物理专业数理方法考试试卷及答案3
数学物理方法试题(卷)
数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。
MEC01079_2011级_力学中的数理方法Ⅲ_试题A 标准答案及评分标准
试题A 标准答案及评分标准一、求下述偏微分方程的通解。
（共20分）答:设则原方程化为计算特征方程得2i 11,2±-=λ （10分）解得对x 积分得其中f(x),g(x)是两个任意一次可微函数，h(t)是一个任意两次可微函数。
（10分）二、利用泊松公式求三维波动方程初值问题的解析解。
（共20分）解法一：直接利用泊松公式计算（8分） 0522=++λλ()x,t F x u t x u t x u =∂∂+∂∂∂+∂∂∂52223x u v ∂∂=()t x F 5v t v 2t v 22,=+∂∂+∂∂()()()()()()⎰---++=t 0-t t t d -t sin2e 2x,F sin2t e x b cos2t e x a t x v ττττ,()()()()()()()t h dz d -t sin2e 2z,F sin2t e x g cos2t e x f t x u x 0t 0-t t t +++=⎰⎰---ττττ,()⎪⎩⎪⎨⎧=+=++===0u ,z 6y 3x u u u u a u 0t t 230t zz yy xx tt 2()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∂∂=⎰⎰ππθθθat θat θat x πt t 20023d d sin cos z sin sin y 6cos sin 34t ,z ,y ,x u ϕϕϕ（12分）解法二：初值函数为无穷次可微函数，利用级数形式的泊松公式求解本题,由于计算得三、（共20分）解：（1）证得f 1(n,x)=0证得f 2(n,x)=0 ()()()()()()()()()d τ,τf n -t a n t a n at t u n t n n n n n n n n n n ∑⎰∑∑∞=+∞=+∞=++++=0012201220212122,x x x x Δ!Δ!Δ!τψϕ()()()0t ,f ==+=x x x ψϕz 6y 3x 23()()()()()()()()()12z 18x 222t ,u 220n 2+++=+==∑∞=at z 6y 3x at n at 23n n x x x x ϕϕϕΔ!Δ!()[]()[]()()()z x t a x z t a x t a x θθθat z z y πt t θθθat x x πt t ππππ12182z y 63122z y 61823d d sin sin sin 46d d sin cos sin 34322232222232002220023+++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂=⎰⎰⎰⎰ϕϕϕϕ()()()[]()()()()()x nP x P n x x x P n n n n n n n nn nnn 111211121n 121n x 1x x d d 1x x d d 1n 211x x d d 1n 21---------+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=--='!!()()()[]()()()()()[]()()()()[]122n 21222n 2211n 211n 1x 21x x d d 211x x d d 11x 1121x x d d 211x x d d 11x x d d 211x x d d 21--++++-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--+-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=-='n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n n n n n n x n n n x n x n x P x !!!!()()x P x nP n n 1-'+=f 2(n,x) ·x- f 1(n,x)=f 3(n,x)f 2(n,x) - f 1(n,x)·x =f 4(n,x)f 4(n+1,x) – f 3(n,x)=f 5(n,x)（15分）（2）依次利用递推公式证明勒让德方程如下：（5分）四、（共20分）解：设解的形式为将其代入振动定解问题，得式中a = 2。
数学物理方法期中考试题及答案
( 3) 设F ( z ) =
∫
∞
0
cos mx 2 π − 22 mb iπ /4 i 3π /4 ⎡ ⎤ = − + = Im res res cos dx F be F be e mb. π ( ) ( ) 4 4 3 ⎣ ⎦ 2b 2 x +b
( 4 ) 设F ( z ) =
∞
eiz , 则有 z (1 + z 2 )
sin x 1 −1 ⎣π iresF ( 0 ) + 2π iresF ( i ) ⎤ ⎦ = 2π −πe . ∫−∞ x (1 + x 2 ) dx = Im ⎡
数学物理方法试卷 第 5 页（共 2 页）
( 4) z = −1是 m 阶极点，故其留数为 resf ( −1) =
1 d m−1 2m z ( m − 1)! dzm−1
z =−1
= ( −1)
m+1
m−1 C2 m .
( 5) z = π 为该函数的可去奇点，因而其留数为零。
5. 解：
数学物理方法试卷 第 4 页（共 2 页）
(1) ∫0
2 z
（从“非孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点”中选取正确答案填在空白处）
二、计算题（共 70 分） 1. 已知解析函数 w = f ( z ) 的实部为 u = x − y ，且 f ( i ) = −1 ，求该解析函数及其导
2 2
函数。(12 分) 2. 计算下列围线积分。 （每小题 5 分，选作 3 道，共 15 分）
(1) 0 <
z − 1 < 2;
( 2) 0 <
z < ∞.
