2021年高考数学一轮复习第十一章算法初步推理与证明复数分层限时跟踪练
高考数学一轮复习 第11章 算法初步、复数、推理与证明 第1讲 算法初步课件
12/11/2021
考点 2 算法语句的格式及框图 1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
12/11/2021
2．条件语句的格式及框图 (1)IF－THEN 格式 (2)IF－THEN－ELSE 格式
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3．循环语句的格式及框图 (1)UNTIL 语句
解析 开始：k＝0，s＝1； 第一次循环：k＝1，s＝2； 第二次循环：k＝2，s＝32； 第三次循环：k＝3，s＝53，此时不满足循环条件，输出 s， 故输出的 s 值为53.故选 C.
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3．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶 算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若 输入的 x＝2，n＝2，依次输入的 a 为 2,2,5，则输出的 s＝( )
12/11/2021
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( × ) (2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条 件结构和循环结构．( √ ) (3)算法可以无限操作下去. ( × ) (4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出 口是有效的. ( √ )
A．5 B．4 C．3 D．2
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解析 假设 N＝2，程序执行过程如下： t＝1，M＝100，S＝0， 1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－11000＝－10，t＝2， 2≤2，S＝100－10＝90，M＝－－1010＝1，t＝3， 3＞2，输出 S＝90＜91.符合题意． ∴N＝2 成立．显然 2 是最小值．故选 D.
为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算 σ 的算法 流程图如图所示(其中 x 是这 7 场比赛的平均得分)，求输出 的 σ 的值．
2021年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.4直接证明与间接证明课后作业文
2021年高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.4直接证明与间接证明课后作业文一、选择题1．(xx·无锡质检)已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)，∴1m ＋1＋m<1m ＋m －1，即a <b .故选B.2．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析 由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，∴y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y中至少有一个不小于2.故选C.3．若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的“因”应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C 解析b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C.4．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 答案 B解析 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b .∵5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，即其最小值为9，当且仅当a ＝b 时，等号成立． ∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负 答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.故选A.6．设a，b，c为△ABC的三边，则( )A．a2＋b2＋c2>a＋b＋cB．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋acC．a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ac)D．a2＋b2＋c2>2(ab＋bc＋ac)答案C解析c2＝a2＋b2－2ab cos C，b2＝a2＋c2－2ac cos B，a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)－2(ab cos C＋ac cos B＋bc cos A)．∴a2＋b2＋c2＝2(ab cos C＋ac cos B＋bc cos A)<2(ab＋bc＋ac)．故选C.7．若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( ) A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案D解析由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，且△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，则A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．因此假设不成立，故△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.8．(xx·昌平区二模)四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，共比赛6场． 每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．即每场比赛若不平局，则共产生3×6＝18分，每场比赛都平局，则共产生2×6＝12分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2,3,4,5或3,4,5,6.如果是3,4,5,6，则每场产生3＋4＋5＋66＝3分，没有平局产生，但是不可能产生4,5分，与题意矛盾，舍去． 因此各队得分分别为：2,3,4,5.第一名得分5：5＝3＋1＋1，为一胜两平； 第二名得分4：4＝3＋1＋0，为一胜一平一负； 第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平； 第四名得分2：2＝1＋1＋0，为两平一负． 则所有比赛中最多可能出现的平局场数是4. 故选C. 二、填空题9．(xx·南昌一模)设无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A .则四个无穷数列：①{(－1)n×2}；②{n }；③⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋1n .其极限为2的共有________个．答案 2解析 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即2 不是数列{(－1)n ×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12－2＝22n <ε，得n >1－log2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数 N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1的极限；对于④，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2n ＋1n －2＝1n<ε，得n >1ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋1n的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④.10．已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S 100＝41，T 100＝49，设c n ＝a n T n＋b n S n －a n b n (n ∈N *)．那么数列{c n }的前100项和为________．答案 xx解析 ∵a n ＝S n －S n －1，b n ＝T n －T n －1， 则c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n ＝S n T n －S n －1T n －1， ∴c 100＝S 100T 100－S 99T 99，c 99＝S 99T 99－S 98T 98，…c 2＝S 2T 2－S 1T 1， c 1＝S 1T 1.∴数列{c n }的前100项和为S 100T 100＝41×49＝xx.11．设a >1，n ∈N *，若不等式na －1<a －1n恒成立，则n 的最小值为________． 答案 2解析 n ＝1时，结论不成立．n ＝2时，不等式为a －1<a －12，即2a －2<a －1， ∴(a －1)2>0， ∵a >1，则a 有意义， ∴不等式恒成立．12．设非等腰△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c，则A ，B ，C 的关系是________．答案 2B ＝A ＋C解析 ∵1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c， ∴a ＋c －2b a －bc －b ＝3a －b ＋c，即b 2＝a 2＋c 2－ac ，则有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝60°，∴A ，B ，C 的关系是成等差数列，即2B ＝A ＋C . 三、解答题13．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．证明 (1)因为f (x )＝a x＋x －2x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1(a >1)，而函数y ＝a x(a >1)和函数y ＝－3x ＋1在(－1，＋∞)上都是增函数． 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设函数f (x )＝0有负根x 0，即存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝2－x 0x 0＋1.又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾． 故f (x )＝0没有负根．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2. (1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3nS n －n ＋1(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n <6.证明 (1)因为S n ＝a n ＋1＋n －2，所以当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3， 两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1.设c n ＝a n －1，代入上式， 得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1， 即c n ＋1＝2c n (n ≥2)．又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝3.所以c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，即c 2＝2c 1.综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q ＝2.所以a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.(2)由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，即S n －n ＋1＝2n ，所以b n ＝3n2n .所以T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n －1＋b n ＝32＋622＋ (3)2n ，①2×①，得2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1，②②－①，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n2n＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n2n ＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n2n ＝6－3n ＋62n .因为3n ＋62n >0，所以T n ＝6－3n ＋62n <6.15．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b＋lg c .证明 证法一：(分析法)lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ⇐lg⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ⇐a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc . 因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以显然有a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，原不等式得证．证法二：(综合法)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，即a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立．上式两边同取常用对数，得lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ，即lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .。
