2015届高考数学大一轮复习(2009-2013高考题库)第6章 第2节 一元二次不等式及其解法 理 新人教A版

2009~2013年高考真题备选题库
第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修4-5）第2节 一
元二次不等式及其解法考点 一元二次不等式
1．（2013天津，5分）已知函数f (x )＝x (1＋a |x |). 设关于x 的不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦
⎤－12，1
2⊆A, 则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－52，0
B.⎝
⎛⎭
⎪
⎫1－32，0
C.⎝
⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，1＋
32
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析：本题考查函数与不等式的综合应用，意在考查考生的数形结合能力．由题意可得0∈A ，即f (a )<f (0)＝0，所以a (1＋a |a |)<0，当a >0时无解，所以a <0，此时1－a 2>0，所以－1<a <0.函数f (x )的图象(图略)中两抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－1
2a 之间的距离大于1，而[x ＋a ，
x ]的区间长度小于1，所以不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集是⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a 2，所以⎣⎡ －12，
⎦⎤12⊆⎝⎛⎭⎫12a －a 2
，－12a －a 2，所以
⎩⎨⎧
1
2a －a
2＜－1
2，－12a －a 2＞12，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－a －1＜0，a 2＋a ＋1＞0，解得1－52＜a ＜1＋52，又－
1＜a ＜0，所以实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪
⎫1－52，0.
答案：A
2.（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )
A ．[15,20]
B ．[12,25]
C ．[10,30]
D ．[20,30]
解析：本题考查三角形相似的性质，考查考生构建函数和不等式模
型，利用解不等式求解实际应用题的能力．如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ＝AF
40，则有AF ＝x ，FH ＝40－x ，
由题意知阴影部分的面积S ＝x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，即x ∈[10,30]．
答案：C
3．(2013广东，5分)不等式x 2＋x －2<0的解集为________．
解析：本题考查一元二次不等式的解集，考查考生的运算能力及数形结合思想的领悟能力．令f (x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)·(x －1)，画出函数图象可知，当－2<x <1时，f (x )<0，从而不等式x 2＋x －2<0的解集为{x |－2<x <1}． 答案：{x |－2<x <1}
4．（2013江苏，5分）已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．
解析：本题考查奇函数的性质及一元二次不等式的解法，意在考查学生的化归能力及运算能力．
由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2
＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－4x ，x >0，0，x ＝0，
－x 2－4x ，x <0.
由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪
⎧ x 2
－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2－4x >x ，x <0，
解得x >5或－5<x <0，
所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
5．（2013四川，5分）已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．
解析：本题考查二次函数、不等式、函数的奇偶性，意在考查考生的运算能力和化归的数学思想．当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ＜5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )＜5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)＜5的解集为(－7,3)．
答案：(－7,3)
6．（2011广东，5分）不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ) A ．(－1
2
，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1
2
)∪(1，＋∞)
解析：由原不等式得(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＜－1
2或x ＞1.
答案：D
7．（2011湖南，5分）已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )
A ．[2－2，2＋2]
B ．(2－2，2＋2)
C ．[1,3]
D ．(1,3)
解析：函数f (x )的值域是(－1，＋∞)，要使得f (a )＝g (b )，必须使得－b 2＋4b －3＞－1.即b 2－4b ＋2＜0，解得2－2＜b ＜2＋ 2.
答案：B
8．（2012江苏，5分）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2
＝4b ，所以x 2
＋ax ＋a 2
4
－c ＜0的解
集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2
＋ax ＋a 2
4
－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数
的关系得⎩⎪⎨⎪
⎧
2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 2
4－c ，
解得c ＝9. 答案：9
9．（2010江苏，5分）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0
1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x
的取值范围是________．
解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2
>0
2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2>2x 2x ≥0
，
解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1)
10． (2009·江苏，16分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；
(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋ ∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．
解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1， 所以－a >0，即a <0. 由a 2≥1知a ≤－1.
因此，a 的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f (x )的最小值为g (a )．我们有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
3(x －a 3)2＋2a 2
3，x >a ， ①
(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ， ② (i)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，
由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2. (ⅱ)当a <0时，f (a 3)＝23a 2.
若x >a ，则由①知f (x )≥2
3
a 2；
若x ≤a ，则x ＋a ≤2a <0，由②知f (x )≥2a 2>2
3a 2.
此时g (a )＝2
3
a 2.
综上得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2a 2
， a ≥0，2a 2
3， a <0.
(3)①当a ∈(－∞，－62]∪[2
2
，＋∞)时， 解集为(a ，＋∞)； ②当a ∈[－22，2
2)时，
解集为[a ＋3－2a 2
3，＋∞)；
③当a ∈(－
62，－2
2
)时， 解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a 23
，＋∞)．。