物理数学方法试题及答案
物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。
答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。
答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。
答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。
答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。
答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。
答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。
2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。
答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。
3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。
答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。
特征向量则是对应的非零向量。
例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。
【物理】物理数学物理法题20套(带答案)含解析
【物理】物理数学物理法题20套(带答案)含解析一、数学物理法1. 两块平行正对的水平金属板AB, 极板长 , 板间距离 , 在金属板右端竖直边界MN 的右侧有一区域足够大的匀强磁场, 磁感应强度 , 方向垂直纸面向里。
两极板间电势差UAB 随时间变化规律如右图所示。
现有带正电的粒子流以 的速度沿水平中线 连续射入电场中, 粒子的比荷 , 重力忽略不计, 在每个粒子通过电场的极短时间内, 电场视为匀强电场（两板外无电场）。
求:(1)要使带电粒子射出水平金属板, 两金属板间电势差UAB 取值范围；(2)若粒子在距 点下方0.05m 处射入磁场, 从MN 上某点射出磁场, 此过程出射点与入射点间的距离 ；(3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t 。
【答案】(1)100V 100V AB U -≤≤；(2)0.4m ；(3) 69.4210s -⨯ 【解析】 【分析】 【详解】(1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为 , 此时粒子在电场中做类平抛运动, 加速大小为a,时间为t1。
水平方向上01L v t =①竖直方向上21122d at =② 又由于mU qma d=③ 联立①②③得m 100V U =由题意可知, 要使带电粒子射出水平金属板, 两板间电势差100V 100V AB U -≤≤(2)如图所示从 点下方0.05m 处射入磁场的粒子速度大小为v, 速度水平分量大小为 , 竖直分量大小为 , 速度偏向角为θ。
粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R, 则2mv qvB R=④ 0cos v v θ=⑤2cos y R θ∆=⑥联立④⑤⑥得20.4m mv y qB∆== (3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。
如图所示粒子进入磁场速度大小为v1, 速度水平分量大小为 , 竖直分量大小为vy1, 速度偏向角为α, 则对粒子在电场中011L v t =⑦11022y v d t +=⑧ 联立⑦⑧得101y v v =101tan y v v α=得π4α=粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为 , 则211mv qv B R ='⑨ 1mv R qB'=⑩ 带电粒子在磁场中圆周运动的周期为T12π2πR m T v qB'==⑪在磁场中运动时间2π(π2)2πt T α--=⑫联立⑪⑫得663π10s 9.4210s t --=⨯=⨯2. 如图, 在长方体玻璃砖内部有一半球形气泡, 球心为O, 半径为R, 其平面部分与玻璃砖表面平行, 球面部分与玻璃砖相切于O'点。
高考物理数学物理法试题(有答案和解析)及解析
高考物理数学物理法试题(有答案和解析)及解析一、数学物理法1．两块平行正对的水平金属板AB ，极板长0.2m L =，板间距离0.2m d =，在金属板右端竖直边界MN 的右侧有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度3510T B -=⨯，方向垂直纸面向里。
两极板间电势差U AB 随时间变化规律如右图所示。
现有带正电的粒子流以5010m/s v =的速度沿水平中线OO '连续射入电场中，粒子的比荷810C/kg qm=，重力忽略不计，在每个粒子通过电场的极短时间内，电场视为匀强电场（两板外无电场）。
求： (1)要使带电粒子射出水平金属板，两金属板间电势差U AB 取值范围；(2)若粒子在距O '点下方0.05m 处射入磁场，从MN 上某点射出磁场，此过程出射点与入射点间的距离y ∆；(3)所有粒子在磁场中运动的最长时间t 。
【答案】(1)100V 100V AB U -≤≤；(2)0.4m ；(3) 69.4210s -⨯ 【解析】 【分析】 【详解】(1)带电粒子刚好穿过对应偏转电压最大为m U ，此时粒子在电场中做类平抛运动，加速大小为a ，时间为t 1。
水平方向上01L v t =①竖直方向上21122d at =② 又由于mU qma d=③ 联立①②③得m 100V U =由题意可知，要使带电粒子射出水平金属板，两板间电势差100V 100V AB U -≤≤(2)如图所示从O '点下方0.05m 处射入磁场的粒子速度大小为v ，速度水平分量大小为0v ，竖直分量大小为y v ，速度偏向角为θ。
粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R ，则2mv qvB R=④ 0cos v v θ=⑤2cos y R θ∆=⑥联立④⑤⑥得20.4m mv y qB∆== (3)从极板下边界射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长。
