高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念知识巧解学案新人教A版必修4

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高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版必修4(1)

2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.知识与技能(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.过程与方法通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:向量的概念,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.(1)重点的突破:从向量的物理背景、几何背景等入手,从学生熟悉的矢量概念引出向量概念;还要注意与数量概念的比较,使学生在区分相似概念的过程中把握向量的概念.(2)难点的突破:借助信息技术,通过向量平移来说明向量的相等与起点无关.让学生体会,只要表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合,这两个向量就是共线向量.向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量,很多物理量,如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道力可以表示成向量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向,线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(R.Argand,1768—1822)以AB表示一个有向线段或向量.1827年,莫比乌斯(Mobius,1790—1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年,兰格文用表示向量,以后,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其在手写稿中.为了方便印刷,用粗黑小写字母a,b等表示向量,这两种符号一直沿用至今.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔(C.Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a,b)来表示复数a+b i,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.。

高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。

这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。

体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。

3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。

高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念说课稿新人教A版必修4

平面向量的实际背景及基本概念各位同仁，大家好！我说课的内容是《平面向量的实际背景及基本概念》，选自人教A版数学《必修4》第二章第一节.下面我将从课标要求、教材分析、学情分析、教学目标、教学理念、教学方法和教学过程这七个方面来进行说课。

一、课标要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

二、教材分析（一）本节的地位和作用向量是近代数学最重要的和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的桥梁，是解决几何问题的有力工具，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量有着丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。

向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念。

向量集数与形于一身，是数形结合的重要体现。

向量作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活的问题，因此它在整个高中数学学习过程中占有特别重要的地位。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节课重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

（二）本节的主要内容向量就是从物理背景中抽象概括出来的数学概念，因此把本节课的主要内容确定为向量的概念和向量的表示方法。

（三）教学重点、难点分析掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的概念是本节课的重点也是难点，同时，向量的几何表示也是本节课的重点。

教学重点：向量的概念及向量的表示方法.教学难点：向量的概念和向量与有向线段的区别.三、学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。

还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。

高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念学案含解析新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念学案含解析新人教A版必修4[(1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．(2)汽车向东北方向行驶了60 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是东北．(3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．问题1：上述三个实例中涉及哪些物理量？提示：分别涉及位移、速度和力．问题2：这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？提示：面积、质量等只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向．[导入新知]向量和数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．[化解疑难]理解向量的概念应关注三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．[提出问题]问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想：有向线段应包含什么要素？提示：起点、方向、长度．问题2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：利用有向线段表示．问题3：如何表示向量？提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小．[导入新知]1．有向线段(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作 .AB(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．2．向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向。

