2.电场强度通量、高斯定理(作业)
第2次作业-part1(高斯定理)
8、教材P171，第七章，三、综合题第5题
带电平面之间的场强方向相同，合场强大小为
2 0 2 0 0
q3
、
q4
（D） 以上说法都不对。
2、如图，在电场强度为 E 的匀强电场中，有一半径 为R的半球面，如果场强 E 的方向与半球面的对称 轴平行，则通过这个半球面的电通量大小为（ C ）
( A) 1 2
R 2 E;
2
( B)
2R 2 E;
2
(C ) R E;
R
( D) 2R E。
E
ห้องสมุดไป่ตู้
O
3、图中所示为一沿 x 轴放置的“无限长”分段均匀 带电直线，电荷线密度分别为+（x >0）和 -（x < 0），则 oxy 坐标平面上点（0，a）处的场强 E 为：
(A) (B) (C)
Q1 4 0 r 2
Q1 Q2 4 0 r 2 Q2 4 0 r 2
Q1 r O
Q2 P
Q2 - Q1 (D) 2 4 0 r
[ A ]
6、如图所示，一厚为 a 的“无限大”带电平板，电荷 体密度r = kx (0≤x≤a) k为一正的常数。 求： （1）板外两侧任一点 M1、M2的电场强度大小； （2）板内任一点M的电场强度； （3）场强最小的点在何处。
1、电场中一个高斯面S内有电荷 q1 电荷
、 q2 ，S面外有
q3
、q4
1 ，关于高斯定理 s E ds
0
q
i
： 正确 ）
的说法是： （A） 积分号内是 （B） 积分号内是 （C） 积分号内是
（ B q1 、q2 所共同激发的；
q1 、q2
大学物理：2第二讲 电场强度计算续、高斯定理
2
R
r
x
p dE// x
E
qx
4 0 r 3
iˆ
dE dE
cos x / r
1
讨论：1. x 0 : Eo 0
E
qx
40 (R2
x2 )3/2
iˆ
o
y
r
圆环中心电场为零
2.
x R :
Ep
q
40 x2
iˆ
R
o
z
E
x px
p
R
x
●无论带电体形状如何，在离其足够远处均可视为
点电荷。 2
例4：半径为R的簿圆盘均匀带电，面电荷密度为。
求中心轴线上一点 p处的电场强度。
解：将圆盘分割成许多带 电细圆环，其电量
dq ds 2 rdr
细圆环电场
dr
l
r
Ep
o xpx
dE
dqx
40 (r2
x2 )3/2
2 rxdr rxdr 40 (r2 x2 )3/2 20 (r2 x2 )3/2
3
dE
rxdr 20 (r2 x2
二、电通量
●通过某一曲面的电力线数，叫做 通过该曲面的电通量。记为“e”.
电通量的计算
s
de E dS
e
E dS
S
通过闭合曲面的电通量
e S E dS
规定：曲面正法线由曲面指向外
E de dSn
ds E
ds
E
q
s
11
例：点电荷q位于球面内球心处，求通过该球面的
电通量。
解：球面上的电场强度
各点产生的电场。
解：由对称性可知，该球壳产生的
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
大学物理-电场强度通量,高斯定理
2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量
q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S
n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS
注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q
电场强度例题2-高斯定律
x
2
x R
2
)1
2
求无限大带电平板的场强
E
dE
0
x 2 rdr 0 4o (x2 R2 )3 2
2 o
讨论：对带电圆板，当 x<< R 时 ：
E 2 o
x 0
x2 R2
结论： 当考察电很接近圆板时，可以把带电圆 板近似看作无限大带电平面来处理。
计算其电场强度分布的一般步骤：
①根据带电体的形状选取合适的电荷元dq，写出在场ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 处产生的电场强度dE的矢量式。
②选取适当的坐标系，写出dE的各个分量式。 ③统一积分变量，确定积分上、下限，积分求出电场强度 的各个分量。 ④写出总电场强度的矢量式。
1. 在实际问题中，要注意对称性的应用，根据对称性 可知合成矢量的有的分量等于零，使计算简化。
EB
A
B
平面之外： E外 EA EB 0
应用高斯定理解题思路和方法：
1．考虑对称性：球、轴、面 2．选取高斯面：结合对称，一部分 平行，一部分垂直 • 3．计算自由电荷代数和
