离散数学期末复习题

淮海工学院2011-2012-2离散数学期末复习题答案一、选择题（每题3分）1、下列句子中哪个不是命题？ ( C )A 、你通过了离散数学考试B 、我俩五百年前是一家C 、 我说的是真话D 、 淮海工学院是一座工厂2、下列联接词运算不可交换的是( C )A 、∧B 、∨C 、 →D 、 ↔3、命题公式P Q ⌝→不能表述为( B )A 、P 或QB 、非P 每当QC 、非P 仅当QD 、除非P ，否则Q4、 下列公式中为永真式的是 ( C )A 、()P P Q →∧B 、()P P Q ⌝→∧C 、()P Q Q ∧→D 、()P Q Q ∨→5、 下列公式中为非永真式的是( B )A 、 ()P P Q ∧⌝→B 、()P P Q ∨⌝→C 、()P P Q ∧⌝→D 、()P P Q ∨⌝→6、设个体域{,}A a b =，则谓词公式(()())x F x G x ∃∧消去量词后，可表示为为（ C ）A 、(()())(()())F a F b G a G b ∧∨∧B 、(()())(()())F a F b G a G b ∨∧∨C 、(()())(()())F a G a F b G b ∧∨∧D 、(()())(()())F a G a F b G b ∨∧∨7、设个体域{,}A a b =，则谓词公式(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为（ D ）A 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧B 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨C 、()()()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∨∧ D 、()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨8、设D ：全总个体域，()H x ：x 是人， ()P x ：x 犯错误，则命题“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()())x H x P x ∃∧B 、(()())x H x P x ∃→C 、(()())x H x P x ∀∧D 、(()())x H x P x ∀→9、设D ：全总个体域，()F x ：x 是花，()M x ：x 是人，(,)H x y ：x 喜欢y ， 则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→B 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→C 、 (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→D 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→10、设∅为空集，则下列为假命题的是（ A ）A 、∅∈∅B 、∅⊆∅C 、{}∅∈∅D 、{}∅⊆∅11、设,a b 各不相同，则下述等式为真的是（ D ）A 、{,}{{},{}}a b a b =B 、{,}{{,}}a b a b =C 、{{}{}}{,}a b a b =D 、{{}{}}{{,}}a b a b =12、 设集合{0,}A =∅，∅为空集， ()A ρ为A 的幂集，则下列为假命题的是（ B ）A 、()A ρ∅∈B 、0()A ρ∈C 、{}()A ρ∅∈D 、{0}()A ρ∈13、 设集合{0,}A =∅，∅为空集， ()A ρ为A 的幂集，则下列为假命题的是（ B ）A 、()A ρ∅⊆B 、{0}()A ρ⊆C 、{}()A ρ∅⊆D 、{{0}}()A ρ⊆14、非空集合X 上的空关系∅不具备的性质是（ A ）A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性10、设{1,2,3}A =上的关系R 的关系图如下，则R 不具备的性质为（ A ） A 、自反性 B 、反自反性 C 、反对称性 D 、传递性15、{1,2,3,4}A =上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =<><><><><>只不具备（ C ）A 、 反自反性B 、 反对称性C 、对称性D 、传递性16、设R 为{1,2,3}A =上的关系，其关系图如下，则下列为真命题的是（ C ）A 、R 对称，但不反对称B 、R 反对称，但不对称C 、R 对称，又反对称D 、R 不对称，也不反对称17、设R 为{1,2,3,4}A =上的关系，其关系图如下，则下列为假命题的是（ C ）A 、R 不自反，也不反自反B 、R 不对称，也不反对称C 、R 传递D 、R 不传递18、设{ 1, 2, 3 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、3B 、4C 、5D 、619、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ C ）A 、13B 、14C 、15D 、1620、设R Z 、分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（ C ）A 、:,()6f R R f x x →=+ B 、2:,()(6)f R R f x x →=+ C 、:,()[]f R Z f x x →= D 、6:,()6f R R f x x x →=+ 21、设R R Z +、、分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（ B ） A 、2:,()71f R R f x x x →=-+- B 、x x f R Z f ln )(,:=→+； C 、:,()f R R f x x →= D 、:,()71f R R f x x →=+22、设3,4X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的单射个数为（ B ）．