高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念学案1无答案新人教A版

§2.1平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．梳理向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．知识点二向量的表示方法思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示．思考2 0的模是多少？0有方向吗？答案 0的模为0，方向任意．思考3 单位向量的模是多少？答案单位向量的模为1个单位．梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．→ABAB.以为终点的有向线段记作为起点、→a, b, c abc a，(印刷用黑体，，书写时用，向量的字母表示：向量可以用字母(2)，…表示→→bc．) ，→→→→ABABABAB|.长度为的长度，记作(或称模)(3)向量，即有向线段的大小，也就是向量|的长度0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．知识点三相等向量与共线向量→→ABABBA相等吗？它们共线吗？，和向量为平面上不同两点，那么向量思考1 已知→→ABBA方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线和向量答案因为向量上，所以两向量共线．思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．abbcac吗？∥，那么一定有，∥思考3 若∥bac可以是任意向量．不一定．因为当，＝0时，答案梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．abab. 平行于∥①记法：向量，记作②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．1．向量就是有向线段．( × )提示向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．→→→→ABCDABCD.( × )||2．如果|＞|，那么＞向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．提示abab.( ×．若＝，都是单位向量，则)3ababab方向可能不同．与|＝提示 1与，但都是单位向量，则||＝|abab的起点相同，则终点也相同．( √，且与4．若＝)abab的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．＝与，则提示若5．零向量的大小为0，没有方向．( × )提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．类型一向量的概念例1 下列说法正确的是( )→→ABBA的长度相等．向量与向量AB．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量都是相等的D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等考点向量的概念题点向量的性质答案 A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确．故选A.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．跟踪训练1 下列说法中正确的是( )A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小考点向量的概念题点向量的性质答案 D解析不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D 正确．类型二相等向量与共线向量例2 (1)下列说法正确的是________．(填序号)abab共线；≠一定不与，则①若→→ABDCABCD四点是平行四边形的四个顶点；，②若，＝，，则→→ABCDABDC；③在平行四边形＝中，一定有aba＝0；平行，则④若向量与任一向量abbcac；⑤若＝＝，则，＝abbcac. ⑥若，则∥∥，∥考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案③④⑤ab有共线的可①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以与解析→→ABDCABCD四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行＝，，，能，故①不正确；②，→→→→→→ABCDABDCABDCABDC，③正确；④零向量的方向，平行且方向相同，故中，|与|＝|＝|四边形abababbcb|，则|＝|且与是任意的，与任一向量平行，④正确；⑤|＝|，则方向相同；|＝cbcacacba，由于与，⑤正确；若方向相同且模相等，故＝|0|且与＝方向相同，则＝cac可能不成立，故⑥不正确．的方向与∥的方向都是任意的，ABCEFDACABBC的中点．分别是(2)如图所示，△，的三边均不相等，，，，→EF共线的向量；①写出与→EF的模相等的向量；②写出与→EF相等的向量．③写出与考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量EFACAB的中点，分别是解①因为，，1EFBCEFBC.∥，＝所以2DBC的中点，是又因为→→→→→→→→EFFEBDDBDCCDBCCB. 共线的向量有，，，，，，所以与→→→→→→EFFEBDDBDCCD.②与，模相等的向量有，，，→→→EFDBCD.③与与相等的向量有反思与感悟相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．OABCDEF的中心．如图所示，是正六边形跟踪训练2→OA的模相等的向量有多少个？ (1)与→OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (2)是否存在与→OA共线的向量有哪些？ (3)与考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量→OAOB)，而每一条线段可以有两个向量，((1)与如的模相等的线段是六条边和六条半径解所以这样的向量共有23个．→→BCAOEFOAAO，的长度相等、，(2)存在．由正六边形的性质可知，所以与∥方向相反的向量有∥→→→ODFEBC，共4个．，，→→→BCOAEFODADOAOABCCB，共线的向量有与(2)(3)由知，，∥在同一条直线上，∥线段，所以与，→→→→→→→EFFEAOODDOADDA，共9，，，个．，，，类型三向量的表示及应用AB点，然后又改变方向，向西偏北50°的点出发向西行驶了100km例3 一辆汽车从到达CD点．到达 200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km方向走了→→→ABBCCD；，(1)作出向量，→AD|.|(2)求考点向量的表示方法向量的几何表示题点．→→→CDABBC (1)向量，，如图所示．解→→→→CDABCDAB与与方向相反，故共线，(2)由题意，可知→→CDAB|∵||＝|，CDCDABABCDAB 且∥∴在四边形，中，＝ABCD为平行四边形，∴四边形→→→→BCBCADAD200km.＝|∴＝＝，∴|||准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量反思与感悟的大小确定向量的终点．a1.跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为ab B b (1)试以＝为终点画一个向量；，使c A cc 5，使|，并说出向量|(2)在图中画一个以的终点的轨迹是什么？为起点的向量＝向量的表示方法考点向量的几何表示题点ab)．与向量平行，且长度相等(解 (1)根据相等向量的定义，所作向量作图略A c半径为5的圆为圆心，((2)由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以作图略).1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )A．单位圆 B．一段弧．直线D ．线段C．