一元二次不等式与绝对值不等式(习题课)

绝对值不等式与一元二次
不等式练习课
目的： 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法. 过程：
一、复习：绝对值不等式与一元二次不等式的复习.
二、例题：
例1、解不等式 4
5312x +-≤ 解：原不等式可化为：① 24
531≥+-x 或 ② 24531-≤+-x 解①得5
7-≤x ，解②得 59≥x . ∴原不等式的解集是{x |57-≤x }∪{x |59≥x }={x |5
7-≤x 或59≥x }. 例2、解不等式 6541352≤+-x 解：原不等式可化为：6
54135265≤+-≤-x 10112010≤+-≤-⇒x
20
21201≤≤⇒x ∴原不等式的解集是{x |
2021201≤≤x }
例3、解关于x 的不等式 a x <-+132 (a ∈R) 解：原不等式可化为：132+<+a x
（1）当 a +1>0 即a >-1时，
-(a +1)<2x +3<a +1 2
224-<<+-⇒a x a ； （2）当 a +1≤0即 a ≤-1时，解集为Φ.
∴（1）当a >-1时，原不等式的解集是 {x |2
224-<<+-
a x a }； （2）当a ≤-1时，解集为Φ.
例4、解不等式 7412<-≤x 解一：原不等式可化为：7142<-≤x ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-714214x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥-≤⇒2234341x x x 或 2434123<≤-≤<-⇒x x 或 解二： ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥
-=-)4
1(41)41(1441x x x x x ∴ Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≥714241x x 或 Ⅱ：⎪⎩
⎪⎨⎧<-≤<741241x x （下略）
解三：原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集： 2≤1-4x <7，或2≤-(1-4x )<7.（下略）
例5、解不等式 |x +2| + |1-x |< x -4
解：原不等式即为 |x +2| + |x -1|< x -4
Ⅰ： ⎩
⎨⎧+<-+---<4122x x x x ⇒ x ∈Φ ； Ⅱ： ⎩
⎨⎧+<-++<≤-41212x x x x ⇒ -1<x <1； Ⅲ： ⎩
⎨⎧+<-++≥4121x x x x ⇒ 1≤x <3. ∴ 原不等式的解集为：{x |-1<x <3}
例6、解下列不等式：
① 3-6x -2x 2<0；
解：整理得 2x 2+6x -3<0.
用求根公式求根得解集{x |
2
1532153+-<<--x }. ② (x -1)(3-x )<x (x +1)+1；
解：整理得 2x 2-3x +4>0 ∵023<-=∆ ∴不等式解集为R.
③ 11352≤--x x ； 解：移项，通分，整理得 01
34≥-+x x . 不等式解集为{x |x ≤-4或x >31}
或解：取并集 ⎩
⎨⎧-≤->-1352013x x x 或 ⎩⎨⎧-≥-<-1352013x x x .
④ 0≤x 2-2x -3<5；
解：原不等式的解集为下面不等式组的解集
⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--5
5203222x x x x ⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒4231x x x 或 ∴原不等式的解集为 {x |-2<x ≤-1 或 3≤x <4}.
例7、已知U=R ，且A ={x |x 2-5x -6<0}，B={x | |x -2|≥1}. 求：（1）A ∩B ； （2）A ∪B ； （3）(C u A )∩(C u B).
解：A ={x |-1<x <6}，B={x |x ≤1或x ≥3}，
∴C u A ={x |x ≤-1或x ≥6}，C u B={x |1<x <3}，于是
（1）A ∩B={x |-1<x ≤1或3≤x <6}
（2）A ∪B=R
（3）(C u A )∩(C u B)= {x |x ≤-1或x ≥6}∪{x |1<x <3}=Φ
也可求 C u (A ∪B)=Φ
例8、解关于x 的不等式 (1-a )x 2+4ax -(4a +1)>0 (a ∈R)
解：1 当1-a =0即 a =1时，原不等式化为 4x -5>0，x >4
5 2 当 1-a >0即a <1时，∵∆=4(3a +1)
(1)当⎩
⎨⎧>+<0131a a 即131<<-a 时，∆>0 此时原不等式的解集是⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或；
(2)当a =3
1-时，∆=0 原不等式化为 4x 2-4x +1>0， 即 (2x -1)2
>0，此时原不等式的解集是 {x ∈R|x ≠21}； (3)当a <3
1-时，∆<0 且 1-a >0，此时原不等式的解集为R ； 3 当1-a <0即a >1时，原不等式可化为
(a -1)x 2-4ax +(4a +1)<0
这样a -1>0，且∆=4(3a +1)>0，用求根公式得： 此时原不等式的解集为：⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++<<-+-11321132|a a a x a a a x 综上可得：
当a <-3
1时原不等式解集为R ； 当a =-31时原不等式解集为{x ∈R|x ≠2
1}； 当131<<-a 时原不等式解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++->-+--<a a a x a a a x x 11321132|或； 当a =1时原不等式解集为{x | x >4
5}； 当a >1时原不等式解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++<<-+-11321132|a a a x a a a x .
例9、已知A ={x | |x -a |≤1}，B={x |03302≥---x x x }且A ∩B=Φ.
求a 的范围.
解：化简A ={a -1≤x ≤a +1}
由03302≥---x x x ⇒ 3)5)(6(-+-x x x ≥0 介绍“标根法” B={x |-5≤x <3 或 x ≥6}
要使A ∩B=Φ，必须满足 a +1<-5 或 ⎩
⎨⎧<+≥-6131a a 即a <-6或4≤a <5
∴ 满足条件的a 的范围是a <-6或4≤a <5
例10、（1）若不等式 (1-a )x 2-4x +6>0的解集是{x |-3<x <1}, 求a 的值；
（2）若-3<x <1时 (1-a )x 2-4x +6>0成立, 求a 的取值范围.
解：（1）由题设可知 1-a <0 ⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=--=+-=-⇒313162
1314a
a 3=⇒a （2）设 y =(1-a )x 2-4x +6
1.当1-a >0即a <1时 抛物线开口向上 ∆=24a -8
当a <3
1时，∆<0，解集为R -3<x <1自然成立
当3
1<a <1时∆>0 此时对称轴 x =-312)1(24>-=--a a 而x =1时y =3-a >0，由图象可知： -3<x <1时都有y >0
当a =3
1时 0=∆这时对x ≠3都有y >0 故-3<x <1时 不等式成立
∴ a <1时 若-3<x <1不等式(1-a )x 2-4x +6>0都成立 2.当a =1时不等式为-4x +6>0对于-3<x <1时 2<-4x +6<18
即-4x +6>0成立
3.当a >1时1-a <0 抛物线开口向下 要使-3<x <1时(1-a )x 2-4x +6>0成立
必须 ⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥-=>01031y x y x a 时时 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≥+->⇒02)1(018)1(91a a a 31≤<⇒a 综上：若-3<x <1时(1-a )x 2-4x +6>0成立，则a 的取值范围是a ≤3.
三、作业：《教学与测试》 第10课（选部分）。