分部积分法在重积分中的应用

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分部积分法在重积分中的应用

［ｑ，】 × ，】上有连续偏导数ｑ（，），
￣
（，），则，（
： ’ ／，ｚ）出在，】上可微，且
（ｘ，ｙ（，＋，ｙ，）（ｙ）ｄｙ — ，，ｃ。（））去ｃ，ｙ）ｄｙ．引理２若厂（，，ｚ），昙，（五，ｚ）在＝［ｑ，ｎ］ × ［（（）】 × ［ｃ。（，），），ｃ（ｘ，），）】上连续，ｃＩ（，），（五）在
第１期
赵临龙：行列式值的矩阵分块计算方法
［４］吴赣昌．线性代数（理工类）【Ｍ】．４版．北京：中国人民大学出版社，２０１４：５７ — ６３【５］吴赣昌．线性代数（经管类）【Ｍ】．４版．ｊＥ京：中国人民大学出版社，２０１４：４７ — ５１
（Ｊｆｑｂ２ｑｓｙＪＩ＇￣２（ … ｘ．，Ｙ／（，，ｚ）出）：一［Ｊｆ￣Ｊｆｑ（ｘ，ｙ厂（，ｚ）ｄｚ）出，其中：（ｆｅ … ２（ｘ，ｙ，，ｚ）ｄｚ）由引理１给出；当＝【口ｌ，】 × ［（），ｂ２（）】 × ［ｃ，（五），ｃ２（，）】，ｃ１（，），羞ｃ２（，）在［ｑ，ａ】 × ［（），（）］连续，（），（）在【口 ” ａ】可微时，（，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝ｆ：ｄ，ＩＳ：，（，ｚ）ｄｚ＝（ ’ ： ’ ，（，，ｚ）出）一』：（： ’ ，（，ｙ．，ｚ）出），其中：

分部积分法的解构和重构——兼简论不定积分的定义和求不定积分的思想方法与一般思路

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
１
x
x
得式 ② 中的２的产生和 C１的出现无法解释.
∫
若将函数 f(
x)在区间 I 上的任一原函数称为函数f(
x)在区间 I 上的不定积分 f(
x)
d
x,并记
∫
为,则式 ① 左右两端的 exs
i
nxd
x 各是函数exs
i
nx 任一原函数,两者只相差一个常数 C１ ,这样式 ②
∫
x２－１ (
x２－１１
解 xl
n(
x－１)
d
x＝
l
n x－１)－
d
x
２
２ x－１
∫
x －１ (
１
＝
l
n x－１)－
２
２
２
∫
x２－１ (
x２ x
(
x－１)
d
x＝
l
n x－１)－－－＋C ．
２
４２
nc
o
s
x
例５求不定积分 l
d
x．
c
o
s２x
∫cosxdx ＝tanxln cosx －∫tanx
∫
∫
分 u 和v
′没有固定格式可循,但是依据分部积分的目的是使 vu
′
d
x 比 uv
′
d
x 易于求出,可以
得出选取 u 与v
′的两条原则:一是 u 经过求导,使 u
′变得简单;二是由 v
′要能求出v(这是可以使用
分部积分法的前提),因此运用分部积分公式主要有以下模式:

重积分的积分变换和积分替换

重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。

在微积分中，一类重要的积分就是重积分。

和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。

近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。

本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。

一、积分变换积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。

积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。

在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。

1. 球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。

通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的问题，从而简化积分的计算。

球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。

一般来说，球坐标变换的步骤如下：（1）将被积函数写成球坐标的形式；（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。

例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。

那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：f(x,y,z)→f(r,θ,φ)然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：x=r sinθ cosφ；y=r sinθ sinφ；z=r cosθ。

接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。

最终得到球坐标下的积分表达式：∫∫∫f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫f(r,θ,φ) r²sinθ dr dθ dφ2. 柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的积分转化为柱坐标系下的积分。