考点向量的表示方法题点向量的几何表示答案 A2．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；abab都是非零向量；不共线，则③向量与与abab. |④若|，则|>|>A．0B．1C．2D．3考点向量的概念题点向量的性质答案 B解析①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量ababab 不共中有一个为零向量，则与不可以比较大小，故④错；③若与，必共线，故线，则应均为非零向量，故③对．ba的相反向量，则下列说法中一定错误的是______(填序号是)．3．设abababab一定相等．的相反向量；④与的长度相等；③与①是∥；②考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案④OABCD的中心，则下列结论正确的有________．．如图所示，设(是正方形填序号)4→→AOOC；＝①→→AOAC；∥②→→ABCD共线；③与→→AOBO.④＝考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案①②③→→AOOC方向相同，长度相等，∴①正确；与解析→→AOCAOAC，②正确；∥三点在一条直线上，∴，，∵．→→ABDCABCD共线，③正确；∥与，∴∵→→AOBO方向不同，∴二者不相等，④错误．与1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.一、选择题1．(2017·北师大附中一模)给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有( )A．4个B．5个C．6个D．7个考点向量的概念题点向量的判定答案 A解析速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．2．下列说法正确的是( )→→ABBA是相等向量．向量与AB．共线的单位向量是相等向量C．零向量与任一向量共线D．两平行向量所在直线平行考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案 C→→ABBA是相反向量，不是相等向量，故A 解析向量错；共线的单位向量可能是相等向量，与也可能是相反向量，故B错；零向量与任一向量共线，故C正确；两平行向量所在直线可能错．D 平行，也可能重合，故．→→→COAOBOOABC) ( 3．设，是△的外心，则是， B．模相等的向量A．相等向量D．起点相同的向量．平行向量C向量的表示方法考点向量的模题点B答案→→→COAOBOOABC B. 因为，故选是△＝的外心，所以|||＝|||解析ACABACDEABCAB) ，的中点，则，( 中，＝分别是， 4．在△→→→→CBDEABAC与 A.B.与共线共线→→→→BDAEADAD相等 D.C.相等与与考点相等向量与共线向量几何图形中的相等向量与共线向量题点B答案BCDEABDEAC所∥，分别是的中点，由三角形的中位线定理可得，如图所示，因为解析 .→→CBDE与以共线．BADABCD)＝120°，则以下说法错误的是5.如图，在菱形( 中，∠→→ABAB) (．与A不含相等的向量只有1个→→ABAB) 不含个的模相等的向量有9(B．与→→BDD的模的3倍的模恰为 C.→→CBDA不共线D. 与考点向量的表示方法题点向量的模答案 D→→→→→→→→→ABDCABDCABDADCACCB，，，，的模相等的向量有，而与相等的向量只有，因此与＝由于解析．→→→→→ADOCAADCDBCBAAOD＝30°，中，∵∠，，，B，正确．而，Rt△，因此选项A3→→→→→→→→DACBDODADBDACBDA是共线的，正确．由于|＝，因此|，故|＝|＝3|与|，因此选项∴|C|2D.故选CGHDCEFGABCD)，是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( 6.如图所示，四边形，→→EFAB| ＝|||A．→→FHAB B.共线与→→EHBD C.共线与→→FGCD D.＝相等向量与共线向量考点几何图形中的相等向量与共线向量题点C 答案二、填空题BACCAB地的位地正北方向5km处，则5km处，．若7地位于地位于地相对于地正西方向 ________．移是向量的表示方法考点向量的几何意义及其应用题点2km西北方向答案 5→BDABCABCD________. ＝60°，则|中，∠＝|8．已知在边长为2的菱形向量的表示方法考点向量的模题点3答案2ABDBDAC，且∠⊥由题意知解析＝30°，3→→ABABOBO |·cos30°＝2×Rt△中，|3|＝|∴在2→→BOBD＝2|∴||＝2|3.→→→→ABCDABDCABAD|，则四边形的形状为________＝|． |9．在四边形中，若＝且|考点相等向量与共线向量相等向量与共线向量的应用题点．答案菱形→→DCABDCABABDC＝∥，∴，解析∵＝，ABCD∴四边形是平行四边形，→→ABCDABAD |＝|是菱形．|∵|，∴四边形则此人位移的方向是________再向正南方向行进．1003m，某人向正东方向行进10．100m后，考点向量的表示方法向量的几何意义及其应用题点南偏东30°答案CAB出发，经点如图所示，此人从点，，到达点解析BC3100BAC 3＝＝＝，则tan∠BA100BAC是三角形的内角，∵∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°. ∴∠ABCDBCE为等腰直角三角形，则：为正方形，△11.如图，若四边形→AB共线的向量有________；(1)图中与→AB相等的向量有________图中与； (2)→AB的模相等的向量有________图中与； (3)→EC相等的向量有________． (4)图中与考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量→→→→→→→DCBEBACDEBAEEA，，，，，，答案(1)→→DCBE (2)，→→→→→→→→→BABEEBDCCDADDABCCB，，(3)，，，，，，→BD (4) 三、解答题．ABAD地，然2地执行任务，先从千米到12.一辆消防车从地向北偏东地去30°方向行驶DCC地又向南偏西30°方向行驶2地，后从从地沿北偏东60°方向行驶6千米到达千米才B地．到达→→→→ADDCCBAB；，(1)画出，，BA地的位置向量．求地相对于(2)考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用→→→→ADDCCBAB，如图所示．，(1)向量，，解→→ADBC，＝(2)由题意知ADBCADBC，∥＝，∴ABCD为平行四边形，则四边形→→ABDCBA地的位置向量为“北偏东60°，长度为6地相对于∴千米”．＝，则→→→→→ABCDABDCNMADBCCNMADN，求证：，上的点，且分别是13.如图所示，在四边形＝中，，＝，→MB.＝考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质和判定→→ABDCABDCABDC，∥＝证明∵且＝，∴→→ABCDCBDA，＝是平行四边形，∴∴四边形→→CNMACNMACNMA，，∴＝∥，又＝CNAM是平行四边形，∴四边形→→CMNACMNACMNA. ∴＝，，∴＝∥CBDACMNAMBDN.＝，∴＝，＝∵．→→MBMBDNDN，∴的模相等且方向相同，∥与又→→MBDN. ∴＝四、探究与拓展 5个条件：14．给出以下babababbaa其与⑤＝0或|都是单位向量．①|＝；②|＝|＝||；③0与；的方向相反；④||ba) ________．中能使(∥填序号成立的是考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质与判定答案①③④ba；方向相同或相反的向量一定是共线向量，∥解析相等向量一定是共线向量，故①能使ba；零向量与任一向量平行，故④成立．故③能使∥BA.15．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点，→ACC5.点|为小正方形的顶点，且＝|→AC；(1)画出所有的向量→BC求(2)|的最大值与最小值．| 向量的表示方法考点向量的几何表示，向量的模题点→AC画出所有的向量，如图所示．解(1)(1)所画的图知，(2)由CCC位于点或时，①当点212BC取得最小值1＋2＝5； |CCC或②当点位于点时，65．→22BC41. 5|＝|取得最大值4＋→BC，最小值为415. |所以|的最大值为。

