专题以向量与解析几何三角形等相结合为背景的选择题备战高考数学(解析)

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微专题五：平面向量与解三角形结合的中档题类型-解析

微专题：平面向量与解三角形结合的中档题类型一、单选题1．已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则()122a e e a⋅+的最大值是（） A．4B．2C．2D ．4【答案】D 【分析】设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，由1222e e +≤，计算可得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，计算可得()cos cos βαβ≤-，可推出()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，计算可得()()1222cos cos a e e aβαβ⋅+=+-()3cos αβ≤-3cos β=，结合21cos cos 22cos14αββ==-≤-，可求出cos 44β-≤≤，从而可求出()122a e e a⋅+的最大值. 【详解】由题意，可设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，则()12212cos ,2sin e e αα+=+，由1222e e +≤，可得()2212cos +4sin 4αα+≤，整理得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，可得()()()()cos ,sin 1,0cos ,sin cos ,sin r r r r ββββαα⋅≤⋅，即cos cos cos sin sin r r r ββαβα≤+，所以()cos cos βαβ≤-，当()cos cos βαβ=-时，()2πk k βαβ=-+∈Z 或()2πk k βαβ=-++∈Z ，即()22πk k βα=+∈Z 或()2πk k α=∈Z ，因为1cos 4α≤-，所以()2πk k α=∈Z 不符合题意，故()cos cos βαβ=-时，()22πk k βα=+∈Z .而()()1222cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r raββαβαβαβ⋅+++==+-，因为()cos cos βαβ≤-，所以()122a e e a⋅+()3cos αβ≤-，当()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，此时()()3cos 3cos 2π3cos k αβββ-=-=，因为()21cos cos 22πcos 22cos14k αβββ=-==-≤-，所以23cos 8β≤，即cos β≤≤，所以()122a e e a⋅+()3cos 3cos αββ≤-=≤故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量与三角函数的综合问题，解题的关键是设出题中向量的坐标，利用平面向量的坐标运算及三角函数的运算性质，将所求不等式转化为三角函数关系式，进而求出最大值.考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难题． 2．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（）A．12B．2 C．3D 【答案】D 【分析】利用垂心的性质，连接CO 并延长交AB 于D ，得到CD AB ⊥，把已知条件中的式子化简，得到()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+，再两边同乘以AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到cos sin 2C B B +=⋅，再把cos C 化为5cos 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，整理后得到m 值. 【详解】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，得cos cos 2sin sin C BAB AC m AO C B+=⋅，连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+，所以()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+ 同乘以AB 得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B ⋅+⋅=⋅+⋅ 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅因为6A π=，所以2cos cos 33sin sin 2C B c bc mbc C B += 由正弦定理可得3cos sin cos sin 3sin sin 2C C B C m B C += 又sin 0C ≠，所以有3cos cos 3sin 2C B m B +=⋅，而56C A B B ππ=--=-，所以531cos cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin 3sin 2B m B =，而sin 0B ≠，所以得到36m =，故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．3．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（）A ．45B ．54C ．56D ．12【答案】A 【分析】把已知等式中,MB MC 向量用,,AB AC AM 表示后可求得,x y ，由余弦定理得,,a b c 的关系，求出a b c+的最值，再由不等式性质得结论．【详解】∵0aMA bMB cMC ++=，∴()()a AM bMB cMC b AB AM c AC AM =+=-+-， ∴b cAM AB AC a b c a b c=+++++，又AM x AB y AC =+，∴,b c x y a b c a b c==++++，11b cx y a a b cb c++==++++，由余弦定理得2222227152cos ()44a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，由2()4b c bc +≤（当且仅当b c =时取等号），得222215()()()4416b c b c a b c ++≥+-⨯=， ∴14a b c ≥+，∴141514x y +≤=+，即x y +的最大值是45．故选：A.【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把,x y用,,a b c 表示出来．4．已知1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且OC 与OA 的夹角为30，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，则mn的值为（） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【详解】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB ==，，则 10033OA OB OC mOA nOB m n ==∴=+=（，），（，），（，），3330n tan ∴︒== 3m n ∴=．故选C5．已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，等腰三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且OC CD =，120COD ∠=︒，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围（）A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【分析】由圆的参数方程，设出C ､D 点的坐标，进而找出PC PD ⋅与角的关系，通过三角转化为三角函数，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，可得(1,0),(1,0)A B -，设(cos ,sin )(cos(120),sin(120))D C αααα++，设(cos ,sin )P θθ，其中[0,60],[0,180]αθ∈∈，所以(cos(120)cos ,sin(120)sin ),(cos cos ,sin sin )PC PD αθαθαθαθ=+-+-=--，所以[(cos(120)cos ](cos cos )[sin(120)sin ](sin sin )PC PD αθαθαθαθ=+--++⋅--21313(cos sin )cos (cos sin )cos cos cos cos 2222αααααθαθθ=------+21313(sin cos )sin (sin cos )sin sin sin sin 2222αααααθαθθ+-+--+-+1131(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )222αθαθαθαθ=+-++- 1131cos()sin()sin(30)2222αθαθαθ=--+-=+--，因为[0,60],[0,180]αθ∈∈，所以30[210,30]αθ--∈-，可得1sin(30)[1,]2αθ--∈-，即PC PD ⋅的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及圆的参数方程，三角函数的化简及三角函数的性质的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.6．在ABC ∆中，26AB AC ==，2BA BC BA ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=A ．35B ．9-C ．7D ．25-【答案】B 【分析】由题意结合平面向量的定义可得2CAB π∠=，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当222PA PB PC ++取得最小值时点P 的坐标，然后求解AP BC ⋅的值即可. 【详解】2||||cos ||BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=，||cos ||BC B BA ∴⋅=， CA AB ∴⊥，2CAB π∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则(6,0),(0,3)B C ，设(,)P x y ，则222222222(6)(3)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-222231236453(2)(1)10x x y y x y ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++取最小值，此时(2,1)(6,3)9AP BC ⋅=⋅-=-.故选B .【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、多选题7．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，则下列选项正确的是（）A ．1324AO AB AC =+ B ．直线AO 必过BC 边的中点C ．:3:2AOB AOC S S =△△D ．若1OB OC ==，且OB OC ⊥，则13OA = 【答案】ACD 【分析】根据题设条件，化简得到423AO AB AC =++，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到2()4OB OC AC OD +=-=-，可判定B 不正确；根据4AC OD =-，得到32BE EC =，结合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的. 【详解】如图所示，点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，可得223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=，即()()23AO OB OA OC OA =-+-，即423AO AB AC =+，所以1324AO AB AC =+，所以A 是正确的；在ABC 中，设D 为BC 的中点，由230AO OB OC ++=，可得()2()0AO OC OB OC +++=，所以2()4OB OC AC OD +=-=-，所以直线AO 不过BC 边的中点，所以B 不正确；由4AC OD =-，可得4AC OD =且//AC OD ，所以14DE OD EC AC ==，所以14DE EC =，可得25EC BC =，所以32BE EC = 所以1sin 3212sin 2AOB AOCAD BE AEB S BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△，所以C 正确；由230AO OB OC ++=，可得23OA OB OC =+ 因为1OB OC ==，且OB OC ⊥，可得222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=，所以13OA =，所以D 是正确的. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．有下列说法其中正确的说法为（） A ．若a b ，b c ，则a c ：B ．若230OA OB OC ++=，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=； C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向；D ．若a b ，则存在唯一实数λ使得a b =λ 【答案】BC 【分析】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 【详解】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=，所以2220OM OD ⨯+=,即2OM OD =-,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅= ，所以cos ,1a b <>=-，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 故选 B C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.三、填空题9．已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若对于任意的3m ≥，当1F 、2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为________.【答案】3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】推导出PM mMQ =且FM 为PFQ ∠的角平分线，可得出PM PFm QM QF==，然后以点P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设1PM =，求出点F 的轨迹是圆，结合12F F k PQ ≤可得出21k m m≥-，求出函数21y x x=-在区间[)3,+∞上的最大值，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】111m OM OP OQ m m =+++，即111111m m OM OM OP OQ m m m m +=+++++， ()()111m OM OP OQ OM m m ∴-=-++，PM mMQ ∴=，由于FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则cos cos FM PFM FM QFM ∠=∠，所以，FM 为PFQ ∠的角平分线，则点M 到PF 和PQ 的距离相等，所以，PFMQFM PM PF S m S QM QF===△△，以点P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设1PM =，则()0,0P ，()1,0M ，()1,0Q m +，设点(),F x y ，由PFm QF=()22221x y m x m y +=--+，化简可得222211m m x y m m ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故点F 是以点2,01m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为圆心，1mm -为半径为圆上的一点，要使得不等式12F F k PQ ≤对圆上任意两点12,F F 恒成立，而1222()1mF F r m ≤=+，所以只需()211m k m m ≤+-对任意的3m ≥恒成立，22211m k m m m∴≥=--，由于函数21y x x =-在区间[)3,+∞上单调递增，则max 231433y ==-，34k ∴≥. 因此，实数k 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． 10．圆M 的方程为()()()2225cos 5sin 1x y R θθθ--+-=∈，圆C 的方程为()2224x y -+=，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值为__________.【答案】6 【分析】设CPE α∠=，可得出2EPF α∠=，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出223212PE PF PC PC=+-⋅，利用圆的几何性质求得2PC 的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得PE PF ⋅的最小值.【详解】设CPE α∠=，则2EPF α∠=，由切线长定理可得PE PF =，24PC PE =+，cos PE PCα=，()222222cos 22cos 114P PE PE PF PE PE P E PF E αα⎛⎫ ⎪=⋅=⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⋅+⎭()()22422222222442322416444PE PE PE PE PE PE PE PE PE ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-=-=+-+-+++()22223232412124PE PC PE PC =++-=+-+，圆心M 的坐标为()25cos ,5sin θθ+，则(25MC =+=，由图可得11MC PC MC -≤≤+，即46PC ≤≤，则21636PC ≤≤，由双勾函数的单调性可知，函数3212y x x=+-在区间[]16,36上单调递增，所以，当216PC =时，PE PF ⋅取得最小值321612616+-=.故答案为：6. 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.11．在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________【答案】[]8,1--【分析】记2ED EG =-，可得出2EF EB EG λμ=-，设直线EF 交BG 于点N ，设EN mEB nEG =+，证明出1m n +=，设EF k EN =，可得出2EF k EN λμ-==-，然后过点F 作BG的平行线交CE 于点P ，进而得出EP k EM =-，求出EP EM的最大值和最小值，进而可得出2λμ-的取值范围.【详解】记2ED EG =-，从而2EF EB ED EB EG λμλμ=+=-，在直线BG 上任取一点N ，设EN mEB nEG =+，由于//BN BG ，则存在实数x ，使得BN xBG =，即()EN EB x EG EB -=-， ()1EN x EB xEG mEB nEG ∴=-+=+，则11m n x x +=-+=，设直线FE 交直线BG 于点N ，过点F 作直线BG 的平行线交直线CE 于点P ，则EF EPEN EM =，设EF k EN =，则EP k EM =，且()EF kEN k mEB nEG ==+，即2EB EG kmEB knEG λμ-=+，由于EB 、EG 不共线，则2km knλμ=⎧⎨-=⎩，()2km kn k m n k λμ∴-=+=+=，由于EP 与EM 方向相反，则k 0<且EP k EM =-，过点A 作直线BG 的平行线交CE 于点Q ，当点P 与点Q 重合时，此时EP EM 取得最小值，此时1EP EA EM EB==，即max 1k =-；当点P 与点C 重合时，此时EP EM取得最大值，设直线AQ 交BC 于点S ，直线AQ 交DG 于点T ，易证AET BEG ≅△△，可得EG ET =，2ED EG =-，可得22ED EG ET ==，所以，T 为线段ED 的中点， //AS BG ，则13DS DT BD DG ==，12BD DC =，则26DC BD DS ==，取BS 的中点U ，连接UE ，则//UE AS ，且13BU BD =，从而8CU BU =， //AS BG ，则//EU BG ，所以，8CECUEM BU ==，所以，EP EM的最大值为8，即min 8k =-.综上所述，2λμ-的取值范围是[]8,1--.故答案为：[]8,1--.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求含参代数式的取值范围，考查了等和线性质的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于难题.12．已知正ABC 的边长为2，PQ 为ABC 内切圆O 的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为______________.【答案】[]0,1【分析】先由正ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到=MP MO OP +，=MQ MO OQ +，再结合=OQ OP -，可得到22213MP MQ MO OP MO ⋅=-=-，再根据图像利用临界值法，求出MP MQ ⋅的取值范围.【详解】如图所示，O 为正ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在BDO △中，=1BD ，=30OBD ︒∠，可求得内切圆半径3OD .又PQ 为圆O 的直径, =OQ OP ∴-，利用向量的线性表示可得，=MP MO OP +，=MQ MO OQ MO OP +=-，2221()()3MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ∴⋅=+-=-=-，又M 为ABC 边上的动点，由图可知，当M 为ABC 边的中点时，MO 最小为3，即min 0MP MQ ⋅=；当M 为ABC 的顶点时，MO 最大为23，即max 1MP MQ ⋅=. MP MQ ∴⋅的取值范围为[]0,1.故答案为：[]0,1.。

提优专题(2.2)——平面向量和解三角形(解答题)(含答案)

