湖北省黄冈中学2013年秋季高一数学期末考试试题
湖北省黄冈中学2013届高三上学期期末考试数学(文)试题
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试文 科 数 学一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集R U =，集合10x A xx⎧⎫-=<⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =≥，则集合{}0x x ≤等于（ ）A ．AB B ．A BC ．()U A B ðD ．()U A B ð2．已知i 是虚数单位，则201311i i +⎛⎫⎪-⎝⎭的值是 （ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8710∶∶，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为 （ ） A ．14 B ．16 C ．20 D ．254．已知命题:R p x ∃∈，使221x x -+=；命题:R q x ∀∈，都有()2lg 230x x ++>．下列结论中正确的是 （ ） A ．命题“p q ∧”是真命题 B ．命题“p q ∧⌝”是真命题 C ．命题“p q ⌝∧”是真命题 D ．命题“p q ⌝∨⌝”是假命题5．已知平面向量a 、b 满足2a = ，1b = ，且25a b - 与a b +垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．23π6．已知R a ∈，0x >，0y >，且1x y +=，则“8a ≤”是“14a xy+≥恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：22(3)(4)25x y -+-=交于A 、B 两点，C 为圆心，当A C B ∠最小时，直线l 的方程是 （ ）A ．230x y +-=B ．10x y -+=黄冈中学孝感高中C ．30x y +-=D ．230x y -+=8．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对x D ∀∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数．则下列定义在R 上的函数中，不是有界函数的是（ ）A ．()2sin f x x =B ．()f x =C ．()12xf x -=- D ．()()2log 1f x x =-+9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对任意正整数n ，都有点()1,n n a S +在直线220x y +-=上. 若数列2n n S n λλ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭为等差数列，则λ的值为 （ ）A ．12B ．12-C ． 2D ． 2-.10．规定[]x 表示不超过x 的最大整数，()()[][)22,,0,0,xx f x x x x -⎧-∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若方程()1f x ax =+ 有且仅有四个实数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．11,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．11,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．若变量x 、y 满足约束条件421x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则目标函数 2z x y =+的最小值是 ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． ：13．已知如图所示的程序框图，当输入99n =时，输出S 的值是 ．正视图侧视图14．已知圆224:M x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于的概率为 ．15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，它的图像的相邻两条对称轴之间的距离是2π，当函数()f x 的图像向右平移6π个单位时，得到函数()g x 的图像，并且()g x 是奇函数，则ϕ= ．16．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为()0k k >的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在x 轴的上方），与准线交于C 点，若2BC BF =，且8AF =，则p = ．17．已知数列{}n a 、{}n b ，且通项公式分别为32n a n =-，2n b n =，现抽出数列{}n a 、{}n b 中所有相同的项并按从小到大的顺序排列成一个新的数列{}n c ，则可以推断： （1）50c = （填数字）； （2）21k c -= （用k 表示）． 三、解答题：本大题共5小题，共65分。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试(理科)数学参考答案(定稿)
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学参考答案1．D 解析：∵22i (2i)i 2i 112i i 1i z ++-====--，∴选择“D ”． 2．A解析：∵(2,3)()U P A B ∈ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩得1,5.m n >-⎧⎨<⎩故选择A ．3．A解析：符合条件的点P 落在棱长为3a的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得33()1327a P a==．故选A ． 4．B解析：将曲线方程2y x =与直线方程y x =联立方程组，解得0x =或1x =．结合图形可知选项B 正确．5．B解析：方法1：∵(0)10,(1)l g 20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点．又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点．方法2：由()0f x =得lg(1)22x x +=-+．作出函数()lg(1)g x x =+与()22x h x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点．6．C解析：11131223344++=⨯⨯⨯．故选C ． 7．D解析：∵当0x <时，函数()f x 为增函数，∴当0x <时，()0f x '>．又∵当0x >时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”．8．C解析：①A 显然正确．②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确． ③cos ,cos cos sin sin cos()||||αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a ba b a b a b ．当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b ．故C 不正确． ④∵22()()||||||||||||⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D 正确．故选择“C ”．黄冈中学孝感高中9．A解析：1l ：111110A B x y C C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=． ∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=．故选“A ”．10．C解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长为=，∴球的表面积为50π，选择“C ”．11．48解析：设被抽查的男生的人数为n ．∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75．又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴612180.75n++=，得48n =．12．解析：∵对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴()8f π=13．2或3解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a =或3．14．[0,6π解析：作出可行域如图所示．直线2x y z +=与y 轴交于点(0,)2z ．设直线2x y z +=与曲线cos (0)2y x x π=≤≤相切于点A ．∵由1sin 2y x '=-=-得6x π=，∴(6A π，代入2x y z+=得6z π=(0,0)O 代入2x y z +=得0z =．故z 的取值范围为[0,6π．15．3解析：∵2AD AE AB =⋅，∴24AD AB AE==．设C D x =，则C B x =．∵222AB BC AC +=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3CD =．16解析：将极坐标方程化为普通方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=．在1C 中，令0y =，得x =，再将代入2C 得a =． 17．解：（1）由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,(2)(34)1,x x x <-⎧⎨-++-≤⎩或42,3(2)(34)1,x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4,3(2)(34)1,x x x ⎧≥⎪⎨⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或．（6分） （2）方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，则“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”．∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-．方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-．（12分） 18．解：（1）∵24()4123T πππ=-=，∴23T πω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+．∵点(,2)12π在图象上，∴2sin(3)212πϕ⨯+=，即sin()14πϕ+=，∴2()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即24k πϕπ=+．故()2sin(3)4f x x π=+．（6分）（2）2()2sin(3)cos32(sin 3cos cos3sin )cos33cos3cos 3)444h x x x x x x x x x πππ=+=+=+6cos61)sin(6)4x x x π=++=+．由262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()38324k k k ππππ-+∈Z ．（12分） 19．解：（1）记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =．① 2132322531()5C C P A C C ==．（3分）②22111323222323225317()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．（6分）（2）1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P X P X C P X ==⨯===⨯===⨯=．（9分） ①X 的分布列为②X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．（12分） 【或：∵7(2,)10XB ，∴77()2105E X =⨯=】 20．解：方法1：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵P M C N =，∴M N P C =，∴MN ⊥平面ABC ．作NH ⊥ AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒．在ACN ∆中，AN =．在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=． 在Rt NCH ∆中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=．在Rt M NH ∆中，∵MHcos NH MHN MH ∠=． 故二面角M AC B --（8分） （3）作NE MH ⊥于E ．∵AC ⊥平面MNH ，∴AC NE ⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面MAC的距离为MN NH NE MH ⋅==．∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC．（12分） 方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．13(0,1,),0)(,)22AM z z =--=． ∵2cos 60|cos ,|||||||3AM CP AM CP AM CP⋅︒=<>==⋅且0z >，∴12=，得1z =，∴3(,1)2AM =-．设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得310,210,2y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n ．平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =．21cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ．显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M ACB --（8分） （3）点B 到平面MAC 的距离||||CB d ⋅==n n （12分） 21．解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212121,1,2y y x x y y x x -+=+==--．∵221121,x y a +=222221x y a +=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a +-++-=，即121212212()x x y y y y x x a +-++- 0=，即211(2)0a+⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=．（4分） （2）解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+（∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在）．由,4PM MQ OP OQ OM λλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧⎨+++= ⎩①②将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m ≠，∴3λ=．解法2：∵PM MQ λ=，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+=4OM ，∴(1)4OM OM λ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=．（8分）（3）将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=．∵3λ=， ∴由3434223423,2,212x x km x x k m x x k ⎧⎪=-⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩消去3x 、4x 得2222(1)41m k m -=-．由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41m m ->- 22(1)m -，即222(1)041m m m -<-，即(1)(1)0(21)(21)m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<．（13分） 22．解：（1）方法1：∵*13()n n S n n S n++=∈N ，且111S a ==，∴当2n ≥时， 3211214562(1)(2)112316n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11S =也适合． 当2n ≥时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*(1)()2n n n a n +=∈N ． 方法2：∵1(3)0n n nS n S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得 11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n n na n a +=+，即12(2)n n a n n a n++=≥． 又∵可求得23a =，∴213a a =也适合上式．综上，得*12()n n a n n a n++=∈N ． 当2n ≥时，3211213451(1)112312n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11a =也适合， ∴*(1)()2n n n a n +=∈N ．（4分） （2）2(1)n b n =+．设2(1)(1)(1)n n n n c b n =-=-+．当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n nn n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++++==∴当n 为奇数（n ≥3）时，221(1)(2)34(1)22n n n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式．综上：得234(),2(3)().2n n n n T n n n ⎧++- ⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数（9分） （3）令()ln(1)f x x x =-+．当0x >时，∵1()101f x x'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<．令1(1,2,,)ix i n a ==，得11211ln(1)2()(1)1i i a a i i i i +<==-++， ∴11111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311ni i a n n n =+<-+-++-=-<++∑， 即12111ln[(1)(1)(1)]2n a a a +++<，即21212111e 9nna a a a a a +++<<．（14分）。
2013年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案
2013年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案一．选择题: CBBDC ACBAC 二．填空题：11 18 ； 12 25； 13 )62sin(2π+=x y ； 1435； 15 ②④ 三．解答题： 16、【解析】(1)}3x 1|x {A ≤≤= }4x 2|x {B <<= ……4分 }2x 1|x {B C A D U≤≤=⋂= ……6分 (2)}4x 1|x {B A <≤=⋃ ……7分 当a a 4≥-，即2a ≤时，A=φ,满足题意 ……9分 当a a 4<-，即2a >时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≥->4a 1a 42a ，解得：3a 2≤<∴实数a 的取值范围是3a ≤ ……12分17.(1)证明：由 (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34)＝0…4分故a ＋b 与a -b 垂直． ……5分(2)由|3a ＋b |＝|a -3b |，平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2,所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0， …… 6分 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0， ……8分 则(－12)×cos α＋3)2×sin α＝0，即cos α=3sina ……10分,33tan =α又0°≤α<180°，则α＝30°. ……12分 18.(1)解：设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，由x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1知 f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1， ……4分又f (x )为奇函数知，－f (x )＝2x4x ＋1，即f (x )＝－2x4x ＋1.故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1 .……6分 (2)证明：设0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝……8分……10分∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x 2)<f (x 1)．因此，f (x )在(0,1)上是减函数． ……12分 19.【解】 (1)f (x )＝sin(2x ＋π3)＋3)2，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ……1分[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴∈37,332,,0ππππx x ……2分 当≤2π2x ＋π3时，23π≤即时，12712ππ≤≤xf (x )＝sin(2x ＋π3)＋3)2单调递减， ……5分故函数在[]上的单调递减区，区间π0.127,12⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ， ……6分 (2)由题意g (x )＝f (x －π4)＋3)2∴g (x )＝sin[2(x －π4)＋π3]＋3＝sin(2x －π6)＋3， ……8分当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3]，g (x )是增函数， ……10分∴g (x )max ＝g (π4)＝3)2. ……12分20.解：（1）]14,0(∈t 时，设2()(12)82p f t c t ==-+(0<c )，将)81,14(代入得41-=c]14,0(∈t 时 ，21()(12)824p f t t ==--+ ……3分]40,14[∈t 时，将)81,14(代入()835log +-=x y a ，得31=a ……5分∴(),(,]()l o g (),(,]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩2131********5831440． ……6分（2）当时(]14,12∈t ，显然符合题意， ,当]40,14[∈t 时，8083)5(log 31≥+-t 解得325≤<t ，∴]32,14[∈t …10分 ∴]32,12(∈t ， ………12分 老师在(]32,12∈t 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳． …13分 注：t ∈[12,32]不扣分。
湖北省黄冈高一上学期期末考试数学试题
湖北省黄冈市黄冈中学高一上学期期末考试数学试题一、选择题(每小题5分，共60分)1、设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=( )A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]2、下列函数中，既是奇函数又存在零点的是( )A．y=cosx B．y=sinxC．y=lnx D．3、下列各组向量中可以作为基底的是( )A．a=(0，0)，b=(1，－2)B．a=(1，2)，b=(3，4)C．a=(3，5)，b=(6，10)D．a=(2，－3)，b=(－2，3)4、要得到函数的图像，只需要将函数y=sin4x的图像( ) A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5、在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，( )A．－4 B．4C．－8 D．86、如果一个点既在对数函数的图像上又在指数函数的图像上，那么称这个点为“幸运点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q (2，2)，中，“幸运点”有多少个？( )A．0 B．1C．2 D．37、已知函数f(x)=x(e x＋ae－x)(x∈R)，若函数f(x)是偶函数，记a=m，若函数f(x)为奇函数，记a=n，则m＋2n的值为( )A．0 B．1C．2 D．－18、若，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为( )A．B．或0C．0 D．以上答案都不对9、已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω均为正的常数，φ为锐角)的最小正周期为π，当时，函数f(x)取得最小值，记a=f(0)，，则有( )A．a=b＜c B．a＜b＜cC．b＜a＜c D．c＜a＜b10、如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}11、设定义在区间(－b，b)上的函数是奇函数(a，b∈R且a≠－2)，则a b的取值范围是( )12、对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T 为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，则下列函数中余弦周期函数有多少个？