柱坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和高度z。

柱坐标变换的一般步骤如下：（1）将被积函数写成柱坐标系下的形式；（2）将直角坐标系下的坐标表示为柱坐标系下的形式；（3）将分子（dx dy dz）替换成柱坐标下的积分元素r d r dθ dz；（4）对变量r、θ和z进行变量替换，计算出新的积分区域。

分部积分法在二重积分中的巧用

Ｊ，［Ｊ１ｃ）Ｊｄｒ出＝【）】，ｅｃｒ出ｅ【ｅ口）：ｙｅ（出ｄ， ’ 一【，】，】ｙ）
＝
＝口ｅ
＝
）一ｅ出
）出
（）ｂ－ｆ）口一ｅ（ａ（出ｓ）
用以上方法计算某些累次积分时，可以省掉因换序带来的作图，确定积分限的麻烦，甚至可以
法．本文用分部积分法来研究某些二重积分不交换其积分次序的求值方法．下面举例说明．
例１，ｆｄ，中是直）ｘ：及轴围的区３１３例）求：ｒＤ由线，，１Ｙ所成闭域（［Ｐ４３ｅ其：ｙ￣］７
文［］１所述积分区域Ｄ既是型，一又是型，若将Ｄ看成型，于是得
Ｉ＝ｄｃ曲，ｅ
计算无法继续下去．其实不然．
解ｒ是于的数由部分得因ｅ关函，积法分，［ｅ］ｒｒ］一（－丢１÷ ＝ｒ？＝１ｅ＝（）－一［一ｅ－ｓ２）一例换次分，ｅ２交二积的分序求值（［例）积顺，其・１３４并文］７ｐ５
（１）（２）
显然由（）１式易求出，＝１ｉ１一ｓ．ｎ又对于Ｙ一型区域得
，＝
，上＝【】警出
＝
由提示知（）２式是难以积出结果．果真如此吗？由分部积分法
【ｓｄＩ出一，，ｉｘｌ，］，打ｎ，】Ｉ：Ｘ￣【＝ｌ，【ｒ一，，【
解决有些不通过交换积分次序积分难以积出的问题．
参考文献
【］吴传生主编．１经济数学，微积分．高等教育出版社，０，２３６０