平面向量与解三角形（解答题）1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若u v u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式；(2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)+的最大值，并求其取得最大值时x 的值．6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ；(),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．11.对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n 维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅=12.已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由； (2)用n t 表示1.n t +13.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CA CB x DADB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD (1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A14.如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O (1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S的取值范围．15.如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy 中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．16.法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形； (2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．平面向量与解三角形1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．【答案】(1)因为8a =，3A π=，所以sin sin sin b c a B C A ===所以b B =，)8cos c C A B B B =+=，则216.cos c b B −== (2)由222222cos a b c bc A b c bc =+−=+−，得2264.b c bc +=+因为222b c bc +，所以22642b c bc bc +=+，所以64bc ，当且仅当8b c ==时，取等号， 2||()AB AC AB AC +=+222AB AC AB AC ++⋅22b c bc =++=，12AB AC bc ⋅=，令t 883t <，则21322bc t =−，则2211||16(2)1744AB AC AB AC t tt +−⋅=−+=−−+，因为883t <，所以2132(2)1784t −−−+<，所以||AB AC AB AC +−⋅的最小值为32.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解决范围问题.(1)先利用正弦定理分别求出b ，c ，再根据三角形内角和定理将C 用B 表示，再将所求化简即可得解;(2)利用余弦定理结合可得2264b c bc +=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得1||64.2AB AC AB AC bc +−⋅=令t =.2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围. 【答案】证明：(1)原式化简得：21sin cos sin sin sin cos cos 2cos 2sin cos A AB A B A B B B B+=⇔+=，即sin cos()B A B =+，cos()cos()2B A B π∴−=+，(0,)2A B π+∈，(0,)22B ππ−∈， 2B A B π∴−=+，即2.2A B π+=(2)由22222A B A B A B C C B ππππ⎧=−⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++==+⎩⎪⎩且04B π<<，由余弦定理，2223a c b ac +−变为223cos 22a cb B ac+−=， 62B ππ∴<，又04B π<<，;64B ππ∴<由正弦定理，sin sin sin sin sin a c A CB B b B++⋅=⋅ 2219sin sin cos 2cos 2cos cos 12(cos )48A C B B B B B =+=+==+−=+−，cos (2B ∈∴由二次函数值域，可得sina c B b+⋅的范围为【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角恒等变换的应用，余弦型函数的值域，二次函数的性质等知识点，属于较难题.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.【答案】(1)解：因为点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 23CPB π∠= ， 1BC = ，所以 6PCB π∠=，PC PB =，由余弦定理可得， 222cos C 2PB PC BC PB PB PC +−∠=⋅ ，解得PC = ，又因为 2ACB π∠=，故 3ACP π∠=，在 Rt ACB 中， 2AB = ， 1BC = ，所以AC == ，在 ACP 中，由余弦定理可得， 2222cos3AP AC PC AC PC π=+−⋅⋅ ，解得3AP =，故AP PC PB ++=+=，所以连廊 AP PC PB ++ 的长为百米． (2)解：设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<< ，则 sin CF a α= ，sin AF a α=− ，设 1EDB ∠=∠ ，则 213B DEB DEB ππ∠=−∠−∠=−∠ ， 233DEB DEB ππαπ=−−∠=−∠ ，所以 2133ADF πππα∠=−−∠=− ，在 ADF 中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠ ，即sin 2sinsin()63aa αππα−=− ，即21sin()sin 32a a παα−=−，即32177a ===(其中 θ 为锐角，且tan θ= ，所以 222133sin 60247Sa =︒⨯=，即 ()2min S = ；图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，因为 //EF AB ，且 EF DE ⊥ ，所以 3FEC π∠= ， 6DEB π∠= ， 2EDB π∠= ，所以 cos 62DE x x π== ，222cos3CE EF CE xπ===− ，所以22111(22)))222DEFSEF DE x x x x =⋅⋅=⋅−=−+=−+，所以当 12x = 时， DEF S 取得最大值8 ，无最小值，即DEF S ⎛∈ ⎝⎦，故3.S ⎛∈ ⎝⎦【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.(1)先由 PBC 中的余弦定理求出 PC ，再由 APC 中的余弦定理求出 AP ，即可得到答案；(2)设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<<，图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠【答案】解：(1)由题意，不妨设BC 边上的中点为点D ，所以23AP AD =，又1()2AD AB AC =+，所以，11.33AP AB AC =+(2)证明：令A B C S S S S =++，则B CS S AP AD S +=||||||||C B B C B C S S DC DB AD AB AC AB AC S S S S BC BC =+=+++()()C B S SAP AP PB AP PC S S=+++，则0B C A S PB S PC S AP +−=，所以0A B C S PA S PB S PC ++=；(3)因为P 是ABC 的垂心，230PA PB PC ++=，所以由(2)易知，::1:2:3.A B C S S S =记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则1tan 2:1tan 2A B FC PC BFBF A AF S S FC AF B PC AF BF⋅====⋅，同理:tan :tan B C S S B C =，所以，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，又tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B −−=−+=−，所以，2tan 2tan 3tan 12tan A AA A−−=−，即tan 1A =或1−，又tan A ，tan B ，tan C 同号，所以tan 1A =，所以tan 3C = 又四边形CDPE 中，因为P 是ABC 的垂心，所以90CDP CEP ∠=∠=︒，所以，180DPE C ∠+∠=︒，又DPE APB ∠=∠，所以，180APB C ∠+∠=︒，所以，tan tan 3APB C ∠=−=−，即cos 10APB ∠=−【解析】本题考查向量的线性运算，向量的几何应用，属于难题. (1)根据向量的线性运算化简即可；(2)利用面积与边长的比例关系化简整理即可；(3)利用(2)的结论得出A ，B ，C 的关系，结合正切的和差角公式计算即可. 5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若uv u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式； (2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)23x −的最大值，并求其取得最大值时x 的值．【答案】解：(1)由向量(),u a b =，(),v c d =，得2222,,u v ac bd u a b v c d ⋅=+=+=+，因为u v u v ⋅=，所以()()()22222ac bd a b c d +=++，即2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++=+++，所以22222abcd a d b c =+，即()20ad bc −=，所以0ad bc −=；(2)因为cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，而cos ,1u v，所以()222222,ac bd u v cos u vu v +=，当且仅当cos ,1u v =，即//u v 时取等号，所以()()()22222a b c d ac bd +++；(3)由413030x x +⎧⎨−⎩可得1334x −，当3x =5==，当134x =−5+==，当1334x −<<时，由(2)可得，()11x=+=⎡⎣，，即18x =−时，取等号，+的最大值为1.8x =−【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，利用向量的数量积证明等式. (1)根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； (2)根据cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，结合余弦函数的值域即可得证；(3)利用(2)中的结论即可得出答案.6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】解：(1)法一：在ABD 中，由余弦定理得222cos 2AD AB BD A AD AB+−=⋅，即222cosA =2168BD A −=①，同理，在BCD 中，22222cos 222BD C +−=⨯⨯，即28cos 8BD C −=②，①-cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；法二：在ABD 中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅即222222cos BD A =+−⨯⨯，即216BD A =−，同理，在BCD 中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+−⋅=−，所以1688cos A C −=−，1cos A C −=，即cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；222222221211(2)44S S AB AD sin A BC CD sin C +=⋅⋅+⋅⋅ 22221241244sin A sin C sin A cos C =+=+−221241)sin A A =+−−22412cos A A =−++，令)cos ,1,1A t t =∈−，所以2224122414y t t ⎛=−++=−+ ⎝⎭，所以6t =，即cos A =时，2212S S +有最大值为14.【解析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，属于较难题.(1)法一：在ABD 2168BD A −=，在BCD 中由余弦定理得28cos 8BD C −=，两式相减可得答案；法二：在ABD 中由余弦定理得216BD A =−，在BCD 中由余弦定理得288cos BD C =−，两式相减可得答案；(2)由三角形面积公式可得222122412S S cos A A +=−++，令()cos ,1,1A t t =∈−转化为二次函数配方求最值即可．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ； (),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠ 【答案】解：(1)()i 设D 是BC 中点，则1()2AD a b =+，重心是中线靠近边的三等分点，21()33AG AD a b ∴==+；1111()3333ii AG AB AC AM AN m n=+=+，M ，G ，N 三点共线，G 在线段MN 上，则111(0,0)33m n m n+=>>， 1111414(4)()(5)(523333m n m n m n m n n m ∴+=++=+++=，当且仅当21n m ==时取等号，4m n ∴+的最小值为3； (2)由1143AO AB AC =+可知点O 在ABC 的内部，如图所示，取AB 的中点P ，AC 的中点Q ，由外心性质可知OP AB ⊥，OQ AC ⊥，从而212AO AB AP AB c ⋅=⋅=，即2111()432AB AC AB c +⋅=，所以22111cos 432c bc BAC c +⋅∠=，故11cos 34b BACc ⋅∠=，同理，由212AO AC AQ AC b ⋅=⋅=可得11cos 46c BAC b ⋅∠=，联立11cos ,3411cos ,46b BAC c c BAC b ⎧⋅∠=⎪⎪⎨⎪⋅∠=⎪⎩得cos 2BAC ∠=【解析】本题考查了平面向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于综合题． (1)()i 根据重心的定义以及平面向量基本定理可表示AG ；()ii 平面向量基本定理结合基本不等式可得结果；(2)由外心性质可得关于cos BAC ∠的方程，解方程可得cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】解：3(1)cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos .b C c B A a B C A ∴+=+由正弦定理得(sin cos cos sin )cos sin (cos cos 3cos ).B C B C A A B C A +=+ ()()sin cos sin cos cos 3cos .B C A A B C A ∴+=+ 因为0A π<<，则sin 0A >，A B C π++=，()sin sin B C A ∴+=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =−+=−，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=，所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan .2B C =(2)由(1)得1tan tan .2B C =若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则B C π+>，矛盾，所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，tan tan tan tan ()2(tan tan )4tan tan tan1B CA B C B C B C +∴=−+==−+−−=−当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角. tan 22A −，则()tan 22A π−，且A π−为锐角，由()()()()()()()22sin tan 22cos 1cos 0sin 0A A A sin A cos A A A πππππππ−⎧−=⎪−⎪⎪−+−=⎨⎪−>⎪⎪−>⎩，解得()22sin 3A π−，即22sin 3A ，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立， 3bc =，13322sin sin 2223S bc A A ∴==⨯=因此，ABC【解析】本题主要考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，属于较难题. (1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；(2)分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan 22A −，求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．【答案】解：(1)如图1，12BD BC CD BC BA =+=+1111111()()2525252BF BE EF BC EA BC EB BA BC BC BA =+=+=++=+−+2155BC BA =+25BF BD ∴=又点B 是公共点，B ∴，F ，D 三点共线.(2)如图1，2222211||()422cos601724BD BD BC BA BC BC BA BA ︒==+=+⋅+=+⨯⨯+= ||7BD ∴=12AE AB BE BC BA =+=− 2222211||()122cos604324AE AE BC BA BC BC BA BA ︒∴==−=−⋅+=−⨯⨯+=||3AE ∴=2211113()()22224AE BD BC BA BC BA BC BA BC BA ⋅=−⋅+=−−⋅11334422cos602242︒=⨯−⨯−⨯⨯⨯=− cos AE ∴<，3||||37AE BD BD AE BD −⋅>===⋅⨯(3)如图2，PA BA BP =−，PC BC BP =−2()()()PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BP BC BP ∴⋅=−⋅−=⋅+−⋅+⋅ 设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，则3CBPπθ∠=−，22cos 422cos 22cos()33PA PC ππθθ⋅=⨯⨯+−⨯⨯−⨯⨯− 64cos 4(coscos sinsin )6)333πππθθθθ=−−+=−+[0,]3πθ∈，∴当6πθ=时，min ()6PA PC ⋅=−【解析】本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于拔高题.(1)利用平面向量的线性运算求得25BF BD =，即可求证三点共线；(2)求出||BD 、||AE 和AE BD ⋅，由夹角公式即可求解;(3)设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，求出6)3PA PC πθ⋅=−+，利用三角函数的性质即可求解.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．【答案】解：(1)由22(1cos )(1cos )cos cos 222222C B b C c B b c b C c B bsincsin −−+++=+=− 22222212222222b c a b c a c b b c a b c aa a⎛⎫++−+−++−=−+=−= ⎪⎝⎭，所以322()b c a bcb c a +−=++，可得22()3b c a bc +−=，则222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，又(0,)A π∈，解得3A π=；(2)由正弦定理得21sin ()cos sin sin sin 23222sin sin sin C C C A B m C C Cπ+−+++===2cos )1111222sin 22222sin cos 2sin2tan 2222C C C C C C C C +=+=+=+=+，因为c a >，所以3C π>，又23B C π+=，所以233C ππ<<，所以623C ππ<<tan 2C<<1tan2C<<，所以12m <<，则a bm c+=的取值范围为(1,2).【解析】本题，考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.(1)利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；(2)根据正弦定理及三角恒等变换将a b m c +=可化为122tan 2m C =+，结合233C ππ<<即可求出m 的取值范围. 11.(本小题12分)对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅= 【答案】(Ⅰ)解：对于①，设120k k αβ+=，则可得1220k k +=，所以,αβ线性相关；对于②，设1230k k k αβγ++=，则可得{12312312325020240k k k k k k k k k ++=++=++=，所以1220k k +=，30k =，所以,,αβγ线性相关；对于③，设12340k k k k αβγδ+++=，则可得{124134234000k k k k k k k k k ++=++=++=，解得123412k k k k ===−，所以,,,αβγδ线性相关；(Ⅱ)解：设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，因为向量α，β，γ线性无关，所以{131223000k k k k k k +=+=+=，解得1230k k k ===，所以向量αβ+，βγ+，αγ+线性无关，(Ⅲ)证明：(ⅰ1122)0m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，则112211110i i i i m m k k k k k ααααα−−+++++++⋅⋅⋅+=，因为任意1m −个都线性无关，所以1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0，所以这些系数1k ，2k ，⋅⋅⋅，m k 或者全为零，或者全不为零，(ⅱ)因为10l ≠，所以1l ，2l ，⋅⋅⋅，m l 全不为零，所以由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l l l l ααα=−−⋅⋅⋅−，代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=可得2122211()0m m m m l l k k k l l αααα−−⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅+=，所以2122111()()0m m m l l k k k k l l αα−++⋅⋅⋅+−+=，所以21210l k k l −+=，⋯，110m m l k k l −+=，所以1212.m mk k k l l l ==⋅⋅⋅= 【解析】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于较难题． (Ⅰ)根据定义逐一判断即可；(Ⅱ)设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，然后由条件得到1230k k k ===即可；(Ⅲ)(ⅰ)如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，然后证明1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0即可；(ⅱ)由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l ll l ααα=−−⋅⋅⋅−，然后代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=证明即可．12.(本小题12分)已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQQ 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；(2)用n t 表示1.n t +【答案】解：(1)该同学的结论正确，证明如下：由已知，得||3AB =，||3OB =，||2OA =，由余弦定理知222||||||2cos 32||||2OB AB OA ABO OB AB+−∠===，又111||||3AP t b a t =−=，则111||||||33BP AB AP t =−=−，11112||||cos )(1)||3BQ BP ABO t t b ∴=⋅∠=−=−，即112(1)3BQ tb =−−⋅；(2)由已知1cos ||||2a b AOB a b ⋅∠===⋅⨯，||||3OB AB ==，cos BAO ∴∠=1||||cos (2||)n n nAP AR BAO OR +∴=⋅∠=−|cosn OQ AOB =⋅∠1||)6n BQ =−⋅1||cos 66n BP ABO =+⋅∠1||)69n AP =+⋅ 1||9n AP =⋅，即151||3||189n n t b at b a +−=−−1n +=， 115.918n n t t +∴=−+【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦定理及数列的递推关系，属于较难题. (1)由余弦定理结合向量条件求出cos ABO ∠即可证得．(2)由向量的夹角先求出cos AOB ∠，再求出151||3||189n n AP AP +=−⋅，即可解答.13.(本小题12分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD 的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A【答案】解：(1)由题意，在AOC ，AOD ，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOC BOC OA OC AOCS CA OA AOCCB S OB BOCOB OC BOC ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2AOD BOD OA OD AODS DA OA AODDB S OB BODOB OD BOD ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin OA AOC OB BOD AOC BODCB ABCD DA OB BOC OA AOD BOC AOD DB⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠①又，在EOG ，EOH ，FOG ，FOH 中，1sin sin 21sin sin 2EOG FOG OE OG EOGS GE OE EOGGF S OF FOGOF OG FOG ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2EOH FOH OE OH EOHS HE OE EOHHF S OF FOHOF OH FOH ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin GEOE EOG OF FOH EOG FOHGF EFGH HE OF FOG OE EOH FOG EOH HF⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠②，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，由①②可得，sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，即()()EFGH ABCD =(2)由题意3()2EFGH =，由(1)可知，3()2ABCD =，则32CACB DA DB =，即3.2CA DB CB DA =，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =，故3CACB=，又3AC =，则2AB =，1BC =，设OA x =，OC y =，且OB =，由ABO CBO π∠=−∠可知，coscos 0ABO CBO ∠+∠=， 2222220=，解得22215x y +=③，又在AOB 中，利用正弦定理可知，sin sin AB xAOB ABO =∠∠④，在BOC 中，利用正弦定理可知，sin sin OByBCO CBO=∠∠⑤，且sin sin ABO CBO ∠=∠，则④⑤可得，sin 3sin 2x AB BCOy AOB OB ∠=⋅==∠，即x =⑥，由③⑥解得，3x=，y =，即3OA =，OC =，则222222325cos .22326OA AB OB A OA AB +−+−===⋅⨯⨯【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题.(1)由题意，结合新定义可得sin sin ()sin sin CAAOC BODCB ABCD DA BOC AOD DB∠⋅∠==∠⋅∠①，同理sin sin ()sin sin EOG FOHGF EFGH HE FOG EOH HF∠⋅∠==∠⋅∠②，再利用角相等，即可证明；(2)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可. 14.(本小题12分)如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O(1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围．【答案】解：(1)依题意，因为2BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为G 、O 、C 三点共线所以存在实数m 使得GO mOC =，所以111m AO AC AG m m=+++，因为32AG GB =，所以11211115m m AO AC AG AC AB m m m m =+=+⨯++++，又因为AO t AD =，所以22135(1)31mt t m m ⎧==⎨++⎩，解得：12t =，15m =综上所述，1.2t =(2)证明：()i 根据题意(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+，同理可得：(1)AC AF μ=+，由(1)可知，111236AO AD AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+，因为E ，O ，F 三点共线，所以存在实数n ，使得EO nEF =所以(1)AO n AE nAF =−+ 所以11136n n λμ++⎧−==⎨⎩，化简得23λμ+=，又因为0λ>，0μ>所以21129(2)()2228λμλμλμ+==，当且仅当322λμ==，即34λ=，32μ=时等号成立. ()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以2111(1)||(1)||sin ||||sin 22(1)(1)11||||sin 2AE AF BAC AE AF BAC S S AE AF BAC λμλμ++∠−∠==++−∠，由()i 可知23λμ+=，则320μλ=−>，所以302λ<<，所以2221172232()22S S λλλ=−++=−−+，易知，当12λ=时，21S S 有最大值7.2则2137(,].22S S ∈ 【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，考查三角形的面积，考查二次函数的最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.(1)由题知2133AD AB AC =+，12115m AO AC AB m m =+⨯++，根据AO t AD =，化简即可；(2)()i 根据题意(1)AB AE λ=+，(1)AC AF μ=+，根据E ，O ，F 三点共线，存在实数n ，使得EO nEF =，有(1)AO n AE nAF =−+，化简可得23λμ+=，利用基本不等式即可得解；()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以221172()22S S λ=−−+，利用二次函数的最值即可得解. 15.(本小题12分)如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．【答案】解：(1)由题知，22OA e =，122OB e e =−，则22121222(2)424cos6020;OAOB e e e e e e ︒⋅=⋅−=⋅−=−=(2)①由题知，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，由(1)知OA OB ⊥，又||2OA =，212||(2)4OB e e =−==则ABC 面积为1322ABCS=⨯⨯=②由①知，2,1OC OA OB =−−=<−−>，则2,3BA OA OB =−=<−>，4,0BC OC OB =−=<−>，2,3AC OC OA =−=<−−>，则212||(23)4BA e e =−+==||4BC =，212||(23)4AC e e =−−=设AB c =，AC b =，BC a =，则由11tan tan tan mA B C+=，结合正弦、余弦定理化简得： 11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ sin cos sin cos sin sin sin()cos sin sin cos sin sin C A B B A C A B C A B C A B ++=⋅=⋅ 22222sin 12sin sin cos C c ab A B C ab a b c =⋅=⋅+− 22222271161972c a b c ⨯===+−+−，故1.2m =【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式和向量的数量积，属于较难题.(1)先得出OA =⟨0,2⟩22e =，OB =⟨2,1−⟩122e e =−，由向量的数量积计算可得结果；(2)①OA =⟨0,2⟩，OB =⟨2,1−⟩，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，计算面积即可；②易得11()tan tan tan m C A B=+⋅，由三角恒等变换和余弦定理化简可得结果. 16.(本小题12分)法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．【答案】解：(1)如图，连接 1AO ， 3AO ，则13AO =，33AO =， 133O AO A π∠=+在 13O AO 中，由余弦定理得： 222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+−⋅⋅∠ ，即22222132cos 32cos 33333b c bc A b c bc O O A ππ⎛⎫+−+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−⋅⋅+= ⎪⎝⎭2212cos 23b c bc A A ⎛⎫+−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222sin 2sin 363b c a b c Aa b c A+−+−+++==+ 同理可得222212sin 6a b c O O B ++= ，sin sin a bA B= ， sin sin a B b A ∴= ， 1213O O O O ∴= .同理： 1223O O O O = ，即 123O O O为等边三角形.12322213cos sin (2)sin 4432O O O b c bc A A m SO O bc A +−+=⨯=⨯=)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ∴+−+=+，(其中sin ϕ=，cos ϕ=，22b c b c c b cb+⨯= ， )max21sin cos m A A ⎤−+=⎦， 12 ，解得： 1m当且仅当 3A π=， b c = 时 m 取到最小值1.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，考查三角形的面积公式，属于难题.(1)连接 1AO ， 3AO ，在 13O AO 中，由余弦定理可求出 13O O，同理可得 12O O ，再结合正弦定理即可证明 1213O O O O = ，同理可得 1223OO O O = ；(2)由 123O O O ABCSmS= 化简可得 ()sin b c A c b ϕ+=+ ，再由基本不等式求出 b c c b+ 的最小值，即可求出m 的最小值.。

