13-非平稳经济变量与单位根检验
13-非平稳经济变量与单位根检验
13.2 单位根检验 上述 DF 检验还可用另一种形式表达。从式 yt = yt-1 + ut 两侧同减 yt-1，得 Dyt = ( - 1) yt-1 + ut 令 = - 1，代入上式 Dyt = yt-1 + ut 与上述零假设和备择假设相对应， H0： = 0， t 有单位根） （y H1： < 0， t 不含单位根） （y 这种变换并不影响 DF 统计量的分布，所以判别规则仍然是若 DF 临界值，则 yt 有单位根 DF < 临界值，则 yt 不含单位根 检验式 Dyt = yt-1 + ut 是 DF 检验的常用形式。
Dy
i 1
k
t-i 滞后项个数
k 的选择准则是 ①k 要充分大，以便消除 vt 内的
自相关；② vt 应尽量小，以保持更大的自由度。 (3) 检验式中检验单位根的统计量渐近服从 DF 分布， 所以临界值仍然从 DF 临界值表中查找。 (4) 因为实际的经济时间序列通常不会是一个简单的 AR(1) 过程，所以 ADF 检验是常用的 单位根检验式。
第 13 章 非平稳经济变量与协整 13.1 非平稳时间序列与虚假回归 以随机游走序列为例讨论非平稳序列的统计特征。 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u2) 做递推运算，xt = xt-2 + ut-1 + ut = … =
u
i 1
t
i
。因为 xt 是全部 ut 之和，所以
80 70 60
5
80 60 40
-5
50 40 30 20 10
0
20 0
0
200 400 600 800 1000
单位根检验的方法
单位根检验的方法主要有以下几种：
1. ADF检验：即Augmented Dickey-Fuller检验，是对Dickey-Fuller检验的扩展，可以处理含有高阶滞后项的时间序列数据。
它通过在回归模型中加入差分滞后项来控制序列相关的干扰。
2. PP检验：即Phillips-Perron检验，与ADF检验类似，但使用非参数方法来修正序列相关的问题，对小样本性质有一定的改进。
3. KPSS检验：即Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin检验，是一种基于平稳序列的检验方法，原假设是序列是平稳的，而备择假设是序列存在单位根。
4. ERS检验：即Elliott-Rothenberg-Stock检验，是一种基于误差修正模型的单位根检验方法，适用于存在长期均衡关系的非平稳时间序列。
5. NP检验：即Nelson-Plosser检验，是一种专门用于检验宏观经济时间序列是否存在单位根的方法。
6. DF-GLS检验：即Dickey-Fuller Generalized Least Squares检验，是一种改进的Dickey-Fuller检验，使用广义最小二乘法来估计模型参数，以提高检验的功效。
7. 霍尔斯检验：即Hall测试，也是一种单位根检验方法，主要用于检测分数整合的存在。
8. 其他检验：还有一些其他的单位根检验方法，如Fisher类型的检验、Maddala-Wu检验等，它们在不同的情况下有各自的适用性和优势。
单位根检验的原理
单位根检验的原理
单位根检验是时间序列分析中常用的方法之一，用于判断一个时间序列是否具有单位根。
单位根是指一个时间序列中的波动在长期内不会消失，即存在一个固定的平均回归值。
单位根检验的原理是基于单位根过程（unit root process）的概念，如果一个时间序列是单位根过程，说明它是一个非平稳过程，对应的模型是一个随机漫步模型，也就是说未来的值与现有值之间没有固定的关系。
常用的单位根检验方法包括ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）和KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）。
ADF检验基于一个经济学模型，通过检验回归系数是
否为零来判断是否存在单位根。
KPSS检验则是通过检验序列
平方和的变化是否平稳来判断是否存在单位根。
在进行单位根检验时，我们通常会设定一个阈值，比如显著性水平为0.05，如果计算得到的检验统计量小于临界值，那么就可以拒绝存在单位根的假设，即认为时间序列是平稳的；反之，如果大于临界值，则无法拒绝存在单位根的假设，即认为时间序列是非平稳的。
进行单位根检验的目的是为了判断时间序列的性质，因为平稳序列与非平稳序列在建模和预测上有着不同的要求和方法。
平稳序列的统计性质更容易掌握，而非平稳序列可能存在漂移、趋势等问题，需要特殊的处理和修正。
单位根检验为我们提供了判断时间序列平稳性的有效手段。
单位根检验
影响
31
针对第四个问题,Perron提出
1. xt c t xt1 t H0 : 0
如果拒绝零假设,那么检验过程停止,该过 程是平稳过程 .不能拒绝,说明存在单位根,过 程非平稳,那么回归模型中的时间趋势项是不 是多余的参数呢?如果是,会导致检验的势降 低,进入步骤2.
