高中数学 第二章 推理与证明单元质量评估 新人教A版选修12 (1)
新人教A版高中数学选修1-2第二章：推理与证明
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．111 1110B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝111 111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456×9＋7＝1 111 111.答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数． 答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．观察下列等式： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34， 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 2.1.2 演绎推理A 级 基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．答案：①三、解答题9．设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两相异实根．(结论)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 故函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. B 级 能力提升1．某人进行了如下的“三段论”：如果f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．你认为以上推理的( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：若f ′(x 0)，则x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故大前提错误．答案：A2．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，则a 的值为________． 解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a ＝0，即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N *)．(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：由已知a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝2－1＝1≠0，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)得a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n .所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. (3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课 时综合法A 级 基础巩固一、选择题1．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题设知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (x )＝1x，得f ′(x )＝－1x2<0，所以f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝bsin B，从而sin A>sin B.因此A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋1a－2(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：因为a >0，b >0且a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时，取等号， 故1a ＋1b≥4. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝________．解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是() A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a ＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C因为CC 1⊥B 1D 1只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ， 只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ①又a ＋d ＝b ＋c∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ②由②－①，得4ad >4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0， 解之得－1<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立，故ax＋cy＝2成立．2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①又a，b，c大于0所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ，又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0， 所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 因此1a≥c ， 又因为1a≠c ， 所以1a>c .。
新人教A版高中数学(选修1-2)第二章《推理与证明小结综合》word教案
第10课时 归纳推理一、知识盘点1．推理的概念：根据 得出一个新结论，这种思维方式叫做推理.推理一般有两个部分组成， .推理一般分为 与 两类. 2．合情推理：所谓的合情推理，就是 ，数学中常见的合情推理是 与 . 3．归纳推理：由某类事物的 具有某种特征，推出该事物的 都具的这种特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳).简而言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理.归纳推理的一般步骤是(1) ； (2) . 二、基础训练1．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ）A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+2．观察一下各式：⋅⋅⋅=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112222，你得到的一般性结论是______________________________________________________.三、例题分析：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。
［变式训练］1、已知111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7(32)2f >，推测当2n ≥时，有__________________________.例2．观察下列两式：①110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 000000=⋅+⋅+⋅ ；②15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan 0=⋅+⋅+⋅.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。
人教A版选修12《第二章推理与证明》质量检测试卷含解析
人教A版选修12《第二章推理与证明》质量检测试卷含解析(时刻：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．依照偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C依照演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，因此4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式差不多上正确的．3．设a，b，c差不多上非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能差不多上正数；②四个数可能差不多上负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，因此第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5差不多上正数， 因此为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式明显成立，因此不等式2＋3>5成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”如此的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知D 成立． 8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，现在为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在如此的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.因此a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2nn ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85能够猜想S n ＝2n n ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，因此x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b2>lg a ＋b2. 答案：m >n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，…， 6＋a b ＝6ab，a ，b 均为正实数，由以上规律可估量出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b＝6ab，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长差不多上a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(专门化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)假如a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证 6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是明显成立的， 因此，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观看并归纳出那个数列的通项公式a n (不要求证明)．解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n， 解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 因此a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角差不多上直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，因此四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 差不多上无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3差不多上无理数，而无理数与无理数之和是无理数，因此2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，那个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，因此不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．21．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2125°＝32，通过观看上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一样性的命题，并给予证明．解：一样形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边．将一样形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32也正确22．(本小题满分12分)依照要求证明下列各题：(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2；(2)用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项．证明：(1)a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤ 2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式明显成立，故原不等式得证．(2)假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，k∈N*)，则数列的公差d＝2－1n－m＝3－1k－m，即2－1＝2(n－m)k－m，因为m，n，k∈N*，因此(n－m)∈Z，(k－m)∈Z，因此2(n－m)k－m为有理数，因此2－1是有理数，这与2－1是无理数相矛盾．故假设不成立，因此1，2，3不可能是一个等差数列的三项．。