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.1算法与程序框图课后作业文(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.1 算法与程序框图课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.1 算法与程序框图课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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11．1 算法与程序框图[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案B解析当输入n＝3时，输出S＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＝错误!.故选B。
2．(2015·全国卷Ⅱ）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18,则输出的a＝( )A．0 B．2 C．4 D．14答案B解析开始：a＝14,b＝18，第一次循环:a＝14，b＝4；第二次循环：a ＝10，b＝4；第三次循环:a＝6,b＝4;第四次循环：a＝2，b＝4;第五次循环：a＝2，b＝2.此时,a＝b，退出循环，输出a＝2.故选B。
3．(2018·江西赣州十四县联考)如图所示的程序框图，若输入x，k，b，p的值分别为1，－2,9,3,则输出的x值为（)A．－29B．－5C．7D．19答案D解析程序执行过程如下：n＝1,x＝－2×1＋9＝7；n＝2，x＝－2×7＋9＝－5；n＝3，x＝－2×（－5）＋9＝19；n＝4>3，终止循环，输出x＝19。
(通用版)版高考数学一轮复习第十一章算法初步、推理与证明、复数分层限时跟踪练59【含答案】
分层限时跟踪练(五十九)(限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·山东高考)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i【解析】 由已知得z ＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ，故选A. 【答案】 A2．给出下列命题，其中正确的命题是( ) A ．若z ∈C ，且z 2＜0，那么z 一定是纯虚数 B ．当a ≠0时，b ≠0时，a ＋b i 一定是虚数 C ．若z ∈R ，则z ·z ＝|z |不成立 D.4－3i1－2i的虚部为－1 【解析】 当z 是一个复数时，若z 2能够与实数比较大小， 则z 2是一个实数，则z 一定是一个纯虚数，故A 正确；当a 是不为0的实数，b 为纯虚数时，a ＋b i 为实数，故B 不正确； 当z ＝1时，选项C 不正确， 4－3i1－2i＝－＋－＋＝10＋5i 5＝2＋i ，其虚部为1.故D 不正确．故选A. 【答案】 A3．(2015·东北二模)i 为虚数单位，复数z ＝i 2 012＋i2 015在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 i2 012＝i503×4＝1，i2 015＝i503×4＋3＝－i ，∴复数z ＝1－i 在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限．【答案】 D4．已知f (x )＝x 3－1，则复数f2－i的虚部为( )A.15 B ．－15 C.35 D ．－35 【解析】 ∵f (i)＝i 3－1＝－i －1，∴f2－i＝－i －12－i ＝－i －＋－＋＝－1－3i 5，其虚部为－35. 【答案】 D5．(2015·南昌二模)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1【解析】 ∵z ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ，∴(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，∴|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝10.【答案】 A 二、填空题6．(2015·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －27．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M 、N ，若点P 为线段MN 的中点，则点P对应的复数是________．【解析】 ∵11＋i ＝1－i 2，11－i ＝1＋i 2，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，而P 是MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，故点P 对应的复数为12.【答案】 128．(2015·重庆高考)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 【解析】 ∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 【答案】 3 三、解答题9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.10．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解】 如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C .∵AB →＝OB →－OA →，∴AB →所对应的复数为z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i ， 在正方形ABCD 中，DC →＝AB →， ∴DC →所对应的复数为－3－i ， 又DC →＝OC →－OD →，∴OD →＝OC →－DC →所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ， ∴第四个顶点对应的复数为2－i.[能 力 练]扫盲区 提素能1．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题． 【答案】 D2．(2015·河南调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7【解析】 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.【答案】 C3．(2015·江苏高考)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为______． 【解析】 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5， ∴|z |＝ 5. 【答案】54．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为______． 【解析】∵|z －2| ＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 【答案】35．复数z 1＝3a ＋5＋(a 2－10)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 【解】 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.6．已知复数z ，且|z |＝2，求|z －i|的最大值，以及取得最大值时的z . 【解】 法一 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∵|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4， |z －i|＝|x ＋y i －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋y －12＝4－y2＋y －12＝5－2y .∵y 2＝4－x 2≤4，∴－2≤y ≤2.故当y ＝－2时，5－2y 取最大值9，从而5－2y 取最大值3，此时x ＝0，即|z －i|取最大值3时，z ＝－2i.法二类比实数绝对值的几何意义，可知方程|z |＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z －i|表示圆上的点到点A (0,1)的距离．如图，连接AO 并延长与圆交于点B (0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B 到A 的距离最大，最大值为3，即当z ＝－2i 时，|z －i|取最大值3.。
高考数学一轮复习第十一章算法初步推理与证明复数分层限时跟踪练58
分层限时跟踪练(五十八)(限时40分钟)[基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【解析】 “至少有一个实根”等价于“实根的个数大于或等于1”，因此其否定为“没有实根”．【答案】 A2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0 【解析】b 2－ac ＜3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.【答案】 C3．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 【解析】 因为y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，故y x ＋y z，z x ＋z y ，x z ＋x y中至少有一个不小于2. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 【解析】 ∵a ＋b 2≥ab ，2ab a ＋b ＝21a ＋1b ≤221ab＝ab ， ∴a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ＞0，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C . 【答案】 A5．(2015·怀化模拟)数列{a n }共有5项，其中a 1＝0，a 5＝2，且|a i ＋1－a i |＝1，i ＝1,2,3,4，则满足条件的不同数列的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设b i ＝a i ＋1－a i ，i ＝1,2,3,4，则b i 等于1或－1，由a 5＝(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝b 4＋b 3＋b 2＋b 1知b i (i ＝1,2,3,4)共有3个1,1个－1，共满足条件的不同数列有4个．【答案】 B二、填空题6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为________________．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的含义是a ，b ，c 中只有一个是偶数，其否定应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数7．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．【解析】 法一：(取特殊值法)取a ＝2，b ＝1，得m <n .法二：(分析法)a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．【答案】 m <n8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为______________．【解析】 由题意得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n .故c n 随n 的增大而减少，所以c n >c n ＋1.【答案】 c n >c n ＋1三、解答题9．已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式ab＋ba≥a＋b.