包含一个确定性趋势和一个随机趋势
单位根过程
满足下面表达式的过程成为单位根过程
(1 B)xt t 1 t1 (B)t
其中
(1) 0,
j0
2 j
,程对时间序列的增量进行刻画，增 量平稳，但水平变量不平稳。
2. xt c t xt1 t H0 : 0
使用统计量 3 ,检验零假设. F统计量 (r为约束条件, k为无约束模型中的待估计参数)
j
[RSS(restricted) RSS(un restricted)] / RSS(restricted) / (T k)
单位根检验
非平稳过程
多数经济变量的时间序列都有随着时间增 加而增长的趋势, 不具有均值回复的特点.
两种刻画: 带趋势的平稳随机过程(前面已讲) 单位根过程
随机趋势过程
有一类随机过程, 如果再 t 时刻扰动项发生 变化, 那么它的影响会一直存在下去,不会随 着时间 t 增大会立刻衰减到0. 这样过程成为 随机趋势过程。 随机游动(走) 带常数项的随机游动 单位根过程
(B)ts (B)ts1 (B)t xt
所以
xt s
t
s
1
多种单位根检验法的比较研究（pdfX页）
多种单位根检验法的比较研究¹房林1邹卫星2(11天津财经大学;21南开大学经济研究所)=摘要>本文基于单位根检验基本原理,比较了5种单位根检验的方法,说明在小样本情况下,为提高检验功效,应针对数据生成过程的特点联合多种检验法进行检验。
如果检验变量为非平稳,则需要进行进一步的结构突变检验,本文主张选用结构突变点内生的Perro n检验法与外生检验法相结合来判断变量的平稳性。
关键词KPSS检验DF O GLS检验NP检验结构突变中图分类号F22410文献标识码AComparative Study on Unit Root TestsAbstract:The paper first com pares five main kinds of unit roo t tests based on theoretical analysis1T he co mpar ison reveals that,in order to im pro ve the pow er oftest about sm all sam ple pro blem,m ultiple methods should be jo intly applied ac-cording to the characteristics of data generating pr ogr ess1If the v ar iable tested isno nstationar ity w e w ill take br eakpoints test1We should combine the endog enetictest(Perron)w ith ex ogenous test to estimate structural change of variable1 Key words:KPSS;DF O GLS;NP;Breakpoints传统的经济计量模型是根据某种经济理论和某些假设条件建立回归模型,描述各个经济变量之间相互依存、互为因果的关系。
单位根检验
平稳性的单位根检验：DF检验、ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验(2011-12-21 12:13:27)ADF检验作用检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。
有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、ADF检验。
比较ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。
来源ADF检验是在Dickey-Fuller检验(DF检验)基础上发展而来的。
因为DF检验只有当序列为AR(1)时才有效。
如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。
在这种情况下，可以使用增广的DF检验方法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。
步骤一般进行ADF检验要分3步：1 对原始时间序列进行检验，此时第二项选level，第三项选None.如果没通过检验，说明原始时间序列不平稳；2 对原始时间序列进行一阶差分后再检验，即第二项选1st difference，第三项选intercept,若仍然未通过检验，则需要进行二次差分变换；3 二次差分序列的检验，即第二项选择2nd difference ，第四项选择Trend and intercept.一般到此时间序列就平稳了！在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。
在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。
（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的t 统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。
单位根检验的原理
单位根检验的原理单位根检验是时间序列分析中常用的一种方法，用于检验一个序列是否是平稳的。
在经济学、金融学、统计学等领域，单位根检验都有着广泛的应用。
