2018届山东省莱芜市高三数学二模试卷(文科)Word版含解析
山东省莱芜市2018届高三上学期期中考试数学文试题 含
高三期中质量检测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =≤，集合{}3|log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|3x x <C ．{}|02x x <≤D ．{}|12x x <≤2.下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∃∈，lg 0x = B ．,x R ∃∈tan 0x = C ．x R ∀∈，20x>D ．x R ∀∈，20x >3.下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)+∞上的减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2x y -=4.数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，若7703S π=，则4sin a =（ ）A ．B ．12-C ．12 D 5.已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =（ ）A B C ．2D ．36.要得到函数()cos(2)6f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos C =（ ）A ．14-B ．4-C ．14D ．48.函数331x x y =-的大致图象是（ ）9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n．① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++=…（ ） A ．2(1)n -B ．(1)n n -C ．2nD ．(1)n n +10.函数223,0,()|2|ln ,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，边2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是（ ） A ．[]1,3B ．[]1,5C ．[]2,4D ．[]2,512.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x =若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11(2,2)()44k k k Z -+∈ B ．11(2,2)()33k k k Z -+∈C ．11(4,4)()44k k k Z -+∈D ．11(4,4)()33k k k Z -+∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.211log 522+的值为 ．14.计算：cos102sin 20sin10︒-︒=︒．15.已知曲线1C ：xy e =与曲线2C ：2()y x a =+，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为 ．16.若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“中间函数”．已知函数()(1)1f x k x =--，()2g x =-，()(1)ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“中间函数”，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数22()cos ()sin 6f x x x π=--．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 18.在数列{}n a 中，已知121a a ==，212n n n a a a λ+++=+，*n N ∈，λ为常数． （1）证明：1a ，4a ，5a 成等差数列； （2）设12n na a nb +-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3C π=．（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值； （2）求sin sin A B 的取值范围． 20.已知函数3221()(1)3f x x ax a x b =-+-+（a ，b R ∈）． （1）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，求a 的取值范围．21.在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且2211b S +=，3329S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令12nnnacn b=⋅，设数列{}n c的前n项和为n T，求1nnTT-（*n N∈）的最小值．22.已知函数1()()3lnf x a x xx=--．（1）若函数()f x在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（3）设函数3()eg xx=，若在[]1,e上至少存在一点x，使得00()()f xg x>成立，求实数a的取值范围．高三期中质量检测文科数学试题答案一、选择题1-5:CDBAD 6-10:ABCBC 11、12：DC二、填空题13.22ln 2- 16.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）2211()cos ()sin 1cos(2)(1cos 2)6232f x x x x x ππ⎡⎤=--=+---⎢⎥⎣⎦1cos(2)cos 223x x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦132cos 2)22x x =+)3x π=+， 所以函数()f x 的最小正周期为π． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin(2)123x π-≤+≤，所以3()4f x ≥-，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为34-． 18.解：（1）因为212n n n a a a λ+++=+，121a a ==， 所以32121a a a λλ=-+=+，同理，432231a a a λλ=-+=+，543261a a a λλ=-+=+，又因为413a a λ-=，543a a λ-=， 所以4154a a a a -=-， 故1a ，4a ，5a 成等差数列．（2）由212n n n a a a λ+++=+，得211n n n n a a a a λ+++-=-+， 令1n n n c a a +=-，则1n n c c λ+-=，1210c a a =-=， 所以{}n c 是以0为首项，公差为λ的等差数列， 所以1(1)(1)n c c n n λλ=+-=-，即1(1)n n a a n λ+-=-，21n n a a n λ++-=，两式相加，得：2(21)n n a a n λ+-=-， 所以1(1)22n na a n nb λ+--==，02(1)122222n n n S b b b λλλ-=+++=++++……，当0λ=，n S n =， 当0λ≠，02(1)12222212n n n S λλλλλ--=++++=-…．19.解：（1）由余弦定理及题设可知：22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，由正弦定理sin sin B b A a =，得sin sin BA=． （2）由题意可知23A B π+=．21sin sin sin sin()sin sin )32A B A A A A A π=-=+112cos 244A A =-+11sin(2)264A π=-+． 因为203A π<<，所以2666A πππ7-<-<，故1sin(2)126A π-<-≤，所以sin sin A B 的取值范围是3(0,]4．20.解：（1）∵(1,(1))f 在30x y +-=上，∴(1)2f =， ∵点(1,2)在()y f x =的图象上，∴21213a ab =-+-+，又'(1)1f =-，∴21211a a -+-=-，∴2210a a -+=，解得1a =，83b =． ∴3218()33f x x x =-+，2'()2f x x x =-， 由'()0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点． ∵8(0)3f =，4(2)3f =，(2)4f -=-，(4)8f =， ∴()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8，最小值为4-．（2）因为函数()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，所以函数'()f x 在(1,1)-上存在零点． 而'()0f x =的两根为1a -，1a +，若1a -，1a +都在(1,1)-上，则111,111,a a -<+<⎧⎨-<-<⎩解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间(1,1)-上，则111a -<+<或111a -<-<， ∴(2,0)(0,2)a ∈-．21.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则23311,2(3332)9,d q d d q +++=⎧⎨++++=⎩ 解得3d =，2q =， 所以3n a n =，12n n b -=． （2）由（1）得132n n c =⋅，故13(1)2nnT =-， 所以由13(1)2n n T =-可知，n T 随n 的增大而增大，所以132n T T ≥=， 令1()f x x x =-，0x >，则21'()10f x x=+>，故()f x 在0x >时是增函数，111156n n T T T T -≥-=， 所以，1n nT T -的最小值是56．22.解：（1）22233'()a ax x af x a x x x -+=+-=，0x >，因为函数()f x 在其定义域内为增函数， 所以230ax x a -+≥，0x >恒成立， 当0a ≤时，显然不成立； 当0a >时，302a>，要满足230ax x a -+≥，0x >时恒成立，则2940a ∆=-≤， ∴32a ≥． （2）设函数13()()()()3ln eh x f x g x a x x x x=-=---，[]1,x e ∈， 则原问题转化为在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()0h x >，即max ()0h x >． ①0a ≤时，13()()3ln eh x a x x x x=---， ∵[]1,x e ∈，∴10x x -≥，30ex>，ln 0x >，则()0h x <，不符合条件； ②0a >时，22222333(3)(1)(33)'()a e ax x a e a x e x h x a x x x x +-++++-=+-==， 由[]1,x e ∈，可知22(1)(33)'()0a x e x h x x++-=>， 则()h x 在[]1,e 单调递增，max ()()60a h x h e ae e ==-->，整理得261e a e >-． 综上所述，26(,)1ea e ∈+∞-．。
山东省2018年高考文科数学试题及答案(Word版)
山东省2018年高考文科数学试题及答案（Word 版）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z =A ．0B ．12C ．1D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B．C．D．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15BCD ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知s i n s i n 4s i ns i nb Cc B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。
2018届山东省齐鲁名校联考高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
2018届山东省齐鲁名校联考高考二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A={x∈Z|≤0}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则集合B的子集个数为（）A．5 B．8 C．3 D．22．若（1+i）2+|2i|=，其中z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则直线bx﹣ay+a=0的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，324．若直线y=x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．25．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π6．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A=（）A．45°B．30°C．60°D．90°8．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）A．B． C． D．9．函数f（x）=，则y=f（1﹣x）的图象是（）A．B．C．D．10．如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．阅读如图程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的自然数为．12．数列{an }的前n项和为Sn=n2+n+1，bn=（﹣1）n（an﹣2）（n∈N*），则数列{bn}的前50项和为．13．等腰△ABC的角A=，|BC|=2，以A为圆心，为半径作圆，MN为该圆的一条直径，则的最大值为．14．一只小虫在半径为3的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于1，称为“安全距离”，则小虫安全的概率为．15．以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为圆；③方程ln2x﹣lnx﹣2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点．其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三．解答题（本大题共6小题，共75分.应写出证明过程或演算步骤．）16．（12分）某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本次测试的平均成绩；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．17．（12分）已知=（sinωx，cosωx），=（cosωx，﹣cosωx）（ω＞0，x∈R），f（x）=•﹣且f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b=，f（B）=0，sinA=3sinC，求a，c的值及△ABC的面积．18．（12分）如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1，FC=2．（1）证明：EF⊥BD；（2）求多面体ABCDEF的体积．19．（12分）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn ，再令an=lgTn，n≥1，且n∈N+．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =tanan•tanan+1，求数列{bn}的前n和Sn．20．（13分）已知函数f（x）=ax﹣﹣2lnx，对任意实数x＞0，都有f（x）=﹣f（）成立．（1）求函数y=f（e x）所有零点之和；（2）对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（14分）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，点在椭圆C 上，满足•=．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 1过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线l 2与l 1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，与直线x=1交于点K （K 介于M ，N 两点之间）． （ⅰ）求证：|PM|•|KN|=|PN|•|KM|；（ⅱ）是否存在直线l 2，使得直线l 1、l 2、PM 、PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l 2的方程；若不能，请说明理由．2018届山东省齐鲁名校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A={x ∈Z|≤0}，B={y|y=x 2+1，x ∈A}，则集合B 的子集个数为（ ） A ．5B ．8C ．3D ．2【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】利用列举法求得集合A 、B ，然后根据子集的概念，即可得出结论． 【解答】解：A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，5}，子集个数为23=8个， 故选B ．【点评】本题考查子集的概念，考查集合的化简，比较基础．2．若（1+i）2+|2i|=，其中z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则直线bx﹣ay+a=0的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义、直线斜率即可得出．【解答】解：∵（1+i）2+|2i|=，∴，∴z=2﹣2i，a=2，b=﹣2，∴k=﹣=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义、直线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32【考点】B4：系统抽样方法．【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的．【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B．【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．4．若直线y=x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线y=x与x+y﹣4=0确定交点（2，2），则由条件确定m的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由，解得x=2，y=2，即交点坐标A（2，2）．要使直线y=x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤2∴实数m的最大值为2．故选：D．【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，是中档题．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】设外接球半径为r，则有，解出利用体积计算公式即可得出．【解答】解：设外接球半径为r，则有，所以，所以．故选：D．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A=（）A．45°B．30°C．60°D．90°【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得，利用基本不等式可求2sinC≥2，可得sinC=1，求得C的值，进而可求A的值．【解答】解：∵，∴由正弦定理得，∵（当且仅当sinA=sinB时取等号）．∴2sinC≥2，即sinC≥1，又sinC≤1，故sinC=1，∴C=90°，∴A=B=45°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，基本不等式及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）A．B． C． D．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可．作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象，利用数形结合的思想求解即可【解答】解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，∵y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可．作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象如下设直线f（x）=kx+1与g（x）=lnx相切于点（a，b）；则⇒k=e﹣2且对数函数g（x）=lnx的增长速度越来越慢，直线f（x）=kx+1过定点（0，1）方程|lnx|=kx+1中取x=e3得k=2e﹣3，∴则实数k的取值范围是2e﹣3＜k＜e﹣2．故选：C【点评】本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．9．函数f（x）=，则y=f（1﹣x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据图象的平移和对称即可求出答案．【解答】解：f（x）=，则y=f（1﹣x）的图象是由y=f（x）的图象，沿y轴对折，得到y=f（﹣x）的图象，再向右平移一个单位得到的，故选：C【点评】本题考查了图象的平移和对称，属于基础题．10．如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】若P在线段AB上，设=λ，则有=，由于=x+y，则有x+y=1，由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，P落在线段MN上，则x+y=2．即可得到取值范围．【解答】解：若P在线段AB上，设=λ，则有==，∴=，由于=x+y（x，y∈R），则x=，y=，故有x+y=1，若P在线段MN上，设=λ，则有=，故x=1，y=0时，最小值为，当x=0，y=1时，最大值为故范围为[]由于在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，则=x+y=x+y（x，y∈R），则x=， y=，故有x+y=2，当x=2，y=0时有最小值，当x=0，y=2时，有最大值故范围为[]若P在阴影部分内（含边界），则∈．故选：C．【点评】本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．阅读如图程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的自然数为 4 ．【考点】EF ：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1， 第一圈4，2 是 第二圈13，3 是 第三圈40 4 否 故最后当i ＜4时退出， 故答案为：4．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．12．数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n+1，b n =（﹣1）n （a n ﹣2）（n ∈N *），则数列{b n }的前50项和为 49 ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】利用递推关系可得：a n =．数列{b n }的前50项的和=﹣1+2（1﹣2+3﹣4+…+47﹣48+49），即可得出【解答】解：数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n+1， ∴当n=1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n 2+n+1）﹣[（n ﹣1）2+（n ﹣1）+1]=2n ．∴a n =．∴b n =∴数列{b}的前50项的和=﹣1+2（1﹣2+3﹣4+…+47﹣48+49）=﹣1+2（﹣24+49）=﹣1+50=49，n故答案为：49．【点评】本题考查了递推关系的应用、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．等腰△ABC的角A=，|BC|=2，以A为圆心，为半径作圆，MN为该圆的一条直径，则的最大值为2﹣1 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用平面向量的三角形法则，进行数量积的运算，得到关于夹角θ的余弦函数解析式，借助于有界性求最值即可．【解答】解：设与的夹角为θ，∴=（+）•（+）=•+•（﹣）﹣=2×2×+•﹣3=2cosθ﹣1≤2﹣1故答案为：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，借助于余弦函数的有界性求最值；属于中档题．14．一只小虫在半径为3的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于1，称为“安全距离”，则小虫安全的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以球中心为球心，半径为2的球的内部，则概率为两几何体的体积之比，进而计算可得答案．【解答】解：由题意得安全的区域为以球中心为球心，半径为2的球的内部，故p=，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．15．以下四个关于圆锥曲线的命题中①设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为圆；③方程ln2x﹣lnx﹣2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点．其中真命题的序号为②③（写出所有真命题的序号）【考点】KE：曲线与方程．【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由椭圆的定义分析可得①错误；对于②、分析可得P是AB中点，结合垂径定理分析可得②正确；对于③、求出方程ln2x﹣lnx﹣2=0的两根，分析可得两根的大小可得③正确；对于④、分析椭圆、双曲线的焦点位置即可得④不正确，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、若动点P的轨迹为椭圆则需满足k＞|AB|，故①错误；对于②、若，则P是AB中点，即∠CPA=90°，所以P的轨迹是以CA为直径的圆，故②正确；对于③、方程ln2x﹣lnx﹣2=0的两根分别为x=e2或，而，故③正确；对于④、双曲线焦点在y轴上，椭圆的焦点在x轴上；故④不正确故答案为：②③．【点评】本题考查常见圆锥曲线的定义以及简单性质，关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的地定义．三．解答题（本大题共6小题，共75分.