【证明】要证原不等式成立只需证：a a＋b b≥ab(a＋b)，即只需证(a)3＋(b)3≥ab(a＋b)，只需证(a＋b)(a－ab＋b)≥ab(a＋b)，只需证a－ab＋b≥ab，即(a－b)2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证．10．已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．【解】(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面SBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.[能力练]扫盲区提素能1．(2015·开原模拟)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2， 这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．【答案】 D2．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 (1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3， f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7，f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1)得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4，f (4,1)＝2f (3,1)＝8，f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18，则f (5,6)＝26.【答案】 A3．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C 3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， 所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 【答案】 3324．对于30个互异的实数，可以排成m 行n 列的矩形数阵，如图1131所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一．x 1 x 2 · · · x 6y 1 y 2 · · · y 6· · · · · ·· · · · · ·z 1 z 2 · · · z 6图1131将30个互异的实数排成m 行n 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为a 1，a 2，…，a m ，并设其中最小的数为a ；把每列中最小的数选出，记为b 1，b 2，…，b n ，并设其中最大的数为b .两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：①a 和b 必相等；②a 和b 可能相等；③a 可能大于b ；④b 可能大于a .以上四个结论中，正确结论的序号是________(请写出所有正确结论的序号)．【解析】 不防假设m 行n 列的矩形数阵为题图所示的5行6列矩形数阵，则由题意知a 的最小值为6，最大值为30，而b 的最小值为6，最大值为26，且在同一个5行6列的矩形数阵中，一定有a ≥b .故②③正确，而①④不正确．【答案】 ②③5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.【解】 (1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， ∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0， 由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴1a≥c ，又∵1a ≠c ， ∴1a >c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a， 即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.6．(2015·南昌模拟)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1) 设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值； (2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3.(2)假如函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ h a ＝b ，h b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾，故不存在．。
2021届高考数学一轮温习 推理与证明、算法初步、复数专题训练(1)
推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模： 复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2.(2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．专门地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一样是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领会好[例1] (1)(2021·安徽高考)设i 是虚数单位，假设复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，那么a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2021·陕西高考)设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2 B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2 C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] (1)因为a －103－i ＝a －103＋i3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的概念，知a －3＝0，因此a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D (2)D1与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m i m ≠0，利用复数相等去运算较简便.2在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，用待定系数法求解.3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：1±i2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，那么|(1－z )·z |＝( ) B ．2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，那么z 2z＝1＋i 21－i＝2i 1－i＝2i 1＋i 1－i1＋i＝－1＋i ，那么复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢 (1)类比推理的一样步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一样步骤：①通过观看个别事物发觉某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题．一样情形下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推行的一样性结论也就越靠得住．二、经典例题领会好[例2] (2021·陕西高考)观看以劣等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析] 12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1n n＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n n＋12合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先依照已知的部份个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一样结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理进程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×...×2n . 答案：2n ×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)关于命题：假设O 是线段AB 上一点，那么有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，那么有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：假设O 是四面体ABCD 内一点，那么有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，一般是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：假设O 为四面体ABCD 内一点，那么有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0程序框图一、经典例题领会好[例3] (2021·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若是输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，现在不知足k >10；当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，现在不知足k >10；当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，现在不知足k >10； 当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，现在不知足k >10 ； ……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，现在知足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！. [答案] B1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.2利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，若是程序运行的结果为S ＝132，那么判定框中可填入( ) A ．k ≤10 B ．k ≥10 C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次积存的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S＝132，k＝10.若是现在输出结果，那么判定框中的k的最大值是10.(2)假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是( ) A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，专门体此刻算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，要紧表此刻算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领会好[例] (2021·四川高考节选)某算法的程序框图如下图，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697乙的频数统计表(部份)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，依照表中的数据，别离写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望． (1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式 概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与1比较 结论．(3)学审题 条件―→确信y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出散布列―→期望值． [解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率 甲1 0272 1003762 1006972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同窗所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127， 故ξ的散布列为因此，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.