§9势垒贯穿
量子力学——谐振子、势垒贯穿
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,
2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2
S(五章3讲)势垒贯穿
令
k2 ik3
1 2
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
2 其中 k3 2 (U 0 E )
是实数
在(6)和(7)式中，把 k2换为 ik3， 得：
透射系数:
T
2 4k12 k3 2 , 2 2 2 2 2 (k1 k3 ) sh k3a 4k1 k3
反射系数:
2 2 (k12 k3 ) sh2 k3a R 2 2 2 2 (k1 k3 ) sh2 k3a 4k12k3
宾尼
罗赫尔
鲁斯卡
例1：
U(x)
U0
I 0 II
作业1： 作业２： 作业３：已知核的势能曲线如图，计算α 粒子的透射系数
１.
2.电子通过单一势垒时，透射系数一般很小，但是 在通过双势垒时，却可以出现透射系数为100%的情况，
称为共振隧穿，试研究这种情况并给出共振隧穿发生的条件
附录１：了解纳米与分子电子学
ik1a
可得透射波振幅 C 与入射波振幅 A 间的关系
4k1k 2 e C A 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
（4）
以及反射波振幅A '与入射波振幅A间的关系
2i(k k ) sin ak2 A A 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
(x a )
由左向右的透射波
因Ⅲ区无由右向左传播 的平面波，故 C 0
定系数：
由 波 函 数 的 连 续 性 条 件
I Aeik1x A eik1x III C eik1x
( x 0) (x a )
(1) (2) (3)
隧穿效应
同理得反射系数：
2 2 2 J R | A |2 ( k1 k2 ) si n2 k2a R 2 2 2 2 2 2 JI | A| ( k1 k2 ) si n2 k2a 4k1 k2
由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 x > a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。
A
2i (k 12 k 22 ) sin k 2 a (k1 k 2 ) e
2 ik2 a
(k1 k 2 ) e
2 ik2 a
A
于是透射系数为:
2 J D | C |2 4k12 k2 D 2 2 2 2 2 JI | A| ( k1 k2 ) sin2 k2a 4k12 k2
§9 势垒贯穿
(一）引言 （二）方程求解 （三）讨论
（四入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下：
V0 V ( x) 0
0 xa x 0, xa
E
I 0 V(x) V0 II a III
现在的问题是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。
透射系数 则变为：
因为
k1 k3
即势垒既宽又高，于是 ：e k3a e k3a , 则 sinh 2 ( k 3a )
(e
1 2
k 3a
2 k 3a e k3a ) 1 e 4
2
2 4k12 k3 4 D 2 k3 2 2 k 3a 2 2 1 2 k 3a 2 1 k1 (k1 k3 ) 4 e 4k12 k3 [ 4 4 k3 k1 ] e
ik2 Be ik2a ik2 Be ik2a ik1Ce ik1a
第4：量子力学应用谐振子,势垒贯穿
d2 ∞ ψ −ξ 2 ∞ = 0 ψ 2 dξ
其解为： exp[± /2]， 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
dψ∞ d ±ξ 2 / 2 验证： e 验证： = dξ dξ
= ±ξe
±ξ 2 / 2
= ±ξψ∞
dψ∞ = ±ξψ∞ dξ
d2 ∞ d ψ [±ξψ∞ ] = 2 dξ dξ
dψ∞ = ± ∞ ±ξ ψ dξ
ξ2 >> ± 1
= [ξ 2 ± 1] ∞ ≈ ξ 2ψ∞ ψ
所以： exp[± /2]， 所以：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 波函数有限性条件当ξ→± 波函数有限性条件当ξ→±∞ 时，ψ＝0 ξ→
ψ∞ = e
−ξ 2 / 2
d 2ψ ψ ψ 为了使方程 2 +[λ −ξ 2 ] ( x) = 0 的波函数 dξ 在无穷远处有 ∞ = e ψ
则 Schrödinger Schr dinger 方程可写为 ：
h2 d 2 1 2 2 + [E − mω x ] ( x) = 0 ψ 2 2 2m dx
d2 2m 1 2 2 ψ 或： 2 + 2 [E − mω x ] ( x) = 0 h 2 dx
ψ(ξ ) = u(ξ )e
−ξ 2 / 2
式中 u = ∑ akξ k
k=0
为此考察相邻两项之比： 为此考察相邻两项之比：
2k + 1− λ 2 ak+2ξ k+2 ξ = k akξ (k + 1)(k + 2)
k→∞
→
2 2 ξ k
考察幂级数exp[ξ2}的展开式的收敛性 考察幂级数exp[ξ
势垒贯穿与应用解读
势垒贯穿与应用 势垒贯穿设一个质量为m 的粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为： U(x)=0 x<0 和x>a U(x)=U 0 0≤x ≤a这种势能分布称为一维势垒。
粒子在 x < 0 区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x > a 的区域。
