电梯服务系统的排队模型
数学建模 电梯调度问题16
电梯调度问题商业中心某写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。
工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加。
请你针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。
1）请给出若干合理的模型评价指标。
2）暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。
假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。
表1：该写字楼各层办公人数楼层人数楼层人数楼层人数1无9236 6172002 3 4 5 6 7 8208 52177222 5130181191236 7101112131415161392722722722703002641819202l22200200200207207请你针对这样的简化情况，建立你的数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。
3）将你在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。
问题备注：本题的评分标准按照以下先后顺序：逻辑的严谨程度-行文与模型描述的条理程度-模型和现实问题的接近程度-以及所用数学工具的理论程度。
摘要随着科技的发展，人们逐步加快了自己的步伐，高节奏的生活，对于时间的要求，越来越高，写字楼里的人来也匆匆去也匆匆，在高峰期时段对电梯的使用最多，电梯的合理化应用在此显得尤为重要，没有合理的优化方案，不仅影响了乘客的上班时间，同时，电梯的多次停顿也造成了一定程度的能源浪费，所以在此提出得到优化方案，并作出计算分析其优化程度。
本文首先根据电梯群控模型评价指标体系，从乘客者的候梯时间和乘梯时间和能耗三个角度考虑。
最初选定方案一电梯编号负责楼层1—2 2-103—4 11-175—6 18-22方案二电梯编号负责楼层1 2 3 4 5 62 7 8 9 103 11 12 134 14 15 165 17 18 196 20 21 22我们将建立一个多目标规划模型，对该模型的建立，分三个目标：乘客的平均候梯时间要短，乘客的平均乘梯时间要短，能源耗损要少。
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
排队论
11.排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。
顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。
服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。
服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。
11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示:商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。
表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。
表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。
在许多实际(Poisson流,或指数分布。
顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)能是无限的。
顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。
比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。
一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。
以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。
但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。
第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。
另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。
排队模型——精选推荐
排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。
排队过程的一般过程可用下图表示。
我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。
它们可以是人，也可以是某种物质或设备。
排队可以是有形的，也可以是无形的。
尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。
包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。
包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。
3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。
包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。
2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
数学建模 电梯调度问题18
电梯调度方案问题摘要：本文是一个控制分析问题，通过对各种控制方法进行分析评价，得出优化的电梯调度方案。
针对具体问题，我们将电梯的运行时间作为目标函数, 在早晚高峰模式下对电梯群控的各部电梯进行分配，分别建立“跳跃式模型”和“连续型分阶段模型”，对每种模型，我们给出不同的电梯调度方案，通过对不同调度方案的分析、比较和优化，筛选出比较满意的调度方案。
结合实际情况，我们考虑到生活中存在的具体约束，并增加新的评价指标，完善模型，达到快速效应乘客需求、节能和提高电梯利用率的目的。
关键词：优化调度跳跃式模型连续型分阶段模型1.问题的提出与分析背景分析：随着社会的发展，高楼大厦不断兴建，电梯已经成为生产与生活中不可缺少的机电设备。
现阶段人们不断追求生活质量，对电梯运行的快速性、舒适性等都提出了更高的要求，如何让电梯更好的发挥其作用已成为备受关注的问题。
如何合理地调控使用现有电梯,提高电梯的服务效率,尽量减少人流的乘梯等待时间和乘梯时间,是电梯管理中的一个首要任务。
在电梯管理中，关于上班高峰期的电梯优化调度问题也一直是大家关心的焦点。
我们考虑商业中心某写字楼早晚高峰时期电梯合理调度的数学建模问题。
已知条件及要求：商业中心某写字楼共有22层地上建筑楼层和2层地下停车场，其内设有6部电梯。
工作日里，每天早晚高峰时期电梯非常拥挤，乘客等待电梯的时间很长，降低了电梯的服务质量。
该写字楼各层办公人数分布如下：楼层人数分布501001502002503003500510152025楼层人数系列1现要求考虑下列问题：（1）分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的电梯调度模型的优劣。
（2）针对具体的简化情况建立数学模型，给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较分析。
（3）实际情况，将所建立的数学模型进一步实际化，用于解决现实的电梯调度问题。
问题分析：1、考虑到电梯的快速性和舒适性以及乘客的舒适度和满意度要求，评价调度方案优劣除了将减少侯梯时间作为评价指标外,还应考虑减少乘梯时间、减少乘客的长侯梯率以及减少电梯的能耗作为多目标的评价体系[1],即在保证乘客和侯梯者都满意的前提下, 提高电梯的运输效率和服务质量，有效地控制电能消耗。
13排队论
注： < / <1。我们称 / 为服务强度。
一般地，在系统达到稳态时，假定平均到达率
为 ，平均服务率为 ，则有下面的李特尔(John D.