此题要紧考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的散布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方式解决实际问题的能力，考查数据处置能力、应用意识和创新意识.解答此题的易错点为：一是错读程序框图使此题在求解第一步时就显现错误，二是处置频数散布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如下图的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)假设点M ，N ，K 别离是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，依照艺术品加工需要，工程师必需求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如下图，那么运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ， ∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2021·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，应选B.2．(2021·福建质检)执行如下图的程序框图，假设输入的x 值为2，那么输出的x 值为( ) A ．3 B ．126C ．127D ．128解析：选C 假设输入的x ＝2，那么x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，因此输出的x 值为127. 3．(2021·郑州质量预测)假设复数z ＝2－i ，那么z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋102＋i2－i2＋i＝6＋3i.4．(2021·江西高考)阅读如下程序框图，若是输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 ＝2*i －1C ．S ＝2*i ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知现在应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (现在S =10＜10不成立).假设填S ＝2*i ＋4，那么在第二次循环中就跳出循环．应选C. 5．(2021·河南洛阳模拟)执行如下图的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，那么能输出数对(x ，y )的概率为( )解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．假设数列{a n }是等差数列，那么数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，那么d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 假设{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；假设{c n }是等比数列，那么c 1·c 2·…·c n＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q 12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，应选D.7．已知复数z ＝1－i ，那么z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i8．(2021·山东高考)执行下面的程序框图，假设输入的ε的值为，那么输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，现在输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2021·福建质检)观看以劣等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……那么当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1知足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2021·郑州质量预测)每一年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)依照抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并依照你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)假设小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率散布估量整体散布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的散布列．解：(1)茎叶图如下图：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为；④甲种树苗的高度大体上是对称的，而且大多数集中在均值周围，乙种树苗的高度散布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越良莠不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗取得“良种树苗”的概率为12，那么X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，因此随机变量X 的散布列为12．(2021·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右极点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的极点时，判定四边形OABC 是不是可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右极点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，因此AC 与OB 彼此垂直平分． 因此可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.因此菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的极点，且直线AC 只是原点，因此可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2.因此AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，因此直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，因此AC 与OB 不垂直．因此四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．因此当点B 不是W 的极点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
2021版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4直接证
2021版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4直接证11．4 直接证明与间接证明[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2021·无锡质检)已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( )A．a>b C．a＝b 答案 B解析∵a＝m＋1－m＝1B．am＋m－1>0(m>1)，∴1m＋1＋m0，则三个数＋，＋，＋( ) A．都大于2C．至少有一个不小于2 答案 CB．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于2yyzzxxxzxyzyyyzzxx?yx??zx??yz?解析由于＋＋＋＋＋＝?＋?＋?＋?＋?＋?≥2＋2＋2＝6，xzxyzy?xy??xz??zy?∴＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C.3．若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b－ac0 C．(a－b)(a－c)>0 答案 C 解析B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.故选C. 21m4．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于( ) ab2a＋bA．10 B．9 C．8 D．7 答案 B解析∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.?21??ba?∴不等式可化为m≤?＋?(2a＋b)＝5＋2?＋?.?ab??ab?1??∵5＋2?＋?≥5＋4＝9，即其最小值为9，当且仅当a＝b时，等号成立．∴m≤9，即m的最大值等于9.故选B.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)a＋b＋c B．a＋b ＋c>ab＋bc＋ac C．a＋b＋c2(ab＋bc＋ac) 答案 C解析 c＝a＋b－2abcosC，b＝a＋c－2accosB，222222222222222222ba?ab?a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a＋b＋c＝2(a＋b＋c)－2(abcosC＋accosB＋bccosA)．∴a＋b＋c＝2(abcosC＋accosB＋bccosA)N时，恒有|an－A|<ε成立，就称数列{an}的极限为A.则四??2n＋1?1111?n?.其极限为2个无穷数列：①{(－1)×2}；②{n}；③?1＋＋2＋3＋…＋n－1?；④?2222???n?的共有________个．答案 2解析对于①，|an－2|＝|(－1)×2－2|＝2×|(－1)－1|，当n是偶数时，|an －2|＝0，当n是奇数时，|an－2|＝4，所以不符合数列{an}的极限的定义，即2 不是数列{(－1)×2}的极限；对于②，由|an－2|＝|n－2|<ε，得2－ε<n<2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无nnn 3。
(通用版)高考数学一轮复习第十一章算法初步、推理与证明、复数分层限时跟踪练57
分层限时跟踪练(五十七)(限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确【解析】 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确． 【答案】 C2．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，…，依此规律，那么S 10等于( )A ．210B ．230C ．220D ．240 【解析】 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数， ∴S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10， S 3＝[9]＋[10]＋…＋[15]＝3×7＝21…，S n ＝[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n (2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210. 【答案】 A3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S1S2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V1V2＝( )A.18B.19C.164D.127【解析】 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V1V2＝127.【答案】 D4. (2015·上海模拟)如图1123所示，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )图1123A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6n －12×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．【答案】 C5．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a ，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( )A.63aB.64aC.33a D.34a 【解析】 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积，设点到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，每个面的面积为34a 2，正四面体的体积为212a 3， 则有13×34a 2(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝212a 3，得h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . 【答案】 A 二、填空题6．