在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： 在各个区域的波函数分别表示为ψ1 ψ2 ψ3三个区间的薛定谔方程简化为：求出解的形式是)(),0(),0(a x a x x ≥I ∏≤≤∏≤I ),()(212122x E dx x d m ϕϕ=- 0≤x ),()()(22202222x E x U dxx d m ϕϕϕ=+- ax ≤≤0),()(232322x E dxx d m ϕϕ=- a x ≥222 mEk =2021)(2 E U m k -=,0)()(12212≤=+x x k dxx d ϕϕa x x k dxx d ≤≤=-0,0)()(221222ϕϕa x x k dxx d ≥=+,0)()(32232ϕϕikxikx e A Ae -'+=ψ1x ik Be 12+=ψikx Ce =ψ3O(1)E>U 0按照经典力学观点,在E>U 0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射而在微观粒子的情形，却会发生反射。
(2)E<U 0从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数ψ。
即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在x>a 区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x>a 区域粒子在总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应定义粒子穿过势垒的贯穿系数是：透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。
势垒高度U 0越低、势垒宽a 度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。
隧道效应是经典力学所无法解释的由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠若在样品与针尖之间加一微小电压U b 电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道效应及其应用
8
1981年宾尼希和罗雷尔利用电子扫描隧道显微镜 （STM）给出了晶体表面的三维图象。
钻石中的原子已被看到
利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子 扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。
9
Hale Waihona Puke 2a 2 m (U 0 E )
隧道效应是经典力学所无法解释的，因为按经典 力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动 量是虚数。 隧道效应来源于微观粒子的波粒二象性。
由于微观粒子的波动性，微观粒子遵守“不确定关系”， 粒子的坐标x和动量P不可能同时具有确定的值，自然作为坐 标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确 定的值。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能 6 之和”这一概念不再具有明确的意义。
2.隧道显微镜STM
Scanning tunneling microscopy 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。 只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。 若在样品与针尖之间 加一微小电压U,电子 就会穿过电极间的势 垒形成隧道电流。
2a 2 m (U 0 E )
| 3 (a) |2 | 2 (a) |2 T exp(2k1a) T 2 2 | 1 (0) | | 2 (0) | T exp(2k1 0)
e
2 k1a
e
5
结果表明：势垒高度U0越低、势垒宽a T e 度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。 如果a或m为宏观大小时，T 0 ，粒子实际上将不 能穿过势垒。 隧道效应是一种微观效应。 U 0 E 5eV 时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿 当 系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经 没有意义了。量子概念过渡到经典了。
势垒贯穿效应的应用
势垒贯穿效应的应用
势垒贯穿效应是一种特殊的物理效应，可以广泛应用于电子学、
半导体工业、光电子学等领域。
它是指当两块不同的半导体接触时，
会形成一层势垒，阻碍电子的流动。
但当外加电压达到某一特定值时，这层势垒会被贯穿，电子开始自由流动。
这种效应可以用于制造二极管、晶体管等电子元件，也可以应用于光电探测器、太阳能电池等领域。
在半导体制造中，势垒贯穿效应可以被用来制造pn结。
pn结是
一种半导体器件，由两块接触的不同半导体组成，其中一块为p型半
导体，另一块为n型半导体。
在接触处形成的势垒使得器件只允许有
一个方向的电流通过，这种器件被广泛应用于电力电子、电子通信等
领域。
势垒贯穿效应也可以被用来制造场效应晶体管（FET），这是一
种非常重要的电子元件，被广泛应用于微电子学、电脑制造等领域。
在光电子学中，势垒贯穿效应可以被用来制造光电探测器。
这种
探测器利用势垒贯穿效应来提高光电子的感受性能，能够将光信号转
换为电信号，被广泛应用于通信、医疗、安全等领域。
最后，势垒贯穿效应也可以被用来制造太阳能电池。
太阳能电池
的工作原理就是利用势垒贯穿效应将光能转换为电能。
当光照射到太
阳能电池上时，会激发电子从势垒中跃出，形成电流。
这种技术已经
被广泛应用于环保、节能等领域，成为未来能源发展的重要方向。
