4.5相似三角形的性质及其应用(2) 课件
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《相似三角形的性质》PPT课件
而AD和A’D’是△ 和 △ ′ ′ ′ 的对应中线
1
1
2
2
∴ ∠ = ∠ BAC, ∠ ′ ′ = ∠ B’AC’
∴ ∠= ∠ ′ ′
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
01
归纳
相
似
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
∴
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应高的比等于相似比。
01
探究与思考
如图，△∽△^′ ^′ ^′，相似比为，它们中线的比是多少？
解：分别作△ 和 △ ′ ′ ′ 的对应中线AD和A’D’
∵ △ ∽△ ′ ′ ′
02
练一练
1∶3
1.相似三角形对应边的比为1∶3,那么相似比为_________,对
1Байду номын сангаас3
1∶3
应角平分线的比为______.对应高的比为_________.
1∶3
1∶3
对应中线的比为______.对应周长的比为__________.
1∶9
对应面积的比为_________.
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
似
三
角
形
对应周长的比等于相似比
对应面积的比等于相似比的平方
02
练一练
HOMEWORK PRACTICE
1、理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的
比都等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比。
2、理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
1
1
2
2
∴ ∠ = ∠ BAC, ∠ ′ ′ = ∠ B’AC’
∴ ∠= ∠ ′ ′
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
01
归纳
相
似
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
∴
AB
A′B′
=
AD
A′ D′
=k
相似三角形对应高的比等于相似比。
01
探究与思考
如图，△∽△^′ ^′ ^′，相似比为，它们中线的比是多少？
解：分别作△ 和 △ ′ ′ ′ 的对应中线AD和A’D’
∵ △ ∽△ ′ ′ ′
02
练一练
1∶3
1.相似三角形对应边的比为1∶3,那么相似比为_________,对
1Байду номын сангаас3
1∶3
应角平分线的比为______.对应高的比为_________.
1∶3
1∶3
对应中线的比为______.对应周长的比为__________.
1∶9
对应面积的比为_________.
2.把一个三角形变成和它相似的三角形，
似
三
角
形
对应周长的比等于相似比
对应面积的比等于相似比的平方
02
练一练
HOMEWORK PRACTICE
1、理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的
比都等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比。
2、理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形的性质(2)PPT课件
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
学习新知
某施工队在道路拓宽施工时遇 到这样一个问题,马路旁原有一 个面积为100平方米、周长为80 米的三角形绿化地.由于马路的 拓宽,绿地被削去一个角,变成了 一个梯形,原绿化地一边BC的长 由原来的30米变为18米.那么被 削去的部分的面积有多少?你能 解决这个问题吗?
边之间的数量关系,根据相似三 角形的判定定理可得两个三角
形相似,且相似比为1∶2,由相
似三角形的周长比等于相似比、 面积比等于相似比的平方,可得
结论.
解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,
且DE=
1 2
AB,EF=
12BC,DF=
1 2
AC.
∴ DE EF DF， 1
AB BC AC 2
∴△DEF∽△ABC. ∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2,
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有
关角的计算、线段长的计算以及三角形的 周长和面积的计算等,还可以用于证明两 角相等、两条线段相等等.
检测反馈
1.在一张由复印机复印出来的纸上,一个三角
1 BC AD 2
BC AD k 2.
SABC 1 BC AD BC AD
2
(教材86页例2)如图所示,在△ABC中, D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求: (1)△DEF的周长与△ABC的周长之比. (2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.
解析 由三角形的中位线定理
可以得到△DEF三边与△ABC三
形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm,那么
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
学习新知
某施工队在道路拓宽施工时遇 到这样一个问题,马路旁原有一 个面积为100平方米、周长为80 米的三角形绿化地.由于马路的 拓宽,绿地被削去一个角,变成了 一个梯形,原绿化地一边BC的长 由原来的30米变为18米.那么被 削去的部分的面积有多少?你能 解决这个问题吗?
边之间的数量关系,根据相似三 角形的判定定理可得两个三角
形相似,且相似比为1∶2,由相
似三角形的周长比等于相似比、 面积比等于相似比的平方,可得
结论.
解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,
且DE=
1 2
AB,EF=
12BC,DF=
1 2
AC.
∴ DE EF DF， 1
AB BC AC 2
∴△DEF∽△ABC. ∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2,
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有
关角的计算、线段长的计算以及三角形的 周长和面积的计算等,还可以用于证明两 角相等、两条线段相等等.