例1、均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。 求轴线上任一点P的电场强度。
解： 利用带电圆环场强公式
dr
E
4 o
qx x2 R2
3/ 2
r
R
dE
Px
dq 2 rdr
dE
x 2 4o x2
rdr R2
3
2
E
dE
x 2 4o x2
rdr R2
3
2
E
R
dE
0
2 o
1
(
1. 闭合曲面2、穿出穿入
电学高斯定理
电学高斯定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：电学高斯定理是电学领域中的重要定理之一，它描述了电场的性质与电荷之间的关系。
高斯定理的提出者是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯，他在通过对电场分析的基础上，发现了电场的一种非常有用的特性，这就是高斯定理。
电学高斯定理是电场理论的基石之一，它提供了一种简单而优雅的方法来计算静电场中的电荷分布和电场强度。
高斯定理描述了一个有无限小体积的闭合曲面，其内部电荷的总电量等于曲面上的电荷总和乘以一个常数，即真空介电常数乘以电场的通量。
高斯定理的数学形式如下：\[\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A} =\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\]\(\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A}\)表示电场强度在闭合曲面S上的通量，\(d\vec{A}\)表示曲面元素的面积微元，它与曲面的法线方向一致，\(Q_{enc}\)表示闭合曲面S内部的电荷总量，\(\varepsilon_0\)表示真空介电常数。
高斯定理的物理意义在于，它告诉我们，一个闭合曲面的电场通量只取决于曲面内部的电荷分布，与曲面的具体形状和大小无关。
这使得高斯定理成为了电场分布的计算利器，在许多问题的求解中起到了至关重要的作用。
举个简单的例子来说明高斯定理的应用。
假设我们有一个均匀带电的无限长线段，电荷密度为\(\lambda\)，现在我们希望确定距离这个线段距离为r处的电场强度。
我们可以选取一个半径为r的闭合球面，这个球面的中心位于线段上，利用高斯定理可以得到线段上的电荷等于球面包围电荷的总和，即：\[Q_{enc} = \lambda \cdot 2\pi r\]根据高斯定理，我们可以得到球面上的电场通量等于：如果我们假设球面上的电场强度与球面法线方向垂直，并且与球面上的法向面积元素大小相等，那么可以将上式简化为：解得电场强度为：这就是距离带电线段距离为r处的电场强度。
大学物理作业2.高斯定理
《大学物理》作业 No .2 静电场中的高斯定理班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________ 说明：字母为黑体者表示矢量内容提要1.电通量⎰⋅=Φs d S E 电场强度穿过任意曲面的电通量在数值上等于穿过该面的电场线条数；对于封闭曲面，电场线穿出规定电通量为正。
2.真空中高斯定理∑⎰=⋅内q d s 01εS E（1）.高斯定理表明穿过封闭曲面的电通量仅与面内电荷有关，面外电荷分布对该通量无贡献；(2).空间任意一点（包括高斯面上各点）的电场由高斯面内外所有场源电荷共同决定；（3）.高斯定理是静电学的一条重要基本定理，反映了静电场的有源性，同时该定理又是从库仑定律导出的，反映了库仑平方反比律的正确性；（4）.运用高斯定理可以方便地求解具有某些对称性分布的电场，根据电场的对称性分布特点，选取恰当的高斯面，从而简化积分，求出电场。
基本要求1.理解电通量概念，掌握电通量计算2.理解并掌握真空中高斯定理3.会用高斯定理计算几种典型对称电荷分布的电场一、 选择题1. 将一个点电荷（忽略重力）无初速地放入静电场中，关于电荷的运动情况，正确的是：[ ] （A ）电荷一定顺着电场线加速运动；（B ）电荷一定逆着电场线加速运动；（C ）到底是顺着还是逆着电场线运动，由电荷的正负决定；（D ）以上说法均不正确。