C. Little) 公式：
Ls = Ws ，
Lq = Wq ，
Ws = Wq+ 1/ ，
Ls = Lq + / 。
5
1. 系统中无顾客的概率，即服务设施空闲的概率 P0
2. 排队的平均长度，即排队的平均顾客数
Lq
3. 系统中的平均顾客数(排队和被服务的顾客数) Ls 4. 顾客花在排队上的平均等待时间
Wq
5. 顾客在系统中的平均逗留时间 (排队和被服务) Ws
6. 顾客得不到及时服务必须排队等待的概率
Pw
7. 系统中恰好有 n 个顾客的概率 (排队和被服务) Pn
的来源无限制，排队（服务）规则是先到先服务。
26
泊松分布与负指数分布的联系 定理：顾客到达过程是一个具有参数 的泊松分布 的充分必要条件是，相继到达间隔 {Tk} 是一簇相互 独立的随机变量，且每个随机变量 Tk 都服从参数为
的负指数分布。
注：由定理知，“泊松流”与“到达间隔为相互独立
的负指数分布”是一回事，都具有马尔科夫性，故肯
17
P(服务时间≤ t ) = 1－e -t。
这里 为单位时间里被服务完的平均顾客数。 储蓄所认为负指数概率分布能近似地反映了储 蓄所的服务时间的概率分布情况，并统计出这一个服 务窗口平均每小时能处理 48 位顾客的业务，也就是
说每分钟平均能处理 48/60=0.8 位顾客的业务，即
平均服务率 ＝0.8，这样我们可求得
6
第5章排队系统讲解
Y表示服务时间的分布； Z表示并列的服务设备的数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间分布的典型符号有：
M——负指数分布（M是Markov的字头） D——确定性（Deterministic） Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布 GI——一般相互独立（General Independent）的随
第5章 排队系统的建模与仿真
本章重点和难点
排队论概念 排队论仿真
排队是我们日常生活中常见的现象。 如：顾客到商店买东西、病人到医院看病
提高质量——减少被服务对象等待时间 平衡
降低成本——保证设备利用率前提下减少设备的投 入。
5.1 排队论的基本概念
5.1.1排队系统的组成 一般的排队系统都有三个基本组成部分：
(1)到达模式 指动态实体(顾客)按怎样的规律到达 常假定顾客总体是无限的。
(2)服务机构 指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态 实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分 布特性。通常，假定系统的容量(包括正在服务的人数 加上在等待线等待的人数)是无限的。
(3)排队规则 指对下一个实体服务的选择原则。通用的 排队规则包括先进先出(FIFO)，后进先出(LIFO)，随 机服务(SIRO)等。
记此概率为Vk (t)；
(2)无后效性 不相交区间内到达的顾客数是相互 独立的；
(3)普通性 令Ψ(t)为时间t内至少有两个顾客到达 的概率，则
(4)有限性 任意有限区间内到达有限个顾客的概 率之和为l，即
对于这种到达分布，在时间t内到达k个顾客的概率 Vk(t)遵从泊松分布，即
函数相为继负顾指客数到分达布间隔ti是相互独立相同分布的，其分布
运筹优化（十六）--排队论基础及其最优化求解
运筹优化（⼗六）--排队论基础及其最优化求解排队过程的⼀般表⽰下图1就是排队过程的⼀般模型。
各个顾客由顾客源(总体)出发,到达服务机构 (服务台、服务员)前排队等候接受服务, 服务完成后就离开。
排队结构指队列的数⽬和排列⽅式 , 排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规 则、次序接受服务的。
我们所说的排队系统就指图中虚线所包括的部分。
排队系统的组成和特征⼀般的排队系统都有三个基本组成部分 : 1输⼊过程 ; 2排队规则 ; 3服务机构。
1. 输⼊过程输⼊即指顾客到达排队系统 , 可能有下列各种不同情况 , 当然这些情况并不是彼此排斥的。
(1) 顾客的总体(称为顾客源)的组成可能是有限的,也可能是⽆限的。