高三数学三角与向量专题训练带解析

2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）2015届高三数学三角与向量专题训练（带解析）一、选择、填空题1、（2014广东高考）已知向量则下列向量中与成夹角的是A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）2、（2012广东高考）若向量，，则（）A.B.C.D.3、（2011广东高考）若向量满足∥且，则A．4B．3C．2D．04、（2014广东高考）在中，角所对应的边分别为，已知，则5、（广州市第六中学2015届高三上学期第一次质量检测）已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为(）A．B．C．D．6、（广州市海珠区2015届高三摸底考试）已知菱形的边长为，，点分别在边上，.若，，则A．B．C．D．7、（广州市执信中学2015届高三上学期期中考试）在中，已知,则的面积是（）A．B．C．或D．8、（惠州市2015届高三第二次调研考试）设向量，，则下列结论中正确的是()A．B．C．D．与垂直9、（江门市普通高中2015届高三调研测试）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=75°，∠B=60°，c=10，则b=（）A．5B．5C．10D．1010、（韶关市十校2015届高三10月联考）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A.；B．；C.；D.11、（深圳市2015届高三上学期第一次五校联考）已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．12、（湛江市2015届高中毕业班调研测试）在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣，B=，b=1，则a=．13、（肇庆市2015届高三10月质检）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若+++所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0二、解答题1、（2014广东高考）已知函数，且，（1）求的值；（2）若，，求。

解析几何与平面向量相结合问题玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(解析版)

一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.二．解题策略类型一利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵,如图设N为的中点：即，∴，又双曲线的实轴长为，∴设则=x+，在直角三角形中，由勾股定理得：=4=80，解得x=,所以, 则实数=3,故选：C ．【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF 1F 2是以为F 1F 2斜边的直角三角形．由此设运用勾股定理算出与，得到结论．【举一反三】1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设，则由椭圆的定义，可以得到, 在中，有，解得在中，有整理得，故选C 项. 2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是（）A ． ()1,2B ． 1,4⎛ ⎝⎦C ． 4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【答案】B。

第12讲解三角形与平面向量结合问题(解析版)

第12讲解三角形与平面向量结合问题【例1】在ABC 中，已知30B =︒，1b =，则AC AB ⋅的最小值为（） A ．-1 B ．14-C ．13-D ．12-外接圆的半径，结合数量积的定义以及二次函数的性质求得AB AC ⋅的最小值sin sin 30B ︒所以ABC 的外接圆半径为1，A 为钝角时，AB AC ⋅取到负值；如图，E 为AB 的中点，AC 在AB 上的投影向量为AD ；由cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅可知当AC 在AB 上的投影长最长时，CD 与圆O 相切时，AB AC ⋅可取到最小值；()22||122AB AC AB AD AE AE AE AE ⋅=-=-⋅-=-，当12AE =时，22122AE AE -=-，所以AB AC ⋅的最小值为-故选：D【例2】在ABC 中，2π3ABC ∠=，AC 边的中点为D ，且1BD =，则BA BC ⋅的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．422BA BC BD +==，【详解】解：如图，在ABC 中，AC 边的中点为，可得：22BA BC BD +==∴2224BA BC BA BC ++⋅=，22||2cos 4BA BC BA BC ABC ∴++∠=，可得：22||4BA BC BA BC +=+⋅， 22||2BA BC BA BC +≥⋅，42BA BC BA BC ∴+⋅≥⋅，可得：4BA BC ⋅≤，（当且仅当2BA BC ==时等号成立）则BA BC ⋅的最大值为4. 故选：D.【例3】在△ABC 中，△ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO xCA yCB =+，且1x y +=.若函数f (m )CA mCB =-(m △R)CO 的最小值为（）A ．1B ．34C ．12D ．2|CO |的最小值为|CA －m CB |的最小值为，可求出△ACB ，即可求出|CO |的最小值【详解】法一：由CO ＝x CA ＋y CB ，且，可知A ，O B 三点共线， |CO |的最小值为AB 边上的高，又AC ，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|CA －m CB |的最小值为32BC 边的距离为AC ＝1，所以△ACB ＝120°，在ABC 中，minsin 30CO AC =︒从而可得|CO |的最小值为12. 法二：由CO ＝x CA ＋y CB ，且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，|CO |的最小值为设CA CB ,的夹角为222221CA mCB CA m CB mCA CB m -=+-⋅=+依题，可得233sin ,sin 42θθ==，因为θ是钝角，所以在ABC 中，min1sin 302COAC =︒=，从而可得|CO |的最小值为12. 故选：C.【例4】在平面四边形ABCD 中，30,75105BAD ABC ADC ∠=︒∠=︒∠=︒，，2AB =，AD =.若点E 为线段CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A ．12-B ．12-C ．12-D ．12+AE BE⋅22222122EA EB EA EB EA EB EF FB EF ⎛⎫⎛⎫+-=⋅=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在三角形ADF 中，由余弦定理可得：2423cos301DF =-︒=，即DF 则30FDA FAD ∠=∠=︒，故75FDE ∠=︒，显然当且仅当FE DC ⊥时，EF 取得最小值，minsin EF=，21EF -的最小值为即AE BE ⋅的最小值为故选：B.【例5】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()2BA B A a c C cCB C ⋅=⋅-． (1)求角B 的大小；(2)若3b =，求ABC 的面积S 的取值范围． )BA B A C cCB C ⋅=⋅可得(cos cos B b C =，()2sin sin cos sin A C B -=sin cos cos sin C B C B =+A 、B ∈12B，故B （2）解：由正弦定理可得2，则a =12S ac ∴=20A <<故32S =【例6】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()2cos cos 0c a B b C -+=. (1)求△B 的值；(2)已知D 在边AC 上，且3AD DC =，3BD =，求△ABC 面积的最大值. ）利用向量可得1344BD BA BC =+，平方后结合基本不等式可得）(2)cos cos 0c a B b C -+=，由三角形正弦定理可得)cos sin cos 0A B B C +=sin cos )2sin cos 0B C A B +-=A B C π++，sin(2sin cos B C A ∴+故sin A =A 是ABC 的内角，sin 0A ∴≠，cos 3B π∴=. （2）因为3AD DC =，所以()3BD BA BC BD -=-，所以1344BD BA BC =+， 22193916168BA BC BA BC =++⋅，故221991616c a =+【例7】在ABC cos 1A A -=. (1)求cos A ；(2)D 在边BC 上，2BD DC =，2AD =，求ABC 面积的最大值. ）由1233AD AB AC =+，根据已知模长及向量数量积的运算律可得221444999AB AB AC AC +⋅+=，结合基本不等式求得274bc ≤，进而求面积最大值，注意等号成立条件. 222sin cos )2sin A A -=2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以222212144()433999AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+=，则222214414416429279992727c bc b c b bc bc ++=≥⋅+=，故274bc ≤，所以ABC 面积故ABC 面积的最大值为【题型专练】1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，()22b bc CB CA -⋅=，则A =（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【答案】B【详解】因为(2b CB CA ⋅=由正弦定理可得2sinsin B =2cos sin A C ，且2．如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若2AC =，3AB =，则||AP 的值为（）A B CD 【分析】设CP CD λ=，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出等边三角形，求出CP ，再由余弦定理求出【详解】解：设CP CD λ=，则221()(1)332AP AC CP AC CD AC AB AC AB AC AB mAC λλλλ=+=+=+-=+-=+， 21=32=1m λ-λ⎧⎪⎨⎪⎩，解得3=41=4m λ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．3AB =，所以，又2AC =，3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b ==，且12CA CB ⋅=-，则c =（）A．2 B ．C D 【详解】由12CA CB ⋅=-由余弦定理，得22c a =+4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1AB AC BA BC ⋅=⋅=，则c 的值为（） A．1 BC ．2D ．45．已知ABC 满足2sin 6AB BA CA π=⋅，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【分析】利用向量数量积将原式化简，再利用正弦定理和三角恒等变换判断出ABC 的形状为等腰三角形2sin==cos 6AB BA CA BA CA A π⋅⋅⋅=2cos AB CA A ⋅由正弦定理可得sin =2sin cos C B A ⋅，](+)=2sin cos A B B A ⋅，即sin(+)=2sin cos A B A ⋅， )0B =，所以A B ∠=∠，ABC 的形状为等腰三角形， 6．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin cos b C a b C -. (1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =，求ABC 面积的最小值. ||||DC AD ，进而利用三角面积可转化||||=△△BCD DC S S AD ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可)cos b C -，所以sin A B -）=a AD cDC，所以点D在线段AC上，且|| ||DCAD.1sin||21||sin∠==∠△△BCDABDDBCDC SSAD ABDsin∠DBC为ABC∠）得π3B=故ABC面积的最小值为7．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________．33cos sin0a c Bb C-+=；△sinsin sina c Ba b A C-+=++；△22cos cos2102A BC++-=．请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答：(1)求角C的值；(2)若2CA CBc+==且2CD=，求CA CB⋅的值．由2CA CB CD +=，可得点2CD CA CB =+，所以有222248CA CB CA CB CD ++⋅==，23c =，则3AD BD ==,ADC BDC π∠+∠=,2250626CA CB --+=, 从而可得2210CA CB +=，28CA CB +⋅=，可得1CA CB ⋅=-.8．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1cos 3A =，3b c =. (1)求sin C ；(2)若1c =，D 为AC 上靠近A 的一个三等分点，求BD . 2，从而可得BA BC ⊥，a =等分点，2133BD BA BC =+，从而可求出BD 13A =，3b c =，所以由余弦定理，得2222a b c A b c =+=+，所以BA BC⊥，所以1121()3333 BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+()()2222111223 4449993BD BC BA BC BA a c=++⋅=+==。

2020高考数学最后十天压轴题专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题(解析版)

2
AD
63
4.【山东省聊城市第一中学 2019 届高三上学期期中考试】已知 M 是△ABC 内的一点，且
，
，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为 1，，，则的最小值是（）
A．2 B．8 C．6 D．3
5. 【湖北省宜昌市示范高中协作体 2019 届高三上学期期中联考】已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边
长分别为 a、b、c，向量 =(a＋c，a－b)， =(b，a－c)，若 ∥ ，则∠C=(
)
A． B． C． D．
6. 【2019·山东高三期末（理）】过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作直线 l ，交抛物线于点 M ， N ，交
抛物线的准线于点 P ，若 PM 2PN ，则直线 l 的斜率为( )
C．垂心
D．重心
【举一反三】【江西省赣州市十四县（市 )2019 届高三上学期期中联考】在
中,
,是
的内心,若
,其中
,动点的轨迹所覆
盖的面积为( )
A．
B．
C．
D．
类型三向量与三角函数的结合
典例 4．（多选题）（2019·山东高三期中）已知向量 m (sin x, 3) ， n cos x, cos2 x ，函数
uuur uuur 两点，且 AE EB ， AD 2DC ， BD 与 CE 交于点 O ，则下列说法正确的是（）
A． AB CE 1
B． OE OC 0
C． OA OB OC
3
2
7
D． ED 在 BC 方向上的投影为 6
2.（多选题）（2019·山东菏泽一中高三月考）下列命题中，是真命题的是（）

讲完向量和解三角形讲这篇题向量与解三角形结合问题

向量与三角结合练习1.已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若0OA OB OC ++=，则O 是△ABC2.若不重合的四点C B A P ,,,，满足0PA PB PC ++=，AB AC mAP +=，则实数m 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 53.在ABC ∆中，90C ∠=，4AB =，若G 为ABC ∆的三条中线的交点，则()GC GA GB ⋅+=__________.169-4.设G 为ABC ∆的重心，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若 352115aGA bGB cGC ++=0，则sin C =___________.5．已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2 D ．（1，2）6.O 是平面上的一个定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()ABACOP OA AB AC λ=++，[)0,λ∈+∞，则P 点所在的直线是△ABC 的A ．边B ．中线C ．高 D.角平分线7.已知点O 为ABC ∆所在平面内的一定点，其中点A 、B 、C 不共线，动点P 满足cos ||cos ||(C AC ACB AB ABOA OP ++=λ，其中),0(+∞∈λ.则点P 一定经过ABC ∆________（填空内心、外心、垂心、重心之一）8.已知Ｏ是△ABC 所在平面内一点，a,b,c 为角A ，B ，C 的对边，且有：22c b c c a c OA OB OA OC OA OB OC OB b b a a--⋅=⋅+=⋅+，则O 为△ABC 的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 9.已知点,,O N P 在ABC ∆所在平面内，且OA OB OC ==，0NA NB NC ++=， PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点,,O N P 依次是ABC ∆的A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心10.△ABC 中有一点O ，使222222OA BC OB CA OC AB +=+=+则Ｏ是△ABC 的A.内心B.外心C.重心D.垂心11.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m =________________.12．已知Ｏ，G ，H 分别是△ABC 的外心，重心，垂心，则下列结论中准确的个数为（1）GA GB CG +=；（2）3HA HB HC HG ++=；（3）3OH OG =；（4）cos cos 2sin sin sin sin B C AB AC AO A C A B+= A.1 B. 2 C.3 D.413. 已知圆O 的半径为3，圆周上两点,A B 与原点O 恰构成正三角形，则向量OA 与OB 的数量积是A. 12B. 32C.32D.332 14. 在△ABC 中，已知4AB =，1AC =，3ABC S ∆=，则AB AC ⋅的值为A ．－2B ．2C ．±4D ．±215. 如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅（C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅16. 设O 是ABC ∆内部的一点,且022=++OC OB OA ,则BOC ∆和ABC ∆的面积之比为．17. 点O 在ABC ∆内部且满足220OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与凹四边形ABOC 的面积之比为________.18.点P 是ABC ∆所在平面上任意一点，若存有非零实数m 1、m 2、m 3使m 1PA +m 2PB +m 3PC =O ，则ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPAC 的面积比为19.在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ）2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ）22()()AC AB BA BC CD AB ⋅⨯⋅=20.如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，则()AB DC AC +⋅的值为Ａ．2 Ｂ． 22 Ｃ．4 Ｄ．4221.已知ABC ∆，60C ∠=，2AC =，1BC =，点M 是ABC ∆内部或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN AM ⋅的最大值为_____________.22. 在OAB ∆中，OA a =，OB b =，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于A ．2()a b a a b ⋅-- B ．2()a ab a b ⋅-- C ．()a b a a b ⋅-- D ．()a ab a b ⋅--23.已知1G ,2G 分别是111A B C ∆和222A B C ∆的重心，且121A A e =，122B B e =，122C C e =，12GG 等于A.1231()2e e e ++B. 1231()3e e e ++C. 1232()3e e e ++D. 1231()2e e e -++ 24.已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点2PA PB -=，25PA PB -=PA PC PB PC PA PB ⋅⋅=，I 为PC 上一点，且 ()(0)ACAPBI BA AC AP λλ=++>，则BI BABA ⋅为A.252-B.52-C.51-D. 525.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(A)112λ≤≤ (B)112λ-≤≤ (C) 1122λ≤≤+ (D)1122λ-≤≤+ 26．已知A ，B ，C 为半径为2的圆O 上三点，120AOB ︒∠=，且OC xOA yOB =+，则2x y -的范围是__________27.已知2a =，1b =且a 与b 夹角为45°，若m a b λ=+，n a b λ=+且m 与n 夹角θ为锐角，则θ的范围是。

高三数学解析几何与向量练习题及答案

高三数学解析几何与向量练习题及答案解析几何与向量是高中数学中的重要内容。

通过解析几何与向量的学习，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和运动规律，同时也可以应用向量的知识解决实际问题。