2.关于电场线，以下说法正确的是[ ] (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；(C) 电场线是电场空间实际存在的系列曲线；(D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.3.如图2.1，一半球面的底面圆所在的平面与均强电场E 的夹角为30° ，球面的半径为R ，球面的法线向外，则通过此半球面的电通量为 [ ] (A) π R 2E/2 . (B) -π R 2E/2.(C) π R 2E .(D) -π R 2E .4.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是[ ] (A) 如高斯面上E 处处为零,则该面内必无电荷；(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E 处处为零；(C) 如高斯面上E 处处不为零,则高斯面内必有电荷；(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零；(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场5. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <) , 所带电量分别为a Q 和b Q ，设某点与球心相距r , 当b a R r R <<时， 该点的电场强度的大小为：[ ] (A) 2b a 041r Q Q +⋅πε (B) 2b a 041r Q Q -⋅πε (C))(412bb 2a 0R Q r Q +⋅πε (D) 2a 041r Q ⋅πε 6. 如图2.2所示，两个“无限长”的、半径分别为R 1和R 2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ 和2λ， 则在内圆柱面里面、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小 [ ] (A) r0212πελλ+ (B) 20210122R R πελπελ+ (C) 1014R πελ (D) 0 二、 填空题1.将一电量为q 的点电荷置于一正方体盒子的中心，则穿过盒子六个面的电通量是多少 ,如果将点电荷置于盒子的一个顶点处，穿过盒子各个面的电通量又是多少 .2.如图2.3所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q ,相距2R ,若以其中一点电荷所在处O 点为中心,以R 为半径作高斯球面S ,则通过该球面的电场强度通量Φ= ;若以r 0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a 、b 两点的电场强度的矢量式分别为 ， .三、计算题 1. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为⎩⎨⎧><=)(0)(R r R r Ar ρ , 其中A 为一常数，试求球体内、外的场强分布。
关于电场的高斯定理
关于电场的高斯定理高斯定律（gauss' law），属物理定律。
在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。
该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）s 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。
物理定律由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
与静电场中的高斯定理相比较，两者有著本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存有着单一制的电荷，所以电场线存有起点和终点，只要闭合面内有净余的也已（或负）电荷，沿着闭合面的电通量就不等于零，即为静电场就是有源场；而在磁场中，由于自然界中没单独的磁极存有，n极和s极就是无法拆分的，磁感线都就是无头无尾的滑动线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
特别要强调两点： 1.关于电场线的方向的规定：电场线上每一点的切线方向就是该点电场的方向。
2.关于电场线的疏密的规定：电场线在某处的疏密要反映电场强度的大小，即在电场中通过某一点的电场线的数密度与该点电场强度的大小呈正相关，即： e=dn/ds，其中ds是在电场中的某一点取一个通过该点的且与电场线垂直的微分面，dn就是穿过该面ds的电场线的根数。
高斯定理来源于库仑定律,依赖场强共振原理,只有当电场线密度等同于场强悍小时场线通量就可以与场强通量等同于,并统一遵守高斯定理。