A 、12B 、24C 、64D 、8123、设3,2X Y ==，则从X 到Y 可以生成不同的满射个数为（ B ）．A 、6B 、8C 、9D 、6424、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρ,B 、()A ρ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯25、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+26、设k N 为前2k ≥个自然数集，k +表示模k 加法，对代数系统k k A N =+,，有（ A ）A 、0是么元，无零元B 、1是么元，无零元C 、无么元，0是零元D 、无么元，无么元27、设k N 为前2k ≥个自然数集，k ⨯表示模k 乘法，对代数系统k k A N =⨯,，有（ B ）A 、1是么元，无零元B 、1是么元，0是零元C 、无么元，0是零元D 、无零元，无么元28、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=,，有（ B ） A 、Φ是么元，S 是零元 B 、Φ是零元，S 是么元 C 、唯一等幂元 D 、无等幂元29、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=,，有（ A ） A 、Φ是么元，S 是零元 B 、Φ是零元，S 是么元 C 、唯一等幂元 D 、无等幂元30、设Z 是由所有整数组成的集合，对于下列*运算，代数系统<Z ,* >为独异点的是（ B ）A 、a *b=a bB 、a *b=aC 、a *b=a+abD 、a *b=max(a ,b )31、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群32、下列命题正确的是（ B ）A 、简单回路必为基本回路B 、基本回路必为简单回路C 、简单回路必不是基本回路D 、基本回路必不是简单回路33、欧拉回路是（ B ）A 、路径B 、简单回路C 、既是基本回路也是简单回路D 、既非基本回路也非简单回路34、哈密尔顿回路是（ C ）A 、路径B 、简单回路C 、既是基本回路也是简单回路D 、既非基本回路也非简单回路35、在任何有向图中，下列命题正确的是（ C ）A 、任意顶点的入度与出度都相等B 、任意顶点的入度与出度都不相等C 、所有顶点的入度之和与出度之和都相等D 、所有顶点的入度之和与出度之和都不相等36、设有向线图G 的顶点集12{,,,}n V v v v =，邻接矩阵()ij n n A a ⨯=，则deg ()i v -=（ D ） A 、ii a B 、1n ii i a=∑ C 、1n ij j a =∑ D 、1n ji j a =∑37、设有向线图G 的顶点集12{,,,}n V v v v =，邻接矩阵()ij n n A a ⨯=，则deg ()i v +=（ C ） A 、ii a B 、1n ii i a=∑ C 、1n ij j a =∑ D 、1n ji j a =∑38、在有n 个结点的简单无向图中，其边数（ C ）A 、 最多有n-1条B 、至少有n-1条C 、最多有(1)2n n -条D 、至少有(1)2n n -条 39、在有n 个结点的简单有向图中，其边数（ C ）A 、 最多有n-1条B 、至少有n-1条C 、最多有(1)n n -条D 、至少有(1)n n -条40、在有n 个结点的连通图中，其边数（ B ）A 、 最多有n-1条B 、至少有n-1条C 、最多有n 条D 、至少有n 条41、设{,{1},{1,3},{1,2,3}}A =∅，则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ C ）42、集合{ 1, 2, 3,4 }A =上的偏序关系图为则它的哈斯图为（ A ）43、下列哪一种图不一定是树（ C ）A 、无简单回路的连通图B 、 有n 个顶点n-1条边的连通图C 、每对顶点间都有通路的图D 、连通但删去一条边便不连通的图44、设G 是有5个结点的无向完全图，则从G 中删去（ C ）条边可以得到树A 、 4B 、5C 、6D 、101、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为0.2、任意两个不同极小项的合取式的真值为0，而全体极小项的析取式的真值为1.3、任意两个不同极大项的析取式的真值为1，而全体极大项的合取式的真值为0.4、n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n .5、n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n .6、若已证()xA x ∃为真，则可假设某一确定的个体y 使()A y 为真，此推理规则被称为ES ．7、令Γ是公理与前提的合取，Γ中无x 的自由出现，若从Γ可推出()A x ，则从Γ也可推出()xA x ∀，此推理规则被称为UG ．8、()ρ∅={}∅，(())ρρ∅={,{}}∅∅， (({}))ρρΦ={,{},{{}},{,{}}}∅∅∅∅∅．9、()ρ∅-∅={}∅，(())()ρρρ∅-∅={{}}∅．10、设{}A a =，则()()A A ρρ⨯= {},,,,,,,a A A A <∅∅><∅><∅><>．11、设集合,A B 分别含有,m n 个不同元素，则A B ⨯的基数为mn ，()A B ρ⨯的基数为2mn ，12、()A B ρ⨯的基数为2n m ，()A B ρ⨯的基数为2m n ，()()A B ρρ⨯的基数为2m n +．