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式2abba+≤小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1 几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａnα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程1.一次同余方程2.大衍求一术五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A版选修12
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A 版选修1-2(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·日照高二检测)有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 该推理的形式不符合三段论推理模式，故结论错误． 【答案】 C2．下列推理过程是类比推理的是( )A ．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12B ．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C ．通过检测溶液的pH 值得出溶液的酸碱性D ．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 【解析】 A 为归纳推理，C ，D 均为演绎推理．故选B. 【答案】 B3．求证：3＋7＜2 5.证明：因为3＋7和25都是正数， 所以为了证明3＋7＜25， 只需证明(3＋7)2＜(25)2， 展开得10＋221＜20，即21＜5， 只需证明21＜25. 因为21＜25成立，所以不等式3＋7＜25成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法【解析】 结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．【答案】 B4．如图1所示为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是( )—○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ●—图1A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大【解析】每3个白珠和2个黑珠看作一组，前7组共有35颗珠子，因此第36颗珠子应为白色珠．【答案】 A5．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )A．76 B．80C．86 D．92【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.【答案】 B6．下面所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，α所表示的数是( )11 2 11 3 3 11 4 α 4 11 5 10 10 5 1图2A．2 B．4C．6 D．8【解析】由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故α＝3＋3＝6.【答案】 C7．(2013·大连高二检测)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①由“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②由“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③由“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ④由“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b |”． 以上结论正确的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．②④【解析】 因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b |·|cos〈a ，b 〉|，所以④错误．【答案】 B8．如图3所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 012次互换座位后，小兔所坐的座位号是( )图3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．【答案】 C9．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”． 【答案】 B10．(2013·唐山高二检测)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列式子：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x2＋4x 2≥3，…类比有x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．nC ．n ＋1D ．n －1【解析】 由观察可得：x ＋ax n ＝＋ax n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1an n ＝n ＋1，则a ＝n n .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．(2013·苏州高二检测)对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题“__________________________”，这个类比命题的真假性是____________．【解析】 边类比半平面，角类比二面角可得．【答案】 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 假命题12．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.【解析】 ∵f (x ＋2)＝1f x，∴f (x ＋4)＝1fx ＋2＝f (x )， ∴f (5)＝f (1＋4)＝f (1)＝－5， ∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f 1＝－15. 【答案】 －1513．(2013·马鞍山高二检测)观察以下不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……可归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式1＋122＋132＋…＋1n 2＜f (n )，则不等式右端f (n )的表达式应为________(n ＞1，n ∈N )．【解析】 由所给不等式可知，分子为3,5,7，…；分母为2,3,4，… 寻找规律可知f (n )＝2n －1n.【答案】2n －1n14．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将命题类比到三棱锥中，得到一个类似的命题为__________________________________.【答案】 在三棱锥A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13·(AB →＋AC →＋AD →)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知a ，b 是正有理数，a ，b 是无理数，证明：a ＋b 必为无理数．【证明】 假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a ，b 是正有理数，所以p ＞0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a ，b ，p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．16．(本小题满分12分)如图4，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．图4求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .【证明】 (1)在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP 、AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .17．(本小题满分12分)(2013·广东高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1， 即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5. 因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5. (2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，① 所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1， ②由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)． 因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14， 即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3.又由(1)知a 2＝4a 1＋5，所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2. 综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝12－14n ＋2<12. 18．(本小题满分14分)(2013·宁波高二检测)已知△ABC 的三边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试分别用分析法和综合法证明∠B 为锐角．【证明】 法一(分析法) 要证明∠B 为锐角，只需证cos B ＞0，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以只需证明a 2＋c 2－b 2＞0，即a 2＋c 2＞b 2. 因为a 2＋c 2≥2ac ，所以只需证明2ac ＞b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，所以只需证明b (a ＋c )＞b 2，即只需证明a ＋c ＞b .而a ＋c ＞b 显然成立，所以∠B 为锐角． 法二(综合法) 由题意：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac，则b ＝2aca ＋c，∴b (a ＋c )＝2ac . ∵a ＋c ＞b ， ∴b (a ＋c )＝2ac ＞b 2.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＞0.又∵0＜∠B ＜π，∴0＜∠B ＜π2，即∠B 为锐角．。
人教A版高中数学选修一第二章推理与证明答案.docx
第二章合情推理与演绎推理答案 2.1.1 合情推理与演绎推理(1)1、d n a a n )1(1-+=2、B3、A4、()nn n n )1(1169411+-++-+-+Λ 5、θθθn cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数 4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f 猜测得出1)1()(-=--n n f n f 有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ)2)(1(21)(-+=∴n n n f 因此)2)(1(21)(,5)4(-+==n n n f f8、解：4211223⨯=432212233⨯=+44332122333⨯=++4544321223333⨯=+++()414321223333+=+++++n n Λ由此可以有求和的一般公式为()414321223333+=+++++n n Λ2.1.2合情推理与演绎推理(2)1、C2、D3、D4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,Nq p n m ∈，则q p n ma a a a⋅=⋅8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。
高中数学 第二章 推理与证明单元评估验收卷 新人教A版