应写出证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2017•全国二模）某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本次测试的平均成绩；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图，先求出成绩小于13秒的频率，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）由频率分布直方图能估计本次测试的平均成绩．（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，从而得到第一组有3人，第五组有4人，进而第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，利用列兴法能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．┅┅┅┅3分（2）由频率分布直方图估计本次测试的平均成绩为：12.5×0.06+13.5×0.16+14.5×0.38+15.5×0.32+16.5×0.08=14.7┅┅┅┅┅┅┅6分（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，…7分∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，设第一组中三人分别为a1，a2，a3，其中a1为女生，第五组中四人分别为b1，b2，b3，b4，其中b1为男生，则基本时间空间为Ω={（a1，b1）（a1，b2）（a1，b3）（a1，b4）（a2，b1）（a2，b2）（a2，b3）（a2，b4）（a3，b1）（a3，b2）（a3，b3）（a3，b4）}n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m=7，∴所求概率为p==．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17．（12分）（2017•全国二模）已知=（sinωx，cosωx），=（cosωx，﹣cosωx）（ω＞0，x∈R），f（x）=•﹣且f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b=，f（B）=0，sinA=3sinC，求a，c的值及△ABC的面积．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据f（x）=•﹣，利用向量的运用，求解f（x）解析式，化简，根据f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．求解ω．即可求解函数f（x）的单调递增区间；（2）根据f（B）=0，求解B角大小．利用b=，sinA=3sinC，正余弦定理求解a，c和△ABC 的面积．【解答】解：由题意： =（sinωx，cosωx），=（cosωx，﹣cosωx）（ω＞0，x∈R），由f（x）=•﹣=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵相邻两对称轴之间的距离为，∴T=，∴ω=1函数f（x）的解析式为．（1）令．∴f（x）的单增区间为．在△ABC中，由余弦定理可得：，∴c=1，a=3．．【点评】本题考查了向量的运算和三角函数的化解能力，正余弦定理的运用，考查计算能力．属于中档题．18．（12分）（2017•全国二模）如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC ∥EA，设EA=1，FC=2．（1）证明：EF⊥BD；（2）求多面体ABCDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由地面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，又EA⊥平面ABCD，可得BD⊥EA，然后利用线面垂直的判定得BD⊥平面EACF，最后可得EF⊥BD；（2）把多面体ABCDEF的体积转化为2倍的棱锥B﹣ACFE的体积求解．【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵EA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EA，∵EA、AC⊂平面EACF，EA∩AC=A，∴BD⊥平面EACF，又∵EF⊂平面EACF，∴EF⊥BD；（2）解：∵ABCD是边长为2的正方形，∴AC=，又EA=1，FC=2，∴，∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查了多面体体积的求法，训练了等积法，是中档题．19．（12分）（2017•全国二模）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn ，再令an=lgTn，n≥1，且n∈N+．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =tanan•tanan+1，求数列{bn}的前n和Sn．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题意知：Tn =10n+2．可得an=lgTn．（2）由tan[（n+3）﹣（n+2）]= =tan1．可得tan（n+3）tan（n+2）=﹣1．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）由题意知：Tn=10n+2．∴an =lgTn=n+2．（2）∵tan[（n+3）﹣（n+2）]= =tan1．∴tan（n+3）tan（n+2）=﹣1．∴数列{bn }的前n和Sn=tan（1+2）tan（1+3）+tan（2+2）tan（2+3）+…+tan（n+2）tan（n+3）= [tan（1+3）﹣tan（1+2）+tan（2+3）﹣tan（2+2）+…+tan（n+3）﹣tan（n+2）]﹣n=﹣n．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、对数运算性质、“裂项求和”方法、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017•全国二模）已知函数f（x）=ax﹣﹣2lnx，对任意实数x＞0，都有f（x）=﹣f（）成立．（1）求函数y=f（e x）所有零点之和；（2）对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3H：函数的最值及其几何意义；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知：求得a=b ，由t 1•t 2•…•t n =1，根据函数的单调性可得e x1•e x2•…•e xn =t 1•t 2•…•t n =1，由指数函数的运算性质即可求得x 1+x 2+…+x n =0；（2）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，求得函数f （x ）的最大值，即可求得与f （x ）≥0相比较，即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由f （x ）=﹣f （），则（a ﹣b ）（x+）=0，则a=b ，则f （x ）=a （x ﹣）﹣2lnx ，设x 是f （x ）的零点，则也是f （x ）的零点， 不妨设f （x ）的零点t 1，t 2，…，t n ，则t 1•t 2•…•t n =1，由t=e x 单调递增，设函数y=f （e x ）的零点x 1，x 2，…，x n ，则t i =e xi ，i=1，2，3，…，n ， 则e x1•e x2•…•e xn =t 1•t 2•…•t n =1， ∴x 1+x 2+…+x n =0，故函数y=f （e x ）所有零点之和为0；（2）f （x ）=a （x ﹣）﹣2lnx ，求导f′（x ）=a （1+）﹣=，当a ≤0时，由x ≥1，则f′（x ）＜0，则f （x ）在[1，+∞）上单调递减， 此时，f （2）＜f （1）=0，与f （x ）≥0不符，（舍去） 当a ＞0，令g （x ）=ax 2﹣2x+a ，△=4﹣4a 2，若△≤0，即a ≥1时，g （x ）≥0，f′（x ）≥0，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增， 则f （x ）≥f （1）=0，成立，若△＞0，即0＜a ＜1，设g （x ）的零点为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则x 1+x 2=＞0，x 1x 2=1，则0＜x 1＜1＜x 2， 当x ∈（1，x 2）时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0， f （x ）在x ∈（1，x 2）上单调递减，f （x ）＜f （1）=0，与f （x ）≥0不符，（舍去） 综上可知：实数a 的取值范围[1，+∞）．【点评】本题考查函数零点的判断，导数与函数单调性的关系，利用函数单调性与最值得关系，考查计算能力，分类讨论思想，属于中档题．21．（14分）（2017•全国二模）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，点在椭圆C 上，满足•=．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 1过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线l 2与l 1的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点M ，N ，与直线x=1交于点K （K 介于M ，N 两点之间）． （ⅰ）求证：|PM|•|KN|=|PN|•|KM|；（ⅱ）是否存在直线l 2，使得直线l 1、l 2、PM 、PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出l 2的方程；若不能，请说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质；KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据题意，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则有•=（﹣c ﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣），解可得题意可得c 的值，进而由椭圆的定义可得a 的值，计算可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程可得答案；（Ⅱ）（ⅰ）设l 1方程为y ﹣=k （x ﹣1），与=1联立，可得关于x 的一元二次方程，令△=0解可得k 的值，结合题意可以设直线l 2方程，联立两直线方程，整理可得x 2+tx+t 2﹣3=0，由根与系数的关系分析可得PM 、PN 关于直线x=1对称，即∠MPK=∠NPK ，进而由正弦定理分析可得，即可得证明；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM +k PN =0，k l1=﹣，k l2=，假设存在直线l 2，满足题意．不妨设k PM =﹣k ，k PN =k ，（k ＞0），由等比数列的性质分析可得q=﹣1，进而分析可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），c ＞0，则•=（﹣c ﹣1，﹣）•（c ﹣1，﹣）=1﹣c 2+，所以c=1，因为2a=|PF 1|+|PF 2|=4，所以a=2， 又由c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3，故椭圆C 的标准方程为=1；（Ⅱ）（ⅰ）证明：设l 1方程为y ﹣=k （x ﹣1），与=1联立，消y 得（4k 2+3）x 2+（12k ﹣8k 2）x+（3﹣2k ）2﹣12=0由题意知△=0，解得k=﹣，因为直线l 2与l 1的倾斜角互补，所以l 2的斜率是． 设直线l 2方程：y=x+t ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立，整理得x 2+tx+t 2﹣3=0，由△＞0，得t 2＜4，x 1+x 2=﹣t ，x 1•x 2=t 2﹣3；直线PM 、PN 的斜率之和k PM +k PN ====0所以PM 、PN 关于直线x=1对称，即∠MPK=∠NPK ，在△PMK 和△PNK 中，由正弦定理得，，又因为∠MPK=∠NPK ，∠PKM+∠PKN=180°所以故|PM|•|KN|=|PN|•|KM|成立；（ⅱ）由（ⅰ）知，k PM +k PN =0，k l1=﹣，k l2=，假设存在直线l 2，满足题意．不妨设k PM =﹣k ，k PN =k ，（k ＞0）若﹣，﹣k ，k 按某种排序构成等比数列，设公比为q ，则q=﹣1或q 2=﹣1或q 3=﹣1．所以q=﹣1，则k=，此时直线PN 与l 2平行或重合，与题意不符， 故不存在直线l 2，满足题意．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意先利用椭圆的定义求出其标准方程．。
安徽省芜湖市2018届高三第二次模拟数学(文)(附解析)
安徽省芜湖市2018届高三第二次模拟数学（文）（附解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x N x x =∈+-≤，则集合A 的真子集个数为（ ） A ．31B ．32C ．3D ．42．若复数()()21z ai i =-+的实部为1，则其虚部为（ ） A ．3B ．3iC ．1D ．i3．设实数2log 3a =，1213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 2c =，则有（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知1cos()43πα+=，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．79C ．D ．79±5． 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，AB 为圆O 的一条弦，且4AB =，则OA AB =（ ）A ．4B ．-4C ．8D ．-87．以下命题正确的个数是（ ）①函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x '=；0:q x x =是()f x 的极值点，则p 是q 的必要不充分条件②实数G 为实数a ，b的等比中项，则G =③两个非零向量a 与b ，若夹角0a b <，则a 与b 的夹角为钝角 ④平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹叫抛物线 A ．3B ．2C ．1D ．08．右图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为（ ）A ．sin xy x=B ．cos xy x=C ．sin xy x=D ．sin xy x=9．已知ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos cos C B ac b bc A+=，则cos A =（ ）A B ．C D ．10．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．83πB C ．43πD ．163π 11．圆C 的圆心在抛物线24y x =上,且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到直线6y =-距离最小值为（ ） A ．9516B ．254C ．5D ．7212．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()12f x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．11(2,2),44k k k Z -+∈B ．15(2,2),22k k k Z ++∈C ．11(4,4),44k k k Z -+∈D ．115(4,4),44k k k Z ++∈第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无误，则数字x = ．14．有一个焦点为(0,6)且与双曲线2212x y -=有相同渐进线的双曲线方程是 ．15．已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则212x y z +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为 ．16．已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，若()f x 在区间(,2)ππ内没有极值点，则ω的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n n =++． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．1418．（12分）某工厂每日生产一种产品(1)x x ≥吨,每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x ，y 的一组统计数据如下表：（1）请判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆˆln y d x c =+中，哪个模型更适合刻画x ，y 之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计当日产量6x =时，日销售额是多少？ln1ln 2ln 3ln 4ln 50.965++++≈，()()()()()22222ln1ln 2ln 3ln 4ln 5 6.2++++≈，5ln112ln 216ln 319ln 421ln 586++++≈，ln 6 1.8≈．线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay b x =-．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，AC =M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =．（1）证明：//PQ 平面ABC ；（2）若30BAC ∠=，求三棱锥A PBQ -的体积．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上一点，若12PF PF ⊥，12F F =12PF F △的面积为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）若A ,B 分别为椭圆上的两点，且OA OB ⊥,求证：2211OAOB+为定值，并求出该定值．21．（12分）已知函数()ln xf x ax x=-． （1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．()f x ()1,+∞a 212,[,]x x e e ∈()()12f x f x a '≤+a请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为1x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 2cos 0ρθθρ+-=．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点（P 在A B 、之间），且2PA PB =，求实数a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()15f x x x =-+-． （1）解关于x 的不等式()6f x >；（2）记()f x 的最小值为m ，已知实数a ，b ，c 都是正实数，且111234m a b c ++=，求证：239a b c ++≥．2018届安徽省芜湖市高三第二次模拟考试卷数学（文）答 案一、选择题． 1-5：CAABC 6-10：DBBAD11-12：AD二、填空题．13．1 14．2211224y x -=15．816．337(0,],848⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题．17．解：（1）22n S n n =++，①；当2n ≥时，21(1)(1)2n S n n -=-+-+②； ②-①2n a n =， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 当1n =时，14a =， ．．．．．．．．．4分4,1()2.2n n a n N n n *=⎧=∈⎨≥⎩ ．．．．．．．．．．5分（2）由题意，1,1161111().2(2)(22)41n n b n n n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-≥++⎪⎩．．．．．．．．．7分当1n =时，1116T = 当2n ≥时,1111111111()()()()1642334451n T n n ⎡⎤=+-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦111131()1642116(1)n n n -⎡⎤=+-=⎢⎥++⎣⎦，11分1,11631.216(1)n n T n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩ ．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）ˆˆˆln yd x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系, ．．．．．．．．1分 理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为7，4，3，2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故ˆˆˆln yd x c =+更适合刻画x ，y 之间的关系．．．．．．．4分（2）令ln i i z x =, 计算知123457314.655y y y y y y ++++===所以51522158650.9614.6ˆ106.250.9625i ii i i z y zydz z==--⨯⨯=≈=-⨯-∑∑，．．．．．．．．8分ˆ14.6100.965cy d z =-≈-⨯=,所以所求的回归方程为ˆ10ln 5y x =+ ．．．．．10分 当6x =时，销售额为ˆ10ln 6523y=+≈ (万元)， ．．．．．．．．12分 19．解：（1）取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,．中点为中点，为MC D MA P ,PD ∴//AC又131DC CD = ,=113BQ QC ,QD ∴//BC ．又D QD PD = ，PQD 平面∴//平面ABC ．．．．．．．．．．．4分 又PQD PQ 平面⊂，PQ ∴//平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）方法一：由于P 为AM 中点，故M A ,两点到平面PBQ 的距离相等MBQ P PBQ M PBQ A V V V ---==∴又82222181814111=⨯⨯⨯===∆∆∆C BC M BC BQM S S S ．．．．．．．8分P 点到平面BMQ 的距离h 为A 点到平面BMQ 的距离的21，即=h 26232221=⨯⨯,．．．．．．．．．．．．．．10分243268231=⨯⨯=∴-PBQ A V ．．．．．．．．．．．．．12分方法二：82222181814111=⨯⨯⨯===∆∆∆C BC M BC BQM S S S ．．．．．．．．．．．．8分PBQ M MBQ A PBQ A V V V ----=∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ．．．．．．．．．．．．．．．12分20．解：（1）由已知，又，∴，24a =,，∴椭圆C 的方程为：．…………………5分（2）(i)当A ,B 是椭圆顶点时，221154OA OB +=，…………………6分(ii)当A ,B 不是椭圆顶点时，设:OA l y kx =，1:Ob l y x k =-， 由22,141y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2441A x k =+，2224441k OA k +=+, 同理2244B k x k =+,222444k OB k +=+,22222222114145554444444k k k k k k OA OB ++++=+==+++． 综上，2211OA OB +为定值． ………12分21．解：已知函数()f x 的定义域为．（1）因为在上为减函数，故在上恒成立，即当24326823168231=⨯⨯-⨯⨯=2212121||||12||||12PF PF PF PF +==，122||||a PF PF =+22212124||||2||||16a PF PF PF PF =++=222241b a c =-=-=2214x y +=()()0,11,+∞()f x ()1,+∞()()2ln 10ln x f x a x -'=-≤()1,+∞时，．又， 故当，即时，． 所以，于是，故的最小值为． ………………………5分 （2）命题“若存在使成立”等价于“当时，有” ．由（1）知，当时，，所以． 故问题等价于：“当时，有” ①当时，由（2）知，在上为减函数， 则，故．……………8分 ②当，时，，由（1）知，函数在上是减函数，，所以，与矛盾，不合题意．综上，得实数的取值范围． …………………12分 22．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消参得普通方程为+10x y a --=， 2C 的极坐标方程为2cos 2cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 2cos 0ρθρθρ+-=即22y x =．………5分()1,x ∈+∞()max 0f x '≤()()222ln 111111()()ln ln ln 24ln x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+-11ln 2x =2x e =()max 14f x a '=-104a -≤14a ≥a 14212,[,]x x e e ∈()()12f x f x a '≤+2[,]x e e ∈min max ()()f x f x a '≤+2[,]x e e ∈max 1()4f x a '=-max 1()4f x a '+=2[,]x e e ∈()min 14f x ≤14a ≥()f x 2,e e ⎡⎤⎣⎦()()222min124e f x f e ae ==-≤21124a e ≥-14a <2[,]x e e ∈()1ln ln 4x x f x ax x x x =->-1()ln 4x x x x ϕ=-2[,]e e 2222min ()()244e e e x e ϕϕ==-=()2min 144e f x >>14a <a 211[,)24e-+∞（2）将曲线1C 的参数方程代入曲线22:2C y x =得211202t a +-=， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =且P 在A B ,之间，则122t t =-，()1212122212t t t t t t a =-⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩ 解得712a =-………10分 23．解：（1）：()156f x x x =-+->1156x x x <⎧⎨-+->⎩或15156x x x ≤≤⎧⎨-+->⎩或5156x x x >⎧⎨-+->⎩，解得0x <或6x >．综上所述，不等式()6f x >的解集为 ()(),06,-∞⋃+∞…………5分（2）由()()15154f x x x x x =-+-≥---=（3x =时取等号） min ()4f x ∴=． 即4m =，从而111123a b c++=， 111232323()(23)3()()()9.232332a b a c b c a b c a b c a b c b a c a c b ++=++++=++++++≥…10分。