如图所示粒子进入磁场速度大小为v 1，速度水平分量大小为01v ，竖直分量大小为v y 1，速度偏向角为α，则对粒子在电场中011L v t =⑦11022y v d t +=⑧ 联立⑦⑧得101y v v =101tan y v v α=得π4α=粒子在磁场中圆周运动的轨道半径为R'，则211mv qv B R ='⑨ 1mv R qB'=⑩ 带电粒子在磁场中圆周运动的周期为T12π2πR m T v qB'==⑪在磁场中运动时间2π(π2)2πt T α--=⑫联立⑪⑫得663π10s 9.4210s t --=⨯=⨯2．如图所示，在竖直边界1、2间倾斜固定一内径较小的光滑绝缘直管道，其长度为L ，上端离地面高L ，下端离地面高2L．边界1左侧有水平向右的匀强电场，场强大小为E 1（未知），边界2右侧有竖直向上的场强大小为E 2（未知）的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）．现将质量为m 、电荷量为q 的小球从距离管上端口2L 处无初速释放，小球恰好无碰撞进入管内（即小球以平行于管道的方向进入管内），离开管道后在边界2右侧的运动轨迹为圆弧，重力加速度为g ． （1）计算E 1与E 2的比值；（2）若小球第一次过边界2后，小球运动的圆弧轨迹恰好与地面相切，计算满足条件的磁感应强度B 0；（3）若小球第一次过边界2后不落到地面上（即B >B 0），计算小球在磁场中运动到最高点时，小球在磁场中的位移与小球在磁场中运动时间的比值．（若计算结果中有非特殊角的三角函数，可以直接用三角函数表示）【答案】（131；（23(23)m gL -；（3）36gL︒【解析】【分析】根据题意，粒子先经过电场，做匀加速直线运动，在进入管中，出来以后做匀速圆周运动，画出物体的运动轨迹，再根据相关的公式和定理即可求解。
数理方法习题解答(方程部分)0809
作业参考答案3、在（,ππ-）这个周期上，2()f x x x =+，试将它展开为傅立叶级数，又在本题所得展开式中置x π=，由此验证222211112346π++++=解：因为2()f x x x =+在（,ππ-）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数 又 l π=所以()0101()cos sincos sin k k k k k k k k f x a a x b x l l a a kx b kx ππ∞=∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=++∑∑23201111()d 2233a x x x x πππππππ--=+==⎰ 21()cos d k a x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos sin 2cos sin xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=+++-()241k k =- 21()sin d k b x x kx xπππ-=+⎰()()22312sin cos 2sin cos cos xkx kx kx kx kx kx kx k k k πππππππππ---=-+--()121k k +=- 所以 ()()1221142()1cos 1sin 3k k k f x kx kx kk π∞+=⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭∑222,,,x x x x x ππππππ⎧+-<<⎪==-⎨⎪=⎩令x π=代入上式得:()()()()122222211142141cos 1sin 1133k k k k k k kx kx k k kπππ∞∞+==⎛⎫⎛⎫+-+-=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 所以有222211112346π++++=得证5．（1）()cos ,(0,),(0)0,()0f x x x f f αππ=∈==作奇延拓，展为奇函数（sin 函数）1()sin k k f x b kx ∞==∑2cos sin d k b x kx x παπ=⎰2sin()sin()d 2k x k xx πααπ-++=⎰0111cos()cos()k x k x k k ππααπαα--⎡⎤=-++⎢⎥-+⎣⎦()()111cos cos 1cos cos 1k k k k παππαππαα--⎡⎤=-+-⎢⎥-+⎣⎦12221(1)cos ()k k k αππα+⎡⎤=+-⎣⎦- 12212()1(1)cos sin ,0()k k kf x kx x k απππα∞+=⎡⎤∴=+-<<⎣⎦-∑6． （1）2cos(/),(0,/2)(),(0)0,()00,(,)lx l x l f x f f l x l π∈⎧''===⎨ ∈⎩ 作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑/2/200002111cos d cos d sin 2l l l x x x a x x l l l l l πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰所以要讨论k ＝1的情况/221021cos d 2l x a x l l π⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ /202cos cos d l k x k x a x l l l ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰/202111cos cos d 2l k k x x x l l l ππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰ /211111sin sin 11l k k x x k l k l πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111sin sin 1212k k k k πππ⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎝⎭⎣⎦120,212(1),2(41)m k m k m m π+ =+⎧⎪=-⎨ =⎪-⎩121112(1)2()cos cos ,02(41)m m x mf x x x l l m l ππππ+∞=-∴=++<<-∑ （2）()(1/),(0,),(0)0,()0f x a x l x l f f l ''=-∈==作偶延拓，展为偶函数（cos 函数）01()cos k k k x f x a a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑002(1/)d 22l aa a x l x l =-=⎰ 02(1)cos d l k x k x a a x l l l π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 202221sin cos l a l k k k x x x l l k l l l ππππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()222202211421(21)k k n a a k n k n ππ=⎧⎪⎡⎤=--=⎨⎣⎦=+⎪+⎩220421()cos ,02(21)n a a n f x x x l n lππ∞=+∴=+<<+∑8．