2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)

在区间 (0, ) 内存在“S 点”，并说明理由．
3．【答案】（1）见解析；（2） a 的值为 e ； 2
（3）对任意 a 0 ，存在 b 0 ，使函数 f x 与 g x 在区间 0, 内存在“ S 点”．
【解析】（1）函数 f x x ， g x x2 2x 2 ，则 f x 1， g x 2x 2 ．
x
2x
2 a be
bex x
x x 1
x2
，即
x
2x
2 a
e x0
2 x03
ex0 1
2 x03
1
x0
x0 ex
ex x
x 1
x2
（**），
此时， x0 满足方程组（**），即 x0 是函数 f x 与 g x 在区间 0,1 内的一个“ S 点”．
因此，对任意 a 0 ，存在 b 0 ，使函数 f x 与 g x 在区间 0, 内存在“ S 点”．
① k 1 ，则 h(x) 0 ， h(x) 递增， h(x) 有唯一零点， 16
② 0 k 1 ，则令 h(x) ( 16
1 x
1)2 k 1
4
16
0 ，得 h(x) 有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 ) ，
∴
1 x1
1 4
，∴ 0
x1
16 .
可知 h(x) 在 (0, x1) 递增， (x1, x2 ) 递减， (x2 , ) 递增，
f
(x2 )
8 8ln 2
.
（2）设 h(x) (kx a) f (x) kx x ln x a ， 则当 x 充分小时 h(x) 0 ，充分大时 h(x) 0 ，所以 h(x) 至少有一个零点，
则 h(x) 1 1 k k 1 ( 1 1 )2 ，
x 2x
16 x 4
2018 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （导数及其应用）
一、选择题
1．（2018 全国新课标Ⅰ文、理）设函数 f x x3 a 1 x2 ax ．若 f x 为奇函数，则曲线 y f x
在点 0 ，0 处的切线方程为（ ）
A． y 2x B． y x C． y 2x
D． y x
（1）证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”； （2）若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；
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（3）已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x) x
1 2
,
．
【解析】（1）因为 f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex ，
所以 f x 2ax 4a 1 ex ax2 4a 1 x 4a 3 ex
ax2 – 2a 1 x 2 ex ， f 1 1 ae ，由题设知 f 1 0 ，即 1 ae 0 ，解得 a 1 ．
因为 h0 a 0 ， h1 1 3 a a 2 0 ，且 h x 的图象是不间断的，
所以存在
x0
0,1
，使得
h
x0
0
，令
b
e x0
2 x03
1
x0
，则
b
0
．
函数 f x x2 a ， g x bex ，
x
则
f
x
2x
，
gx
bex
x
x2
1
．
由 f x g x 且 f x g x ，得
2
2
所以 2 不是 f x 的极小值点．
综上可知，
a
的取值范围是
1 2
,
．
3．（2018 江苏）记 f (x), g(x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数．若存在 x0 R ，满足 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ，则称 x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”．
【解析】由函数的解析式可得：
f
x
ex
ln
x
ex
1 x
ex
ln
x
1 x
，
则
f
1
e1
ln
1
1 1
e
．即
f
1
的值为 e ．
3．（2018 全国新课标Ⅱ文）曲线 y 2 ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为__________．
3．【答案】 y 2x 2
【解析】由 y f x 2ln x ，得 f x 2 ，
此时 f 1 3e 0 ，所以 a 的值为 1．
（2）由（1）得 f x ax2 – 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2ex ．
若
a
1 2
，则当
x
1 a
, 2
时，
f
x
0；
当 x 2, 时， f x 0 ，所以 f x 0 在 x 2 处取得极小值．
若 a 1 ，则当 x 0,2 时， x 2 0 ， ax – 1 1 x 1 0 ，所以 f x 0 ，
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4．（2018 浙江）已知函数 f(x)= x −lnx． （Ⅰ）若 f(x)在 x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点．
由
f
x
g
x且
f
x
gx
，得
x
1
x2 2x 2x 2
2
，此方程组无解，
因此， f x 与 g x 不存在“ S ”点．
（2）函数 f x ax2 1， g x ln x ，则 f x 2ax ， g x 1 ．
x
设 x0 为 f x 与 g x 的“ S ”点，由 f x0 与 g x0 且 f x0 与 g x0 ，
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【解析】 Q
y
x
2
1
，
k
2 0 1
2 ， y
2x ．
5．（2018 全国新课标Ⅲ理）曲线 y ax 1ex 在点 0，1 处的切线的斜率为 2 ，则 a ________．
5．答案： 3 解答： y aex (ax 1)ex ，则 f (0) a 1 2 ， 所以 a 3.
三、解答题
1．（2018 北京文）设函数 f x ax2 3a 1 x 3a 2 ex ．
（1）若曲线 y f x 在点 2,f 2 处的切线斜率为 0，求 a ；
（2）若 f x 在 x 1 处取得极小值，求 a 的取值范围．
1．【答案】（1） 1 ；（2） 1, ．
2
【解析】（1） Q f x ax2 3a 1 x 3a 2 e x ， f x ax2 a 1 x 1 ex ， f 2 2a 1e2 ，由题设知 f 2 0 ，即 2a 1e2 0 ，解得 a 1 ．
x
则曲线 y 2ln x 在点 1,0 处的切线的斜率为 k f 1 2 ， 则所求切线方程为 y 0 2 x 1 ，即 y 2x 2 ．
4．（2018 全国新课标Ⅱ理）曲线 y 2 ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________． 4．【答案】 y 2x
5．（2018 天津文）设函数 f (x)=(x t1)(x t2 )(x t3) ，其中 t1,t2,t3 R ,且 t1,t2,t3 是公差为 d 的等
差数列.