高斯面上的实际场强就是其内外所有电荷产生的场强共振而变成的合场强。
但利用高斯面所求出的场强则仅仅就是分析高斯面上场强原产时所牵涉的电荷在高斯面上产生的合场强,而不涵盖未牵涉的电荷所产生的场强。
大学物理电场强度高斯定理概要
E
4 0
Q
a
L
a
Q
4 0
a2
近似为点电荷
22
求解步骤
i 1
n i 1
qi
40
ri 3
r ri
r
r
E Ei
场强叠加原理
i
17
电偶极子
由等值异号的点电荷 +q 及- q 组成
P
条件 l << r
r
电偶极子的轴 -q 到 +q 的径矢 l
电偶极矩(电矩)
p
ql
-q － ＋ +q
l
分＋
＋
子 偶
104 ＋
极 子
－
H2O
正电中心
18
1.2.4. 连续分布带电体产生的场强
E
方向 正电荷在该点处受力的方向
单位 N C、V m
14
1.2.2. 点电荷的场强
根据库仑定律：
r F
1
Q q0 rr
4π0 r3
由定义， 可得P 点处
r r F 1 Qr
E q0 4π0 r3 r
Q>0
r r
q0 0
r E
Q<0rFr r
P
r q0 E
0
P
r F
大方小向：：QE为正4π，1与0 rQrr2 同向； Q 为负，与 rr 反向
y
dq
解: (1) 如图所示, 取电荷 r
dE
x dx
x
元dq, 对整个电场的贡献 P
为
a
L
L
dq=dx
d
E
1
电场的高斯定理
电场的高斯定理电场是物理学中重要的概念之一，它描述了电荷间相互作用的力。
为了更好地理解电场的性质和计算电场强度，物理学家引入了高斯定理。
本文将会介绍电场的高斯定理及其应用。
1. 高斯定理的定义电场的高斯定理是描述电场通量与电荷之间关系的重要定理。
它的数学表达式为：∮E⋅dA = Q/ε0在这个公式中，∮E⋅dA表示电场E对一个封闭曲面的通量，Q表示通过该封闭曲面的净电荷量，ε0为真空介质的介电常数。
2. 高斯定理的意义和应用高斯定理描述了电场的通量与被封闭电荷的关系，它对求解复杂电荷分布的电场有很大的简化作用。
利用高斯定理，可以轻松地计算出球对称电荷分布的电场强度。
此外，高斯定理还可用于求解导体表面的电场和电势，从而帮助我们更好地理解电场行为。
3. 高斯面的选择在应用高斯定理进行电场计算时，选择适当的高斯面是至关重要的。
一般情况下，我们选择一个与电荷分布对称的高斯面，这样可以使计算更简单。
对于点电荷，选择以该点电荷为球心的任意球面作为高斯面；对于线电荷，可以选择以线电荷为轴的柱面作为高斯面；对于面电荷，选取以面电荷为中心的任意闭合曲面作为高斯面。
4. 高斯定理的物理解释高斯定理的物理解释是：电场的通量与通过封闭曲面的净电荷量成正比，与曲面形状无关。
这意味着无论曲面是球面、柱面还是其他形状，只要曲面内的净电荷量不变，通过曲面的电场通量也将保持不变。
5. 高斯定理的示例为了更好地理解高斯定理的应用，这里给出一个示例。
假设一个均匀带电球体，球体上的电荷密度为ρ。
我们将选择一个以球心为中心的球面作为高斯面。
球面上的电场通量将与球内的净电荷量成正比，而球内的净电荷量等于球体的总电荷，即Q = 4πR^3ρ/3。
根据高斯定理的公式，我们可以很容易地计算出球面上的电场强度。
6. 高斯定理的应用范围高斯定理的应用范围非常广泛，不仅适用于静电场，也适用于恒定电场。
它在求解电场问题时提供了一种简洁而有效的方法。
在电荷分布具有某种对称性时，特别是球对称或柱对称分布时，高斯定理的应用更加简单。
大学物理之54电场强度通量高斯定理
(5) 静电场：有源场.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
四 高斯定理应用举例
用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
-q
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所
有电荷的代数和除以 ε 0 .
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
3 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度.
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ， E垂直平面时.
SS
Een
E
Φe ES
二 电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场 ，
E与平面夹角 θ.
Φe EScoθs ES
S
Sθ
en
E
非匀强电场，曲面S .