(2015·枣庄模拟)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在凸四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，…，依此类推，在凸n 边形A 1A 2…A n 中，不等式1A1＋1A2＋…＋1An≥____________成立．【解析】 ∵1A ＋1B ＋1C ≥9π＝32π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π＝422π，1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π＝523π，…，∴1A1＋1A2＋…＋1An ≥n2n －2π(n ∈N *，n ≥3)． 【答案】n2n －2π(n ∈N *，n ≥3)7．在平面几何中：△ABC 中∠C 的平分线CE 分AB 所成的线段的比为AC BC ＝AEBE (如图1124(1))．把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图1124(2))，面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则类比得到的结论是______________．图1124【解析】 由平面中线段的类比空间中面积的比可得AE EB ＝S△ACD S△BCD. 【答案】AE EB ＝S△ACD S△BCD8．(2015·陕西高考)观察下列等式 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为______________． 【解析】 等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 【答案】 1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2n三、解答题 9．观察下表： 1， 2,3， 4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15， …问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 016是第几行的第几个数？【解】 (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n， ∴第n 行的最后一个数是2n－1. (2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n －1＋2n －1·2n－12＝3·22n －3－2n －2.(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024＜2 016＜2 048， ∴2 016在第11行，该行第1个数是210＝1 024，由2 016－1 024＋1＝993，知2 016是第11行的第993个数．10．(2015·沈阳二模)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出类似的性质．【解】 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x2a2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )、(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b2a2m 2－b2.同理，y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)． [能 力 练]扫盲区 提素能1．(2015·南昌模拟)如图1125所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．图1125若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n .用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )A ．S 0＝mS1＋nS2m ＋nB ．S 0＝nS1＋mS2m ＋nC.S0＝m S1＋n S2m ＋nD.S0＝n S1＋m S2m ＋n【解析】 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是S0＝m S1＋n S2m ＋n.【答案】 C2．(2015·杭州模拟)设f 为实系数三次多项式函数．已知五个方程式的相异实根个数如下表所述：f (x )－20＝0 1 f (x )＋10＝0 1 f (x )－10＝03f (x )＋20＝01f (x )＝0 3关于f 的极小值α，试问下列选项中正确的是( ) A ．0<α<10 B ．－20<α<－10 C ．－10<α<0D ．α不存在【解析】 f (x )分别向上向下平移10个单位和20个单位分别得到f (x )＋10，f (x )＋20，f (x )－10，f (x )－20，由题意可近似画出f (x )的草图，由图可知f (x )极小值α∈(－10,0)．【答案】 C3．(2015·长沙一模)如图1126所示，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA →围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则sin θ6＋cos θ6＝________.图1126【解析】 从题图可得，向量OA →转了6个60°的角，6个120°的角，∴θ＝6×60°＋6×120°＝1 080°，所以sin θ6＋cos θ6＝sin 180°＋cos 180°＝－1.【答案】 －14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________．【解析】 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有nn ＋12个“整数对”，注意到10×10＋12<60<11×11＋12，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】(5,7)5．(2015·陕西第二次质量检测)如图1127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，E 为棱CC1的中点．图1127(1)求证：B1D⊥AE；(2)求证：AC∥平面B1DE.【证明】(1)如图，连接BD，则BD∥B1D1.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF，则FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.∵E，F分别是CC1，BB1的中点，∴EF═∥BC.又BC═∥AD，∴EF═∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED.∵AF ⊄平面B 1DE ，ED ⊂平面B 1DE ， ∴AF ∥平面B 1DE .∵AF ∩CF ＝F ，∴平面ACF ∥平面B 1DE . 又AC ⊂平面ACF ，∴AC ∥平面B 1DE .6．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】如图所示，由射影定理，得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2BD·BC·DC·BC ＝BC2AB2·AC2.又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.。
2021高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入分层演练文202109
2021高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入分层演练文20210910112一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5iD ．7＋5i解析：选C ．(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i ，故选C ．2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1－2i (a ∈R )是纯虚数，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选D ．因为a ＋5i 1－2i ＝a ＋5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a ＋－10＋5i5＝a －2＋i 是纯虚数，因此a ＝2．故选D ．3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．因为z ＝1＋i ，因此2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋2i ＋i 2＝2（1－i ）2＋2i ＝1＋i ，因此该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A ．4．(2020·福建基地综合测试)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D ．x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，因此x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为2－i 故选D ．5．(2020·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A ．2－12 B ．2－1 C ．1 D ．2＋12解析：选A ．由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A ． 6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )A ．－7B ．7C ．－4D ．4解析：选A ．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 因此－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 因此a ＋b ＝－7，故选A ． 二、填空题7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________．解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，因此z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，因此4t ＋3＝0，因此t ＝－34．答案：－348．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，因此z ＝1－2i ． 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6．答案：69．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________． 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，因此|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2． 答案：210．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5．答案：－5 三、解答题 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →、BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)B 点对应的复数．解：(1)AO →＝－OA →，因此AO →所表示的复数为－3－2i ． 因为BC →＝AO →，因此BC →所表示的复数为－3－2i ．(2)CA →＝OA →－OC →，因此CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ． (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，因此OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i ．12．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．如此的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：如此的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ． 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i ． 因为z ＋5z 是实数，因此b －5ba 2＋b 2＝0．又因为b ≠0，因此a 2＋b 2＝5．① 又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 因此a ＋3＋b ＝0．② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．。
高考数学一轮复习第十一章算法初步推理与证明复数分层限时跟踪练56word版本