18高三二诊文科数学答案.doc
2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷文科数学参考答案一、选择题1〜6 BABCBC 7〜12 BADCCD第(12)题提示：圆(% + 3sin a) + (y + 3cos a) =1 的圆心(-3sin a, - 3cosa )在圆 + 上，当a改变时，该圆在绕着原点转动，I,,集合4表示的区域是如右图所示的环形区域，直线3x + 4y+10 = 0恰好与环形的小圆相切，//Z所以4 B所表示的是直线3x + 4y+10 = 0截([(。
—尹彳—广圆x2 + y2=16所得的弦长.二、填空题(13) 64 (14) 8 (15) 3 (16) 7第(16)题提示：PF? - PF]二QF? = 2a , QF\ - QF? = 2a , QF\ = 4a，在^QF\F^中由余弦定理，FF i=QF2 +QF2 -2QF QFcosl20得，1 2 1 2 1 24c2 =16/ + 4/ 一2 4a -2a -cosl20 n e =福三、解答题(17)(本小题满分12分)解：(I) 3S n = (n + 2)a n , 3S〃_i = (〃+l)a〃_i两式相减，3a n = (n + 2)a n - (n -\-l)a n _i ,缶-=巴旦，其中2"j n -1累乘得，a =0+1)〃a =旳+1)，其中心2，又a =2n 2 1 1a n = n(n +1)(II) _1 +J.+ + 丄=—+— + + ___________________ J_a a a 12 2 3 n(n +1)1 2 n111 11 1= (1—2)+( 2一3)+n~n~^V> = 1 ~n +1 < 1(18)(本小题满分12分)解：(I ) x = 6.5 , y = 20A (5 - 6.5)(15 - 20) + (6 - 6.5)(17 一20) + (7 - 6.5)(21 - 20) + (8 - 6. 5)(27- 20) "b=(5 - 6.5)2 + (6_6.5)2 + (7 _ 6.5)2 + (8- 6.5)2a" = 20 - 4x6.5 = -6 ,回归方程为= 4x - 6(II)当x = 9时，y = 30 ,预测该社区在2019年投资金额为30万元.4月调研测试卷•文科数学参考答案第1页共3页（19）（本小题满分12分）解：（I ）设P 为ABi 中点，连结NP ,则NP 』2 BB I 又MO^2AA \ ＞所以MOPN 为平行四边形，MN//OP MN// 平面AOBi（II ） V A-MON V B-Ci Ai A =1 卫 =_L AMO 2 N — AC\O 4 BB / / 平而 AA C , VI I IV _ = 1N -Ci Ai A g =v B-Ci Ai A Bi -Ci Ai A V =1 V 二Bi -Ci A] A _ 3 ABC-A1B1C1:.V =A-MON 12 (20)(本小题满分12分)b 3 解：(I )由题 PM = MF? — MF\ ,PF2 -L FyF? , PF? — 2OM~= p = 2 联立 a = + F 和c =1 解得 / 二 4 , x b 2 =3 ,所求椭圆方程为—+ — = 14 3拓，联立椭圆方程得_^3 （4点2 + 3）x 2 + 8/3 k=0 , x =-五k , * = -- k =血k ,4k'+ 3 2 _4 4 + 3k~k 2 +3由题，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B'S',则得到的直线S'T'与ST 关于x 轴对称, 所以若直线ST 经过定点，该定点一定是直线S'T'与ST 的交点，该点必在y 轴上.（kx +_ x （—丄 x + f ） 设该点坐标（0, f ）,= y2 -yi ，t = 刃也二卫卫= i: i k ?_______（II ）设 S （兀1,刃），T 他，yi ），直线 BS :y = kx -x1代入X , X 化简得t =1 27X - X2 1ST 经过定点(0, 也)7 2 1x -x2(21)(本小题满分12分) 解：(I ) ' v 3 3 o —1 — )— /(x) = e (x 屮 x 2 = 由题'W 在， 恒成立,/⑴ 0 (0+8) 设 g (x) = (-.¥ 2 + 3x - 3) -e x(x)在(0, 1)上单调递增，gmax (x) = g (1) = —e > a3 a 2 -x +3兀一3 % a2 —兀 ・e 兀2—x + 3x — 3 x 2X 1 0o a (II) /(%) = (兀一l)e"+ 兀=2o 2x -e，g©) = e" (J + x) g 在(1, +oo)上单调递减. e[-e 9 + GO )a 3 兀=2 —( JQ -l)e x,其中 x > 0 2(—兀 + 3 兀—3):.a = 2x- (3 - x)e x , x > 0令 h(x) = 2x- (3 - x)e x , h f (x) = 2 + (兀一 2)e x , h'\x) = (x -l)e4月调研测试卷•文科数学参考答案第2页共3页丹(兀)在(一8, 1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，由h f(0) = 0 又丹⑵=2〉0 ,所以存在期)〉0 ,使h'(x)在(0, %o )上满足h\x) < 0 ,在(兀0，+00)上满足h r(x) > 0 ,即/z(兀)在(0,兀。
山东省莱芜市2018届高三上学期期中数学试卷文科 含解
2018-2018学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A．{1}B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）2．设函数，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．3．在等比数列{a n}中，a3=4，a7=12，则a11=（）A．16 B．18 C．36 D．484．“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量=（1，3），=（﹣1，2），则（2+）•=（）A．15 B．16 C．17 D．186．若为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．7．函数f（x）=﹣（）A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数8．设等差数列{a n}满足3a10=5a17，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项是（）A．S24B．S23C．S26D．S279．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．10．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（）①②f（k）＞k2 ③④．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．已知函数f（x）=axlnx，a∈R，若f′（e）=3，则a的值为．12．已知的值为．13．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为．14．函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域是．15．已知数列{a n}是等差数列，公差d不为0，S n是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=﹣20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是．（请把正确结论的序号全部填上）三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的值域．18．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，且b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{|c n|}的前n项的和S n．19．已知向量，，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若，求b的值．20．设数列{a n}前n项的和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}前n项的和T n．21．已知函数f（x）=e x﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若a=1，求证：对恒成立．2018-2018学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．设集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A．{1}B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【考点】并集及其运算．【分析】求出A中方程的解得到x的值，确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的并集即可．【解答】解：由A中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即A={0，1}，由B中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴B=（0，1]，则A∪B=[0，1]，故选：B．2．设函数，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣2））=f（3﹣2）=f（）=1﹣=．故选：D．3．在等比数列{a n}中，a3=4，a7=12，则a11=（）A．16 B．18 C．36 D．48【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a11===36．故选：C．4．“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出cos2α=0成立的充要条件，从而判断出其和sinα+cosα=0的关系即可．【解答】解：∵cos2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0，∴sinα+cosα=0或cosα﹣sinα=0，∴“cos2α=0”是“sinα+cosα=0”的必要不充分条件，故选：B．5．已知向量=（1，3），=（﹣1，2），则（2+）•=（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先求出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．【解答】解：；∴．故选A．6．若为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，根据两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：∵为第四象限角，∴cosα==，tan=﹣，∴===．故选：A．7．函数f（x）=﹣（）A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的定义判断该函数的奇偶性，注意先把函数的定义域弄清楚，通过指数幂的运算法则判断得出该函数的奇偶性．【解答】解：该函数的定义域满足1﹣2x≠0，即x≠0，对于定义域内的每一个自变量x，f（﹣x）=故该函数为偶函数但不是奇函数．故选A．8．设等差数列{a n}满足3a10=5a17，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项是（）A．S24B．S23C．S26D．S27【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意易得数列的公差，可得等差数列{a n}前27项为正数，从第28项起为负数，可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a10=5a17可得3（a1+9d）=5（a1+16d），解得d=﹣a1＜0，∴a n=a1+（n﹣1）d=a1，令a n=a1≤0可得≤0，解得n≥，∴递减的等差数列{a n}前27项为正数，从第28项起为负数，∴数列{S n}的最大项为S27，故选：D．9．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．10．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（）①②f（k）＞k2 ③④．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=，k，，代入即可判断①③④正确，②错误．【解答】解：∵f′（x）=，且f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，对于①，令x=，即有f（）+1＞•k=1，即为f（）＞0，故①正确；对于②，令x=k，即有f（k）＞k2﹣1，故②不一定正确；对于③，当x=时，f（）+1＞•k=，即f（）＞﹣1=，故f（）＞，故③正确；对于④，令x=＜0，即有f（）+1＜•k=，即为f（）＜﹣1=，故④正确．故正确个数为3，故选；C．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．已知函数f（x）=axlnx，a∈R，若f′（e）=3，则a的值为．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：f′（x）=a（1+lnx），a∈R，f′（e）=3，∴a（1+lne）=3，∴a=，故答案为：12．已知的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：∵已知=tan[（α+β）﹣α]===﹣，故答案为：﹣．13．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为﹣．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】向量λ+与﹣2平行，存在实数k使得λ+=k（﹣2），再利用向量共面基本定理即可得出．【解答】解：∵向量λ+与﹣2平行，∴存在实数k使得λ+=k（﹣2），化为+=，∵向量，不平行，∴，解得．故答案为：．14．函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域是[﹣1， +] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】令t=sinx+cosx=sin（x+），则﹣≤t≤，sinxcosx=，所以f（x）=+t=（t+1）2﹣1，从而求函数的值域．【解答】解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则﹣≤t≤，t2=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=，∴f（x）=sinxcosx+sinx+cosx=+t=（t+1）2﹣1，∵﹣≤t≤，∴﹣1≤（t+1）2﹣1≤+；即函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[﹣1， +]．故答案为[﹣1， +]．15．已知数列{a n}是等差数列，公差d不为0，S n是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=﹣20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是①②④．（请把正确结论的序号全部填上）【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意求出等差数列的首项和公差的关系，然后逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由a3，a4，a8成等比数列，得，∴，整理得：．∴，①正确；=，②正确；=，=，③错误；等比数列a3，a4，a8的公比为q=，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简可得=2sin（2x﹣）+，从而确定周期；（Ⅱ）由可得﹣＜2sin（2x﹣）+≤．【解答】解：（Ⅰ）=sin2x++sin2x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+=2sin（2x﹣）+，故函数f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵，∴﹣＜2x﹣＜，∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，∴﹣＜2sin（2x﹣）+≤，故函数f（x）的值域为（﹣，]．17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的值域．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，由条件解方程可得a，b，求得切点和切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求出函数的导数，求得f（x）在区间上的单调区间，可得极小值也为最小值，求得端点处的函数值，可得最大值，即可得到函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ax2+blnx的导数为f′（x）=2ax+，由f（1）=，f′（2）=1，可得a=，4a+=1，解方程可得b=﹣2，即有f（x）=x2﹣2lnx，f′（1）=﹣1，则在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即为2x+2y﹣3=0；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=x﹣=，当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；当＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有f（x）在x=处取得极小值，也为最小值，且为1﹣ln2；f（1）=，f（）=e﹣1，由f（）﹣f（1）=＜0，即有f（）＜f（1），则f（x）的值域为[1﹣ln2，]．18．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，{b n}是等比数列，且b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{|c n|}的前n项的和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，由b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．可得，解出即可得出．（II）=5n﹣32，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n=．|c n|=．当n≤6时，S n=﹣T n．当n≥7时，S n=T n ﹣2T6．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1=3，b2=a3，b3=a9．∴，解得d=3，q=3．∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n．（II）=5n﹣32，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n==．令c n≥0，解得n≥7．∴|c n|=．∴当n≤6时，S n=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣T n=．当n≥7时，S n=﹣T6+a7+a8+…+a n=T n﹣2T6=+174．∴数列{|c n|}的前n项的和S n=．19．已知向量，，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，若，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简f（x）=2sin（2x+），从而可得2kπ+≤2x+≤2kπ+，从而解得；（Ⅱ）化简可得A=；再由sinC=可得C＜，cosC=，从而利用正弦定理求解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+），当2kπ+≤2x+≤2kπ+，即kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），函数f（x）单调递减，故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，（k∈Z）；（Ⅱ）f（A）=2sin（2A+）=，∴sin（2A+）=，∴2A+=2kπ+或2A+=2kπ+，∴A=kπ或A=kπ+，（k∈Z）；又∵A∈（0，π），∴A=；∵sinC=，C∈（0，π），sinA=，∴C＜，cosC=，∴sinB=sin（A+C）=，∴b==+2．20．设数列{a n}前n项的和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}前n项的和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）=a n﹣n+1，S n=na n﹣n（n﹣1），当n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1=2，利用等差数列的通项公式即可得出．﹣（n﹣1）（n﹣2），化为a n﹣a n﹣1（II）=（2n﹣1）•32n﹣1=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵=a n﹣n+1，∴S n=na n﹣n（n﹣1），当n≥2时，S n﹣1=（n ﹣1）a n﹣（n﹣1）（n﹣2），﹣1两式相减可得：a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣2（n﹣1），化为a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）=（2n﹣1）•32n﹣1=，∴数列{b n}前n项的和T n=+5×93+…+（2n﹣1）•9n]，9T n=+…+（2n﹣3）•9n+（2n﹣1）•9n+1]，∴﹣8T n===，∴T n=+．21．已知函数f（x）=e x﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；（Ⅲ）若a=1，求证：对恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a；（Ⅱ）由题意可得a=在x＞﹣1无解，设h（x）=，求得导数，单调区间和极值，即可得到a的范围；（Ⅲ）a=1，根据导数和函数的最值的关系，求出f（x）min=f（0）=1，设g（x）==，根据导数和函数的最值的关系求出g（x）max=g（0）=1，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e x﹣ax的导数为f′（x）=e x﹣a，函数f（x）在x=0处的切线斜率为1﹣a，在x=0处的切线过点（1，0），可得1﹣a=﹣1，解得a=2；（Ⅱ）函数f（x）在（﹣1，+∞）上不存在零点，即为a=在x＞﹣1无解，设h（x）=，即有h′（x）=，当﹣1＜x＜0，或0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增．则x＞0时，x=1处h（x）取得最小值e，﹣1＜x＜0时，h（x）＜﹣．则有a的范围是﹣≤a＜e；故a的求值范围为[﹣，e]（Ⅲ）证明：a=1，f（x）=e x﹣x，∴f′（x）=e x﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=0处取得最小值，f（x）min=f（0）=1，即f（x）≥1，设g（x）==，则g′（x）=﹣，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴当x=0时取的最大值，g（x）max=g（0）=1，即g（x）≤1，∴f（x）≥g（x），即对恒成立．2018年1月15日。
