三角比与三角函数 学生版

一、 知识梳理【三角比】1．角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π ∴180︒=π ∴ 1︒=180π∴x ︒=180x π ∴1801π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴180x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2、弧长公式：α⋅=r l 2、扇形面积公式 12S lr = =212||r α 3．三角比的正负：一全正、二正弦、三切正、四余弦4．三种关系，八个公式，称为同角．．三角函数的基本关系 （1）平方关系1cos sin 22=+αα 221tan sec αα+= 221cot csc αα+=（2）倒数关系 sin csc 1αα⋅= c o ss e c s e c ααα= t a n c o t 1αα⋅=（3）商的关系sin tan cos ααα=c o s c o t sin ααα=5.两角和与差的三角公式：sin()sin cos sin cos αβαββα+=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-sin()sin cos sin cos αβαββα-=- tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+6.二倍角的正弦、余弦和正切公式：222222tan sin 22sin cos tan 21tan cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααααααααα==-=-=-=-7.半角的正弦、余弦和正切公式：教学内容4.万能公式：22222tan1tan 2tan222sin cos tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-5．辅助角公式：22sin cos sin()a x b x a b x φ+=++ （其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan baφ=确定） 6．升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+ 2s i n 2c o s12αα=-。

7．降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22c o s 1c o s 2αα+= 8．解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． （1）角与角关系：A +B +C = π，（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ． （3）边与角关系：大边对大角 ☆3．正弦定理R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）． a = 2R sin A ，baB A =sin sin☆4．余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac+-=、222cos 2a b c C ab +-=☆5．面积公式：Abc B ac C ab ch bh ah S c b a sin 21sin 21sin 21212121======∆面积公式C B A R S sin sin sin 22=； Rabc S 4=；9．解斜三角形的常规思维方法是：（用正弦还是余弦定理） （1）已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ． （2）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况． （3）已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角．（4）已知三边a 、b 、c ，应用余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C ． 10．在三角形中的一些结论：（1）三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… （2）在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…（3）在△ABC 中：sin(A+B)=sinC cos(A+B) -cosC (A+B) -C tantan == 11．辅助角: asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定(a>0,或变a>0)y=sin x y=cos xy=tan xy=cot x （选）函数表达式、图像 定义域、 值域 最大值点、 最小值点 单调区间 周期性 奇偶性 对称中心、 对称轴【三角函数的变换】以y=sinx 变换为y ＝A sin(ωx ＋ϕ)为例两种方法殊途同归(1) y=sinx 相位变换 y=sin(x+φ) 周期变换 y=sin(ωx+φ) 振幅变换)sin(ϕ+ω=x A y(2) y=sinx 周期变换 y=sin ωx 相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换)sin(ϕ+ω=x A y作y=sinx （长度为2π的某闭区间） 得y=sin(x+φ) 得y=sin ωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上 沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短 沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短1、正弦函数y =sin x 的反函数称为反正弦函数, 记为y =arcsin x . 定义域为[-1, 1]. （图像？） 正弦函数 y =sin x 在[,]22ππ-上的反函数称为反正弦函数的主值, 记为 y =arcsin x , 其定义域为 [-1, 1], 值域为[,]22ππ-2、余弦函数arccos y x =的反函数称为反余弦函数, 记为arccos y x =, 定义域为[-1, 1]. （图像？）余弦函数arccos y x =在[0,]π上的反函数称为反余弦函数的主值, 记为arccos y x =, 其定义域为[-1, 1], 值域为[0,]π.3、正切函数tan y x =的反函数称为反正切函数, 记为arctan y x =, 定义域为(-∞, +∞). （图像？） 正切函数tan y x =在(,)22ππ-上的反函数称为反正切函数的主值,记为 arctan y x =, 其定义域为(-∞, +∞),值域为(,)22ππ-.二、课堂训练1. 在ABC ∆中，已知8BC =,5AC =，三角形面积为12，则cos 2C = ．2. 若,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 216θ=，则cos sin θθ-的值是__________．3. 已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过 点()3,4P a a -(0,R)a a ≠∈，则cos 2α的值是 .4. 在△ABC 中，内角A BC 、、所对的边分别为a b c 、、，且2222s i n a b c b c A =+-，则 ∠A = ．5方程3sin cos x x =的解集为 ．6. 若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ．北60°CD第10题图B A7. 若对任意R x ∈，不等式0sin 22sin 2<-+m x x 恒成立，则m 的取值范围是 ．8. 若函数()()sin sin022ωπωω+=>xxf x 的最小正周期为π，则ω=9.“1arcsin3α=”是“1sin 3α=”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10. 如图，机车甲、乙停在A B 、处，且10AB km =．甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12倍，甲沿北偏东60的方向移动，乙沿正北方向移动．若两者同时移动100分钟， 则它们之间的距离为 千米．11. 已知函数2()3sin(2)2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈．（1）化简并求函数()f x 的最小正周期； （2）求使函数()f x 取得最大值的x 集合．12. 如图，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？ABC北45°15°13. 已知函数()13sin 2cos 21,22g x x x x R =-+∈，函数()f x 与函数()g x 的图像关于原点对称 （1）求()y f x =的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间．14. 如图，经过村庄A 有两条夹角60为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来； （2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 （即工厂与村庄的距离AP 最大）？15. 某公园有个池塘，其形状为直角ABC ∆，090C ∠=，AB 的长为2百米，BC 的长为1百米． （1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图（1）， 使得//EF AB ，EF ED ⊥，在DEF ∆内喂食，求当DEF ∆的面积取最大值时EF 的长；（2）若准备建造一个荷塘，分别在AB 、BC 、CA 上取点D E F 、、，如图（2），建造DEF ∆连廊 （不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF ∆为正三角形，记FEC α∠=，求DEF ∆边长的最小值 及此时α的值．（精确到1米和0.1度）A MBPNC A C B BC A FE DF D E16. 设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：（1）角C 的范围；（2）2ac的取值范围．17. 已知函数()()21cos ,3sin cos 2==+f x x g x x x ． （1）若直线=x a 是函数()y f x =图象的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02π≤≤x ，求()()()=+h x f x g x 的值域．18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos a C c A b A +=． （1）求角A 的大小；（2）若3,2a c ==，求ABC ∆的面积．A BC 第 5 次课后作业学生姓名：一、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,3a c A π===，则ABC ∆的面积为 ．二、若0π≤≤x ，则函数sin cos 32ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x 的单调递增区间为三、已知方程1cos 3sin +=+m x x 在],0[π∈x 上有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是________．四、在△ABC 中，“21sin =A ”是“6π=A ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件五、如图，一条东西走向的大江，其河岸A 处有人要渡江到对岸B 处，江面上有一座大桥AC ，已知B 在A 的西南方向，C 在A 的南偏西15︒，10BC =公里.现有两种渡江方案： 方案一：开车从大桥AC 渡江到C 处，然后再到B 处； 方案二：直接坐船从A 处渡江到对岸B 处.若车速为每小时60公里，船速为每小时40公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B 处，应选择哪个方案？说明理由.六、如图所示，某市拟在长为8km 道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>[]()0,4x ∈的图像，且图像的最高点为()3,23S ，赛道的 后一部分为折线段MNP ，且120MNP ∠=．（1）求M 、P 两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP 长度的最大值．七、在△ABC 中，已知12cos 2sin 22=++C BA ，外接圆半径2=R ． （1）求角C 的大小； （2）若角6π=A ，求△ABC 面积的大小.。