13、设{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为1，最小元为1，极大元为24、最大元为24．14、设{ 2,3,4,6,8,12 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为2,3，最小元为无，极大元为8,12，最大元为无，既非极小元也非极大元的是4,6．15、设,X m Y n ==，则从X 到Y 有2mn 种不同的二元关系，有m n 种不同的函数． 16、在一个有n 个元素的集合上，可以有22n 种不同的二元关系，有n n 种不同的函数， 有!n 种不同的双射．17、设A={2,4,6}，A 上*为：a*b=max{a,b}，则在代数系统<A,*>中，么元是2，零元为6．18、设A={3,6,9}，A 上*为：a*b=min{a,b}，则在代数系统<A,*>中，么元是9，零元为3 ．19、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x ∈G ，a *x=b ，则x= a *-1b ；(2) 若a,b,x ∈G ，a *x=a *b ，则x= b ．20、群<G ,*>的等幂元是么元，有1个，零元有0个．21、设a 是12阶群的生成元， 则2a 是6阶元素，3a 是4阶元素．22、设a 是10阶群的生成元， 则4a 是5阶元素，3a 是10阶元素．23、在一个群〈G ,*〉中，若G 中的元素a 的阶是k ，则1a -的阶是k ． 24、n 阶无向完全图Kn 的边数是(1)2n n -，每个结点的度数是1n -． 25、设有向图G = < V ，E >，1234{,,,}V v v v v =的邻接矩阵0101101111001000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则1v 的入度1deg ()v -= 3 ，4v 的出度4deg ()v +=1 ． 26、设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有12个顶点．27、一棵无向树的顶点数为n ，则其边数为n-1 ，其结点度数之和是2n-2.28、设T=〈V ,E 〉是一棵树，若|V|>1，则T 中至少存在2片树叶.1、若个体域{1,3,6}D =-，()S x ：3x >，()Q x ：5x =,a ：3，P :53>， 则谓词公式(()())x S x Q a P ∃→∧为真吗？为什么？答：为真；(()())(((1)())((3)())((6)()))1x S x Q a P S Q a S Q a S Q a ∃→∧⇔-→∨→∨→∧((00)(00)(10))1(110)11⇔→∨→∨→∧⇔∨∨∧⇔.2、谓词公式(,)(,)x yP x y y xP x y ∀∃→∃∀为真吗？为什么？答：不为真；设个体域D ：实数域，(,)P x y ：0x y +=，则(,)(,)100x yP x y y xP x y ∀∃→∃∀⇔→⇔.3、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是自反又不是反自反的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,1,2R =<><>．4、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既不是对称又不是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,2,1,3,2,1R =<><><>．5、设{}1,2,3A =，问A 上存在一个既是对称又是反对称的关系吗？为什么？ 答：存在；如{}1,1,2,2,3,3R =<><><>．6、设{234}A =，，，}12,10742{，，，=B ，从A 到B 的关系},,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此关系R 及其逆关系1R -是否为函数？为什么？解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R ，则R 的关系图为：R 的关系矩阵为 110110*********R M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 关系R 不是A 到B 的函数，因为元素2，4的象不唯一 逆关系1R -也不是B 到A 的函数因为元素7的象不存在．7、设Z 为整数集，函数f ：Z Z Z ⨯→，且(,)f x y x y =+，问f 是单射还是满射？ 为什么？并求(,),f x x (,)f x x -．解：x Z ∀∈, 0,x Z Z ∃<>∈⨯，总有(0,)f x x =，则f 是满射；对于1,2,2,1,Z Z <><>∈⨯，有(1,2)3(2,1)f f ==，而1,22,1<>≠<>，则f 非单射；(,)2,(,)0f x x x f x x =-=．8、设Z 为整数集合，“∗”定义为：a ∗b=a b ，问其在Z 上封闭吗？可交换吗？可结合吗？ 答：①取a ＝2，b ＝-1，a ∗b =2-1∉Z ，其在Z 上不封闭；②取a ＝2，b ＝1时，a ∗b=a b =2，b ∗a=b a =1，a ∗b ≠b ∗a ，其在Z 上不可交换；③取a =2，b=1，c =2，(a ∗b )∗c =4，a ∗(b ∗c ) =2，(a ∗b )∗c ≠a ∗(b ∗c )，其在Z 上不可结合．9、设Z 为整数集合，“∗”定义为：a ∗b=2ab ，问其在Z 上封闭吗？可交换吗？可结合吗？ 答：①整数乘法运算在Z 上封闭，②∀a,b ∈Z ，a ∗b=2ab =2ba =b ∗a ，其在Z 上可交换；③∀a,b,c ∈Z ，(a ∗b )∗c =2(2ab )∗c =4abc =2a ×2bc =2a (b ∗c )=a ∗(b ∗c ) ，其在Z 上可结合．