为了帮助高三学生巩固解析几何与向量的知识，以下是一些练习题及其答案供大家参考。

练习题1：已知平面α：2x - 3y + z - 4 = 0，点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)。

求点A关于平面α的对称点A'的坐标。

解析：首先，我们知道一个点关于平面的对称点，其坐标的x、y、z均不变，只是取相反数。

所以对于点A(x, y, z)，其关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-x, -y, -z)。

所以，点A关于平面α的对称点A'的坐标为A'(-1, 2, -3)。

练习题2：已知直线l过点A(1, -2, 3)和点B(4, 1, 2)，平面α经过点C(3, 5, 6)且垂直于直线l。

求平面α的方程。

解析：首先，我们知道平面α垂直于直线l，所以平面α的法向量与直线l 的方向向量垂直。

直线l的方向向量可以通过点A和点B的坐标差求得：l的方向向量d = (4-1, 1-(-2), 2-3) = (3, 3, -1)。

由于平面α过点C(3, 5, 6)，所以平面α上任意一点P(x, y, z)到点C(3, 5, 6)的向量PC与平面α的法向量垂直，即它们的点积为0。

根据点积的定义，可以得到平面α的方程为：(3, 3, -1)·(x-3, y-5, z-6) = 0。

化简得：3(x-3) + 3(y-5) - 1(z-6) = 0。

展开得：3x - 9 + 3y - 15 - z + 6 = 0。

合并同类项得：3x + 3y - z - 18 = 0。

所以，平面α的方程为：3x + 3y - z - 18 = 0。

练习题3：已知向量a = 2i + 3j + k，向量b = i + 2j - 2k，向量c = -3i + j + 4k。

专题12 与向量、解析几何相结合的三角形问题-2018年高考数学备考优等生百日冲刺(江苏专版)

专题12 与向量、解析几何相结合的三角形问题一、考情分析在知识点的交汇处命题,是当前高考的热点,三角函数即是基本的函数,也是解决数学问题的有效工具,在代数与几何中有着广泛的应用.其中解三角形与三角函数、向量、数列的交汇较为多见二、经验分享(1)解题中要灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(2)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(3)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(4) 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍．(5) 向量在解三角形问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”. (6) 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．三、知识拓展1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 2.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0. 3.在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．4. 在△ABC 中，若,,a b c 成等差数列，则60B ≤；若,,a b c 成等比数列，则60B ≤；若,,A B C 成等差数列，则60B =.5.在锐角△ABC 中，090A <<，90A B +>，sin cos ,sin cos A B B A >>.四、题型分析(一) 三角与向量的交汇现行高中数学教材中,向量是继函数之后的一条主线,贯穿整个高中数学教学,也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇,通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知识,如向量的坐标中包含三角表达式,然后给出向量之间的平行、垂直关系,或者用向量的数量积表示函数等等,这种情况在当前的试题中还很常见.【例1】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos 4B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）cos B =（2）【分析】（1）由正弦定理得sin 2C B =．利用二倍角公式化简得cos 4B =．（2）化简向量得a c =．再根据余弦定理得3cos 5B =，最后根据同角三角函数关系以及两角和余弦公式得cos 4B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．从而22223cos 25a cb B ac +-===，又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而34cos cos cos sin sin 44455B B B πππ⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭ 【点评】平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．【小试牛刀】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-， ,c 60a c b --=︒，则c 的最大值等于【答案】4(二) 三角与数列的交汇数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题,主要题型有两大类：一是在解三角形中,一些条件用数列语言给出,常见的如三角形三内角A ,B ,C 成等差数列；三边a ,b ,c 成等比数列等,二是数列通项种含有三角函数,我们可以借助三角函数的周期性求和.【例2】已知ABC ∆的周长为6，且,,BC CA AB 成等比数列，则BA BC ⋅的取值范围是______．【来源】【全国百强校】江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题【答案】⎡⎢⎣⎭【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件,所以,解题的重点是如何把BA BC ⋅与这个条件联系起来.【小试牛刀】△ABC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. (1)若c b a ，，成等差数列,证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； (2)若c b a ，，成等比数列,求B cos 的最小值. 【解析】(1)∵a ,b ,c 成等差数列 ∴a ＋c ＝2b由正弦定理得sinA ＋sinC ＝2sinB ∵sinB ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C ) ∴sinA ＋sinC ＝2sin (A ＋C ) (2)∵a ,b ,c 成等比数列 ∴b 2＝ac由余弦定理得22222221cos 2222a cb ac ac a c B ac ac ac +-+-+===- ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时等号成立)2212a c ac+∴≥(当且仅当a ＝c 时等号成立)2211112222a c ac +∴-≥-=(当且仅当a ＝c 时等号成立)即1cos 2B ≥所以cosB 的最小值为12. 【点评】边的等差关系,通常利用正弦定理转化,而边的等比关系,则利用余弦定理找边角关系. (三)三角与三角函数的交汇【例3】设函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求A B A C ⋅的最小值.【分析】(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求解增区间即可；（Ⅱ）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3A π=，由题意可知： ABC ∆的内切圆半径为1，根据切线长相等结合图象得b c a +-=()4b c =+，利用均值不等式求最值即可.【解析】(Ⅰ)()112sin cos 2sin2322f x x x sinx cosx x x π⎫⎛⎫=+-=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈. ()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅱ) sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0,A π∈，所以3A π=.由余弦定理可知： 222a b c bc =+-.由题意可知： ABC ∆的内切圆半径为1.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，如图所示可得：b c a +-=(222b c b c bc +-=+-.()412b c bc ⇒=+≥≥或43bc ≤（舍）[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6. 令也可以这样转化：12r a b c =⇔++=代入222b c b c bc ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭；()412b c bc ⇒=+≥≥或43bc ≤（舍）； [)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6.【牛刀小试】已知ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，若5cos 45cos b A cB a+=，则222tancos 22cos sin tan 22A A A A B =⎛⎫- ⎪⎝⎭__________．【答案】92【解析】由5cos 45cos b A cB a+=可得， 5cos 5cos 4a B b A c =+，故5cos 5cos 4a B b A c -=，由余弦定理可得22222255422a c b b c a a b c ac bc+-+-⋅-⋅=，可化得22245a b c -=，故2222tancos tantan cos 2222tan 2cos cos sin tan 1tan tan 222A A AA sinAB A A A B sinB A B B ===⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222222222222229925222252a c b a ca cb ac b c a b c a c b bc+-⋅+-====+-+-⋅，故答案为92. (四)解三角形与解析几何的交汇【例4】【江苏省常州2018届高三上学期期末】已知ABC ∆中，AB AC = ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．【解析】设2BC a =，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），则()()(,0,,0,B a C a A -，设(),P x y ，由22233PB PCPA +==，得222((3{(1x x yy y x +++=+=，即22222232{31x y a x y a +=-+-+-=，则2722{ 11a y -=≤≤，则()()222323aa --≤≤-+即()()2227232232a a a --≤-≤-+解得a ≤，即122ABC S a ∆=⨯=，即ABC ∆面积的最大值为16.【牛刀小试】已知椭圆C ：221169x y+=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB∆面积的最大值.【分析】先求顶点坐标,再求直线方程,根据椭圆的参数方程表示出点P 的坐标,然后再求点到直线的距离,表示出面积,然后求最值【点评】与椭圆上点有关的范围或者最值问题,用参数方程进行三角代换后,可以利用正余弦的有界性求范围或者最值.五、迁移运用1．已知O 是锐角ΔABC 的外接圆圆心, cos cos 60,2,sin sin B CA AB AC mAO C B︒∠=+=则实数m 的值为_____.【答案】2【解析】设AB 的中点为D ，则有AO AD DO =+，代入cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B ⋅+⋅=，可得()cos cos 2sin sin B CAB AC m AD DO C B+=+（*），由AB DO ⊥得·0AB DO =，将（*）式两边同乘以AB ，化简得()cos cos ··2?sin sin B CAB AB AC AB m AD DO AB C B+=+，即22cos cos cos sin sin B Cc bc A mc C B⋅+⋅=，由正弦定理及上式得22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B CC B C A m C C B⋅+⋅=，因为sin 0C ≠，所以cos cos cos sin B A C m C +=，所以m =cos cos cos sin B A C C +=()cos cos cos sin A C A C C -++= sin A答案：2．【2018届高三南京市联合体学校调研】如图， ,,A B C 是直线l 上的三点， P 是直线l 外一点，已知112AB BC ==， 90CPB ∠=， 4tan 3APB ∠=．则PA PC ⋅=_____【答案】3217-【解析】设PBC θ∠= ，434tan ,cos ,sin 355APB APB APB ∠=∴∠=∠=，则由112A B B C ==可得()1522sin 4PC sin PB cos PA sin sin APB θθπθθ===-∠，，＝，且()222222214418PA AB PB PB AB cos coscos cos πθθθθ+--=++=+＝，2225sin 1816cos θθ∴=+，解得216sin 17θ=则()5cos sin 2sin cos 904PA PC PA PC APC APB θθ⋅=⋅⋅∠=⋅+∠ ()2532sin sin 217APB θ=-∠=- 即答案为3217-3．【江苏省南京市多校2017-2018学年高三上学期第一次段考】已知ABC ∆则ABC ∆最大的余弦值为__________．【答案】4-【解析】由题设三边长分别为:a,,2a,且2a 为最大边,所对的角为α,由余弦定理得: 222cos 4α==-4．【2018江苏省南通如皋市高三年级第一次联考】在△ABC 中，若1tan A ， 2tan C ， 1tan B成等差数列，则cos C 的最小值为________．【答案】13【解析】∵1tan A ， 2tan C ， 1tan B 成等差数列，∴114tan tan tan A B C +=，即cos cos 4cos sin sin sin A B CA B C+=，可得sin cos sin cos sin 4cos sin sin sin sin sin B A A B C CA B A B C +==， 2sin cos 4sin sin C C A B =，由正弦定理和余弦定理可得：222224a b c c ab ab +-=，化简得()22223a b c +=， 2222221cos 2663a b c a b ab C ab ab ab +-+==≥=，故答案为13. 5.【江苏省南京市2018届高三数学上学期期初学情调研考】在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120，BM BC λ=．若17·3AM BC =-，则实数λ的值为______．【答案】136.如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°,点C 在AB 上,且030COB ∠=,若OC OA OB λμ=+,则λμ+=____________．【解析】如图所示, 建立直角坐标系．∵ 30=∠BOC ,1=OC ．∴()30sin ,30cos C ,即OA OB λμ=+．∴7.如图所示，在平面四边形ABCD 中， 1AB =， 2BC =，为ACD ∆正三角形，则BCD ∆面积的最大值为__________．1【解析】在△ABC 中，设∠ACB =α，∠ACB =β，由余弦定理得： AC 2=12+22−2×1×2cos α=5−4cos α， ∵△ACD 为正三角形，∴CD 2=5−4cos α，由正弦定理得：1ACsin βsin α=， ∴AC ⋅sin β=sin α， ∴CD ⋅sin β=sin α，∵(CD ⋅cos β)2=CD 2(1−sin 2β)=CD 2−sin 2α=5−4cos α−sin 2α=(2−cos α)2 ∵β<∠BAC ，∴β为锐角，CD ⋅cos β=2−cos α，∴1122332BCDSCD sin CD sin cos CD sin ππββββ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+=⋅+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1223cos sin sin πααα⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，当56πα=时, ()1BCD maxS =.8．如图，现有一个AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB . 现欲在弧AB 上取不同于,A B 的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中//CD OA ），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I 和养殖区域II. 若1OA cm =， 3AOB π∠=， AOC θ∠=. 求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和）的最大值为______.【解析】由3CD OA AOB AOC πθ∠=∠=，，，得233OCD ODC COD ππθθ∠=∠=∠=-，，．在OCD 中，由正弦定理，得033CD ππθθ=-∈（），（，）设渔网的长度为f θ（），则1033f sin ππθθθθ=++-∈（）（），（，）所以'13f πθθ=-（）（），，因为03πθ∈（，），所以， 033ππθ-∈（，）令'0f θ=（），得3cos πθ-=（），所以36ππθ-= ，所以6πθ=．所以f θ（）9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4a b +=， c =23CA CB ⋅=，则ABC 的面积是__________．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且4cos 5B =，则11tan tan A C+的值是___________. 【答案】53【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理，得2sin sin sin B A C =，因为4cos 5B =且0πB <<，所以3sin 5B =，则11cos cos tan tan sin sin A CA C A C+=+2cos sin sin cos sin 15sin sin sin sin 3A C A C B A C B B +====；故填53.11．【2018届江苏省泰州中学高三10月月考】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11sin tan tan B A B-+的取值范围是__________．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由正弦定理得： 22sin sin sin sin B A A C -=,由降幂公式得cos2cos2sin sin 2A BA C -=，再结合和差化积得： ()sin sin B A A -=在三角形中得2B A =,所以3C A π=-,由三角形为锐角三角形得：,6432A B ππππ<<<<,而111sin sin tan tan sin B B A B B-+=+，∵32B ππ<<，∴sin ,12B ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，令sin 2t B ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，函数1y t t =+在(]0,1递减，所以2y <<⎛ ⎝⎭. 12．【】江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-. (1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.【解析】（1）由CA CB CA CB +=-，两边平方22CA CB CA CB +=-，即()()22CA CB CA CB +=-，得到20CA CB ⋅=，即CA CB ⊥。

专题2.4 解三角形与平面向量的结合 2019年高考数学(理科)备考题练Word版含解析

一、解答题1．在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，点在线段上，，,求的面积.【答案】（1）；（2）.详解：（1）因为，由正弦定理得：即,在中，，所以,.（2），.平方可得：解得：所以的面积.点睛：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．2．在中，角对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题意，得，再由余弦定理，得，即可求解角；（2）由（1）知和正弦定理，得，所以，进而得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积．3．在中,分别是角所对的边,已知, ,且.（1）求角的大小；（2）若,且的面积为,求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)由题意，根据正弦定理以及辅助角公式得，即可求解角的大小；(2)由题意，根据三角形的面积得，再由余弦定理化简得，进而求得的值.试题解析：(1)由题意,根据正弦定理得:,即所以,利用辅助角公式得，又因为,所以(2)由题意,且,得，又因为在中,由余弦定理有：，即，所以即又∵，∴4．的内角的对边分别为，已知，已知（1）求角的值；（2）若，求的面积。

【答案】(1);(2).【解析】【分析】由得，运用正弦定理化简出结果由余弦定理求得，再根据面积公式求得结果【点睛】本题运用正弦定理进行边角的互化，余弦定理解出三角形边长，最后求三角形面积，较为综合的一道题目，也较为基础。

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．（1）求角的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值【答案】(1).(2).【解析】【分析】(1)先由得到即得B的值.(2)先利用正弦定理求出b 的值，再利用余弦定理求，最后利用数量积公式求的值.【详解】（1）由，得，即．所以，即，所以．因为，所以．【点睛】本题主要考查和角的正切，考查正弦定理余弦定理解三角形，考查数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6．已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若.（1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.【答案】(1);(2).详解：（1）由正弦定理得，∴，∵，∴，∴.（2）由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为1，如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为6，此时三角形的面积.。

专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题-2016年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)

【解析】根据题意，不妨设点的坐标为 ,点的坐标为 ,点的坐标为 ,其中，
则
所以
=
所以当时，有最小值 ,故选B.
4.已知的面积为1，为直角顶点．设向量，，，则的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
5.设直角的三个顶点都在单位圆上，点，则的最大值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【名师指点】本题借助向量考查三角函数，首先经过向量运用对所求向量式变形，得只需求BC长度即可，再利用三角函数知识求解，本题利用坐标法也可以，由三角函数图像可求得所求向量式中点的坐标，利用数量积的坐标运算求解．
【举一反三】已知函数图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则（）
专题一压轴选择题
第五关以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题
【名师综述】
近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.
平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.
，所以，代入可行域得，．故选B．
8.已知向量，，，则函数的最小正周期与最大值分别为（）
A． B． C． D．
【答案】B
9.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
A．2 B． C． D．
【答案】C