二重积分四则运算公式

二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。

在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。

下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。

一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。

加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。

二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。

乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。

三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。

换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。

四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。

高等数学中的多重积分计算技巧

多重积分在高等数学中是一个重要的概念和计算技巧。

它涉及到对多元函数在多个变量上的积分，是对一元函数积分的扩展和推广。

在计算多重积分时，可以运用一些技巧来简化计算和提高效率。

首先，需要了解多重积分的概念和性质。

多重积分可以分为定积分和不定积分。

定积分是指在一定的范围内对给定的函数进行积分。

不定积分是指对给定的函数进行积分，但没有具体的范围和上下限。

对于定积分，可以利用变量代换来简化计算。

变量代换即将积分变量换成其他变量，使得原来的积分变得更容易求解。

常用的变量代换方法有直角坐标系与极坐标系的转换、直角坐标系与球坐标系的转换、直角坐标系与柱坐标系的转换等。

通过适当选择不同的坐标系，可以消去一些变量，从而简化积分的计算。

对于不定积分，可以通过分部积分法、换元积分法等技巧进行计算。

分部积分法适用于需要对一个函数的乘积进行积分的情况，可以将乘积的积分变成两个函数的积分相减。

换元积分法可以通过适当的变量代换将原来的不定积分转化为一个更容易求解的形式。

另外，多重积分中还可以使用对称性等性质来简化计算。

如果被积函数具有对称性，可以将积分区域进行适当的对称分割，从而减少多重积分的计算步骤。

此外，还可以利用积分的可加性性质，将多重积分拆解成多个单重积分的和。

在实际应用中，多重积分经常用于计算物体的体积、质量、重心等物理量。

在计算这些物理量时，可以根据物体的几何形状选择适当的坐标系，并利用多重积分技巧进行求解。

总之，高等数学中的多重积分是一个重要的概念和计算技巧。

在计算多重积分时，可以利用变量代换、分部积分法、换元积分法等技巧进行简化和提高效率。

通过合理选择坐标系和利用对称性等性质，可以进一步简化计算。

多重积分在物理和工程等领域中有广泛的应用，可以用来求解物体的体积、质量、重心等物理量。

重积分知识点的总结

重积分知识点的总结一、重积分的基本概念1. 多元函数在多元函数中，自变量不再是一个，而是两个或两个以上。

例如，z=f(x,y)就是一个的二元函数。

无论是一元函数，还是二元函数，其基本概念都是“输入-处理-输出”。

其中输入就是参数，也就是变量，处理就是函数规定的运算。

这一基本概念在重积分中也是适用的。

2. 多元函数的极限多元函数的极限，与一元函数的极限类似，只是在多个自变量的情况下，我们需要考察所有自变量分别趋于一定值时的极限情况。

其中一定需要掌握的是多元函数极限的存在性问题。

3. 多元函数的连续性对于多元函数的连续性，我们同样需要关注多个自变量的变化趋势。

多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，但要求更加严格。

在重积分中，对于多元函数的连续性是一个比较重要的概念。

4. 重积分的意义重积分的最基本的意义，就是对于多变量函数在多维空间上进行积分。

而在物理学上，重积分的意义就更加明显了。

在空间当中，一定有一个虚拟的某一点，作为观察点。

而对整个空间进行积分，就是将所有的观察点都进行积分，求得整个空间的某一个物理量。

二、重积分的性质1. 线性性质重积分的线性性质是最基本的性质之一。

它影响到重积分的很多性质，例如加减性、齐次性等都是与线性性质相关的。

2. 保号性和保序性对于多元函数来说，保号性和保序性是非常重要的性质。

在重积分中，保号性和保序性也是一个非常重要的概念，它们影响到多元函数的积分值的大小。

3. 对称性对称性在重积分中同样起到了非常重要的作用。

对称性不仅在理论证明中起到了重要作用，而且在实际应用中，对称性也常常起到了非常重要的作用。

4. 交换积分次序对于多元函数的重积分来说，交换积分次序是一个很基本的性质。

但是在实际应用中，交换积分次序同样是需要一些技巧的，有时候并不是直接可行的，需要一些特殊的条件。

5. 分部积分法分部积分法在一元函数的积分中是非常重要的一种积分方法。

而对于多元函数的重积分来说，分部积分法同样是非常重要的。

重积分换元法与分部积分法

重积分换元法与分部积分法在高等数学领域，积分是一个重要的概念，通过对函数在一定区间上的“面积”进行求解，可以对函数的变化趋势和性质进行分析。

在积分中，重积分换元法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们在求解复杂积分问题时发挥着重要的作用。

重积分换元法重积分换元法，也称为多重积分的换元法，是处理多重积分中变量替换的方法。

在进行多重积分时，往往需要通过变量代换的方式简化积分问题。

重积分换元法的基本思想是通过合适的变量替换，将原来的多重积分转化为一个简单的积分形式，从而更容易求解。

对于二重积分而言，重积分换元法的一般步骤如下： 1. 确定变量替换的形式，通常选择与坐标轴吻合的变换； 2. 计算变换后的积分区域，并变换原积分的被积函数； 3. 对新的积分进行求解。

通过重积分换元法，可以简化积分的计算过程，降低积分的难度，提高计算的效率。

分部积分法分部积分法是求解不定积分中的一种常用技巧，也可以应用于定积分的简化。

在定积分中，分部积分法是将积分号作用在两个函数的乘积上，通过对积分的展开和化简，将原积分转化成两个函数之积的形式。

分部积分法的基本思想是通过对被积函数进行拆分，选择一个函数进行求导，一个函数进行求不定积分，最终通过不断的交换角色，逐步简化和求解原积分。

对于定积分而言，分部积分法的一般步骤如下： 1. 选择一个函数进行求导，一个函数进行不定积分； 2. 对两个函数进行交替操作，最终将原积分问题转化为更容易求解的形式。