( )①h(x)=2016x ②h(x)=|x| ③A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每小题5分，共20分)13、已知角α的终边过点，则tanα=__________．14、若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是__________．15、已知函数f(x)=a x＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b=__________．16、已知a=log827，则2a＋2(－a)=__________．三、解答题(本大题共有6题，满分70分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17、(10分)已知方程x2＋px＋q=0的两个不相等实根为α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=，求p，q的值．18、(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量．(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求sinx＋cosx的值．19、(12分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系；(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？20、(12分)如图，半径为4 m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转4圈，水轮圆心O距离水面2 m，如果当水轮上的点P从离开水面的时刻(P0)起开始计算时间．(1)求点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数的关系；(2)求点P第一次到达最高点需要的时间．21、(12分)若在定义域内存在实数x0，使得f(x0＋1)=f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)是“可拆函数”．(1)函数是否是“可拆函数”？请说明理由；(2)若函数f(x)=2x＋b＋2x是“可拆函数”，求实数b的取值范围；(3)证明：f(x)=cosx是“可拆函数”．22、(12分)已知集合M={h(x)|h(x)的定义域为R，且对任意x都有h(－x) =－h(x)}，设函数．(1)当a=b=1时，判断是否有f(x)∈M，说明理由．(2)若函数f(x)∈M，且对任意的x都有f(x)＜sinθ成立，求θ的取值范围．1、A解析：集合M={0，1}，N=(0，1]，∴M∪N=[0，1]．故选A．2、B解析：A是偶函数且有零点，B是奇函数且有零点，C有零点但是非奇非偶函数，D是奇函数但无零点．故选B．3、B解析：能作为基底的两个平面向量要求是不共线，A中是零向量与任意向量均共线，C中，共线，D中，共线，B中1×4－2×3≠0，不共线．故选B．4、B解析：，故需将y=sin4x向右平移即可．5、D解析：，故选D．6、C解析：对于指数函数y=a x，当且仅当x=0时y=1，故M，P均不是“幸运点”；对于对数函数y=log a x，当且仅当y=0时x=1，故N不是“幸运点”，因为，所以Q是“幸运点”，因为，故G也是“幸运点”．7、B解析：当f(x)是偶函数时y=e x＋a·e－x是奇函数，记g(x)=e x＋a·e－x，∴g(－x)=－g(x)，∴e－x＋a·e x=－(e x＋a·e－x)，∴a=－1；同理，当f(x)是奇函数时y=e x＋a·e－x是偶函数，a=1，即m=－1，n=1，∴m＋2 n=1．8、A解析：由同角三角函数的基本关系得sin2θ＋cos2θ=1，即，∴k=1或－7，又因为角θ的终边不落在坐标轴上，，9、A解析：由周期为π知ω=2，又时函数取得最小值，故，，又φ为锐角，，且A＞0，∴a=b＜c，故选A．10、C解析：线段BC的方程为y=2－x(0≤x≤2)，令log2(x＋1)=2－x，得x=1，结合y=log2x的图像得到解集为{x|－1＜x≤1}，故选C．本题的易错点是没有注意到x≠－1而错选B．11、A解析：由f(x)为奇函数得f(－x)=－f(x)，，∴a=2，，定义域为，故选A．本题的易错点是没有注意到b 可以等于，而错选了C．12、D解析：对于①，；对于②，，对于③，．故选D．本题的易错点是没有考虑到③其实是周期函数．13、14、[0，1)15、16、17、解：由A∩C=A，A∩B=φ得A={1，3}，(4分)即方程x2＋px＋q=0的两个根是1，3，(6分)由韦达定理得1＋3=－p，p=－4；(8分)1×3=q，q=3．(10分)18、(1)因为m⊥n，所以(2分)所以tanx=1．(5分)(2)因为m，n的夹角为，①(7分)设sinx＋cosx=a ②由①2＋②2得(10分)因x是锐角，所以a为正值，所以．(12分)19、解：(1)当时，L(x)=2＋0.5x当x＞30时，(注：x也可不取0)(2)当时，由L(x)=2＋0.5x=35得x=66，舍去．当x＞30时，由L(x)=0.6x－1=35得x=60．∴老王家该月用电60度．(8分)(3)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x．当0≤x≤30时，由L(x)＜F(x)，得2＋0.5x＜0.58x．∴x＞25．∴25＜x≤30．当x＞30时，由L(x)＜F(x)，得0.6x－1＜0.58x，∴x＜50．∴30＜x＜50综上，25＜x＜50．故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．(12分)20、解：(1)以O为原点建立如图所示的直角坐标系．由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系∵水轮每分钟旋转4圈，.∵水轮半径为4 m，∴A=4．．当t=0时，y=0，．．(6分)(2)由于最高点距离水面的距离为6，∴当k=0时，即t=5(s)时，点P第一次达到最高点．(12分)21、(1)由f(x＋1)=f(x)＋f(1)化简整理得k(x2＋x＋1)=0 (2分)当k=0时，有无数个x使上式成立，所以f(x)是“可拆函数”．(3分)当k≠0，方程x2＋x＋1=0 无实根，所以f(x)不是“可拆函数”．(4分)(2)因为函数f(x)=2x＋b＋2x是“可拆函数”所以方程2(x＋1)＋b＋2(x＋1)=2x＋b＋2x＋4＋b即2x=2＋b有实数根．(6分)所以b＋2＞0，b＞－2．(8分)(3)因cos(x＋1)=cosx＋cos1设g(x)=cos(x＋1)－cosx－cos1g(0)=cos1－1－cos1=－1＜0，所以g(x)在上至少有一个零点，即有x0使f(x0＋1)=f(x0)＋f (1)成立，所以f(x)=cosx是“可拆函数”(12分)22、解：(1)举反例即可．，所以f(－1)≠－f(1)，∴f(x)M．(4分)(2)∵f(x)M，∴f(－x)=－f(x)，即对定义域内任意实数x成立．化简整理得(2a－b)·22x＋(2ab－4)·2x＋(2a－b)=0，这是关于x的恒等式，所以．所以．又因为函数f(x)的定义域为R，所以不合题意．综上a=1，b=2．(8分)，因为2x＞0，所以2x＋1＞1，，从而；∵f(x)＜sinθ，，解得(12分)。
湖北省黄冈市2013年秋季高一年级期末考试
湖北省黄冈市2013年秋季高一年级期末考试化学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分共100分，考试时间90分种。
可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O：16 Na：23 Mg： 24 Al：27 Si：28 S：32 K：39 Ca：40 Fe：56 I：127第Ⅰ卷一、选择题（本题包括14小题，每小题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题意）1、下列图中所示的操作一般不用于进行物质的分离或提纯的是（）A．B．C．D．显示答案与解析2、下列关于物质检验的说法中正确的是（）A．往某溶液中滴加BaCl2溶液，产生白色沉淀，则原溶液中一定含SO42—B．往某溶液中通入CO2，产生白色沉淀，则原溶液中一定含SiO32—C．取某溶液进行焰色反应，焰色为紫色，则原溶液的溶质一定是钾盐D．往某溶液中滴加稀硝酸酸化的硝酸银溶液，产生白色沉淀，则原溶液中一定含Cl—显示答案与解析3、设N A为阿伏伽德罗常数的值，下列有关说法正确的是（）A．22.4L氯气用氢氧化钠溶液充分吸收，反应中转移了0.5N A个电子B．200℃时分子总数为0.5 N A的H2O与CO2的总体积为11.2 LC．2.3g钠与水反应产生氢气的分子数为0.05N AD．0.1 mol·L—1的NaCl溶液中含有0.1N A个Na＋显示答案与解析4、实验室欲配制480mL浓度为0.1mol·L—1的Na2CO3溶液，下列操作可以实现的是（）A．称量5.3gNa2CO3固体溶于480ml水配制成溶液B．称量5.3g Na2CO3固体溶于水配制成0.5L溶液C．称量5.3g Na2CO3·10H2O晶体溶于水配制成0.5L溶液D．称量5.3g Na2CO3·10H2O晶体溶于0.5L水配制成溶液显示答案与解析5、下列无色透明溶液中离子可以大量共存的是（）A．H＋、Na＋、Cl—、AlO2—B．Al3＋、NO3—、SO42—、MnO4—C．K＋、Ca2＋、OH—、HCO3—、D．NH4＋、NO3—、Cl—、CO32—显示答案与解析6、现有Si和Al2O3的固体混合物样品，加入NaOH溶液使混合物完全溶解，所得溶液中c（Na＋）：c（AlO2—）：c（OH—）=6：2：1，则原固体混合物中硅元素与氧元素的质量比为（）A．3：2 B．3：1C．7：8 D．7：16显示答案与解析7、下列有关说法正确的是（）A．氯水、液氯都含有氯气分子，均为混合物B．胶体与溶液的分散质粒子均可以通过滤纸C．SiO2与Al2O3都既可以与酸又可以与碱反应，故都是两性氧化物D．玻璃、水泥、陶瓷、光导纤维都是硅酸盐材料显示答案与解析8、已知氧化性：Fe3＋＞I2＞SO42—，下列说法或离子方程式正确的是（）A．2Fe3＋＋ SO2＋ 2H2O = 2Fe2＋＋ SO42—＋ 4H＋B．Fe3O4可写成FeO·Fe2O3，Fe3I8可写成FeI2·2FeI3C．还原性：Fe2＋＞SO2＞I—D．反应H2SO4（浓）＋ 2HI = I2＋ SO2↑＋ 2H2O不能进行显示答案与解析9、某矿石样品中可能含铁，为确定其成分，进行如下操作：下列有关说法正确的是（）A．向溶液乙中滴加KSCN溶液，溶液颜色变红，则原矿石样品中存在Fe3＋B．向溶液甲中滴加KSCN溶液，溶液颜色变红，则原矿石样品中存在Fe3＋C．向溶液乙中滴加少量氢氧化钠溶液，一定出现红褐色沉淀D．该矿石一定为赤铁矿显示答案与解析10、慢慢加入下列物质，其中能使浓度为0.5mol·L—1的CuSO4溶液的导电能力变化如图所示的是（）A．蒸馏水B．KCl晶体C．NaOH溶液D．Ba(OH)2溶液显示答案与解析11、下列操作过程中不能出现“先产生沉淀然后又完全溶解”现象的是（）A．向CaCl2溶液中通入CO2至过量B．向AlCl3溶液中滴加氢氧化钠溶液至过量C．向氢氧化铁胶体中滴加稀硫酸至过量D．向NaAlO2溶液中滴加盐酸至过量显示答案与解析12、下列图像正确的是（）A BC D显示答案与解析13、A、B、C、D、M均为中学化学常见物质，它们的转化关系如下图所示（部分生成物和反应条件略去）。
湖北省黄冈市高三数学上学期期末考试试题 文(扫描版)
湖北省黄冈市2014届高三数学上学期期末考试试题文（扫描版）新人教A版2013年秋季高三期末考试数学参考答案（文科）11.i 12. 45,45. 13. 18 14.15.(),0-∞ 16. 02222=---+y x y x 17. 16 三．解答题18、解：(1)f (x )的最正周期为2π，对称抽x …………6分（2）依题意得()sin()6f x x π=-，由[0,]2x π∈得：663x πππ-≤-≤，sin()063x π-=>， 从而可得cos()6x π-=cos cos[()]cos cos()sin sin()6666662x x x x ππππππ=-+=---=……12分19、解：（1）依题意则有n=16000.32=5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,y=5000×0.40=2000,z=5000×0.04=200,s=4005000=0.08,t=4005000=0.16……………………4分(2)依题意则有 S ＝22.5×0.08+27.5×0.16+32.5×0.40+37.5×0.32+42.5×0.04=32.9; ………………………………5分S 的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。