矩形波()f x 在(/2,/2)T T -这个周期上可以表示为0,/2/2(),/2/20,/2/2T x f x H x x T ττττ-<<-⎧⎪=<<-⎨⎪<<⎩试将它展为复数形式的傅立叶级数解：因为()f x 在(/2,/2)T T -上满足狄氏定理，可以展开为复数形式的傅立叶级数 又 2l T =2()k k ix ix lTkkk k f x c ec eππ∞∞=-∞=-∞==∑∑22/2/2/2/211()d d k k T i x i x T Tk T c f x e x He x T T ππττ--==⎰⎰ 2/2/22k ixTH T e T i k πττπ-⎛⎫=⎪-⎝⎭sin 2k k i i TT H e e H k k i k T πτπτπτππ-⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭当k ＝0时，/2/2/2/211()d d T k T H c f x x H x T T Tτττ--===⎰⎰ 2211()sin sin k k i x i x T Tk k H H k H k f x e e T k T k T ππτπτπτππ-∞=-∞=∴=++∑∑*****************************************************************3．把下列脉冲()f t 展开为傅立叶积分0,(),0,00,t T f t h T t h t T t T⎧⎪<-⎪⎪=--<<⎨⎪<<⎪>⎪⎩解：在(,)t ∈-∞∞，()f t 满足狄氏条件，且绝对可积，所以()f t 可以展开为付氏积分。
基地班数理方法考试试卷及参考答案3
d2 dx 2
直接计算积分，可以得到
d 2 y2 d dy ( ) p x q ( x) 1 dx y2 2 a dx dx dx d d2y d d2y dy1 d 2 y2 dy2 d 2 y1 b { ( )[ ]} a p x { y1 [ p ( x) 22 ] y2 [ p( x) 21 ]} b a dx dx dx dx dx dx 2 dx dx 2
2
)。
(A)
i
a
(B)
2
i
a
( C)
0
( D) 2πi
专业：
3．积分 I
0
d (0 a 1) 的值为( 1 a cos
(B)
)。
(A)
2 1 a
2
1 a
2
( C)
2 1 a
2
( D)
2
( )。
院（系） ：
4．函数
1 z ( z i)
2
n
a z
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3．设有本征值问题：
d2 dx 2
d2y d dy p ( x ) q( x) [ ( x) r ( x)] y 0 ， 2 dx dx dx
y
x a 0,
p( x)
d2y dx 2
x a 0,
2．试证明： f ( x ) lim 证明： （1）
n
n nx 2 e 是 函数的一种表达式。 n
x 0, f (0) x 0, f ( x) 0
（2）
数学物理方法考试试题3
课程试卷库测试试题（编号：3 ）一、判断题（对的打“√”, 错的打“×”，共5题，每题4分） 1、在复数领域，函数Z a -是一个多值函数。
√2、若函数()f z 在闭单通区域B 内存在奇点，则一般来讲，()f z 沿B 境界线的积分不等于零。
√3、若()f x 的傅里叶变换像函数是()F ω，则0()i xef x ω的像函数是0()F ωω-。
√4、复变函数21()(2)f z Z =+在上半平面的二阶极点是2。
×5、一端固定，另一端自由的均匀细杆的纵振动，其边界条件属于第一类齐次边界条件。
× 二、填空题（共5题，每题4分）1、c osix 的模为2xxe echx--=2、在00Z =，s inZZ 的洛朗级数为241113!5!z z -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3、c te os t ω-的拉普拉斯变换函数为()2211p p ω+++4、三维扩散方程可写为2t u a u -∆=5、扩散流强度q 的物理意义是单位时间内通过单位横截面积的原子或分子数。
三、选择题（共5题，每题4分）1、复变函数的回路积分21cos Z Z dZZ=⎰的积分值为3⑴ i ， ⑵ i -， ⑶ 0， ⑷ 2i π。
2、复变函数2()(1)(2)Zf z Z Z =--的极点和留数问题，正确的说法是：1⑴ 单极点1，留数1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑵ 二阶极点1，留数为1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑶ 一阶极点1，留数为1- ；二阶极点2，留数为1-；，⑷ 一阶极点1，留数为1-；二阶极点2，留数为1；3、函数s te h t λω的拉普拉斯像函数为：2⑴ 22()p ωλω-+， ⑵ 22()p ωλω--，⑶ 22()p p λλω--+， ⑷ 22()p p λλω---。
4、求解二维拉普拉斯方程22222110uuuρρρρϕ∂∂∂++=∂∂∂，令(.)()()u R ρϕρϕ=Φ，要求()(2)()()R R ρϕπρϕΦ+=Φ，则此条件属于4⑴ 第一类边界条件， ⑵ 第二类边界条件， ⑶ 第三类边界条件， ⑷ 自然周期条件。
湖南师范大学物理信息科学学院2016-2017学年第二学期物理学专业15年级《数理方法》期末卷B答案