上游河⽔流⼊⽔库可以认为总体是⽆限的 , ⼯⼚内停机待修的机器显然是有限的总体。
(2) 顾客到来的⽅式可能是⼀个⼀个的, 也可能是成批的。
例如到餐厅就餐就有单个到来的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客，我们将只研究单个到来的情形。
(3) 顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的, 也可以是随机型的。
(4) 顾客的到达可以是相互独⽴的,就是说,以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响 , 否则就是有关联的 。
(5) 输⼊过程可以是平稳的,或称对时间是齐次的,是指描述相继到达的间隔时间分布和所含参数(如期望值、⽅差等)都是与时间⽆关的, 否则称为⾮平稳的。
2. 排队规则(1) 顾客到达时, 如所有服务台都正被占⽤,在这种情形下顾客可以随即离去, 也可以排队等候。
随即离去的称为即时制或称损失制 , 因为这将失掉许多顾客 ; 排队等候的称为等待制。
普通市内电话的呼唤属于前者 , ⽽登记市外长途电话的呼唤属于后者。
对于等待制,为顾客进⾏服务的次序可以采⽤下列各种规则: 先到先服务, 后到先服 务 , 随机服务 , 有优先权的服务等。
先到先服务 , 即按到达次序接受服务 , 这是最通常的情形。
后到先服务,如乘⽤电梯的顾客常是后⼊先出的。
《2024年休假M-M-c排队系统驱动的流模型》范文
《休假M-M-c排队系统驱动的流模型》篇一休假M-M-c排队系统驱动的流模型一、引言随着社会和科技的发展，服务系统的运行效率和服务质量显得越来越重要。
作为服务系统中的重要组成部分，排队系统及其驱动的流模型对于理解和优化服务系统的性能至关重要。
本文将重点探讨一种特殊的排队系统——休假M/M/c排队系统，并对其驱动的流模型进行深入分析。
二、M/M/c排队系统概述M/M/c排队系统是一种多服务器排队模型，其中M代表指数分布的到达时间和服务时间。
c代表服务台的数量。
在这种系统中，顾客按照泊松过程到达，服务台之间无等待时间，且服务时间相互独立。
三、休假M/M/c排队系统休假M/M/c排队系统是M/M/c排队系统的一种扩展，其中服务台在一段时间内可能处于休假状态，不提供服务。
这种休假状态可能是由于设备维护、员工休息或其他原因造成的。
休假策略的引入使得该系统更加符合实际服务系统的运行情况。
四、流模型分析休假M/M/c排队系统的流模型主要关注的是顾客的到达、服务以及休假过程。
通过分析这些过程的相互关系和影响，可以更好地理解系统的运行机制和性能。
在流模型中，我们将考虑顾客的到达率、服务台的利用率、以及休假策略对系统性能的影响。
首先，我们需要对顾客的到达过程进行建模。
考虑到顾客到达的随机性，我们可以使用泊松过程来描述顾客的到达率。
其次，我们需要对服务台的服役过程进行建模。
在服务台提供服务时，我们需要考虑服务时间的分布以及服务台的并行处理能力。
此外，我们还需要考虑休假策略对服务台利用率的影响。
五、模型应用与展望休假M/M/c排队系统的流模型具有广泛的应用价值。
它可以帮助我们理解和优化各种服务系统的性能，如电信系统的呼叫中心、医院的急诊室、银行的柜台服务等。
通过分析这些系统的运行数据，我们可以了解系统的瓶颈所在，从而采取相应的措施进行优化。
然而，目前的研究还存在着一些挑战和限制。
首先，现有的模型往往过于简化，无法完全反映实际系统的复杂性。
运筹学排队论
降低平均服务时间
降低服务时间旳可变性
增长服务人员
降低平均到达人数
经过顾客预约等方法来降低到达旳可变性
集中使用服务资源
更加好地计划和调度
23
处理排队问题旳措施
2.其他措施
服务场合提供娱乐设施
医生等待室放报纸杂志
自动维修间用收音机或电视
航空企业提供空中电影
等待电梯处放镜子
超级市场把冲动性商品摆放在收款台附
排队论
1
2
•
排队论，又称随机服务系统理论(,是一
门研究拥挤现象(排队、等待)旳科学。详细
地说，它是在研究多种排队系统概率规律性
旳基础上，处理相应排队系统旳最优设计和
最优控制问题。
•排队论是1923年由丹麦工程师爱尔朗
(A.K．Erlang)在研究电活系统时创建旳.