(完整版)2019高三复习强化训练向量及其应用-解三角形-

向量和三角函数的结合训练一．解答题（共40小题）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．2．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．3．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，b=5，△ABC的面积为10．（1）求a，c的值；（2）求sin（A+）的值．5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．6．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．7．在锐角△ABC中，cosA=，sinB=．（1）求角C；（2）设AB=，求△ABC的面积．8．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．9．在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）求sinA的值．10．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2+b2=c2+ab．（1）求C；（2）若=，求A．11．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．12．△ABC的面积是4，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（1）求的值；（2）分别求c，a的值．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）A=60°，a=4，b=4，求B；（2）已知a=3，c=2，B=150°，求边b的长．14．在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=5，解三角形．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，．（1）求b的值；（2）求sinA的值．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（I）求角B的大小；（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积．17．在△ABC中，已知A=45°，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若BC=10，求△ABC的面积．18．已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，解此三角形．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且△ABC的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若b=3，c=1，A=60°，求a；（2）若a=30，b=10，A=60°，求B，C，c．21．已知函数．（I）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（II）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC 的面积为，求a的值．22．在△ABC中，A=30°，C=105°，a=10，求b，c．23．在△ABC中，已知，b=2，C为锐角，△ABC的面积S=，求第三边c．24．已知△ABC的面积为，且，向量和向量是共线向量．（1）求角C；（2）求△ABC的边长c．25．在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求sinC的值（2）求b边的长．26．已知△ABC的面积其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边（1）求角A的大小．（2）若a=2，求的最大值．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a bc且．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）b的值．28．已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．29．根据下列条件，解三角形．（Ⅰ）已知b=4，c=8，B=30°，求C，A，a；（Ⅱ）在△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，求a，c，A．30．已知△ABC中，A=45°，C=30°，c=10cm，解三角形．31．在△ABC中，已知a=，b=1，∠B=45°，解此三角形．32．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，sinB=cosAsinC，（I）求边AC的长度；（II）若BC=4，求角B的大小．33．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin22C+sin2C•sinC+cos2C=1，且a+b=5，c=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．34．（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°求b（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，a=2 求c．35．已知△ABC的周长为4（），且sinB+sinC=sinA．求边长a的值．36．在△ABC中，a=1，，B=45°，求角A、C及边c．37．在锐角△ABC中，已知，，BC=3．求△ABC的面积．38．在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，已知CD=12，AD=5，求BD，AB，AC，BC的长．39．在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，解三角形．40．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c已知，c=1，B=45°，求a，A，C．参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．2．（2015•郑州三模）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b 的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．3．（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．【分析】（Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB 和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．（Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．4．（2015•苍梧县校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，b=5，△ABC的面积为10．（1）求a，c的值；（2）求sin（A+）的值．【分析】（Ⅰ）利用已知条件及三角形的面积公式求得a，进而利用余弦定理求得c．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的三边及余弦定理求得cosA的值，然后通过同角三角函数的基本关系求得sinA的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，b=5，因为，即，解得a=8．由余弦定理可得：，所以c=7．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理有，由于A是三角形的内角，易知，所以==．【点评】本题主要考查了解三角形及正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生利用三角函数的基本性质处理边角问题的能力．5．（2014•漳州三模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；（Ⅱ）直接利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式直接求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，sinA），=（2，sinB），，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理可知b=2a=2，又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，，所以c2=（）2+（2）2﹣2cos=9，∴c=3；（Ⅱ）由，得，∴sinA=，A=或，又C=，∴A=，所以△ABC的面积S===．【点评】本题是中档题，考查正弦定理与余弦定理的应用，注意向量的平行条件的应用，考查计算能力．6．（2014•蚌埠一模）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a2+b2的值．【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理得，从而可求C 的大小；（Ⅱ）由面积公式得=，从而可得ab=6，由余弦定理，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得…（2分）∴sinC=…（4分）∵△ABC是锐角三角形，∴C=…（6分）（Ⅱ）∵c=，C=，△ABC的面积为，∴由面积公式得=…（8分）∴ab=6 …（9分）由余弦定理得a2+b2﹣2abcos=7 …（11分）∴a2+b2=13 …（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（2016•广东模拟）在锐角△ABC中，cosA=，sinB=．（1）求角C；（2）设AB=，求△ABC的面积．【分析】（1）根据同角的三角函数关系，利用内角和定理即可求出sinC以及角C 的值；（2）由正弦定理和三角形的面积公式，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）锐角△ABC中，cosA=，∴sinA==；又sinB=，∴cosB==；∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=；又C∈（0，），∴C=；（2）△ABC中，由正弦定理得=，又AB=，∴AC===；∴△ABC的面积为S△ABC=•AB•AC•sinA=×××=．【点评】本题考查了同角的三角函数关系以及正弦定理的应用问题，是基础题目．8．（2001•上海）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．【分析】由已知a=4，b=5，S=5及S=absinC可得sinC=，于是∠C=60°，或∠C=120°，然后利用余弦定理可求c【解答】解：∵S=absinC，∴sinC=，（4分）于是∠C=60°，或∠C=120°，（6分）又c2=a2+b2﹣2abcosC（8分）当∠C=60°时，c2=a2+b2﹣ab，c=（10分）当∠C=120°时，c2=a2+b2+ab，c=．（12分）【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．9．（2011春•万州区校级期中）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）求sinA的值．【分析】（1）△ABC中，由正弦定理可得，再利用SinC=2SinA，求得AB值．（2）△ABC中，由余弦定理可求得cosA 的值，利用同角三角函数的基本关系，求得SinA．【解答】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得，=2，∴AB=2×BC=2．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，5=20+9﹣12cosA，∴cosA=，∴SinA==．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，利用这两个定理是解题的关键．10．（2013春•西区校级期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2+b2=c2+ab．（1）求C；（2）若=，求A．【分析】（1）利用题设等式整理代入余弦定理中求得cosC的值，进而求得C．（2）利用正弦定理把题设等式中变转化为角的正弦，利用二倍角和公式和两角和公式求得cosB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得A．【解答】解：（1）∵a2+b2=c2+ab，∴=，∴cosC=，∴C=45°．（2）由正弦定理可得==，∴=∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB．∵sinA≠0，∴cosB=，∴B=60°，A=180°﹣45°﹣60°=75°．【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的理解和应用．11．（2013秋•德州校级期中）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C 的对边，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积直接得到A的正切值，即可求角A的大小；（II）通过△ABC的面积为，以及余弦定理推出b、c的关系，通过解方程即可求b，c【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以=cosA+sinA=0，所以tanA=，∵A∈（0，π），∴A=．=，且A=，（Ⅱ）∵S△ABC，故bc=4，…①又cosA=且a=2，∴，从而b2+c2=8…②，解①②得，b=c=2．【点评】本题考查向量的数量积以及三角形的面积公式，余弦定理的应用，考查计算能力．12．（2014秋•荔湾区校级期中）△ABC的面积是4，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（1）求的值；（2）分别求c，a的值．【分析】（1）利用二倍角公式，化简代数式，代入计算即可求得结论；（2）利用面积公式求得c的值，再利用余弦定理，可求a的值．【解答】解：（1）==∵，∴=，∴=；（2）∵，∴∵△ABC的面积是4，b=2，∴，解得c=5由余弦定理可得a===．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（2016春•阿拉善左旗校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）A=60°，a=4，b=4，求B；（2）已知a=3，c=2，B=150°，求边b的长．【分析】（1）由正弦定理可知=，求得sinB=，a＞b，可知A＞B，求得B=；（2）由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB，代入即可求得边b的长．【解答】解：（1）由正弦定理可知：=，∴=，解得：sinB=，由a＞b，∴A＞B，∴B=；（2）由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB=27+4﹣2×3×2×（﹣）=49，∴b=7，边b的长7．【点评】本题考查解三角形的应用，考查正弦定理及余弦定理，考查计算能力，属于基础题．14．（2015秋•雷州市校级月考）在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=5，解三角形．【分析】由三角形的内角和可得C，可得等腰三角形，由正弦定理可得a和c．【解答】解：∵A=30°，B=120°，∴C=180°﹣（A+B）=30°．∴A=C，∴a=c．由正弦定理可得a===，综上可知，C=30°，a=c=【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属基础题．15．（2010•广州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，．（1）求b的值；（2）求sinA的值．【分析】（1）利用余弦定理，根据题设中的a=2，c=3，求得b．（2）根据三边长利用余弦定理求得cosA的值，进而利用三角函数基本关系求得sinA．【解答】解：（1）由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得，∴b=3．（2）由余弦定理，得=，∵A是△ABC的内角，∴=．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成了边角问题的互化．16．（2011•绍兴一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（I）求角B的大小；（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积．【分析】（I）题设利用两角和公式整理等式求得sin（B+）的值，进而求得B．（II）根据等比中项性质可求得b2=ac，代入余弦定理中求得a与c的值，进而可推断出三角形为正三角形，进而求得三角形的面积．【解答】解：（I）由，得，由B∈（0，π）得，故，得．（II）由b是a和c的等比中项得b2=ac又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac，故ac=a2+c2﹣ac，得（a﹣c）2=0，得a=c=1，∴b==1故△ABC为正三角形故．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值．考查了学生对基础知识点综合运用．17．（2011•佛山一模）在△ABC中，已知A=45°，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若BC=10，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°﹣A﹣B，而A=45°，得到C=135°﹣B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据正弦定理，由BC，sinA和（Ⅰ）中求得的sinC，即可求出AB的长度，然后利用三角形的面积公式，由sinB，AB和BC的值即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵，且B∈（0°，180°），∴．sinC=sin（180°﹣A﹣B）=sin（135°﹣B）=；（Ⅱ）由正弦定理得，即，解得AB=14．则△ABC的面积．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．18．（2014秋•阿勒泰市校级期中）已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，解此三角形．【分析】利用条件，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：∵AB=6，∠A=30°，∠B=120°，∴∠C=30°，BC=6，AC==6．【点评】本题考查解三角形，考查学生的计算能力，比较基础．19．（2010•南海区模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且△ABC的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．【分析】（Ⅰ）根据同角三角函数的基本关系利用sin的值求得cos的值，进而利用二倍角公式求得sinA的值，最后利用三角形面积公式求得bc的值．（Ⅱ）利用二倍角公式和sin的值求得cosA的值，进而把bc和b+c的值代入余弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，0＜A＜π∴．∴．∵，∴bc=5．（Ⅱ）∵，∴．∵bc=5，b+c=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA）=20∴．【点评】本题主要考查了解三角形问题，余弦定理的应用，二倍角公式的化简求值．考查了学生综合运用所学知识和基本的运算能力．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若b=3，c=1，A=60°，求a；（2）若a=30，b=10，A=60°，求B，C，c．【分析】（1）使用余弦定理解出；（2）使用正弦定理解出．【解答】解：（1）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×=7，∴a=．（2）由正弦定理得，即，解得sinB=，∴B=150°（舍）或B=30°．∴C=180°﹣A﹣B=90°．∴c==20．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．21．（2011•安徽模拟）已知函数．（I）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（II）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC 的面积为，求a的值．【分析】（I）利用两角和正弦公式化简f（x）=sin（2x+）+3，最小正周期T==π，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得单调递减区间．（II）由f（A）=2 求出sin（2A+）=，由＜2A+＜，求得A 值，余弦定理求得a 值．【解答】解：（I）函数==sin （2x+）+．故最小正周期T==π，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（II）由f（A）=2，可得sin（2A+）+=2，∴sin（2A+）=，又0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=．∵b=1，△ABC的面积为=，∴c=2．又a2=b2+c2﹣2bc•cosA=3，∴a=．【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，根据三角函数的值求角，求出角A的值是解题的难点．22．（2014秋•清河区校级月考）在△ABC中，A=30°，C=105°，a=10，求b，c．【分析】由A与C的度数求出B的度数，再由正弦定理即可求出b，c的值．【解答】解：∵A=30°，C=105°，∴B=45°，∵，∴b==10，c==5+5．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．23．（2014秋•思明区校级期中）在△ABC中，已知，b=2，C为锐角，△ABC的面积S=，求第三边c．【分析】根据三角形的面积公式，可求，结合C为锐角可求C，再由由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可求【解答】解：根据三角形的面积公式可得，∴∴∵C为锐角∴C=30°由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2abcosC=∴c=2【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及正弦定理、余弦定理等公式在解题中的应用，属于基础试题．24．（2012•荆州模拟）已知△ABC的面积为，且，向量和向量是共线向量．（1）求角C；（2）求△ABC的边长c．【分析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C；（2）由得：，进而利用△ABC的面积为，及余弦定理可求△ABC的边长c．【解答】解：（1）∵，∴（tanA+tanB）cosAcosB=sin2C，即sinAcosB+cosAsinB=sin2C，∴sin（A+B）=sin2C，∴sinC=2sinCcosC∵sinC≠0，∴，∵C∈（0，π）∴…（6分）（2）由得：，∴，∴，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=54，∴…（12分）【点评】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．25．（2015秋•北京校级月考）在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求sinC的值（2）求b边的长．【分析】（1）利用正弦定理可得sinC；（2）由条件可得△ABC是等边三角形，即可求b边的长．【解答】解：（1）由正弦定理可得sinC==；（2）由条件可得△ABC是等边三角形，∴b=2．【点评】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生的计算能力，属于容易题．26．（2011秋•九江县校级月考）已知△ABC的面积其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边（1）求角A的大小．（2）若a=2，求的最大值．【分析】（1）用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2bccosA=b2+c2﹣a2，进而整理求得sinA和cosA的关系进而求得A．（2）由余弦定理可知2bccosA=b2+c2﹣a2，结合a=2，A=45°，及基本不等式可以求出bc的范围，结合=bc求出答案．【解答】解：（1）由三角形面积公式可知S=bcsinA，∵，∴bcsinA=由余弦定理可知2bccosA=b2+c2﹣a2∴sinA=cosA，即tana=1，又由A是三角形内角∴A=45°（2）∵由余弦定理可知2bccosA=b2+c2﹣a2，a=2，即bc=b2+c2﹣4≥2bc﹣4∴（2﹣）bc≤4∴bc≤=4+2∴=cosA=bc≤2+2故的最大值为2+2【点评】本题考查的知识点是解三角形，平面向量的综合题，本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S，与已知的S相等，化简得到tanC的值．要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理，牢记特殊角的三角函数值．27．（2012•迎泽区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a bc且．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）b的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得，==2cosA，代入即可求解（Ⅱ）由a+c=10及可求a，c然后由余弦定理可知，cosA=即可求解b【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，==2cosA=（Ⅱ）由a+c=10及可得a=4，c=6由余弦定理可知，cosA==∴b2﹣9b+20=0∴b=4或b=5当b=4时，a=4，c=6，此时B=A，C=2A∴A=45°，与cosA=矛盾∴b=5【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题28．（2009秋•揭阳期末）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．【分析】（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C．（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c．【解答】解：（1）由cos（﹣A）•cosB+sinB•sin（+A）=sin（π﹣2C）得sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C∴sin（A+B）=sin2C，∵A+B=π﹣C，∴sin（A+B）sinC∴sinC=sin2C=2sinCcosC，∵0＜C＜π∴sinC＞0∴cosC=∴C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b∵，即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，∴c2=4c2﹣3×36，c2=36，∴c=6【点评】本题主要考查了解三角形问题，三角函数恒等变换及化简求值．考查了考生分析问题的能力和基本的运算能力．29．（2016秋•兖州区校级期中）根据下列条件，解三角形．（Ⅰ）已知b=4，c=8，B=30°，求C，A，a；（Ⅱ）在△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，求a，c，A．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得sinC的值，可得C为直角，求得A，再由勾股定理求得a的值．（Ⅱ）由条件利用三角形内角和公式求得A的值，再利用正弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）已知△ABC中，∵已知b=4，c=8，B=30°，由正弦定理可，得sinC=1，可得C=90°，A=60°∴a=，（Ⅱ）∵已知△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，由三角形内角和公式可得A=60°，由正弦定理可得=，得a=，c=【点评】本题主要考查了三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题．30．已知△ABC中，A=45°，C=30°，c=10cm，解三角形．【分析】由三角形内角和定理，直接计算可得B=180°﹣A﹣C=105°；根据三角形的三个角的大小和边c长，结合正弦定理加以计算即可得到a和b的大小．【解答】解：∵△ABC中，A=45°，C=30°，∴根据三角形内角和定理，得B=180°﹣A﹣C=105°；由正弦定理，得，解之得a=10cm，b=5（+）cm【点评】本题给出三角形的两个角和一条边，解此三角形．着重考查了三角形内角和定理、特殊角的三角函数和正弦定理等知识，属于基础题．31．在△ABC中，已知a=，b=1，∠B=45°，解此三角形．【分析】利用正弦定理，可求得A，从而由三角形的内角和定理可求得C，由三角形特点求c．【解答】解：由正弦定理得，即，所以sinA=1，所以A=90°，所以C=180°﹣A﹣B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以c=b=1．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查运算能力．属于基础题．32．（2010春•沙坪坝区校级期末）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，sinB=cosAsinC，（I）求边AC的长度；（II）若BC=4，求角B的大小．【分析】（I）联立，sinB=cosAsinC，可知cbcosA=9，cosA•c=b，从而可求边AC的长度；（II）由（I），结合BC=4=a，b=3代入即得AB=5，从而三角形为直角三角形，由此可求角B的大小．【解答】解：（I），又sinB=cosAsinC⇒cosA•c=b代入得b=3，（II），将BC=4=a，b=3代入即得AB=5⇒【点评】本题以三角形为载体，考查向量的数量积，考查正余弦定理的运用，属于基础题．33．（2011•江西校级模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin22C+sin2C•sinC+cos2C=1，且a+b=5，c=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）通过二倍角公式化简已知表达式，求出cosC的值，然后在三角形中求角C的大小；（2）结合（1）通过余弦定理，求出ab的值，然后直接求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为sin22C+sin2C×sinC+cos2C=1，所以4sin2Ccos2C+2sin2CcosC+1﹣2sin2C=1，则2cos2C+cosC﹣1=0．得出cosC=所以C=60°…（6分）（2）由余弦定理可知：∴…（12分）【点评】本题是基础题，借助三角形考查二倍角公式的应用，余弦定理是解答（2）的关键，考查计算能力．34．（2016秋•陕西期中）（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°求b（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，a=2 求c．【分析】（1）利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用三角形内角和求出C的值，再由正弦定理求出c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=32+22﹣2×3×2×cos60°=7，∴b=；（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，∴C=75°，∴sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=；又a=2，由正弦定理得=，∴c=×sin75°=×=+．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形内角和定理与三角恒等变换问题，是基础题．35．（2010•沈丘县校级模拟）已知△ABC的周长为4（），且sinB+sinC=sinA．求边长a的值．【分析】先根据正弦定理用角的正弦值和外接圆半径表示出边长，再由sinB+sinC=sinA可得到b+c=a，结合△ABC的周长为4（），可求得a 的值．【解答】解：设三角形的外接圆半径为R，根据正弦定理有a=2R×sinA，b=2R×sinB，c=2R×sinC因为sinB+sinC=sinA，两边同时乘以2R得：2R×sinB+2R×sinC=×2RsinA 即：b+c= a ①又由题意有：a+b+c=4（+1）②；解①②得：a=4即边长a的值为4．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较广泛，对于定理的内容一定要熟练掌握并能够熟练应用．36．（2013春•仙桃校级期中）在△ABC中，a=1，，B=45°，求角A、C及边c．【分析】由已知中a=1，，B=45°°，代入正弦定理可得A的正弦值，结合已知中a＜b，可得A值，进而根据内角和定理求出C，再由正弦定理求出c．【解答】解：由正弦定理∴sinA=，∵a＜b，∴A=30°，C=105°，∵=2，∴c=．【点评】本题考查的知识点是正弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．37．在锐角△ABC中，已知，，BC=3．求△ABC的面积．【分析】先利用同角三角函数基本关系求得sinA和sinC的值，进而利用正弦定理求得AB，根据sinB=sin（A+C）利用两角和公式求得sinB的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：sinA==，sinC==由正弦定理可知=∴AB=×=2sinB=sin（A+C）=×+×=∴△ABC的面积为AB•BC•sinB=×2×3×=3【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．38．在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，已知CD=12，AD=5，求BD，AB，AC，BC的长．【分析】利用射影定理，即可求BD，AB，AC，BC的长．【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，∴CD2=AD•BD，∵CD=12，AD=5，∴BD=，∴AB=，∵AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，∴AC=13，BC=．【点评】本题考查射影定理，考查学生的计算能力，正确运用射影定理是关键．39．（2016春•西秀区校级月考）在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，解三角形．【分析】由B与C的度数求出A的度数，利用正弦定理求出b与c的值即可．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，∴A=30°，sinC=sin（45°+60°）=，由正弦定理得：b==5，c==．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．40．（2015秋•邯郸校级月考）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知，c=1，B=45°，求a，A，C．【分析】利用正弦定理，即可求解．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinC=，∵c＜b，∴C＜B，∴C=30°，∴A=′180°﹣45°﹣35°=105°，∴，∴a=．【点评】本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．。

