．6y37．（3分）下列多项式中，能分解因式的是（）A．a2+b2B．﹣a2﹣b2C．a2﹣4a+4D．a2+ab+b2 8．（3分）如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（）A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF9．（3分）如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点，P，Q分别在AB，BC上（P，Q与A，B，C都不重合），OP⊥OQ，OS⊥AQ交AB于S．下列结论：①BQ=BS；②PA=QB；③S是PB的中点；④的值为定值．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：每小题3分，共18分．11．（3分）将分式约分：=．12．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000102千米，数0.000102用科学记数法表示为．13．（3分）若一个n边形的内角和为720°，则边数n=．14．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是．15．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，点M，N分别在BC，CD上，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为．16．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为．三、解答题：共9小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或画出图形．17．（6分）计算：（a+b）2﹣2ab．18．（6分）解方程：=．19．（8分）分解因式：（1）x2﹣9（2）3ab2+6ab+3a．20．（6分）如图，∠BAC=∠DAC，∠B=∠D．求证：AB=AD．21．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=3．22．（8分）如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于y轴的对称点C1的坐标；（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写出点C关于直线m的对称点C2的坐标．23．（10分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？24．（10分）如图1，在△ABC中，AB=AC，BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．（1）直接写出∠ADE的度数；（2）求证：DE=AD+DC；（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF=3，求BP的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n ＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．（1）点C的坐标为：（用含m，n的式子表示）；（2）求证：BM=BN；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．2014-2015学年湖北省武汉市武昌区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分．四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．2．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x=2．故选：A．3．（3分）点M（﹣2，1）关于x轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点M（﹣2，1）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣1），故选：C．4．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，10C．5，6，11D．5，9，15【分析】根据三角形任意两边之和都大于第三边逐个判断即可．【解答】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；B、5+6＞10，6+10＞5，5+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；C、5+6=11，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；D、5+9＜15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；故选：B．5．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．x2•x3=x6C．（a5）2=a7D．a2÷a5=a﹣3【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法等运算，然后选择正确答案．【解答】解：A、b3•b3=b6，原式计算错误，故本选项错误；B、x2•x3=x5，原式计算错误，故本选项错误；C、（a5）2=a10，原式计算错误，故本选项错误；D、a2÷a5=a﹣3，计算正确，故本选项正确．故选：D．6．（3分）分式与的最简公分母是（）A．6y B．3y2C．6y2D．6y3【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：分式与的分母分别是3y、2y2，故最简公分母是6y2；故选：C．7．（3分）下列多项式中，能分解因式的是（）A．a2+b2B．﹣a2﹣b2C．a2﹣4a+4D．a2+ab+b2【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A、平方和不能分解，故A错误；B、平方的符号相同，不能因式分解，故B错误；C、平方和减积的2倍等于差的平方，故C正确；D、平方和加积的1倍，不能因式分解，故D错误；故选：C．8．（3分）如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（）A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF【分析】求出AF=CE，根据平行线的性质得出∠A=∠C，根据全等三角形的判定推出即可．【解答】解：只有选项A正确，理由是：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），故选：A．9．（3分）如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证得AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，继而求得答案．【解答】解：连接AC，∵MN是AE的垂直平分线，∴AC=EC，∴∠CAE=∠E，∵AB+BC=BE，BC+EC=BE，∴AB=EC=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，∴∠B=2∠E，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E，∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，解得：∠E=25°，∴∠B=2∠E=50°．故选：B．10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点，P，Q分别在AB，BC上（P，Q与A，B，C都不重合），OP⊥OQ，OS⊥AQ交AB于S．下列结论：①BQ=BS；②PA=QB；③S是PB的中点；④的值为定值．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由Q是边长BC上的动点，得出①不正确；由等腰直角三角形的性质和已知条件得出∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=AC=OA=OC，∠AOB=90°，证出∠AOP=∠BOQ，由ASA证明△AOP≌△BOQ，得出AP=BQ，OP=OQ，②正确；过O作OM∥BC，则∠MOQ=∠OQC，证明B，P，O，Q四点共圆，由圆内接四边形的性质得出∠OQC=∠SPO=∠MOQ，证出∠POS=∠OQA，由ASA证明△POS≌△OQM，得出PS=OM，证明OM是△AQE的中位线，得出OM=CQ，得出④正确；同理证出△BOP≌△COQ，得出PB=CQ，得出PS=PB，③正确；即可得出结论．【解答】解：∵Q是边长BC上的动点，∴①不正确；∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中点，∴∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=AC=OA=OC，∠AOB=90°，∵OP⊥OQ，∴∠POQ=90°，∴∠AOP=∠BOQ，在△AOP和△BOQ中，，∴△AOP≌△BOQ（ASA），∴AP=BQ，OP=OQ，②正确；过O作OM∥BC，交AQ于M，如图所示：∴∠MOQ=∠OQC，∵∠ABC=∠POQ=90°，∴B，P，O，Q四点共圆，∴∠OQC=∠SPO=∠MOQ，∵OS⊥AQ，∴∠OQA+∠QOS=90°，∵∠POS+∠QOS=90°，∴∠POS=∠OQA，在△POS与△OQM中，，∴△POS≌△OQM（ASA），∴PS=OM，∵AO=OC，∴OM是△AQC的中位线，∴OM=CQ，∴PS=CQ，∴=2，④正确；∵△AOP≌△BOQ，同理：△BOP≌△COQ，∴PB=CQ，∴PS=PB，即S是PB的中点，③正确；正确结论的个数有3个．故选：C．二、填空题：每小题3分，共18分．11．（3分）将分式约分：=．【分析】将分子与分母的公因式约去即可．【解答】解：=．故答案为．12．