………………………………6分 （3）∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为40018002=，………………8分 ∴采用分层抽样法抽取6人中年龄在[20,25)岁的有2人，年龄在[25,30)岁的有4人，设在[25,30)岁的4人分别为a,b,c,d,在[20,25)岁中的2人为m,n ；选取2人作为代表发言的所有可能情况为（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)共有15种，其中恰有1人在年龄[25,30)岁的代表有（a,m ）,(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n) (d,m),(d,n),共8种，故概率815P =………………………………12分20.【答案】（1）.n a n =（2）1(1)22n n S n +=-⋅+（3）11221n-+ 【解析】(Ⅰ)()..121251.2363661236612n a d d d dd a a a a a a a a n =∴=⇒+=+⇒==--==…….4分 （Ⅱ）∵22na n n nb a n =⋅=⋅∴231222322nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅L23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅L相减，得23122222n n n S n +-=++++-⋅L2(12)12n -=-12n n +-⋅11222n n n ++=--⋅∴1(1)22n n S n +=-⋅+． …………………….8分（Ⅲ）()()()()()121122211.2121212221212322nn n n n n n n n n n nc ---====-+++++++⨯+则0112111111111.212121212121221n n n nT -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ………13分21.【答案】（1）22143y x -=（2）当且仅当23p =时FA FB ×u u u r u u u r 的最大值为9 【解析】（1）设双曲线2C 的标准方程为：22221y x a b -=则据题得：237abc ⎧=⎪⎨⎪=⎩双曲线2C 的标准方程为：（2）将22(0)y px p =>代入到中并整理得：22360x px -+= 设11221212(,),(,)0,0,0,0A x y B x y x x y y >>>>其中则∴当且仅当时FA FB ×u u u r u u u r的最大值为922.【答案】（Ⅰ）112b a c a=-⎧⎨=-⎩ （II (Ⅲ)见解析【解析】（Ⅰ），则有⎩⎨⎧=-==++=1)1(0)1(/b a f c b a f ，解得112b a c a =-⎧⎨=-⎩…3分故()ln f x x ≥在[)1,+∞上不恒成立. …………6分 若1x >,则()0g x '>,()g x 是增函数,所以()()10g x g >=即()ln f x x >,故当1x ≥时,()ln f x x ≥. …………8分 综上所述,所求a 的取值范围为分(Ⅲ由(Ⅱ)知,,有()ln f x x ≥, (1x ≥)且当1x >时分, 123k ,,,,n =L …………12分 将上述n 个不等式依次相加得分。
黄冈市2013年秋季期中高一数学必修1考试参考答案(word版)
2013年秋季模块一修习考试参考答案一、选择题 CAAAA CCCBA 二、填空题 11.-2 12.4 13. [- 14.{6,9,12} 15.(-16.解析:(1)条件知(xx……6分(2) 原式＝4×314×2－12×334×2－12－102－3＋300＋2＝－12.…………12分17. 解：(1)∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝a ＋12＝0，∴a ＝－12．…3分(2)∵f(x)＝－12＋14x ＋1，∵4x ＞0，∴4x＋1＞1，∴0＜14x ＋1＜1，∴－12＜－12＋14x ＋1＜12，∴f(x)值域为(－12，12)．…………8分(3)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝14x 1＋1－14x 2＋1＝4x 2－4x1( 4x 1＋1)( 4x2＋1) ∵x 1＜x 2，∴4x2－4x1＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＞0∴f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在R 内单调递减．…………12分18.解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A =∅⊆ 得，∵方程2(1)0x m x m +++=的判别式:22(1)4(1)0m m m ∆=+-=-≥, ∴B ≠∅, ∴{}1B =-或{}2B =-或{}1,2B =--.…………5分 ①若{}1B =-,则1m =;……7分②若{}2B =-,则应有(1)(2)(2)4m -+=-+-=-且(2)(2)4m =-⋅-=,这两式不能同时 成立 , ∴{}2B ≠-;……9分③若{}1,2B =--,则应有(1)(1)(2)3m -+=-+-=-且(1)(2)2m =-⋅-=, 由这两式得2m =.经检验知1m =和2m =符合条件.∴1m =或2.……………………12分19. 【解】 由x 2－2>0，得x <x，而函数的定义域是[a ，b ]，∴必有[a ，b ]⊂≠{ x <，或x，……3分 当b <时，22()log (2)y f x x ==-在[a ，b ]上单调递减． ∴()f x 的值域是[(),()]f b f a ，∴2()1,()log 14;f b f a =⎧⎨=⎩ 解得4,2.a b =-⎧⎨=-⎩ …………8分当a22()log (2)y f x x ==-在[a ，b ]上单调递增，∴()f x 的值域是[(),()]f a f b ，∴2()1,()log 14.f a f b =⎧⎨=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=⎩…………11分综上得4,2.a b =-⎧⎨=-⎩或2,4.a b =⎧⎨=⎩ …………12分20.解：（I ）时当5000≤≤x ，产品全部售出；当500>x 时，产品只能售出500台，故;)500()255000(125000)5000()255000(21500)(2⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+--=x x x x x x x f ……6分（II ）当时5000≤≤x;5.107812,475;1075001250012000025120000)(,500;5.107812)475(21)(2最大利润为时最大故当年产量为时当=-<-=>+--=xx f x x x f21………………7分………………14分。
湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理)期末考试
湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试考试时间：2014年1月20日下午14：30—16：30本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟．★★★ 祝考试顺利 ★★★第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数20132(12a i i i i+⋅-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． B ．1- C ．14 D ．14-2．已知,b c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥且直线a c ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A ．48 B ．56 C ．64 D ．724.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①()sin cos f x x x =；②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =+；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，12()log (1)f x x =-，则2011()4f -=（ ） A ．2- B ．12C ．D ．2 7.双曲线221x y a-=的一条渐近线与圆()2222x y -+=相交于,M N 两点，且2MN=，则此双曲线的离心率第3题图为（ ）AB．3 8．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤ 且02OP OB ≤⋅≤ ，则点P 到点C的距离大于14的概率为（ ） A ．5164π- B ．564π C ．116π- D ．16π9．已知数列{}n a 的通项222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则60S =（ ） A ．1840 B ．1880 C ．1960 D ．198010．已知函数()()()212ln f x a x x =---，1()xg x xe -=(a R ∈,e 为自然对数的底数)，若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，则a 的取值范围是（ ）A ．25-1e e -⎛⎤∞ ⎥-⎝⎦，B ．22,e e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．222e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ． 2522,1e e e e --⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11—14题）11．已知集合{}2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ⋂=___________．12．由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为___________． 则a 与b的夹角的取13．已知20a b =≠ ，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅= 有实根，值范围是___________．14.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．）， 第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1）试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个；（2）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲） 如图所示，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆O 上两点，如果第14题图46E ︒∠=，32DCF ︒∠=，则A ∠的度数是___________．16. （选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，过点18,2P π⎛⎫⎪⎝⎭引圆10sin ρθ=的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则线段AB 的长为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数()f x m n =⋅，其中()sin cos m x x x ωωω=+ ，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=- ，0ω>，()f x 的相邻两条对称轴间的距离大于等于2π．（1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c，3a b c =+=，当ω的值最大时，()1f A =，求ABC ∆的面积．18.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖．．长方体沉淀高度为b 米．已知箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）（1）求出,a b 满足的关系式；（2）问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分 数最小（A 、B 孔的面积忽略不计） ？19. 如图所示，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ︒∠=∠=，1,2AB AD CD a PD ====．（1） 若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； （2） 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．第15题图第18题图20．设数列{}n a 的首项112a =，且11(214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数）（为奇数），记211()4n n b a n N *-=-∈． （1）求23,a a ；（2）证明：{}n b 是等比数列； （3）求数列31n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21．如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MA MB ⊥；(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线,使得21S S =3217?请说明理由．22．已知函数1ln ()xf x x +=． （1）若函数在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()()221!1n n n e n N -*+>+⋅∈⎡⎤⎣⎦．湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试参考答案（附评分细则）一、选择题二、填空题11．[)2,6 12．2ln 2 13．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．(1)()61n - (2)15．99︒16．120138．动点(,)P a b 满足的不等式组为022022a b a b ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，画出可行域可知P 的运动区域为以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心且边的正方形，而点P 到点C 的距离小于或等于14的区域是以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心且半径为14的圆以及圆的内部，所以22145164P ππ⎛⎫-==- 9．222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22cos 3n n π=， 所以()()()22232313115323139222k k k a a a k k k k --++=----+=-，其中k N *∈ 所以60S =()5912202018905018402++⋅⋅⋅+-⨯=-=10．易得函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1()(]'2222()2,0,a x a f x a x e x x⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=--=∈当22x a =-时，'()0f x =，()f x 在22x a=-处取得最小值222ln 22f a a a ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭由题意知，()f x 在(]0,e 上不单调，所以202e a <<-，解得22e a e-<所以对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，当且仅当a 满足条件202f a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭且()1f e ≥因为(1)0f =，所以202f a ⎛⎫≤⎪-⎝⎭恒成立，由()1f e ≥解得251e a e -≤- 综上所述，a 的取值范围是25,1e e -⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦14. 观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比层数少1，所以：（1）第n层的点数为()61(2)n n -≥；（2）n 层六边形点阵的总点数为()16121n +⨯++⋅⋅⋅+-=()131n n +-令()131169n n +-=解得7n =-（舍去）或8n = 所以8n = 三、解答题17．解：（1）22()cos sin sin f x m n x x x x ωωωω=⋅=-+=cos 22x x ωω=2sin 26x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭----------------------------3分 因为0ω>，所以函数()f x 的周期22T ππωω== 由题意可知22T π≥，即T π≥，ππω≥----------------------------5分 解得01ω<≤-----------------------------6分（2）由（1）可知ω的最大值为1，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()1f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭----------------------------7分 而132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，所以3A π=-------------------------9分 而2222cos b c bc A a +-=，所以223b c bc +-= ① 而()22229b c b c bc +=++= ②联立①②解得：2bc =-------------------------11分所以1sin 2ABC S bc A ∆==-------------------------12分 18．解： （1）由题意可得242600,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩，即2300,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩------------------------6分注：若没写0,0a b >>，扣两分，少写一个扣1分（2）因为该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，所以当ab 最大时，该杂质的质量分数最小由均值不等式得2a b +≥（当且仅当2a b =时取等号）所以2a b ab ab ++≥+，即30ab +≤（当且仅当2a b =时取等号）-----------------------8分即0+-≤，0>≤18ab ≤-----------------------10分所以当且仅当218a b ab =⎧⎨=⎩即()()63a m b m =⎧⎪⎨=⎪⎩时，ab 取得最大值18，此时该杂质的质量分数最小 -------------------12分19．20．解： （1）21321313,4428a a a a =+=== ------------------2分（2）证明： 因为2114n n b a -=-，所以121221211111111142424424n n n n n b a a a a ++--⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------------------5分即112n n b b +=，------------------6分而1111044b a =-=≠，所以{}n b 是以14为首项，公比为12的等比数列-----------7分 注：若没写10b ≠，扣一分（3）1111122n n n b b -+⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以31nn b +=()1312n n ++ 所以()()()23131123212312n n T n +=⨯++⨯++⋅⋅⋅++()()()()3412231123212322312n n n T n n ++=⨯++⨯++⋅⋅⋅+-++--------8分两式相减得：()()2341312322216n n n T n ++=+-++⋅⋅⋅+---------10分 即()23228n n T n +=-+ --------12分21．解：（1）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联合考试数学(理)试题
湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学命题学校：黄冈中学考试时间：2013年1月30日15:00——17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，则z 等于（ ） A ．2i - B ．2i -- C ．12i + D ．12i -2．设集合{(,)|,},{(,)|20},{(,)|0}U x y x y A x y x y m B x y x y n =∈∈=-+>=+-≤R R ，那么点(2,3)()U P A B ∈ð的充要条件是（ ）A ．1m >-且5n <B ．1m <-且5n <C ．1m >-且5n >D ．1m <-且5n >3．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3a的概率为（ ） A ．127B ．116C ．19D ．134．设曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( ) A ．120()d S x x x =-⎰B ．120()d S x x x =-⎰C ．120()d S y y y =-⎰D．1(S y y =⎰5．函数()2lg(1)2x f x x =++-的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果 是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．457．设函数()y f x =在定义域内的导函数为()y f x '=，若()y f x =的图象如图1所示，则()y f x '=的图象可能为（ ）黄冈中学孝感高中8．已知两不共线向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，则下列说法不．正确．．的是（ ） A ．||||1==a b B ．()()+⊥-a b a b C ．a 与b 的夹角等于αβ- D ．a 与b 在+a b 方向上的投影相等9．已知直线1l ：11110(0)A x B y C C ++=≠与直线2l ：22220(0)A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为（ ）A ．12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=B ．12121212()()0A A B Bx y C C C C ---= C ．12121212()()0C C C Cx y A A B B -+-= D ．12121212()()0C C C Cx y A A B B ---= 10．若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．25πC ．50πD ．100π二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分． （一）必考题（11～14题）11．为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，则被抽查的男生的人数是 ．12．若8x π=是函数()sin cos f x a x b x=+（a 、b 均为常数）图象的一条对称轴，则()8f π的值为 ．13．在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 ．14．若0,2sin cos ,x x y x π⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩2z x y =+，则z 的取值范围是 ． （二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）15．（选修4－1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC 中，90B ∠=︒．O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2,1AD AE ==，则CD 的长为 ． 16．（选修4－4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线1:sin )1C ρθθ+=与曲线2:(0)C a a ρ=>的一个交点在极轴上，则a 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()|2|f x x =+．（1）解关于x 的不等式()|34|1f x x --≤；（2）若()||1f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的一段图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）若()cos3,()()()g x x h x f x g x ==，求函数()h x 的单调递增区间．19．（本小题满分12分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X ：①求X 的分布列；②求X 的数学期望． 20．（本小题满分12分） 如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==．又1AC =，120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒．（1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离．21．（本小题满分13分）已知斜率为2-的直线1l 与椭圆222:1(0)x C y a a+=>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为11(,)22E ．直线2l 与y 轴交于点(0,)(0)M m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,P Q ，O 为坐标原点，且,4,PM MQ OP OQ OM λλλ=+=∈R ．（1）求椭圆C 的方程； （2）求λ的值；（3）求m 的取值范围． 22．