dS dSe n
d Φ e E cθ o d S s E d S
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高 德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦
斯 伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
基本内容电场线电通量高斯定理
0 r R1
E 0
R2
Q2
R1
（2） R1 r R2
Q1 E 4 π 0 r 2 Q1 Q2 E 4 π 0 r 2
Q1
O
I
II
III
（3） r R2
方向：沿着径向向外呈辐射状；
例4.7 无限长均匀带电直线的电场强度 ※※ 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
+
S S′
q Φe E dS
S
由电场线的性质 可 知 ， 通 过 球 面 S′ 的电场线必定全部 通过闭合面S，因此 ，通过任意形状的 包围点电荷q的闭合 面的电通量都等于 q/ε0 ;
0
dΦ 1 E 1 dS1 0 dΦ2 E2 dS2 0 q
Ea
b
a
c
Ec
E
S
E
点电荷的电场线
正 点 电 荷 负 点 电 荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
电场线特点
1）起始于正电荷，终止于负电荷(或来自无穷远, 去向无穷远)，不会在没有电荷处中断. 2）在没有点电荷的空间里，电场线不相交.因为 电场中每一点只能有一个确定的方向；
i（外） S
Φe
i（内）
电场强度通量
（2）当r>R 时，
q l
E 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r 1
0
R
r
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解：电场分布也应有面对称性，
方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性
1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
0
合球面的电通量都相等。
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
①当点电荷在球心时
②任一闭合曲面S´包围点电荷
e
S
E
dS
q
0
作以q为中心的球面S，由于
电力线的连续性，通过闭合曲面
S和球面S´的电力线根数相等。
因此通过S和S´的电通量相等，
均为
e
S
E
dS
q
0
S
q+
r
S´
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
§8-3 高斯定理
1. 电场强度通量 2. 高斯定理 3. 高斯定理的应用
电场强度通量
1. 电场强度通量
(1)定义：通过电场中任一给定面的电力线总数，称
为通过该面的电场强度通量或电通量，用Ψ表e 示。
第四节 电场强度通量 高斯定理
7-4 电场强度通量高斯定理为了更形象地描述电场，这一节将在介绍电场线的基础上，引进电场强度通量的概念；并导出静电场的重要定理——高斯定理一、电场线下图是几种带电系统的电场线。
在电场线上每一点处电场强度E的方向沿着该点的切线，并以电场线箭头的指向表示电场强度的方向。
电场线密度越大，该处的电场强度越大。
静电场的电场线有如下特点：（1）电场线总是始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线；（2）任何两条电场线都不能相交，这是因为电场中每一点处的电场强度只能有一个确定的方向。
图7-12S E N d d =或E S N=d d （7-8）这就是说，通过电场中某点垂直于E 的单位面积的电场线数等于该点处电场强度E 的大小。
SNd d 也叫做电场线密度。
二、电场强度通量我们把通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量，用符号eΦ表示。
如下图(左)所示。
这是一个匀强电场，匀强电场的电场强度处处相等，所以电场线密度也应处处相等。
这样，通过面S 的电场强度通量为SE Φe =如果平面S 与匀强电场的E 不垂直，那么面S 在电场空间可取许多方位。
为了把面S 在电场中的大小和方位两者同时表示出来，我们引入面积矢量S ，规定其大小为S ，其方向用它的单位法线矢量e n 来表示，有S =S e n 在上图（中）中，面S 的单位法线矢量e n 与电场强度E 之间的夹角为θ。
因此，这时通过面S 的电场强度通量为θcos ES Φe =由矢量标积的定义可知，SΦn e E S E e ⋅=⋅=如果电场是非匀强电场，并且面S 不是平面，而是任意曲面[上图（右)]则可以把曲面分成无限多个面积元d S ，每个面积元d S 都可看成是一个小平面，而且在面积元d S 上，E 也可以看成处处相等。
仿照上面的办法，若e n 为面积元d S 的单位法线矢量，则e n d S =d S 。