【金版学案】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明单元评估验收卷新人教A版选修1-2(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．答案：A2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．下列推理过程属于演绎推理的为( )A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是( )A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除解析：用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x ，y 都不能被7整除”．答案：A5．求证：3＋7<25的证明过程如下： 因为3＋7和25都是正数， 所以为了证明3＋7<25， 只需证明(3＋7)2<(25)2， 展开得10＋221<20，即21<5， 只需证明21<25. 因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法C ．反证法D ．综合法、分析法合用解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法． 答案：B6．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知选项D 正确． 答案：D7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：法一：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选项D 正确．答案：D8．已知对正数a 和b ，有下列命题：①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )A ．2 B.92 C ．4D ．5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92.答案：B9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0.答案：A10．下列不等式中一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1. 答案：C11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A．－cos x＋sin x B．cos x－sin xC．sin x＋cos x D．－sin x－cos x解析：根据题意，f4(x)＝[f3(x)]′＝sin x＋cos x，f5(x)＝[f4(x)]′＝cos x－sin x，f6(x)＝[f5(x)]′＝－sin x－cos x，…，观察知f n(x)的值呈周期性变化，周期为4，所以f100(x)＝f96＋4(x)＝f4(x)＝sin x＋cos x.答案：C12．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，求证：a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，a n满足a21＋a22＋…＋a2n＝n时，你能得到的结论是( )A．a1＋a2＋…＋a n≤2n B．a1＋a2＋…＋a n≤n2C．a1＋a2＋…＋a n≤n D．a1＋a2＋…＋a n≤n解析：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．解析：大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．答案：菱形的对角线互相垂直且平分14．(2014·课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．解析：易知三人同去的城市为A又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B城∴甲去过A城，C城，乙只去过A城．答案：A15．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为________．解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论． 答案：半径为R 的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R 3.16．(2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， ∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列， ∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．解：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝xx ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22 f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n (x >0)．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.证明：由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3，即tan A ＋tan B1－tan A tan B＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B .所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tan A tan B )＋3tan A tan B ＝4. 故原等式成立．19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β. 又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾， 所以必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d .由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . 21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数．(1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab ， 因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立． (2)假设af (b )＝ab ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12， 由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ， 两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ， 即a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾， 故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.22．(本小题满分12分)(2015·陕西卷)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．(1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 则A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高． 由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积V ＝13×S ·A 1O ＝13a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.。
高中数学第一章统计案例第二章推理与证明教材习题本新人教A版选修12
第二章推理与证明1.观察5²-1=24,7²-1=48,11²-1=120,13²-1=168，…所得结果都是24的倍数，继续试验，你能得到什么猜想？2.在数列{an}中，a1=1，an+1=，试猜想这个数列的通项公式4.对于任意正整数n，猜想（2n-1）与（n+1）²的大小关系。
5.在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立，猜想，在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？6.在等差数列{an}中，若a10=0，则有a1+a2+…an=a1+a2+…a10-n（n＜19，且n∈}成立类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9=1，则存在怎样的等式？7.用三段论证明：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,则B= C.1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，满足Sn++2=an（n≥2），计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.2.在学习函数时，我们将它与数类比；在学习数列是，我们将它与函数类比，你在学习过程中还经历过那些类比活动？3.找一个你感兴趣的数学定义，公式或定理，探究它的来源，你也可以通过翻阅书籍，上网查找资料寻求依据。
1.已知A,B都是锐角，且A+B≠，（1+tanA）（1+tanB）=2，求证A+B=45°.2.如图，PD⊥平面ABC，AC=BC,D为AB的中点,求证AB⊥PC3.△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜90°。
1.已知=1，求证3sin2a=-4cos2a.2.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证+=2.1.根据下列图案中圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的，第n个图形中共有多少个圆圈？2.猜想的值3.设f（n）〉0，f（2）=4，并且对于任意，，f（+)=f（）f（)成立，猜想f（n）的表达式。
数学：第二章《推理与证明》测试(2)(新人教A版选修1-2)
高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题一 选择题（5×12=60分）1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（ ）A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 2．“所有9的倍数（M ）都是3的倍数（P ），某奇数（S ）是9的倍数（M ），故某奇数（S ）是3的倍数（P ）.”上述推理是（ ）A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错 3．F （n ）是一个关于自然数n 的命题，若F （k ）（k ∈N ＋）真，则F （k ＋1）真，现已知F （7）不真，则有：①F （8）不真；②F （8）真；③F （6）不真；④F （6）真；⑤F （5）不真；⑥F （5）真.其中真命题是（ ）A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④ 4.下面叙述正确的是（ ）A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
A ．①B ．①②C ．①②③D ．③6．（05·春季上海，15）若a ，b ，c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c ＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件7．（04·全国Ⅳ，理12）设f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）＝12 ，f （x ＋2）＝f （x ）＋f（2），f （5）＝（ ）A ．0B ．1C ．52D ．58．设S （n ）＝1n ＋1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋1n2 ，则（ ）A ．S （n ）共有n 项，当n ＝2时，S （2）＝12 ＋13B ．S （n ）共有n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14C ．S （n ）共有n 2－n 项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋14D ．S （n ）共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S （2）＝12＋13＋149．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x2－y ，若关于x 的不等式（x －a ）⊙（x ＋1－a ）＞0的解集是集合｛x ｜－2≤x ≤2，x ∈R ｝的子集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－2≤a ≤2 B ．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1 D ．1≤a ≤210．已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a 2006＝（ ）A ．2006B ．4C ．14D ．－411．函数f （x ）在［－1，1］上满足f （－x ）＝－f （x ）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f （sin α）＞f （sin β）B ． f （c o s α）＞f （sin β）C ．f （c o s α）＜f （c o s β）D ．f （sin α）＜f （sin β）12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)【很全面】