检测反馈
1.在一张由复印机复印出来的纸上,一个三角
1 BC AD 2
BC AD k 2.
SABC 1 BC AD BC AD
2
(教材86页例2)如图所示,在△ABC中, D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求: (1)△DEF的周长与△ABC的周长之比. (2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.
解析 由三角形的中位线定理
可以得到△DEF三边与△ABC三
形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm,那么
《相似三角形的性质及其应用》课件
在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度.
幻灯片 19
2幻灯片 20
3幻灯片 21
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长 0. 4米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上， 有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶 高0.3米，此时落在地面上影长为4.4米，求旗杆的高度.
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
（2）如果已知BD=3m，DF=1m，小明身高为
1.6m，你能求得路灯杆的高吗？
A
C
F D
B
运用“相似三角形对应边成比例”来解决有关线段的 计算问题的阶梯步骤： 1、根据题目的条件和所要求的问题，找到相应的三角形； 2、根据已知条件和所求，说明哪两个三角形相似； 3、写出比例线段，代入数据求出相应的线段长；
相似三角形的性质及其应用
回顾相似三角形的性质：
1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2 相似三角形的周长之比等于相似比 3 相似三角形的面积之比等于相似比的平方 相似三角形对应边上的高之比，对应边上 中线之比，对应角平分线之比等于相似比
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
解：∵ OA:OC=OB:OD=n
且∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△COD
O
∵ OA:OC=AB:CD=n
又∵CD=b
∵AB=CD ·n = nb
又∵x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2
给我一个支点我可以撬起整个地球！
---阿基米德
4.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，
E
C
G
H
F
B
幻灯片 19
2幻灯片 20
3幻灯片 21
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长 0. 4米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上， 有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶 高0.3米，此时落在地面上影长为4.4米，求旗杆的高度.
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出.
（2）如果已知BD=3m，DF=1m，小明身高为
1.6m，你能求得路灯杆的高吗？
A
C
F D
B
运用“相似三角形对应边成比例”来解决有关线段的 计算问题的阶梯步骤： 1、根据题目的条件和所要求的问题，找到相应的三角形； 2、根据已知条件和所求，说明哪两个三角形相似； 3、写出比例线段，代入数据求出相应的线段长；
相似三角形的性质及其应用
回顾相似三角形的性质：
1 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2 相似三角形的周长之比等于相似比 3 相似三角形的面积之比等于相似比的平方 相似三角形对应边上的高之比，对应边上 中线之比，对应角平分线之比等于相似比
如图. 有一路灯杆AB，小明在灯光下看
到自己的影子DF，那么
解：∵ OA:OC=OB:OD=n
且∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△COD
O
∵ OA:OC=AB:CD=n
又∵CD=b
∵AB=CD ·n = nb
又∵x = ( a － AB )÷2 = ( a － nb )÷2
给我一个支点我可以撬起整个地球！
---阿基米德
4.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，
E
C
G
H
F
B
初中数学相似三角形的性质及其应用(2)PPT课件
相似三角形的性质及其应用（2）
问题1：如图，若图中小正方形的边长为1， △ABC与△A′B′C′的各顶点都 在格点上，思考下列问题：
（1）△ABC与△A′B′C′相似吗？ 若相似，相似比是多少？
（2）△ABC与△A′B′C′的周长之比是多少？ （3）这两个三角形的面积之比是多少？ （4）观察上述结论，你发现了什么？
◆问题2：（书本第144页做一做）
如图1，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B，
AG⊥BC与点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5，
求（1） AG
AF
(2) △ADE与△ABC的周长之比.
A
(3) △ADE与△ABC的面积之比.
E
F
D
B
G
C
图1
变式： 如图2，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点， 若∠ADE=∠C，且S△ADE=S四边形BCDE,则AD 与AC的比应取多少? （即书本第145页例4）
延伸： 若S△ADE：S四边形BCDE=1:3呢？ 若S△ADE：S四边形BCDE=1:n呢？
◆问题3：（书本第144页例3）
◆课内练习:
1.书本第146页作业题5;
பைடு நூலகம்
2.书本第146页作业题6;
3.如图3，在△ABC中，若DE//BC，分别交AB，AC
于点E，D .若S△ABC=18， AD 1
AC 3
，求S△DOE.