如设面积元d S 的单位法线矢量e n 与该处的电场强度E 成θ角，于是，通过面积元d S 的电场强度通量为SE d cos d ⋅==θS E Φe d为了给出电场线密度与电场强度间的数量关系，我们对电场线的密度作如下规定：经过电场中任一点，想像地作一个面积元dS ，并使它与该点的E 垂 直（上图），由于dS 很小，所以dS 面上各点的E 可认为是相同的，则通过面积元dS 的电场线数dN 与该点E 的大小有如下关系：所以通过曲面S 的电场强度通量eΦ，就等于通过面S 上所有面积元dS 电场强度通量eΦd 的总和，即⎰⎰⎰⋅===SE d s s S E ΦΦd d e s e θcos （7-9）式中“⎰s ”表示整个曲面S 进行积分。
高斯定理求电场强度公式
高斯定理求电场强度公式
高斯定理是物理学中一个重要的定理，它可以用于计算电场强度。
电场是一种物理现象，它是由电荷产生的力场。
电场强度是一个矢量量，它表示在某一点处的电场的大小和方向。
高斯定理的基本思想是将电场看作是电荷在空间中形成的“源”，通过计算这些“源”在某个闭合曲面内的总电通量，来求出这个曲面内的电场强度。
公式可以表示为：
∮S E·dS = Q/ε0
其中，∮S表示对曲面S的积分，E表示电场强度，dS表示曲面元素，Q表示曲面内的电荷总量，ε0表示真空介质中的电容率。
这个公式的意义是，曲面S内的所有电荷都会对曲面S上的电通量产生贡献，而曲面S外的电荷则不会。
因此，通过计算曲面S内的总电通量，我们就可以得到曲面S内的电荷总量，从而求出电场强度。
需要注意的是，曲面S必须是闭合的，这意味着曲面内部不应该有任何电荷。
如果曲面内部有电荷，那么它们也会对曲面S上的电通量产生贡献，从而影响计算结果。
曲面S的形状和大小也会影响计算结果。
如果曲面S的形状比较复杂，那么计算电通量可能会比较困难。
如果曲面S非常小，那么计
算结果可能会受到量子效应的影响。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的曲面S。
需要注意的是，高斯定理只适用于静电场。
在动态场中，电场随着时间的变化而变化，因此不再满足高斯定理的条件。
在这种情况下，我们需要使用更加复杂的数学方法来求解电场强度。
高斯定理是求解电场强度的重要工具，它可以帮助我们更好地理解电场的本质和特性。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的曲面S，并注意高斯定理的适用条件。
电场的高斯定理
电场的高斯定理电场的高斯定理是描述电场分布与电荷分布之间关系的重要定律。
该定理由物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪中期提出，并经过实验验证后得以确认。
本文将介绍电场的高斯定理的基本原理、应用以及相关实例。
一、基本原理电场的高斯定理可以用数学公式表示为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示电场矢量E在闭合曲面A上的通量，Q表示曲面A内的电荷量，ε0为真空介电常数。
这个公式表明，对于任意闭合曲面A，电场矢量E通过该曲面的通量与曲面内的电荷量成正比。
基于这一定理，我们可以推导出许多与电场有关的重要结论，例如：1. 对于任意点电荷，其电场的矢量形式满足库仑定律。
2. 对于均匀带电球壳，其电场在球壳外部的通量为零，内部的通量只与球的半径和内部电荷量有关。
二、应用实例1. 均匀带电平板间的电场分布考虑一个无限大、均匀带电的平行板电容器，上下两个平板分别带有正负等量的电荷。
通过高斯面选择合适的曲面，可以计算出位于平行板间的电场强度。
根据高斯定理，由于平行板电容器是轴对称的，所以选取一个以电荷中心为球心、半径为r的球面作为高斯面。
在该球面上，电场的法向分量是常数，大小为E。
根据高斯定理可知，电场通量为Q/ε0，而球面上的电场通量为E·A，其中A为球面的面积。
由此可得E·A = Q/ε0，即E = Q/(ε0·A)。
因为球面的面积A = 4πr²，所以E = Q/(4πε0r²)。
这就是平行板电场的分布规律，它与距离平行板的距离r的平方成反比。
2. 球对称电荷分布的电场分布考虑一个以球心为中心、半径为R的均匀带电球体，其电荷密度为ρ。
选取以球心为球心、半径为r的球面作为高斯面，此时球内的电荷量为Q = 4/3πR³ρ。
根据高斯定理可知，电场通量为Q/ε0，而球面上的电场通量为E·A，其中A为球面的面积。
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12、一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
qr π R4(r≤R)
(q为一正的常量)
0 (r R)
试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；
(3) 球内、外各点的电势．
解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，其所包含的电荷为
dQ
dV
qr πR4
解：(1) 由对称分析知，平板外两侧场
强大小处处相等、方向垂直于平 面且背离平面．设场强大小为E． E
P1 SO
P x
作一柱形高斯面垂直于平面．其
b
底面大小为S，如图所示．
P2
Sx E
2.电场强度通量 高斯定理
9
浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
按高斯定理得
8 （1503） 浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