通过分部积分法，可以有效解决复杂积分问题，提高积分的求解速度和准确性。

综上所述，重积分换元法和分部积分法是高等数学中常用的积分方法，它们在不同的积分问题中发挥着重要的作用。

通过灵活运用这两种积分方法，可以更好地解决数学问题，提升问题的求解效率和准确性。

一些特殊定积分的解题技巧

一些特殊定积分的解题技巧特殊定积分是指具有特定形式或特殊性质的定积分。

下面将介绍一些解特殊定积分题目的技巧。

1. 分部积分法分部积分法适用于具有乘积形式的积分。

设要求的积分为∫u dv，根据分部积分公式，可以得到：∫u dv = u v - ∫v du通过选择合适的u和dv，使得∫v du容易求解，可以简化积分的过程。

2. 换元法换元法可以将复杂的定积分转化为简单的形式。

设t = g(x)为变换函数，dx = g'(x) dt，要求的积分变为∫f(g(x)) dx = ∫f(t) g'(x) dt。

通过适当选择变换函数g(x)，可以使原积分简化为常见的积分形式。

3. 对称性如果被积函数具有某种对称性质，可以利用对称性简化积分过程。

如果被积函数具有奇偶对称性，可以利用奇偶性质进行化简。

4. 利用几何意义有些特殊定积分的积分区间可以看作是几何形状的面积、体积或弧长等。

通过找到几何意义，可以将问题转化为求解几何参数的问题，从而简化积分过程。

5. 利用对数和指数函数的性质对数和指数函数具有一些特殊的性质，可以利用这些性质简化积分。

利用指数函数的性质可以将积分转化为指数函数的积分形式，再利用指数函数的积分性质求解。

7. 利用积分的加法性质定积分具有加法性质，可以将整个积分区间分成多个部分进行求解。

通过将积分区间划分为简单的子区间，可以将整个积分化简为单个子区间的积分，再将结果相加。

8. 利用积分的换序性质如果被积函数具有一定的连续性和可导性质，可以通过交换积分顺序简化积分的过程。

即，将二重积分或三重积分转化为先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分的积分形式。

计算二重积分的几种方法数学专业论文

计算二重积分的几种方法数学专业论文计算二重积分的几种方法摘要二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.关键词二重积分累次积分法对称性分部积分法1 引言本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。