2018年山东省实验中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年山东省实验中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1B．1C．D．3．（5分）将函数f（x）＝cos2x+1的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）A．函数y＝g（x）的最小正周期为πB．函数y＝g（x）的图象的一条对称轴为直线x＝C．函数y＝g（x）是一个零点为D．函数y＝g（x）在区间[]上单调递减4．（5分）已知平面向量，，满足＝（1，），||＝3，⊥（﹣2），则|﹣|＝（）A．2B．3C．4D．65．（5分）执行下列程序框图，若输入的n等于7，则输出的结果是（）A．2B．C．D．﹣36．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝45，S3＝﹣3，那么a5等于（）A．4B．5C．9D．188．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．309．（5分）设函数，若f（a）+f（﹣1）＝2，则a＝（）A．﹣3B．±3C．﹣1D．±110．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，5）B．（1，5]C．（5，+∞）D．[5，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝，则a的值是．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值是．15．（5分）已知数列{a n}：，+，++，…，+++…+，…，若b n＝，那么数列{b n}的前n项和S n为．16．（5分）已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S﹣ABCD，四棱锥S﹣ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，它的底面边长等于cm．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数，其中，，x∈R．（1）求函数y＝f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）＝2，，且sin B＝2sin C，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在△ABC中，∠C为直角，AC＝BC＝4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC＝90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE 所得截面面积为S，试求S的值．19．（12分）2018年1月16日，由新华网和中国财经领袖联盟联合主办的2017中国财经年度人物评选结果揭晓，某知名网站财经频道为了解公众对这些年度人物是否了解，利用网络平台进行了调查，并从参与调查者中随机选出200人，把这200人分为A，B两类（A 类表示对这些年度人物比较了解，B类表示对这些年度人物不太了解），并制成如下表格：（1）若按照年龄段进行分层抽样，从这200人中选出10人进行访谈，并从这10人中随机选出两名幸运者给予奖励．求其中一名幸运者的年龄在25岁～35岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的概率；（注：从10人中随机选出2人，共有45种不同选法）（2）如果把年龄在15岁～35岁之间的人称为青少年，年龄在35岁～60岁之间的人称为中老年，则能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为青少年与中老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异？参考数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d20．（12分）点A为椭圆+＝1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过椭圆的左右焦点F1，F2．当AC⊥x轴时，恰好|AF1|＝2|AF2|．（1）求该椭圆的离心率；（2）设＝λ1，＝λ2，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+k有实数解，求实数k的取值范围；（3）求证：x+1+（x+1）lnx＜xe x．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，P为圆C上的任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝．（1）当a＝1，求函数f（x）的定义域；（2）当a∈[1，2]时，求证：f2（x）+f2（﹣）≤5．2018年山东省实验中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，∴A⊆B．故选：C．2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣1B．1C．D．【解答】解：a是实数，且＝＝为纯虚数，故有a﹣1＝0，且a+1≠0，解得a＝1，故选：B．3．（5分）将函数f（x）＝cos2x+1的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）A．函数y＝g（x）的最小正周期为πB．函数y＝g（x）的图象的一条对称轴为直线x＝C．函数y＝g（x）是一个零点为D．函数y＝g（x）在区间[]上单调递减【解答】解：把f（x）＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1的图象向左平移个单位，得到函数y＝2sin[2（x+）﹣]+1＝2sin（2x+）+1的图象，再向下平移1个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin（2x+）的图象，对于A，由于T＝＝π，故正确；对于B，由2x+＝kπ+，k∈Z，解得：x＝+，k∈Z，可得：当k＝0时，y＝g（x）的图象的一条对称轴为直线x＝，故正确；对于C，g（）＝2sin（2×+）＝0，故正确；对于D，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数y＝g（x）在区间[，]上单调递减，故D错误．故选：D．4．（5分）已知平面向量，，满足＝（1，），||＝3，⊥（﹣2），则|﹣|＝（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵＝（1，），∴||＝2，又∵||＝3，⊥（﹣2），∴•（﹣2）＝||2﹣2＝0，∴|﹣|2＝||2﹣2+||2＝0+9＝9，∴|﹣|＝3．故选：B．5．（5分）执行下列程序框图，若输入的n等于7，则输出的结果是（）A．2B．C．D．﹣3【解答】解：若输入的n等于7，则当i＝1时，满足继续循环的条件，S＝﹣3，i＝2；当i＝2时，满足继续循环的条件，S＝﹣，i＝3；当i＝3时，满足继续循环的条件，S＝，i＝4；当i＝4时，满足继续循环的条件，S＝2，i＝5；当i＝5时，满足继续循环的条件，S＝﹣3，i＝6；当i＝6时，满足继续循环的条件，S＝﹣，i＝7；当i＝7时，不满足继续循环的条件，故输出的S＝﹣，故选：C．6．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设水深为x尺，则（x+1）2＝x2+52，解得x＝12，即水深12尺．又葭长13尺，则所求概率，故选：B．7．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝45，S3＝﹣3，那么a5等于（）A．4B．5C．9D．18【解答】解：因为a3+a5+a7+a9+a11＝45，所以5a7＝45，所以a7＝9，因为S3＝﹣3，所以a2＝﹣1，所以公差，所以a5＝a2+3d＝5．故选：B．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V＝×3×4×5﹣××3×4×3＝30﹣6＝24．故选：C．9．（5分）设函数，若f（a）+f（﹣1）＝2，则a＝（）A．﹣3B．±3C．﹣1D．±1【解答】解：设a≥0，则f（a）+f（﹣1）＝+1＝2，解得：a＝1设a＜0，则f（a）+f（﹣1）＝+1＝2解得：a＝﹣1∴a＝±1故选D10．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝＝，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A，B．当x＜0时，ln（x﹣2）2＞0，（x﹣2）3＜0，函数的图象在x轴下方，排除D，故选：C．11．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，5）B．（1，5]C．（5，+∞）D．[5，+∞）【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）＝f（x﹣1），故有f（x+2）＝f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）＝（x﹣2）2．由于函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y＝f（x）的图象与y＝log a（x+2）有4个交点，所以可得1≥log a（3+2），∴实数a的取值范围是[5，+∞）；故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝，则a的值是﹣8．【解答】解：根据题意，抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝﹣，又由其准线方程是y＝，则﹣＝，解可得a＝﹣8；故答案为：﹣8．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值是5．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；化目标函数为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点B时，直线在y轴上的截距最小，由，解得B（3，1）；∴z的最小值为3+2×1＝5．故答案为：5．15．（5分）已知数列{a n}：，+，++，…，+++…+，…，若b n＝，那么数列{b n}的前n项和S n为．【解答】解：a n＝＝，∴b n＝＝＝4（﹣），∴S n＝4（1﹣++…+﹣）＝．故答案为：．16．（5分）已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S﹣ABCD，四棱锥S﹣ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，它的底面边长等于4cm．【解答】解：如图，设四棱锥的底面边长为2a，高为h（0＜h＜6），则底面正方形外接圆的半径为，∴侧棱长SA＝，由射影定理可得：2a2+h2＝6h，则四棱锥S﹣ABCD的体积V＝＝（0＜h ＜6），则V′＝﹣2h2+8h，可得当h＝4时，V有最大值，此时2a2＝24﹣16＝8，a＝2，则底面边长等于4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数，其中，，x∈R．（1）求函数y＝f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）＝2，，且sin B＝2sin C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）＝，解得，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（2）∵f（A）＝2，∴，即，又∵0＜A＜π，∴，∵，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝7，①∵sin B＝2sin C，∴b＝2c，②由①②得，∴．18．（12分）如图，在△ABC中，∠C为直角，AC＝BC＝4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC＝90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE 所得截面面积为S，试求S的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥BC，∠C＝90°，∴DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ACD．又∵DE∥BC，∴BC⊥平面ACD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ADC，∴AD⊥BC．又∵∠ADC＝90°，∴AD⊥DC．又∵BC∩DC＝C，∴AD⊥平面BCDE．∴＝；（Ⅲ）解：分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，∵平面α∥平面ACD，∴平面α与平面ACD的交线平行于AC，∵M是中点，∴平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S＝S MNPQ．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，又∵QM∥AC，MN∥BC，∴QM⊥MN．∴四边形MNPQ是直角梯形．在Rt△ADC中，AD＝CD＝2，∴AC＝．MN＝AC＝2，NP＝，MQ＝．∴S＝（1+3）×．19．（12分）2018年1月16日，由新华网和中国财经领袖联盟联合主办的2017中国财经年度人物评选结果揭晓，某知名网站财经频道为了解公众对这些年度人物是否了解，利用网络平台进行了调查，并从参与调查者中随机选出200人，把这200人分为A，B两类（A 类表示对这些年度人物比较了解，B类表示对这些年度人物不太了解），并制成如下表格：（1）若按照年龄段进行分层抽样，从这200人中选出10人进行访谈，并从这10人中随机选出两名幸运者给予奖励．求其中一名幸运者的年龄在25岁～35岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的概率；（注：从10人中随机选出2人，共有45种不同选法）（2）如果把年龄在15岁～35岁之间的人称为青少年，年龄在35岁～60岁之间的人称为中老年，则能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为青少年与中老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异？参考数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d【解答】解：（1）按照年龄段进行分层抽样，从这200人中选出10人，则年龄在15岁～25岁之间的有2人，年龄在25岁～35岁之间的有4人，记作a、b、c、d，年龄在35岁～45岁之间的有3人，记作E、F、G，年龄在45岁～60岁之间的有1人；由题意得，从这10人中随机选取2人，结果有45种，两名幸运者中，其中一名幸运者的年龄在25岁～35岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的结果有：aE、aF、aG、bE、bF、bG、cE、cF、cG、dE、dF、dG共12种，故所求的概率为P＝＝；（2）青少年中A类的人数为40×67.5%+80×85%＝95，则B类的人数为120﹣95＝25；中老年中A类的人数为60×95%+20×90%＝75，则B类的人数为80﹣75＝5；填写列联表如下：计算得K2的观测值为k＝≈8.007＞6.635；所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异．20．（12分）点A为椭圆+＝1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过椭圆的左右焦点F1，F2．当AC⊥x轴时，恰好|AF1|＝2|AF2|．（1）求该椭圆的离心率；（2）设＝λ1，＝λ2，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当AC⊥x轴时，恰好|AF1|＝2|AF2|，由|AF1|+|AF2|＝2a，得|AF2|＝，∴2a﹣＝2×，即2a2﹣b2＝2b2，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝＝＝；（2）设椭圆的半焦距为c，则F1（﹣c，0），F2（c，0），椭圆方程设为+＝1，即2x2+3y2﹣6c2＝0，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直线AC⊥x轴，显然λ1+λ2＝4，②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为y＝（x﹣c），即x＝y+c，代入椭圆方程有（2（x0﹣c）+3y02）y2+2cy0（x0﹣c）y﹣4c2y02＝0．由韦达定理得：y0y2＝，y2＝，同理y0y2＝，y1＝，由＝λ1得：λ1＝﹣＝，由＝λ2，得λ2＝﹣＝，所以λ1+λ2＝+＝＝4，综上所述，λ1+λ2＝4是定值．21．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+k有实数解，求实数k的取值范围；（3）求证：x+1+（x+1）lnx＜xe x．【解答】解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣；在区间（0，1）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；在区间（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）为为减函数；（2）令g（x）＝e x﹣1+e1﹣x+k，g′（x）＝e x﹣1﹣e1﹣x，在区间（0，1）上g′（x）＜0，f（x）为减函数；在区间（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为为增函数；则g（x）min＝g（1）＝2+k，由（1）得f（x）max＝f（1）＝1关于x的方程f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+k有实数解等价于g（x）min≤f（x）max，即：2+k≤1，解得k≤﹣1；证明：（3）原不等式等价于＞，由（1）得f（x）≤f（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号，即≤1，当且仅当x＝1时取等号．令h（x）＝，x＞0，则h′（x）＝＞0，所以函数在（0，+∞）上为增函数所以h（x）＞h（0）＝1，即于＞1，由此得＞，即x+1+（x+1）lnx＜xe x．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，P为圆C上的任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0．∴圆C的参数方程为（θ为参数）．∵直线l的极坐标方程为，∴+＝，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0．（Ⅱ）∵直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，∴由直线l的方程x+y﹣2＝0可得点A（2，0），点B（0，2）．设点P（x，y），则＝（2﹣x，﹣y）•（﹣x，2﹣y）＝x2+y2﹣2x﹣2y＝2x+4y﹣12．由（Ⅰ）知，则＝4sinθ+2cosθ+4＝．∵θ∈R，∴．∴的取值范围是[4﹣2，4+2]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝．（1）当a＝1，求函数f（x）的定义域；（2）当a∈[1，2]时，求证：f2（x）+f2（﹣）≤5．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝所以由|x﹣1|﹣|x+1|≥0得|x﹣1|≥|x+1|，平方得（x﹣1）2≥（x+1）2，得x2﹣2x+1≥x2+2x+1，解得x≤0，即函数f（x）的应用为（﹣∞，0]．（2）证明：f2（x）+f2（﹣）＝|x﹣a|﹣|x+|+|﹣﹣a|﹣|﹣+|＝|x﹣a|﹣|x+|+|+a|﹣|﹣|≤＝，而函数在x∈[1，2]上单调递增，所以，．。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(文科)
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|y=√x−1}，B={x|−1≤x≤2}，则A∩B=()A.[−1, 2]B.[1, 2]C.(1, 2]D.[−1, 1]∪{2}2. 已知复数z满足|z|=√2,z+z=2，（z为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z=()A.1+iB.1−iC.1+i或1−iD.−1+i或−1−i3. 当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A.3.6B.3.8C.4D.4.24. 一给定函数y=f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈(0, 1)，由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1<a n．则该函数的图象可能是（）A. B.C. D.5. 按如图所示的算法框图，某同学在区间[0, 9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A.1 2B.19C.1318D.896. 已知直线x +2y +√5=0与直线x −dy +11√5=0互相平行且距离为m ．等差数列{a n }的公差为d ，且a 7⋅a 8＝35，a 4+a 10<0，令S n ＝|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |，则S m 的值为（ ） A.36 B.44 C.52 D.607. 函数f(x)=cosx +2|cosx|−m ，x ∈[0, 2π]恰有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A.(0, 1] B.{1} C.{0}∪(1, 3] D.[0, 3]8. 我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）． 则海岛高度为（ ） A.1055步 B.1255步 C.1550步 D.2255步9. 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（ ）A.13 B.53C.54D.210. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，左、右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，B(−a, a)，C(−a, −a)，过A ，B ，C 三点的圆与直线x =−a 2c 相切，则此椭圆的离心率为（ ） A.13B.12C.√22D.2311. 已知D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 的中点，M 是线段DE 上的一动点（不包含D ，E 两点），且满足AM →=αAB →+βAC →，则1α+2β的最小值为（ ） A.4√2 B.8C.6−4√2D.6+4√212. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)={1−2x ,x ∈[0,1)1−|x −3|,x ∈[1,+∞). ，则关于x的函数F(x)＝f(x)−a(0<a <1)的所有零点之和为（ ） A.2a −1 B.1−2−a C.−log 2(1+a) D.log 2(1−a) 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.在三棱锥S−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为________．已知双曲线x24−y2=1上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|=________．实系数一元二次方程x2+ax−2b=0有两实根，一根在区间(0, 1)内，另一根在区间(1, 2)内．若z=ba−1，则z的取值范围为________．下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1>0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a=lg2，则a<a a<a a a．③将y=2tan(x+π6)的图象向右平移π6个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到y=tanx的图象．④设0<a<3，则函数f(x)=x3−ax(0<x<1)有最小值无最大值．其中正确命题的序号为________．（填入所有正确的命题序号）三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知abc +cab−bac=1a cosC+c cosA．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为3√32，其外接圆半径为√3，且c>a，求c．一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：(Ⅰ)若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；(Ⅱ)约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．如图，在五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 为边长为2的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上．(1)当AB =√2时，证明：平面SAB ⊥平面SCD ；(2)当AB =1时，求四棱锥S −ABCD 的侧面积．已知过抛物线Ω:y 2=2px(0<p ≤8)的焦点F 向圆C ：(x −3)2+y 2=1引切线FT （T 为切点），切线FT 的长为√3． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)作圆C ：(x −3)2+y 2=1的切线l ，直线l 与抛物线Ω交于A ，B 两点，求|FA|⋅|FB|的最小值．已知函数f(x)=13x 3+1−a 2x 2−a 2ln x +a 2ln a ，a >0（1）当a =1时，求f(x)的单调区间及极值；（2）若f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =5+tcosαy =tsinα ，(t 为参数，0≤α<π)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．(Ⅰ)当α=45∘时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点C 的直角坐标为C(2, 0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当△ABC 面积最大时，求直线l 的普通方程． [选修4-5：不等式选讲]设f(x)=a|x −1|+|x +3|． (Ⅰ)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)若g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，作出g(x)图象并根据图象写出a 的值（不要求证明）．参考答案与试题解析2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求函数的定义域得出集合A，根据交集的定义写出集合B．【解答】由A={x|y=√x−1}，得A={x|x−1≥0}={x|x≥1}=[1, +∞)，B={x|−1≤x≤2}=[−1, 2]；∴A∩B=[1, 2]．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，根据复数z满足|z|=√2,z+z=2，可得{a2+b2=22a=2，解出即可得出．【解答】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，∵复数z满足|z|=√2,z+z=2，∴{a2+b2=22a=2，得{a=1b=±1，∴z=1+i或z=1−i．3.【答案】A【考点】众数、中位数、平均数【解析】根据题意设出五个数，由此求出符合题意的五个数的可能取值，计算平均数即可．【解答】设五个数从小到大为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得a3=4，a4=a5=6，a1，a2是1，2，3中两个不同的数，符合题意的五个数可能有三种情形：“1，2，4，6，6”，“1，3，4，6，6”，“2，3，4，6，6”，其平均数分别为3.8，4，4.2，不可能的是3.(6)4.【答案】A【考点】函数的图象变化【解析】利用已知条件推出f(a n)<a n，判断函数的图象，推出选项即可．【解答】一给定函数y=f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈(0, 1)，由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1<a n．得f(a n)<a n，所以f(a1)<a1在∀a1∈(0, 1)上都成立，即∀x∈(0, 1)，f(x)<x，所以函数图象都在y=x的下方．5.【答案】C【考点】程序框图【解析】求出计算出y≥1的x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】当x∈[0,12brack，由算法可知y=−2x+2得y∈[1, 2]，得到“OK”；当x∈(12,1)，由算法可知y=−2x+2得y∈(0, 1)，不能得到“OK”；当x∈[1, 3)，由算法可知y=log3x得y∈[0, 1)，不能得到“OK”；当x∈[3, 9]，由算法可知y=log3x得y∈[1, 2]，能得到“OK”；∴P=12+69=1318．6.