势垒贯穿的量子力学解释和应用
如果是经典力学问题，由于E >0ν，粒子不能越过势垒，将在0=x 处被势垒反弹回去。
作为量子力学问题，由于粒子的波动性，结论就不一样，可以证明，粒子将有一定概率透过势垒进入a x >区域而继续前进。
由于粒子的能量是给定的，而且粒子是从-∞=x 处射来，这是属于游离态的定态，波函数可以表示成()() /,iEt ex t x -=ψψ (2)空间波函数()x ψ满足定态薛定谔方程： ()ψψψνψmk x m 22222 =E =+''- (3) 亦即⎩⎨⎧≤≤=-''><=+''a x a x x k 0,0,0,022ψβψψψ (3a)(3b) 其中,2 mE k =)(20E m -=νβ (4) （3a ）式的解为ikx e ±~ψ，考虑到“粒子由左方入射”这个边界条件，应取()⎩⎨⎧><+=-)5(,)5(0,Re b a x De a x Ae x ikx ikx ikx ψA 项为入射波，R 项为反射波，D 项为透射波。
由于并无粒子从右方入射，所以a x > 区域没有ikx e -项。
（3b ）式的解为())5(0,c a x Ce Be x x x <<+=-ββψ透射概率相当大，由此可见在微观领域势垒贯穿现象是容易发生的。
隧道扫描显微镜就是用原子尺度的探针针尖在不到一个纳米的高度上扫描样品时，外加一电压（2mV～2V），针尖与样品之间产生隧道效应而有电子逸出，形成隧道电流．电流强度随针尖与样品间的距离的减少而呈指数上升，当探针沿物质表面按给定高度扫描时，因样品表面原子凹凸不平，使探针与物质表面间的距离不断发生改变，从而引起隧道电流不断发生改变．将电流的这种改变图象化就显示出原子水平的凹凸形态。
势垒贯穿知识点总结
势垒贯穿知识点总结一、力的作用在讨论势垒贯穿之前，首先要了解力的作用。
力是使物体产生或改变运动状态的原因，它可以改变物体的速度或形状。
力的作用可以分为接触力和距离力两种。
接触力是指力是通过物体表面上的接触而传递的，如摩擦力、压力等；而距离力是指力是通过空间中的距离而传递的，如引力、电磁力等。
二、势能和势垒势能是指物体由于位置或形状而具有的能量，它是力的一种潜在形式。
势能可以分为重力势能、弹性势能、化学势能等。
势垒是指物体之间由于受到势能的影响而存在的障碍，物体需要克服势垒才能改变其位置或形状。
势垒的存在会影响物体的运动轨迹和相互作用，是物理学中的一个重要概念。
三、势能转化在物体受到力的作用时，势能可以发生转化。
当物体受到外力作用时，势能会发生转化，例如重力势能转化为动能，化学势能转化为热能等。
这种转化过程需要满足能量守恒定律，即能量的总量在转化过程中保持不变。
势垒的存在会影响势能的转化过程，使物体需要消耗更多的能量才能克服势垒。
四、动力学动力学是研究物体运动的学科，它涉及了物体受到力的作用时的运动规律和变化过程。
在研究势垒贯穿时，动力学是一个重要的知识点。
物体受到势垒的限制时，需要克服势垒才能继续运动，这就涉及到了牛顿运动定律、动量定理、功和能量定理等动力学原理。
五、应用势垒贯穿的概念在科学研究和工程应用中具有重要意义。
在物理学和化学领域中，我们可以利用势垒的概念来研究分子间的相互作用和反应过程。
在工程领域中，势垒的概念可以应用于材料的强度分析和设计，以及机械装置的运动控制和优化。
总结：势垒贯穿涉及了多个知识点，包括力的作用、势能和势垒、势能转化、动力学等。
对势垒的研究有助于我们深入了解物体之间的相互作用和运动规律，对于科学研究和工程应用具有重要意义。
通过对势垒贯穿的研究，我们可以更好地理解自然界的规律，为技术创新和科学发展提供新的思路和方法。
势垒隧穿
“势垒遂穿”到扫描隧道显微镜李春雨中国石油大学材料物理3 1309050320【摘要】本文叙述了势垒遂穿效应的发现历史，科学理论以及未来的应用前景。
同时，本文借此强调了基础理论对技术发明的重要性。
【关键词】势垒遂穿，波函数，量子力学，扫描隧道显微镜回顾科技史，以量子论、相对论为代表的近代物理学掀起了以能源、材料、信息为代表的现代技术革命，其中量子理论在形成中便带动了相关技术群的出现并促进了自身研究的深入和拓展。
一势垒遂穿的发展于1928 年，乔治·伽莫夫正确地用量子隧穿效应解释了原子核的阿尔法衰变。
同时期，Ronald Gurney 和Edward Condon 也独立地研究出阿尔法衰变的量子隧穿效应。
不久，两组科学队伍都开始研究粒子穿透入原子核的可能性。
量子隧穿效应也可以存在于某些化学反应中。
此类反应中，反应物分子的波函数从反应势垒穿过即可使反应发生，而在经典的化学反应中，反应物分子只有获得足够能量，越过活化能的能垒，反应才可以发生。
发生隧穿的粒子质量越小（德布罗意波长越大），势垒的宽度越小（即势垒越窄），反应受量子隧穿效应的影响的可能性越大。
因此一般发生隧穿的都是电子、氢原子或氘原子，很少有较重元素的原子参与隧穿的。
势垒的宽度则由粒子隧穿前后所处位置之间的距离所决定，两个反应位点距离越近，隧穿的程度越大。
并且能垒越低，隧穿程度也越大。
验证量子隧穿效应存在于化学反应中的一种方法是动力学同位素效应（KIE）。
在KIE实验中，反应的一个反应物的某一原子分别被同一元素质量不同的同位素所标记，分别进行反应，通过对比两者的反应速率，可以得出关于反应机理的信息。
若一个反应的速率控制步骤涉及该同位素与其他元素形成的化学键的断裂，由于越重的同位素形成的化学键越不容易断裂，因此使用同一元素不同同位素标记的反应物参加反应时，反应的速率也应该是不同的，重同位素标记的反应物参与的反应速率应该较慢。
如果这两种同位素分别是氕和氘（即氢-1和氢-2），通常情况下，kH/kD的值应该在6-10之间，也就是说，含C-H键的反应速率是含C-D键的反应速率的6-10倍。
势垒贯穿
C
2
sin 2 k2 a 0 k2 a n
2
透射最大,100%
1 透射最小极值 sin k2 a 1 k2 a n 2 4E( E U 0 ) 最小极值 Tmin 2 4 E ( E U ) U 0 0 (与a无关)
2.8 势垒贯穿
作业1：
作业
设计程序，计算本节中你感兴趣的或有疑问的问题。