人教A版高中数学教材目录(必修+选修)必修1第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ) 的图象1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考 斐波那契数列阅读与思考 估计根号下2的值2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和阅读与思考 九连环探究与发现 购房中的数学小结复习参考题第三章 不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 阅读与思考 错在哪儿信息技术应用 用Excel 解线性规划问题举例3.4 基本不等式2ab b a +≤小结复习参考题选修1－1第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1.球面三角形2.三面角3.对顶三角形4.球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1.“边边边”(s.s.s)判定定理2.“边角边”(s.a.s.)判定定理3.“角边角”(a.s.a.)判定定理4.“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1.向量的向量积2.球面上余弦定理的向量证法三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1.平面刚体运动的定义2.平面刚体运动的性质思考题二对称变换1.对称变换的定义2.正多边形的对称变换3.对称变换的合成4.对称变换的性质5.对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1.群的一般概念2.直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告附录一附录二选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换3.伸缩变换4.投影变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式探究与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用nα的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-4 坐标系与参数方程引言第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线学习总结报告选修4-5 不等式选讲引言第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6 初等数论初步引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数论在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7 优选法与试验设计初步引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一、附录二、附录三选修4-9 风险与决策引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告附录。
最新整理高中数学人教A版选修1-2 第二章 推理与证明 学业分层测评3 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·郑州高二检测)下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．【答案】 B2．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n”【解析】由实数运算的知识易得C项正确．【答案】 C3．(2016·大连高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示，图2-1-7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为() A．6n－2B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【答案】 C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【答案】 D5．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是() A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A二、填空题6．把正数排列成如图2-1-8甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图2-1-8乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n＝2 017，则n＝__________.【导学号：19220014】12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16甲12 45 7 910 12 14 16乙图2-1-8【解析】图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有k(k＋1)2个数，由44×44＝1 936,45×45＝2 025知a n＝2 017出现在第45行，第45行第一个数为1 937，第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，所以n＝44(44＋1)2＋41＝1 031.【答案】 1 0317．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.【解析】因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.【答案】2πr48．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为________．【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{a n}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.【答案】a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9三、解答题9．已知数列8×112×32，8×232×52，…，8×n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算S 1，S 2，S 3，S 4，观察计算结果，并归纳出S n 的公式．【解】 S 1＝8×112×32＝89＝32－132＝(2×1＋1)2－1(2×1＋1)2， S 2＝89＋8×232×52＝2425＝52－152＝(2×2＋1)2－1(2×2＋1)2， S 3＝2425＋8×352×72＝4849＝72－172＝(2×3＋1)2－1(2×3＋1)2， S 4＝4849＋8×472×92＝8081＝92－192＝(2×4＋1)2－1(2×4＋1)2， 由此归纳猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2. 10．(2016·咸阳高二检测)在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】 类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a .证明：设M 是正四面体P -ABC 内任一点，M 到平面ABC ，平面P AB ，平面P AC ，平面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P -ABC ＝V M -ABC ＋V M -P AB ＋V M -P AC ＋V M -PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，而S △ABC ＝34a 2，V P -ABC ＝212a 3，故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝63a (定值)．[能力提升]1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝11 111；12 345×9＋6＝111 111；A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.【答案】 B2．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C3．(2016·温州高二检测)如图2-1-9所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_________________________．【导学号：19220015】图2-1-9【解析】 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．【答案】 1＋524．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 检测 含解析
第二章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.2.已知f(x+1)=2f(x)f(x)+2,f(1)=1(f∈N*),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)=42x+2B.f(f)=2x+1C.f(x)=1x+1D.f(f)=22x+1x=1时,f(2)=2f(1)f(1)+2=23=22+1;当x=2时,f(3)=2f(2)f(2)+2=24=23+1;当x=3时,f(4)=2f(3)f(3)+2=25=24+1,故可猜想f(x)=2x+1,应选B.3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去,那么第2 018次互换座位后,小兔坐在()号座位上.A.1B.2C.3D.44次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 018=4×504+2,所以第2 018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.4.已知x ∈(0,+∞),不等式x +1x≥2,x +4x2≥3,x +27x 3≥4,…,可推广为x +a x n≥n+1,则a 的值为( )A .2nB .n 2C .22(n-1)D .n n第一个不等式中a=11,第二个不等式中a=22,第三个不等式中a=33,∴第n 个不等式中a=n n .5.若△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形(0°,180°)内是正值,所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.由于△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,因此△A 2B 2C 2不可能为直角三角形,故假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形,并设cos A 1=sin A 2,则cos A 1=cos(90°-A 2), 所以A 1=90°-A 2.同理设cos B 1=sin B 2,cos C 1=sin C 2, 则有B 1=90°-B 2,C 1=90°-C 2. 又A 1+B 1+C 1=180°,则(90°-A 2)+(90°-B 2)+(90°-C 2)=180°, 即A 2+B 2+C 2=90°.这与三角形内角和等于180°矛盾, 所以原假设不成立.故选D .6.观察下列各式:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则a 10+b 10等于( ) A.28 B.76C.123D.199法:a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4=3+1,a 4+b 4=4+3=7,a 5+b 5=7+4=11,a 6+b 6=11+7=18,a 7+b 7=18+11=29,a 8+b 8=29+18=47,a 9+b 9=47+29=76,a 10+b 10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7 23=3+5 33=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于()A.10B.11C.12D.13×6=36,m2=1+3+5+…+11=1+112∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29.又n3的分解中最小的正整数是21,∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.8.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n(n∈N*)的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33.归纳猜想S n=n3.故选B.9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378,第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项,第n个三角形数为a n=n(n+1)2D(1 378不是平方数),将选项A,B,C代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,f C12+f D12+f A12+f B12等于()A.2(AB2+AD2+f A12)B.3(ff2+ff2+f A12)C.4(AB2+AD2+f A12)D.4(ff2+ff2),连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+f C12=2(f A12+ff2).连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,故f D12+f B12=2(f B12+ff2).又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),f A12=f B12,则f C12+f D12+f A12+f B12=2(f A12+ff2)+2(f B12+ff2)=2(ff2+ff2+f B12+f A12) =2[2(ff2+ff2)+2f A12]=4(ff2+ff2+f A12).故选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.12.