本文将介绍单位根检验的原理及其在实际中的应用。
首先，我们来了解一下单位根的概念。
在时间序列分析中，如果一个序列存在单位根，那么它就是非平稳的。
而非平稳序列在实际应用中会带来很多问题，比如无法进行有效的预测和建模。
因此，单位根检验就显得尤为重要。
单位根检验的原理主要是基于时间序列的自相关性。
在进行单位根检验时，我们通常会使用一些统计检验方法，比如ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）和PP检验（Phillips-Perron test）。
这些检验方法都是基于假设检验的原理，通过设定一个零假设和备择假设，来判断序列是否存在单位根。
在进行ADF检验时，我们会对原始序列进行单位根检验，如果发现序列存在单位根，则说明序列是非平稳的；如果序列不存在单位根，则说明序列是平稳的。
而PP检验也是通过类似的原理来进行单位根检验的。
在实际应用中，单位根检验通常会与时间序列建模和预测结合在一起。
比如在金融领域，我们经常会对股票价格、汇率等时间序列进行单位根检验，以判断其是否是平稳的，从而决定是否可以进行有效的建模和预测。
除了单变量时间序列的单位根检验，我们还可以对多变量时间序列进行单位根检验，比如VAR模型中的向量自回归模型。
在多变量时间序列中，单位根检验同样具有重要的意义，可以帮助我们判断整个系统是否是平稳的。
总之，单位根检验是时间序列分析中的重要工具，它可以帮助我们判断一个序列是否是平稳的，从而对序列进行合理的建模和预测。
通过本文的介绍，相信读者对单位根检验的原理和应用有了更深入的了解。
希望本文能对大家在实际应用中有所帮助。
ADF检验通俗解释
ADF检验通俗解释
ADF检验，全名为Augmented DickeyFuller检验，是一种用于检验时间序列数据中单位根存在性的统计检验方法。
单位根表示时间序列数据具有非平稳性，即均值或方差可能随时间变化。
以下是对ADF检验的通俗解释：
单位根的概念：在时间序列中，如果一个变量具有单位根，意味着它的变化随时间的推移而保持在某一水平上。
这使得时间序列变量呈现出一种趋势，而不是随机波动。
平稳性的重要性：在统计学和经济学中，我们通常假设数据是平稳的，即它们的均值和方差在时间上是恒定的。
如果时间序列具有单位根，就可能导致违反这个平稳性假设。
ADF检验的目的：ADF检验的目的是确定一个时间序列是否具有单位根，从而判断该序列是否是平稳的。
如果序列是平稳的，就更容易应用许多统计方法，因为这些方法通常基于数据的稳定性。
检验的步骤：
提出假设：ADF检验的零假设是序列具有单位根，即非平稳。
备择假设是序列是平稳的。
进行统计检验：通过比较计算出的检验统计量与临界值，来判断是否拒绝零假设。
如果拒绝了零假设，就认为序列是平稳的。
ADF统计量的解释：ADF检验的统计量反映了单位根的存在性。
如果ADF统计量的值小于某个阈值（即临界值），那么我们可能拒绝
零假设，认为序列是平稳的。
总体而言，ADF检验是一种用于检验时间序列平稳性的工具，它帮助我们判断一个变量是否随时间保持在某一水平上，从而影响到我们在统计建模和分析中如何处理这个变量。
单位根检验和协整检验
单位根检验和协整检验一、单位根检验的概念和原理单位根检验是时间序列分析的重要工具，在经济学中广泛应用于研究时间序列数据的平稳性。
它用来判断一个时间序列是否具有单位根的存在，单位根表示一个时间序列具有非平稳的特性。
单位根检验的原理是基于自回归模型（Autoregressive Model，简称AR模型）。
AR模型是一种常用的时间序列分析模型，它假设当前观测值与过去的p个观测值存在线性关系。
在单位根检验中，通常使用的是ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）和KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin Test）。
ADF检验是一种常用的单位根检验方法，它基于Dickey-Fuller单位根检验，并对原检验方法进行扩展和改进。
ADF检验的原假设是存在单位根，备择假设是不存单位根。
通过ADF检验的结果，可以判断一个时间序列是否平稳。
KPSS检验是另一种常用的单位根检验方法，它的原假设是存在单位根，备择假设是不存单位根。
KPSS检验的结果与ADF检验相反，当p值小于显著性水平时，拒绝存在单位根的原假设，即序列是平稳的。
二、单位根检验的应用场景单位根检验在经济学中有着广泛的应用场景。
以下是一些常见的应用场景：1.金融市场：单位根检验可用于判断金融市场的收益率时间序列数据是否具有平稳性。
平稳的收益率序列可以用于构建有效的投资组合和预测股票价格。
2.宏观经济：在宏观经济分析中，单位根检验可用于判断经济增长率、失业率等变量是否具有平稳性。
平稳的经济变量序列可以提供有效的经济政策参考。
3.国际贸易：单位根检验可用于判断国际贸易量和汇率等变量是否具有平稳性。
平稳的贸易量和汇率序列对于制定贸易政策和汇率政策具有重要意义。
三、协整检验的概念和原理协整检验是单位根检验的一种推广，它用于判断两个或多个时间序列之间是否存在长期均衡关系。
协整关系表示两个或多个时间序列的线性组合是平稳的，即它们在长期内是相互影响的。
单位根检验详解
第2节 单位根检验由于虚假回归问题的存在，因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。