（3分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000102千米，数0.000102用科学记数法表示为 1.02×10﹣4．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000102=1.02×10﹣4，故答案为：1.02×10﹣4．13．（3分）若一个n边形的内角和为720°，则边数n=6．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：由题意可得：（n﹣2）•180°=720°，解得：n=6．所以，多边形的边数为6．故答案为6．14．（3分）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是±6．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式，∴m=±6，故答案为：±6．15．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，点M，N分别在BC，CD上，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为80°．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），然后根据三角形内角和即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，∴∠MAN=80°故答案为：80°．16．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为4+4．【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN=ME，求出MN=CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长=BD+DC，代入求出即可．【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，∵∠BAC=∠D=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°﹣90°﹣90°=180°，∴∠ABD+∠ABE=180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN=45°，∠BAC=90°，∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC﹣∠MAN=90°﹣45°=45°，∴∠EAM=∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN=ME，∴MN=CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，BD=4，CD=BD×tan∠CBD=4，∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=4+4，故答案为：4+4．三、解答题：共9小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、演算步骤或画出图形．17．（6分）计算：（a+b）2﹣2ab．【分析】根据完全平方公式，可得同类项，根据合并同类项，可得答案．【解答】解：原式=a2+2ab+b2﹣2ab=a2+b2．18．（6分）解方程：=．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x+2=5，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．19．（8分）分解因式：（1）x2﹣9（2）3ab2+6ab+3a．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=（x+3）（x﹣3）；（2）原式=3a（b+1）2．20．（6分）如图，∠BAC=∠DAC，∠B=∠D．求证：AB=AD．【分析】如图，直接证明△ABC≌△ADC，即可解决问题．【解答】证明：如图，在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴AB=AD．21．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=3．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当x=3时，原式==2．22．（8分）如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，写出点C关于y轴的对称点C1的坐标；（2）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）的对称图形△A2B2C2，写出点C关于直线m的对称点C2的坐标．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接，写出C1的坐标；（2）先作出直线m：y=﹣1，然后作出点A、B、C关于y=﹣1对称的点，顺次连接，写出点C2的坐标．【解答】解：（1）所作图形如图所示：C1的坐标为（﹣4，3）；（2）所作图形如图所示：C2的坐标为（4，﹣5）．23．（10分）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；（2）根据利润=售价﹣进价，可求出结果．【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，由题意，得=2×+300，解得x=5，经检验x=5是方程的解．答：该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000=5820（元）．答：超市销售这种干果共盈利5820元．24．（10分）如图1，在△ABC中，AB=AC，BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．（1）直接写出∠ADE的度数；（2）求证：DE=AD+DC；（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF=3，求BP的长．【分析】（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；（2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD即可求得ME=CD，于是证得结论；（3））如图2过点P作PQ⊥BE于Q，由角平分线的性质得到PA=PQ，再由三角形相似得到=，求得PF=3（﹣1），得到PE，根据勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB==75°，∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°，∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=15°，∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，∵∠ADE=60°，DM=AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB=∠AME=120°∵AE=AB，∴∠ABD=∠E，在△ABD和△AEM中，，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME，∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD；（3）如图2，过点P作PQ⊥BE于Q，∵BP平分∠ABE，∠BAE=90°，∴PA=PQ，设PA=PQ=x，∵∠AEB=45°，∴PE=x，∴AB=AE=AP+PE=（1）x，∵EF⊥BP，∴∠PFE=90°，∴∠PFE=∠BAE，∵∠APB=∠EPF，∴△ABP∽△EFP，∴=，∴PF=3（﹣1），∴PE2=PF2+EF2=+32=，解得：x=3，∴AB=3•（+1），∴PB2=+=36，∴PB=6．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n ＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．（1）点C的坐标为：（n，m+n）（用含m，n的式子表示）；（2）求证：BM=BN；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．【分析】（1）过C点作CE⊥y轴于点E，根据AAS证明△AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；（2）根据全等三角形的性质的性质和等量代换可得∠1=∠2，根据ASA证明△ABM≌△CBN，根据全等三角形的性质即可得到BM=BN；（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解．【解答】（1）解：过C点作CE⊥y轴于点E，∵CE⊥y轴，∴∠BEC=90°，∴∠BEC=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBE=∠BAO，在△AOB与△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴CE=OB=n，BE=OA=m，∴OE=OB+BE=m+n，∴点C的坐标为（n，m+n）．故答案为：（n，m+n）；（2）证明：∵△AOB≌△BEC，∴BE=OA=OP，CE=BO，∴PE=OB=CE，∴∠EPC=45°，∠APC=90°，∴∠1=∠2，在△ABM与△CBN中，，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM=BN；（3）证明：∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，∴AD=AC，AG=AC，∴AD=AG，∵∠1=∠5，∠1=∠6，∴∠5=∠6，在△DAH与△GAH中，，∴△DAH≌△GAH（SAS），∴D，G关于x轴对称．。