职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。

在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。

2 积分的计算方法2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),d cI x f x y dy=⎰存在，则累次积分(),bda c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰也存在，且(,)(,)b d ac Rf x y dxdy f x y dy dx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰证明设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是011011i i n k kma x x x x x bc y y y y yd --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个小闭矩形，小闭矩形记为 11(,),1,2,,;1,2,,.ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 设(){}(){}[]1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，有()1,,ik i ik k km f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),if y ξ在[]1,k k yy -可积，有()11,,kikki ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰.将此不等式对1,2,k m=…相加，有()1111,k k mmmy ikki ik ky k k k m y f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰，其中()()()11,,k k my di i i y ck f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰⎰，即()11mmikki ik kk k m yI M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此不等式乘以ix ∆，然后对1,2,i n=…相加，有()11111n mn n miki k i i ik i ki k i i k mx y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()1ni i i s T I x S T ξ=≤∆≤∑.(1) 已知函数(),f x y 在R可积，根据定理有()()0lim lim (,),T T RS T s T f x y dxdy →→==⎰⎰又不等式（1），有()()01lim ,niiT i RI x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即()()(),,.bbdaa c Rf x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),d b caf x y dx dy⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，也存在，且()(),,dbcaRf x y dxdy f x y dx dy⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.也可将累次积分(),b dacf x y dy dx⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(),d bcaf x y dx dy⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰分别记为(),b dac dx f x y dy⎰⎰和(),dbcadx f x y dy ⎰⎰. 定义 1 设函数()()12,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数()()12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域()()()[]{}12,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}12,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称为x 型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .定理2 设有界闭区域R 是x 型区域，若函数(),f x y 在R 可积，且[],x a b ∀∈，定积分()()()21,x xf x y dy ϕϕ⎰存在，则累次积分()()()21,bxaxdx f x y dy ϕϕ⎰⎰也存在，且()()()()21,,bxaxRf x y dxdy dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.利用极坐标计算二重积分公式：()(),cos ,sin RRf x y dxdy f r r rdrd ϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰例 1 计算二重积分()sin Rx y dxdy +⎰⎰，其中0,0.22R x y ππ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭解被积函数()cos x y +在R 连续，则有()cos Rx y dxdy +⎰⎰=()220cos dy x y dxππ+⎰⎰=220(cos cos sin sin )dy x y x y dxππ-⎰⎰=()20cos sin y y dy π+⎰= 1+01-例2 计算二重积分22Dxdxdyy⎰⎰，其中D是由直线2,x y x==和双曲线1xy=所围成，D既是x型区域又是y 型区域，如图（3）所示.解先对y积分，后对x积分.将D投影在x轴上，得闭区间[]1,2.[]1,2x∀∈,关于y积分，在D内y的积分限是1yx=到y x=，然后在投影区间[]1,2上关于x积分，即()222231221194xxDx xdxdy dx dy x x dxy y==-=⎰⎰⎰⎰⎰.先对x积分，后对y积分.因为D的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式1xy=和y x=给出的，所以必须将图（3）所示的区域D分成两个区域()1D PRS与()2D PRQ，分别在其上求二重积分，然后再相加，即2122222122211222221294yyD D Dx x x x xdxdy dxdy dxdy dy dx dy dxy y y y y=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例3 设函数()f x在[]0,1上连续，并设()2,f x dx B=⎰求()()22.xI dx f x f y dy=⎰⎰解因为()()()()222yxI dx f x f y dy dy f x f y dx==⎰⎰⎰⎰ ()()()()22yxf y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰所以()()()()()()2222222x xI f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy B =+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以22B I =.2.2 换元法求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算. 定理3若函数(),f x y 在有界闭区域R 连续，函数组()(),,,x x u v y y u v == （2）将uv 平面上区域'R 变换为xy 平面上区域R .且函数组(2)在'R 上对u 与对v 存在连续偏导数，(),'u v R ∀∈, 有()(),0,,x y J u v ∂=≠∂则()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （3）证明用任意分法T 将区域R 分成n 个小区域：12,,,nR R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12,,,nσσσ∆∆⋅⋅⋅∆.于是，在'R 上有对应的分法'T ,它将'R 对应地分成n 个小区域12',',,'nR R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12',',,'n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.根据定理可得(),'ku v R ∀∈，有()()(),','.,k k k x y J u v u v σσσ∂∆≈∆=∆∂(),k k kR ξη∀∈，在'kR 对应唯一一点(),kkαβ，而()(),,,k k k k k k x y ξαβηαβ==.于是，()()()()11,,,,,'.nnkkkkkk k k k k k k f f x y J ξησαβαβαβσ==∆≈∆⎡⎤⎣⎦∑∑(4)因为函数组（2）在有界闭区域R 上存在反函数组()(),,,u u x y v v x y ==，并且此函数组在R 一致连续，所以当T →时，也有'0T →.对（4）取极限()0T→，有()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例4 计算两条抛物线2y mx=与2ynx=和两条直线y xα=与y x β=所围成R 区域的面积()0,0R m n αβ<<<<，如图（4）所示.解已知区域R 的面积RR dxdy =⎰⎰.设2,.y yu v x x==这个函数将xy 平面上的区域R 变换为uv 平面上的区域'R ，'R 是由直线,u m u n ==和,v v αβ==所围成的矩形域.()()()()43224222,11.,,2,1x y x y x uu v u v y x y v y yx y x xy x x∂⎛⎫===== ⎪∂∂⎝⎭-∂-由定理3可知,()()4',,n m RR x y u R dxdy dudv dv duu v v βα∂===∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()223322433.26n m n m dv v βαβααβ---==⎰本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。