问题1：如图，若图中小正方形的边长为1， △ABC与△A′B′C′的各顶点都 在格点上，思考下列问题：
（1）△ABC与△A′B′C′相似吗？ 若相似，相似比是多少？
（2）△ABC与△A′B′C′的周长之比是多少？ （3）这两个三角形的面积之比是多少？ （4）观察上述结论，你发现了什么？
◆问题2：（书本第144页做一做）
如图1，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B，
AG⊥BC与点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5，
求（1） AG
AF
(2) △ADE与△ABC的周长之比.
A
(3) △ADE与△ABC的面积之比.
E
F
D
B
G
C
图1
变式： 如图2，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点， 若∠ADE=∠C，且S△ADE=S四边形BCDE,则AD 与AC的比应取多少? （即书本第145页例4）
延伸： 若S△ADE：S四边形BCDE=1:3呢？ 若S△ADE：S四边形BCDE=1:n呢？
◆问题3：（书本第144页例3）
◆课内练习:
1.书本第146页作业题5;
பைடு நூலகம்
2.书本第146页作业题6;
3.如图3，在△ABC中，若DE//BC，分别交AB，AC
于点E，D .若S△ABC=18， AD 1
AC 3
，求S△DOE.
4.5 相似三角形的性质及其应用第2课时 相似三角形的性质(2)浙教版数学九年级上册课件
三角形相似的 性质（2）
周长比 =相似比 面积比 =相似比的平方
1.填空： （1）如果三角形的边长扩大到原来的100倍，那么三角 形的周长扩大到原来的____1_0_0倍；面积扩大到原来的 ___1_0_0_0倍0 . （2）如果三角形的周长扩大到原来的100倍，那么三角 形的边长扩大到原来的____1_0_0倍. （3）如果三角形的面积扩大到原来的100倍，那么三角 形的边长扩大到原来的_____1_0倍.
3
5
4
10 6
8
相似比
3
5
4
10 6
8
相似三角形的周长和面积有以下性质：
相似三角形的周长之比等于相似比； 相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
A
如图，分别作△ABC，△A′B′C′的BC，
B
B′C′边上的高线AD，A′D′.
∵△ABC∽△A，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， DE∥BC. 如果BC=8 cm，AD:DB=1:3，则△ADE的周长等 于___6___cm，△ADE的面积等于______cm2.
感谢观看！
∵AD，A′D′分别是BC， B′C′边上的高线，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，
B′
DC A′
C′ D′
A B DC
A′
B′
C′
D′
解：（1）在△ABC和△ADE中， ∵∠CAB=∠EAD（公共角）， ∠B=∠ADE（已知）， ∴△ABC∽△ADE.
如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F. 若AD=3，AB=5，求： （2）△ADE与△ABC的周长之比. （3）△ADE与△ABC的面积之比.
4.5 相似三角形的性质及应用
1、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边
BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正
方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶
点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多
少解？：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高
A
AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为
x毫米。
PE N
因为PN∥ABCE ，所以△PANPN∽ △ABC
所以 因此
AD 80–x
=
=，得xxB=C48（毫米）。答：边B长为48Q毫米D。
M
C
80
120
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一 时刻物高与影长的比例〞的原理解决 三、测距的方法
解：由题意得，AB∥PO ∴∠ABC=∠OPQ ∵∠CAB=∠POQ=Rt∠
Q AB C
∴△ABC∽△OPQ
P
AB AC
O
OP OQ
AB AC•OP 1.2 52.67
OQ
2.25
答：AB的长约为2.67m。
小雨把长为米的标杆CD直立在地面上，
量出标杆影长米，标杆影长米
A
方法一：利用阳光下的影子。
C
G
F
H
B D
依据：相似三角形对应高的比等于相似比。
例3 数学兴趣小组测校内一棵树高，有 以下两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树〔AB〕 8M点E处，然后沿着直线BE后退到D， 这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用 皮尺量得，观察者目高；
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2.5
D
C
答：估计三角形地块的周长为970cm，实际面积为41800m2。
如图，E、F分别是AB、AC上的点,EF∥BC，AE:AB=1:3
AH 5E G B 2 F
3cm （1）若BC=9cm,EF=___________
（2）△AEF与△ABC的周长之比
1：3 =_________ （3）△AEF与△ABC的面积之比 C
1 BC AD 2
BC AD = / / / / BC AD
=k×k=k2
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2、两个相似三角形的对应角平分线之比等于相似比.
两个相似三角形的对应中线之比等于相似比.
