初等数论第一次作业

初等数论第一次作业
简答题
1.叙述整数a被整数b整除的概念。

答：设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。

2.给出两个整数a，b的最大公因数的概念。

答：设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。

a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。

3.叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。

答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。

14的所有质数为2,3,5,7,11,13
4.叙述合数的概念，并判断14是否为合数。

答：一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。

14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。

5. 不定方程c
ax=
+有整数解的充分必要条件是什么？
by
答：不定方程有整数解的充分必要条件是。

6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。

答：没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。

7. 写出一组勾股数。

答：一组勾股数为3,4,5。

8.写出两条同余的基本性质。

答：同余的基本性质为：
性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则
①a≡a（mod m）；
②若a≡b（mod m），则b≡a（modm）；
③若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。

性质3
①若（modm），（modm），则（modm）
②若a＋b≡c（modm），则a≡c－b（modm）。

9. 196是否是3的倍数，为什么？
答：196不是3的倍数。

因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。

所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。

10. 696是否是9的倍数，为什么？
答：696不是9的倍数。

因为由定义可知设a,b是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。

所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。

11.叙述孙子定理的内容。

答：孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数,
（1)设,
则同余式组(1)的解是
(2)其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。

12.叙述算术基本定理的内容。

答：任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数
，
其中是质数，并且若，,其中
是质数，则m＝n，，i＝1，2，…，n。

13.给出模6的一个完全剩余系。

答：模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。

14.给出模8的一个简化剩余系。

答：由于8的标准分解式为8=23，所以
所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模8不同余。

比如1,7就是模8的一个简化剩余系。

15.写出一次同余式)
ax 有解得充要条件。

b
(mod m
答：一次同余式有解的充要条件是(a,m)|b。