弹性力学 平面问题的直角坐标解答

—— 应力分量为 x、y 的二次函数。
Φ ax 4 ey 4 （须满足：a + e =0）
y 12ax 2 x 12ey 2
xy 0
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 10
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数
Φ 的性质）
4Φ 0。
多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 4Φ 0 。 （1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
9
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
（3） 应力分量：
（4） 特例：
2Φ x 2 2cx 2 6dxy 12ey 2 y 2Φ y 2 2cy 2 6bxy 12ax 2 x 2Φ 2 2 3 bx 4 cxy 3 dy xy xy
适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数 Φ ，能解决什么样的力学问题。
1. 一次多项式
（2） 检验
（1） Φ( x, y ) ax by c
其中： a、b、c 为待定系数。
Φ是否满足双调和方程： 显然 Φ 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
2
4 4 4 Φ Φ Φ 4 Φ 4 2 2 2 4 0 x x y y
2

h 2 h 2
x dy
12kly dy 0 3 h

h 2 h 2
x ydy
h 2 h 2
12kly 2 12kly dy 3 h 3h 3
h 2
h 3 2 h 2
kl

h 2 h xy 弹性力学 2
dy
6ky2 3k 2ky3 3ky dy 3 k h 3 2h 平面问题的直角坐标解答 2h h h
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第三章
平面问题的直角坐标解答
授课班级：勘查11级
周道祥
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第三章
本章要点
平面问题的直角坐标解
—— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力
学问题。
徐芝纶院士(1911-1999)
弹性力学简明教程(第三版)
第三章
内容提要
平面问题的直角坐标解答
2
13
第三章
内容提要
平面问题的直角坐标解答
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
二 矩形梁的纯弯曲
x 6ay y 0 xy 0
梁对应的边界条件：
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
当体力为常量，按应力求解归结为求解一个应力函数Φ ( x, y )， 必须满足下列条件:
常数 a 与弯矩 M 的关系：
由梁端部的边界条件： (1)
(2)


h 2 h 2
x y dy M
12 M x 3 y h

h 2 h 2
6ay dy M
h 2 h 2 2
x dy 6ay dy 0
2M a 3 h M (或a 3 ) h 2
Φ0
4
(可作为应力函数 )
（3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)
2c
2Φ 2Φ 2Φ b x 2 2c y 2 2a xy xy y x 2a 0
2c
0
x
x y
4
4Φ 24e 4 y
代入： 得
Φ0
24a 8c 24e 0
4 3 2 2
3a c 3e 0
3 4
可见，对于函数：
Φ ax bx y cx y dxy ey
弹性力学 平面问题的直角坐标解答
其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：3a c 3e 0
4 弹性力学 平面问题的直角坐标解答 由于相容方程是偏微分方程，通解不能写成有限形式，采用逆解法或半逆解法
Φ x 2 Xx y
Φ y 2 Yy x
Φ xy xy
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（2-25）的 Φ
第三章
内容提要
平面问题的直角坐标解答
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
三 位移分量的求出
以纯弯曲梁为例，说明如何由
x , y , xy求出形变分量、位移分量。
x dy
12kxy dy 0 3 h 12kxy dy 0 3 h
2
k O
l
h
kl k
x
y
结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。
h 2
x ydy
h 2 h 2
h 2 h 2
xy dy
右边界
xl:
h 2 h 2
h 2 h 2
6ky2 3k 2ky3 3ky h 3 2h dy h 3 2h h k
弹性力学

y y h 2
0
h 6k 2 3k 0 3 h 2h
12
2

xy y h 2
显然，上下边界无面力作用。
平面问题的直角坐标解答
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
左边界
x 0:
h 2 h 2 h 2 h 2


h 2 h 2 h 2 h 2
1.相容方程
4Φ 4Φ 4Φ 2 2 2 4 0 4 x x y y
2.应力边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
3.对多连体，还须满足位移单值条件 求出应力函数后，可按下式求应力分量，再求形变分量和位移分 2 量 2 2
h 2
M x
1
max 3ah
y
h 2
(2)
若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；
但按圣维南原理，仅在两端误差较 大，离端部较远处误差较小。
x 6ay y 0 xy 0
M x y I
(3)
当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 16
（3） 对应的应力分量：
Φ x 2 Xx 0 Xx Xx y
2Φ y 2 Yy 0 Yy Yy x
y xy 0
6
2Φ xy 0 xy
若体力：X = Y =0，则有： x
结论： 弹性力学
（1）一次多项式对应于无体力和无应力状态；
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 11
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
例： 图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试
证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问 题。式中k、q为常数。
O
l
h
x
2kxy3 3kxy Φ 3 h 2h
y
解： (1) 应力分量：
(2) 边界条件： 上下边界
2Φ 12kx x 2 3 y h 2Φ y 2 0 x 2Φ 6ky2 3k xy 3 xy h 2h
结论：三次多项式对应于线性应力分布。
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 8
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
4. 四次多项式
（ 1） Φ
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4 （2） 检验 Φ 是否满足双调和方程
4Φ 24a 4 x
4Φ 2 2 2 8c x y
x, y 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式（2-24），求出 定系数）；
x , y , xy（具有待
（2）半逆解法
（3）再利用应力边界条件式（2-15），来考察这些应力函数 Φ 对应 什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数 Φ 可以求解什 么问题。 —— 主要适用于简单边界条件的问题。 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， （2）根据 x , y , xy 与应力函数 求出 Φ 的形式； 假设部分应力分量
h 2 h 2
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
弹性力学
平面问题的直角坐标解答
M x 3 y (h / 12)
M x y I
15
二 矩形梁的纯弯曲
说明：
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
l
M min 3ah
M M
l
1. 形变分量与位移分量 （1）形变分量
由前节可知，其应力分量为：
x
1
h
y 0 xy 0
My M x y 3 I h / 12


(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
y
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
x
xy弹性力学 b y 2a
Φ
0
2
平面问题的直角坐标解答
y
2
y
0
7 Φ( x, y) 0 xy
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
3. 三次多项式
（ 1） Φ
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
检验 Φ 是否满足双调和方程，显然有 （ 2）
My u 1 x E x E I My y 1 ( y x) v y E y E I xy xy G 弹性力学 平面问题的直角坐标解答 xy u v 0 y x 将式（a）代入得：
l
l
取Φ ay 3 , ( X Y 0) 可得：
M min 3ah
h 2
M
x
x l : x 6ay, xy 0
可见： Φ
h y : 2
y 0, xy 0
1
max 3ah
y
h 2
ay 3 —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
x , y , xy
的某种函数形式 ；
Φ
的关系及 4Φ 0 ，
（3）最后利用相容方程计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和位 5 弹性力学 移单值条件。 平面问题的直角坐标解答 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
平面问题的直角坐标解答
（2）在该函数 Φ 上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
2. 二次多项式
结论：二次多项式对应于均匀应力分布。 2 2 其中： a、b、c 为待定系数。 （1）Φ ax bxy cy
（2） 检验 Φ 是否满足双调和方程，显然有
4Φ 4Φ 4Φ 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
4Φ 4Φ 4Φ 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
4Φ 0
(可作为应力函数 )
（ 3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：X =Y = 0)
2Φ 2Φ 2Φ x 2 2cx 6dy y 2 2by 6ax xy 2bx 2cy y xy x