两个相似三角形的对应高线之比等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比; 相似三角形的面积比等于相似比的平方
三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。
1、已知两个三角形相似，请完成下列表格
相似比 周长比 面积比
2
1 3 1 3
100 100 10000
m m
k k
2
4
1 9
m2
k
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比, 三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍? 答:三角形的边长,周长放大为10倍. 三角形的面积放大为100倍. 三角形的角大小不变.
B 'C ' BC
k
在8×8的正方形网格中，△ABC∽△A/B/C/，探究下面 的问题：
1、两个相似三角形的相似比是多少？ A
AB BC AC = = =2 A B BC A C
2、两个相似三角形的周长比是多少？
CΔ ABC 6+2 5 +4 2 2(3 + 5 + 2 2) = = CΔ A / B/ C/ 3+ 5 +2 2 3+ 5 +2 2
A A′
B′
D′
C′
B
D
C
两个相似三角形的
对应角平分线之比等于相似比.
A' D ' AD
B 'C ' BC
k
A A′
B′
D′
C′
B
D
C
两个相似三角形的对应中线之比等于相似比.
A' D ' AD
B 'C ' BC
k
A
A′
B′
D′
C′
B
D
C
两个相似三角形的对应高线之比等于相似比.
A' D ' AD
例题讲解
如图，D，E分别是AC，AB边上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5。 求： AG A （1） AF ;
（2）△ADE与△ABC的周长比; （3）△ADE与△ABC的面积比。
E F D
B G C
例:如图,是某市部分街道图，比例尺为1：10
解：△ABC的周长=3.4+3.8+2.5=9.7cm 9.7 1 三角形地块的实际周长 10000 ∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm，即970m
D
1：9 =_________
变1:当∠AFE=∠B，AF=2,AB=5时，你能得到哪些结论？
若AD⊥BC于点D,AG⊥EF于点G,求AD:AG的值. 5：2 变2：若EF∥BC，AE:EB=1:2,AD⊥BC于点D,交EF于点H, AD=6cm,求AH的长. 2cm
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边 在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件 的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 AE = PN B AD BC 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米） 80 120
A
P Q E N C
D M
C
在Rt△ ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3， （1）如图1，四边形DEFG为△ ABC 的内接正方形，求正方形的边长。 （2）如图2，三角形内有并排的两 个相等的正方形，它们组成的矩形 内接于△ ABC，求正方形的边长 （3）如图3，三角形内有并排的三 个相等的正方形，它们组成的矩形 内接于△ ABC，求正方形的边长。
SΔ ABC 2 = k 已知:Δ ABC∽Δ A B C ，相似比为k,求证: SΔ A/B/C/
/
/
/
A
证明：作BC、B/C/边上的高AD、A/D/
∵△ABC∽△A/B/C/
B
D A/
/
C
AD AB ∴ / / = / / =k AD AB
∴
B/
C
D/
SΔ ABC = 1 / / SΔ A / B/ C / B C A /D/ 2
∵S△ABC=3.8×2.2÷2=4.18（cm2） 4.18 1 2 （ ） 三角形地块的实际面积 10000 ∴三角形地块的实际面积为 4.18×108cm2，即41800m2 B A
000；请
估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积。
其中测得：AB=3.4cm， BC=3.8cm，AC=2.5cm，高AD=2.2cm
G
F
A
G A D
DC E
H F
B
K E B C
A
B
=2
3、两个相似三角形的面积比是多少？ B
D/ A
C
SΔABC S Δ A /Fra bibliotek /C /1 2 1 2
6 4 3 2
4
4、两个相似三角形的周长之比与相似比 有什么关系？面积之比与相似比有什么 关系？
C/
B/
D
/
验一验： 是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
相似三角形的周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方
∴AB=kA B ，BC=kB C ，AC=kA C
/
/
/
/
/
/
B/
C/
CΔ ABC AB + BC + AC ∴ = / / / / / / CΔ A/B/C/ A B + B C + A C
k(A / B / + B / C / + A / C / ) = =k / / / / / / (A B + B C + A C )
相似三角形的周长比等于相似比; 相似三角形的面积比等于相似比的平方
A
已知:Δ ABC∽Δ A/B/C/，相似比为k, SΔ ABC CΔ ABC 2 = k = k 求证: C SΔ A / B/ C/ ΔA B C
/ / /
证明：∵△ABC∽△A/B/C/且相似比为k
B
A/
C
AB BC AC / / = / / = / / =k AB BC AC