§3.1.2复数的几何意义.

§3.1.2复数的几何意义
一、 教学目标：
1、 知识与技能：
（1） 理解复数能用点表示的道理，并能准确用点来表示任何一个复数。

（2） 理解复平面及其相关的概念 ，以及复平面内的点对应复数的特点。

（3） 理解复数能用向量表示的道理，并能准确用向量来表示任何一个复数。

（4） 掌握复数三种表示方法：代数形式、点和向量表示，并能理解它们之间的相互 转化。

能将复数问
题转化为平面几何和解析几何问题来灵活求解。

2、 过程与方法：
（1） 让学生类比实数能用数轴上的点来表示的道理，理解复数也能用点来表示。

（2） 启发学生理解复平面及其相关的概念
，以及复平面内的点对应复数的特点。

（3） 启发学生类比实数能用数轴上的点来表示的道理，
理解复数也能用向量来表示。

3、 情感与价值：
通过创设问题情景，让学生体验数学活动中充满了探索性和创造性，感悟数学的 奇妙及魅力，并通过交流，培养学生敢于发表自己的观点，勇于探索的精神。

二、 教学重点、难点：
重点：复数的三种表示方法。

难点：对复数的三种表示方法及其相互转化的理解。

三、 学法与教学用具：
1、 学法：学生通过阅读教材，自主学习、质疑、交流等探究活动，逐步理解复数能用
点和向量来表示的道理，并能准确表示。

2、 教学用具：多媒体或投影仪、三角板。

四、 教学思路：
（一）、以境激情，引入新课：
1、 师：在初中我们学习过实数， 知道所有实数与数轴上的所有点之间是一一对应
的，因此实数能用数轴上的点来表示，那么复数是不是也能用点来表示 呢？用什么样的点来表示才准确呢？
2、 让学生通过阅读教材，自主学习、质疑、交流等探究活动，逐步理解复数能用
点和向量来表示的道理，并能准确表示。

【设计意图：激活学生记忆中的原有相关知识，为认知结构的正向迁移作好准备。

（二）、强化新知，形成知识网络：
1
、复平面及其相关概念：
（1） 、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。

（2） 、x 轴叫做实
轴，
2
、复数能用点来表示：
一—議度
b € L 复平面内的点Z （a , b ）
3、 复平面内的点对应复数的特点：
（启发学生自己总结）
（1） 实轴上的点都表示实数；
（2） 虚轴的点（除原点外）都表示纯虚数； （3）
各象限内的点都表示非纯虚数。

4、 复数能用向量来表示：
y 轴叫做虚轴。

复数Z = a + bi
(a 、
亠--剧度
复数Z = a + bi （a、b€ R）平面向量。

（O为原点，Z为复数对应
点)
5、复数的模及其计算公式：(启发学生自己总结)
(a 、b € R )的模 r = I 02 | = J a 2 b 2
复数Z = a + bi
6
、复数的模性质:
乙？乙
(a 、b € R )的表示方法：
(a 、b € R)；
7、复数 Z = a + bi
(1) 代数形式：复数 Z = a + bi (2) 点形式：用点 Z (a , b )来表示;
(3)向量形式：用向量
(三)、强化新知，拓展思维：
1
、求实数
m 取何值时， (1) 在X 轴下方 (2) 在第四象限 (3) 在直线X y 4
z (m 2 5m 6) (m 2
2m 15)i 对应的点,
【设计意图：理解复数与其对应点间的关系。

】 解：
(1)要使复数Z 对应点在X 轴下方，则：
2
m
- 2m - 15 < 0
.• - 3 < m < 5
(2)要使复数Z 对应点在第四象限，则：
｛笃 35讥6 > 0
-Im - 15 < 0
••• - 2 (3)要使复数
“ 2
< m V 5
Z 对应点在直线x + y + 4 = 0 (m + 5 m + 6 ) + /• m = 1 或 m =-
(m — 2m —15) 5
2
上，则:
+ 4 = 0
答：略。

2 、巩固提高：
2
(1) 当一m 1时，
3
对应的点在第_
(2) 若3 5i , i 和2 ai 在复平面内所对应的点 在同一条直线上，则实 数a
z (3m 2) (m 1)i
象限
【设计意图：深化理解新知，拓展解题思维。

】 答案提示：(1)四
(2) 5
(1)若 z a 73i(a R),且 |z| 2,则 a
(2)已知|z| 2,则z 所对应的点的轨迹是什 么?
2
6、
答案提示：(1)1 乙 I = I Z 2 I = I Z 3 I = I 乙 I = J 5
已知 z (3 2sin ) (1 2cos )i( R),
求z 所对应的点的轨迹。

【设计意图：把复数、三角函数和点的轨迹问题结合起来，使学生形成知识网络,
提高分析问题、解决问题的综合能力。

解：
已知复数Z 满足z 2|z|
7 4i ,
求乙
【设计意图：理解复数的模的定义、公式及其几何意义。

解：(1)
Z a J3i(a R)且 Z
(2)方法 方法 X
1：・.T ZI
•••由复数的模的几何意义知： 复数Z 所对应的点的轨迹是以原点为
圆心，2为半径的圆。

2:设 Z = X + yi (X 、y € R ,则由 I Z I = 2 得：
2 2^2
+ y = 2
•••复数Z 所对应的点的轨迹是以原点为圆心，
2为半径的圆。

4、巩固提高:
已知 z 1 1 2i , z 2
(1) 求它们的模长； (2) 试判断它们所对应的点
【设计意图：深化理解新知，
血 J 3i, z 3 V3
是否在同一个圆上？为 拓展解题思维。

】
J 2i,Z 4
什么?
(2)它们所对应的点都在以原点为圆心,
J 5为半径的圆上。

设复数 Z X yi(x 、y
R ), X 3 2si n 则:
sin
cos
2cos x 3
2
y 1 2
sin 2
cos 2
(g )2 2 1)2 4
(X 3)2
复数Z 对应点的轨迹是以(
(y
3,1)为圆心，2为半径的圆。

【设计意图：能灵活运用复数的相关知识进行解题，
提高分析问题和解决问题的
综合解题能力。

】
解:
(四)、归纳小结：
1 、复数的几何意义;
(2) 点C 对应的复数为-2 - i
1、 人教版选修 1-2 P 64
1 题、2题、3题答案略； 2、
人教版选修
1-2 P
64
4 题：
由1乙1 = 1乙丨= 1 Z 3 1 =1 Z 41 = J 5知：四点在同一个圆_
3
、
人教版选修 1-2 P 65 4 题：答案略； 4、 人教版选修 1-2 P 65 5题：答案略；
5
、
人教版选修 1-2 P
65
:
上。

(1) 向量OB 对应的复数为2 - i ;
设复数Z
2z x yi （ X 、y R ） 7 4i
yi 2j x
2
y 2
7 4i
2j x 2 y y 2 7
4
2、复数的模长：|z| |a bi| J a 2 b 2
3、待定系数法求复
(五)、巩固深化，反馈矫正：
1 、人教版选修1-
2 P 2
、人教版选修1-2 P
答案提示：
z=a+bi （a 、b € R ）
64 65
题、2题、3题、4题; 题、5题及B 组练习。