在第十二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。
这一章则给出序列平稳性的严格的统计检验方法，即单位根检验。
单位根检验有很多方法，这里主要介绍DF 和ADF 检验。
序列均值为0则无C ，序列无时间趋势则无trend在介绍单位根检验之前，先认识四种典型的非平稳随机过程。
1、四种典型的非平稳随机过程 （1）随机游走过程。
y t = y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) 其均值为零，方差无限大（?），但不含有确定性时间趋势。
（见图1a ）。
-10-551020406080100120140160180200y=y(-1)+u12001400160018002000220050100150200250300图1a 由y t = y t -1+ u t 生成的序列 图1b 深证成指（2）随机趋势过程。
y t = α + y t -1 + u t , y 0 = 0, u t ~ IID(0, σ 2) 其中α称作位移项（漂移项）。
由上式知，E(y 1)= α（过程初始值的期望）。
将上式作如下迭代变换，y t = α + y t -1 + u t = α+ (α+ y t -2 + u t -1) + u t = … = αt +y 0 +∑-ti i u 1y t 由确定性时间趋势项αt 和y 0 +∑-t i i u 1组成。
可以把y 0 +∑-ti i u 1看作随机的截距项。
在不存在任何冲击u t 的情况下，截距项为y 0。
而每个冲击u t 都表现为截距的移动。
每个冲击u t 对截距项的影响都是持久的，导致序列的条件均值发生变化，所以称这样的过程为随机趋势过程（stochastic trend process ），或有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ），见图2，虽然总趋势不变，但随机游走过程围绕趋势项上下游动。
计量经济学协整检验方法
计量经济学协整检验方法协整检验（cointegration test）是计量经济学中用于检验变量之间是否存在长期稳定的均衡关系的方法。
它的主要目的是确定变量之间的长期关系，即是否存在一个稳定的均衡关系，从而可以进行有效的经济分析和预测。
本文将介绍几种常用的协整检验方法。
1. 单位根检验方法（Unit root test）单位根检验用于检验时间序列数据是否具有非平稳性。
一般来说，如果变量是非平稳的，那么它们之间就不可能存在长期稳定的均衡关系。
常用的单位根检验方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）和KPSS检验（Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin test）等。
ADF检验是一种参数统计方法，可以用来检验变量是否是单位根过程，从而判断是否存在协整关系；KPSS检验则是一种非参数统计方法，用于检验变量是否是平稳的。
2. Johansen协整检验方法（Johansen cointegration test）Johansen协整检验方法是一种常用的多变量协整检验方法，可以同时检验多个变量之间的协整关系。
该方法基于向量自回归模型（vector autoregressive model，VAR），通过对向量误差修正模型（vectorerror correction model，VECM）的估计，检验向量自回归参数的协整关系。
Johansen协整检验方法具有较强的参数估计效率和较好的统计性质，被广泛应用于实证研究中。
3. Engle-Granger两步法（Engle-Granger two-step method）Engle-Granger两步法是一种常用的两步骤协整检验方法。
首先，通过对变量进行单位根检验，确定哪些变量是非平稳的；然后，对非平稳变量进行协整关系的估计和检验。
该方法的优点是简单易行，适用于小样本情况，但它的估计效率相对较低。
4. 引导回归法（Bootstrap method）引导回归法是一种非参数的协整检验方法，用于解决传统统计方法在小样本情况下可能存在的偏误和低功效问题。
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VAR模型稳定条件：①相反的特征方程| I - ∏1L | = 0的根都在单位圆以外②特征方程 |λ I - ∏1| = 0的根都在单位圆以内高阶VAR模型稳定的条件：①相反的特征方程| I- ∏1 L - ∏2 L2 - ∏3 L3-…-∏k Lk |=0的全部根必须在单位圆以外。
②VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程 | A - λ I | = 0的全部根必须在单位圆以内三、概念题1、白噪声模型对于随机过程{ xt , t∈T }, 如果(1) E(xt) = 0, (2) Var(xt) = σ2 <∞, t∈T;(3) Cov(xt ,xt + k)=0, (t + k ) ∈ T , k ≠ 0 , 则称{xt}为白噪声过程。
白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。