例如：波函数、计算粒子在空间分布几率、反射几率、透 射几率等。画出相应的曲线、分析计算结果物理含义。 程序设计时注意小量问题，特别注意浮点溢出。 不同系统最大次方略有不同，有的是37次方，有的是45 次方。我们系机房Fortran系统上限是37次方。
U0
0
a
x
边界条件：函数及其导数在，x=0， x=a 连续。 下来的问题就是要求解以上方程。
2.8 势垒贯穿
E >U0时
（1）当E >U0时
为了方便，令 k1、k2 都大于零实数
2mE 2 k1 2 2 m( E U 0 ) 2 k2 2 2mE 2 k1 2
d 2 l 2 k 1 l 0 2 dx d 2 m 2 k 2 m 0 2 dx d 2 r 2 k 1 r 0 2 dx
k1 A k1 A k2 B k2 B Beik2a Be ik2a Ceik1a
2 2 1
'm (a) 'r (a) Bk2 eik a Bk2e ik a Ck1eik a
四个方程线性，五个未知数 有一个常数归一化确定，本问题非束缚态，几率流密度
量子力学中什么是势垒贯穿
量子力学中什么是势垒贯穿
势垒贯穿的根本原因是“测不准原理”，只要你认可测不准原理，就很容易理解势垒贯穿了，并不需要你去了解复杂的薛定谔方程求解。
解释如下：
能量E与时间T是不能同时测准的，时间测量越准确（时间范围越短），相应的能量就会无法很准确测量。
这里的测不准并不是技术上的问题，而是“测不准原理”产生的真实的范围变化。
也就是说，微观粒子在极短的时间内，其能量的可能值范围就会变大，因此，虽然微观粒子的能量E小于势垒U，这里的粒子能量E应该是其可能的能量范围的平均值。
在极短的时间内，粒子会有一个较小的几率处于这个能量范围的高端处（即呈现高能状态），瞬间能量超过了势垒U。
如果势垒U的空间跨度非常小，这个只能存在极短时间的高能粒子将可以越过势垒，越过势垒之后，粒子的能量重新回复到正常大小。
简单地说，就是先凭空”借”来能量，成功穿越后再把“借”来的能量”还”回去，这种凭空的能量“借还”是可以允许的，也并没有违背能量守恒原理，但必须在极短的时间之内进行，因此势垒贯穿现象能够穿越的距离也就非常小。
这种凭空的能量借还的现象也是量子理论中“虚粒子”的产生原因——在极短时间内，真空中某处会突然处于高能状态，这些能量转换成一对正粒子和反粒子，然后这对粒子又立刻相互湮灭而消失，这就是“虚粒子”。
这就是量子理论对于”真空”的描述，真空中无时不刻地大量出现这种虚粒子。
虚粒子对宏观真空不会产生任何影响，但对于微观下的量子真空却有极深远的意义。
无限深方势阱,势垒贯穿 - 温州大学 - 物理与电子信息工程学院
（ , 0 x a）
与 1 ( x) eikx Reikx ,
（x 0）
3 ( x) Se , （x a，一起， 在x 0, a处波函数与一阶导数要 连续：
3. 根据连续条件，可求得4个系数R，S，A，B：
1 (0) 2 (0)
2 ( a) 3 ( a)
d1 ( x) d 2 ( x) | x 0 | x 0 dx dx d 3 ( x) d 2 ( x) |xa |xa dx dx
解之得，书P659（11）、（12）式。
1 ik ik A (1 ) R(1 ) （11）式： 2 k2 k2
1 ik ik B (1 ) R(1 ) 2 k2 k2
2 d 2 2 ( x) V0 2 ( x) E 2 ( x), 2 2m dx
=>
0 xa
2m(V0 E ) k2 2
d 2 2 ( x) 2 k2 2 ( x) 0, 2 dx
k2 x
（0 x a）
k2 x
得，2 Ae
ikx
Be
S （12）式： A 2
ik ikak2 a 1 e k2
S B 2
ik ika k2 a 1 e k2
由（11）与（12），消去A、B，得（13）
ik ik ik ikak2a (1 ) R(1 ) S (1 )e k2 k2 k2 ik ik ik ikak2 a (1 ) R(1 ) S (1 )e k2 k2 k2
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
§9势垒贯穿
但是，施加一个外电场，金属中 电子的所感受到的电势如图(b)所示。 金属中电子面对一个势垒，能量最大 的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏 出，从而导致所谓场致电子发射。
图 （a）
图 （b）
三，扫描隧穿显微镜（STM） STM(Scanning Tunneling Microscope) I 是观察固体表面 原子情况的 A B S 超高倍显微镜。
用扫描隧穿显微镜拍摄的硅表面的象，每一个 隆起处是一个硅原子。
世界上最小的文字：
1990年1月，美国加利福尼亚州圣何塞IBM阿莫登 研
究中心的科学家宣称：他们利用扫描隧穿显微镜移动 并重新排列氙和镍表面的单个原子以便出其公司的开
头字母：IBM。
1993年美国加州 IBM Almaden 研究中心的研究人员，用 扫描隧穿显微镜(STM)操纵，将48个铁原子在铜的表面排 列成一个圆圈， 形成量子围栏(Quantum Corral) ，电子被 束缚在其中，其波函数形成同心圆状涟漪细浪。
2 2i ( k 12 k2 ) sin k2a
C
4k1k2e A 2 ik2a 2 ik2 a ( k1 k2 ) e ( k1 k2 ) e
ik1a
A
( k1 k2 ) e
2
ik2a
( k1 k2 ) e
2
ik2 a
A
4. 透射系数和反射系数
I 透射系数： 透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数 D = JD/JI
1。原理 隧道电流 I 与 样品和针尖间 的距离S 关系极为敏感。
势能曲线
U U0
E
扫描探针A
S 10A
样品 B
定量关系：
δ势垒贯穿问题研究 毕业设计