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).f(x)=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,又由a+b>0可得a>-b,∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.13.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AEEB =ACBC,把这个结论类比到空间:在三棱锥f−fff中(如图所示),平面fff平分二面角f−ff−f,且与ff相交于f,则类比后得到的结论是.CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角A-CD-B,∴ACBC可类比成S△ACDS△BCD.故结论为AEEB=S△ACDS△BCD.14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于.:(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.15.把数列{12n-1}的所有项按照从大到小的原则写成如下数表:11 31 51 7191111131 15117119…129…第k行有2k-1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(6,10)=.5行共有20+21+22+23+24=31个数,A(6,10)为数列的第41项.∵a n=12n-1,∴f41=181.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1−12sin 30°=1−14=34.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =sin2α+3cos2f+√3sin αcos α+1sin2f−√3sin αcos α−1sin2f=34sin2f+34cos2f=34.同解法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)2−sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=12−12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)−√32sin αcos α−12sin2α=12−12cos 2α+12+14cos 2α+√34sin 2α−√34sin 2α−14(1−cos 2α)=1−14cos 2α−14+14cos 2α=34.17.(8分)已知函数f(x)=a x+x-2x+1(f>1).(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.(1)小题,可用定义法证明;对第(2)小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个实数,且x1<x2.∵a>1,∴a x1<a x2.∴a x2−a x1>0.又x1+1>0,x2+1>0,∴x2-2x2+1−x1-2x1+1=(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1) (x1+1)(x2+1)=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1)>0.于是f(x2)-f(x1)=a x2−a x1+x2-2x2+1−x1-2x1+1>0,故函数f(x)在(-1,+∞)内为增函数. (2)假设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则a x0=−x0-2x0+1,且0<a x0<1,于是0<−x0-2x0+1<1,即12<f0<2.这与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证:ta n(x+π4)=1+tanx1-tanx.(2)设x∈R,a为非零常数,且f(x+a)=1+f(x)1-f(x),试问f(f)是周期函数吗?证明你的结论.ta n(x+π4)=tanx+tanπ41-tanx·tanπ4=tanx+11-tanx,即ta n(x+π4)=1+tanx1-tanx,命题得证.f(x)是以4a为周期的周期函数.证明过程如下:∵f(x+2a)=f[(x+a)+a]=1+f(x+a)1-f(x+a)=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=−1f(x),∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=−1f(x+2a)=f(f).∴f(x)是以4a为周期的周期函数.故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a<e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系;(2)证明你的结论.a=2,b=1可知a b>b a,又当a=1,b=12时,a b>b a,由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.a b>b a对一切0<b<a<e成立,需证ln a b>ln b a,需证b ln a>a ln b,需证lnaa >lnbb.设函数f(x)=lnxx,f∈(0,e),f'(x)=1-lnxx2,当x∈(0,e)时,f'(x)>0恒成立.所以f(x)=lnxx在(0,e)内单调递增,所以f(a)>f(b),即lnaa >lnbb,所以a b>b a.20.(10分)已知数列{a n}和{b n}满足:a1=λ,a n+1=23ff+f−4,ff=(−1)f(ff−3f+21),其中f为常数,f为正整数.(1)求证:对任意实数λ,数列{a n}不是等比数列;(2)求证:当λ≠-18时,数列{b n}是等比数列;(3)设S n为数列{b n}的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12?若存在,求实数λ的范围;若不存在,请说明理由.,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.λ,使得数列{a n }是等比数列,则有a 22=f 1f 3.又因为a 2=23f 1−3=23f −3,f 3=23f 2−2=49f −4,所以(23λ-3)2=f (49λ-4),即49f 2−4f +9=49f 2−4f , 则9=0,这是不可能的. 所以假设不成立,原结论成立.故对任意实数λ,数列{a n }不是等比数列.λ≠-18,所以b 1=-(λ+18)≠0.又b n+1=(-1)n+1[a n+1-3(n+1)+21] =(-1)n+1(23a n -2n +14) =−23(−1)f (ff −3f +21) =−23ff , 所以b n ≠0, 所以b n+1b n =−23(f ∈N *).故当λ≠-18时,数列{b n }是以-(λ+18)为首项,−23为公比的等比数列.λ≠-18时,由(2)得b n =-(λ+18)·(-23)n -1,所以S n =−35(f +18)[1-(-23)n].(∗)当λ=-18时,b n =0,从而S n =0,(*)式仍成立. 要使对任意正整数n ,都有S n >-12,即−35(f +18)[1-(-23)n]>−12,解得λ<201-(-23)n−18.令f (n )=1−(-23)n ,则当n 为正奇数时,1<f (n )≤53;当n 为正偶数时,59≤f (n )<1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)=5 3 ,所以λ<20×35−18=−6.综上所述,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有S n>-12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。
[最新]人教版数学高中选修【1-2】第二章《推理与证明》章末检测及答案
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c －1
a＋b＋ b
c －
1
a＋ bc＋c－1
＝b＋a c·a＋b
c a＋b ·c
＝ b＋c
c·2 ac·2 abc
ab＝8(当且仅当
a＝b＝c 时取等号 )，所以不等
式成立．
证法二： (分析法 )
要证 a1－1 1b－1 1c－1 ≥8 成立，
1－a 1－ b 1－c 只需证 a · b · c ≥8 成立．
答案 ：B
9．若 Sn＝sinπ7＋sin27π＋…＋ sinn7π(n∈N*)，则在 S1，S2，…， S100 中，正数的个数是 ( )
A．16 个 B． 72 个 C．86 个 D．100 个
分析 ：本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题． 解决 此类问题需要找到规律， 从题目出发可以看出每隔 13 或 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力．
的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到
一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D ．①③⑤
答案 ：D
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ()
A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角
SBC 于点 H1，则 DH 1∥AH ，且 S， H1， H 三点共线．
1
11
∵ VS－ DEF ＝ VD－SEF ＝ 3S△SEF·DH 1＝ 3× 2·SE·SF·sin∠ ESF ·DH 1＝
1
1
1
6 b1c1·DH 1·sin∠ESF ， VS － ABC ＝ VA － SBC ＝ 3 S△SBC·AH ＝ 6
高中数学第二章推理与证明章末综合检测新人教A版选修12
【优化方案】 高中数学 第二章 推理与证明章末综合检测 新人教A版选修1-2(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的)1．(2021·天津和平区高二期中)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与所证结论矛盾；④与定义、定理、公理、轨则矛盾；⑤与事实矛盾．A ．①③④⑤B ．①②④⑤C ．①②③⑤D ．①②③④解析：选B.矛盾是可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、轨则、事实矛盾等，故选B.2．(2021·天津耀华中学高二期中)“因为指数函数y ＝ax 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝(13)x 是增函数(结论)”． 上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A.因为函数y ＝ax 的增减性受a 影响，当a>1时，函数y ＝ax 为增函数，而0<a<1时，函数y ＝ax 为减函数，故大前提错．3．(2021·成都高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一排：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)…，则第66个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(11,1)解析：选D.由条件可知，“整数对”中，两数字和为2的1个“整数对”，和为3的两个，和为4的3个，和为5的4个，由n n ＋12＝66，得n ＝11，又n ＝10时， 10×10＋12＝55，又66－55＝11， 所以第66个整数对应为(11,1)．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面________”．( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.5．(2021·台州高二检测)用反证法证明“方程ax2＋bx ＋c ＝0(a≠0)至多有两个解”的假设中，正确的是( )A ．至多有一个解B ．有且只有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解解析：选C.“至多n 个”的反设应为“至少n ＋1个”，故选C.6．(2021·泛博附中高二期中)某演绎推理的“三段”分化如下．①(250－1)不能被2整除②一切奇数都不能被2整除③(250－1)是奇数按照演绎推理的三段论模式排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①解析：选D.按照三段论的模式，大前提→小前提→结论．故选D.7．(2021·襄阳高二检测)已知x>0，由不等式x ＋1x ≥ 2 x·1x ＝2，x ＋4x2＝x 2＋x 2＋4x2≥ 3 3x 2·x 2·4x2＝3，…，可以推出结论：x ＋a xn≥n ＋1(n ∈N*)，则a ＝( ) A ．2n B ．3nC ．n2D ．nn解析：选D.由两个不等式的结构特点知，x ＋a xn ＝x n ＋x n ＋…＋x n n 个＋a xn≥ (n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a xn ＝(n ＋1)n ＋1a nn＝n ＋1. 所以a ＝nn.8．(2021·遵义高二检测)对于直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，定义运算P1⊗P2＝(x1，y1)⊗(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，x1y2＋x2y1)，若M 是与原点相异的点，且M ⊗(1,1)＝N ，则∠MON ＝( )A.34πB.π4C.π2D.π3解析：选B.设M(x0，y0)且x0≠0，y0≠0，由M ⊗(1,1)＝N ，得N(x0－y0，x0＋y0)，所以cos ∠MON ＝OM →·ON →|OM →||ON →|＝x20＋y20x20＋y20·x0－y02＋x0＋y02＝22，所以∠MON ＝π4. 9．