计算二重积分的几种简便方法

计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学分析中的一个重要内容，是在平面上求对一个区域内的函数值总和的数学运算。

在实际应用中，计算二重积分有时候会比较复杂，需要用到一些简便方法来简化运算。

本文将介绍一些计算二重积分的简便方法，帮助读者更好地理解和掌握这一数学概念。

第一种简便方法是利用极坐标转换。

极坐标是一种描述平面上点的坐标系，将二重积分转换成极坐标系下的积分可以大大简化原来的计算过程。

设被积函数为f(x, y)，要计算的二重积分是∬f(x, y)dxdy，将坐标系从直角坐标系转换为极坐标系，即x=r*cosθ，y=r*sinθ，其中r为极径，θ为极角，那么dxdy可表示为rdrdθ。

被积函数f(x, y)也可以表示为g(r, θ)，这样原来的二重积分可以转换为∬g(r, θ)rdrdθ。

通过这种方法，可以大大简化计算过程，特别是对于一些对称的被积函数，极坐标转换方法尤其有效。

第三种简便方法是利用对称性。

有些被积函数在特定的区域内具有对称性，可以利用这种对称性简化计算过程。

如果被积函数在某个区域内具有轴对称性，那么可以只计算该区域内的一半，然后乘以2来得到整个区域的二重积分值。

又如，如果被积函数在某个区域内具有中心对称性，那么可以只计算该区域内的一部分，然后乘以4来得到整个区域的二重积分值。

利用对称性简化计算二重积分是一种常用的方法，能够节省计算时间和精力。

除了上述的简便方法外，还有一些其他的技巧和方法可以帮助简化计算二重积分。

可以利用奇偶性来简化被积函数，将其分解成奇函数和偶函数的组合，然后分别计算，再相加求和得到最终的二重积分值。

又如，可以利用分部积分法简化计算过程，将原来的二重积分转换成一重积分或更简单的形式，然后再进行计算。

这些技巧和方法都可以帮助简化计算二重积分，提高计算的效率和准确性。

在实际应用中，计算二重积分是一个非常重要的问题，涉及到数学、物理、工程等多个领域。

掌握简便方法可以帮助我们更好地理解和应用二重积分，解决实际问题。

分部积分法在二重积分中的巧用

分部积分法在二重积分中的巧用
分部积分方法在二重积分中的巧用
一般而言，二重积分指两个变量的函数分别用单重积分求解，使结果包含两个
变量，如果不能准确地解决二重积分问题，就要利用分部积分的技巧来求解了。

