2018-2019学年人教A版河南省实验中学高二第二学期期中(文科)数学试卷 含解析

2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题1．已知复数z满足，则|z|＝（）A．3 B．C．4 D．2．下列导数运算正确的是（）A．（x﹣1）′＝B．（2x）′＝x2x﹣1C．（cos x）′＝sin x D．（lnx+x）′＝13．用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（）A．有两个数是正数B．这三个数都是正数C．至少有两个数是负数D．至少有两个数是正数4．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝a，a n＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5．下列关于回归分析的说法中错误的有（）个（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．（2）回归直线一定过样本中心（，）．（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．（4）甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．A．4 B．3 C．2 D．16．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图），每个节气晷长损益相同（即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同）．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（）A．九尺五寸B．一丈五寸C．一丈一尺五寸D．一丈六尺五寸7．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）P（K2≥k0）0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．在下面的图示中，是结构图的为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝x2﹣5x+2lnx，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．和（1，+∞）B．（0，1）和（2，+∞）C．和（2，+∞）D．（，2）10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，若f1（x）＝f′（x），f n+1（x）＝f′n（x）（n∈N+），则f2019（）＝（）A．B．C．D．﹣11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（）A．3972 B．3974 C．3991 D．399312．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2019，﹣2017）B．（﹣2019，﹣2018）C．（﹣2021，﹣2019）D．（﹣2020，﹣2019）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在点处的切线方程为．14．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片．甲说：照片A是α发回的；乙说：β发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是γ发回的．若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片B是探测器发回的．15．在等比数列{a n}中，若a9＝1，则有等式a1a2…a n＝a1a2…a17﹣n，（n＜17，n∈N*）成立．类比上述性质，相应的在等差数列{b n}中，若b9＝0，则有等式成立．16．函数f（x）＝3x﹣x3在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是．三.解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．18．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）．（1）当a＝0，b＝﹣3时，求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值；（2）若函数f（x）在x＝1处有极值10，求f（x）的解析式；（3）当a＝﹣2时，若函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围．19．某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差（x°C，x≥3）和患感冒的小朋友人数（y/人）的数据如下：温差x°C x1x2x3x4x5x6患感冒人数y8 11 14 20 23 26 其中，，，（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；（Ⅱ）建立y关于x的回归方程（精确到0.01），预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）参考数据：．参考公式：相关系数：，回归直线方程是，20．下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f（n）（n∈N+）．（1）写出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系（不用证明），并求出f（n）的表达式．21．已知a∈R，f（x）＝2x﹣alnx．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，xf（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．选作题：共12分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a（a＞0）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，4），直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|＝14，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．参考答案一.选择题1．已知复数z满足，则|z|＝（）A．3 B．C．4 D．【分析】由题意结合复数模的运算法则计算z的模即可．解：由复数模的运算法则可得：．故选：D．2．下列导数运算正确的是（）A．（x﹣1）′＝B．（2x）′＝x2x﹣1C．（cos x）′＝sin x D．（lnx+x）′＝1【分析】根据求导公式计算即可．解：（x﹣1）′＝﹣，（2x）′＝2x ln2，（cos x）′＝﹣sin x，（lnx+x）′＝1+，故选：D．3．用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（）A．有两个数是正数B．