湖南文理学院毕业论文论文题目：δ势垒贯穿问题研究系别：物理与电子科学系专业：物理学学号： 5099104姓名：王辉霞指导老师：姚春梅提交日期：2003年 5 月 30 日δ势垒贯穿问题研究摘要介绍了δ势垒及δ势垒贯穿问题的研究现状，在对δ势垒贯穿问题研究的基本方法进行分析、总结的基础上，处理了几个更为复杂的δ势垒贯穿问题，如：两个强度不等的双δ势垒贯穿问题和一个δ势垒与其它势垒相结合的势垒贯穿问题。
得到了在不同情形下波函数的解以及在势垒贯穿问题中所要研究的反射系数和透射系数的值，并就这些值分析了影响反射系数和透射系数的因素和入射波产生共振透射的条件。
最后将δ势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的情形，讨论了它的求解方法和计算手段。
关键词δ势垒；双δ势垒；势垒贯穿；薛定谔方程The Study of δBarrier Penetration in Quantum MechanicsAbstract The research present situation of δpotential barrier and δpotential barrier penetration problem are introduced in this paper. Several more complicated δpotential barrier penetration problem are studied on the basis of summarizing δpotential barrier penetration problem's research method , such as a double unequal strengths and oneδpotential barrier combined with one square potential barrier’sδpotential barrier penetration problem. The wave functions and the coefficients of reflection and transmission in different situations are obtained. The factors of affecting these coefficients and the resonance condition are analyzed. In the end, the above method is generalized to oneδpotential barrier combined with other potential barriers.Key words δpotential barrier; double δpotential barriers; potential barrier penetration; schrÖdinger equation.1.引言势垒贯穿又称隧道效应，它是一种微观效应，指的是当一束微时，仍能贯穿势垒的现象。
高二物理竞赛课件：量子力学之势垒贯穿
波函数与其一阶导数在x=0连续得： A+A`=B+B` ik1(A-A`)=k2(B-B`) 波函数与其一阶导数在x=a连续得：
Bek2a Bek2a Ceik1a
k2 (Bek2a Bek2a ) ik1Ceik1a
由上述四个等式可得如下四个关系式：
A
(k12
(k12 k22 k22 )shk2a
k1
C
2
i
i :x轴单位矢.
计算透射与反射系数
透射系数： D
JD J
C2 A2
(k12
4k12
k
2 2
k
2 2
)
2
sh
2
k
2
a
4k12
k
2 2
这就是势垒贯穿几率。
反射系数： R J R A 2
(k12
k
2 2
)2
sh 2 k 2 a
J
A2
(k12
k
2 2
)2
sh 2 k 2 a
4k12
1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道 效应显微镜. 鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
1997年：量子隧道效应。
经典物理无法理解势垒贯穿。
∵E＝T＋V，T＝E－V＜0， 不可能 . 本节介绍量子力学如何解 释势垒贯穿，以及如何计算穿过势 垒的几率。
一维方势垒
0 x 0, x a u(x) U0 0 x a
势垒贯穿
势垒贯穿
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有
一定几率穿过势垒。 例：势垒贯穿现象—金属电子的热发
射-电子有冷发射：如果给金属加上一个外 电 场 （ 约 1000000V/CM ） ， 使 金 属 成 为 阴 极，则该电场会使电子释放出来而形成电 流，这种现象叫金属电子的冷发射。
势垒贯穿
偏压
电流预置值 扫描输出
STM 的发明引起了科技界的巨大轰动，被迅 速地应用于生物学、医学、表面物理、表面化学 和材料科学等科技领域，并取得了巨大成功。人 们用它测定了表面层原子的排列，测出了表面层 原子的高低起伏，对表面科学、纳米材料以及生 命科学的研究具有重要意义，从而打开了活体显 微研究的大门。由于 STM 这一伟大发明，两位 科学家获得了1986年诺贝尔物理学奖。
一、一维方势垒中的运动粒子
设运动粒子在势场中的势能函数： U (x)
U x 0 x 0 U x U0 x 0 直角单壁势垒
U0
I
II
d2 (x)
dx 2
o
x
在
I
区中：
2 2m
d 2 1 ( x)
dx 2
E1
d 2 1 ( x)
dx 2
k12 1
0
1 Ae ik1x Beik1x
U (x)
由波函数遵循的单值、连续条件，有
U0
1(0) 2 (0)
d1 d 2
dx x0 dx x0
AB D
A B ik2 D k1
B ik1 k2 A I ik1 k2
II
D 2ik1 A
o
ik1 k2
x
两区域中的波函数：—— 反映了粒子的波性
1(x)
A(eik1x
ik1 k2 ik1 k2
eik1x )
——入射波＋反射波
2(x)
2ik1 ik1 k2
Ae k2x
——进入势垒的透射波
从经典理论的观点来看，粒子进入 II 区是不可能的!