【答案】C【考点】数列的求和【解析】根据平行线的距离求出d＝−2，以及m＝10，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和．【解答】由两直线平行得d＝−2，由两平行直线间距离公式得m=√5−√5|√1+22=10，∵a7⋅(a7−2)＝35得a7＝−5或a7＝7．∵a4+a10＝2a7<0，∴a7＝−5，∴a n＝−2n+9，∴S n＝|a1|+|a2|+|a3|+...+|a10|＝|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|＝52． 7.【答案】 C【考点】函数的零点与方程根的关系 函数与方程的综合运用 【解析】画出函数的y =cosx +2|cosx|的图象，y =m 的图象，利用数形结合转化求解即可． 【解答】f(x)=cosx +2|cosx|−m ， x ∈[0, 2π]的零点个数就是y =cosx +2|cosx|={3cosx,x ∈[0,π2brack ∪[3π2,2πbrack−cosx,x ∈(π2,3π2) 与y =m 的交点个数．作出y =cosx +2|cosx|的图象， 由图象可知m =0或1<m ≤(3) 8.【答案】 B【考点】 解三角形 【解析】作出示意图，根据三角形相似求出海岛高度． 【解答】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则根据三角形相似可得：{5x=123123+y5x=127127+1000+y，解得x =1255步． 9.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可． 【解答】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成． 长方体的体积为1×1×2=2， 三棱锥的体积为13×12×1×1×2=13， 所以几何体的体积为2−13=53． 10.【答案】 D【考点】圆与圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率直线与圆的位置关系【解析】画出图形．利用射影定理转化求解离心率即可；另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M(m, 0)，由|MA|=|MB|，列出方程，转化求解即可．【解答】射影定理可得：BE2=AE⋅ED，即a2=2a(a2c−a)，所以ca =23即椭圆的离心率e=23．故选：D．另设过A，B，C三点的圆的圆心为M(m, 0)，由|MA|=|MB|得：|m−a|=√(m+a)2+a2，解得：m=−a4，所以r=|MA|=54a，∴−a4−(−a2c)=54a,e=ca=23．故选：D．11.【答案】D【考点】基本不等式平面向量的基本定理【解析】通过向量的基本定理，推出2α+2β=1，利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】由于M是DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足AM→=αAB→+βAC→=2αAD→+2βAE→，所以α，β>0且2α+2β=1，所以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+4√2，（当且仅当α=√2−12,β=2−√22时取=）．12.【答案】C【考点】函数与方程的综合运用 【解析】化简分段函数的解析式，画出函数的图象，判断函数的零点的关系，求解即可． 【解答】当x ≥0时，f(x)={1−2x ,x ∈[0,1)x −2,x ∈[1,3)4−x,x ∈[3,+∞)又f(x)是奇函数，由图象可知：F(x)＝0⇒f(x)＝a ，(0<a <1)，有5个零点， 其中有两个零点关于x ＝−3对称，还有两个零点关于x ＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线y ＝a 与函数y =(12)x −1，x ∈(−1, 0]交点的横坐标， 即方程a =(12)x −1的解，x ＝−log 2(1+a)， 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分. 【答案】√66【考点】异面直线及其所成的角 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，取AC 的中点E ，连结DE ，SE ，AD ．因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以DE // AC ，所以∠SDE 就是异面直线AB 与SD 所成角．令AB =AC =SA =2，由勾股定理得SE =√5，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥AB ，又AB ⊥AC ，AC ∩SA =A ，AC ，SA ⊂平面SAC ，所以AB ⊥平面SAC ．因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以DE =1，DE // AB ．所以DE ⊥平面SAC ，所以DE ⊥SE ，SD =√6．在Rt △SDE 中，cos∠SDE =DE SD =√6=√66． 故答案为：√66．【答案】 4【考点】 双曲线的特性 【解析】求出渐近线的斜率，设出P 的坐标，推出MN 的坐标，然后转化求解即可． 【解答】 双曲线x 24−y 2=1两渐近线的斜率为±12，设点P(x ∘, y ∘)，则l 1，l 2的方程分别为y −y∘=12(x −x ∘)，y −y∘=−12(x −x ∘)，所以M ，N 坐标为M(x ∘−2y ∘, 0)，N(x ∘+2y ∘, 0)，∴ |OM|∗|ON|=|x ∘−2y ∘|×|x ∘+2y ∘|=|x ∘2−4y ∘2|，又点P 在双曲线上，则x ∘24−y ∘2=1，所以|OM|⋅|ON|=(4) 【答案】(0,14) 【考点】 简单线性规划 【解析】令f(x)=x 2+ax −2b ，依题意得关于a ，b 的不等式组，作出可行域如图，再由z =b a−1表示的几何意义，即过可行域内一点与点P(1, 0)的直线的斜率求解．【解答】令f(x)=x 2+ax −2b ，依题意得，{f(0)>0f(1)<0f(2)>0 ，即{b <0a −2b +1<0a −b +2>0 ，作出可行域如图， 可行域是△ABC 内部的部分．z =ba−1表示的几何意义是过可行域内一点与点P(1, 0)的直线的斜率， 由{a −2b +1=0a −b +2=0 ，得A(−3, −1)，B(−1, 0)，C(−2, 0)． ∴ k PC =0,k PA =−1−0−3−1=14， ∴ z ∈(0,14)．【答案】 ③④ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①举例说明命题错误；②根据指数函数的单调性判断命题错误； ③由变换规律判断命题正确；④利用函数的导数判断f(x)的单调性，再判断命题正确． 【解答】对于①，如首项a 1=−1，公比q =12的等比数列为递增数列， 所以首项a 1>0不是等比数列{a n }为递增数列的必要条件，①错误； 对于②，可知0<a <1时，a 0>a a >a 1，即1>a a >a ，所以a <a a a<a a ，②错误；对于③，将y =2tan(x +π6)的图象向右平移π6个单位，得y =2tan[(x −π6)+π6]=2tanx ；再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，得y =2×12tanx =tanx ， 即y =tanx ，③正确；对于④，0<x <1时，令f′(x)=3x 2−a =0， 解得x =√a3，又0<a <3， ∴ 0<√a3<1，可知f(x)在(0,√a 3)上单调递减，在(√a3,1)单调递增，所以④正确；综上，正确的命题是③④．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 【答案】解：（1）由余弦定理得a 2+c 2−b 2ac=2cosB ，∴ a +c −b =a 2+c 2−b 2=a 2+c 2−b 2=2cosB∴2cosB b=1a cosC+c cosA ，由正弦定理得2cosB sinB =1sinA cosC+sinC cosA =1sin(A+C)，又A +C =π−B ，∴ 2cosB sinB =sinB ，而sinB ≠0， ∴ cosB =12．∵ B ∈(0,π)，∴ B =π3．（2）由题意，bsinB =2√3，∴ b =3， 由面积公式得S △ABC =12ac sinB =√34ac =3√32，即ac =6．①由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cosB =a 2+c 2−6=9，即a 2+c 2=15．② 由①②解得{a =2√3,c =√3或{a =√3,c =2√3,又c >a ，∴ a =√3，c =2√3． 【考点】正弦定理 余弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）由余弦定理得a 2+c 2−b 2ac=2cosB ，∴ a bc +c ab −b ab =a 2abc +c 2abc −b 2abc =a 2+c 2−b 2abc =2cosBb ∴2cosB b=1a cosC+c cosA ，由正弦定理得2cosB sinB =1sinA cosC+sinC cosA =1sin(A+C)，又A +C =π−B，∴ 2cosB sinB=sinB，而sinB≠0，∴ cosB=12．∵ B∈(0,π)，∴ B=π3．（2）由题意，bsinB=2√3，∴ b=3，由面积公式得S△ABC=12ac sinB=√34ac=3√32，即ac=6．①由余弦定理得b2=a2+c2−2ac cosB=a2+c2−6=9，即a2+c2=15．②由①②解得{a=2√3,c=√3或{a=√3,c=2√3,又c>a，∴ a=√3，c=2√3．【答案】(Ⅰ)设B村户数为x户，则：80%=80+60+60+40100+x+60+60=240220+x，………3分解得：x=80（户）．……………5分(Ⅱ)不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(B, C)，(B, D)，(C, A)，(C, B)，(C, D)，(D, A)，(D, B)，(D, C)，共12种等可能性结果．……………9分其中(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(C, A)，(D, A)符合题意，共6种．所以进驻A村的工作小组被选中的概率为p=612=12．……………12分【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(Ⅰ)设B村户数为x户利用条形图列出方程，能求出x的值．(Ⅱ)不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，利用列举法能求出进驻A村的工作小组被选中的概率．【解答】(Ⅰ)设B村户数为x户，则：80%=80+60+60+40100+x+60+60=240220+x，………3分解得：x=80（户）．……………5分(Ⅱ)不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(B, C)，(B, D)，(C, A)，(C, B)，(C, D)，(D, A)，(D, B)，(D, C)，共12种等可能性结果．……………9分其中(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(C, A)，(D, A)符合题意，共6种．所以进驻A村的工作小组被选中的概率为p=612=12．……………12分【答案】(1)证明：如图，过点S作SO⊥AD，垂足为O．依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD．∵四边形ABCD是长方形，∴AB⊥AD．又AD，SO⊂平面SAD，AD∩SO=O，∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD．利用勾股定理得SA=√SB2−AB2=√4−2=√2，同理可得SD=√2．在△SAD中，AD=2，SA=SD=√2，∴SA2+SD2=AD2，∴ SA⊥SD．又AB∩SA=A，∴SD⊥平面SAB．又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．(2)解：由(1)中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD．∵AB=CD=1，SB=SC=2，∴由勾股定理可得SA=SD=√3，∴S△SBC =√34×BC2=√34×22=√3，S△SAB=S△SCD=12CD⋅SD=12×1×√3=√32，△SAD中，SA=SD=√3，AD=2，∴AD边上的高为√(√3)2−1=√2，∴S△SAD=12×2×√2=√2，S=S△SBC+S△SAB+S△SCD+S△SAD=√3+√32+√32+√2=2√3+√2，∴四棱锥S−ABCD的侧面积S=2√3+√2．【考点】平面与平面垂直组合几何体的面积、体积问题平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：如图，过点S作SO⊥AD，垂足为O．依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD．∵四边形ABCD是长方形，∴AB⊥AD．又AD，SO⊂平面SAD，AD∩SO=O，∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD．利用勾股定理得SA=√SB2−AB2=√4−2=√2，同理可得SD=√2．在△SAD中，AD=2，SA=SD=√2，∴SA2+SD2=AD2，∴ SA⊥SD．又AB∩SA=A，∴SD⊥平面SAB．又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．(2)解：由(1)中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD．∵AB=CD=1，SB=SC=2，∴由勾股定理可得SA=SD=√3，∴S△SBC =√34×BC2=√34×22=√3，S△SAB=S△SCD=12CD⋅SD=12×1×√3=√32，△SAD中，SA=SD=√3，AD=2，∴AD边上的高为√(√3)2−1=√2，∴S△SAD=12×2×√2=√2，S=S△SBC+S△SAB+S△SCD+S△SAD=√3+√32+√32+√2=2√3+√2，∴四棱锥S−ABCD的侧面积S=2√3+√2．【答案】解；(Ⅰ)因为圆C：(x−3)2+y2=1的圆心为C(3, 0)，F(p2,0)，……………1分由切线长定理可得|FC|2=|FT|2+r2，即(3−p2)2=(√3)2+12=4，……………3分解得：p=2或p=10，又0<p≤8，∴p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．……………4分(Ⅱ)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l方程为x=ny+m，代入y2=4x得y2−4ny−4m=0，∴y1+y2=4n，y1y2=−4m，得x1+x2=n(y1+y2)+2m=4n2+2m，x1x2=y12y2216=m2，……………5分由抛物线的性质得：|FA|=x1+1，|FB|=x2+1，∴|FA||FB|=(x1+1)(x2+1)=m2+4n2+2m+1．……………8分又直线l与圆C相切，则有√1+n2=1，即|m−3|=√1+n2，∴(m−3)2=1+n2，因为圆C在抛物线内部，所以n∈R得：m∈(−∞, 2]∪[4, +∞)，……………10分此时|FA||FB|=m2+4(m−3)2−4+2m+1=5m2−22m+(33)由二次函数的性质可知当m=2时，|FA||FB|取最小值，即|FA||FB|的最小值为（9）……………12分【考点】抛物线的求解直线与抛物线的位置关系【解析】(Ⅰ)求出圆的圆心与抛物线的焦点坐标，利用勾股定理求出p，即可求抛物线C的方程；(Ⅱ)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l方程为x=ny+m，代入y2=4x利用韦达定理以及抛物线的性质得：|FA|=x1+1，|FB|=x2+1，求出|FA|⋅|FB|的表达式，然后求解最小值即可．【解答】解；(Ⅰ)因为圆C：(x−3)2+y2=1的圆心为C(3, 0)，F(p2,0)，……………1分由切线长定理可得|FC|2=|FT|2+r2，即(3−p2)2=(√3)2+12=4，……………3分解得：p=2或p=10，又0<p≤8，∴p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．……………4分(Ⅱ)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l方程为x=ny+m，代入y2=4x得y2−4ny−4m=0，∴y1+y2=4n，y1y2=−4m，得x1+x2=n(y1+y2)+2m=4n2+2m，x1x2=y12y2216=m2，……………5分由抛物线的性质得：|FA|=x1+1，|FB|=x2+1，∴|FA||FB|=(x1+1)(x2+ 1)=m2+4n2+2m+1．……………8分又直线l与圆C相切，则有√1+n2=1，即|m−3|=√1+n2，∴(m−3)2=1+n2，因为圆C在抛物线内部，所以n∈R得：m∈(−∞, 2]∪[4, +∞)，……………10分此时|FA||FB|=m2+4(m−3)2−4+2m+1=5m2−22m+(33)由二次函数的性质可知当m=2时，|FA||FB|取最小值，即|FA||FB|的最小值为（9）……………12分【答案】解：（1）当a=1时，f(x)=13x3−ln x，x>0．f′(x)=x2−1x =x3−1x，x>0．当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0,1)；单调递增区间为(1,+∞)．∴f(x)的极小值为f(1)=13；无极大值．（2）∵f′(x)=x2+(1−a)x−a2x=x3+(1−a)x2−a2x=x3−ax2+x2−a2x=x2(x−a)+(x−a)(x+a)x=(x−a)(x2+x+a)x．∵x>0，a>0，∴x2+x+a>0，当x>a时，f′(x)>0；当0<x<a时，f′(x)<0．f(x)在(0,a)上单调递减；在(a,+∞)上单调递增．所以f(x)min=f(a)=13a3+1−a2a2=16a2(3−a)，若f(x)有两个零点，必有f(x)min=16a2(3−a)<0，得a>3．又f(2a)=13(2a)3+1−a2(2a)2−a2ln(2aa)=23a3+(2−ln2)a2>0，f(1)=13×13+1−a2×12−a2ln(1a)=13+12−a2+a 2ln a >13+12−a2+a 2 =(a −14)2+3748>0，综上所述，当a >3时，f(x)有两个零点，所以符合题意的a 的取值范围为(3,+∞)． 【考点】函数的零点与方程根的关系 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）当a =1时，f(x)=13x 3−ln x ，x >0． f ′(x)=x 2−1x =x 3−1x，x >0．当0<x <1时，f ′(x)<0； 当x >1时，f ′(x)>0．∴ f(x)的单调递减区间为(0,1)；单调递增区间为(1,+∞)． ∴ f(x)的极小值为f(1)=13；无极大值． （2）∵ f ′(x)=x 2+(1−a)x −a 2x=x 3+(1−a)x 2−a 2x =x 3−ax 2+x 2−a 2x =x 2(x −a)+(x −a)(x +a)x =(x−a)(x 2+x+a )x．∵ x >0，a >0， ∴ x 2+x +a >0， 当x >a 时，f ′(x)>0； 当0<x <a 时，f ′(x)<0．f(x)在(0,a)上单调递减；在(a,+∞)上单调递增． 所以f(x)min =f(a)=13a 3+1−a 2a 2=16a 2(3−a)，若f(x)有两个零点，必有f(x)min =16a 2(3−a)<0，得a >3． 又f(2a)=13(2a)3+1−a 2(2a)2−a 2ln (2aa )=23a 3+(2−ln 2)a 2>0，f(1)=13×13+1−a 2×12−a 2ln (1a) =13+12−a2+a 2ln a >13+12−a2+a 2 =(a −14)2+3748>0，综上所述，当a >3时，f(x)有两个零点，所以符合题意的a 的取值范围为(3,+∞)．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ， 由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ．当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2， 所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用三角形的面积的最大值求出直线的方程． 【解答】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ， 由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ． 当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2， 所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．[选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1 ，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的， 所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1 ，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分【考点】函数的最值及其几何意义 函数的零点与方程根的关系 【解析】(Ⅰ)当a =1时，化简f(x)的表达式，利用绝对值的几何意义求解函数的最小值； (Ⅱ)画出函数的图象，求解函数的解析式，利用函数的零点个数，转化求解即可． 【解答】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．试卷第21页，总21页 则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分。
2018届山东省高三模拟考试文科数学试题及答案
文科数学（根据山东省最新考试说明命制）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持答题卡上面清洁，不折叠，不破损.第I卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合{}{}23,5A B A x N x B x Z x =∈<=∈<⋂=，则A. {}2,1,1,2--B. {}2,1,0,1,2--C. {}0,1,2D. {}1,22.复数1iz i=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知某篮球运动员度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图1所示，则该样本的方差为 A.25 B.24 C.18 D.164.执行如图2所示的程序框图，输出的Z值为A.3B.4C.5D.65.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 已知cos cos sin ,a B b A c C +=222b c a B +-==，则A. 6πB. 3πC. 2πD.23π 6.设命题:p 平面=l m l m αββ⋂⊥⊥平面，若，则；命题:q 函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是A.p 为真B. q ⌝为假C. ∨p q 为假D. p q ∧为真 7.函数()cos x f x e x =的部分图象是8.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图3所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为 A.163πB.283πC.643πD. 24π9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()4,3，则此双曲线的方程为A. 22134x y -=B. 22143x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=10.已知函数()2,01,0kx x f x nx x +≤⎧=⎨>⎩()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是A. 2k ≤-B. 21k -≤<-C. 10k -<<D. 2k ≤第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是 .12.数列{}n a 的前n 项和为()11,1,21n n n S a a S n N *+==+∈，则n a = .13.矩形ABCD 中，若()()3,1,2,,AD AB AC k =-=-则= .14.观察下列不等式：1<<<⋅⋅⋅ 15.设变量x ，y 满足约束条件220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若目标函数y z x =的最大值为a ，最小值为b ，则a —b 的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本题满分12分）如图4，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,32a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.将角α的始边按逆时针方向旋转6π，交单位圆于点B ，记()()1122,,,A x y B x y .（1）若1214x x =求；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C 、D ，记.1122,BOD S AOC S S ∆∆=的面积为的面积为若S ，求角α的值.17.（本题满分12分）四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，平面1ABCD PA=PB=AB=AD BAD=602PAB ︒⊥∠平面，，，E ，F 分别为AD ，PC 的中点. （1）求证：PBD EF ⊥平面；（2）若AB=2，求四棱锥P —ABCD 的体积..18.（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位：3/g m μ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示某市11月（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.19.（本题满分13分）已知在等比数列{}213121,1n a a a a a =+-=中，. （1）若数列{}n b 满足()32123n n b b b b a n N n*+++⋅⋅⋅+=∈，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（本题满分13分）已知12,F F 分别为椭圆()2212210y x C a b a b+=>>：的上下焦点，其1F 是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15.3MF = （1）试求椭圆1C 的方程；（2）与圆()2211x y ++=相切的直线()():0l y k x t t =+≠交椭圆于A ，B两点，若椭圆上一点P 满足,OA OB OP λλ+=求实数的取值范围.21.