显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。
2、宽平稳过程（1）m阶宽平稳过程。
如果一个随机过程m阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶宽平稳过程。
（2）二阶宽平稳过程。
如果一个随机过程{xt} E[x(t) ] = E[x(t +k)] = μ< ∞,Var[x(t)] = Var[x(t +k)] = σ 2 < ∞, Cov[x(ti ),x(tj)] =Cov[x(ti+k),x(tj+k)]=σ2i j < ∞,其中μ, σ 2 和σij2为常数，不随 t, (t∈T ); k,((tr+ k)∈T, r = i, j ) 变化而变化，则称该随机过程 {x t} 为二阶平稳过程。
该过程属于宽平稳过程。
3、随机游走（random walk）过程对于表达式xt = xt -1 + ut，如果ut为白噪声过程，则称xt为随机游走过程。
4、p阶自回归模型如果一个线性过程xt可表达为xt = φ1xt-1+ φ2xt-2+ … + φpxt-p+ ut其中φi ,i =1,…,p 是自回归参数，ut是白噪声过程，则称xt为p阶自回归过程，用AR(p)表示。
面板数据非线性回归模型及估计
• 具有突变点的趋势平稳过程与单位根过程的推断；
• 对结构突变点的识别。 一些内生结构突变的单位根检验同时解决了这两个问题。 例如， Im et al（2005）、白仲林（2008a、2008b）
三、面板数据门限回归模型
当经济变量在不同状态具有不同的线性相依关系时，且 状态变化是瞬时的，可借助反映状态的门限变量将不同的面 板数据回归模型链接在一起，建立Байду номын сангаас板数据门限回归模型。 1 单门限回归模型
• 马尔可夫体制转换回归模型（Markov switching regime model，MSR）
二、结构突变的面板数据回归模型
结构突变的回归模型的一般形式是
yit i00 10 yi ,t 1
J j 1 j i0 j 1
0 0 p yi ,t p xit 0 it
• 案例2：自1971年1月4日至2010年4月9日日元兑美元实 际汇率的日数据。 1971年1月至2010年4月，日元汇率的变动大致可分 为四个阶段。
• 1971/1-1978/5，日元逐步升值； •1978/5-1985/9， 日元贬值； •1985/10-1987/9，日元大幅升值； •1987/9-， 日元逐步升值。
yt 1 yt 1 1 xt 1 1yt 1
p yt p t
及其应用。 然而，1989年Perron的结构突变单位根检验发现，在 Nelson & Plosser曾研究的13个非平稳经济变量中，除了消费价 格指数、利率和资产周转率外，其余10个变量均拒绝了存在单 位根的零假设，并且，时间序列的结构突变点或者为1929年的 “经济危机”，或者，是1973年的“石油危机”。
非平稳经济变量与协
01
02
其方差远远大于正常t分布的方差，它的分布是发散的（图13.1），可见拒绝β1=0的概率非常大。而按照设定条件，理应有β1=0，但由于变量的非平稳性使得假设检验结果与真实情况相背离。这样的回归就是虚假回归。 这一实例说明：经典计量经济学的模型检验方法有时是存在漏洞的。
单位根检验注意事项：
根据前面对该形式分析，当yt非平稳，其DF分布与AR(1)相似，因此可采用类似AR(1)情形的DF检验。 因式中含Dyt的滞后项，所以此时的单位根检验称为增项DF检验或ADF检验。 作ADF检验应注意事项： ①滞后项个数k的选择准则：一要充分大，以消除vt的自相关；二要尽量小，以保持更大的自由度。 ②检验用临界值与AR(1)时一样。 实际中的时间序列一般不是AR(1)形式，所以ADF检验是最常用的单位根检验法。 例1（P332）
4.实例中的DW分布
因为数据生成系统的真实性，建立模型
5.虚假回归原因分析
第二节 单位根检验
DF统计量分布特征
此近似模型与前面讨论的自回归模型形式完全一样，因此，β的DF分布也可看作是一样的。以下就根据DF分布来检验yt的非平稳性，即单位根检验。
二、单位根检验
DF检验也可用另一种形式表达：
此，DF检验用临界值不能用于协整检验。协整检验临界值可从麦金农提供的临界值表（附表6）中查到。
01
麦金农协整检验临界值计算公式为
02
该公式以T为自变量，可以计算出任何样本容量所对应的临界值。Cp还与检验水平p，所含时间序列个数N，协整回归式中是否有位移项、趋势项等因素有关。
03
例题讲解：例13.2，例13.3，例13.4（P339-340）
对于非平稳且相互独立的xt和yt进行线性回归并计算DW，根据菲利普斯的研究：DW为右偏态分布，且当样本容量趋于无穷大时，DW分布趋于0（图13.2）。而当两个时间序列相关时，DW近似服从以2为均值的正态分布，当样本容量趋于无穷大时，DW收敛于一个非0值。可见，DW的值可用来作为区别真假回归的一个办法。
adf单位根检验法
adf单位根检验法
ADF (Augmented Dickey-Fuller) 单位根检验法是一种常用的时间序列分析方法，用于检验时间序列数据是否具有单位根（非平稳性）。
单位根表示数据具有随机漂移或趋势，而非平稳性的数据在进行统计分析时可能会导致误导性的结果。
ADF 单位根检验法基于 Dickey-Fuller 测试统计量，该测试统计量的原假设为时间序列存在单位根。