二、势垒贯穿 隧道效应 由量子力学分析，即使 E U0 ，运动粒子也会
势垒贯穿的原理
势垒贯穿的原理一、势垒贯穿的概念势垒贯穿是指克服两个能量垒的过程，其中能量垒是指在化学反应中，反应物转变为产物所需克服的能量差。
势垒贯穿是指反应物在能量垒处形成的中间态，通过这个中间态，反应物才能转变为产物。
势垒贯穿的原理是在反应物的化学键断裂和新键形成之间，需要克服一个能量垒，才能完成反应。
二、势垒贯穿的过程势垒贯穿的过程可以分为两个阶段：势垒上升和势垒下降。
1. 势垒上升：在反应物转变为产物的过程中，首先需要克服一个能量垒。
这个能量垒的大小取决于反应物之间的键能和产物之间的键能之差。
在势垒上升的过程中，反应物分子会经历一个高能中间状态，即势垒顶峰。
在这个过程中，反应物的化学键会断裂，形成一些高能的中间体。
2. 势垒下降：势垒下降是指在势垒顶峰的后期，反应物分子开始形成新的化学键。
在这个过程中，产物分子会逐渐形成，并且反应物分子的高能中间态会逐渐降低。
最终，势垒下降到一定程度后，反应就完成了，产物形成。
三、势垒贯穿的重要性势垒贯穿是化学反应发生的必要条件，它决定了反应的速率和反应的可逆性。
如果势垒很高，那么反应的速率就会很慢，反应很难发生。
而如果势垒很低，那么反应的速率就会很快，反应很容易发生。
此外，势垒还决定了反应的可逆性，如果势垒很低，反应就很容易逆转，反应的平衡位置就会发生变化。
四、势垒贯穿的应用势垒贯穿的原理在化学、生物、物理等领域都有广泛的应用。
在化学反应中，了解势垒贯穿的原理可以帮助我们理解反应的速率和可逆性，从而设计合适的反应条件。
在生物学中，势垒贯穿的原理可以帮助我们理解生物分子的转化过程，如酶催化反应。
在物理学中，势垒贯穿的原理可以帮助我们理解粒子在势能场中的运动规律，如电子在半导体中的输运过程。
势垒贯穿的原理是化学反应发生的关键，它决定了反应的速率和可逆性。
了解势垒贯穿的原理可以帮助我们更好地理解和应用化学、生物和物理等领域的知识。
通过对势垒贯穿的研究，我们可以推动科学的发展，为人类的进步做出贡献。
E=U0时势垒贯穿问题的讨论
题 得到的结果透射系数为:
D=
D=
1
C A
2
=
4k
2 1
k
2 2
(
k
2 1
-
k
2 2
)
2
Si
n
2
(
k
2
c)
+
4k
2 1
k
2 2
( 16)
其中
~ ~ k1 =
2/E 72
k2 =
2/(
E72
UO)
.
初步观察发现式( 15) 和( 16) 相差很大 而且当 k2= O 即 E= UO 时 D 的分式表达式的分子和分母
2 +
72 uU
O
a
2
.
( 17)
3 讨论
上面两种做法~ 不论是直接求解~ 还是将 UO>E 和 UO<E 时的结果取极限值时~ 其基本原理是一致 的~ 都是从定态的薛定谔方程出发求解~ 只不过在计算时都考虑到了边界条件~ 因而它们的结果是可行 的
UO= O 时即此时的势垒不存在~ 那么粒子直接贯穿~ 因此它的透射率为 1~ 代入到式( 15) 或( 17) ~ D= 1~ 是 相 符 合 的; 如 果 当 UO - O 时~ 即 此 时 的 势 垒 无 限 高~ 粒 子 跃 迁 的 几 率 为 O~ 代 入 到 式 ( 15) 或 ( 17) ~ D= O~ 也是相符的 当 E= UO 时透射系数与势能函数的关系如图 2 所示
第 27 卷第 3 期 2007 年 6 月
黄冈师范学院学报 Journal of ~uanggang Normal university
Vol. 27 No. 3 Jun. 2007
势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟
收稿日期:2006203201基金项目:江苏省现代教育技术研究立项项目(20052R 21172)・作者简介:罗礼进(1964-),男,广西钦州人,南通大学副教授・第24卷 第3期2006年7月沈阳师范大学学报(自然科学版)Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science )V ol 124,N o.3J ul.2006文章编号:1673-5862(2006)03-0296-04势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟罗礼进(南通大学理学院,江苏南通 226007)摘 要:依据微观粒子贯穿势垒的透射系数,运用蒙特卡罗随机模拟方法,借助Matlab 软件的编程及数据可视化功能,实现势垒贯穿动态随机过程的演示・关 键 词:势垒贯穿;透射系数;蒙特卡罗;Matlab 中图分类号:O 641 文献标识码:A量子力学是描述微观粒子运动规律的理论,由于其研究对象(微观粒子)特有的波粒二象性和遵循的不确定关系,・随着计算机技术的不断发展,不少学者借助计算机的图形技术,对量子力学的可视表述做了不懈的努力[123]・作为量子力学可视表述的尝试之一,作者依据微观粒子贯穿势垒的透射系数,运用蒙特卡罗随机模拟方法,借助计算机的数据可视化技术、绘图技术,构建微观粒子势垒贯穿的动态随机过程・1 势垒贯穿的蒙特卡罗随机模拟微观粒子贯穿势垒是一种随机现象,可用蒙特卡罗方法对其进行模拟・运用蒙特卡罗方法处理此文的问题,首先根据要处理问题的规律,构建一个概率模型・然后依据概率模型进行随机抽样,得出一组按已知分布的随机数序列・最后依据这一随机数序列,借助计算机程序设计语言或图形软件,实现微观粒子势垒贯穿的动态随机过程的模拟・1.1 概率模型的构建图1 一维方势垒设质量为μ、能量为E 的粒子,沿x 轴正方向射向方势垒(图1)・方势垒的势函数为:U (x )=U 00<x <a0x <0,x >a(1)粒子的波函数Ψ所满足的定态薛定谔方程为:d 2Ψd x 2+2μ2E Ψ=0x <0,x >ad 2Ψd x 2+2μ2(E -U 0)Ψ=00<x <a(2)通过求解上述方程,可求出透射系数D 和反射系数R ,其结果为[4]:D =4k 21k 22(k 21-k 22)2sin 2k 2a +4k 21k 22E >U 04k 21k 23(k 21+k 23)2sh 2k 3a +4k 21k 23E <U 0(3)R =1-D(4)式中,k 1=2μE 212,k 2=2μ(E -U 0) 212,k 3=2μ(U 0-E )212・透射系数D 是透射波几率流密度与入射波几率流密度之比,其意义为贯穿到x >a 区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子在x <0区域单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比,即是粒子贯穿势垒的概率・反射系数R 是反射波几率流密度与入射波几率流密度之比,其意义为反射回x <0区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子在x <0区域单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比,也即是粒子被势垒反射的概率・式(4)说明,粒子射向势垒,只有两种可能,贯穿或反射,且两种可能的概率之和为1・若用概率语言来描述,粒子射向方势垒或者贯穿或者反射的过程就是一随机试验,贯穿和反射是这一随机试验的两个随机事件・现引入一随机变量X i (i =1,2)来表示这一随机试验,且:X i =0(i =1)反射1(i =2)贯穿(5)根据上述的讨论,随机变量X i 的分布律为:X i 01P i1-DD或随机变量X i 的分布函数为:F (X )=6X i<XP i =X <01-D 0≤X <11X ≥1(6)此即为对要处理问题构建的概率模型・1.2 数据的生成根据上述粒子入射方势垒的概率模型进行随机抽样,便得到按随机变量X i 的分布函数F (X )分布的随机数序列・在蒙特卡罗方法中,有多种方法实现按已知分布的随机抽样・根据此文要处理问题的特点,采用离散型随机变量的直接抽样法・对于任意的离散型分布:F (X )=6X i<XP i (7)直接抽样的方法如下[5]:X F =X i ′,当6i ′-1i =1P i <r <6i ′i =1P i (8)式中,X F 表示由分布F (X )抽样产生的简单子样中的个体,r 为0至1之间均匀分布的随机数・根据式(8),分别令i ′=1和i ′=2便得:X F =X 1当0<r ≤P 1X F =X 2当P 1<r ≤P 1+P 2(9)即:X F =0当0<r ≤1-D X F =1当1-D <r ≤1(10)据此,产生按式(6)分布的随机数序列的步骤如下:1)计算机产生一个0至1均匀分布的随机数r ;2)若满足1-D <r ≤1,则X F =1(表示粒子贯穿势垒),否则X F =0(表示粒子被势垒反射);3)重复上述步骤便可产生按式(6)分布的、只有两个取值(0和1)的随机数序列・这个随机数序列便是实现势垒贯穿动态随机过程的依据・1.3 势垒贯穿动态随机过程的实现利用上述生成的按F (X )分布的只有0和1两种取值的随机数序列,借助计算机程序设计语言或图形软件,就可实现势垒贯穿动态随机过程的模拟・作者采用编写Matlab 程序的方法来实现・Matlab 软件是由美国Mathworks 公司开发,集编程、科学运算、系统仿真、数据可视化等功能于一身,适合众多学科和多种工作平台的数学软件・792第3期 罗礼进:势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟在编写Matlab 程序时,用Matlab 的rand 函数产生0至1之间均匀分布的随机数,利用EraseMode属性的X or 值,可实现对图形对象本身的擦除,从而实现动画模式・程序设计的流程如图2所示・图2 势垒贯穿动态随机过程程序设计的流程2 势垒贯穿动态随机过程的Matlab 程序下面以电子贯穿方势垒为例进行说明・设入射电子的能量E =3eV ,势垒高度U 0=6eV (E <U 0),势垒宽度a 0=2!,则相应的Matlab 程序如下:a 0=2;a =a 031e -10;U 0=6;U =U 031.602192e -19; %势垒宽度、势垒高度E =4.806e -19;m =9.10908e -31;h =1.0545e -34;%入射粒子的能量、质量和普朗克常数(h/23p i )k 1=((23m 3E )∧(1/2))/h ;k 3=((23m 3(U -E ))∧(1/2))/h ;sh =(exp (k 33a )-exp (-k 33a ))/2;D =(43(k 1∧2)3(k 3∧2))/(((k 1∧2+k 3∧2)∧2)3sh ∧2+43(k 1∧2)3(k 3∧2)); %计算透射系数Dpatch ([9,10,10,9],[0,0,5,5],′y ′) %绘制矩形势垒hold on for i 1=1∶500%用循环语句控制粒子入射的次数 r =rand ; if 1-D <r &r ≤1%满足条件:1-D <r ≤1的粒子透射 x 4=0;y 4=3; p =plot (x 4,y 4,′.′,′EraseMode ′,′xor ′,′MarkerSize ′,16,′color ′,′w ′); axis ([01908]) axis manual for i 2=1∶200 if i 2<90%模拟粒子的入射运动 x 4=x 4+0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 2=i 2+1; pause (0.01) elseif 90≤i 2&i 2≤100%模拟粒子贯穿势垒的运动 x 4=x 4+0.1; y 4=3+sin (83p i 3x 4); set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 2=i 2+1; pause (0.035) else %模拟粒子的出射运动 x 4=x 4+0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 2=i 2+1;892沈阳师范大学学报(自然科学版) 第24卷 pause (0.01) end end else %不满足条件:1-D <rand ≤1的粒子反射 x 4=0;y 4=3; p =plot (x 4,y 4,′.′,′EraseMode ′,′xor ′,′MarkerSize ′,16,′color ′,′w ′); axis ([01908]) axis manual for i 3=1∶200%模拟粒子的入射运动 if i 3<90 x 4=x 4+0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 3=i 3+1; pause (0.01) else%模拟粒子的反射运动图3 势垒贯穿动态随机过程的图形用户界面 x 4=x 4-0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 3=i 3+1; pause (0.01) end end end end图3是势垒贯穿动态随机过程演示的图形用户界面・参考文献:[1]勃莱恩脱S ,达曼恩H D ・图解量子力学[M ]・上海:上海科学技术出版社,1988・[2]卢志恒,费义艳,李雪春・量子力学可视化的计算机辅助表述[J ]・物理,2001,30(4):2412246・[3]赵 亮,傅 玮,王小东,等・逐个电子双柱衍射和势垒贯穿的Monte Carlo 计算机模拟[J ]・北京师范大学学报:自然科学版,2001,37(3):3692372・[4]周世勋・量子力学教程[M ]・北京:高等教育出版社,1979:47248・[5]裴鹿成,张孝泽・蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用[M ]・北京:科学出版社,1980:58・Computer Simulation of Dynamic Stochastic Process of PotentialB arrier PenetrationL U O L i 2ji n(School of Science ,Nantong University ,Nantong 226007,China )Abstract :This paper demonstrates the dynamic and stochastic process of the potential barrier penetration of microcosmicparticle ,based on Monte Carlo method and the transmission coefficient of microcosmic particle potential barrier penetration ,by using the programming and visualization of Matlab.K ey w ords :potential barrier penetration ;transmission coefficient ;Monte Carlo ;Matlab992第3期 罗礼进:势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. 求解线性方程组
求解方程组得:
A B B A ik2a Be ik2a Ce ik1a 0 Be k1 A k 2 B k 2 B k1 A k Be ik2a k Be ik2a k Ce ik1a 0 2 1 2
2 2i ( k 12 k2 ) sin k2a
C
4k1k2e A 2 ik2a 2 ik2 a ( k1 k2 ) e ( k1 k2 ) e
ik1a
A
( k1 k2 ) e
2
ik2a
( k1 k2 ) e
2
ik2 a
A
4. 透射系数和反射系数
I 透射系数： 透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数 D = JD/JI
ik2 Be ik2a ik2 Be ik2a ik1Ce ik1a
A B B A ik2a ik2 a ik1a Be B e Ce 0 k1 A k 2 B k 2 B k1 A k Be ik2a k Be ik2a k Ce ik1a 0 2 1 2
因为 E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程可改写为：
k 2 0 1 1 1 2 2 k2 2 0 2 3 k1 3 0
解得：
x0 0 xa xa I 区 II 区 III 区
为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。
II 反射系数： 反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数 R = JR/JI
下面求
其物理意义是：描述贯穿到 x > a 的 III区中的粒子在单位时间内流过垂 直 x方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x < 0 的 I 区）在 单位时间内流过垂直于x方向单位面积的数目之比。
同理得反射系数：
2 2 2 J R | A |2 ( k1 k2 ) si n2 k2a R 2 2 2 2 2 2 JI | A| ( k1 k2 ) si n2 k2a 4k1 k2
由以上二式显然有 D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势 垒到 x > a 的III区，另一部分则被势垒反射回来。
（二）方程求解
上述三个区域的 Schrodinger 方程可写为：
（1）E > V0 情况
2 令：k1 2 k2 2 E 2 2 ( E V0 ) 2
2 E 0 x0 1 2 1 2 0 xa 2 2 [ E V0 ] 2 0 3 22E 3 0 xa
1 Ae ik1 x A e ik1 x ik x ik x 2 Be 2 Be 2 ik1 x Ce 3 1. 波函数连续利用波函数标准条件来定系数。来自首先， 解单值、有限条件满足。
2. 波函数导数连续
x 0:
1 (0) 2 (0) A A B B
§9 势垒贯穿
(一）引言 （二）方程求解 （三）讨论
（四）应用实例
(一）引言
势垒穿透是粒子入射被势垒散射的 一维运动问题。典型势垒是方势垒， 其定义如下：
V0 V ( x) 0
0 xa x 0, xa
E
I 0 V(x) V0 II a III
现在的问题是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。
反射波ψ= A’exp[-ik1x]， 所以反射波几率流密度： 对透射波ψ= Cexp[ik1x]， 所以透射波几率流密度：
JR
其中负号表示与入 射波方向相反。
J
i [ d 2 dx
k1
| A'|2
JD
k1
| C |2
d ] dx
4k1k 2e ik1a C A 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
D 和 R
几率流密度矢量：
对一维定态问题，J 与 时间无关，所以入射波 Ψ = Aexp[ik1x] ψ* = A* exp[-ik1x]
J J
i 2
[ ]
i 2
[
d dx
d dx
]
则入射波几率流密度
i k1 ik1 x d ik1 x ik1 x ik1 x d JI [ Ae Ae Ae Ae | A |2 2 dx dx
x a: 2 (a ) 3 (a ) Be ik2a Be ik2a Ce ik1a
综合 整理 记之
x 0: 1 ' (0) 2 ' (0) ik1 A ik1 A ik2 B ik2 B
x a:
2 ' (a ) 3 ' (a )
1 Ae ik1 x A e ik1 x ik x ik x 2 Be 2 Be 2 ik1 x ik1 x Ce C e 3
波函数意义
定态波函数ψ1,ψ2,ψ3 分别乘以含时因子 exp[-iEt/] 即可看出：
式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传播的平面波。由于在 x > a 的III 区没有 反射波，所以 C'=0，于是解为：
A
2i (k 12 k 22 ) sin k 2 a (k1 k 2 ) e
2 ik2 a
(k1 k 2 ) e
2 ik2 a
A
于是透射系数为:
2 J D | C |2 4k12 k2 D 2 2 2 2 2 JI | A| ( k1 k2 ) sin2 k2a 4k12 k2