高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学课件新人教A版必修4

(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，如即使|a|＞ |b|也不能说 a＞b，特殊地，若向量 a，b 是相等向量，记作 a ＝b.
(3)0 与 0 不同，虽然|0|＝0，但 0 是向量，而 0 是数量．提醒：初学者要特别注意零向量 0 与实数 0 书写的区别，对向量 0，书写时不能漏掉“→”．
1．想一想
零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
提示：零向量的方向是任意的，两个单位向量的方向可以不同．
2．判一判(判断下列说法的正误)
(1)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) 提示：× A→B与B→A的模相等，方向相反，因而不是相等向
量．
(2)与实数类似，对于两个向量a，b有：a＝b， a＞b，a＜b三种关系．( )
高中数学第二章平面向量 2.1 平面的实际背景及基本概念教学课件新同学们，下课休息十A分版钟必。修现4在是休息时间
休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动对身体不好哦~
向量的有关概念
给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (2)向量的模一定是正数； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(5)相等向量：_长__度__相__等___且__方__向__相__同___的向量叫做相等向量．
(6)平行向量(共线向量)：方向__相__同__或__相__反___的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量 a 平行于 b，记作___a_∥_b___. ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a.
(1)试以 B 为起点画一个向量 b，使 b ＝a；
(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么．