分层限时跟踪练(五十六)(限时40分钟)[基础练]扣教材练双基一、选择题1．(2015·石门模拟)运行如图11111所示程序框图，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是( )图11111A．0 B．1C．2 D．－1【解析】∵log23>log32，即a>b，故M＝a×b＋1＝log23×log32＋1＝2.【答案】 C2．(2015·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )图11112A．－10 B．6C．14 D．18【解析】S＝20，i＝1，i＝2i＝2，S＝S－i＝20－2＝18，不满足i>5；i＝2i＝4，S＝S－i＝18－4＝14，不满足i>5；i＝2i＝8，S＝S－i＝14－8＝6，满足i>5，故输出S＝6.【答案】 B3．(2015·甘肃模拟)阅读如图11113所示的程序框图，若输入的n＝10，则该算法的功能是( )图11113A．计算数列{2n－1}的前11项和B．计算数列{2n－1}的前10项和C．计算数列{2n－1}的前11项和D．计算数列{2n－1}的前10项和【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S＝0，i＝0；执行S＝1＋2×0＝1，i＝0＋1＝1；判断i>10不成立，执行S＝1＋2×1＝1＋2，i＝1＋1＝2；判断i>10不成立，执行S＝1＋2×(1＋2)＝1＋2＋22，i＝2＋1＝3，…，判断i>10不成立，执行S＝1＋2＋22＋…＋29＋210，i＝10＋1＝11；判断i>10成立，输出S＝1＋2＋22＋…＋29＋210，算法结束．故该算法的功能是计算数列{2n－1}的前11项和．故选A.【答案】 A4．(2015·菏泽二模)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋n，若利用如图11114所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是( )图11114A．n≤8? B．n≤9?C．n≤10? D．n≤11?【解析】n＝1，满足条件，执行循环体，S＝1＋1＝2，n＝2，满足条件，执行循环体，S＝1＋1＋2＝4，n＝3，满足条件，执行循环体，S＝1＋1＋2＋3＝7，…，n＝10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B.【答案】 B5．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )图11115A．0 B．2C．4 D．14【解析】a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2，故选B. 【答案】 B 二、填空题6．若f (x )＝a x(a >0，a ≠1)，定义由如图11116所示框图表述的运算(函数f －1(x )是函数f (x )的反函数)，若输入x ＝－2时，输出y ＝14，则输入x ＝18时，输出y ＝________.图11116【解析】 ∵f (x )＝a x ，∴f －1(x )＝log a x . ∵x ＝－2≤0，∴a －2＝14，∴a ＝2，∴f －1(x )＝log 2x .∵x ＝18>0，∴y ＝log 218＝－3.【答案】 －37．执行如图11117所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．图11117【解析】 当i ＝2，k ＝1时，s ＝1×(1×2)＝2； 当i ＝4，k ＝2时，s ＝12×(2×4)＝4；当i ＝6，k ＝3时，s ＝13×(4×6)＝8；当i ＝8时，i <n 不成立，输出s ＝8. 【答案】 88．如图11118，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是__________．图11118【解析】 根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环，i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16；…；第1 008次循环，i ＝2 016，S ＝12＋14＋16＋…＋12 016.此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016？.【答案】 i ≤2 016? 三、解答题9．任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三条边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图．【解】 算法如下：第一步，输入3个正实数a ，b ，c .第二步，判断a ＋b >c ，b ＋c >a ，c ＋a >b 是否同时成立．若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形．程序框图：10．给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36.要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的算法程序框图．【解】程序框图如下：[能力练]扫盲区提素能1．(2015·河西区二模)某程序框图如图11119所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )图11119A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7【解析】 由已知可得该程序的功能是计算并输出s ＝1＋11×2＋…＋1＋＝1＋1－1a ＋1＝2－1a ＋1.若该程序运行后输出的值是95，则2－1a ＋1＝95， ∴a ＝4，故选A. 【答案】 A2．如图11120所示，已知函数g (x )是由算法中的函数f (x )变换得到的，若输入f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，则函数g (x )的单调递增区间是( )图11120A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π4，k π2，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4，k ∈Z 【解析】 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，∴f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π2，f (x )＋f (－x )≠0，故g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，令2k π－π2≤2x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－2π3≤x ≤k π－π6(k ∈Z )．【答案】 C3．(2015·徐汇区二模)执行如图11121所示的程序框图，输出的结果a ＝________.图11121【解析】 模拟执行程序框图，可得a ＝3，i ＝1，满足条件i <2 017，a ＝－12，i ＝2，满足条件i <2 017，a ＝23，i ＝3，满足条件i <2 017，a ＝3，i ＝4， 满足条件i <2 017，a ＝－12，i ＝5，…观察规律可知，a 的取值以3为周期，由2 016＝672×3，可得当i ＝2 016时，满足条件i <2 017，a ＝3，i ＝2 017，不满足条件i <2 017，退出循环，输出a 的值为3. 【答案】 34．已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD(n ，m )，其结果为n 除以m 的余数，例如MOD(8,3)＝2.如图11122是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为________．图11122【解析】 模拟执行程序框图，可得：n ＝25，i ＝2， MOD(25,2)＝1，不满足条件MOD(25,2)＝0，i ＝3；MOD(25,3)＝1，不满足条件MOD(25,3)＝0，i ＝4； MOD(25,4)＝1，不满足条件MOD(25,4)＝0，i ＝5； MOD(25,5)＝0，满足条件，退出循环，输出i 的值为5. 【答案】 55．已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.试求数列{a n }的通项公式．图11123【解】 由程序框图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d .S i ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1aiai ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1ai －1ai ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1－1ai ＋1. 当k ＝5时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1－1a61d ＝5a1a6＝511. ∴a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11.①当k ＝10时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1－1a111d ＝10a1a11＝1021，∴a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①，②联立，得a 1＝1，d ＝2(a n ＞0)， 因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.6.如图11124所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从B 点开始由左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x (0≤x ≤7)，左边部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图．图11124【解】 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H.∵四边形ABCD 是等腰梯形，底角是45°，AB ＝2 2 cm ， ∴BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，∴AD ＝GH ＝3 cm ，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x2 ，2x －，－12－＋程序框图如下：。
2021高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第2讲算法与程序框图分层演练文
2021高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第2讲算法与程序框图分层演练文一、选择题1．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选D ．执行该程序可知⎩⎪⎨⎪⎧x2－1>3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8，x ≤22，即8<x ≤22，因此输入x 的最大值是22．2．(2020·新疆第二次适应性检测)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C ．依题意，结合题中的程序框图，注意到sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＝3＋32＜3，sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＝32＋3＞3，因此输出的n 的值为5，选C ．3．(2020·太原模拟)执行如图所示的程序框图，已知输出的s ∈[0，4]．若输入的t ∈[0，m ]，则实数m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ．由程序框图得s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜14t －t 2，t ≥1，图象如图所示．由图象得，若输入的t ∈[0，m ]，输出的s ∈[0，4]，则m 的最大值为4，故选D ．4．(2021·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C．由程序框图可知，N的取值依次为19，18，6，2，故输出N的值为2．5．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y＝x上，则判定框中可填写的条件是( )A．i>6 B．i>7C．i>8 D．i>9解析：选D．要使输出的点恰有5次落在直线y＝x上，则i＝2，3，4，…，9都不满足判定框内的条件，i＝10满足判定框内的条件，则判定框内可填写的条件是i>9，故选D．6．(2020·郑州第一次质量推测)我们能够用随机模拟的方法估量π的值，下面的程序框图表示其差不多步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0，1)内的任何一个实数)．若输出的结果为781，则由此可估量π的近似值为( )A ．3．119B ．3．124C ．3．132D ．3．151解析：选B ．依照题意，本题能够转化为在平面直角坐标系中，在{(x ，y )|0<x <1，0<y <1}中随机产生1 000个点，其中满足{(x ，y )|x 2＋y 2<1}的点有781个．依照几何概型概率运算公式可得7811 000＝14×π×121，由此可估量π的近似值为3．124．故选B ．