10、设无向图,G V E =有12条边，已知有6个3度顶点，其余顶点的度数均小于3，问G 中至少有多少个顶点？答：设G 中度数小于3的顶点有k 个，则由欧拉定理deg()24v Vv ∈=∑知，度数小于3 的顶点度数之和为6，故当其余的顶点度数都为2时，G 的顶点最少， 即G 中至少有9个顶点.11、n 取怎样的值，无向完全图K n 有一条欧拉回路?答： n 为奇数，∀v ∈V ，deg(v )=n -1为偶数，所以，当n 是大于或等于3的奇数时，K n 有欧拉回路.12、判断下列无向图是否存在欧拉路径？是否为欧拉图？说明理由.答：d(A)=2, d(B) =d(C)= d(D)=4 d(E) =d(F)=3只有两个奇数度的结点, 有欧拉路径，如EDBEFCABCDF ；由于每个结点的次数不均为偶数，所以不是欧拉图.13、判断下列图是否为欧拉图？说明理由，是否存在哈密尔顿回路？• • •• •答：一个无向图D 是欧拉图⇔D 是连通的，且所有顶点的度等于偶数，所以是欧拉图，但无哈密尔顿回路．14、判断下列图是否存在欧拉路径？是否为欧拉图？说明理由.答：一个有向图D 是欧拉图⇔ D 是连通的，且所有顶点的入度等于出度，所以是欧拉图，存在欧拉路径．四、填表计算题（每题10分）1、对命题公式 ()()A p q p q =⌝→∧∨，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q p q → ()p q ⌝→ p q ∨ A0 0 1 0 0 00 1 1 0 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 1 0主析取范式(2)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,3)A ⇔∏.2、对命题公式 ()A p q r =→↔，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解： p q r p q → A0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式(1,3,4,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,2,5,6)A ⇔∏.3、设代数系统<A ,∗>，其中A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，由下列表给出，试列表分别解：4解：有 无 a a –1= a , b –1= b五、计算问答题（每题10分）1、集合}4,3,2,1{=A 上的关系}4,4,3,4,4,3,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1{><><><><><><><><=R ，写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100110100100101R M ，R 的关系图为 因R M 对角元皆为1，故R 是自反的，不是反自反的；因R M 为对称矩阵，故R 是对称的； 因1,3,3,1R <><>∈，故R 不是反对称的；又因1,3,3,4R <><>∈，但1,4R <>∉，故R 无传递性．2、设R 是集合}4,3,2,1{=A 上的二元关系，{1,1,1,2,1,3,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3}R =<><><><><><><><><>， 写出关系矩阵R M ，画出关系图并讨论R 的五种性质．解：R 的关系矩阵为1110000011101110R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，R 的关系图为 因R M 对角元不全为1，也不全为0，故R 不是自反的，也不是反自反的；因R M 为非对称矩阵，故R 是反对称的，不是对称的；因2R R =，故R 是传递的．3、有向图G 如图9.27所示，⑴ 求G 的邻接矩阵；⑵ 根据邻接矩阵求各结点的出度和入度；⑶ 求G 中长度为3的路的总数，其中有多少条回路；⑷ 求G 的可达性矩阵． 解：⑴M R =440110100001010000⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ⑵deg ＋(v 1)=2，deg －(v 1)=1，deg ＋(v 2)=1，deg －(v 2)=2，deg ＋(v 3)=2，deg －(v 3)=1，deg ＋(v 4)=0，deg －(v 4)=1；⑶ A 2=441101011010000000⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 3=441110110101100000⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 长度为3的路有8条，其中回路3条；⑷ C 3=A 0+A 1+A 2+A 3=443321231112210001⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ P =1111111111110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．4、有向图,D V E =<>，其中结点集1234{,,,}V v v v v =，有向边集E 可表示为： 12233132344142{,,,,,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v v v v v =<><><><><><><>（1） 求D 的邻接矩阵A ；（2）求D 的可达性矩阵P ；（3）说明2v 到3v 长度为4的路径有几条？（4）2v 到其它各顶点长度为3的路径有几条？