这三个数都是正数C．至少有两个数是负数D．至少有两个数是正数【分析】先求出要证的命题“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”的否定，即可得出结论．解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证的命题的否定成立，而要证的命题“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”的否定为：“至少有两个数是正数”，故选：D．4．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝a，a n＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【分析】根据归纳推理，演绎推理，类比推理的特点，分析可得答案．解：A是由一般到特殊的推理，是演绎推理；B是由特殊到一般的推理，是归纳推理；C是由特殊到特殊的推理，是类比推理；D是由特殊到特殊的推理，是类比推理；故选：B．5．下列关于回归分析的说法中错误的有（）个（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．（2）回归直线一定过样本中心（，）．（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．（4）甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据“线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强“，对选项中的命题判断真假即可．解：对于（1），残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，∴（1）错误；对于（2），回归直线一定过样本中心（，），正确；对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，正确；对于（4），甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，∴（4）错误；综上，错误的命题是（1）、（4）共2个．故选：C．6．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图），每个节气晷长损益相同（即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同）．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（）A．九尺五寸B．一丈五寸C．一丈一尺五寸D．一丈六尺五寸【分析】结合阅读理解能力及转换能力，不妨将每个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为a1冬至晷长为a13，立冬节气的晷长为a10，则有a1＝15，a13＝135，求a10即可．解：由题意可知：不妨将每个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为a1冬至晷长为a13，立冬节气的晷长为a10，则有a1＝15，a13＝135，由等差数列的性质有：＝，解得：a10＝105，即立冬节气的晷长为105寸，即一丈五寸，故选：B．7．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）P（K2≥k0）0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【分析】利用独立性检验的方法计算得K2，参照临界值表即可得出正确的结论．解：独立性检验的方法计算得K2≈7.245，参照临界值表，得7.245＞6.635，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选：B．8．在下面的图示中，是结构图的为（）A．B．C．D．【分析】分析给定的四个图表名称，可得答案．解：A是综合法证明的解答流程图，不是结构图；B是结构图，C是频率分布直方图，不是结构图；D是工序流程图，不是结构图，故选：B．9．已知函数f（x）＝x2﹣5x+2lnx，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．和（1，+∞）B．（0，1）和（2，+∞）C．和（2，+∞）D．（，2）【分析】利用导函数的符号，研究原函数的单调性，求解即可．解：函数f（x）＝x2﹣5x+2lnx，其定义域{x|x＞0}，则f′（x）＝2x﹣5+2×＝，令f′（x）＝0，可得x1＝，x2＝2，当x∈（，2）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（，2）是单调递减．故选：D．10．已知函数f（x）＝sin x+cos x，若f1（x）＝f′（x），f n+1（x）＝f′n（x）（n∈N+），则f2019（）＝（）A．B．C．D．﹣【分析】求函数的导数，判断函数的周期，利用函数的周期进行计算即可．解：∵f（x）＝sin x+cos x，∴f1（x）＝f′（x）＝cos x﹣sin x，f2（x）＝f′1（x）＝﹣sin x﹣cos xf3（x）＝f′2（x）＝﹣cos x+sin x，f4（x）＝f3（x）＝sin x+cos x…，即f n（x）是周期为4的周期函数，则f2019（x）＝f504×4+3（x）＝f3（x）＝sin x﹣cos xf2019（）＝．故选：A．11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（）A．3972 B．3974 C．3991 D．3993【分析】先阅读理解及观察能力，由有限几项归纳推理通项公式为：由1开始的红色子数列分组为：（1），（2，4，6），（7，9，11，13，15），16，18，20，22，24，26，28），（29，31…45）…则有第n组有2n﹣1项，且第n组的最后一项为n（2n﹣1），再设1开始的第2019个数在第n组，则由等差数列前n项和公式有：（n∈N*），解得：n＝45，再运算得解解：将由1开始的红色子数列分组为：（1），（2，4，6），（7，9，11，13，15），16，18，20，22，24，26，28），（29，31…45）…则有第n组有2n﹣1项，且第n组的最后一项为n（2n﹣1），设1开始的第2019个数在第n组，则由等差数列前n项和公式有：（n∈N*），解得：n＝45，又前44组项数之和为＝1936，则第45组第1个数为：44×（2×44﹣1）+1＝3829，即第2019个数在第45组的第2019﹣1936＝83个，则第2019个数是：3829+（83﹣1）×2＝3993，故选：D．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2019，﹣2017）B．（﹣2019，﹣2018）C．（﹣2021，﹣2019）D．