高三数学专题平面向量与解析几何相结合学生专用题人教版

高三数学专题平面向量与解析几何相结合学生专用题人教版教学立意:本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。

2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

基础知识梳理:1．向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；2．实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；3．平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；4．椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用； 5．曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；6．直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7．平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

例题讲解“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。

而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。

在推导和探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方程的关系方面,向量是较好的工具.例题1.已知j i,是x,y 轴正方向的单位向量，设(3)a x i yj =-+, (3)b x i yj =++,且满足|a|+|b |=4.(1) 求点P(x,y)的轨迹C 的方程.(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为c=(1,1) 的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，当∆AOB的面积取到最大值时，求m 的值。

例题2.已知A 、B 为抛物线22x py =(p>0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D ，(1)若6OA OB ⋅=-，求抛物线的方程。

专题05 向量与解析几何、三角形等相结合问题(解析版)

专题05 向量与解析几何、三角形等相结合问题专题概述近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理. 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.典型例题考向1 平面向量与解三角形【例1】（2018春•定州市校级期中）O 为ABC ∆的外心，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A -+=．若(,)AO xAB y AC x y R =+∈则(xy= )A ．1B ．1-CD ．【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再由AO xAB y AC =+的两边点乘AB ，AC ，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程可得x ，y 的值，即可得到所求值．【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +==，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +=，sin cos cos sin C A C A C +=，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +-+-===-，可得120B =︒，30A C ==︒，若AO xAB y AC =+，可得2AO AB xAB yAC AB =+，即有222132c xc yc =，化为231x y +=，又可得2AO AC yAC xAC AB =+，即有22233322c xc y c =+，化为21x y +=，解得1x =-，1y =，则1xy=-，故选：B ．【例2】（2019•白银模拟）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，2AB BC =-，且满足sin sin 2sin A C B +=，则该三角形的外接圆的半径R 为．【分析】通过向量的数量积以及余弦定理正弦定理转化求解该三角形的外接圆的半径R 即可．【解答】解：因为1cos()22AB BC ac B ac π=-=-=-，所以4ac =．由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-．又因为sin sin 2sin A C B +=，所以2a c b +=．所以22()()34a c a c ac +=+-，所以23()124a c +=，所以2()16a c +=，所以4a c +=，所以2b =，所以022sin sin 60b R B ==，所以R =．【变式训练】（2019秋•浦东新区期末）已知ABC ∆满足313()||||AB AC AB AC AB AC ++=，则BAC ∠为．【分析】根据题设，利用平面向量基本定理，作出图形，再利用余弦定理得解．【解答】解：如图，设3,||||AB ACAB AC AB AC ='='，则||13AD = 在△AC D '中，由余弦定理有，19131cos 2132AC D +-∠'==-⨯⨯，故120AC D ∠'=︒， 60BAC B AC ∴∠=∠''=︒．故答案为：60︒．考向2 平面向量与三角形“四心”【例3】（2020•淮南一模）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC 的值为( ) A ．26B ．13C ．523D ．10【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=- ||||||||AC AT AB AS =-646422=⨯-⨯10=．故选：D ．【例4】（2019秋•昌江区校级期末）已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = )A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】题目是选择题，不妨通过特殊三角形，利用向量的坐标运算求解即可．【解答】解：ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，不妨取特殊三角形如图：A 、H 重合，(3,0)B ，(0,5)C ，3(2M ，5)2， (3,5)BC =-，则3(2HM BC =，5)(32-，9255)822=-+=．故选：D ．【变式训练】（2019•怀化一模）已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=︒，2AB AC =-，则||AG 的最小值是( )A B ．2C ．23D ．34【分析】由三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+，设||,||AB x AC y ==，由向量数量积的定义可知||||cos1202AB AC AB AC =︒=-，可得4xy =，然后根据向量数量积的性质可得1|||3AG x =结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33AG AD AB AC ==+ 120A ∠=︒，2AB AC =-，则根据向量的数量积的定义可得，||||cos1202AB AC AB AC =︒=-设||,||AB x AC y ==∴||||4AB AC = 即4xy =2221111||||()23333AG AB AC AB AC AB AC AB AC x =+=+=++=2228x y xy +=（当且仅当x y =取等号）∴2||3AG 即||AG 的最小值为23故选：C ．考向3 平面向量与平面解析几何【例5】（2020•苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆22:()(2)4C x a y -+-=上两个动点，且AB =:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的取值范围为．【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =，求出圆心C 到AB 的距离为1，设(,)P x x -，由向量等式可得AB 的中点M 的坐标，再由||1CM =列关于x 的方程，由直线l 上存在点P ，使得PA PB OC +=，利用判别式大于等于0求得实数a 的取值范围．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点12(2x x M +，12)2y y +，圆22:()(2)4C x a y -+-=的圆心(,2)C a ，半径2r =，圆心(,2)C a 到AB的距离||1CM =，直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，设(,)P x x -，则1(x x -，12)(y x x x ++-，2)(y x a +=，2)， ∴1212222x x x a y y x +-=⎧⎨++=⎩，得12122212x x a x y y x +⎧=+⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩，即(2a M x +，1)x -+，||1CM ∴=，整理，得222(2)04a x a x +-+=，直线:l y x =-上存在点P ，使得PA PB OC +=，∴△22(2)804a a =--⨯，解得22a ---+故答案为：22a ---+【例6】（2020•衡阳一模）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于两点A 、B ，若点(2,)M t 满足1()2OM OA oB =+，则||AB = ．【分析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线的定义可知12||2AB x x =++，由1()2OM OA oB =+可得(2,)M t 是AB 的中点，所以124x x +=，所以12||26AB x x =++=．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 过焦点(1,0)F ， 12||2AB x x ∴=++，又1()2OM OA oB =+，则(2,)M t 是AB 的中点， 124x x ∴+=， 12||26AB x x ∴=++=，故答案为：6．【变式训练】（2020•四川模拟）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点．若3FB FA =，则C 的离心率为．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A ，B 表示出来，再由3FB FA =，求出a ，b ，c 的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设(,0)F c -，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点且倾斜角为45︒的直线为：y x c =+，而渐近线的方程是：by x a=±，由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac A a b -+，)bca b+，由y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得：(ac B b a -，)bcb a-， (ac FB c b a =+-，)bc b a -，(ac FA c a b =-+，)bca b+，3FB FA =，∴3bc bcb a a b=⨯-+， 2b a ∴=，22225c a b a ∴=+=，则c =，则e =．．专题强化1．（2020•兴宁区校级模拟）已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C Bλ=++，R λ∈．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【分析】通过向量的数量积，结合向量和的几何意义，判断P 的轨迹经过的三角形的重心．【解答】解：由正弦定理可知：||||2sin sin AB AC R C B==，R 为三角形的外接圆的半径，所以动点P 满足||||()()sin sin AB AB AC ACOP OA OA R AB AC C Bλλ=++=++．因为AB AC +是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的对角线A 为起点的向量，经过BC 的中点，所以P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心．故选：C ．2．（2020•茂名一模）在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，2AB =，且点M 满足2BM CM =，则(AM BC = ) A ．3B ．6C ．8D ．12【分析】由题意画出图形，再由平面向量的数量积运算及向量的加法与减法运算求解．【解答】解：如图，三角形ABC 为等边三角形，且边长为2，由2BM CM =，得BC CM =，∴2()22cos6046AM BC AC CM BC AC BC BC =+=+=⨯⨯︒+=．故选：B ．3．（2020•淮南一模）在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( ) A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=．故选：D ．4．（2019秋•东莞市期末）已知圆O 的半径是P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP =，则2()OA OP +的最小值为( ) A ．232B ．12C ．252D ．13【分析】可画出图形，根据2OA OP =即可得出||OP ，并得出0cos 1O <∠，从而得出2()OA OP +的最小值．【解答】解：如图， 2OA =∴22||cos 2OA OP OP O =∠=，∴||OP =，0cos 1O <∠，∴2222125()28422OA OP OA OA OP OP cos O +=++=++∠，当cos 1O ∠=时取等号， ∴2()OA OP +的最小值为252．故选：C ．5．（2020•赤峰模拟）已知椭圆2222:19x y C a a +=+，1F ，2F 是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF >恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3-，0)(0⋃，3) B ．[3-，0)(0⋃，3] C ．(-∞，3)(3-⋃，)+∞D ．(-∞，3][3-，)+∞【分析】由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点，而120PF PF >恒成立可得12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系可得a 的取值范围．【解答】解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中12F PF ∠最大时点P 为短轴上的顶点，要使120PF PF >恒成立，则12F PF ∠为锐角，即145F PO ∠<︒，即1tan 1cF PO b=<，所以22c b <，而2222299c a b a a =-=+-=所以29a <，解得：3a >或3a <-，故选：C ．6．（2020•江苏二模）在ABC ∆中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为．【分析】取BC 边上靠近C 的三等分点D ，利用平面向量基本定理结合已知条件转化可得||||AD BC =，再利用三角形的面积公式进一步可得21()||2ABC max S BC ∆=，由此即可求得边BC 的长．【解答】解：取BC边上靠近C 的三等分点D ，则2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，又|2|3||AB AC BC +=，∴12||||33AB AC BC +=，即||||AD BC =， ∴2111||||||||222ABC S BC h BC AD BC ∆==，其中h 为BC 边上的高，依题意，21||22BC =，即||2BC =．故答案为：2．7．（2019秋•常州期末）在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，则cos ABC ∠= ．【分析】根据题意，设2AD t =，则3AC t =，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得BD AC ⊥，即2ADB π∠=，进而可得AB 、BC 的值，结合余弦定理计算可得答案．【解答】解：根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =，设2AD t =，则3AC t =，又由AD AB BD -=，若对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=；又由3A π∠=，则24AB AD t ==，BD =，则BC ==，ABC ∆中，4AB t =，3AC t =，BC =，则222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⨯⨯．8．（2019春•湖州期中）如图，在ABC ∆中，M 为边BC 上一点，4BC BM =，3AMC π∠=，2AM =，ABC∆的面积为||CM = ；cos BAC ∠= ．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求||CM 的值，进而可得2BM =，8BC =，利用余弦定理分别求得AB ，AC 的值，根据余弦定理可求cos BAC ∠的值．【解答】解：4BC BM =，ABC ∆的面积为所以||:||3:4MC BC =，故AMC ∆的面积为由AMC ∆的面积为13||||sin ||3323AM MC MC π== 故||6MC =，||8BC =，||2BM =，所以222||26226cos283AC π=+-⨯⨯=，故||AC =2222||22222cos 84123AB π=+-⨯⨯=+=，故||AB =所以222cos 222327AB AC BC BAC AB AC +-∠===-故答案为：6；7-． 9．（2019秋•南京期中）在ABC ∆中，已知(4)AB AC CB -⊥，则sin A 的最大值等于．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积的运算法则，结合基本不等式，求出cos A 的最小值，即得sin A 的最大值．【解答】解：在ABC ∆中，(4)AB AC CB -⊥，(4)0AB AC CB ∴-=；(4)()0AB AC AB AC ∴--=；如图所示，22450AB AB AC AC ∴-+=，即2254AB AC AB AC =+； 22422||||4cos 55||||5||||AB AC AB AC A AB AC AB AC +⨯⨯∴==，当且仅当2||||AB AC =时，“=”成立；此时sin A 35．故答案为：35．10．（2019春•内江期末）如图，O 在ABC ∆的内部，且30OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为．【分析】取AB 的中点D ，运用向量的中点表示和向量共线定理，结合三角形的面积公式和性质，可得所求比值．【解答】解：取AB 的中点D ，连接OD ，可得2OA OB OD +=，由30OA OB OC ++=，即为23OD CO =，可得12ACD ACB S S ∆∆=， 22115525ACO ACD ACB ACB S S S S ∆∆∆∆===，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比值为5:1．故答案为：5:1．11．（2019•河南模拟）在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点D 满足3AD DC =，且2AB BD ==，则边BC 的长为．【分析】设AB c =，BC a =，AC b =，由已知可求得34b AD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得3cos 16b A =，在ABC ∆中，由余弦定理224160b a -+=，①在ABC ∆中，由60ABC ∠=︒，可得：22240b a a +--=，②，①-②可得232200a a +-=，解方程可得BC 的值．【解答】解：设AB c =，BC a =，AC b =，由3AD DC =，可得：34b AD =， 2AB BD ==，∴在ABD ∆中，由余弦定理可得：222234()434cos 3216224b c AD BD b A b c AD +-+-===⨯⨯， ∴在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，可得：22341622b b a b +-=⨯⨯，可得：224160b a -+=，① 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，可得：22222142222a cb a b ac a +-+-==⨯⨯，可得：22240b a a +--=，② ∴①-②可得：232200a a +-=，解得：a=BC12．（2019•亭湖区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =，且2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为．【分析】如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心，连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ，则四边形ABFC 为平行四边形，在三角形ABF 中用余弦定理解得AE ，在三角形AEC 中用面积公式求得面积，再乘以2可得．【解答】解：如图：0OA OB OC ++=，所以O 为三角形ABC 的重心，连AO 并延长交BC 与E ，则E 为BC 的中点，延长AE 至F ，使AE EF =，连BF ，CF ，则四边形ABFC 为平行四边形，4BF AC ∴==，3cos cos cos 8AFB CAE CAO ∠=∠=∠=，设AE x =，则2AF x =，在三角形ABF 中由余弦定理得222cos 2BF AF AB AFB BF AF +-∠=，即3(25)8-，解得2x =，即2AE =．又sin CAE ∠=122sin 242ABC AEC S S AE AC CAE ∆∆∴==⨯⨯⨯∠=⨯=13．（2020•运城一模）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 与准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB = ．【分析】画出图象，根据抛物线的性质求出83BC =，又4AB BF =，求出AB ．【解答】解：已知抛物线2:4C y x =，所以2DF =，如图，因为3FA FB =-，所以:3:1AF FB =，又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==，所以3243AB BF ==，故答案为：323． 14．（2020•衡阳一模）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(,2)M t ，满足1()2OM OA OB =+（其中O 为坐标原点），则||AB = ．【分析】设直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得1m =，进而得到t 的值，即可求出||AB【解答】解：由条件得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，则2440y my --=，且124y y m +=，124y y =-，由条件可知1244y y m +==，解得1m =，1212()2322x x m y y t +++===，所以||2(31)8AB =+=，故答案为：8．15．（2020•毕节市模拟）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，l 与y轴交于点P ，若FM MP λ=λ的值为．【分析】先利用FM 与渐近线垂直，写出直线FM 的方程，从而求得点P 的坐标，利用|||FM PM λ=，求得点M 的坐标，最后由点M 在渐近线上，代入得a 、b 、c 间的等式，进而变换求出离心率．【解答】解：设(,0)F c ，则222c a b =+ 双曲线2222:1x y C a b -=的渐近线方程为b y x a=±， ∴垂线FM 的斜率为a b-， ∴直线FM 的方程为()ay x c b =--，令0x =，得P 的坐标(0,)ac b，设(,)M x y ，||||FM PM λ=，(x c ∴-，)(y x λ=-，)ac y b -， x c x λ∴-=-且4acy y bλ=-，即1c x λ=+，5ac y b λ=，代入b y x a =，得(1)1ac b c b a λλλ=++，即22a b λ=， 222a c a λ∴=-， 22(1)a c λ∴+=，∴c =， 3e =，2λ∴=，故答案为：2．。