3
案例-1 银行排队系统
4
案例-2 医院排队系统
用更快旳服务人员、机器或采用不同旳设施布局和政
策来影响顾客旳到达时间和服务时间。
9
1 排队论旳基本问题
1.1 排队论旳主要研究内容
• 数量指标
– 研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下旳
概率分布及其数字特征，了解系统旳基本
运营特征。
• 统计推断
– 检验系统是否到达平稳状态；检验顾客到
达间隔旳独立性；拟定服务时间分布及参
数。
• 系统优化
– 系统旳最优设计和最优运营问题。
10
1.2排队论旳经济含义
• 排队问题旳关键问题实际上就是对不同
原因做权衡决策。管理者必须衡量为提
供更快捷旳服务（如更多旳车道、额外
旳降落跑道、更多旳收银台）而增长旳
§3 MMs排队模型
§3 M/M/s 排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞ 或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 队长的分布设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则由(1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率)(2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率)(3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)及n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得nn n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n =故有 0nn p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑. 因此 (1)nn p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率 如单位时间,2λ=,5μ=,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.tf t et μλμλ--=-≥分布函数: ()()()1,0.tF t P T t e t μλ--=≤=-≥于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-; (4) 在队列中顾客平均等待时间因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式. 各公式可记忆如下:由λ和μ→服务效率λρμ=, 从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+3. 服务机构的忙期B和闲期I分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ-→忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ-(2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==< (1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时)(2) 列车的平均逗留时间212LW λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,则 0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(1) 修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==< (1) 修理店空闲的概率0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人) (5) 每位顾客在店内的平均逗留时间0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈ (8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 11101615{10}0.3679P T e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====L 系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限;服务规则: FCFS.数据分析 服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u u u r u u u u u r μ1μ2sμs 个设{}n p P N n == 0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 则,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率,1,2,3,...,,,1,...n n n s s n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s s s ρλρμ==, 则当1s ρ<时, 不至越排越长,称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s n n s n s n C n s s s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 故,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s s s n s s p p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 或(,)1s q sc s L ρρρ=-.(2) 正在接受服务的顾客的平均数10s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n s n p s p n s ρρρ-==+-∑11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均接受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:LW λ=, 1qq L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标 模型 s=1 s=2 空闲的概率p 0 0.333 05 有1个病人的概率p 1 有2个病人的概率p 2 0.222 0.148 0.333 0.111 平均病人数L 平均等待病人数L q 2 1.333 0.75 0.083 病人平均逗留时间W 病人平均等待时间W q 1 0.667 0.375 0.042病人需要等待的概率P{T q >0}0.667(=1-p 0)0.167(=1-p 0 -p 1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5} 等待时间超过1小时的概率P{T q>1} 0.4040.2450.0220.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长.结论是两个医生较合适.例4某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟0.9λ=人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率0.4μ=人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型, 其中2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n ss n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人) 平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间1.701.890.9qq L W λ===(min) 平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口30.9λ=0.3λ=0.3λ=每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比较如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.0748 0.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥3)=0.57 0.75平均排队长Lq 1.70 2.25(每个子系统) 平均队长L 3.95 9.00(整个系统) 平均逗留时间W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。
排队论模型
排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。
在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。
通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。
本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。
2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。
一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。
•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。
•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。
•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。
2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。
•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。
•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。
•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。
•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。
•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。
•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。
3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。
M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
•服务率μ满足均值为μ的指数分布。
M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。
根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。
3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。
M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。
第十章 排队论
L λe μ
1.423 3.808 6
0.788
W L 1.423 0.374(hour) 22.4(min) λe 3.808
Wq
Lq λe
0.788 3.808
0.207(hour) 12.4(min)
P5
ρ5P0
2 5 3
0.356
0.048
因客满而离去的概率为4.8%
状态概率
根据
Pn 1
n1
P0
s 1 n0
λn μnn!