湖南师范大学2016—2017学年第1学期 物理学专业 15年级期末课程高等数学（三）考核试题标准答案及评分细则课程代码： 考核方式: 闭卷 考试时量：120分钟 试卷类型：B一、单选择题(每小题4分, 共20分)1、②2、③3、④4、④5、①二、填空题(每小题4分, 共20分) 6、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=*a cb dA 7、32212322214252x x x x x x x --++ 8、2211X C X C + 9、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011211y y y x x x 10、21e -－三、简答题(每小题10分, 共40分) 11、证明：按行列式的定义有左端=nnn n nn nj j j j j j nj j j j j j j j j a a a a a a 22212121212111)1(21)()1()1(∑∑-=-ττ=n nn nj j j j j j a a a 2222)(11)1(∑-τ ………..………………………5分 =nnn n nn a a a a a a a a a a32333322232211=右端 ………..………………………10分12、在V 中任取一个基底],,,[21n εεε ，由T 的定义有.,,,2,1,0000],,,[21n j j k k T n j j =←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 个分量第εεεεε………..………………………5分 所以T 在V 中任意一个基底],,,[21n εεε 下的矩阵表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k kA 00 为数量矩阵。
………..……………………….10分13、解：设α的坐标为),,(321x x x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=++⇒---+++=--+-+=121),,()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,2,1(321321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ………..………………………5分解上述方程组得2/1,2/1,1321-===x x x于是，向量)1,2,1(=α在基底],,[321ααα下的坐标为)2/1 ,2/1 ,1(-………..………………………10分14、由T 满足的条件得出⎪⎩⎪⎨⎧--=--=++==++-=-=3213321232110)1,1,0(2)1,1,2(0)0,1,1(ee e Te e e e Te e e e Te ………..……………………….（5） 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110111021A 。
数学物理方法考试试题
数学物理方法考试试题一、选择题1. 在坐标系中，以下哪个曲线表示了函数 y = e^x 的图像？A. y = x^2B. y = eC. y = e^(-x)D. y = ln(x)2. 一个小球从地面上方以速度 v0 抛下，忽略空气阻力。
以下哪个公式正确地描述了小球的下降高度 h(t) 随时间变化的关系？A. h(t) = v0 * t - 0.5 * g * t^2B. h(t) = v0 * t + 0.5 * g * t^2C. h(t) = v0 * t + g * t^2D. h(t) = v0 * t - g * t^23. 空间中有一个电场 E = 2x i + 3y j + 4z k。
一个电子从点 (1, 2, 3) 处开始沿电场方向运动，电子的加速度大小是多少？A. 7B. 5C. 6D. 44. 一个质点在平面上做匀速圆周运动，其角速度大小为 2 rad/s。
质点的速度大小和圆周半径分别是多少？A. v = 2rB. v = 4rC. v = 6rD. v = 8r5. 一辆汽车以匀加速度 a 行驶，在时刻 t1 时起动，时刻 t2 时速度为 v2。
以下哪个公式可以用于计算汽车在时间区间 [t1, t2] 内行驶的距离？A. s = v2 - v1B. s = a * (t2 - t1)C. s = v1 * (t2 - t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2D. s = v1 * (t2 + t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2二、计算题1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4(2) g(x) = e^x * sin(x)2. 一个弹簧的劲度系数为 k，质量为 m 的物体悬挂在弹簧上。
当物体受到外力 F(t) = 2cos(t) 作用时，确定物体的运动方程并解释物体的运动特性。
3. 一个半径为 R 的圆形铁环在匀强磁场 B 的作用下，磁通量在时间区间 [0, t] 内以恒定速率增大。
数学物理方法复习题答案
数学物理方法复习题答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下关于复数的表述中，错误的是：A. 复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位B. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等C. 复数的模是实部和虚部平方和的平方根D. 复数的共轭是将虚部的符号改变答案：D2. 傅里叶级数展开中，函数f(x)在区间[-L, L]上的傅里叶系数an的计算公式为：A. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)B. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)C. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)D. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)答案：C3. 以下哪个函数是偶函数：A. \(e^x\)B. \(\sin(x)\)C. \(x^2\)D. \(\cos(x)\)答案：C4. 拉普拉斯变换的定义是：A. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)B. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)C. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)D. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)答案：A5. 以下哪个积分是不定积分：A. \(\int e^x dx\)B. \(\int \frac{1}{x} dx\)C. \(\int \sin(x) dx\)D. \(\int \cos(x) dx\)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 复数 \(3 + 4i\) 的模是 ________。