解：（1）0100001011011100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ； （2）20010110112100110A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，31101121012211111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，41210122134222311A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23442421354269544632R A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111111111111111P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ； （3）2v 到3v 长度为4的路径有2条 ；（4）2v 到其它各顶点长度为3的路径有2条．5、有向图,D V E =<>，其中结点集1234{,,,}V v v v v =，有向边集121314214243{,,,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v v v =<><><><><><>（1）求D 的邻接矩阵A ；（2）求D 的可达性矩阵P ；（3）说明D 中经过1v 长度为3的回路有几条？（4）说明D 中1v 到3v 长度为4的路径有几条？（5）说明D 中1v 到3v 所有的路径有几条？解：（1） 0111100000000110A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ； （2）21110011100001000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，31111111000000111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，41221111100001110A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，23443553333200002331R A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111111100001111P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （3）D 中经过1v 长度为3的回路有1条；（4）D 中1v 到3v 长度为4的路径有2条；（5）D 中1v 到3v 所有的路径有5条.四、证明计算题（每题10分）1、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ c b d a +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯+=+∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈+=++=+∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e +=++=++++=+++∴则有 a f b e +=+，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,3,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯=-=<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>．2、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a d b c =， “” 为普通乘法，证明： R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯． 证明：（1）,,,,,,,a b A A a b b a a b a b R ∀<>∈⨯=∴<<><>>∈即R 自反；（2）,,,,,,a b c d R a d b c c b d a ∀<<><>>∈==∴则则,,,c d a b R <<><>>∈，即R 对称；（3）,,,,,,,,a b c d R c d e f R ∀<<><>>∈<<><>>∈,a d b c c f d e a d c f b c d e ===∴则，有 a f b e =，,,,,a b e f R ∴<<><>>∈即R 传递；综上得出，R 是A A ⨯上的等价关系，且[2,4]R <>{,,,2}{1,2,2,4}a b a b A A a b =<><>∈⨯==<><>,/{[1,1],[1,2],[2,1][1,3],[3,1],[1,4],[4,1]}R R R R R R R A A R ⨯=<><><><><><><>3、设R 是实数集，R 上的二元运算*定义为：a *b=a+b+ab ，证明：<R ,*>是独异点，并写出其么元和零元．证明：⑴由于实数经加法和乘法运算后，其运算结果仍为实数，所以运算*对于R 是封闭的； 由于a *b=a+b+ab=a (b +1)+(b +1)−1=(a +1) (b +1)−1从而有(a *b )*c=((a +1)(b +1)−1)*c=(((a +1)(b +1)−1)+1)(c +1)−1=(a +1)(b +1)(c +1)−1a *(b *c )=a *((b +1)(c +1)−1)=(a +1)(((b +1)(c +1)−1)+1)−1=(a +1)(b +1)(c +1)−1于是 (a *b )*c=a *(b *c )，所以*是可结合运算；在<R , *>中，对于任何实数a ，都有0*a=a *0=0+a+0·a=a故0是<R , *>中的么元，<R , *>是独异点；对<R , *>中任何实数a ，都有(−1)*a=a *(−1)=(−1)+a+(−1)·a=−1， −1是<R , *>中的零元．