(2021·济宁高二期中)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{an}的前n 项和为Sn ，由an ＝2n －1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断Sn ＝n2B ．由f(x)＝xcos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀x ∈R 都成立，推断f(x)＝xcos x 为奇函数C ．由圆x2＋y2＝r2的面积S ＝πr2推断：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积S ＝πab D ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断对一切正整数n ，(n ＋1)2>2n 解析：选A.A 正确．B 是利用定义推出f(x)＝xcos x 是奇函数．C 是类比推理，D 是归纳推理，但不正确．10．已知f(x)＝x3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b>0，a ＋c>0，b ＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )A ．必然大于零B ．必然等于零C ．必然小于零D ．正负都有可能解析：选A.因为f(x)＝x3＋x 为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a ＋b>0时，a>－b ，有f(a)>f(－b)＝－f(b)．a ＋c>0时，c>－a ，有f(c)>f(－a)＝－f(a)，b ＋c>0时，b>－c ，有f(b)>f(－c)＝－f(c)，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>－f(a)－f(b)－f(c)，从而f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y>2，则x ，y 中至少有一个大于1.在用反证法证明时，假设应为________．答案：x ，y 均不大于1(或x≤1且y≤1)12．(2021·高考陕西卷)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[n －1)2－n2]＝－n n ＋12. 当n 为奇数时，(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n2＝－n n －12＋n2＝n n ＋12. 综上，第n 个等式为：12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n2＝－1n ＋12n(n ＋1)． 答案：12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n2＝－1n ＋12n(n ＋1)13．已知等差数列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010 ＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{bn}中．会有类似的结论________． 解析：由等比数列性质可知 b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2...b30. 答案：10b11b12 (20)30b1b2…b30 14．已知a 、b 、c 、m ∈R ，且满足a<a －b ＋mb m <b<b ＋2c －mc 3－m<c ，则m 的取值范围为________． 解析：∵a<a －b ＋mb m <b<b ＋2c －mc 3－m<c ， ∴b －am －1m >0且b －c m －23－m>0， b －c 3－m<0. ∵a<b<c ，∴b －a>0，b －c<0.∴m －1m >0，m －23－m <0，13－m>0. ∴m<0或1<m<2，∴m 的取值范围为(－∞，0)∪(1,2)．答案：(－∞，0)∪(1,2)15．给出下列不等式：①a>b>0，且a2＋b24＝1，则ab>a2b2； ②a ，b ∈R ，且ab<0，则a2＋b2ab≤－2； ③a>b>0，m>0，则a ＋m b ＋m >a b； ④⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4(x≠0)． 其中正确不等式的序号为________．解析：①a>b>0，所以a≠b 2， 所以a2＋b24＝1>2a2·b24＝ab ， 所以1－ab>0，所以ab －a2b2＝ab(1－ab)>0，所以ab>a2b2正确．②a2＋b2ab ＋2＝a ＋b 2ab， 因为ab<0，(a ＋b)2≥0，所以a2＋b2ab ≤－2，②正确； ③a ＋m b ＋m －a b ＝b －a m b b ＋m， 因为a>b>0，m>0，所以b(b ＋m)>0，b －a<0，所以b －a m b b ＋m<0， 所以a ＋m b ＋m <a b，③不正确． ④⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x|＋4|x|≥4，④正确． 答案：①②④三、解答题(本大题5小题，每小题10分，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．用反证法证明：若a>b>0，则a> b.证明：假设a 不大于b ，即a ≤b ，即a<b 或a ＝b ，∵a>0，b>0，且a<b ，∴(a)2<(b)2，∴a<b.又由a ＝b ，得a ＝b.这些都与已知条件a>b>0矛盾，∴a> b.17．某少数民族的刺绣有着悠长的历史，下图①、②、③、④为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越大度，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系式，并按照你获得的关系式求f(n)的表达式．解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4.由上式规律得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，……f(n －1)－f(n －2)＝4(n －2)，f(n)－f(n －1)＝4(n －1)，∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n －2)＋(n －1)]＝2n(n －1)，∴f(n)＝2n2－2n ＋1.18．用分析法证明：若a>0，则 a2＋1a2－2≥a ＋1a －2. 证明：要证 a2＋1a2－2≥a ＋1a －2， 只需证 a2＋1a2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a>0，所以两边均大于零，因此只需证 ( a2＋1a2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2， 只需证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋2＋1a2＋2＋ 22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只需证 a2＋1a2≥22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只需证a2＋1a2≥12⎝⎛⎭⎫a2＋1a2＋2， 即证a2＋1a2≥2， 它显然成立，所以原不等式成立．19．(2021·泰州高二期中)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．(1)请用tan x 暗示tan(x ＋π4)．并写出函数y ＝tan(x ＋π4)的最小正周期． (2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f(x ＋2a)＝1＋f x 1－f x. 试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)tan(x ＋π4)＝tan x ＋tan π41－tan xtan π4＝1＋tan x 1－tan x ， 所以函数y ＝tan(x ＋π4)的最小正周期为π. (2)f(x)是以8a 为一个周期的周期函数．因为f(x ＋4a)＝f(x ＋2a ＋2a)＝1＋f x ＋2a 1－f x ＋2a ＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x 1－f x＝－1f x ， 所以f(x ＋8a)＝f(x ＋4a ＋4a)＝－1f x ＋4a＝－1－1f x＝f(x)． 所以f(x)是周期函数，其中一个周期为8a.20．已知{an}是等差数列，其前n 项和为Sn ，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式．(2)记Tn ＝anb1＋an －1b2＋…＋a1bn ，n ∈N*，证明Tn ＋12＝－2an ＋10bn(n ∈N*)． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d ，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d ，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q3＝27，8＋6d －2q3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以an ＝3n －1，bn ＝2n ，n ∈N*.(2)证明：由(1)得Tn ＝2an ＋22an －1＋23an －2＋…＋2na1，①2Tn ＝22an ＋23an －1＋…＋2na2＋2n ＋1a1.②由②－①，得Tn ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝121－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10，而－2an ＋10bn －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故Tn ＋12＝－2an ＋10bn ，n ∈N*.。
人教A版高中数学选修高二新课程第二章推理与证明质量评估新
章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()．A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案 D2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则当n＝2时，f(n)是()．A．1＋12 B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1，分子是1，分母为1,2,3，…，2n＋1，故当n＝2时，f(2)＝1＋12＋…＋12×2＋1＝1＋12＋13＋14＋15.答案 C3．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()．A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析三段论中的大前提，小前提及推理形式都是正确的．答案 A4．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()．A.3a＝3b B.3a<3bC.3a＝3b，且3a<3b D.3a＝3b或3a<3b答案 D5．下面几种推理是合情推理的是( )． ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④D ．②④解析 ①是类比，②④是归纳推理． 答案 C6．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立． 判断以上评述( )． A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确解析 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没用假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B. 答案 B7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中的白色地面砖有( )． A ．4n －2块B ．4n ＋2块C．3n＋3块D．3n－3块解析法一第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．法二验n＝1时，A、D选项不为6，排除．验n＝2时，C选项不为10，排除．故选B.答案 B8．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()．A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2kC．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k解析5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.答案 B9．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①②③D．③解析类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合．答案 B10．设P＝1log211＋1log311＋1log411＋1log511，则()．A．0<P<1 B．1<P<2C．2<P<3 D．3<P<4解析P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120,1＝log1111<log11120<log11121＝2，即1<P<2.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：当n ≥2时，有________．解析 左边为n 项和：1＋122＋132＋…＋1n 2，右边为分式，易知n ≥2时为2n －1n . 答案 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n12．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.