物理数学考试试题及答案
物理数学考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 光在真空中的传播速度是多少？A. 299,792,458 m/sB. 299,792,458 km/sC. 299,792,458 m/minD. 299,792,458 km/min答案：A2. 根据牛顿第二定律，力F、质量m和加速度a之间的关系是？A. F = maB. F = ma^2C. F = m/aD. F = a/m答案：A3. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，经过时间t后的速度为v，则加速度a为？A. a = v/tB. a = v^2/tC. a = v^2/t^2D. a = v*t答案：A4. 一个物体在水平面上受到一个恒定的力F作用，若物体的质量为m，摩擦力为f，则物体的加速度a为？A. a = (F - f)/mB. a = (F + f)/mC. a = F/m - fD. a = F/m + f答案：A5. 一个物体的质量为m，从高度h自由下落，忽略空气阻力，落地时的速度v是多少？A. v = √(2gh)B. v = √(2gh)/2C. v = 2ghD. v = 2gh/2答案：A6. 根据欧姆定律，电阻R、电流I和电压V之间的关系是？A. V = IRB. V = I/RC. V = R/ID. I = V/R答案：A7. 一个电路中，电阻R1和R2串联，总电阻Rt为？A. Rt = R1 + R2B. Rt = R1 * R2C. Rt = R1/R2D. Rt = R1 * R2/(R1 + R2)答案：A8. 一个电路中，电阻R1和R2并联，总电阻Rt为？A. Rt = R1 + R2B. Rt = R1 * R2C. Rt = R1/R2D. Rt = 1/(1/R1 + 1/R2)答案：D9. 一个电容器的电容C、电荷量Q和电压V之间的关系是？A. C = Q/VB. C = QVC. C = V/QD. C = V*Q答案：A10. 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E和磁通量变化率ΔΦ/Δt之间的关系是？A. E = ΔΦ/ΔtB. E = Δt/ΔΦC. E = ΔΦ * ΔtD. E = ΔΦ^2/Δt答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 牛顿第三定律指出，作用力和反作用力大小相等，方向________，作用在不同的物体上。
数学专业物理考试题及答案
数学专业物理考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据牛顿第二定律，一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与它的质量成反比。
如果一个物体的质量为2kg，作用在它上面的力为10N，那么它的加速度是多少？A. 5 m/s²B. 10 m/s²C. 20 m/s²D. 40 m/s²2. 电磁波的传播速度在真空中是恒定的，其数值是多少？A. 299792 km/sB. 299792458 m/sC. 3×10^8 m/sD. 3×10^8 km/s3. 根据能量守恒定律，在一个封闭系统中，能量不能被创造或销毁，只能从一种形式转换为另一种形式。
以下哪个选项正确描述了能量守恒定律？A. 能量可以被创造或销毁B. 能量可以从一个物体转移到另一个物体C. 能量的总量在封闭系统中保持不变D. 能量只能以一种形式存在4. 根据库仑定律，两个点电荷之间的力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
如果两个点电荷的电荷量分别为q1和q2，它们之间的距离为r，那么它们之间的力F是多少？A. F = k * q1 * q2 / rB. F = k * q1 * q2 * rC. F = k * q1 / q2 * r²D. F = k * q1 * r / q25. 根据热力学第一定律，能量守恒定律在热力学过程中也适用。
热力学第一定律的数学表达式是什么？A. ΔU = Q - WB. ΔU = Q + WC. ΔU = Q / WD. ΔU = W / Q6. 根据麦克斯韦方程组，电磁场是如何相互作用的？以下哪个方程描述了电场和磁场之间的关系？A. ∇ × E = 0B. ∇ × E = ∂B/∂tC. ∇ × B = 0D. ∇ × B = ∂E/∂t7. 波函数的模的平方表示什么物理意义？A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在空间中某点的概率密度D. 粒子的位置8. 根据量子力学的不确定性原理，以下哪个陈述是错误的？A. 粒子的位置和动量不能同时被精确测量B. 粒子的能量和时间不能同时被精确测量C. 粒子的自旋和位置可以同时被精确测量D. 粒子的动量和能量可以同时被精确测量9. 根据相对论，当一个物体的速度接近光速时，它的质量会如何变化？A. 质量保持不变B. 质量增加C. 质量减少D. 质量变为零10. 根据光电效应，光子的能量可以被电子吸收，导致电子从金属表面释放出来。
物理方法试题及答案
物理方法试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 光的波长与频率的关系是（）。
A. 波长与频率成正比B. 波长与频率成反比C. 波长与频率无关D. 波长与频率是相等的2. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力的关系是（）。
A. 作用力大于反作用力B. 作用力小于反作用力C. 作用力等于反作用力D. 作用力和反作用力方向相反3. 物体在水平面上做匀速直线运动时，摩擦力的大小与（）。
A. 物体的质量有关B. 物体的速度有关C. 物体所受的外力有关D. 物体与水平面间的摩擦系数有关4. 以下哪种物质是超导体（）。
A. 铁B. 铜C. 铝D. 铅5. 电磁波的传播速度在真空中是（）。
A. 等于光速B. 等于声速C. 等于光速的一半D. 等于声速的一半6. 根据能量守恒定律，能量（）。
A. 可以被创造B. 可以被消灭C. 可以相互转化D. 既不能被创造也不能被消灭7. 以下哪种力是保守力（）。
A. 摩擦力B. 重力C. 弹力D. 空气阻力8. 光的折射现象是由于（）。
A. 光速在不同介质中不同B. 光的波长在不同介质中不同C. 光的频率在不同介质中不同D. 光的强度在不同介质中不同9. 根据热力学第一定律，系统内能的变化等于（）。