分部积分的基本思想是把极限过程拆分成几个步骤，每种情况都有特定的积分
方式，各步骤的结果存在时叠加到一起，最后就可以得到最终的结果了。

要使用分部积分来求解二重积分问题，就要根据情况确定想要积分的方向。

一
般来说，需要以外层变量为主，先把其分部，之后再以内层变量来内分，最后把分部所得各部分结果叠加起来即可得到最终结果。

在推导过程中，把被积函数展开成一系列多项式，依次求出每个多项式的和，最后把这些结果加起来即可得到原函数，进而算出原函数的二重积分。

同样的，分部积分方法也可以用来处理多重积分的求解问题，求多重积分首先
要对变量进行排序，就是规定一个排序规则，根据排序的结果，按顺序分部进行积分。

除此之外，还可以采用级数积分法、向量积分法等进行复杂多重积分的求解工作。

总之，分部积分方法是一种有效求解复杂二重或多重积分问题的有效方法，在
各种复杂区域积分计算中很有用。

这种方法结合了单重积分和多重积分的优点，能够比较准确地求解各种积分问题，在工业、物理、工程学乃至数学等领域有重要的应用价值。

二重积分的分部积分法

二重积分的分部积分法
一、什么是分部积分
分部积分是指将原函数化为几个更容易积分的函数，分别积分后将结果加以累加，从而得到原函数的积分结果。

二、分部积分的方法
（1）变量重组法：将原函数中的和或积拆分开，将同一变量联合起来，并将新形成的函数容易积分变量作为内部变量，其余的变量作为外部变量，将原函数分解为几部分，每部分对内部变量求积分即可。

（2）蒙特卡洛积分法：利用随机数进行积分，计算出积分值的均值，由此计算出积分的值。

（3）置换积分法：令相应函数的某一变量不变，将其他两个变量的空间收缩到更低维度，这样可以降低空间的复杂度，从而使其容易积分。

三、二重积分的分部积分法
二重积分的分部积分法是指将二重积分的函数拆分成两个简单积分，先对一个变量求积分，积分结果即为另一个变量的函数，再将此函数求积分，整个过程可以分为两部分来完成，从而得到二重积分的结果。

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分部积分法在重积分中的应用

分部积分法在重积分中的应用
丁介平
【期刊名称】《安徽广播电视大学学报》
【年(卷),期】2004(000)003
【摘要】本文通过对重积分计算的分析,认为可以不用交换积分的次序来计算,从而得到用分部积分法计算重积分的结论:∫Df(x,y)dxdy=x[x∫y2(x)y1(x)F(x,y)dy]ba-∫bax,[F(x,y2(x))y'2(x)-F(x,y'1(x))Y'1(x)]dx同时将结论予以推广,并通过具体例题说明其应用.
【总页数】2页(P124-125)
【作者】丁介平
【作者单位】安徽邮电职业技术学院,安徽,合肥,230031
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.也谈分部积分法在重积分中的应用 [J], 刘夫孔;赵功兰
2.分部积分法在重积分中的应用 [J], 钟煜妮;林文贤
3.关于分部积分法在重积分中的应用 [J], 肖平
4.二重积分计算中“分部积分法”的应用 [J], 祝浩锋;李慧
5.关于分部积分法在重积分中的应用 [J], 肖平
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重积分计算中的分部积分法

重积分计算中的分部积分法
分部积分法是一种重要的数学方法，它可以用来计算复杂的函数的积分。

它的基本思想是将一
个复杂的函数分解成若干个简单的函数，然后分别计算每个函数的积分，最后将这些积分相加，得到原函数的积分。

分部积分法的基本原理是，将一个复杂的函数分解成若干个简单的函数，然后分别计算每个函
数的积分，最后将这些积分相加，得到原函数的积分。

例如，计算函数f(x)=x^2+2x+1的积分，可以将它分解成f1(x)=x^2和f2(x)=2x+1两个函数，然后分别计算f1(x)和f2(x)的积分，最
后将这两个积分相加，得到原函数的积分。

分部积分法的优点是可以将一个复杂的函数分解成若干个简单的函数，这样可以大大减少计算量，提高计算效率。

另外，分部积分法还可以用来计算多元函数的积分，这样可以更好地求解
复杂的函数。

分部积分法的缺点是，由于分解的函数可能不是完全正确的，因此可能会导致计算结果的误差。

另外，分部积分法也可能会导致计算量的增加，因为需要计算多个函数的积分。

总之，分部积分法是一种重要的数学方法，它可以用来计算复杂的函数的积分，具有计算效率高、可以计算多元函数积分等优点，但也存在一定的缺点，因此在使用时要根据实际情况进行
选择。