解析 由类比推理，以球心为顶点，四个面分别为底，将四面体分割为4个棱锥，得证．答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12( AB →＋AC →)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为___________________________．答案 在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13·(AB →＋AC →＋AD →) 14．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为__________，由此猜想S n ＝________. 解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列， 得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32， 同理分别令n ＝2，n ＝3， 可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121， S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32，74，158 2n－12n －1三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤)15．(10分)在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∵B >A ≥60°，C >A ≥60°，∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°. 16．(10分)设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果． 解 当n ＝1,2,3,4时， 计算得原式的值分别为： S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝n n ＋1.证明 ∵11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 17．(10分)先解答(1)，再通过类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论． (1)证明 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋tan x 1－tan x；(2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数．18．(12分)若a 1>0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…，)(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ； (3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值．(1)证明 (采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0,1.从而a n ＝a n －1＝……＝a 1＝0,1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， ∴假设错误． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)解 a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)证明 因为a n ＋1＋p a n ＋1＝(2＋p )a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n ·q ，所以(2＋p －2q )a n＋p (1－2q )＝0，因为上式是关于变量a n 的恒等式， 故可解得q ＝12、p ＝－1.19．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k b k ＋1＋b k ＋1 ＝b k 1－4a 2k(2a k＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1. ∴n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．。
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教A版选修12
高中数学第二章推理与证明本章整合新人教A版选修1-2知识网络专题探究专题一合情推理和演绎推理的应用1．合情推理的应用归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，它在科学研究或数学学习中有着重要的作用，有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论，或预测答案、探索解题思路等；类比推理是由特殊到特殊的推理，它以比较为基础，有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等．合情推理的结论不一定正确，有待于演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．【例1】设f(x)＝12x＋2，利用推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法，求f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．分析：本题要求利用类比推理的方法，即与倒序相加法相类比．在等差数列求和中，我们采用倒序相加法的依据是等差数列的性质：a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…，因而本题可以采用类比方法解决．解：由已知可得f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12＝22.设S＝f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．又S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－3)＋f(－4)＋f(－5)，∴2S＝12[f(－5)＋f(6)]＝12×22＝62，∴S＝3 2.【例2】如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．解析：设第n 层共有a n 个点，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＋1＝a n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝6＋(n －2)×6＝6n －6(n ≥2，n ∈N *)，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋n －1[6＋6n －6]2＝3n 2－3n ＋1，故这个点阵共有3n 2－3n ＋1个点．答案：3n 2－3n ＋1 2．演绎推理的应用演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，其在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取的．【例3】已知定义在R 上的函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (a ＜b ＜c )在x ＝1时取得极值，且y ＝f (x )的图象上有一点处的切线的斜率为－a .(1)求证：0≤ba＜1；(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，求证：－2＜s ＜t ≤1.提示：充分利用函数与其导数之间的关系，以及二次方程根的分布情况，将条件转化为a ，b ，c 的关系来解决问题．证明：(1)由f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，得f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .又函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，故f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0. 又a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0.∵y ＝f (x )的图象上有一点处的切线的斜率为－a ， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－a 有实数根．∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )≥0，即b 2－4a (a －a －b )≥0， 整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋4·b a ≥0，解得b a ≥0或b a≤－4.又由a ＋b ＋c ＝0，b ＜c ，得b ＜－a －b ，∴b a ＞－12.再由a ＜b 且a ＜0，得ba ＜1.综上可得0≤b a＜1.(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间(s ，t )上恒非负．∵a＜0，c＞0，∴Δ＝b2－4ac＞0，故方程f′(x)＝0必有两个不相等的实数根．设为x1，x2，且x1＜x2.∵二次函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴的方程为x＝－b2a ，由(1)，得－b2a≤0，而f′(1)＝0，故x2＝1.又f′(－2)＝4a－2b＋c＝4a－2b－a－b＝3(a－b)＜0，∴x1＞－2.若f′(x)在区间(s，t)上恒非负，则有x1≤s＜t≤x2，即－2＜s＜t≤1.专题二直接证明和间接证明1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但这两种证明方法的思路截然相反．分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，在解题中综合法和分析法的联合运用，能转换解题思路，增加解题途径．【例4】试用多种方法推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.提示：这是一道三角不等式的证明题，可考虑分别使用比较法、综合法、分析法等证明方法进行证明．证法一：(作差比较法)：2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α－sin α1－cos α＝sin α4cos α－4cos2α－11－cos α＝－sin α2cos α－121－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin α1－cos α≤0，即2sin 2α≤sin α1－cos α.证法二：(分析法)：要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·41－cos α＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．证法三：(综合法)：∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·41－cos α＝4.当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.2．反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题．反证法反映了“正难则反”的证明思想，它是从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．【例5】已知a 3＋b 3＝2，求证a ＋b ≤2.分析：对于条件较少的题目，可假设结论不成立，通过假设推出矛盾，进而得出原命题成立．证法一：假设a ＋b ＞2，那么a ＞2－b ， 所以a 3＞(2－b )3＝8－12b ＋6b 2－b 3， 即a 3＋b 3＞8－12b ＋6b 2.因为a 3＋b 3＝2，所以8－12b ＋6b 2＜2，化简得b2－2b＋1＜0，即(b－1)2＜0，这与(b－1)2≥0矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.证法二：假设a＋b＞2，则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞2(a2－ab＋b2)．因为a3＋b3＝2，所以2＞2(a2－ab＋b2)，即a2－ab＋b2＜1，所以1＋ab＞a2＋b2≥2ab，从而ab＜1，所以a2＋b2＜1＋ab＜2，故(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＜2ab＋2＜4，即－2＜a＋b＜2，这与假设a＋b＞2矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.。