（本题满分13分）已知函数()()(),.ln xg x f x g x ax x==-（1）求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（3）若()()22121,,x x e e f x f x a '⎡⎤∃∈≤+⎣⎦，使成立，求实数a 的取值范围.。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．（1，2]D．[﹣1，1]∪{2} 2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 3．（5分）当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A．3.6B．3.8C．4D．4.24．（5分）一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）按如图所示的算法框图，某同学在区间[0，9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A．B．C．D．6．（5分）已知直线与直线互相平行且距离为m．等差数列{a n}的公差为d，且a7•a8＝35，a4+a10＜0，令S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，则S m的值为（）A．36B．44C．52D．607．（5分）函数f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]恰有两个零点，则m的取值范围为（）A．（0，1]B．{1}C．{0}∪（1，3]D．[0，3]8．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈＝5步）．则海岛高度为（）A．1055步B．1255步C．1550步D．2255步9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．210．（5分）已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，则的最小值为（）A．B．8C．D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a）D．log2（1﹣a）二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为．14．（5分）已知双曲线上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|•|ON|＝．15．（5分）实系数一元二次方程x2+ax﹣2b＝0有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内．若，则z的取值范围为．16．（5分）下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1＞0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的序号为．（填入所有正确的命题序号）三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c＞a，求c．18．（12分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：（Ⅰ）若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；（Ⅱ）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）当AB＝1，求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．20．（12分）已知过抛物线Ω：y2＝2px（0＜p≤8）的焦点F向圆C：（x﹣3）2+y2＝1引切线FT（T为切点），切线FT的长为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）作圆C：（x﹣3）2+y2＝1的切线l，直线l与抛物线Ω交于A，B两点，求|F A|•|FB|的最小值．21．（12分）已知函数（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．（1，2]D．[﹣1，1]∪{2}【解答】解：由，得A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|﹣1≤x≤2}＝[﹣1，2]；∴A∩B＝[1，2]．故选：B．2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵复数z满足，∴，得，∴z＝1+i或z＝1﹣i．故选：C．3．（5分）当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A．3.6B．3.8C．4D．4.2【解答】解：设五个数从小到大为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得a3＝4，a4＝a5＝6，a1，a2是1，2，3中两个不同的数，符合题意的五个数可能有三种情形：“1，2，4，6，6”，“1，3，4，6，6”，“2，3，4，6，6”，其平均数分别为3.8，4，4.2，不可能的是3.6．故选：A．4．（5分）一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．得f（a n）＜a n，所以f（a1）＜a1在∀a1∈（0，1）上都成立，即∀x∈（0，1），f（x）＜x，所以函数图象都在y＝x的下方．故选：A．5．（5分）按如图所示的算法框图，某同学在区间[0，9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A．B．C．D．【解答】解：当，由算法可知y＝﹣2x+2得y∈[1，2]，得到“OK”；当，由算法可知y＝﹣2x+2得y∈（0，1），不能得到“OK”；当x∈[1，3），由算法可知y＝log3x得y∈[0，1），不能得到“OK”；当x∈[3，9]，由算法可知y＝log3x得y∈[1，2]，能得到“OK”；∴．故选：C．6．（5分）已知直线与直线互相平行且距离为m．等差数列{a n}的公差为d，且a7•a8＝35，a4+a10＜0，令S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，则S m的值为（）A．36B．44C．52D．60【解答】解：由两直线平行得d＝﹣2，由两平行直线间距离公式得，∵a7•（a7﹣2）＝35得a7＝﹣5或a7＝7．∵a4+a10＝2a7＜0，∴a7＝﹣5，∴a n＝﹣2n+9，∴S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|＝|7|+|5|+|3|+|1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣5|+|﹣7|+|﹣9|+|﹣11|＝52．故选：C．7．（5分）函数f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]恰有两个零点，则m的取值范围为（）A．（0，1]B．{1}C．{0}∪（1，3]D．[0，3]【解答】解：f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]的零点个数就是与y＝m的交点个数．作出y＝cos x+2|cos x|的图象，由图象可知m＝0或1＜m≤3．故选：C．8．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈＝5步）．则海岛高度为（）A．1055步B．1255步C．1550步D．2255步【解答】解：如图，设岛高x步，与前标杆相距y步，则根据三角形相似可得：，解得x＝1255步．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2＝2，三棱锥的体积为，所以几何体的体积为．故选：B．10．（5分）已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：射影定理可得：BE2＝AE•ED，即，所以即椭圆的离心率．故选：D．另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M（m，0），由|MA|＝|MB|得：，解得：，所以，∴．故选：D．11．（5分）已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，则的最小值为（）A．B．8C．D．【解答】解：由于M是DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，所以α，β＞0且2α+2β＝1，所以，（当且仅当时取＝）．故选：D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a）D．log2（1﹣a）【解答】解：当x≥0时，又f（x）是奇函数，由图象可知：F（x）＝0⇒f（x）＝a，（0＜a＜1），有5个零点，其中有两个零点关于x＝﹣3对称，还有两个零点关于x＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线x＝a与函数，x∈（﹣1，0]交点的横坐标，即方程的解，x＝﹣log2（1+a），故选：C．二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为．【解答】解：如图，取AC中点为E，连结DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AC，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB＝AC＝SA＝2，由勾股定理得，又DE＝1．由题意BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，∴DE⊥SE，∴在Rt△SDE中，．故答案为：．14．（5分）已知双曲线上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|•|ON|＝4．【解答】解：双曲线两渐近线的斜率为，设点P（x°，y°），则l1，l2的方程分别为，，所以M，N坐标为M（x°﹣2y°，0），N（x°+2y°，0），∴，又点P在双曲线上，则，所以|OM|•|ON|＝4．故答案为：4．15．（5分）实系数一元二次方程x2+ax﹣2b＝0有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内．若，则z的取值范围为．【解答】解：令f（x）＝x2+ax﹣2b，依题意得，，即，作出可行域如图，可行域是△ABC内部的部分．表示的几何意义是过可行域内一点与点P（1，0）的直线的斜率，由，得A（﹣3，﹣1），B（﹣1，0），C（﹣2，0）．∴，∴．故答案为：．16．（5分）下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1＞0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的序号为③④．（填入所有正确的命题序号）【解答】解：对于①，如首项a1＝﹣1，公比的等比数列为递增数列，所以首项a1＞0不是等比数列{a n}为递增数列的必要条件，①错误；对于②，可知0＜a＜1时，a0＞a a＞a1，即1＞a a＞a，所以，②错误；对于③，将的图象向右平移个单位，得y＝2tan[（x﹣）+]＝2tan x；再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得y＝2×tan x＝tan x，即y＝tan x，③正确；对于④，0＜x＜1时，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得，又0＜a＜3，∴，可知f（x）在上单调递减，在单调递增，所以④正确；综上，正确的命题是③④．故答案为：③④．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c＞a，求c．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理得，……………1分∴，∴；……………3分由正弦定理得，又A+C＝π﹣B，∴2cos B sin B＝sin B，又sin B≠0，∴；……………5分∵B∈（0，π），所以；……………6分（Ⅱ）∵，∴b＝3，……………7分由面积公式得，即ac＝6①；……………9分由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b2＝a2+c2﹣6＝9，即a2+c2＝15②；……11分由①②解得：或，又c＞a，所以a＝，c＝2．……………12分18．（12分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：（Ⅰ）若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；（Ⅱ）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）设B村户数为x户，则：80%＝，………3分解得：x＝80（户）．……………5分（Ⅱ）不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C），共12种等可能性结果．……………9分其中（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（C，A），（D，A）符合题意，共6种．所以进驻A村的工作小组被选中的概率为p＝．……………12分19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）当AB＝1，求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．………2分利用勾股定理得，同理可得．在△SAD中，，∴SA⊥SD……………4分∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．……………6分解：（Ⅱ）由（Ⅰ）中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD，……………7分∵AB＝CD＝1，SB＝SC＝2，则由勾股定理可得，……………8分∴，△SAD中，，∴AD边上高h＝，∴，……………11分四棱锥S﹣ABCD的侧面积＝，∴四棱锥S﹣ABCD的侧面积．……………12分20．（12分）已知过抛物线Ω：y2＝2px（0＜p≤8）的焦点F向圆C：（x﹣3）2+y2＝1引切线FT（T为切点），切线FT的长为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）作圆C：（x﹣3）2+y2＝1的切线l，直线l与抛物线Ω交于A，B两点，求|F A|•|FB|的最小值．【解答】解；（Ⅰ）因为圆C：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为C（3，0），，……………1分由切线长定理可得|FC|2＝|FT|2+r2，即，……………3分解得：p＝2或p＝10，又0＜p≤8，∴p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．……………4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x＝ny+m，代入y2＝4x得y2﹣4ny﹣4m＝0，∴y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4m，得，，……………5分由抛物线的性质得：|F A|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴．……………8分又直线l与圆C相切，则有，即，∴（m﹣3）2＝1+n2，因为圆C在抛物线内部，所以n∈R得：m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞），……………10分此时|F A||FB|＝m2+4（m﹣3）2﹣4+2m+1＝5m2﹣22m+33．由二次函数的性质可知当m＝2时，|F A||FB|取最小值，即|F A||FB|的最小值为9．……………12分21．（12分）已知函数（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，，x＞0.，x＞0．……………1分当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．……………3分所以f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）．f（x）的极小值为；无极大值．……………5分（Ⅱ）∵＝．……………7分∵x＞0，a＞0，∴x2+x+a＞0，当x＞a时，f′（x）＞0；当0＜x＜a时，f′（x）＜0．f（x）在（0，a）上单调递减；在（a，+∞）上单调递增．……………8分所以若f（x）有两个零点，必有，得a＞3．……………10分又，综上所述，当a＞3时f（x）有两个零点，所以符合题意的a的取值范围为（3，+∞）． (12)分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）当α＝45°时，直线l的参数方程为，消去t得直线l的普通方程为x﹣y﹣5＝0．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，两边乘以ρ为ρ2＝4ρcosθ，由得：x2+y2﹣4x＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．（Ⅱ）曲线C是以C（2，0）为圆心，2为半径的圆，．当∠ACB＝90°时面积最大．此时点C到直线l：y＝k（x﹣5）的距离为，所以，解得：，所以直线l的普通方程为．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|＝4，（x+3）≤0，即﹣3≤x≤1时等号成立．∴f（x）的最小值为4．……………………当且仅当（x﹣1）4分（Ⅱ）g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．则g（x）的图象是夹在y＝﹣5与y＝5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又，f（x）的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，则f（x）的图象的两条射线中至少有一条是平行于x轴的，所以﹣（a+1）＝0或（a+1）＝0得a＝﹣1．此时，经验证符合题意，∴a＝﹣1……………………10分。
2018届山东高考文科数学模拟试题含答案
2018届高三下学期第二次模拟考试试卷文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集}5,4,3,2,1{=U ，}1{)(=B A C U Y ，}3{)(=B C A U I ，则集合=B （ ） A ．}5,4,2,1{ B ．}5,4,2{ C ．}4,3,2{ D ．}5,4,3{ 2．若复数iia ++1（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．)1,1(-D ．)1,(--∞),1(+∞Y 3．对任意非零实数b a ,，若b a ⊗的运算原理如图所示，则41log )21(22⊗-的值为（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3- 4．已知命题p ： “||||,b a b a >>∀”，命题q ：“02,000><∃x x ”，则下列为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧⌝C ．q p ∨D ．q p ⌝∨ 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．24C ．32D ．366．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（ ） A ．3337 B ．6667 C ．1110 D ．33237．已知椭圆12822=+y x 左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，则||||22BF AF +的最大值为（ ）A ．23B ．24C ．26D ．278．曲线1C ：x y 2sin 21=如何变换得到曲线2C ：21)6(sin 2--=πx y （ ） A ．向左平移π125个单位 B ．向右平移π125个单位C ．向左平移π65个单位D ．向右平移π65个单位9．已知双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ，以2F 为圆心，21F F 为半径的圆交C 的右支于Q P ,两点，若PQ F 1∆的一个内角为060，则C 的离心率为（ ） A. 3B. 13+C.213+ D. 2610．已知函数331sin cos )(x x x x x f --=，则不等式0)1()32(<++f x f 的解集为（ ）A ．),2(+∞-B ．)2,(--∞C ．),1(+∞-D ．)1,(--∞ 11．设c b a ,,均为小于1的正数，且c b a 532log log log ==，则（ ）A ．315121b c a >>B ．312151b a c >>C ．512131c a b >> D ．213151a b c >>12．在数列}{n a 中，12-=nn a ，一个7行8列的数表中，第i 行第j 列的元素为j i j i ij a a a a c ++⋅=)8,,2,1,7,,2,1(ΛΛ==j i ，则该数表中所有元素之和为（ ）A ．10216-B ．10216+C ．18216-D ．13216+ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．在ABC ∆中，在BC 边上任取一点P ，满足53>∆∆ACP ABP S S 的概率为 . 14．在平行四边形ABCD 中，F E ,分别为边CD BC ,的中点，若AF y AE x AB +=（R y x ∈,），则=-y x .15．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥247230y x y x x ，则y x z +=2的最大值为 .16．已知正三棱柱111C B A ABC -，侧面11B BCC 的面积为34，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，边BC 上一点D 满足AD AB ⊥，DC AD 3=. （1）若22==DC BD ，求边AC 的长； （2）若AC AB =，求B sin .18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求n m ,的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22⨯列联表，并判断是否有%99的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程b x y+-=5ˆ.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=19．多面体ABCDEF 中，EF BC //，6=BF ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，四边形ACDF 是菱形，060=∠FAC ，N M ,分别是DF AB ,的中点.（1）求证：//MN 平面AEF ； （2）求证：平面⊥ABC 平面ACDF .20．已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点F ，直线4=y 与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且||2||PQ QF =. （1）求p 的值；（2）已知点)2,(-t T 为C 上一点，N M ,是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为38-，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标. 21．已知函数x ae ax x x f -+=221)(，)(x g 为)(x f 的导函数. （1）求函数)(x g 的单调区间；（2）若函数)(x g 在R 上存在最大值0，求函数)(x f 在),0[+∞上的最大值；（3）求证：当0>x 时，2321ln x x x e xe x +>-. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为04sin 4cos 22=+--θρθρρ.（1）若直线l 与C 相切，求l 的直角坐标方程；（2）若2tan =α，设l 与C 的交点为B A ,，求OAB ∆的面积.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||12|)(-++=x x x f . （1）解不等式3)(≥x f ；（2）记函数)(x f 的最小值为m ，若c b a ,,均为正实数，且m c b a =++221，求222c b à++的最小值.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．8514．2 15．4 16．π16 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）∵AD AB ⊥，∴在ABD Rt ∆中，23sin ==∠BD AD ABD ， ∴030=∠ABD ，ABC ∆中，3,1==BC AB ，由余弦定理可得，7213291cos 2222=⨯⨯-+=∠⋅-+=ABC BC AB BC AB AC 所以7=AC（2）在ACD ∆中，由正弦定理可得DACDCC AD ∠=sin sin ， ∵DC AD 3=，∴DACC ∠=sin 1sin 3， ∵AC AB =，∴C B =，∴B DAC 21800-=∠， ∵090=∠BAD∴B B BAD BAC DAC 290902180000-=--=∠-∠=∠ ∴)290sin(1sin 30B B -= ∴BB 2cos 1sin 3=，化简得03sin sin 322=-+B B ， 0)3sin 2)(1sin 3(=+-B B ，∵0sin >B ， ∴33sin =B . 18．解：（1）由频率分布直方图可知，006.0001.020015.001.0=-⨯-=+n m ， 由中间三组的人数成等差数列可知n m 20015.0=+， 可解得0025.0,0035.0==n m（2）周平均消费不低于300元的频率为6.0100)001.00015.00035.0(=⨯++， 因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为606.0100=⨯人. 所以22⨯列联表为635.625.840605545)40251520(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以有%99的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为33055010.045015.035035.025025.015015.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，由题意b +⨯-=385330，∴520=b395520255=+⨯-=y .19.（1）证明：取AC 的中点O ，连接ON OM ,因为N M ,分别是DF AB ,的中点，所以在菱形ACDF 中，AF ON //， 在ABC ∆中，BC OM // 又EF BC //，所以EF OM //，O ON OM =I ，所以平面//OMN 平面AEF ，⊂MN 平面OMN ，所以//MN 平面AEF .