（﹣2020，﹣2019）【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）＝x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2019）＝（x+2019）2f（x+2019），F（﹣2）＝4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2019）﹣F（﹣2）＜0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2019）＜F（﹣2）得，x+2019＞﹣2，即x＞﹣2021，又x+2019＜0，解得：x＜﹣2019，故﹣2021＜x＜﹣2019，故选：C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在点处的切线方程为x﹣4y﹣4＝0 ．【分析】求出函数的导数，求出切线斜率，求出切线方程即可．解：y′＝，故k＝y′＝，故切线方程是：y+＝（x﹣2），整理得：x﹣4y﹣4＝0，故答案为：x﹣4y﹣4＝0．14．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片．甲说：照片A是α发回的；乙说：β发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是γ发回的．若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片B是探测器α发回的．【分析】先阅读理解题意，再结合题意进行简单的合情推理，逐一检验即可．解：①假设甲说法正确，即照片A是α发回的，则β发回的照片是C，则丙说法正确，与已知矛盾，即假设不成立，②假设乙说法正确，即β发回的照片不是A就是B，又甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片C是γ发回的．照片A不是α发回的，即照片A是β发回的，照片B是α发回的，③假设丙说法正确，即照片C不是γ发回的，则β发回的照片是C，照片B是α发回的，照片A是γ发回的，综合①②③得：照片B是探测器α发回的，故答案为：α15．在等比数列{a n}中，若a9＝1，则有等式a1a2…a n＝a1a2…a17﹣n，（n＜17，n∈N*）成立．类比上述性质，相应的在等差数列{b n}中，若b9＝0，则有等式成立．【分析】据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律得出结论即可．解：在等比数列{a n}中，若a9＝1，则有等式a1a2…a n＝a1a2…a17﹣n，（n＜17，n∈N*）成立．故相应的在等差数列{b n}中，若b9＝0，则有等式，则有等式成立故答案为：16．函数f（x）＝3x﹣x3在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（﹣1，2] ．【分析】求函数f（x）＝3x﹣x3导数，由于函数在区间（a2﹣12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a2﹣12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围．解：由f（x）＝3x﹣x3，得f'（x）＝3﹣3x2，令f'（x）＞0，解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x＝﹣1处取到极小值﹣2，因为函数在（a2﹣12，a）的端点处的函数值取不到，所以此极小值必是区间（a2﹣12，a）上的最小值．∴a2﹣12＜﹣1＜a，解得﹣1＜a＜又当x＝2时，f（2）＝﹣2，故有a≤2综上知a∈（﹣1，2]．故答案为（﹣1，2]．三.解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简．（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）求出，由的实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．解：z＝＝．（1）若z是纯虚数，则，即m＝2；（2），由在复平面上对应的点在第四象限，得，即﹣2＜m＜2．18．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）．（1）当a＝0，b＝﹣3时，求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值；（2）若函数f（x）在x＝1处有极值10，求f（x）的解析式；（3）当a＝﹣2时，若函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围．【分析】（1）把a＝0，b＝﹣3代入原函数，求出原函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，通过列表分析导函数在各区间段内的符号，得到原函数在各区间段内的单调性，找出极值点，求出极值，求出闭区间的端点处的函数值，则函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值可求；（2）由函数f（x）在x＝1处有极值10，则f′（1）＝0，f（1）＝10，联立后可求a，b的值，则函数解析式可求；（3）把a＝﹣2代入原函数解析式，然后求其导函数，由函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，得到f'（2）≥0，由此可求b的取值范围．解：（1）当a＝0，b＝﹣3时，f（x）＝x3﹣3x，所以f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1列表：x﹣1 （﹣1，1） 1 （1，3） 3f′（x）0 ﹣0 +f（x）极大值2 减函数极小值﹣2 增函数18从上表可知，函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值为18．（2）因为f（x）＝x3+ax2+bx+a2，所以f'（x）＝3x2+2ax+b，由已知条件，得即解得或下面分别检验：①当a＝4，b＝﹣11时，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16，f′（x）＝3x2+8x﹣11，令f′（x）＝0，即 3x2+8x﹣11＝0，解得，x2＝1，列表：x 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增函数极大值减函数极小值10 增函数由上表可知，f（x）在x＝1处取极小值10，符合题意．②当a＝﹣3，b＝3时，f（x）＝x3﹣3x2+3x+9，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2≥0，f（x）为增函数，不合题意，舍去．所以当a＝4，b＝﹣11时，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16为所求函数的解析式．综上所述，所求函数的解析式为f（x）＝x3+4x2﹣11x+16．（3）当a＝﹣2时，f（x）＝x3﹣2x2+bx+4，f'（x）＝3x2﹣4x+b，此导函数是二次函数，二次项系数大于0，且对称轴为，因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，也就是f'（2）≥0，即 3×22﹣4×2+b≥0，解得b≥﹣4，所以，b的取值范围是[﹣4，+∞）．19．