1 s!
λ μ
s
1
1
ρ
1
λn
Pn
μnn! P0
λn
μns!sns
P0
1ns ns
运行指标
Lq
λ sρP0 μs s!(1 ρ)2
有限队列模型 [M/M/1]:[N//FCFS]
当队列的容量从无限值变为有限值N时， [M/M/1]:[//FCFS]就转化成为 [M/M/1]:[N//FCFS]
顾客到达
进入队列
顾客接受服务后离去
..
服务台
..
因队列满而离去
P0 P1 P2 PN 1 PN
0
1
2 N-1 N
系统的状态概率平衡方程
k 1
k 1
k 1
(1
ρ)
(1
ρ2 ρ)2
ρ2 1ρ
λ2 μ(μ λ)
[M/M/1]:[//FCFS]的系统指标
N λW Nq λWq
平均逗留时间W
WN 1 λ μλ
平均等待时间Wq
Wq
Nq λ
λ
μμ λ
[M/M/1]:[//FCFS]的系统指标
电梯排队实施方案
电梯排队实施方案首先，我们应该考虑的是电梯的运行速度和容量。
在高层建筑中，电梯的运行速度和容量直接影响到乘客的等待时间和乘坐体验。
因此，我们可以根据建筑的高度和使用人口量，合理安排电梯的数量和规格，以满足不同楼层的乘客需求。
另外，通过科学的调度算法，可以实现电梯的智能调度，减少空载和错过乘客的情况，提高电梯的使用效率。
其次，对于高峰时段的电梯排队问题，我们可以考虑引入预约制度。
通过手机APP或者其他智能设备，乘客可以提前预约电梯，根据自己的需求选择最佳的出行时间，避免高峰时段的拥挤和等待。
同时，预约系统还可以根据乘客的楼层需求和电梯运行情况，进行智能调度，提高电梯的使用效率，减少等待时间。
另外，我们还可以考虑在电梯大厅设置智能导引系统。
通过屏幕或者语音提示，引导乘客到达最佳的乘梯位置，避免乘客在电梯大厅的拥挤和混乱。
同时，智能导引系统还可以实时显示电梯的运行情况和等待时间，让乘客可以及时了解电梯的情况，选择最佳的乘梯时机，减少等待时间。
此外，我们还可以在电梯大厅设置舒适的候梯区。
在候梯区设置舒适的座椅和阅读区域，为乘客提供一个愉快的等待环境，减轻乘客的焦虑和不适感，提高乘客的等待体验。
最后，为了更好地实施电梯排队方案，我们还需要加强对电梯设备的维护和管理。
定期对电梯设备进行检查和维护，确保电梯的运行安全和稳定性。
同时，加强对电梯使用规则的宣传和培训，提高乘客的电梯使用素质，减少因乘客不当行为导致的电梯故障和延误。
综上所述，电梯排队实施方案是一个涉及多方面因素的综合性工程，需要从电梯设备的规划和调度、乘客的预约和导引、候梯区的舒适设置以及设备的维护管理等多个方面进行考虑和实施。
只有通过科学合理的方案制定和实施，才能更好地解决电梯排队问题，提高电梯的使用效率，为城市居民提供更便利、舒适的出行体验。
电梯的排队系统设计_本科毕业设计(论文)
xxx学院本科毕业设计(论文)电梯的排队系统设计学生姓名：xxxx学生学号：xxxxx院(系)：xxxxx年级专业：xxxxx指导教师：xxxx 教授助理指导教师：二〇一三年六月摘要随着现代经济和城市生活的快速发展，电梯逐渐成为了人们日常生活中必不可少的代步工具，电梯性能的优劣对人们生活的影响越来越明显。
而传统的继电器电梯控制系统，因为继电器本身的机械以及电磁惯性大，极大地降低了电梯系统的安全性和可靠性。
为了保证电梯运行时既能高效节能又能安全可靠，电梯控制的方式必须改进。
因为顺序逻辑控制的需要而迅速发展起来的可编程控制器(PLC)，它是为了工业环境应用而专门设计的数字运算操作的一种电子装置。
PLC 具有处理速度快，可靠性高，能够保证电梯可靠、正常、安全地运行的优点。
同时，随着电机交流变频调速技术的发展，电梯的驱动方式己由以前的直流调速逐渐过渡到变频调速，这样不仅满足了乘客的舒适感和保证电梯平稳的精度，还达到了降低能耗，节约能源，减小运行费用的作用。
本文将基于PLC的变频调速方法应用到电梯系统中，在这个基础上设计电梯的排队系统。