A. 系统吸收的热量B. 系统放出的热量C. 系统吸收的热量与对外做的功之和D. 系统吸收的热量与对外做的功之差10. 以下哪种现象不属于电磁感应（）。
A. 电磁铁B. 变压器C. 电动机D. 静电感应二、填空题（每题2分，共20分）1. 光在真空中的传播速度是_______m/s。
2. 牛顿第一定律也被称为______定律。
3. 电磁波谱中，波长最长的是______波。
4. 物体的惯性大小与其______有关。
5. 电流的磁效应是由______发现的。
6. 温度是表示物体______的物理量。
7. 根据欧姆定律，电阻R等于电压U除以______。
8. 根据库仑定律，两点电荷之间的静电力与它们的电荷量成正比，与它们之间的距离的______次方成反比。
高考物理数学物理法试题(有答案和解析)
高考物理数学物理法试题(有答案和解析)一、数学物理法1．如图所示，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q (q ＞0)、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′．球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(02πθ<<)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B 的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g )【答案】min 2cos m g B q R θ=cos gRv θθ=【解析】 【分析】 【详解】据题意，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O’．P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f ＝qvB ①式中v 为小球运动的速率．洛仑兹力f 的方向指向O’．根据牛顿第二定律cos 0N mg θ-= ②2sin sin v f N mR θθ-= ③ 由①②③式得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+=④由于v 是实数，必须满足222sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥ ⑤由此得2cos m gB q R θ≥⑥可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为min 2cos m gB q R θ=⑦此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为min sin 2qB R v m θ=⑧由⑦⑧式得sin cos gRv θθ=⑨2．晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。
球飞离水平距离d 后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。
(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动。
物理数学物理法练习题含答案及解析
物理数学物理法练习题含答案及解析物理和数学是自然界的两个重要学科，它们之间有着紧密的联系。
物理数学是一门研究物理学中的数学方法和应用的学科，对于学习物理学和数学学科的学生来说，理解物理数学的基本概念和方法非常重要。
本文将为大家提供一些物理数学物理法的练习题，并附带答案及解析，希望能帮助大家加深对物理数学物理法的理解。
物理数学物理法练习题一:1. 对于一维的匀强磁场，其磁感应强度与位置关系为B(x)=B0(1-αx)，求出在此磁场中的磁场力。
答案：由洛伦兹力公式F=q(v×B)，其中q为电荷量，v为速度，B为磁感应强度。
在一维情况下，速度的方向与磁场垂直，即v⊥B。
则磁场力可表示为F=qvB=qvB0(1-αx)。
解析：根据洛伦兹力公式，磁场力的大小与电荷量、速度以及磁感应强度的乘积有关。
在一维匀强磁场中，磁感应强度与位置存在线性关系，根据此关系可以得到磁场力的表达式。
物理数学物理法练习题二:2. 在直角坐标系中，由一个点电荷产生的静电场强度为E=3xi+4yj，其中i和j为单位矢量，求出点电荷的电荷量。
答案：静电场的强度和电荷量的关系由高斯定律给出，即E=ρ/ε0，其中E为静电场强度，ρ为电荷密度，ε0为真空中的介电常数。
在此题中，静电场强度为E=3xi+4yj，代入高斯定律可得ρ/ε0=3xi+4yj。
解析：根据高斯定律，静电场的强度与电荷量的关系是一个线性关系。
通过求解此关系方程组，我们可以确定电荷量的值。
物理数学物理法练习题三:3. 一根长为L的均质细杆，质量为m，绕过其一端的固定轴按垂直于杆的方向以角速度ω旋转，求杆上离轴一端的质点的动能。
答案：质点的动能可表示为K=1/2Iω^2，其中K为动能，I为转动惯量，ω为角速度。
对于质点来说，其距离轴的距离为r=L，转动惯量为I=1/3mL^2。
代入公式，动能可表示为K=1/2(1/3mL^2)ω^2=1/6mL^2ω^2。
解析：根据转动惯量的定义和动能的定义，我们可以通过计算转动惯量和角速度的乘积来确定质点的动能。
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1．试计算积分
z 4
3z 1 dz 。 ( z 1)( z 3)
2． 长为 l、 杆身与外界绝热的均匀细杆， 杆的两端保持为零度， 已知其初始温度分布 求在 t > 0 时杆上的温度分布。
( x) lx (l为常量） ，
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3．在均匀外电场 E0 中置入半径为 r0 的导体球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，使球与地保持电势 差为 u 0 ，求球内、外的电势。设导体球置入前坐标原点的电势为零。
( x xk ) ， k 1 '( xk )
N
( x2 a2 )
( x a) ( x a) 1 [ ( x a ) ( x a)] '(a) '( a) 2 a
第 1 页(共 3 页)
得分
评阅人
四、计算题： （共 4 题。第 1 题 10 分，第 2、3 题各 18 分，第 4 题 13 分，共 59 分。 ）
( ) f (t )e i t dt f
T
cos(2 v0t )(cos t i sin t )dt
T T
cos(2 v0t ) cos(t )dt
T
[cos(2 v0 )t cos(2 v0 )t ]dt