某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差（x°C，x≥3）和患感冒的小朋友人数（y/人）的数据如下：温差x°C x1x2x3x4x5x6患感冒人数y8 11 14 20 23 26 其中，，，（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；（Ⅱ）建立y关于x的回归方程（精确到0.01），预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）参考数据：．参考公式：相关系数：，回归直线方程是，【分析】（Ⅰ）利用已知数据结合相关系数公式求得r，由r值接近1可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系；（Ⅱ）利用已知数据结合公式求得与的最值，可得线性回归直线方程，取x＝4，可预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数．解：（Ⅰ），（14﹣17）2+（20﹣17）2+（23﹣17）2+（26﹣17）2＝252．故r＝．∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；（Ⅱ），，，∴y关于x的回归方程为．当x＝4时，△y＝2.61×4≈10．预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会增加10人．20．下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f（n）（n∈N+）．（1）写出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系（不用证明），并求出f（n）的表达式．【分析】（1）由题意有f（1）＝3，借助三角形能求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值．（2）f（n+1）＝f（n）+3+3×2n＝f（n）+6n+3，从而f（n+1）﹣f（n）＝6n+3，由此利用累加法能求出f（n）的表达式．解：（1）由题意有f（1）＝3，f（2）＝f（1）+3+3×2＝12，f（3）＝f（2）+3+3×4＝27，f（4）＝f（3）+3+3×6＝48，f（5）＝f（4）+3+3×8＝75．…（2）由题意及（Ⅰ）知，f（n+1）＝f（n）+3+3×2n＝f（n）+6n+3，即f（n+1）﹣f（n）＝6n+3，…故f（2）﹣f（1）＝6×1+3，f（3）﹣f（2）＝6×2+3，f（4）﹣f（3）＝6×3+3，…f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1）+3，n≥2．…将上面（n﹣1）个式子相加，得：，又f（1）＝3，所以f（n）＝3n2，n≥2，而当n＝1时，f（1）＝3也满足上式，故f（n）＝3n2，n∈N*．…21．已知a∈R，f（x）＝2x﹣alnx．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，xf（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为xf（x）﹣（x2+1）≥0恒成立，设g（x）＝xf（x）﹣（x2+1），求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝2﹣＝（x﹣），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）递减，在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）xf（x）≥x2+1恒成立，即xf（x）﹣（x2+1）≥0恒成立，设g（x）＝xf（x）﹣（x2+1），则g（x）＝x2﹣axlnx﹣1，g′（x）＝2x﹣a（1+lnx），g′（x）的单调性和f（x）相同，当a≤0时，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）＝2﹣a＞0，故g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）＝0，当a＞0时，g′（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，当0＜a≤2时，≤1，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）＝2﹣a≥0，故g（x）是增函数，故g（x）≥g（1）＝0，当a＞2时，在区间（1，）上，g′（x）递减，故g′（x）＜g′（1）＝2﹣a＜0，故g（x）递减，故g（x）＜g（1）＝0，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．选作题：共12分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a（a＞0）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，4），直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|＝14，求a的值．【分析】（1）两边平方后，利用ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，可得曲线C的直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程化成标准形式，再代入曲线C的直角坐标方程，然后根据韦达定理以及参数的几何意义列方程可解得．解：（1）由ρ＝2a两边平方得ρ2（a2sin2θ+4cos2θ）＝4a2，又ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，∴a2y2+4x2＝4a2（a＞0），即曲线C的直角坐标方程为：4x2+a2y2＝4a2．（2）消去参数t得直线l的普通方程为：y＝x+4，易知P（0，4）在直线l上，所以直线l的斜率为，倾斜角为60°，所以直线l的参数方程可设为：（t为参数），将以上参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理得：（1+a2）t2+4a2t+12a2＝0 设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝，所以|PM||PN|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝＝14，解得：a＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）代入a的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，x0＜a 时，2a＞4，求出a的范围即可．解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6，故或或，解得：x＞或x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，故6×a＞2a+4，解得：a＞2，x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，综上，a∈（2，+∞）．。