高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版必修

课题: 平面向量的实际背景及基本概念___________；A．质量 B．速度 C．位移 D．力3．设O是正方形ABCD的中心，向量AO OB CO OD、、、是A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量【课外拓展】1. 下列各量中是向量的是( )A.密度B.体积C.重力D.质量2．下列各说法中，其中正确的个数为（）（1）向量AB的模长与向量BA的模长相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3.已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1 km”，则向量a b 表示（）2 B. 向东南航行2 kmA. 向东南航行km2 D. 向东北航行2kmC. 向东北航行km4．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.．在下列说法中，正确的是．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;abc在如图所示的向量a，b c，d e中（小正方形的边长为的模．【当堂训练】写出与=；方向相同且|a b教学反思]精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4(2021年整理)

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2.1 错误!预习课本P74～76，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别?(2）怎样表示向量?向量的相关概念有哪些?（3)两个向量(向量的模)能否比较大小？（4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？（5）零向量与单位向量有什么特殊性?0与0的含义有什么区别？错误!1．向量的概念和表示方法(1）概念：既有大小，又有方向的量称为向量．（2）向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a,b，c，…表示，手写时必须加箭头[有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度（或称模)与特殊向量(1）向量的长度定义:向量的大小叫做向量的长度．（2）向量的长度表示：向量AB,a的长度分别记作：|AB|，|a｜。

(3）特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．［点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小,没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同．3．向量间的关系(1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b。

高中数学第二章平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版

2．1向量的概念及表示【教学目标】1.知识目标：○1能理解向量的概念，并能用两种方法表示向量；○2明确向量的长度（模）、零向量、单位向量的概念；○3掌握平行向量、共线向量和相等向量的概念，能根据图形判定向量是否平行（共线）、相等．2.能力目标：培养学生数形结合的能力，学会用类比和分类讨论的方法解决问题的能力．3.情感目标：培养学生学以致用的科学探索精神和爱国主义情操．【教学重点】1．向量概念的引入，会表示向量．2．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念．【教学难点】1. “数”与“形”的结合思想2. 平行（共线）向量和相等向量区别和联系．【教学过程】一创设情境二自主学习概念：向量的定义：我们把既有又有的量叫做向量．向量的表示：常用：表示，记作：，也可以用小写字母表示．向量AB的大小称为“”，记作：．相等向量,a b ,a c三概念辨析判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．题组一：① 温度含有零上和零下温度，所以温度是向量；② 若|a |>|b |则a >b ；向量的定义的注意点：题组二：③ 起点相同的两个非零向量不平行；④ 若a //b ，b //c ，则a //c ；⑤ a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；向量平行与直线平行的区别：题组三：⑥ 若四边形ABCD 是平行四边形则AB CD =；⑦ 若四边形ABCD 中，AB DC =，则ABCD 是平行四边形； ⑧ 若|a |=|b |且a //b 则a =b ；相等向量的注意点：题组四：⑨ 单位向量都相等；⑩ 共线的单位向量都相等；单位向量的注意点：题组五：○11 ||||0a a -=； ○12 向量的模为正实数．零向量的注意点：四数学应用例1．已知O 点是的正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中：（1）与FE 共线的向量有；（2）与FE 相等的向量有；（3）OA 与BC 是互为向量．例2．如图，45 的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中（１）与AB 相等的向量有多少个？（２）与AB 相反的向量有多少个？（３）与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）五．课时小结六．课后作业课本p57 习题2.1：1，2，3．七．任务延伸根据地图，求以南通为起点，黑瞎子岛为终点的向量的模是多少?方向是什么?八．课后拓展课本p57 习题第５题.CFAB。