2u1 0 (r r0 ) 2 u2 0 (r r0 ) E0 r cos Lim r u (r ) u (r ) 1 0 2 0
（2）对称性及通解形式。本问题具有轴对称性。因为接地导体为等势体，故球内、球外电势可分别表示为
u1 u0 , u2 ( Al r l Bl r l 1 ) Pl (cos )
n 1
n x 得 l Cn
2 2 l n x n 1 2l xl sin dx ( 1) l 0 l n
将上式代入叠加解，得
(1) n 1 u ( x, t ) 2 e n 0 n 2l 2
n 2 2 a 2t l2
sin
n x l
第 2 页(共 3 页)
华中师范大学 2008 –2009 学年第一学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
3．在均匀外电场 E0 中置入半径为 r0 的导体球，取球心为坐标原点，导体球上接有电池，使球与地保持电势 差为 u 0 ，求球内、外的电势。设导体球置入前坐标原点的电势为零。 解：选坐标原点在球心，极轴沿 E0 方向的球坐标系。设球内电势为 u1 ，球外电势为 u2 ，因除球面上有自由 电荷分布外，球内、球外均无自由电荷分布，故 u1 与 u2 满足拉普拉斯方程。 （1）定解问题为
ikx0
F [ f ( x)] 。
sin( x) ( x )dx 2
1
。
得分
评阅人
三、证明题： （10 分）
试证明： ( x a )
2 2 2 2
1 [ ( x a) ( x a)] 。 2a
证：令 ( x) x a ，则 ( x) 0 只有单根 a和a ，且 '( a ) 2a 、 '( a ) 2a ，由 δ 函数的性 质 5： 若 ( x) 为连续函数，且 ( x) 0 只有单根 xk (k 1, 2, , N ) ，则 [ ( x)] 可得
B1 E0 r03 , Bl 0 (l 0,1) 。 u0 r0 E0 r03 cos r r2
u1 u0 , u2 E0 r cos
4．试求有限波列 f (t ) 解：
cos 2 0t ( t T ) ( ) （式中 为常量） 的傅里叶变换 f 。 0 ) 0 ( t T
期末考试 A 卷参考答案
课程名称 数学物理方法 课程编号 83810012 任课教师 金 猛 吴少平 题型 分值 得分
得分 评阅人
问答题 填空题 证明题 计算题
学号：
总分 100
16
15
10
59
学生姓名：
一、问答题： （共 4 题，每题 4 分，共 16 分）
1． w
3
i 的辐角主值是多少？ 3 i 有不同根的原因是什么？
0
T
sin(2 v0 )T sin(2 v0 )T 2 v0 2 v0
第 3 页(共 3 页)
答：辐角主值为
6
、
年级：
5 3 和 ，有不同根的原因是复数 i 辐角的多值性。 6 2
2．复变函数 w z z * 是否为解析函数？为什么？ 答： w z z* i 2 y ，于是复变函数的实部和虚部分别为 u 0 ， v 2 y ，它们不满足 C R 条件，所 以原函数不是解析函数。
专业：
3．函数 f ( z )
1 在有限远处的奇点是什么？它们分别属于什么类型？ z (1 z 2 )
答：有限远处的奇点是 z 0, i 。它们都是一阶孤立奇点。
院（系） ：
4．分离变量法的一个重要步骤是什么？由此步骤可以得到什么？ 答：分离变量法的一个重要步骤是求解本征值问题。通过求解本征值问题，可以得到本征值和本征函数。
sin( x) ( x )dx 2
。
得分
评阅人
三、证明题： （10 分）
试证明： ( x a )
2 2
1 [ ( x a) ( x a)] 。 2a
第 1 页(共 3 页)
得分
评阅人
四、计算题： （共 4 题。第 1 题 10 分，第 2、3 题各 18 分，第 4 题 13 分，共 59 分。 ）
2． 长为 l、 杆身与外界绝热的均匀细杆， 杆的两端保持为零度， 已知其初始温度分布 求在 t > 0 时杆上的温度分布。 解： （1）定解问题为
( x) lx (l为常量） ，
ut a 2u xx 0 u (0, t ) 0, u (l , t ) 0 u ( x, 0) xl
1．试计算积分
z 4
3z 1 dz 。 ( z 1)( z 3)
解：本题可用留数定理和柯西积分公式两种方法求解。 1）留数定理法：由
L0
f ( z )dz 2 i Res f (bk )
k
这里被积函数的奇点为 z 1和 z 3 ，都是一阶奇点，且都在| z | 4 围成的圆内。 所以 原式＝ 2 i[Res f (1) Res f (3)] 6 i
期末考试试卷(A 卷)
课程名称 数学物理方法 课程编号 83810012 任课教师 金 猛 吴少平 题型 分值 得分
得分 评阅人
问答题 填空题 证明题 计算题
学号：
总分 100
16
15
10
59
学生姓名：
一、问答题： （共 4 题，每题 4 分，共 16 分）
1． w
3
i 的辐角主值是多少？ 3 i 有不同根的原因是什么？
2）由复通区域柯西定理及柯西公式得：将积分回路 | z | 4 换成分别围绕奇点 z 1和 z 3 的回路ຫໍສະໝຸດ C1和C2原式＝
C1
3z 1 3z 1 dz dz C 2 ( z 1)( z 3) ( z 1)( z 3)
＝ 2 i
3z 1 3z 1 6 i 2 i z 1 Z 3 z 3 Z 1
1．函数 f ( x) 3 x 5 x
2
1 按勒让德多项式 Pl ( x) 的展开式为 f ( x) 2
。
2．在一维定解问题中，第二类齐次边界条件为 u x (0, t ) 0 。若 u 代表温度，则边界条件的物理意义为 ；若 u 代表位移，则边界条件的物理意义为 3．设 x0 为任意常数，则傅里叶变换的延迟定理为 F [ f ( x x0 )] 4．积分 。 。
u2 E0 r cos Bl r l 1 Pl (cos )
l 0
将上式第二个定解条件得
E0 r0 cos Bl r0 l 1 Pl (cos ) u0
l 0
由{P l (cos )} 的正交性得： B0 u0 r0 , 所以，定解问题的解为：
（2）本征值和本征函数分别为
n
（3）特解的线性叠加
n 2 2 , l2
X n ( x) sin
n x l
(n 1, 2,)
u ( x, t ) Cn e
n 1
n2 2 a 2t l2
sin
n x l
（4）根据本征函数的正交性、初始条件定系数 由 xl u ( x, 0) Cn sin
4．试求有限波列 f (t )
cos 2 0t ( t T ) ( ) （式中 为常量） 的傅里叶变换 f 。 0 0 ( t T )
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华中师范大学 2008 –2009 学年第一学期
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