如果原假设不能被拒绝，则说明时间序列是非平稳的；反之，如果原假设被拒绝，则说明时间序列是平稳的。
ADF 单位根检验法的步骤如下：
1. 建立原假设（H0）：时间序列具有单位根，即非平稳。
2. 构建回归模型：将时间序列作为因变量，加入滞后项和可能的趋势项作为自变量。
3. 估计回归模型：利用最小二乘法估计回归模型的参数。
4. 计算测试统计量：根据估计的回归模型，计算 ADF 测试统计量。
5. 判断显著性：与临界值比较 ADF 测试统计量，若大于临界值，则拒绝原假设，认为时间序列是平稳的；否则，接受原假设，认为时间序列是非平稳的。
通过ADF 单位根检验法可以判断时间序列数据是否平稳，进而决定是否需要进行差分或其他预处理方法来使数据平稳化。
在经济学、金融学等领域，ADF 单位根检验法被广泛应用于时间序列数据的建模
和分析中。
单位根检验及其在时间序列上的应用
单位根检验及其在时间序列上的应用时间序列分析是统计学中的一部分，主要研究随时间变化的一系列数据，如股票价格、气温、经济指标等。
时间序列分析的目的是研究时间上的变化规律，并为未来的预测提供指引。
单位根检验是时间序列分析的一个重要工具，被广泛应用于金融、经济学等领域。
本文将对单位根检验及其在时间序列上的应用进行探讨。
一、单位根检验的概念单位根检验是指对时间序列数据进行的一种统计检验，用来判断序列是否具有单位根。
什么是单位根呢？在时间序列中，如果一个序列是非平稳的，那么它有可能存在单位根，也就是说，数列中的数值还在继续随时间变化而产生波动。
如果我们能将其转化为平稳时间序列，那么就可以进行有效的预测。
二、单位根检验的方法目前，最常用的单位根检验方法是ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验和PP（Phillips-Perron）检验。
1. ADF检验ADF检验是由迪基-富勒（Dickey-Fuller）提出的一种检验单位根的方法，它用t检验的形式指出序列是否存在单位根；若存在单位根，就说明序列不平稳。
ADF检验还可以包含外生变量，这些外生变量可以增加序列中的信息，更加精确地识别序列是否平稳。
2. PP检验与ADF检验相似，PP检验也是一种检验序列是否具有单位根的方法，但是它采用了更精确的渐进分布，可以考虑各类误差情况，更加符合实际情况。
PP检验一般适用于长期时间序列的检验，可以发现序列中的周期性变化，进而进行有效的预测。
三、单位根检验在时间序列中的应用单位根检验是时间序列分析中的重要工具，它可以应用于多个领域，如金融、经济学等。
下面将对一些实际案例进行分析。
1. 金融领域股票价格是一个最容易受到外界影响的时间序列。
使用ADF和PP检验可以判断股票价格序列是否平稳，进而研究股票的周期性变化规律和趋势。
2. 经济学领域经济指标是一个可以使用单位根检验的领域。
比如通货膨胀、GDP等经济数据可用于判断一个国家的经济发展水平。
什么时候检验单位根
一、单位根检验的回顾1、在实际应用中，何种情况下需要对单位根进行检验？答：理论上，你在实际应用过程中，如果你遇到的样本是时间序列形式的，都要进行单位根检验。
原因是，如果你的时间序列数据是单位根的话，类似于你的数据的变化是很不规则的，好像一个“醉汉”。
从计量角度看，它影响了我们假设检验当中的“仪器”的准确性。
2、单位根检验的数学形式，或说你应当用数学方式会表述单位根检验的原假设。
3、学会在eviews上对一个时间序列变量进行单位根检验。
（1）如果一个变量具有单位根的特征，那么表示这个变量经过一次差分，就会变成平稳的。
（2）在eviews中，单位根检验的对象是series object。
也就是，你要先打开一个series object，然后，在打开的窗口中点击view 来观察这个序列是否具有单位根的特征。
（3）要特别注意的是，eviews上如果你不能拒绝你所检验的变量对象是一个单位根，那么此时并不一定表明你所检验的变量一定是I（1），也可能是I（2）或I（3）等更高阶的单整。
要注意的是，只要你检验的变量是非平稳的，都会接受原假设。
（4）在eveiws单位根检验要遵循如下的步骤：第一，先对变量（比如Y）进行水平数据的单位根检验（level）；第二，如果水平数据拒绝原假设（即不存在单位根），那么检验停止，说明水平数据是一个平稳的时间序列变量；第三，如果水平数据的检验接受原假设，仅能说明你检验的变量是非平稳的，此时需要继续对这个变量的一阶差分进行单位根检验（1S difference）。
如果此时拒绝原假设，那么，检验停止，表明这个变量要经过两次差分才会平稳，否则，继续对二阶差分进行单位根检验（1S difference）。
总之，检验的目的是判断，到底你所检验的变量经过几次差分后才会平稳？所以，检验一定要到差分平稳后为止。
（5）对你而言，由于有不同的单位根检验方法，所以一个不错的选择是，你同时用不同的方法对你所关注的变量做单位根检验，并开出所有结果。
adf和kpss的公式
adf和kpss的公式ADF和KPSS的公式是经济学中常用的两种单位根检验方法，用于判断时间序列数据是否具有平稳性。
本文将介绍ADF和KPSS的公式以及它们的原理和应用。
ADF（Augmented Dickey-Fuller）单位根检验是由迪基-福勒（Dickey-Fuller）提出的，并在此基础上进行了改进。
ADF检验的原假设是时间序列数据具有单位根，即非平稳性。
如果原假设被拒绝，则可以认为时间序列数据是平稳的。