（本小题满分14分）在数列*{}()n a n ∈N 中，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若24()n n a b n=，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ； （3）求证：12121119nna a a a a a +++<．湖北省 2013届高三上学期期末联合考试理科数学参考答案1．D 解析：∵22i (2i)i 2i 112i i 1i z ++-====--，∴选择“D ”． 2．A解析：∵(2,3)()U P A B ∈ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩得1,5.m n >-⎧⎨<⎩故选择A ．3．A解析：符合条件的点P 落在棱长为3a的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得33()1327a P a==．故选A ． 4．B解析：将曲线方程2y x =与直线方程y x =联立方程组，解得0x =或1x =．结合图形可知选项B 正确．5．B解析：方法1：∵(0)10,(1)l g 20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点．又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点．方法2：由()0f x =得lg(1)22x x +=-+．作出函数()lg(1)g x x =+与()22x h x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点．6．C解析：11131223344++=⨯⨯⨯．故选C ． 7．D解析：∵当0x <时，函数()f x 为增函数，∴当0x <时，()0f x '>．又∵当0x >时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”．8．C解析：①A 显然正确．②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确． ③cos ,cos cos sin sin cos()||||αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a ba b a b a b ．当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b ．故C 不正确． ④∵22()()||||||||||||⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D 正确．故选择“C ”．黄冈中学孝感高中9．A解析：1l ：111110A B x y C C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=． ∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为12121212()()0A A B Bx y C C C C -+-=．故选“A ”．10．C解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长为=，∴球的表面积为50π，选择“C ”．11．48解析：设被抽查的男生的人数为n ．∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75．又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴612180.75n++=，得48n =．12．解析：∵对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴()8f π=13．2或3解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a =或3．14．[0,6π解析：作出可行域如图所示．直线2x y z +=与y 轴交于点(0,)2z ．设直线2x y z +=与曲线cos (0)2y x x π=≤≤相切于点A ．∵由1sin 2y x '=-=-得6x π=，∴(6A π，代入2x y z+=得6z π=(0,0)O 代入2x y z +=得0z =．故z 的取值范围为[0,6π．15．3解析：∵2AD AE AB =⋅，∴24AD AB AE==．设C D x =，则C B x =．∵222AB BC AC +=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3CD =．16解析：将极坐标方程化为普通方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=．在1C 中，令0y =，得x =，再将代入2C 得a =． 17．解：（1）由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,(2)(34)1,x x x <-⎧⎨-++-≤⎩或42,3(2)(34)1,x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4,3(2)(34)1,x x x ⎧≥⎪⎨⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或．（6分） （2）方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，则“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”．∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-．方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-．（12分） 18．解：（1）∵24()4123T πππ=-=，∴23T πω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+．∵点(,2)12π在图象上，∴2sin(3)212πϕ⨯+=，即sin()14πϕ+=，∴2()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即24k πϕπ=+．故()2sin(3)4f x x π=+．（6分）（2）2()2sin(3)cos32(sin 3cos cos3sin )cos33cos3cos 3)444h x x x x x x x x x πππ=+=+=+6cos61)sin(6)4x x x π=++=+．由262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()38324k k k ππππ-+∈Z ．（12分） 19．解：（1）记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =．① 2132322531()5C C P A C C ==．（3分）②22111323222323225317()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．（6分）（2）1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P X P X C P X ==⨯===⨯===⨯=．（9分） ①X 的分布列为②X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=．（12分） 【或：∵7(2,)10XB ，∴77()2105E X =⨯=】 20．解：方法1：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）取BC 的中点N ，连MN ．∵P M C N =，∴M N P C =，∴MN ⊥平面ABC．作NH ⊥ AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ．由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角．∵直线AM与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒．在ACN ∆中，AN =．在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=． 在Rt NCH ∆中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=．在Rt M NH ∆中，∵MHcos NH MHN MH ∠=． 故二面角M AC B --（8分） （3）作NE MH ⊥于E ．∵AC ⊥平面MNH ，∴AC NE ⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面MAC的距离为MN NH NE MH ⋅==．∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC．（12分） 方法2：（1）∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2分） （2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设(0,0,)P z ，则(0,0,)CP z =．13(0,1,),0)(,)22AM z z =--=． ∵2cos 60|cos ,|||||||3AM CP AM CP AM CP⋅︒=<>==⋅且0z >，∴12=，得1z =，∴3(,1)2AM =-．设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，则由0,0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得310,210,2y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n ．平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =．21cos ,||CP CP ||CP ⋅<>==⋅n n n ．显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M AC B--（8分） （3）点B 到平面MAC 的距离||||CB d ⋅==n n （12分） 21．解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212121,1,2y y x x y y x x -+=+==--．∵221121,x y a +=222221x y a +=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a +-++-=，即121212212()x x y y y y x x a +-++- 0=，即211(2)0a+⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=．（4分） （2）解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+（∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在）．由,4PM MQ OP OQ OM λλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧⎨+++= ⎩①②将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m ≠，∴3λ=．解法2：∵PM MQ λ=，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+=4OM ，∴(1)4OM OM λ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=．（8分）（3）将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=．∵3λ=， ∴由3434223423,2,212x x km x x k m x x k ⎧⎪=-⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩消去3x 、4x 得2222(1)41m k m -=-．由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41m m ->- 22(1)m -，即222(1)041m m m -<-，即(1)(1)0(21)(21)m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<．（13分） 22．解：（1）方法1：∵*13()n n S n n S n++=∈N ，且111S a ==，∴当2n ≥时， 3211214562(1)(2)112316n n n S S S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11S =也适合． 当2n ≥时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*(1)()2n n n a n +=∈N ． 方法2：∵1(3)0n n nS n S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得 11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n n na n a +=+，即12(2)n n a n n a n++=≥． 又∵可求得23a =，∴213a a =也适合上式．综上，得*12()n n a n n a n++=∈N ． 当2n ≥时，3211213451(1)112312n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11a =也适合， ∴*(1)()2n n n a n +=∈N ．（4分） （2）2(1)n b n =+．设2(1)(1)(1)n n n n c b n =-=-+．当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n nn n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++++==∴当n 为奇数（n ≥3）时，221(1)(2)34(1)22n n n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式．综上：得234(),2(3)().2n n n n T n n n ⎧++- ⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数（9分） （3）令()ln(1)f x x x =-+．当0x >时，∵1()101f x x'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<．令1(1,2,,)ix i n a ==，得11211ln(1)2()(1)1i i a a i i i i +<==-++， ∴11111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311ni i a n n n =+<-+-++-=-<++∑， 即12111ln[(1)(1)(1)]2n a a a +++<，即21212111e 9nna a a a a a +++<<．（14分）。