4、某无向连通图G 中有10条边，二个2度顶点，二个3度顶点，一个4度顶点，其余顶点的度数都是1，求G 的顶点个数，并证明G 为树.解：设G 中度数为1的顶点个数为x由握手定理知22234210x +⨯+⨯+=⨯解得6x =于是G 中的顶点个数为22111x +++=因G 为连通图，且G 中的边数比其顶点个数少1-故G 为树.五、证明题（每题10分）1、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ⌝→→⌝∨，()q p r →∨⌝， r p q ⇒↔. 证明: (1) r P(2) ()q p r →∨⌝ P(3) q p → T (1),(2) (析取三段论)(4) r s ∨ T (1) (加法式)(5) ()()p q r s ⌝→→⌝∨ P(6) p q → T (4)，(5) (拒取式)(7) ()()p q q p →∧→T (3)，(6) (合取式)(8) p q ↔ T (7) (等值表达式) .2、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ∨→∧，()r s t p t ∨→⇒→ .证明：（1）p P (附加前提)(2)p q ∨ T (1)（加法式）(3)()()p q r s ∨→∧ P(4)r s ∧ T (2)，(3)（假言推理）(5)r T (4)（简化式）(6)r s ∨ T (5)（加法式）(7)()r s t ∨→ P(8)t T (6)，(7)（假言推理）(9)p t → CP .3、用逻辑推理规则证明：(()()),(()()),()()x F x G x x G x R x xR x xF x ∀∨∀→⌝∀⇒∀． 证明：⑴()xR x ∀ P⑵()R c T ⑴（US ）⑶(()())x G x R x ∀→⌝ P⑷()()G c R c →⌝ T ⑶（US ）⑸()G c ⌝ T ⑵，⑷（拒取式）⑹(()())x F x G x ∀∨ P⑺()()F c G c ∨ T ⑹（US ）⑻()F c T ⑸，⑺（析取三段论）⑼()xF x ∀ T ⑻（UG ）． 4、用逻辑推理规则证明：()(()()()),()()xF x y F y G y R y xF x xR x ∃→∀∨→∃⇒∃． 证明：⑴()xF x ∃ P⑵()F c T ⑴（ES ）⑶()(()()())xF x y F y G y R y ∃→∀∨→ P⑷(()()())y F y G y R y ∀∨→ T ⑴，⑶（假言推理）⑸()()()F c G c R c ∨→ T ⑷（US ）⑹()()F c G c ∨T ⑵（加法式）⑺()R c T ⑸，⑹（假言推理）⑻()xR x ∃ T ⑺（EG ）． 5、用逻辑推理规则证明： (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀→⇒∃→∃.证明：⑴()xP x ∃ P （附加前提）⑵()P a T ⑴（ES ）⑶(()())x P x Q x ∀→ P⑷()()P a Q a → T ⑶（US ）⑸()Q a T ⑵，⑷（假言推理）⑹()xQ x ∃ T ⑸（EG ）⑺()()xP x xQ x ∃→∃ CP ．6、设R 为集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和可传递的，则R 一定是反对称的． 证明：假设R 不是反对称的，则 y x R x y R y x ≠>∈<>∈<∃,,,,由R 的传递性知， R x x >∈<, ，此与R 反自反矛盾，故R 反对称．7、设R 是A 上的对称和传递关系，证明：若,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，则R 是A 上的等价关系．证明：,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，因R 是对称的，有,b a R <>∈，又因R 是传递的，所以,a a R <>∈，则R 在A 上自反，故R 是A 上的等价关系．8、设,R S 是A 上的偏序关系，证明：R S 是A 上的偏序关系．证明：（1）x A ∀∈，因,R S 在A 上的自反性，则,x x R S <>∈，有R S 在A 上自反；（2）设,,x y R S <>∈而x y ≠，则,,,,x y R x y S <>∈<>∈因,R S 在A 上的反对称性，有,,,,y x R y x S <>∉<>∉则,,y x R S <>∉于是，R S 在A 上是反对称的；（3）设,,,x y R S y z R S <>∈<>∈，则,,,;,,,x y R y z R x y S y z S <>∈<>∈<>∈<>∈，因,R S 在A 上的传递性， 有,,,x z R x z S <>∈<>∈,则,x z R S <>∈，于是，R S 在A 上是传递的； 综上所述，可证R S 是A 上的偏序关系．9、设R 是S 上的等价关系，证明：1R -是S 上的等价关系．证明：（1）因R 在S 上的自反性，有S I R ⊆，则11S S I I R --=⊆，有1R -在S 上自反； （2）因R 在S 上的对称性，有1R R -=，则111()R R R ---==，有1R -在S 上对称；（3）因R 在S 上的传递性，有2R R ⊆，则1221()R R R R --=⊆=，有1R -在S 上可传递；则2'(')('(''))('')'R R R R S S R S S R ⊆⨯⊆⨯=，有'R 在'S 上是对称的； 综上所述，可证1R -是S 上的等价关系．10、设Z 是整数集，Z 上的二元运算*定义为：a *b=ab+2(a+b+1)，证明：<Z ,*>是半群． 证明：因任意两个整数经加、减、乘运算后，其结果仍然是整数。