2022年高考数学二轮复习近十年真题汇编专题06向量与解三角形-(全国通用)(解析卷)

专题06 向量与解三角形【2021年】1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（）A ．1BCD ．3【答案】D【分析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =. 故选：D.二、多选题2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC【分析】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP ==，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α====，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确； D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC三、填空题3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】【分析】由题意，1sin 2ABCSac B === 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =.故答案为：4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【分析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=. 故答案为：85. 5．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35【分析】因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】Ⅰ5a b -=Ⅰ222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= Ⅰ32b =.故答案为：7．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-.()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+, (),33110a c a c k ⊥∴=++⨯=，解得103k =-,故答案为：103-.四、解答题8．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠. 【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【分析】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠， ⅠacBD b=，又2b ac =， ⅠBD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， Ⅰ22222241399cos 24233b b bc c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ⅠADB CDB π∠=-∠，Ⅰ2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， Ⅰ42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在ⅠABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（） AB ．C ．D ．【答案】C【分析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【分析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））在ⅠABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【分析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【分析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ⅠABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc= A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =A B ．2C ．D ．50【答案】A 由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-，所以||(1)a b -=-=故选A7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C【分析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在ⅠABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【分析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在ABC ∆中，cos 2C =,BC=1,AC=5，则AB=A ．BC D ．【详解】：因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.10．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【详解】由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））ⅠABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【详解】：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ⅠsinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，ⅠsinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ⅠcosAsinC+sinAsinC=0， ⅠsinC≠0， ⅠcosA=﹣sinA ，Ⅰπ2＜A ＜π， ⅠA= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， Ⅰa=2，ⅠsinC=sin c A a=12=22，Ⅰa ＞c ， ⅠC=π6，故选B ．12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【分析】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+- ∴当0x =，2y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．13．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）ⅠABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=A B C ．2D ．3【答案】D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m = A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8【答案】D 【分析】Ⅰ(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， Ⅰ3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =A ．310B．10CD【答案】D【详解】：设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以AC =．由正弦定理，知sin sin AC BCB A=3sin ADA =，解得sin 10A =，故选D ． 16．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷）在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（） ABC． D．10-【答案】C【详解】：设,2,sin cos cos AD a AB CD a AC A ααββ=⇒===⇒===⇒cos()αβ=+=,故选C.17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)【答案】A【解析】试题分析：(31)(43)(74)BC BA AC =+=--+--=--，，，,选A.18．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC -=【答案】A【详解】Ⅰ3BC CD =ⅠAC −AB =3(AD −AC )；ⅠAD =43AC −13AB .故选A.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．ADB ．AD 21C ．BC 21D ．BC 【答案】A【解析】：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+，同12FC FE EC FE AC =+=+11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=． 20．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷）设向量满足，，则A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A 【详解】：因为，所以………………Ⅰ，又，所以…………Ⅰ，Ⅰ-Ⅰ得，所以，故选A ．21．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【详解】因为2222||()210a b a b a b a b +=+=++⋅=，22||()a b a b -=-=2226a b a b +-⋅=，两式相加得：228a b +=，所以1a b ⋅=，故选A.22．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知锐角ⅠABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( ) A ．10 B ．9C ．8D ．5【答案】D【详解】由题意知,23cos 2A+2cos 2A -1=0, 即cos 2A=125, 又因ⅠABC 为锐角三角形, 所以cosA=15. ⅠABC 中由余弦定理知72=b 2+62-2b×6×15, 即b 2-125b -13=0, 即b=5或b=-135(舍去),故选D.23．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为A ．2+B 1C ．2D 1【答案】B 【详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以二、填空题24．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5【分析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.25．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【分析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=26．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【分析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 27．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【分析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 28．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【分析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯=29．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】10-【分析】22826cos ,2a b a b a b⨯-+⨯<>===+． 30．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【答案】23. 【分析】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 31．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））ⅠABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ⅠABC 的面积为________．【分析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos 2A =，从而求得3bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 32．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【分析】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为1233．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．【答案】7【详解】由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．34．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .【答案】【详解】Ⅰ平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，Ⅰ021cos601a b ⋅=⨯⨯=.Ⅰ2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为35．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．【答案】3π【分析】由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .Ⅰ2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，ⅠA ＋C ＝π－B .Ⅰ2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，Ⅰcos B ＝.ⅠB ＝.Ⅰ在ⅠABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，Ⅰ条件等式变为2b cos B ＝b ，Ⅰcos B ＝.又0<B <π，ⅠB ＝.36．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m =_______. 【答案】2【详解】由题意可得2330,m -⨯+=解得2m =.37．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））ⅠABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，bc =3，则A =_________. 【答案】75【详解】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C B c===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.38．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设向量(,1),(1,2)a x x b =+=，且a b ⊥，则x ＝________. 【答案】23-【详解】根据两向量垂直，可得2(1)320x x x ++=+=，解得23x =-. 故答案为：23-.39．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）平面向量的数量积及其应用）设向量()(),11,2a m b ==，，且222a b a b +=+，则m =_________.【答案】-2【详解】试题分析：由题意得222(1)+315 2.m m m +=++⇒=-40．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6-【分析】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-41．（2015年全国普通高等学校招生统一考试数学）ⅠABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =45，cos C =513，a =1，则b =___.【答案】2113【详解】：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B A C A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==.42．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））如图在平面四边形ABCD 中，ⅠA ＝ⅠB ＝ⅠC ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．【答案】【详解】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在ⅠBCE 中，ⅠB=ⅠC=75°，ⅠE=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在ⅠBCF 中，ⅠB=ⅠBFC=75°，ⅠFCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得所以AB 的取值范围为.43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高100BC m =，则山高MN =__________m ．【答案】150【详解】：在ABC 中，45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,100sin 45AC ∴==︒在AMC 中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM ACACM AMC=∠∠即,sin 60sin 45AM =︒︒解得AM =在Rt AMN 中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒150()m =．故答案为150．44．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1AO (AB AC)2=+，则AB 与AC 的夹角为_______．【答案】90【分析】由1+2AO AB AC =（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此AB 与AC 的夹角为090 所以答案为90︒45．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故132BAC S bcsinA ∆=≤． 46．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则t =_____．【答案】2；【详解】：由0b c ⋅=可得，22(1)0,cos60(1)0,ta b t b t a b t b ︒⋅+-=∴⋅+-=即102t-=，2t ∴=故填2.47．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________．【答案】2 【详解】AE ·BD =(AD +12DC )·(AD -AB ) =2AD -AD ·AB +12DC ·AD -12AB ·DC =22-12×22=2.48．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则b =__________．【答案】【详解】：的夹角，，，，.三、解答题49．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC 的面积；（2）若sin A C ，求C .【答案】（1（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2S ac B == （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.50．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ⅠABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若b c -=，证明：ⅠABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=Ⅰ，又3b c a -=Ⅰ，将Ⅰ代入Ⅰ得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．51．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+ 【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+52．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =.（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+= 53．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2)()82. 【分析】(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A C B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <<故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 54．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC . 【答案】（1（2）5. 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos 2582525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=. 所以5BC =.55．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））ⅠABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知ⅠABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求ⅠABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3+ 【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=故ABC 的周长为356．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin2BA C +=，Ⅰ()sin 41cosB B =-，Ⅰ22sin cos 1B B +=， Ⅰ()22161cos cos 1B B -+=，Ⅰ()()17cos 15cos 10B B --=，Ⅰ15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，Ⅰ1sin 22ABC S ac B =⋅=，Ⅰ172ac =，Ⅰ()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， Ⅰ2b =．57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b ===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2【解析】（1）sin 0,tan A A A +=∴=20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos2cosACC CDC∴=∴===12CD BC∴=，114222ABCS AB AC sin BAC∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=12ABD ABCS S∆∆∴==58．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1卷））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(cos cos)C a B b A c+=.（1）求角C；（2）若c=ABCS∆=ABC∆的周长.【答案】（1）3Cπ=（2）5【详解】：（1）由已知可得2cos(sin cos sin cos)sinC A B B A C+=12cos sin()sin cos23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin622∆=⇒=⇒=ABCS ab C ab ab又2222cos+-=a b ab C c2213a b∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC∆∴的周长为559．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知,,a b c分别是ABC∆内角,,A B C 的对边，2sin2sin sinB A C=．（1）若a b=，求cos;B（2）若90B =，且a=求ABC∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b=，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos24a c bBac+-==（2）由（1）知22b ac =因为90B =，由勾股定理得222a c b +=故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为160．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））ⅠABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠ ；（Ⅰ）若60BAC ∠=,求B ∠. 【答案】（Ⅰ）12；（Ⅰ）30. 【解析】：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅰ）由诱导公式可得()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅰ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠=61．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分ⅠBAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC＝2，求BD 和AC 的长．【答案】（1）12；（2）1 【详解】（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， Ⅰ2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，Ⅰ2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠. （2）Ⅰ::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =， ⅠBD ．设AC x =，则2AB x =，在ⅠABD 与ⅠACD 中，由余弦定理可知， 2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅ 22223cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅， ⅠADB ADC π∠+∠=，Ⅰcos cos ADB ADC ∠=-∠，223x -=，解得1x =，即1AC =．62．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，BD （2）【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC =+- cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅．Ⅰ2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．Ⅰ由ⅠⅠ得1cosC 2=，故60C =︒，BD = （2）四边形的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅011(1232)sin 6022S =⨯⨯+⨯⨯=63．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，在ⅠABC 中，ⅠABC＝90°，AB BC ＝1，P 为ⅠABC 内一点，ⅠBPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若ⅠAPB ＝150°，求tanⅠPBA ．【答案】（1）2（2）4 【详解】解：（1）由已知得ⅠPBC ＝60°，所以ⅠPBA ＝30°.在ⅠPBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA ＝2. 5分（2）设ⅠPBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在ⅠPBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，＝4sin α.所以tan α＝4tanⅠPBA ＝4. 12分 64．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））ⅠABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若b=2，求ⅠABC 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）B=4π（Ⅰ1 【详解】(1)Ⅰa=bcosC+csinBⅠ由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB Ⅰ在三角形ABC 中，A=－(B+C)ⅠsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC Ⅰ由Ⅰ和Ⅰ得sinBsinC=cosBsinC而CⅠ(0，)，ⅠsinC≠0，ⅠsinB=cosB又B(0，)，ⅠB=(2) S ⅠABC 12=ac sin B =ac ，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 2⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则ⅠABC 面积的最大值为11222⨯=（2=1． 65．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅰ)若a =2，ABC ∆b ，c .【答案】(1)3A π= (2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅰ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A 故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==266．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角 A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c . 【答案】（1）（2）b=c=2 【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C +--=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．。

专题06 解三角形与平面向量结合(解析版)

