4-经验分布函数与卡方分布

1, x x(n) .
称F(n)( x)为经验分布函数.
例1 现随机抽取四班的5名同学成绩
72 69 82 90 60
有序样本
x(1) 60, x(2) 69, x(3) 72, x(4) 82, x(5) 90
经验分布函数
0, x 60,
0.2, 60 x 69
nFn( x) F( x) L N (0,1)
F( x)[1 F( x)]
例2：设总体X的分布函数为F ( x),
X 1 ,
,
X
为
n
来自
总体的样本，经验分布函数为Fn( x), 试问要使得对
任意的x (-,), 绝对误差| Fn ( x) F ( x) | 大于0.1
的概率小于5%，样本容量n至少为多少？
解：
0, Fn( x) k1n, ,
x X(1), X(k) x X(k1) ,
x X(n)
对x (, ),令
1,
Yi 0,
Xi x, i 1,2, ,n. X i x.
1n
Fn ( x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
x0
其中，
0, x 0
( ) x 1exdx 0
在 α> 0时收敛，称为函数，具有性质
( 1) ( ), (1) 1, (1 / 2) (n 1) n! (n N )
3 n 时， 2(n) 正态分布
4 2( n) 分布的 分位数有表可查
0.1
例如
0.08
n = 10
0.06

2 0.95
(10)

18.307
0.04
P 2(10) 18.307 0.95 0.02
5
10
15
20
例1 设X1， ，Xn是来自N (0,4)的样本，求C使
(3)Fn( x)的值依赖于样本观察值，对不同的样本，不同次 的实现值经验分布函数不同.故经验分布函数是次序统计量
X（1）,
,
X
(
的函
n)
数，
不含
未知
参
数，是
一个
统计
量.
0, x X(1) ,

Fn
(
x)


k n
,
X(k) x X(k1) ,k 1,2, ,n 1,
0.4 0.3 0.2 0.1
n=2
n=3 n=5 n = 10
n = 15
5 10 15 20 25
2 (n) 分布的性质
1 E 2(n) n, Var 2(n) 2n
2
若X1
2(n1 ), X2


2
(n2
)
,
X1
,
X
相互独立，
2
则 X1＋X2～ 2(n1＋n2 )
n
T X i2服从 2分布. i 1
例2
设X 1，
，X n是来自总体X
~
Ga( 1 2
,1)的样本，
n
求k使T k X i服从 2分布. i 1
下面我们要介绍三大抽样分布， 先回顾一些常用的分布
常用分布
一、二项分布X ~ b(n, p)
P(X

k)

C
k n
pk (1
p)nk
,
k 0,1, ,n
E( X ) np Var( X ) np(1 p)
二. 泊松（Poisson）分布
P( X k) e k , k 0,1,2,
x x(n) .
1n n i1 I( xi x)
注 ：(1)经 验 分 布 函 数 是 样 本X 1 ,
,
X
的
n
一次
实现x1
,
,
xn的函数.可视为如下X的分布函数.
X x1 xn
P1 1
n
n
(2)经验分布函数Fn( x)
x1 ,
, xn中 n
x的个数
是观察值x1, , xn中小于等于x的频率.

n
Yi
i 1
例3：设X1，X 2， ，X n是来自分布函数为F ( x), 密度 函数为p( x)的一个样本，X(1)，X(2)， ，X(n)是其次序 统计量，试求
n
(1)求 2 lnF ( X i )的分布 (2)求F ( X(k) )的分布 i 1
(3)求F ( X(n) ) - F ( X(1) )(1 l k n)的分布
,
X
是取自总体分布函数为
n
F ( x)的样本，Fn( x)是其经验分布函数，当
n 时，有
P{ sup | Fn( x) - F ( x) | 0} 1
- x
注：当n相当大时，经验分布函数Fn( x)是
总体分布函数F ( x)的一个好的近似.
这是经典统计学的理论依据
(6)由中心极限定理可知
k!
E(X ) Var( X )
三、几何分布 X ~ Ge( p )
P( X k) (1 p)k1 p, k 1,2,
E( X ) 1 / p Var( X ) (1 p)/p2
四、均匀分布 X ~ U(a, b)
一.
几何分布 p( x)

)
x
e 1 x
,
0 ,
x 0; x 0.
EX
Var( X ) 2
九、 贝塔分布 X ~ Be(a,b)
p(
x)

(a


(a
)
b) (b)
xa1 (1
x )b 1
,
0 ,
0 x 1; 其他
EX a ab
Var( X )
F( x)]
(5)由辛钦大数定律可知
Fn( x)

1 n
n i 1
I( Xi x)
P F ( x)
说明：对任意给定的实数x,当n 时，经验分布函数 Fn( x)与F ( x), 在概率意义下愈来愈靠近.
事实上，还有一个更深刻的结论 看下面的定理
定理1
格里纹科定理
设X 1 ,
X 2 ,
ab
(a b)2(a b 1)
三大抽样分布
1、 2分布(卡方分布)
定义1 设 X1, X 2 , , X n 相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则称
n
X
2 i
~
2(n)
自由度为n
i1
n = 1 时,其密度函数为

f
(
x)


1
x e ,
1 2

x 2
x0
经验分布函数
设 X1,X
样本，x1
2
,
,
x2
,X
,
是取自总体分布函数为F(x)的
n
,
xn为样本观察值，将其排序
x(1) x(2) x(n)
称x(1) , x(2) , , x(n)为有序样本.
0, x x(1) ,
分布函数.

Fn
(
x)


k n
,
x(k) x x(k1) ,k 1,2, ,n 1,
(
x )2 2 2
2
x
EX Var( X ) 2
七、n元正态分布
p( x1,x2,
,xn )
1
n
1
(2 ) 2 | B |2
exp
1 2
(
x

a
)
B
1
(
x

a
)
八、伽玛分布 X ~ Ga( ,)
p(
x)


(
1, x X(n) .
1 n
n i1 I( Xi x)
其中I( Xi x)

1, 0,
Xi x Xi x
(4)思考E[F(n)( x)], Var[ F(n)( x)]为多少？
(4)E[F(n)( x)]

F( x),
Var[
F(n) ( x)]

1 n
F( x)[1
2

0,
x0
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
2
4
6
8 10
n = 2 时,其密度函数为

f
(
x)


1
e

x 2
,
2
x0
0,
x0
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
2
Leabharlann Baidu
4
6
8
10
一般 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
f (x)
Fn
(
x)

0.4, 0.6,
69 x 72 72 x 82
n5
0.8, 82 x 90 1, x 90.
0, x x(1) ,

经验分布 函数
Fn
(
x)


k n
,
1,
x(k) x x(k1) , k 1,2, , n 1,
b
1
a
,
a xb
0,
其他
EX a b 2
Var( X ) (b a)2 12
五、指数分布 X ~ Exp()
p(
x)

e

x
,
x0
0, x 0
EX 1

1
Var( X ) 2
六、正态分布X ~ N( , 2 )
p( x)
1
e ,