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"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明单元质量评估新人教A版选修1-2 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列推理过程属于演绎推理的为( )A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验B.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,…得出1+3+5+…+(2n-1)=n2C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D.通项公式形如a n=cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列,则数列{-2n}为等比数列【解析】选D.因为老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,故A中推理为类比推理;因为由1=12,1+3=22,1+3+5=32,…得出1+3+5+…+(2n-1)=n2,是由特殊到一般,故B中推理为归纳推理;因为由三角形性质得到四面体的性质有相似之处,故C中推理为类比推理;因为由通项公式形如a n=cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列(大前提),数列{-2n}满足这种形式(小前提),则数列{-2n}为等比数列(结论),可得D中推理为演绎推理.2.(2014·石家庄高二检测)下列推理是归纳推理的是( )A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和S n,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.3.(2014·广州高二检测)四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上,第1次前后排动物互换位置,第2次左右列互换座位,…,这样交替进行下去,那么第2014次互换座位后,小兔的位置对应的是( )A.编号1B.编号2C.编号3D.编号4【解析】选C.交换4次是一个周期,第2014次小兔的位置和第2次小兔的位置一样.4.(2014·太原高二检测)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且法向量为n=(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得x-2y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A(1,2,3),且法向量为m=(-1,-2,1)的平面的方程为( )A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0【解析】选A.类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0,即x+2y-z-2=0.5.(2014·济宁高二检测)用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b∈R)”,其反设正确的是( )A.a,b至少有一个不为0B.a,b至少有一个为0C.a,b全不为0D.a,b中只有一个为0【解析】选A.因为用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b∈R)”,其反设正确的是a,b至少有一个不为0,选A.6.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖的块数是( )A.4n+2B.4n-2C.2n+4D.3n+3【解析】选A.方法一:(归纳猜想法)观察可知:除第一个以外,每增加一个黑色地面砖,相应的白色地面砖就增加四个,因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项,公差是4的等差数列的第n项”.故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+2.方法二:(特殊值代入排除法)由图可知,当n=1时,a1=6,可排除B.当n=2时,a2=10,可排除C,D.故答案为A.7.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,f n(x)=f n-1′(x),n∈N,则f2013(x)=( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选C.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=c osx=f1(x),f6(x)=(cosx)′=-sinx=f2(x),故可猜测f n(x)以4为周期,有f4n+1(x)=f1(x)=cosx,f4n+2(x)=f2(x)=-sinx,f4n+3(x)=f3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f4(x)=sinx,所以f2013(x)=f503×4+1(x)=f1(x)=cosx,故选C.8.(2013·江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )A.28B.76C.123D.199【解析】选C.由于a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,通过观察发现,从第三个等式起,等号右边的常数分别为其前两个等式等号右边的常数的和.因此,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,故选C.9.下列不等式中一定成立的是( )A.lg>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2(x∈R)D.>1(x∈R)【解析】选C.A项中,因为x2+≥x,所以lg≥lgx;B项中sinx+≥2只有在sinx>0时才成立;C项中由不等式a2+b2≥2ab可知成立;D项中因为x2+1≥1,所以0<≤1.10.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为a n,则+++…+=( )A. B.C. D.【解析】选B.因为由所给的图形可得,三角形的每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点被重复计算了一次,故第n个图形的点数为3n-3,即a n=3n-3,故===-,利用裂项求和可知+++…+=+++…+,除了首项1和末项-,中间项都消去了,故结果为1-=.11.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( )A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8【解析】选A.在等差数列{a n}中,由于4+6=3+7时有a4·a6>a3·a7,所以在等比数列{b n}中,由于4+8=5+7,所以应有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7.因为b4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7,所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).因为q>1,b n>0,所以b4+b8>b5+b7.【变式训练】平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )A.n+1B.2nC. D.n2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.12.(2014·潍坊高二检测)记集合T={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},M=,将M中的元素按从大到小排列,则第2014个数是( )A.+++B.+++C.+++D.+++【解析】选A.因为+++=(a1×103+a2×102+a3×101+a4),括号内表示的10进制数,其最大值为9999,从大到小排列,第2014个数为9999-2014+1=7986,所以a1=7,a2=9,a3=8,a4=6.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014·大连高二检测)现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为.【解析】平面内类比到空间=.答案:14.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=S3=12,则a n= .【解析】根据题意a6=S3=12,3a2=12,a2=4,a6=12,所以4d=8,d=2,所以a n=a6+2(n-6)=2n,故可知数列a n=2n.答案:2n15.(2014·苏州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B不为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系Oxyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不为0)表示. 【解析】首先,Ax+By=0表示一条直线.Ax+By+C=0中的C=0说明截距为0,即当y=0时,解得x=0,所以当然过原点.同理,Ax+By+Cz=0,当z=0时,Ax+By=0,它是平面xOy中的一条过原点的直线,所以Ax+By+Cz=0是过原点的一个平面,故答案为过原点的平面.答案:过原点的平面16.在算式“4×△+1×〇=30”中的△,〇中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最小,则这两个数构成的数对(△,〇)应为.【解析】设数对为(a,b),则4a+b=30,所以+=(4a+b)=≥,仅当时等号成立,即答案:(5,10)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知n≥0,试用分析法证明:-<-.【证明】要证上式成立,需证+<2.需证(+)2<(2)2,需证n+1>,需证(n+1)2>n2+2n,需证n2+2n+1>n2+2n,只需证1>0.因为1>0显然成立,所以原命题成立.18.(12分)已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数.【证明】假设a,b,c,d都是非负实数,因为a+b=c+d=1,所以a,b,c,d∈[0,1],所以ac≤≤,bd≤≤,所以ac+bd≤+=1,这与已知ac+bd>1相矛盾,所以原假设不成立,即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.19.(12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证:CC1⊥MN.(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.【解析】(1)因为PM⊥BB1,PN⊥BB1,又PM∩PN=P,所以BB1⊥平面PMN.所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1,所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有=+-2cosα.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.证明如下:因为CC1⊥平面PMN,所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中,因为PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP,所以PM2·C=PN2·C+MN2·C-2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP,由于=PN·CC1,=MN·CC1,=PM·BB1=PM·CC1,所以=+-2··cosα.20.(12分)(1)已知:a,b,x均是正数,且a>b,求证:1<<.(2)当a,b,x均是正数,且a<b时,对真分数,给出类似上小题的结论,并予以证明.(3)证明:△ABC中,++<2.(可直接应用第(1),(2)小题结论)(4)自己设计一道可直接应用第(1),(2)小题结论的不等式证明题,不要求写出证明过程.【解析】(1)因为a+x>b+x>0,所以1<,又-=<0,所以1<<.(2)因为a<b,所以>1,应用第(1)小题结论,得1<<,取倒数,得<<1.(3)由正弦定理,原题△ABC中,求证:++<2.证明:由(2)的结论得a,b,c>0,且,,均小于1,所以<,<,<,++<++=2.(4)如得出:四边形ABCD中,各边长分别为a,b,c,d,求证:+++<2.如得出:凸n边形A1A2A3…A n中,各边长依次为a1,a2,…,a n,求证:++…+<2.如得出:{a n}为各项为正数的等差数列(d≠0),求证:++…+<++…+.21.(12分)设函数f(x)=,a,b为正实数,(1)用分析法证明:f+f≤.(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于.【证明】(1)欲证f+f≤,即证+≤,只要证≤.因为a,b为正实数,只要证3(a2+b2+4ab)≤2(2a2+2b2+5ab),即a2+b2≥2ab,因为a2+b2≥2ab显然成立,故原不等式成立.(2)假设af(b)=≤,bf(a)=≤,由于a,b为正实数,所以2+b≥2a,2+a≥2b,两式相加得:4+a+b≥2a+2b,即a+b≤4,与条件a+b>4矛盾,故af(b),bf(a)中至少有一个大于.【变式训练】已知f=ax3+3x2-x+1,a∈R.(1)若f的曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直,求a的值及切线方程.(2)若对任意x∈R不等式f′≤4x恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′=3ax2+6x-1,因为曲线在x=1处的切线与直线y=x+1垂直,所以f′=3a+5=-1⇒a=-2,此时切点为(1,1),切线方程为x+y-2=0.(2)因为对任意x∈R不等式f′≤4x恒成立,所以3ax2+2x-1≤0恒成立,所以⇒a≤-.22.(12分)已知:0<b<a<e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想a b与b a的大小关系.(2)证明你的结论.【解析】(1)取a=2,b=1可知:a b>b a,又当a=1,b=时,a b>b a,由此猜测a b>b a对一切0<b<a<e成立.(2)要证a b>b a对一切0<b<a<e成立,需证lna b>lnb a,需证blna>alnb,需证>,设函数f(x)=,x∈(0,e),f′(x)=,当x∈(0,e)时,f′(x)>0恒成立. 所以f(x)=在(0,e)上单调递增,所以f(a)>f(b),即>,所以a b>b a.。