7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )A ．35B ．20C ．18D ．9解析：选C ．依照程序框图有：n ＝3，x ＝2，v ＝1，i ＝2≥0，因此v ＝1×2＋2＝4，i ＝1≥0，因此v ＝4×2＋1＝9，i ＝0≥0，因此v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1<0，不满足条件，跳出循环，输出v ＝18．8．(2020·东北四市教研联合体模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S∈⎝⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n的值为( )A．7 B．6C．5 D．4解析：选C．由程序框图，可知：S＝12＋122＋123＋…＋12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－⎝⎛⎭⎪⎫12n，因为1516<S<6364，因此1516<1－⎝⎛⎭⎪⎫12n<6364，即4<n<6．又n∈Z，因此n＝5．故选C．9．(2020·福州综合质量检测)执行如图所示的程序框图，若输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为( )A ．4，7B ．4，56C ．3，7D ．3，56解析：选C ．对第一个当型循环结构，第一次循环：k ＝1，m ＝84，n ＝56，m ，n 均为偶数；第二次循环：k ＝2，m ＝42，n ＝28，m ，n 均为偶数；第三次循环：k ＝3，m ＝21，n ＝14，因为m 不是偶数，因此终止第一个循环．又m ≠n ，因此执行第二个当型循环结构，第一次循环：d ＝|21－14|＝7，m ＝14，n ＝7，m ≠n ；第二次循环：d ＝|14－7|＝7，m ＝7，n ＝7，因为m ＝n ，因此终止循环，输出k ＝3，m ＝7，故选C ．10．如图，给出的是运算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判定框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i ＞100，n ＝n ＋1B ．i ＞100，n ＝n ＋2C ．i ＞50，n ＝n ＋2D ．i ≤50，n ＝n ＋2解析：选C ．经第一次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12，n ＝4，i ＝2，经第二次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，经第三次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4.据观看S 中最后一项的分母与i 的关系是分母＝2(i －1)， 令2(i －1)＝100，解得i ＝51，即需要i ＝51时输出．故图中判定框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是i ＞50，n ＝n ＋2． 11．(2020·福州五校联考)定义[x ]为不超过x 的最大整数，例如[1．3]＝1．执行如图所示的程序框图，当输入的x 为4．7时，输出的y 值为( )A ．7B ．8．6C ．10．2D ．11．8解析：选C ．当输入的x 为4．7时，执行程序框图可知，4．7－[4．7]＝0．7，即4．7－[4．7]不等于0，因而可得y ＝7＋([4．7－3]＋1)×1．6＝10．2，输出的值为10．2，故选C ．12．(2020·湖南五市十校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为( )A ．－3B ．13C ．－12D ．2解析：选D ．第1次循环，a ＝－3，i ＝2；第2次循环，a ＝－12，i ＝3；第3次循环，a ＝13，i ＝4；第4次循环，a ＝2，i ＝5；…因此周期为4，故最后输出的a 的值为2．二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为________．解析：由程序框图可知k ＝1，s ＝2；k ＝2，s ＝32；k ＝3，s ＝53．现在k ＜3不成立，故输出s ＝53．答案：5314．下列程序执行后输出的结果是________．i ＝11 S ＝1 DO S ＝S*i i ＝i －1 LOOP UNTIL i<9 PRINT S ENDi ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10；i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9退出循环，执行“PRINT S ”，故S ＝990．答案：99015．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范畴内的学生人数的算法流程图，则该算法流程图输出的结果是________．解析：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，因此由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10．答案：1016．输入x ＝5，运行如图所示的程序之后得到的y 等于________．INPUT xIF x<0 THEN y ＝(x ＋1)*(x ＋1)ELSEy ＝(x －1)*(x －1)END IF PRINT y END解析：由题意，得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪（x －1）2，x ≥0， 因此f (5)＝(5－1)2＝16． 答案：16。
2021高考数学文一轮分层演练：第11章复数算法推理与证明章末
2021高考数学文一轮分层演练：第11章复数算法推理与证明章末2021高考数学文一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明章末本章结尾的结论知识点考纲展示?理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件．复数?了解复数的代数表示法及其几何意义．?会进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．算法与程序框图?了解算法的含义,了解算法的思想．?理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．?了解程序框图、工序流程图(即统筹图)与结构图．框图?能绘制简单实际问题的流程图,了解流程图在解决实际问题中的作用．?会运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息．?了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理合情推理与演绎推理在数学发现中的作用．?了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理．?了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．直接证明与间接证明?了解直接证明的两种基本方法――分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．?了解间接证明的一种基本方法――反证法；了解反证法的思考过程、特点．一、点在纲上,源在本里考点复数的几何意义复数的运算与几何意义复数的运算考题(2021高考全国卷ⅰ,t2,5分)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a＝()a．－3c．2b．－2d．3考源选修1-2p60练习t1(3)(2021高考全国卷ⅱ,t2,5分)(1＋i)(2＋i)＝()a．1－ic．3＋ib．1＋3id．3＋3i选修1-2p60练习t1(2)(2021高考全国卷ⅰ,t3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()a．i(1＋i)22选修1-2p59例3(2)b．i(1－i)c、（1+I）2D。
I（1+I）（2022年全国高考第二卷，t8，5分）下程序框图的算法思想源自中国古代数学名著《九章算术》中的“多相位减法”。
2021届高考数学一轮复习第十一篇复数算法推理与证明第2节算法初步训练理新人教版
2021届高考数学一轮复习第十一篇复数算法推理与证明第2节算法初步训练理新人教版知识点、方法题号顺序结构、条件结构2,5,12循环结构1,3,4,6,7,8,10,13差不多算法语句11程序框图的补充及综合9,14基础巩固(时刻:30分钟)1.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( B )(A)15 (B)105(C)245 (D)945解析:逐次运算的结果是T=3,S=3,i=2;T=5,S=15,i=3;T=7,S=105,i=4,现在输出的结果为S=105.故选B.2.执行如图所示的程序框图,假如输入的t∈[-1,3],则输出的s∈( A )(A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5]解析:当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3).当1≤t≤3时,s=4t-t2.函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.因此s∈[3,4].综上知s∈[-3,4].故选A.3.(2021·郴州市二模)秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( C )(A)35 (B)20 (C)18 (D)9解析:输入n,x的值分别为3,2,v初始化赋值为1,则i=2,满足循环操纵条件,执行循环体得v=4,i=1;仍旧满足循环操纵条件,连续执行循环体得v=9,i=0,还满足循环操纵条件,再执行循环体得v=18,i=-1,现在不满足进行循环操纵条件,退出循环,输出的v值为18.故选C. 4.(2021·南昌市一模)执行如图所示的程序框图,输出S的值为( B )(A)log210-1 (B)2log23-1(C) (D)6解析:由于log2= [log2(i+1)-log2i],因此程序运行可得:当i=7时,进入循环,有S=3+[l o g2+l o g2+…+l o g2]=3+ [(log22-log21)+(log23-log22)+…+(log28-log27)]=,当i=8时退出循环,输出S=log2=2log23-1.故选B.5.(2021·柳州市、钦州市一模)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a等于( B )(A)0 (B)2 (C)4 (D)14解析:执行程序框图,可得a=14,b=18,满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=4;满足条件a≠b,满足条件a>b,a=10;满足条件a≠b,满足条件a>b,a=6;满足条件a≠b,满足条件a>b,a=2;满足条件a≠b,不满足条件a>b,b=2;不满足条件a≠b,输出a的值为2.故选B.6.如图是一个程序框图,则输出的n的值是( A )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由程序框图知,第一次循环p=20,q=1,n=2,第二次循环p=10,q=4,n=3,第三次循环p=,q=9,n=4,符合4p<q2,因此输出n=4,故选A.7.(2021·菏泽市一模)执行如图的程序框图,若输入k的值为3,则输出S的值为.解析:执行如图所示的程序框图,如下;k=3,n=1,S=1,满足条件2S<kn,执行循环体,n=2,S=;满足条件2S<kn,执行循环体,n=3,S=;满足条件2S<kn,执行循环体,n=4,S=;满足条件2S<kn,执行循环体,n=5,S=;不满足条件2S<kn,终止循环,输出S的值为.答案:8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=10内有个.解析: 依题意,执行题中的程序框图,打印的点的坐标依次为(-3,6),(-2,5),(-1,4),(0,3),(1,2),(2,1),其中点(0,3),(1,2),(2,1)位于圆x2+y2=10内,因此打印的点位于圆x2+y2=10内的共有3个.答案:3能力提升(时刻:15分钟)9.(2021·湖北八校高三第二次联考)若如图框图所给的程序运行结果为S=41,则图中的判定框①中应填入的是( C )(A)i>6? (B)i≤6?(C)i>5? (D)i<5?解析:第1次循环,S=11,i=9,第2次循环,S=20,i=8,第3次循环,S=28,i=7,第4次循环,S=35,i=6,第5次循环,S=41,i=5.因此S满足输出结果,退出循环,因此判定框中的条件为i>5.故选C.10.执行如图所示的程序框图,假如输入a=2,b=2,那么输出的a值为( C )(A)4 (B)16(C)256 (D)log316解析:log32>4不成立, 执行第一次循环,a=22=4;log34>4不成立,执行第二次循环,a=42=16;log316>4=log334=log381不成立,执行第三次循环,a=162=256;log3256>4=log381成立,跳出循环体,输出a的值为256.故选C.11.(2021·龙岩质检)如图所示的程序,若最终输出的结果为,则在程序中横线处应填入的语句为( B )S=0n=2i=1DOS=S+1/nn=2*ni=i+1LOOP UNTIL ?PRINT SEND(A)i>=8 (B)i>=7 (C)i<7 (D)i<8解析:S=0,n=2,i=1,执行S=,n=4,i=2;S=+=,n=8,i=3;S=+=,n=16,i=4;S=+=,n=32,i=5;S=+=,n=64,i=6;S=+=,n=128,i=7.现在满足条件输出的S=,因此“?”处应填上i>=7.故选B.12.关于函数f(x)=的程序框图如图所示,现输入区间[a,b],则输出的区间是.解析:由程序框图的第一个判定条件为f(x)>0,当f(x)=cos x,x∈[-1,1]时满足.然后进入第二个判定框,需要解不等式f′(x)=-sin x≤0,即0≤x≤1.故输出区间为 [0,1].答案:[0,1]13.(2021·揭阳市一模)如图所示的流程图,输入正实数x后,若输出i=4,那么输入的x的取值范畴是.解析:设输出的x=a,当i=0时,应满足进行循环的条件,i=1,j=10+a;当i=1时,应满足进行循环的条件,i=2,j=10+2a;当i=2时,应满足进行循环的条件,i=3,j=10+3a;当i=3时,应满足进行循环的条件,i=4,j=10+4a;当i=4时,应不满足进行循环的条件,故10+3a<19,且10+4a≥19,解得≤x<3.答案:[,3]14.导学号 38486219(2021·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1),在样本的20人中,记身高在[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]的人数依次为A1,A2,A3,A4.如图(2)是统计样本中身高在一定范畴内的人数的算法框图.若图中输出的S=18,则判定框应填.解析:由于i从2开始,也确实是统计大于或等于160的所有人数, 因此就要运算A2+A3+A4,因此,判定框应填i<5?或i≤4?.答案:i<5?(或i≤4?)。