关键词：可编程控制器；变频调速；电梯驱动ABSTRACTAlong with the development of modern economy and city life, the elevator has become a essential walking tool for people in daily life, and the performance of elevators obviously influences people’s lives. The traditional elevator system based on relay largely decreases the reliability and security since the mechanical and electromagnetic inertia of relay is big In order to ensure the efficiency and reliable securities, the control method of elevator must be changed. The programmable logic controller(PLC),which develops based on sequence logical control, is digital operation electronic device specialized in the industrial application environment. PLC possesses fast process speed and high reliability. Therefore, PLC can be able to ensure the elevator run normally, securely and reliably. In addition. The drive method of elevators has replaced the DC velocity modulation with frequency control due to the development of AC frequency control of motors. The frequency control not only satisfies the comfort sense of passengers and ensures the stable precision, but also decreases the loss of power, saves resources and reduces expenses. The frequency control method based on PLC is applied to the elevator system, queuing system design on the basis of elevator.Keywords：The programmable logic controller；Variable f requency control；The elevator drive目录摘要 (I)Abstract ......................................... 错误！未定义书签。
排队系统仿真(PPT)
e t /
(t 0)
其中 1 / 为到达时间间隔均值。
实体到达模式－－例子
设系统中的临时实体是顾客，实体到达模式就是顾客到达模 式，设到达时间间隔 Ai 服从均值 A 5 min 的指数分布，即
f ( A) 1
A
eA/ A
( A 0)
令u是取值为[0,1]范围内服从均匀分布的随机变量，即
0 u F ( x) x 1 x0 0 x 1 x 1
反变换法要求用u对F(A) 进行取样，即令 u1 F ( A) 1 e A / ，则 A A ln( 1 u1 ) 。 由于 u1为[0,1]之间均匀分布的随机变量，则 1 u1 也是[0,1]间 均匀分布的随机变量，则 A A ln u1 。
5.4 排队模型的分类
单队多服务台按FIFO规则服务的情形表示为 X/Y/Z 式中，X——相继到达时间间隔的分布； Y——服务时间的分布； Z——服务台数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号： E k ——k阶爱尔朗分布 M——负指数分布 D——确定性时间间隔 GI——一般相互独立的随机分布 G——一般随机分布 例，M/M/1
仿真输出结果
由QL(I)(I=1,2,3, …,M)可以计算平均队长和最大队长； 由IDT(I)(I= 1,2,3, …,N)可以得到等待第i个实体进入服 务台的空闲时间。由此计算平均空闲时间和最大空闲 时间; 第i个实体等待时间 ，由此可以计 WTi CDTi STi CAT 算总等待时间、最大和平均等待时间; i 由 可以计算每一个实体在系统中花费的时间。
基于排队论对写字楼电梯系统的模拟实现