ADF公式如下所示：ADF(t) = (Y(t) - Y(t-1)) - λ *ΔY(t-1) + α * t + β * Y(t-1) + ε(t)其中，Y(t)表示时间序列数据，λ表示单位根系数，ΔY(t-1)表示一阶差分，α和β是常数，t是时间序列的时间索引，ε(t)是误差项。
KPSS（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin）单位根检验是由奎维特科夫斯基、菲利普斯、施密特和辛提出的。
KPSS检验的原假设是时间序列数据是平稳的，如果原假设被拒绝，则可以认为时间序列数据是非平稳的。
KPSS公式如下所示：KPSS(t) = ∑(Y(i) - Y(bar))² / n + λ * ∑ΔY(i-1)²其中，Y(i)表示时间序列数据，Y(bar)表示时间序列数据的均值，n表示时间序列数据的观测次数，ΔY(i-1)表示一阶差分，λ是单位根系数。
ADF和KPSS的公式中都包含了误差项，这是因为实际观测的时间序列数据往往会受到一些随机扰动的影响，误差项代表了这种随机性。
通过对误差项进行统计检验，可以判断时间序列数据的平稳性。
ADF和KPSS的原理是基于单位根的概念。
单位根是指时间序列数据中的根数等于1的解。
如果时间序列数据具有单位根，那么它是非平稳的；反之，如果时间序列数据没有单位根，那么它是平稳的。
ADF和KPSS的应用广泛。
单位根检验是时间序列分析的重要步骤，可以用于判断时间序列数据的平稳性。
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13.2 单位根检验 在进行单位根检验时应注意如下几点。 (1) 式 Dyt =yt-1 + ut 中 Dyt 和 yt-1 的下标分别为 t 和 t-1，计算时不要用错。 (2) 在实际检验中，若 H0 不能被拒绝，说明 yt 是非平稳序列（起码为一阶非平 稳序列） 。接下来应该继续检验 Dyt 的平稳性，即作如下 DF 检验， D2yt = Dyt-1 + ut 直至结论为平稳为止。从而获知 yt 为多少阶单整序列。 (3) 若被检验序列明显存在线性趋势或 2 次趋势， 在式 Dyt = yt-1 + ut 中有必要 加入 和 t。
120 100
80 70 60 50
with stochastic trend
Dyt = + yt-1 +ut 和 Dyt = + t + yt-1+ut
80 60 40 20 0 -20 200 400 600 800 1000
40 30 20 10 0 -10 25 50 75 100 125
-6
-5
-4
-3
-2
-1
012源自340.90 0.92 0.91 0.90 0.89 0.89 0.89 - 0.37 - 0.40 - 0.42 - 0.42 - 0.43 - 0.44 - 1.14 - 1.19 - 1.22 - 1.23 - 1.24 - 1.25 1.28 0.95 1.33 1.31 1.29 1.29 1.28 1.28 0.00 - 0.03 - 0.05 - 0.06 - 0.07 - 0.07 - 0.80 - 0.87 - 0.90 - 0.92 - 0.93 - 0.94 1.65 0.975 1.70 1.66 1.64 1.63 1.62 1.62 0.34 0.29 0.26 0.24 0.24 0.23 - 0.50 - 0.58 - 0.62 - 0.64 - 0.65 - 0.66 1.96 0.99 2.16 2.08 2.03 2.01 2.00 2.00 0.72 0.66 0.63 0.62 0.61 0.60 - 0.15 - 0.24 - 0.28 - 0.31 - 0.32 - 0.33 2.33
2
t
t 1
t
DF 分布百分位数表
模型 T 0.01 25 - 2.66 50 - 2.62 100 - 2.60 250 - 2.58 500 - 2.58 - 2.58 25 - 3.75 50 - 3.58 100 - 3.51 250 - 3.46 500 - 3.44 - 3.43 25 - 4.38 50 - 4.15 100 - 4.04 250 - 3.99 500 - 3.98 - 3.96 N(0,1) - 2.33 0.025 0.05 - 2.26 - 1.95 - 2.25 - 1.95 - 2.24 - 1.95 - 2.23 - 1.95 - 2.23 - 1.95 - 2.23 - 1.95 - 3.33 - 3.00 - 3.22 - 2.93 - 3.17 - 2.89 - 3.14 - 2.88 - 3.13 - 2.87 - 3.12 - 2.86 - 3.95 - 3.60 - 3.80 - 3.50 - 3.73 - 3.45 - 3.69 - 3.43 - 3.68 - 3.42 - 3.66 - 3.41 - 1.96 - 1.65 0.10 - 1.60 - 1.61 - 1.61 - 1.62 - 1.62 - 1.62 - 2.63 - 2.60 - 2.58 - 2.57 - 2.57 - 2.57 - 3.24 - 3.18 - 3.15 - 3.13 - 3.13 - 3.12 - 1.28
（时间的 2 次趋势）
yt = yt-1+ut, utIID(0, 1) yt=0.1+yt-1+ut, utIID(0, 1) yt=0.1+0.1t+yt-1+ut, utIID(0, 1)