高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念预习导航学案新人教A版必修28

2.1 平面向量的实际背景及基本概念预习导航1．向量的概念(1)向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量．(3)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定了．思考1两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．2．向量的表示法(1)几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的长度(或称模)，如向量AB的长度记作|AB|.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量．书写时，可写成带箭头的小写字母a，b，c，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为AB.特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量a不能写成a；(2)向量的起点、终点要搞清，如AB与BA的起点与终点正好相反．3．有关概念思考2单位向量都相等吗？提示：不一定，单位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上．思考4共线向量与相等向量有什么关系？提示：相等向量一定共线，而共线向量不一定相等．特别提醒(1)零向量表示为0，而不是数字0；零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量．(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线．。

高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课堂探究学案新人教A版必修

高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课堂探究学案新人教A版必修2、1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究探究一向量的表示1、准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点、2、注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头、【典型例题1】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45方向；(2)，使||＝4，点B在点A正东方向；(3)，使||＝6，点C在点B 北偏东30方向、解：如图中的，和、探究二相等向量与共线向量1、寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线、2、寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量、注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量、【典型例题2】给出下列说法：①||＝||；②若a与b方向相反，则a∥b；③若，是共线向量，则A，B，C，D四点共线；④有向线段是向量，向量就是有向线段、其中所有正确的序号是________、思路分析：利用共线(平行)向量的概念判断、解析：①中与的起点终点相反，但长度相等，故①正确；②正确；③与共线时，有AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故③错误；④向量是一个量，有向线段是一种几何图形，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段、答案：①②【典型例题3】如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与，相等的向量、(2)与共线的向量、解：(1)＝，＝、(2)与共线的向量为：，，、规律小结对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况、探究三易错辨析易错点：混淆向量的有关概念而致错【典型例题4】已知下列命题：①若|a|＝0，则a为零向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④所有单位向量都是相等向量；⑤两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同、其中正确的有()A、2个B、3个C、4个D、5个错解：C错因分析：①正确；②正确；③错误；没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确；⑤正确、正解：①正确；②由|a|＝|b|得a与b的模相等，但不确定方向，故②错误；③错误；④所有单位向量的模都相等，都为1，但方向不确定，故④不正确；⑤正确、答案：A方法技巧明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关、(2)明确向量与有向线段的区别：有向线段有三要素：起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段，但决定向量的要素只有两个：大小和方向，与表示向量的有向线段的起点无关、(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的、零向量的方向是任意的、(4)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量、。

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高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念知识巧解学案新人教A版必修4
疱工巧解牛
知识•巧学
一、向量
1.数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量叫做标量.
2.具有大小和方向的量称为向量.更具体一些，我们先把向量理解为“一个位移”或“一点相对于另一点位置”的量.这是因为有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是这样的量.显然，若用同样大小的力作用于一弹簧上，作用点不同，效果是不同的.有些向量是只有大小和方向，而无特定的位置，例如，位移、速度等.通常把后一类向量叫做自由向量.本章，我们所接触的向量，若无特别说明，都认为是自由向量.也就是说，本章所学的向量只有大小和方向两个要素.
学法一得数学中的向量是由大小和方向唯一确定的，是与起点无关的向量.也就是说，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的.
辨析比较①数量只有大小，是一个代数量，而向量不仅有大小，还有方向(两重性)；②数量能比较大小，而向量不能比较大小.例如，
a>b没有意义，而|a|>|b|是有意义的；③数量可以进行代数运算，如数的加、减、乘、除运算，而向量只能按向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则或向量数乘的运算律去运算.
二、有向线段
在物理学中，表示位移的最简单方法是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段的长度分别表示速度和力的大小.
1.定义：一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B为终点，我们说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.显然，它的方向由A指向B.
2.表示方法：以A为起点，以B为终点的有向线段记作.应注意始点一定要写在终点的前面.如图2-1-
3.
图2-1-3
3.有向线段的三要素：已知，线段的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.显然有向线段的终点由它的起点、方向和长度唯一确定.
辨析比较由向量与有向线段的组成要素可知，向量和有向线段是有区别的.但是当我们约定有向线段的起点也是任意的时候，它们就是相同的了.我们就可以说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”.
三、向量的表示法
1.用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指。