(完整word版)黄冈中学高一数学试题_配有详细答案
高一期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与A．①②B．①③C．③④D．①④2、设集合A={1，2}，B={0，1}，定义运算A※B={z|z=，则集合A※B 的子集个数为（）A．1B．2C．3D．43、已知，，，则m、n、p的大小关系（）A．B．C．D．4、下列函数中，在上为单调递减的偶函数是（）A．B．C．D．5、如果奇函数在上是增函数且最小值是5，那么在上是（）A．减函数且最小值是B．减函数且最大值是C．增函数且最小值是D．增函数且最大值是6、已知集合则（）A．B．C．D．7、若与且在区间上都是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．8、若则的元素个数为（）A．0B．1C．2D．39、函数的图像与的图像关于直线对称，则的单调增区间是（）A．B．C．D．10、已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、计算=_______．12、已知集合，，，则_______．13、函数的图象恒过定点，在幂函数f(x)的图象上，则f(9)=__________．14、设集合A=，B=，函数= 若，且A，则的取值范围是__________．15、已知偶函数满足，则的解集为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分）已知函数．（1）证明f（x）为奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明；17、（本小题满分12分）已知全集，A=｛x||x－1|≥1｝，Ｂ为函数的定义域，C为（）的定义域；（1）；；（2）若，求实数的取值范围；18、（本小题满分12分）已知二次函数满足条件，及．（1）求函数的解析式；（2）在区间[－1，1]上，的图像恒在的图像上方，试确定实数m的取值范围；19、（本小题满分12分）已知且，定义在区间(－b，b)内的函数是奇函数．（1）求函数的解析式及的取值范围；（2）讨论的单调性；20、（本小题满分13分）设是定义在R上的函数，对任意实数、，都有，且当＜0时，＞1．（1）证明：①；②当＞0时，0＜＜1；③是R上的减函数；（2）设a∈R，试解关于的不等式；21、（本小题满分14分）已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数；请解答以下问题：(1) 求闭函数符合条件②的区间；(2) 判断函数是否为闭函数？并说明理由；(3)若是闭函数，求实数的取值范围；详细答案：1、①中，两个函数的值域不同；②中与解析式不同；③④中函数的定义域、对应关系都相同．2、A※B=，子集个数为；3、．4、在上是递增函数，而是奇函数，均不符合．5、当，，设且；由题知：；又由为奇函数，可得：，所以；由奇函数图象特征，易知在上为增函数；6、集合表示的值域，；集合表示的定义域，，；7、二次函数的对称轴为，图象开口向下；由与在区间上都是减函数，则应满足：且，解得：．8、，得，解得：；又x∈Z，所以；，得或，且，解得：或，所以，，=．9、由题可得：，，令y＝f(4－x2)＝，y＝．在定义域上是减函数，由复合函数单调性可知：的单调增区间应为的单调减区间，且在该区间上；故．10、设则，因为在R上单调递增，由图象可知函数也是单调递增，由复合函数的单调性可知在定义域上递增，故；又，由图象可知：，则，解得．11、412、－1解析：由，知，所以只能，所以，此时M={1,0,b}，N={0，b，b2}，可得，，所以；代入即可得；13、解析：令，即；设，则，；所以， .14、解析：，即所以，即即，所以，即，解得：又由所以．15、解析：因为为偶函数，且当时为增函数，则时，为减函数；，所以可得：，解得：或．16、证明：(1)由题知f(x)的定义域为R，17、解：（1）解||≥1得：或，或；∵函数的自变量应满足，即∴或，∴B={x|x<－1，或x≥1}；={x|x<－1，或x≥2}，或，={x|0<x<1}.（2）∵函数的自变量应满足不等式．又由，，，，或，或，又.的取值范围为或.18、解：（1）令∴二次函数图像的对称轴为．∴可令二次函数的解析式为．由∴二次函数的解析式为.（2）在［－1，1］上恒成立，在［－1，1］上恒成立.令，则在［－1，1］上单调递减，∴19、解：（1），是奇函数，等价于对于任意都有成立，（1）式即为．，即，此式对于任意都成立等价于，因为，所以，所以；将a＝－2代入（2）式得：，即对于任意都成立，相当于，从而的取值范围为；（2）对于任意，且，由，得，所以，，从而=，因此在是减函数.20、解：（I）证明：（1）在中，令，得即∴或，若，则当x＜0时，有，与题设矛盾，∴（2）当x＞0时，－x＜0，由已知得＞1，又，＞1，∴0＜=＜1，即x＞0时，0＜＜1.（3）任取＜，则，∵＜0，∴＞1，又由(1)(2)及已知条件知＞0，∴＞，∴在定义域上为减函数.（II）=.又，在上单调递减.∴原不等式等价于≤0.不等式可化为≤0.当2＜，即＞时，不等式的解集为≤≤；当2=，即=时，≤0，不等式的解集为；当2＞，即＜时，不等式的解集为≤≤2.21、解：(1) 先证符合条件①：对于任意，且，有，，故是上的减函数．由题可得：，则，.而，，又，，，所求区间为.(2) 当在上单调递减，在上单调递增；（证明略）所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数（3）易知是上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；设为方程的二根，则，解得：，的取值范围．。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联考数学理试题(Word版含解析)
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将zi=2+i变形，可求得z，再将其分母实数化即可．解答：解：∵zi=2+i，∴z====1﹣2i，故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分））设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5考点：集合的包含关系判断及应用．专题：压轴题．分析：由P（2，3）∈A∩（∁U B）则点P既适合2x﹣y+m＞0，也适合x+y﹣n＞0，从而求得结果．解答：解：∁U B={（x，y）|x+y﹣n＞0}∵P（2，3）∈A∩（∁U B）∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0∴m＞﹣1，n＜5故选A点评：本题主要考查元素与集合的关系．3．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据点P与正方体各表面的距离都大于，则所在的区域为以棱长为的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．解答：解：符合条件的点P落在棱长为的正方体内，根据几何概型的概率计算公式得．故选A．点评：本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．4．（5分）（2012•湘潭三模）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．分析：画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．解答：解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选B．点评：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．5．（5分）函数f（x）=2x+x3﹣2的零点个数是（）个．A．0B．1C．2D．3考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，所以f（0）f（1）＜0，故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点，故函数f（x）=2x+x3﹣2在R上有唯一零点．故选B．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 程序框图． 专题： 图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，然后利用裂项求和即可求解解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解n=的值，而．故选C ． 点评： 本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能 7．（5分）设函数y=f （x ）在定义域内的导函数为y=f ′（x ），y=f （x ）的图象如图1所示，则y=f ′（x ）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象．解答：解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选D点评：解决函数的单调性问题，一般利用单调性与导函数符号的关系：导函数大于0函数递增；导函数小于0函数递减．8．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1 B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈[0，π]时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉[0，π]时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．9．（5分）已知直线：A1x+B1y+C1=0（C1≠0）与直线l2：A2x+B2y+C2=0（C2≠0）交于点M，O为坐标原点，则直线OM的方程为（）A．B．C．D．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：综合题；直线与圆．分析：将两直线的一般式中的常数项均变为1，验证O、M的坐标是否均满足该直线的方程即可判断．解答：解：x+y+1=0，l2：x+y+1=0，两式相减得（﹣）x+（﹣）y=0．∵点O、M的坐标都满足该直线的方程，∴点O、M都在该直线上，∴直线OM的方程为（﹣）x+（﹣）y=0．故选A．点评：本题考查两条直线的交点坐标，考查转化思想与分析验证能力，属于难题．10．（5分）若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．10πB．25πC．50πD．100π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为，∴长方体的外接球的半径为，∴球的表面积为50π，故选C．点评：本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11～14题）（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）11．（5分）（2012•临沂二模）为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．12．（5分）若是函数f（x）=asinx+bcosx（a、b均为常数）图象的一条对称轴，则的值为．考点：正弦函数的对称性；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由辅助角公式可得f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角），结合对称轴经过函数图象的最高点或最低点可求解答：解：∵f（x）=asinx+bcosx=（θ为辅助角）∵x=是函数的对称轴且对称轴经过函数图象的最高点或最低点，∴．