当序列非平稳时，自回归系数估计量的 t 统计量不再服从 t 分布。
13.2 单位根检验 1．DF 统计量的分布特征 真实过程（DGP） ：yt = yt-1 + vt, y0 = 0, vt IID(0, 2) ˆy v ˆ 模型(a)：估计式： y
(L) (1- L) d xt = (L) ut
因为 xt 含有 d 个单位根，所以常把时间序列非平稳性的检验称为 单位根检验。 一般来说，若 xt I (d )，yt I (d )，则 zt = (a xt + b yt) I (d )。 当 zt 的单整阶数小于 d 时，则称 xt 与 yt 存在协整（协积）关系。
=
s (u ˆ)
ˆ 1
y
t 2
T
t 1
2
1 ，其中 s (u = ˆ) T 1
t 2
T
ˆt 2 u
ˆ t 的标准差。以表中 a 部分的相应百分位数作为临界值。 是残差 u
若用样本计算的 DF 临界值，则 yt 有单位根； DF < 临界值，则 yt 不含单位根。
13.2 单位根检验 注意： （1） 因为用 DF 统计量作单位根检验，所以此检验称作 DF 检验 （由 Dickey 和 Fuller 1979 年提出） 。 （2）DF 检验采用的是最小二乘（OLS）估计。 （3）DF 检验是左单端检验。因为 >1 意味着强非平稳， <1 意味 着平稳。当接受 <1，拒绝 = 1 时，自然也应拒绝 >1。
第 13 章 非平稳经济变量与协整 13.1 非平稳时间序列与虚假回归 以随机游走序列为例讨论非平稳序列的统计特征。 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u2) 做递推运算，xt = xt-2 + ut-1 + ut = … =
t
u
i 1
t
i
。因为 xt 是全部 ut 之和，所以
ˆy v ˆ 模型(b)：估计式： yt t 1 ˆt
t t 1 t
.6 .5 .4 .3 .2 .1 .0 DF1 DF2 DF3 Z
真实过程：yt = + yt-1 + vt, 任意取值, y0 = 0,vt IID(0, ) ˆy ˆ ˆt v ˆ 模型(c)：估计式： y
第 13 章 非平稳经济变量与协整 13.1 非平稳时间序列与虚假回归 单整定义： 若一个非平稳时间序列 xt 必须经过 d 次差分之后才能 变换成一个平稳的、可逆的 ARMA 时间序列，则称 xt 具有 d 阶 单整（单积）性。用 xt I(d) 表示。 对于 I(d) 序列 xt，可以表示为
13.2 单位根检验 上述 DF 检验还可用另一种形式表达。从式 yt = yt-1 + ut 两侧同减 yt-1，得 Dyt = ( - 1) yt-1 + ut 令 = - 1，代入上式 Dyt = yt-1 + ut 与上述零假设和备择假设相对应， H0： = 0， （yt 有单位根） H1： < 0， （yt 不含单位根） 这种变换并不影响 DF 统计量的分布，所以判别规则仍然是若 DF 临界值，则 yt 有单位根 DF < 临界值，则 yt 不含单位根 检验式 Dyt = yt-1 + ut 是 DF 检验的常用形式。
计量经济学（本科）课件
（第13讲）
南开大学数量经济研究所教授 数量经济学专业博士生导师 张晓峒 nkeviews@
第 13 章 非平稳经济变量与协整（简单介绍） 由于用非平稳经济变量建立回归模型会带来虚假回归问题，所以 近年来对经济变量的非平稳性研究越来越引起人们的注意。 （1）非平稳变量的统计特征以及虚假回归； （2）单位根检验（只从应用角度讲） ；
Dy
i 1 k i 1
k
t-i
+ vt
Dyt = + yt-1 +
Dy
k i 1
t-i
+ vt
Dyt = + t + yt-1 +
Dy
t-i
+ vt
上式中含有 Dyt 滞后项，所以对 yt 的单位根检验（H0： = 0）称增项 DF 检验或 ADF 检验。 (2) ADF 检验式中
E(xt) =0，Var (xt) = Var (
i 1
ui ) =
i 1
t
Var(u i ) = tu
2
随着 t 的增加，xt 的方差变为无穷大。
第 13 章 非平稳经济变量与协整
13.2 单位根检验 3 个典型的单位根过程
10
y=y(-1)+u
120 100
with stochastic trend
80 70 60
5
80 60 40
-5
50 40 30 20 10
0
20 0
0
200 400 600 800 1000
-10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-20
-10 25 50 75 100 125
随机游走过程
（无趋势）
随机趋势过程
（时间的线性趋势）
趋势非平稳过程
13.2 单位根检验步骤 因为在单位根检验之前，不知真实的过程是否含有漂移项和时间趋势项， 所以对于一个序列首先应按式 Dyt =+t+ yt-1+ut 进行单位根检验。 当确定检验式中不含有趋势项后，用只含漂移项的检验式 Dyt =+ yt-1+ut 进行单位根检验。 当确定检验式中不含有漂移项后，继续用不含确定性项的检验式 Dyt = yt-1+ut 进行单位根检验。 在这个过程中， 只要有“不存在单位根”的结论出现， 检验即结束； 如没有， 则一直检验到式 Dyt = yt-1+ut，再根据判别规则给出存在单位根或不存在 单位根的结论。