全国近年高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第1讲算法初步增分练(2021年整理)
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第1讲算法初步板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．［2018·沈阳调研]要计算1＋错误!＋错误!＋…＋错误!的结果，下面程序框图中的判断框内可以填( ）A．n〈2018? B．n≤2018？C．n〉2018？D．n≥2018？答案B解析题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环，累加变量初始值为0,计数变量初始值为1，要求S＝0＋1＋错误!＋错误!＋…＋错误!的值,共需要计算2018次．故选B.2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三,七七数之剩二，问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N≡n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于( ）A．21 B．22 C．23 D．24答案C解析当n＝21时，21被3整除，执行否．当n＝22时，22除以3余1，执行否；当n＝23时，23除以3余2，执行是；又23除以5余3，执行是，输出的n＝23。
故选C.3．[2017·全国卷Ⅰ］如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n〉1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ）A．A>1000？和n＝n＋1 B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1 D．A≤1000？和n＝n＋2答案D解析因为题目要求的是“满足3n－2n＞1000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1000？”．故选D。
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2021年高考数学一轮复习第十一章算法初步推理与证明复数分层限
时跟踪练
一、选择题
1．(xx·山东高考)若复数z 满足z
1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )
A ．1－i
B ．1＋i
C ．－1－i
D ．－1＋i
【解析】 由已知得z ＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ，故选A. 【答案】 A
2．给出下列命题，其中正确的命题是( ) A ．若z ∈C ，且z 2＜0，那么z 一定是纯虚数 B ．当a ≠0时，b ≠0时，a ＋b i 一定是虚数 C ．若z ∈R ，则z ·z ＝|z |不成立 D.
4－3i
1－2i
的虚部为－1 【解析】 当z 是一个复数时，若z 2能够与实数比较大小， 则z 2是一个实数，则z 一定是一个纯虚数，故A 正确；
当a 是不为0的实数，b 为纯虚数时，a ＋b i 为实数，故B 不正确； 当z ＝1时，选项C 不正确， 4－3i
1－2i
＝4－3i 1＋2i 1－2i
1＋2i ＝10＋5i
5
＝2＋i ，
其虚部为1.故D 不正确．故选A.
3．(xx·东北二模)i 为虚数单位，复数z ＝i 2 012＋i 2 015在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 i 2 012＝i 503×4＝1，i 2 015＝i 503×4＋3＝－i ，∴复数z ＝1－i 在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限．
【答案】 D
4．已知f (x )＝x 3
－1，则复数
f i
2－i
的虚部为( )
A.15 B ．－15 C.35 D ．－35
【解析】 ∵f (i)＝i 3
－1＝－i －1，∴
f i
2－i
＝
－i －1
2－i ＝－i －12＋i 2－i 2＋i
＝
－1－3i 5，其虚部为－3
5
. 【答案】 D
5．(xx·南昌二模)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1
－z )·z |＝( )
A.10 B ．2 C. 2 D ．1
【解析】 ∵z ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ，∴(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3
＋i ，∴|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝10.
二、填空题
6．(xx·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．
【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.
【答案】 －2
7．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M 、N ，若点P 为线段MN 的中点，则
点P 对应的复数是________．
【解析】 ∵11＋i ＝1－i 2，11－i ＝1＋i 2，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，而P 是MN 的中点，
∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，故点P 对应的复数为12.
【答案】 1
2
8．(xx·重庆高考)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.
【解析】 ∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 【答案】 3 三、解答题
9．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且
z 1·z 2是实数，求z 2.
【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .
z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.
∵z 1·z 2∈R .
∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.
10．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【解】 如图，z 1、z 2、z 3分别对应点A 、B 、C . ∵AB →＝OB →－OA →，
∴AB →
所对应的复数为z 2－z 1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i ， 在正方形ABCD 中，DC →＝AB →
， ∴DC →
所对应的复数为－3－i ， 又DC →＝OC →－OD →，
∴OD →＝OC →－DC →
所对应的复数为z 3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i ， ∴第四个顶点对应的复数为2－i.
[能 力 练]
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1．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2
B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2
C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2
2
【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；
B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；
C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；
D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．
【答案】 D
2．(xx·河南调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin
θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )
A ．[－1,1]
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－916，1 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤916，7 【解析】 由复数相等的充要条件可得⎩⎨
⎧
m ＝2cos θ，
4－m 2＝λ＋3sin θ，
化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝
⎛
⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－
1,1]，所以4sin 2
θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，7.
【答案】 C
3．(xx·江苏高考)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为______． 【解析】 ∵z 2
＝3＋4i ，∴|z 2
|＝|z |2
＝|3＋4i|＝32
＋42
＝5， ∴|z |＝ 5. 【答案】
5
4．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为______．
【解析】
∵|z －2| ＝
x －2
2
＋y 2
＝3，
∴(x －2)2＋y 2＝3.
由图可知⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x max ＝
3
1
＝ 3. 【答案】 3
5．复数z 1＝
3a ＋5＋(a 2
－10)i ，z 2＝21－a
＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．
【解】 z 1＋z 2＝
3a ＋5＋(a 2
－10)i ＋21－a
＋(2a －5)i ＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫
3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i
＝
a－13
a＋5a－1
＋(a2＋2a－15)i.
∵z1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
6．已知复数z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值时的z.
【解】法一设z＝x＋y i(x，y∈R)，
∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
|z－i|＝|x＋y i－i|
＝|x＋(y－1)i|＝x2＋y－12
＝4－y2＋y－12＝5－2y.
∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.
故当y＝－2时，5－2y取最大值9，从而5－2y取最大值3，此时x＝0，即|z－i|取最大值3时，z＝－2i.
法二
类比实数绝对值的几何意义，可知方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0,1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－
2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到A的距离最大，最大值为3，即当z ＝－2i时，|z－i|取最大值3.。