专题06 解三角形与平面向量结合常见考点考点一结合向量坐标运算典例1．在①(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+，②2cos()3b C ac π-=+， ③向量(1cos )m B C =+与(,)n c b =-，且m n ⊥，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且________. （1）求角B 的大小;（2）若ABC 是钝角三角形，且b =a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）【分析】（1）选择第一个条件利用角化边，利用余弦定理解决，选择后两个条件都会边化角，用正弦定理解决；（2）利用正弦定理，将a c +用只含有一个角的三角函数表示即可. （1）若选条件①，根据正弦定理得()()()a a c b c b c ，222a c ac b ，由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-== ，又(0,)B π∈，则3B π=；若选条件②，由正弦定理得，132sin (cos sin )sin sin 22B CC A C ，则sin cos sin sin()sin B C B C B C C +=++sin sin cos sin B C C B C =+，(0,)C π∈，则sin 0C ≠cos 1B B -=，则1sin()62B π-=，结合(0,)B π∈可得3B π=；若选条件③，m n ⊥，则0(1cos )3sin m n c B b C ，由正弦定理得，sin (1cos )3sin sin 0C B B C，(0,)C π∈，则sin 0C ≠cos 1B B -=，则1sin()62B π-=，结合(0,)B π∈可得3B π=.（2）由正弦定理，sin sin sin3a c A C ==2sin ,2sin a A c C ==，又ABC 是钝角三角形，不妨设A 是钝角，又23A C π+=，于是223A ππ<<，则有25366A πππ<+<，13sin()(,)622Aπ，于是22sin 2sin 2sin 2sin()3sin )36a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+∈即a c +∈. 变式1-1．在①2cos a B c =；②向量(),m a b c =-，(),n a b c b =-+，m n ⊥；③tan tan A B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在ABC 中，a ，b，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a =3c =，D 为AC 边的中点，若______，求BD 的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析. 【分析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出cos C ，再借助余弦定理计算作答. 选②，由向量关系结合余弦定理求出角C ，再由正弦定理求角A 即可计算作答. 选③，切化弦求出角C ，由正弦定理求出角A ，再借助余弦定理计算作答. 【详解】若选①：在ABC 中，因2cos a B c =，由正弦定理得2sin cos sin A B C =，而()sin sin C A B =+，即有2sin cos sin cos cos sin A B A B A B =+，整理得()sin 0A B -=，又A B ππ-<-<，则0A B -=，即A B =，有b a ==2221cos 22a b c C ab +-==-，在BCD △中，由余弦定理2222124BD C =+-=⎝⎭，所以BD =若选②：由m n ⊥，得0m n ⋅=，即()()()0a a b b c c b -+-+=，整理得2220a ab c b --+=，在ABC 中，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，而0C π<<，则3C π=，由正弦定理得3sin3π=，即1sin 2A =，由a =3c =可得：03A C π<<=，则6A π=，有2ππ=--=B A C ，因此有b D 为斜边AC 中点，所以2bBD ==若选③：依题意，sin cos cos sin cos cos A B A B A B +=()sin A B C +=，在ABC 中，()sin sin C A B =+，于是得tan C =23C π=，由正弦定理得：32sin 3=π，解得1sin 2A =，由a =3c =可得：203A C π<<=，则有6A π=，从而有ππ6B A C，即b a ==在BCD △中，由余弦定理得：2222124BD C =+-=⎝⎭，所以BD =变式1-2．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= . （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 的面积的最大值. 【答案】（1）3π（2【分析】(1)先根据向量数量积的坐标运算列出方程，再用余弦的二倍角公式求出cos A ，即可求出角A 的大小；（2）先结合余弦定理，用基本不等式求出bc 的最大值，最后套用面积公式即可. （1）因为向量(4,1),m =-2(cos,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅=，所以274coscos 222A A -= ，即72cos 2cos 22A A +-= 解得1cos 2A =，又因为A 是三角形的内角，所以3A π=（2）因为3A π=，a =2222cos a b c bc A =+-，所以 223b c bc =+-，所以3bc ≥，即3bc ≤，当且仅当b c =时取等号，1sin 2ABCSbc A =，当3bc =时，max132ABC S =⨯=所以ABC 变式1-3．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(cos(),sin())m A B A B =--，(cos ,sin )n B B =-，且35m n ⋅=-.（1）求sin A 的值；（2）若a =5b =，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影向量的模. 【答案】（1）45（2 【分析】（1）利用三角恒等变换得出角A 的余弦值，再由平方关系求出A 的正弦值；（2）利用正余弦定理求出边c ，进而求出投影向量的模. （1）解：由35m n ⋅=-得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-∴3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-0A π<<∴4sin 5A == （2）解：由正弦定理sin sin a bA B=，4sin 5A =，a =5b =∴45sin sin b A B a ⨯===a b >∴A B >∴4B π=由余弦定理得：232256c c =++ 解得：1c =或7c =-（舍去）则向量BA 在BC 方向上的投影向量的模为：cos cos 122B c B BA =⨯=⨯=考点二结合向量线性运算与数量积典例2．在ABC .中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos b c Ca A-=，3a =. （1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值. 【答案】（1）3π（2【分析】（1）利用正弦定理将2cos cos b c Ca A-=，化为2sin cos sin B A B =，由此即可求出结果；（2）由题意可知13CD CA =，进而可得13BCD ABC S S ==△△，再根据余弦定理和基本不等式可得bc 的最大值，进而求出结果.（1）解：因为2cos cos b c Ca A-=，所以()2cos cos b c A a C -=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =. （2）解：因为1233BD BA BC =+，所以13CD CA =；所以11sin 36BCD ABC S S bc A ===△△，因为2222cos a b c bc A =+-，所以229b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以BCD S =≤△BCD △变式2-1．在ABC ∆中，若边,,a b c 对应的角分别为,,A B C ，且sin cos c C c A -．（1）求角A 的大小；（2）若3,1c b ==，2BD DC =，求AD 的长度．【答案】（1）3A π=（2【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用辅助角公式得到1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求出A ；（2）依题意可得1233AD AB AC =+，再根据平面向量数量积的运算律求出AD ，即可得解；（1）解：因为sin cos c C c A =-，由正弦定理可得sin sin sin cos C A C C A =-在ABC ，sin 0C >cos 1A A -=∴2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()0,A π∈，∴5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭∴66A ππ-=，∴3A π=（2）解：∵AD AB BD =+且2BD DC =，∴212333AD AB BC AB AC =+=+， ∴222212144193131cos 3399939AD AB AC π⎛⎫=+=⨯+⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ ∴19AD =变式2-2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin b C a B =，（1）求角B 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）120B =︒（2【分析】（1）由已知结合正弦定理得sin cos sin sin B C A C B =+，而sin sin()A B C =+代入化简可得tan B =B 的大小，（2）由点D 在边AC 上，且AD =2DC ，可得23BD BA AD BA AC =+=+1233BA BC =+，平方化简后可得224236a c ac +-=，再利用基本不等式可得18ac ≤，从而可求出面积的最大值（1）因为cos sin b C a B =，所以由正弦定理得sin cos sin sin B C A C B =,所以sin cos sin()sin B C B C C B =+，所以sin cos sin cos cos sin sin B C B C B C C B =+，所以cos sin sin 0B C C B =，因为sin 0C ≠，所以tan B = 因为0180B ︒<<︒，所以120B =︒（2）因为点D 在边AC 上，且AD =2DC ，所以23BD BA AD BA AC =+=+()212333BA BC BA BA BC =+-=+，所以22221214433999BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭,所以2214244cos9939c ac a π=++，即224236a c ac +-=，因为2244a c ac +≥，所以4236ac ac -≤，即18ac ≤，当且仅当2a c =时取等号，所以ABC 面积为1212sin18sin 2323ac ππ≤⨯=2a c =，即3,6a c ==时取等号，所以ABC 变式2-3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >.已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，在下列条件①②③中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下列的问题䦿，并求解.①2211a c +=；②3b =；③AB 边上的高等于2.（1）a 和c 的值；（2）()cos B C -的值. 选择___________.（若选择多个符合题意的条件分别作答，按第一个计分.）【答案】（1）选条件②，3,2a c ==；（2）2327. 【分析】(1)由给定条件求出ac =6，选择条件①，借助均值不等式判断无解；选择条件②，借助余弦定理计算即可；选择条件③，求出a ，不符合题意.(2)由(1)求出cos B ，结合三角形内角和定理、三角恒等变形计算作答. （1）在ABC 中，因2BA BC ⋅=，1cos 3B =，则1cos 23ac B ac ==，解得6ac =，选择条件①，因0,0a c >>，则221122a c ac +≤=，而1162>，即三角形不存在；选择条件②，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即2219263a c =+-⨯⨯，整理得2213a c +=，而a c >，解得3,2a c ==；选择条件③，由1cos 3B =得sin B =2sin a B ==6c a ==>，与a c >矛盾，即三角形不存在，所以选择条件②，3,2a c ==. （2）由(1)知，3,2a c ==，3b =，则ABC 是等腰三角形，即有2C B π=-，因此，()cos cos(3)cos(2)cos2cos sin 2sin B C B B B B B B B π-=-=-+=-+22(2cos 1)cos 2sin cos B B B B =--+3311233cos 4cos 34()3327B B =-=⨯-⨯=，所以()cos B C -的值2327.巩固练习练习一结合向量坐标运算1．在①2sin tan a B b A =，②1cos cos c a B A b b-=-， ③向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知___________. （1）求A 的大小;（2）若3ABC a S ==△，b c +的值. 【答案】（1）3π（2）【分析】（1）若选①，主要考察正弦定理；若选②，主要考察余弦定理；若选③，主要考察正弦定理与向量平行充要条件；（2）由三角形面积公式得到b 、c 两边关系，再结合余弦定理解之即可. （1）选条件①：2sin tan a B b A =，由正弦定理可知sin sin a B b A = 则tan 2sin 2sin b A =a B=b A ，即tan 2sin A =A 又在△ ABC 中，0A π<<，即sin 0A >，故1cos 2A =，又0A π<<，故3A π=选条件②：1cos cos c a B A b b-=- 根据余弦定理，上式可化为2222222222=222c b a a c b b c a a b b b ac bc bc-+-+--=⨯- 整理得222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又在△ ABC 中，0A π<<，故有 3A π=选条件③：向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.由 m n ∥，可得sin cos a B A =,由正弦定理可知sin sin a B b A =，则有sin cos b A A =即tan A =△ ABC 中，0A π<<，故有 3A π=（2）由ABC S =△11sin 22bc A ==，则3bc = 又在△ ABC 中，2222cos a b c bc A =+-, 即22229()3()9b c bc b c bc b c =+-=+-=+-则2()18b c +=，故b c +=2．在①cos cos cos +=+a b c A B C ，②向量(,)m a c b =+与(,)n c a b c =--，且m n ⊥， ③cos a A =，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知______.（1）求角A 的大小;（2）若ABC 的面积为18abc ，求ABC 周长的取值范围.（1）3A π=（2）【分析】（1）若选条件①或③，需要使用正弦定理进行边化角来处理，选择条件②用余弦定理即可；（2）先由面积的条件算出a ，此后利用余弦定理和基本不等式解决. （1）若选条件①，根据正弦定理得,sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+，整理得，sin cos sin cos sin cos sin cos A B A C B A C A +=+，即sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C -=-，也即sin()sin()A B C A -=-，由于,,A B C 是三角形内角，只可能是A B C A -=-，即2A B C A π=+=-，3A π=；若选条件②，则有0()()()m n c a c a b b c ，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,)A π∈，则3A π=；若选条件③，由正弦定理，sin cos A A ==tan A =(0,)A π∈，则3A π=.（2）11sin 28ABCSbc A abc ，故4sin 4sin 233a A π，由三角形三边关系，b c a +>=2a b c a ++>=2222cos3bc bc a π，即2()123b c bc ，由基本不等式可得，223()()1234bc bc bc，故2()48b c +≤，即b c +≤b c ==4363abca，综上可得，周长的取值范围是：.3．在①向量(3,)m b a =与(cos ,sin )n A B =，且3m n c ⋅=，②2cos cos c a Ab B-=， ③sin sin 2b A a B =，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且___________.（1）求角B 的大小;（2）若,,a b c 成等差数列，且ABC ∆的周长为ABC ∆的面积.（1）3B π=（2【分析】（1）若选条件①，利用向量的数量积公式、正弦定理以及三角恒等变换，可得sin sin cos A B A B =，由此即可求出tan B ，进而求出角B 的大小；若选条件②，根据正弦定理和三角恒等变换，得2sin cos sin C B C =，由此即可求出cos B ，进而求出角B 的大小；若选条件③，根据正弦定理和二倍角公式，得sin sin 2sin sin cos B A A B B =，由此即可求出cos B ，进而求出角B 的大小；（2）由题意可知2a c b +=，再根据ABC ∆的周长为b = a c +=理，即可求出ac ，再根据1sin 2ABC S ac B ∆=，即可求出结果. （1）解：若选条件①，则有3cos sin m n b A a B ⋅=+=，cos sin sin B A A B C +=，∴()sin sin cos cos A B A B B A A B +=，∵sin 0A ≠，∴sin B B =，∴tan B ∵0B π<<，∴3B π=.若选条件②，根据正弦定理得2sin sin cos sin cos C A AB B-=，2sin cos sin cos sin cos C B A B B A -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin C B A B B A A B C =+=+=， ∵sin 0C ≠，∴1cos 2B =， ∵0B π<<，∴3B π=.若选条件③，根据正弦定理得sin sin sin sin 22sin sin cos B A A B A B B ==， ∵sin sin 0B A ≠，∴1cos 2B =， ∵0B π<<，∴3B π=.（2）解：∵,,a b c 成等差数列，∴2a c b +=，又∵ABC 的周长为3a b c b ++==∴b = a c +=由余弦定理知()2222222cos 3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，解得7ac =，∴11sin 722ABC S ac B ∆==⨯. 4．在平面直角坐标系中xOy 中，ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，已知向量(),tan m a A =-，()1,n b =，且0m n ⋅=. （1）证明：π2B A =+；（2）1a =，b =ABC 的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，再结合正弦定理化边为角，同角三角函数基本关系、诱导公式即可求证；（2）由0m n ⋅=可求得tan A 的值，进而可得角A ，再由（1）中结论可求得角B ，由三角形的内角和可得角C ，再由三角形的面积公式即可求解. （1）向量(),tan m a A =-，()1,n b =，所以tan 0m n a b A ⋅=-=，在ABC 中，由正弦定理2sin sin a bR A B==（R 表示ABC 外接圆的半径）所以2sin a R A =，2sin b R B =，所以2sin 2si in co n s 0s R A R B AA⋅-=，因为sin 0A ≠，所以πcos sin 2sin B A A ⎛⎫=± ⎝=⎪⎭，因为B 为钝角，所以π2B A =+. （2）因为1a =，b =所以tan 10m n a b A A ⋅=-=-=，可得tan A 因为0πA <<，所以π6A =，由（1）知：π2π23B A =+=，可得π2πππ636C =--=，所以ABC 的面积为111sin 1222ab C =⨯=练习二结合向量线性运算与数量积5．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos )sin a b C c B -=. （1）求角B 的大小；（2）若3,2a c ==，D 为边BC 上一点，15CD DB =，求cos2ADC ∠的值. 【答案】（1）3B π=（2）17- 【分析】（1）由正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换化简可求出tan B（2）由余弦定理求出AD ，再由正弦定理求得sin BDA ∠=，即可求出. （1）cos )sin a b C c B -=sin cos c B C -=，sin sin cos -=A C B B C ，cos cos sin sin cos B C C B C B B C -=，cos sin sin 0C B C B -=，因为sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）因为13,5a CD DB ==，所以15,22CD DB ==，ABD △中，由余弦定理得，222551212222224AD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以AD =由正弦定理得sin sin AD AB B BDA =∠，∴sin BDA ∠=，故21cos 2cos(22)cos 212sin 7ADC BDA BDA BDA π∠=-∠=∠=-∠=-.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知22cos a b c B -=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2a =，点D 在边AB 上，且2AD DB =，CD =b . 【答案】（1）3π（2）2-【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解；（2）利用平面向量的基本运算即可求出b 的值. （1）解：因为22cos a b c B -=⋅，由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B -=⋅① 又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ 所以①式可化为：2sin cos sin 0B C B -= 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C = 又因为C 是三角形内角，所以3C π=（2）解：因为2AD DB =，所以()2CD CA CB CD -=-则1233CD CA CB =+所以222144999CD CA CB CA CB =++⋅由（1）知3C π=，又2a =，CD =所以214834cos 9993b b π=+⨯+⋅即：24110b b +-=解得2b =-2b =-所以2b =-7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2b a Cc =+．（1）求角A ；（2）若3AB AC ⋅=，求a 的最小值．【答案】（1）π3A =（2【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将sin sin cos cos sin B A C A C =+，推导出1cos sin sin 2A C C =，由此求出角A .（2）由已知条件推导出6bc =，从而由余弦定理得出222a b c bc =+-，最后利用基本不等式求出a 的最小值. （1）△ABC 中，cos 2c b a C -=，由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=， ∵πA B C ++=，∴[]sin sin π()B A C =-+ sin cos cos sin A C A C =+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=，∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，又∵0πA << , ∴π3A =；（2）由（1）及3AB AC ⋅=得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=,当且仅当b c =时取等号，所以a . 8．从①sin sin D A =；②3ABCBCDS S=；③4DB DC ⋅=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.已知点D 在ABC 内，cos cos ,6,4,2A D AB AC BD CD >====，若___________，求ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【分析】选择①，根据sin sin D A =可得A D π+=，再根据余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅，求出cos A ，即可求得角A ，再根据三角形的面积公式即可得解. 选择②，根据3ABCBCDSS=可得sin sin D A =，从而可得A D π+=，再根据余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅，求出cos A ，即可求得角A ，再根据三角形的面积公式即可得解.选择③，根据4DB DC ⋅=-可求得cos D ，再利用余弦定理求得BC ，再利用余弦定理可求的角 A ，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：选择①，因为点D 在ABC 内，sin sin D A =，cos cos A D >，所以A D π+=，所以cos cos D A =-，由余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅，即16416cos 361648cos A A ++=+-，解得1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=，所以1sin 2ABCSAB AC A =⋅⋅= 选择②，因为3ABCBCD SS=，所以11sin 3sin 22AB AC A DB DC D ⋅⋅=⨯⋅⋅，所以sin sin D A =，又因为点D 在ABC 内，cos cos A D >，所以所以A D π+=，所以cos cos D A =-，由余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅，即16416cos 361648cos A A ++=+-，解得1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=，所以1sin 2ABCSAB AC A =⋅⋅= 选择③，因为s 4co DB DC DB D DC =⋅⋅=-，所以1cos 2D =-，在BCD △中，22212cos 164242282BC DB DC DB DC D ⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，在ABC 中，2223616281cos 22642AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，又()0,A π∈，所以3A π=，所以1sin 2ABCSAB AC A =⋅⋅=。

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【名师综述】近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查点体现在：考点一向量的几何运算当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根=-(其中O为我们据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN ON OM所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．考点二向量的坐标运算向量的坐标运算实际上就是向量问题转化为代数问题，树立数形转化的观点，以数代形，以形观数，用代数运算处理结合问题，特别是处理向量有关的位置问题，正确运用共线和共面向量定理，计算向量的模和距离问题.考点三向量平行与垂直考点四向量的数量积、夹角与模求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a·b=x1x2+y1y2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.考点五向量的应用平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面考点六与向量相关的最值问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．运用向量解决问题常见的一些使用方法与结论：1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；()1,2AD AB AC =+等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).222()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA OA OB OC OA OB OC +⋅=+⋅=+⋅=⇔==⇔==⇔④O 为ABC ∆的外心.2.向量与平行四边形相关的结论向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中，设,AB a AC b ==，则有以下的结论：①,AB AC a b AD +=+=通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若C AB D =,可判断四边形为平行四边形；②,,a b AD a b CB +=-=若0a b a b a b +=-⇔⋅=对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；()()0a b a b a b +⋅-=⇔=对角线垂直.则平行四边形为菱形；③222222a b a b a b ++-=+说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).3.解析几何与向量综合时可能出现的结论（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;（3）给出0=+PM ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6）给出λλ++=1OP ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即λ=（7）给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,（8）给出MP =⎪⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形; （10）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC ∆中，给出+=OA OP ()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心；（15）在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; 总之，由于平面向量具有代数、几何综合性，使之成为中学数学的一个“交汇点”，是高考综合性试题设计的良好素材，故应为高中数学综合复习的重点.【精选名校模拟】1. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，－b ），若BA BF BA BF +=-，则双曲线的离心率值为（）31+51+5【答案】B2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,0P OP a b θθ=+≤,PQ R r ≤若CΩ为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 【答案】A 【解析】3. 已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,PM PN =，则PM PN ⋅ 的最小值是（）A D ．1- 【答案】B4. 如图，己知3||,5||==OB OA ，∠AOB 为锐角，OM 平分∠AOB ，点N 为线段AB 的中点，OP xOA yOB =+，若点P 在阴影部分(含边界)内，则在下列给出的关于x 、y 的式子中，①x≥0，y≥0；②x －y≥0；③x －y≤0；④5x －3y ≥0；⑤3x －5y ≥0.满足题设条件的为( ) A.①②④ B.①③④ C.①③⑤ D.②⑤【答案】B5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量,S O P n⎛= ，,OP m ⎛= ，,S OP k ⎛= ，且12OP OP OP λμ=⋅+⋅，则用n m k 、、表示μ=（）．（A ）k m -（B （C （D 【答案】C6.在直角ABC ∆中,090,1BCA CA CB ∠===,P 为AB 边上的点AP AB λ=,若,则λ的取值范围是( )【答案】B【解析】试题分析：根据向量的加法可得CP CA AP =+,()PB PA AB =+ ,又因为AP AB λ=, 所以,所以()()CA AB AB AB AB AB λλλ+⋅≥-⋅-+ ，7. 在平面斜坐标系xOy 中45xOy ∠︒＝，点P 的斜坐标定义为：若0102OP x e y e ＝＋ (其中12e e ，分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为00()x y ，．若12()()1010F F －，，，，且动点()M x y ，满足| 1MF |＝|2MF |，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝－y ＝＋y ＝0 【答案】D8. 在平面上，12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+,若12OP <,则OA 的取值范围是( )A ．B ．22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ． 2⎛ ⎝ 【答案】D【解析】试题分析：0OP =时，此时点O 与点P 重合，此时12AB B O 是边长为1的正方形，2OA =12OP =时OA OP PA ≥+ ，因为12AP AB AB =+，且12AB AB ⊥所以12APB B 为矩形，所PA B B =。

只有当点P 在OA 上时，B B 最短，此时1OA PA =+。