基于排队论对写字楼电梯系统的模拟实现摘要针对高层写字楼一个典型早上高峰时间电梯的一些具体情况的分析，我们首先对于第1问利用进入大楼的人数服从泊松分布，利用Matlab 软件随机模拟出80个服从泊松分布估计参数λ为11的随机数然后进行加和，再进行随机模拟分配，根据不同人要去楼层的概率随机模拟出相应的i L ，从而求出电梯到达时间运行T 。
模拟结果为实际坐上电梯的人数M =839，最后用极大似然法检验估计的λ值，皮尔逊 2χ检验拟合的方法及来验证模型具有可靠性。
对于第2问我们建立排队论模型，根据电梯往返时间RTT 的表达式,通过用H 、S 、P 三个参数表示出到达率λ，得到RTT 和到达率λ的关系，最后求出乘客等待的平均时间为s 8104.79，根据电梯间隔第k 次的等待时间为INT k ⋅，求出一个人在队中最长等待时间的公式，计算得出结果114.9180s 。
在问题4中W （平均运送时间）=q W （平均队中等待时间）+ r W （呆在电梯中的平均时间）=255.67s 。
对于第3个问题每一个最长队长k L 都将对应着一个相应的概率值，我们求出最长队长的期望值)(k L E ，以此来求出最长队长27人。
因为运送时间包括排队时间及在电梯中的时间两部分，而这两个数据已在问题2，5的求解过程中已经求得，因此可求得平均运送时间W 值为s 67.255。
再依据最长队中等待与最长的乘电梯时间的概率分布计算最长运送时间的期望值为282.8760s 。
根据问题2中求得的平均到达最高楼层H 和停靠次数S ,利用这两个值建立求解在电梯中的平均与最长时间的求解出问题5平均乘梯时间公式，将的H 和S 值带入可求的在电梯中的最长时间s W ir 78.206=，sr W 包括部分乘客的转移时间、一次停靠时间和电梯运行至最低停靠楼层的时间，而可求得平均乘梯时间s W r 86.175=。
为了求出电梯所停次数，我们采用电梯平均每次运行的时间作为一次过程进行求解，然后再利用总时间求出每部电梯所停的平均次数为152次。
UML电梯系统建模
1. 需求陈述一个无人值守电梯的轿箱通常停放在大楼的第一层．当某楼层有乘客按下按钮，电梯轿箱便会按照指令上升到该楼层接乘客，然后按照乘客的指令升降到指定楼层，到达后的乘客走下电梯。
电梯轿箱停在该楼层，等待下一个乘客的按钮指令。
系统对于等待的时间有一定的限制，在时间限制之内又有乘客按下按钮，电梯则重复前面的动作，电梯轿箱仍按照指令上升或下降到指定楼层，到达后，电梯轿箱继续等待下一个乘客的按钮指令，在每次的等待中，如果等待时间超过限制，电梯轿箱会自动返回到大楼的第一层，在那里继续等待乘客。
2.1 用例图电梯系统用例图如下，主要包括用例、角色和关系。
用例图乘客作为电梯里的角色，参与系统的5个用例，呼叫电梯、指定楼层、打开电梯门、关闭电梯门和拨打报警电话。
工作人员参与接受报警的用例。
2.2 类图类图对系统进行静态建模，静态图主要描述系统功能需求-系统给最终用户提供服务。
类图描述一组类、接口和协作，及他们的关系。
类图各类的详细声明如下：（1）B utton类一个抽象类，电梯停或启动的指示器。
（2）E levator_button电梯内的人需要到达的楼层。
（3）B uilding_button处于某楼层的人需要进入电梯上行或下行的指示。
（4）h elp_button紧急情况下的报警。
（5）c ontrolor用来控制电梯的上行、下行、关门、开门以及电梯调度工作等。
BState:电梯或楼层按钮的状态，若按下，则给控制器发送一个上行下行命令，否则，控制器控制电梯开门或停止。
3.1建动态模型●用户A在3楼按上行按钮呼叫电梯，用户希望到7楼去●上行按钮指示灯亮●一部电梯到达3楼，电梯内的用户B已按下到9楼的按钮●上行按钮指示灯熄灭●电梯开门●用户A进入电梯●用户A按下电梯内到7楼的按钮●7楼按钮指示灯亮●电梯关门●电梯到达7楼●7楼按钮指示灯熄灭●电梯开门●用户B走出电梯●电梯在等待超时到后关门●电梯载着用户A继续下行到达1楼3.2异常情况●用户A在3楼按上行按钮呼叫电梯，用户A希望到1楼去●上行按钮指示灯亮●一部电梯到达3楼，电梯内的用户B已按下了到9楼的按钮●上行按钮指示灯熄灭●电梯开门●用户A进入电梯●用户A按下电梯内到1楼的按钮●1楼按钮指示灯亮●电梯在等待超时后关门●电梯上行到9楼●电梯内9楼按钮指示灯熄灭●电梯开门●用户B走出电梯●电梯在等待超时后关门●电梯载着用户A继续下行到达1楼3.3状态图状态图4.1序列图序列图4.2协作图协作图5. 其它工作及部分代码：电梯设置●电梯分为三种状态：静止，上升，下降。