（I）若 t2 0, d 1, 求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （II）若 d 3，求 f (x) 的极值； （III）若曲线 y f (x) 与直线 y (x1 t2 ) 6 3 有三个互异的公共点，求 d 的取值范围.
，
t
f (x1) f (x2 ) (
x1
x2 ) ln
x1x2
1 2t
ln
1 t2
1 2t
2ln t
，
令 g(t)
1 2t
2ln t ， g(t)
2 t
1 2t 2
4t 2t 2
1
0
，∴
g
(t
)
在
(0,
1 16
)
上单调递减.
所以
g(t)
g( 1 ) 16
8 8ln 2 ，即
f
(x1)
得
ax02 1
2ax0
ln x0 1 x0
Baidu Nhomakorabea
，即
ax022ax102ln1
x0
，（*）
得 ln
x0
1 2
，即
x0
1
e2
，则 a
1 e． 1 2 2
2e 2
当a
e 2
时，
x0
1
e2
满足方程组（*），即
x0 为
f
x 与
g
x 的“
S
”点．
因此， a 的值为 e ． 2
（3）对任意 a 0 ，设 h x x3 3x2 ax a ．
极大值
]
2．（2018北京理）设函数 f (x) =[ ax2 (4a 1)x 4a 3 ] ex ． （Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1， f (1) ）处的切线与 x 轴平行，求a；
（Ⅱ）若 f (x) 在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
2．【答案】（1）
a
的值为
1；（2）
a
的取值范围是
所以 f x f 0 ， f x min f 1, f 1 f 1 ，
max
min
f
x
max
f
x min
f
0
f
1 1 4 3 ．
2．（2018 天津文）已知函数 f(x)=exlnx，f ′(x)为 f(x)的导函数，则 f ′（1）的值为__________．
2．【答案】 e
方法二： f x ax 1 x 1ex ．
（1）当 a 0 时，令 f x 0 得 x 1 ， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1
1
1,
f x
0
f x
Z
极大值
]
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意．
（2）当 a
0 时，令
f
x
0
得
x1
1 a
，
x2
1．
①当 x1 x2 ，即 a 1时， f x x 12 ex 0 ， f x 在 R 上单调递增，
2
（2）方法一：由（1）得 f x ax2 a 1 x 1 ex ax 1 x 1 ex ．
若
a
1 ，则当
x
1 a
,1
时，
f
x
0
；当
x
1,
时，
f
x
0
．
所以 f x 在 x 1处取得极小值．
若 a 1，则当 x 0,1 时， ax 1 x 1 0 ， f x 0 ． 所以 1 不是 f x 的极小值点． 综上可知， a 的取值范围是 1, ．
1. 答案：D
解答：∵ f (x) 为奇函数，∴ f (x) f (x) ，即 a 1，∴ f (x) x3 x ，∴ f '(0) 1，∴ 切线方程为： y x ，∴选 D.
二、填空
1．（2018 江苏）若函数 f (x) 2x3 ax2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点，则 f (x) 在 [1,1] 上 的最大值与最小值的和为 ▲ ．
1．【答案】 3
【解析】由 f x 6x2 2ax 0 得 x 0 ， x a ，因为函数 f x 在 0, 上有且仅有一
3
个零点且
f
0
=1 ，所以
a 3
0
，
f
a 3
0，
因此
2
a 3
3
a
a 3
2
1
0
，
a
3
，
从而函数 f x 在1, 0 上单调递增，在0,1 上单调递减，
∴ h(x1) kx1
x1
ln x1
a
( 2
1 x1
1) x1
x1
x1 ln x1 a
x1 2
1 ln
x1
a
，
又 h(x1) 4
1 x1
1 x1
4 x1 4 x1
，
∴ h(x1) 在 (0,16) 上单调递增， ∴ h(x1) h(16) ln16 3 a ln16 3 3 4ln 2 0 ， ∴ h(x) 有唯一零点， 综上可知， k 0 时， y kx a 与 y f (x) 有唯一公共点.
f x 无极值，不合题意．
②当 x1 x2 ，即 0 a 1 时， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1
1
1,1a
1 a
f x
0
0
f x
Z
极大值
]
极小值
1 a
,
Z
第 2页 （共 12页）
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意． ③当 x1 x2 ，即 a 1时， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1 a
1 a
1 a
,1
1
f x
0
0
1,
f x
Z
极大值
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极小值，即 a 1满足题意．
（3）当
a
0
时，令
f
x
0
得
x1
1 a
，
x2
1，
f
x
，
f
x
随
x
的变化情况如下表：
x
,1 a
1 a
1 a
,1
1,
f x
0
0
f x
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意． 综上所述， a 的取值范围为 1, ．
4．.答案：（1）略；（2）略.
解答：（1）
f
( x)
1 2x
1 x
，不妨设
f
( x1 )
f
(x2 )
t ，即 x1, x2 是方程
1 2x
1 x
t 的两
根，即
x1 ,
x2
是方程 tx2
x 2
1
0 的根，
所以 1 4t 0 ，得 0 t 1 ，且
4
16
x1
x2
1 2t
，
x1
x2
1