二重积分的分部积分公式与格林公式

在导出黎曼问题的弱解概念时,在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱"形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法,其实就是格林公式.一般意义下的分部积分公式：uv dxuv vu dx ''=-⎰⎰或udv uv vdv =-⎰⎰证明:分部积分实际上是把普通积分公式f dx f '=⎰中的被积函数f 换成了两个函数的乘积,故可称之为一维情况下的分部积分；把普通积分公式运用到二维情况,其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）. 格林公式：Fdxdy Fdy xΩ∂Ω∂=∂⎰⎰⎰Fdxdy Fdx y Ω∂Ω∂=-∂⎰⎰⎰ 一般合并写为D LQ P dxdy Pdx Qdy xy ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰证明（以第一个公式为例）:积分域为{}(x,y)|a(y)x b(y),c y d Ω=≤≤≤≤，如图:则:(y)(y)(y)(y)(x,y)((y),y)((y),y)d b c a d x b x a cddc cFdxdy xFdxdy xF dyF b dy F a dyFdyΩ==∂Ω∂∂∂=∂==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰类似地,把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积,则导出二维情况下的分部积分。

二重积分的分部积分公式:()gffdxdy fg dy gdxdy xx Ω∂ΩΩ∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ()gffdxdy fg dx gdxdy y yΩ∂ΩΩ∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 证明（以第一个公式为例): 在Fdxdy Fdy xΩ∂Ω∂=∂⎰⎰⎰中，把F 换为fg ,则： ()()fg dxdy fg dy xΩ∂Ω∂=∂⎰⎰⎰，即()()g f fg dxdy fg dy x x Ω∂Ω∂∂+=∂∂⎰⎰⎰ 即()gffdxdy fg dy gdxdy xxΩ∂ΩΩ∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 综上:把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式;把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。

多元函数积分的分部积分法

多元函数积分的分部积分法分部积分法是求解多元函数积分时的一种常用方法。

它是根据导数的乘积法则和积分的反运算关系，将被积函数中的一个因子求导，另一个因子求积分，从而将原始的积分问题转化为求解更简单的积分问题。

本文将介绍多元函数积分的分部积分法及其应用。

首先，我们来回顾一下一元函数的分部积分法。

对于一元函数f(x)和g(x)，根据乘积的导数公式有：\[\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]将该式两边同时进行积分可得：\[\int(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))dx=\int\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx\]由积分的反运算关系，右边的积分等于f(x)g(x)，即：\[\int(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))dx=f(x)g(x)+C\]其中C为积分常数。

这个就是一元函数的分部积分公式。

接下来，我们将分部积分法推广到多元函数。

对于多元函数f(x1,x2,...,xn)和g(x1,x2,...,xn)，根据多元函数的导数乘积法则可得：\[\frac{\partial}{\partialx_i}(f(x_1,x_2,...,x_n)g(x_1,x_2,...,x_n))=\frac{\partialf}{\partial x_i}g+f\frac{\partial g}{\partial x_i}\]其中\(\frac{\partial f}{\partial x_i}\)和\(\frac{\partial g}{\partial x_i}\)分别表示对x_i求偏导数。

我们将该式两边同时进行积分可得：\[\int(\frac{\partial f}{\partial x_i}g+f\frac{\partialg}{\partial x_i})dx_i=\int\frac{\partial}{\partialx_i}(f(x_1,x_2,...,x_n)g(x_1,x_2,...,x_n))dx_i\]左边的多元积分可化简为：\[\int(\frac{\partial f}{\partial x_i}g+f\frac{\partialg}{\partial x_i})dx_i=\int[\frac{\partial}{\partialx_i}(fg)]dx_i\]右边的多元积分可化简为：\[\int\frac{\partial}{\partialx_i}(f(x_1,x_2,...,x_n)g(x_1,x_2,...,x_n))dx_i=\int d(fg)\]由于多元积分是对所有变量同时进行积分，因此上述结果可以推广到多个变量上。