概率统计及随机过程课件9.2正态总体均值和方差的假设检验

解: (1)假设 H0 : 32.50,
(2)计算统计量T的值，x 31.13, s 1.13
T x 32.50 31.13 32.50 2.97
s/ n
1.13 / 6
0.05
时，t 1
(n
1)
t0.995 (5)
2.57
2
（４）比较 T 与 t1 (n 1) 2 T 2.97 2.57, 所以，拒绝假设 H 0 ,
1 – 2 = 0 1 – 2 0
拒绝域
1 – 2 0 1 – 2 < 0
1 – 2 0 1 – 2 > 0
其中
12, 22未知
12
=
2 2
(2)
关于方差比
2 1
/
2 2
的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
拒绝域
2 1
=
2 2
2 1
2 2
2 1
=
2 2
2 1
<
2 2
标准差是 8(N).
今换了原材料新生产一批铜丝，并从中抽出10个 样品，测得折断力（单位：N）为 578 572 568
570 572 570 570 572 596 584
从性能上看，估计折断力的方差不会发生变化， 问这批铜丝的折断力是否比以往生产的铜丝的 折断力较大？( 0.05)
解:检验假设 H0 : 0 , H1 : 0
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
例4 已知某零件的质量 X ~ N(, 2 ), 由经验知
10(g),,技2 术0.改05新后,抽取8个样品,
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
1.21 1.21 1.18，1.17,1.19,1.20， 1.20 1.17 1.19 1.18 问是否可以认为该厂生产的螺钉的直径的方 差为0.0002(cm )。
2 ( 0.05)
解:(1)检验假设 H0 : 2 0.0002
(2)统计量 2 (n 1)s2 ~ 2 (9) 2
0
(0.4)2
x ~ N (100,
)
9
U x 100 ~ N(0,1) 0.4 / 3
给定 0.05, z1 z0.975 1.96 2
P
x 100 0.4 / 3
1.96
0.05
是小概率事件
将 x 100.29 代入得
U x 100 2.175 1.96 0.4 / 3
说明小概率时间在一次抽样中发生,不合理, 假设H不0 成立认为打包机不能正常工作.
给定 0.01, z1 2.58 2
P
x 100 0.4 / 3
2.58
0.01
但 U x 100 2.175 2.58 0.4 / 3
没有理由拒绝原假设 H0, 结论:认为打包机能正常工作.
由此例可见,对不同的,即使所取样本相同,也 可做出完全不同的判断, 因此所作检验可能导致 以下两类错误的产生：
离0的可能性较小,所以
检验水平
给定 ,查N(0,1)表得z1-/2, 这里z1-/2为由表
N(0,1)得到的1-/2分位点.使得
P{U z } 1 (2(z ) 1)
1
1
2
2
说明事件
{|
x 0
|
z } 1
是小概率事件.
n
2
从而根据实际推断原理，如果这个事件在一次
抽取中发生, 就认为假设不合理,认为原假设不
成立, 拒绝H ，否则接受假设H
0
0
x 0 / n
z1 2
H0 的拒绝域
例1:某厂有一台自动打包机对产品进行打包,
额定标准是100克,据以往经验,方差 2 (0.4)2.
某天开工后,为检查打包机工作情况,随机 的抽取9包,得 x 100问.29这g天打包机工作 是否正常?
解: 提出假设 H0 : 100
H0
H1
H0为真时的分布
2=
2 0
2
2 0
拒绝域
2=
2 0
2<
2 0
2=
2 0
2>
2 0
( 未知)
两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 ),
两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym ) 样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym ),
(3)由样本值得
x 1.19
S 2
1 n 1
n i 1
xi
x
2
0.00022
故 2 (n 1)s2 10
2 0
(4)查
2 分布表,得
2 (9) 2 (9) 19.0
1
0.975
2
2 (9) 2 (9) 2.7
0.25
2
2
(9)
2.7
10
19.0
2 1
2
2
因此接受假设 H0 : 2 0.0002
:
0,
H1
:
0
2
检验假设 H0 : 0, H1 : 0
给定 ，查 t1 (n 1)
T t1 (n 1), 拒绝 H0 , 接受 H1
二：单个正态总体方差的假设检验
1.未知均值 ,检验假设
H0
:
2
2 0
已知条件,总体
X
~
N(,
2 ),
x, 1
x 2
, ,
x n
为来自于总体 X 的样本,
解：检验假设H0:
=72. U
x
0
;
/ n
将n=25, x 68.6
代入得 U x 0 2.656 / n
=0.05,查标准正态分布表得,
z1-/2= z0.975=1.96. 因为|Ｕ|=2.656>1.96，故拒绝H0，
说明该体院男生的脉搏与一1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．
类似于３，已知方差,检2 验假设
H0 : 0, H1 : 0
给定 ,查N(0,1)表得z1-,
若 U ，z1拒 绝 ，H接0受
H1
U z1，接受 H0，拒绝 H。1
类似于４，未知方差 , H0
显著性水平
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 H0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
拒绝域
1 – 2 = 0 1 – 2 0
1 – 2 = 0 1 – 2 < 0
1 – 2 =0 1 – 2 > 0
( 12，22 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其在
H0
H1
H0为真时的分布
U 检验法 (2 已知)
原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量及其 H0为真时的分布
0 0
拒绝域
= 0 < 0
= 0 > 0
T 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量及其 H0为真时的分布
0 0
拒绝域
= 0 < 0 = 0 > 0
检验法
原假设 备择假设 检验统计量及其在
(1)提出假设H0: = 0;
(2)选取检验用的统计量 U，用样本值计算
出其值
（3）给定检验水平,查分布表得临界值
z 1
2
(4)将|U|与 z比1较，若 2
U ， z拒1绝 ， H 0 2
U z1 ，接受 H。0 2
２．未知方差2, 检验假设H0: = 0
分析：由于 未2 知，用 S代2 替 2
给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t
1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2
2
则拒绝 H 0 , 否则接受 H 0.
2.未知均值 ,检验假设
H0
:
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 1