（2）证明：连结OB OF ,，ABC ∆是边长为2的等边三角形，所以AC BO ⊥，3=BO ，四边形ACDF 是菱形，∴2=AF ，∵060=∠FAC ， ∴3,=⊥OF AC OF ，∵6=BF ，∴222BF OF BO =+，∴OF BO ⊥又O AC FO =I ，所以⊥BO 平面ACDF⊂BO 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面ACDF .20．（1）设)4,(0x Q ，由抛物线定义，2||0px QF += 又||2||PQ QF =，即2200p x x +=，解得20p x =将点)4,2(pQ 代入抛物线方程，解得4=p . （2）由（1）知C 的方程为x y 82=，所以点T 坐标为)2,21(-设直线MN 的方程为n my x +=，点),8(),,8(222121y y N y y M 由⎩⎨⎧=+=xy n my x 82得0882=--n my y ，责任n y y m y y 8,82121-==+， 所以28282182218221222211-+-=-++-+=+y y y y y y k k NT MT 38416832644)(232)(8212121-=+---=++--+=m n m y y y y y y ，解得1-=m n所以直线MN 方程为)1(1+=+y m x ，恒过点)1,1(-.21．解：（1）由题意可知，=)(x g xae a x x f -+=)('，则xae x g -=1)('， 当0≤a 时，0)('>x g ，∴)(x g 在),(+∞-∞上单调递增；当0>a 时，解得a x ln -<时，0)('>x g ，a x ln ->时，0)('<x g ∴)(x g 在)ln ,(a --∞上单调递增，在),ln (+∞-a 上单调递减综上，当0≤a 时，)(x g 的单调递增区间为),(+∞-∞，无递减区间；当0>a 时，)(x g 的单调递增区间为)ln ,(a --∞，单调递减区间为),ln (+∞-a . （2）由（1）可知，0>a 且)(x g 在a x ln -=处取得最大值，1ln ln )ln (1ln--=⋅-+-=-a a ea a a a g a，即01ln =--a a ，观察可得当1=a 时，方程成立令)0(1ln )(>--=a a a a h ，aa a a h 111)('-=-= 当)1,0(∈a 时，0)('<a h ，当),1(+∞∈a 时，0)('>a h ∴)(a h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞单调递增， ∴0)1()(=≥h a h ，∴当且仅当1=a 时，01ln =--a a ， 所以x e x x x f -+=221)(，由题意可知0)()('≤=x g x f ，)(x f 在),0[+∞上单调递减， 所以)(x f 在0=x 处取得最大值1)0(-=f（3）由（2）可知，若1=a ，当0>x 时，1)(-<x f ，即1212-<-+x e x x ， ∴x xe x x x -<-+2321， ∴x x e x e xe x x x -<+-+ln ln 2123， 令x x e x F -=ln )(，xxe x e x F -=-=1)('， 当e x <<0时，0)('>x F ；当e x >时，0)('<x F ， ∴)(x F 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减， ∴0)()(=≤e F x F ，即0ln ≤-x x e ，0ln 2123<+-+x e xe x x x 所以当0>x 时，2321ln x x x e xe x +>-. 22．解：（1）由,sin ,cos θρθρ==y x 可得C 的直角坐标方程为044222=+--+y x y x ，即1)2()1(22=-+-y x ，⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x 消去参数t ，可得)1(tan -=x y α，设αtan =k ， 则直线l 的方程为)1(-=x k y 由题意，圆心)2,1(到直线l 的距离11|2|21=+--=k k k d ，解得3±=k所以直线l 的直角坐标方程为)1(3-±=x y（2）因为2tan =α，所以直线方程为022=--y x ， 原点到直线l 的距离522=d 联立⎩⎨⎧=-+-=--1)2()1(02222y x y x 解得⎩⎨⎧==22y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5658y x 所以52)562()582(22=-+-=AB ，所以52525221=⨯⨯=S .11 23．解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥=21,3121,21,3)(x x x x x x x f 所以3)(≥x f 等价于⎩⎨⎧≥≥331x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<-32121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤3321x x x 解得1≥x 或1-≤x ，所以不等式的解集为1|{≥x x 或}1-≤x（2）由（1）可知，当21-=x 时，)(x f 取得最小值23， 所以23=m ，即23221=++c b a 由柯西不等式49)221()21)21)(((2222222=++≥++++c b a c b a ， 整理得73222≥++c b a ，当且仅当22c b a ==时，即74,72,71===c b a 时等号成立， 所以222c b a ++的最小值为73.。
齐鲁教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考 数学(文)Word版含答案
山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次联考数学（文）试题本试卷共4页，共23题，满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（原创，容易）已知命题q p ,，则“q p ∧为假命题”是“q p ∨为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D“q p ∧为假命题”包括“p 假q 假”，“p 真q 假”，“p 假q 真”，“q p ∨为真命题”包括“p 真q 真”，“p 真q 假”，“p 假q 真” 【考点】命题交并的真假，充分必要条件 2.（原创，容易）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02)4)(1(x x x x A ，{}51≤≤-∈=x N x B ，则集合B A 的子集个数为（ ）A. 5B. 4C.32D.16 【答案】D{}421≤<≤=x x x A 或，{}5，4，3，2，1，0=B ，∴{}4，3，1，0=B A ，∴B A 的子集个数为1624=【考点】解不等式，交集的运算，集合子集的个数 3.（原创，容易）设i 为虚数单位，若复数)(1R a i i a Z ∈+-=的实部与虚部的和为43，则23)1()(-+-=x x x f a 定义域为（ ） A.），（），（∞+221 B.[)），（，∞+221 C. ()∞+，1 D. ()2,1【答案】A 易知41-=a ，所以只需满足21≠>x x 且 【考点】复数，具体函数的定义域.4.（原创，容易）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且3π=A ,4=c ，62=a ，则角C =( ) A ．43π B. 4π C. 4π或43π D.3π或32π 【答案】BC c A a sin sin = ，2262234sin =⋅=∴C ，又c a > ，所以角C =4π 【考点】正弦定理解三角形.5.（原创，容易）执行下列程序框图，若输入a ，b 分别为98，63，则输出的a =（ ）A ．12 B. 14C. 7D. 9 【答案】C“更相减损术”求最大公约数 【考点】程序框图6.（原创，适中)已知31)(++-=x x x f ，3-1)(--=x x x g ，设)(x f 的最大值为M ，)(x g 的最大值为N ，则NM=（ ） A. 2 B.1 C.4 D.3 【答案】A)(x f 的定义域是[]13-，，32-2431)(222+-+=++-=x x x x x f ）（，当1-=x 时，8)(max 2=x f ，所以M =22；)(x g 的定义域是[)∞+，3，3123-1)(-+-=--=x x x x x g ，所以2)(max ==N x g .N M =2【考点】函数的最值7.（原创，适中）曲线1)(3+-=x x x f 在点()11，处的切线方程是（ ）A.012=--y x 或054=-+y xB. 012=--y xC. 02=-+y x 或054=-+y xD. 02=-+y x【答案】B因为切点为()11，，斜率为1320-=x k =2，则该切点处的切线为012=--y x【考点】曲线上某点处的切线方程8.（原创，适中）已知函数x x x x f sin )1ln()(2--+=，则对于任意实数b a ,022-≠+⎪⎭⎫⎝⎛∈b a 且，ππ，则b a b f a f ++)()(的值（ ）A ．恒负 B. 恒正 C. 恒为0 D. 不确定 【答案】Ax x x x f sin )1ln()(2--+=在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上为奇函数且单调递减.所以)()(b f a f +与b a +同号【考点】函数的性质.9. （改编，适中） 若函数()2df x ax bx c=++（a ， b ，c ，d R ∈）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．0,0,0,0>>>>d c b a B. 0,0,0,0<>>>d c b a C. 0,0,0,0>><>d c b a D. 0,0,0,0<><>d c b a 【答案】D02=++c bx ax 的两根为1，5.所以b a ,异号，c a ,同号.又因为0)0(<f ，所以d c ,异号【考点】函数图像10. （改编，较难）某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为45的直角梯形，则该多面体的体积为（ ）A.1B.21C. 32 D. 2【答案】C，323131=+=+=--BCD F ADFE B V V V 【考点】三视图11. （改编，较难）若正数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-xy y y x x ln 2142，则xy x y 22+的取值范围为（ ） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+417,1e e B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,1e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+e e 1,2 【答案】A因为+∈R y x ,，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-x y y y x x ln 2142可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-x y xy y x ln 0)211)(4(，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤x y x y ln 41 又因为yxx y xy x y +=+22，所以设x y k =，则约束条件变为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥x kx k ln 41，进一步可知约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥e k k 141，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e k 1,41，目标函数为k k xy x y 122+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈417,1e e 【考点】线性规划，函数上过某点的切线方程，函数的值域12.（改编，较难）已知函数ax x x f -=2)(，xe x x g -=ln )(.在其共同的定义域内，)(x g 的图像不可能在)(xf 的上方，则求a 的取值范围（ ） A ． 110+<<e a B. 0>a C. 1+≤e a D. 0≤a 【答案】C由题意得x x x x e a x ln -+≤，令x x x x e x x ln )(-+=ϕ， 22ln 11)1()(x xx x e x x --+-=，ϕ22ln 1)1(x xx x e x +-+-=；令x x x e x t x ln 1)1()(2+-+-=，012)(>++⋅=xx x e x t x ，，所以)(x t 在),0(+∞上单调递增，又因为0)1(=t ；当)1,0(∈x 时，)(x ϕ单调递减；当)1(∞+∈，x 时，)(x ϕ单调递增.所以1)1()(+=≥e x ϕϕ，所以1+≤e a .C 正确.【考点】导数的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13. （原创，容易）命题()”“xe x x ≤++∞∈∀2ln ,,0的否定是 【答案】()02ln ,,000xe x x >++∞∈∃()”“02ln ,,000x e x x >++∞∈∃ 【考点】全称命题和特称命题14. （原创，容易）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=++-)1()12()1()(322x m x m x x x f m m 在R 上是单调递增函数，则m 的取值范围是 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221，由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>->++-1310120322m m m m 可得3221≤<m【考点】函数的性质15. （改编，容易）如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2， 点E ， F 分别为棱AB ， AD=_____；BC EF -=；【答案】5；3()50142222=++=⋅++=+=EFACEFACEFAC,=5设BD的中点为G，则=-=-,所以BC EF-=3=【考点】向量16.（改编，较难）对于集合{}12,,,na a a和常数a，定义：)(cos....)(cos)(cos)(sin....)(sin)(sin2221222212aaaaaaaaaaaatnn-++-+--++-+-=为集合{}12,,,na a a相对于a的“类正切平方”.则集合57,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对于a的“类正切平方”t=【答案】1)6(cos)6(cos)2(cos)67(sin)65(sin)2(sin222222aaaaaat-+-+--+-+-=ππππππ=)6(cos)6(cossin)6(sin)6(sincos222222aaaaaa-+++-+++ππππ=222222sin21cos23sin21cos23sinsin23cos21sin23cos21cos）（）（）（）（aaaaaaaaaa++-+-+++=222222sin21cos23sinsin23cos21cosaaaaaa++++=2222sin2cos2sin23cos23aaaa++=1【考点】创新题，三角函数三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17. （原创，容易）（本小题12分）在数列{}n a中，已知11=a，121+=+nnaa(*Nn∈）（1）求证：{}1+n a 是等比数列 （2）设11+⋅+=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S详细分析：（Ⅰ）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈） 又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈）∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n nn n b （*N n ∈） ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.【考点】递推关系，等比数列，求前n 项和. 18. （原创，容易）（本小题12分）已知函数21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f （0>ω）的最小正周期为π.（1）求ω的值（2）将函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图象.求函数)(x g 在[]ππ,-上单调递减区间和零点.（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x=）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分 （2） =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分【考点】三角函数19.（改编，适中）（本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，边长为1，120=∠ADC ，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形.（1）求证：平面⊥PBD 平面PAC（2）在线段,PC PD 上可以分别找到两点'A ， ''A ，使得直线PC ⊥平面'''AA A ，并分别求出此时''',PA PA PC PD的值． （1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PCPA PA ⋅='2,又2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分 在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分【考点】立体几何20.（改编，适中）（本小题12分）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有())()12('x f x e x f x++=（e 是自然对数的底数），1)0(=f(1)求)(x f 的解+析式 (2)求)(x f 的单调区间.（1）由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x，即12)('+=⎪⎭⎫⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()xe c x x xf ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解+析式是()xe x x xf 1)(2++=………………………………………7分（2）()xe x x xf 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分【考点】函数的性质21.（原创，较难）（本小题12分）已知函数)(x f =x x ax ln 2-，xx g 1)(=. （1）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值，并判断)(x f 在1=x 处取得极大值还是极小值.（2）若)()(x g x f ≥在(]10，上恒成立，求a 的取值范围.（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1xx x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增.∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立 即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立.解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）： 令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立.②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解”1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x xa x x +<<+在(]1,0上有解 令3ln 1-)(xxx t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x xx t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(x x x x x x x x m --=⋅+-⋅=， 所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减.所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <.因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥.……………………………………12分【考点】导函数22. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C ：（α为参数），直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=ty t x 2（t 为参数）．（1）分别求曲线C、直线l 的普通方程；（2）直线l 与C 交于B A ,两点，则求AB 的值.（1）C：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分 （2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数212)(++-=x x x f ，()a a x x x g +--+=1 （1）求解不等式3)(>x f ；（2）对于R x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分 【考点】绝对值不等式齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（文）参考答案及评分标准1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9. 【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】A 12.【答案】C13.【答案】()02ln ,,000xe x x >++∞∈∃14.【答案】⎥⎦⎤⎝⎛3221，15.【答案】5；3 16.【答案】117. 详细分析：（1）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈） 又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈）∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n nn n b （*N n ∈） ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n………………………………12分.18.（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分 (2) =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分 19.（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PCPA PA ⋅='2,又2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分 在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分20.（1）由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x ，即12)('+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()xe c x x xf ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解+析式是()xe x x xf 1)(2++=………………………………………7分（2）()xe x x xf 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分21.（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1x x x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增.∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立 即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立.解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）： 令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立.②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解”1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x xa x x +<<+在(]1,0上有解 令3ln 1-)(xxx t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x xx t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(x x x x x x x x m --=⋅+-⋅=， 所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减.所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <.因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥.……………………………………12分 22.（1）C：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分 （2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23.（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分。
山东莱芜市2018届高三数学上学期期中试卷文科有答案