14、如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密
度分布为＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求：
(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？
8.85×10-12 C2·N-1·m-2 )
q
h
R
解：以顶点与底面中心连线的中点为球心，
r R2 h / 22 为半径作一球面．
通过圆锥侧面的电通量等于通过整个 球面的电通量减去通过以圆锥底面为 底的球冠面的电通量．
r h/2 R
2.电场强度通量 高斯定理
2
浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
0 0
2 0
2.电场强度通量 高斯定理
10
浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制 E
2 0
kx2 kb2
2 0 4 0
E
P1
P
S
Ox
b
得
E k (x2 b2 ) (0 x b)
2 0
2
(3) E' =0，必须有
在±x处作与x轴垂直的两个相同的 平面S，用与x轴平行的侧面将其封 闭为高斯面，如图所示．
由高斯定理
E S
-x
yOz 平面 侧面
E S
O
+x x
dV
E dS V
S
0
2.电场强度通量 高斯定理
7
浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
而
4πr 2dr
4q R4
r 3dr
则球体所带的总电荷为
Q
V
dV
4q R4
R r 3dr q
0
2.电场强度通量 高斯定理
4
浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
(2) 在球内作一半径为r的高斯球面，按高斯定理有
4πr 2E 1
SE dS 2SE
yOz 平面
x
侧面
dV
V
S0
x
cos x d x
E
S
E S
2S0 sin x
-x
O
+x x
∴
2SE 2S0 sin x
0
得
E 0 sin x
0
方向由E值正、负确定，E>0沿x轴正向，E<0则沿x轴负向．
2.电场强度通量 高斯定理
2ES 1
b
S d x
0 0
E
kS
b
xd x
kSb2
0 0
2 0
kb2
∴
E
( x 0, x b)
4 0
(2) 过P点垂直平板作一柱形高 E
斯面，底面为S．设该处场强为E'，
如图所示．
P1
P
S Ox
dx
b
P2
Sx E
P1
S
O
P xS
EP2 x
b
按高斯定理得 (E E)S kS x xdx kSx2
4 0r
2.电场强度通量 高斯定理
6 （1376） 浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
13、设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律 =0cosx 分布在整 个空间，式中 为电荷体密度、0 为其幅值．试求空间的场强
分布．
解：由题意知，电荷沿 x 轴方向按余弦规律变化．可以判断场强的 方向必沿 x 轴方向，且相对 yOz 平面对称分布．
x2 b2 0 2
可得
x 2b
2
2.电场强度通量 高斯定理
EP2
S
x
11 （5095） 浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
Φ2
Φ0
Φ1
q
0
q
2 0
4 0
qh R2 (h / 2)2
q [1
h / 2 ] 9.6104(N m2 / C)
2 0
R2 (h / 2)2
2.电场强度通量 高斯定理
3 （1374） 浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
通过整个球面的电通量
q
Φ0 0
通过球冠面的电通量
Φ1
S S0 Φ0
式中S为球冠面积S =2r(r－h/2)，S0为整球面积．
r h/2 R
q 2r(r h / 2) q
h/2
Φ1 0
4r 2
[1
]
2 0
R2 (h / 2)2
通过圆锥侧面的电通量为2，
0
r 4qr 3
qr 4
0 R4 dr 0 R4
得
qr 2
E 4π 0R4 (r R) 方向沿半径向外．
在球体外作半径为r的高斯球面，按高斯定理有
4πr 2E q
0
得
q
E 4π 0r 2
(r R) 方向沿半径向外．
2.电场强度通量 高斯定理
5
浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
(3) 球内电势
R qr 2
q
U r 4 0R4 d r R 4 0r 2 d r
q R3 r3
q
4 0 R4 (
3
)
3 4 0R
得 球外电势
U
q
12 0R
(4
r13 R3
)
(r R)
q
U r 4 0r 2 d r
得
U q (r R)
1 （1286） 浙江浙理江工理大工学大理学学理院学物院理物系理系 制制作作：：石石永永锋锋
11 、 真 空 中 有 一 高 h ＝ 20cm 、 底 面 半 径 R ＝ 10cm的圆锥体．在其顶点与底面中心连线的中点 上置q＝10–6C的点电荷，如图所示. 求通过该圆锥
体侧面的电场强度通量．(真空介电常量0＝