山东莱芜市2018届高三数学上学期期中试卷（文科有答案）高三期中质量检测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】=,选C.2.下列命题中的假命题是（）A.，B.C.，D.，【答案】D【解析】，;;，;，,所以D为假命题,选D.3.下列函数中，既是奇函数又是区间上的减函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】不是奇函数;既是奇函数又是区间上的减函数;是奇函数又是区间上的增函数;不是奇函数,所以选B.4.数列为等差数列，是其前项的和，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,选A.5.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D,选D.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】A【解析】,所以向左平移个单位,选A.7.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由、、成等比数列，得,所以8.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得,舍去A;当时,舍去B;当时,舍去D;选C. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．9.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：第一步：构造数列，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，.则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,所以,选B.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.10.函数零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】当时,当时,与有两个交点,因此一共有三个零点,选C.11.在平行四边形中，，边，，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设,选D.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为为偶函数,为奇函数,所以,即周期为4由与相切得;由与相切得;由图可知有三个零点时实数的取值范围是,选C.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的值为__________.【答案】【解析】14.计算：__________.【答案】【解析】点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等15.已知曲线：与曲线：，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数的值为__________.【答案】【解析】设交点为，则切线斜率为16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“中间函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】在区间上恒成立，所以点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求在上的最小值.【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.(2). 【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式降幂，再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期与单调区间（2）根据自变量范围确定正弦函数取值范围，再根据正弦函数图像确定最小值试题解析：（1），所以函数的最小正周期为.由，，得，，所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，所以，所以，所以，所以在上的最小值为.18.在数列中，已知，，，为常数.（1）证明：，，成等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)当，，当，.【解析】试题分析：（1）根据递推关系求，，再验证成立即可（2）先构造等差数列，再根据等差数列通项公式得，由等比数列定义得数列为等比数列，最后根据等比数列求和公式求数列的前项和.试题解析：（1）因为，，所以，同理，，，又因为，，所以，故，，成等差数列.（2）由，得，令，则，，所以是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，，两式相加，得：，所以，，当，，当，.19.已知的内角、、的对边分别为、、，.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）先由余弦定理得，再代入条件化简得，最后根据正弦定理得的值；（2）由三角形内角关系得，利用两角差正弦公式以及二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据角A的范围以及正弦函数性质确定函数值域试题解析：（1）由余弦定理及题设可知：，得，由正弦定理，得.（2）由题意可知..因为，所以，故，所以的取值范围是.20.已知函数（，）.（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围.【答案】(1)最大值为8，最小值为；(2).【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，求导函数解得；再根据，得.再根据导函数求得零点，列表可得导函数符号，确定函数单调性，最后得到最值（2）由题意得导函数在上存在零点，所以的两根满足或，解得的取值范围.试题解析：（1）∵在上，∴，∵点在的图象上，∴，又，∴，∴，解得，.∴，，由可知和是的极值点.∵，，，，∴在区间上的最大值为8，最小值为.（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点.而的两根为，，若，都在上，则解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间上，则或，∴.21.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求（）的最小值.【答案】(1)，；(2).【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据条件列方程组，解得，，再根据等差与等比数列通项公式求结果（2）为等比数列，根据求和公式得，根据数列单调性得取值范围，即为函数定义域，最后根据函数单调性求最小值试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则解得，，所以，.（2）由（1）得，故，所以由可知，随的增大而增大，所以，令，，则，故在时是增函数，，所以，的最小值是.点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件22.已知函数.（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围.试题解析：（1），，因为函数在其定义域内为增函数，所以，恒成立，当时，显然不成立；当时，，要满足，时恒成立，则，∴.（2）设函数，，则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即.①时，，∵，∴，，，则，不符合条件；②时，，由，可知，则在单调递增，，整理得.综上所述，.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。
2018届山东省实验中学高三第二次模拟考试文科数学试题及答案
山东省实验中学2018届第二次模拟考试数学试题（文科）4第I 卷（选择题 50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 1.在复平面内，复数1ii-+对应的点位于 A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.定义集合{}{}{}*1357235*A B x x A x B B A B =∈∉=且，若A=，，，，，，，则的子集个数为 A.1B.2C.3D.43.等比数列{}n a 中，“13a a <”是“46a a <”的 A.充而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知函数()y f x =是奇函数，当()10lg ,100x f x x f f ⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则的值等于 A.112g B. 112g -C. lg 2D. 12g -5.给出下列图象其中可能为函数()()43,,,f x x ax cx d a b c d R=+++∈的图象是A.①③B.①②C.③④D.②④6.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.27364π+ B.273128π+ C.1264π+D.36128π+7.图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小关系为A.1234e e e e <<<B.2134e e e e <<<C.1243e e e e <<<D. 2143e e e e <<<8.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为A.()2sin 26f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()2cos 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭错误！未找到引用源C.()2cos 23xf x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.已知2,,2,y xz x y x y x y x m ≥⎧⎪=++≤⎨⎪≥⎩满足且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是A.17B.16C.15D.1410.若函数()f x 在给定区间M 上，还存在正数t ，使得对于任意,x M x t M ∈+∈有，且()()()f x t f x f x +≥，则称为M 上的t 级类增函数，则以下命题正确的是A.函数()()41f x x x=++∞是，上的1级类增函数 B.函数()()()2log 11f x x =-+∞是，上的1级类增函数C.若函数()[)231f x x x =-+∞为，上的t 级类增函数，则实数t 的取值范围为[)1+∞，D.若函数()sin 23f x x ax ππ⎡⎫=++∞⎪⎢⎣⎭为，上的级类增函数，则实数a 的取值范围为2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.阅读左侧程序框图，则输出的数据S 为______.12.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为________辆.13.已知抛物线()220y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为________. 14.设102m <<，若1212k m m+≥-恒成立，则k 的最大值为________. 15.在四边形ABCD 中，()131,1,..AB DC BC BD BA BD===u u u r u u u r u u ur u u u ur u u u r ，则四边形ABCD 的面积为__________。
山东省莱芜市数学高考摸底试卷(文科)
山东省莱芜市数学高考摸底试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 若集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）若（、是实数，是虚数单位），则复数对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A . 8B . 6C . 4D . 34. （2分）(2017·山西模拟) 在方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成的区域内（包含边界）任取一点P（x，y），则z=xy的最大值为（）A . 1B .C .D .5. （2分） (2017高二上·大连期末) 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=6x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，若t=ab，则t的最大值为（）A .B . 6C .D . 96. （2分） (2015高二上·石家庄期末) 若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·茂名模拟) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·洞口期末) 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A . 3+B . 2+C . 2+D . 3+9. （2分） (2016高二下·哈尔滨期末) 函数y=2sin（﹣x）﹣cos（ +x）（x∈R）最小值为（）A . ﹣3B . ﹣2C . ﹣1D . ﹣10. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 下列说法正确的是（）A . 极坐标系中方程ρ2﹣4ρcosθ=0和ρ﹣4cosθ=0表示的是同一曲线B .C . 不等式|a+b|≥|a|﹣|b|等号成立的条件为ab≤0D . 在极坐标系中方程表示的圆和一条直线．11. （2分） (2016高一下·枣阳期中) 在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A . a=8b=16A=30°B . a=25b=30A=150°C . a=30b=40A=30°D . a=72b=60A=135°12. （2分）(2018·山东模拟) 曲线在点处的切线方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·大连期末) 已知函数，则 =________．14. （1分）(2017·云南模拟) 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是________．15. （1分） (2016高二上·上海期中) 在等差数列{an}中，a1=45，a3=41，则前n项的和Sn达到最大值时n 的值是________．16. （1分）(2012·江苏理) 如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 = ，则的值是________三、解答题 (共5题；共50分)17. （5分） (2017高三上·东莞期末) 已知函数f（x）= （a，b∈R）在点（2，f（2））处切线的斜率为﹣﹣ln 2，且函数过点（4，）．（Ⅰ）求a、b 的值及函数 f （x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）= （k∈N*），对任意的实数x0＞1，都存在实数x1 ， x2满足0＜x1＜x2＜x0 ，使得f （x0）=f（x1）=f（x2），求k 的最大值．18. （15分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y （单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi=1;2…8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
山东省莱芜二中高三二模检测数学(文)试卷
数学试题（文科）本试卷分Ⅰ卷和II 卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不准答在试卷面上. 3．参考公式：棱锥的体积公式Sh V 31=，其中S 表示棱锥的底面积，h 为高. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若集合B A x x x B x x A 则集合或},41|{},32|{>-<=≤≤-=等于 （ ）A ．}43|{>≤x x x 或B ．}31|{≤<-x xC ．}43|{<≤x xD ．}12|{-<≤-x x 2．复数Z 满足条件,2||i Z Z +=+则Z 是（ ）A ．i +-43B ．i -43C ．i --43D ．i +433．已知一空间几何体的三视图的如右图所示，它的表面积是 （ ） A ．2 B ．3C ．3D ．44． 给出下面四个函数，其中既是区间给出下面四个函数，其中既是区间（0，2π上的增函数又是以π为周期的偶函数的函数是（ ）A ．x y 2tan =B ．x y sin =C ．y ＝cos2xD ．x y cos =5．把函数Ⅰ)||,0()sin(πϕωϕω<>+= x y 的图象向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是,sin x y =则（ ）A ．6,2πϕω==B ．3,2πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．12,21πϕω-==6．已知△ABC 中，︒===60,3,2B b a ，那么角A 等于（ ）A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°7．已知四边形ABCD 的三个顶点A （0，2），B （—1，—2），C （3，1），且2=，则顶点D 的坐标为（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27,2B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2C ．（3，2）D ．（1，3）8． 某体育彩票规定：从01号到36号中任意抽取7个构成一注。
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2018届山东省莱芜市高三二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．复数=（）A．﹣i B．i C．D．2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}3．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．20124．设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．6+6πB．6+8πC．8+6πD．8+8π6．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，且，则的值为（）A．B．C．D．8．设、都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是（）A． =B． =2C．∥且||=|| D．∥且方向相同9．已知点A（1，2），过点P（5，﹣2）的直线与抛物线y2=4x相交于B，C两点，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定10．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x3﹣2x2+3}；②M={（x，y）|y=log2（2﹣x）}；③M={（x，y）|y=2﹣2x}；④M={（x，y）|y=1﹣sinx}；其中具有∟性的集合的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S= ．12．若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为．13．已知=2， =3， =4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b= ．14．已知点P是椭圆在第一象限上的动点，过点P引圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为．15．若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在内根的个数是．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．17．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=9•2n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．18．已知函数f（x）=x2+，现有一组数据，绘制得到茎叶图，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）现从茎叶图小于3的数据中任取2个数据分别替换m的值，求恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的概率．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．20．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤e a在时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在内根的个数是10 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】求出f（x）的周期，利用周期和对称性作出f（x）的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2），∴f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，作出f（x）和y=sin|x|在（0，10）上的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（0，3π）上有5个交点，即5个零点，又f（x）与y=sin|x|都是偶函数，故在（﹣3π，0）上也有5个零点，∴f（x）=sin|x|在（﹣3π，3π）上有10个零点．故答案为：10．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简条件中的等式，利用两角和的正弦值求出cosB的值，从而求出B的大小；（Ⅱ）根据余弦定理求出b的值，再由正弦定理求出sinC的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC；∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）a=2，c=3，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=22+32﹣2×2×3cos=7，∴b=；再由正弦定理得sinC===．17．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=9•2n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=na n，数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S n＞ka n﹣1对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等比数列{a n}满足a n+1+a n=9•2n﹣1，确定数列的公比与首项，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错误相减法求出S n，再利用不等式S n＞ka n﹣1，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵a n+1+a n=9•2n﹣1，∴a2+a1=9，a3+a2=18，∴q===2又2a1+a1=9，∴a1=3．∴a n=3•2n﹣1． n∈N*．（Ⅱ）b n=na n=3n•2n﹣1．∴S n=3×1×20+3×2×21+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，∴S n=1×20+2×21+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，∴S n=1×21+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，∴﹣S n=1+21+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=（1﹣n）2n﹣1，∴S n=3（n﹣1）2n+3，∵S n＞ka n﹣1对一切n∈N*恒成立，∴k＜==2（n﹣1）+，令f（n）=2（n﹣1）+，∴f′（n）=2+•（）n＞0，∴f（n）随n的增大而增大，∴f（n）min=f（1）=，∴实数k的取值范围为（﹣∞，）．18．已知函数f（x）=x2+，现有一组数据，绘制得到茎叶图，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）现从茎叶图小于3的数据中任取2个数据分别替换m的值，求恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的概率．【考点】BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义列方程求出a的值；（Ⅱ）写出茎叶图小于3的数据，从中任取2个数据的不同取法；利用判别式△＜0求出函数f（x）没有零点时m的取值范围，求出对应的事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，计算平均数为=×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，解得a=7；（Ⅱ）茎叶图小于3的数据有0.3，0.7，0.5，1.4，1.9，1.8，2.3共7个；从中任取2个数据，有=21种不同的取法；函数f（x）=x2+中，△=2（m﹣1）2﹣m=2m2﹣5m+2，令△＜0，解得＜m＜2，∴满足该条件的数据是0.7，1.4，1.8，1.9共4个；用抽出的2个数分别替换m的值，恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的不同取法是•=12，故所求的概率为P==．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连接AC交BD于O点，由BD⊥AC，BD⊥OP得出BD⊥平面PAC，故PC⊥BD；（II）利用勾股定理计算OA，OP，证明OA⊥OP，得出三角形PCE的面积，于是V P﹣BCE=V B﹣PCE=S△PCE•OP．【解答】证明：（I）连接AC交BD于O点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是BD的中点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又AC∩OP=O，AC⊂平面PAC，OP⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．（II）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BD=AB=AD=2，∴OB=1，OA=，∴OP==，∴OA2+OP2=PA2，即OA⊥OP．∴S△PCE=S△PAC=S△POA=×=．∴又OB⊥平面PAC，∴V P﹣BCE=V B﹣PCE=S△PCE•OB=×1=．20．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤e a在．。