故答案为：点评：本题考查了正弦函数的性质的应用，利用辅助角公式化简函数y=asinx+bcosx为一个角的一个三角函数的形式是求解问题的关键13．（5分）（2011•河南模拟）（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣16，则实数a的值为2或3．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用完全平方公式将第一个因式在看；利用二项展开式的通项公式求出第二个因式的x3，x2，x项的系数；求出（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数，列出方程求出a的值．解答：解：∵（1﹣ax）2=1﹣2ax+a2x2，又（1+x）6展开式的通项为T r+1=C6r x r，所以（1+x）6展开式中含x3，x2，x项的系数分别是C63；C62；C61．所以（1﹣ax）2（1+x）6的展开式中，x3项的系数为C63﹣2aC62+a2C61∴C63﹣2aC62+a2C61=﹣16解得a=2或a=3．故答案为：2或3．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力．14．（5分）若z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A 时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．15．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为3．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题．分析：利用圆的切线性质、切割线定理、勾股定理即可得出．解答：解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD2=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴．由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．由切线的性质可得：AB⊥BC，∴AB2+BC2=AC2，∴42+x2=（x+2）2，得x=3，即CD=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．16．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个焦点在极轴上∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上解得a=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=|x+2|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣|3x﹣4|≤1；（2）若f（x）+|x﹣a|＞1恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）依题意|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，通过分类讨论去掉绝对值符号，再解，最后取其并集即可；（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，利用绝对值的几何意义得|MA|+|MB|≥|AB|即可；方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）﹣|3x﹣4|≤1得|x+2|﹣|3x﹣4|≤1，即或或得解集为{x|x≤，或x≥}．（6分）（2）方法1：在数轴上，设点A，B，M对应的实数分别为﹣2，a，x，则“f（x）+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|x+2|+|x﹣a|＞1恒成立”⇔“|MA|+|MB|＞1恒成立”．∵|MA|+|MB|的最小值为|AB|，即|a+2|，∴|a+2|＞1，得a+2＞1，或a+2＜﹣1，即a＞﹣1，或a＜﹣3．方法2：由绝对值三角不等式得|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|a+2|，∴|a+2|＞1，解得a＞﹣1，或a＜﹣3．（12分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与绝对值不等式的几何意义，考查推理与运算能力，属于难题．18．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可求得其周期T，继而可求得ω，再利用点（，2）在图象上可求得φ，从而可求得其解析式；（2）利用三角函数间的关系及倍角公式，辅助角公式可求得h（x）=sin（6x+）+，利用正弦函数的单调性即可求得h（x）的单调递增区间．解答：解：（1）∵T=（﹣）=，∴ω==3，∴f（x）=2sin（3x+φ）．∵点（，2）在图象上，∴2sin（3×+φ）=2，即sin（φ+）=1，∴φ+=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ+．故f（x）=2sin（3x+）．（6分）（2）h（x）=2sin（3x+）cos3x=2（sin3xcos+cos3xsin）cos3x=（six3xcos3x+cos23x）=（sin6x+cos6x+1）=sin（6x+）+．由2kπ﹣≤6x+≤2kπ+（k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[﹣，+]（k∈Z）．（12分）点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的单调性，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．19．（12分）某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3个白球，2个红球，乙箱子里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．（1）求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题．分析：（1）①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；（2）确定在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，求出相应的概率，即可写出分布列，求出数学期望．解答：解：（1）①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=•=②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=•+•=且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣2=，P（X=1）=C21×（1﹣）=，P（X=2）=（2=，所以X的分布列是X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：方法1：（1）通过证明PC⊥平面ABC，然后证明PC⊥AC．（2）取BC的中点N，连MN，证明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．利用．求出二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）先证明NE⊥平面MAC，通过解三角形求出点N到平面MAC的距离，利用点N是线段BC的中点，推出点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍．方法2：（1）同方法一；（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），求出有关点的坐标，利用，求出设平面MAC的一个法向量为，求出平面ABC的一个法向量为．利用．得到二面角M﹣AC﹣B的余弦值．（3）利用点B到平面MAC的距离．解答：解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．在△ACN中，．在Rt△AMN中，．在Rt△NCH中，．在Rt△MNH中，∵，∴．故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点，∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．．∵，且z＞0，∴，得z=1，∴．设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由得得∴．平面ABC的一个法向量为．．显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．（8分）（3）点B到平面MAC的距离．（12分）点评：本题考查直线与平面的垂直的判定定理的应用，二面角的求法，点到平面的距离的求法，几何法与向量法的区别与联系，考查空间想象能力与计算能力．21．（13分）已知斜率为﹣2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为．直线l2与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O 为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）求λ的值；（3）求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；方程思想；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程作差，据中点坐标公式、直线斜率公式即可求得a2值；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m，由，用横坐标表示出来即可求得λ值；（3）将直线l2的方程与椭圆方程联立消y，由（2）的结论及韦达定理可得k，m的关系式，再由△＞0消掉k即可求得m的取值范围；解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵，，∴两式相减得，即=0，即，得，所以椭圆C的方程为2x2+y2=1．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），l2：y=kx+m（∵l2与y轴相交，∴l2的斜率存在）．由，得，得，即，将①代入②得（λ﹣3）m=0，∵m≠0，∴λ=3．（3）将y=kx+m代入2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0．∵λ=3，∴由消去x3、x4得，．由△＞0得k2＞2（m2﹣1），即2（m2﹣1），即，即，解得，或．所以m的取值范围为，或．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理、判别式是解决该类问题的基础知识，应熟练掌握，涉及弦中点问题常考虑“平方差法”．22．（14分）在数列中，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（3）求证：．数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）方法一：由已知变形得，利用“累乘求积”即可得出；方法二：利用得到a n的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前n项和公式，可先求出当n为偶数时的T n，进而即可得出n为奇数时的T n；（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．解答：解：（1）方法1：∵，且S1=a1=1，∴当n≥2时，，且S1=1也适合．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．方法2：∵nS n+1﹣（n+3）S n=0，∴（n﹣1）S n﹣（n+2）S n﹣1=0，两式相减，得n（S n+1﹣S n）=（n+2）（S n﹣S n﹣1），即na n+1=（n+2）a n，即．又∵可求得a2=3，∴也适合上式．综上，得．当n≥2时，，且a1=1也适合，∴．（2）．设．当n为偶数时，∵，∴．当n为奇数（n≥3）时，，且T1=c1=﹣4也适合上式．综上：得．（3）令f（x）=x﹣ln（1+x）．当x＞0时，∵，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．令，得，∴，∴，∴．点数列掌握数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、通项公式与前n项和的关系评：、“累乘求积”、构造函数并利用函数的单调性及裂项求和是解题的关键．。
黄冈市2013年秋季高一年级期末数学考试_图文
2013年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案一．选择题: CBBDC ACBAC二．填空题：11 ； 12 ； 13 ； 14 ；15 ②④三．解答题：16、【解析】(1……4分……6分(2……7分当，即时，A=,满足题意……9分当，即时，，解得：∴实数a的取值范围是……12分17.(1证明：由 (＋·(－＝||2－||2＝(cos2α＋sin2α－(＋＝0…4分故＋与-垂直．……5分(2由|＋|＝|-|，平方得3||2＋2·＋||2＝||2－2·＋3||,所以2(||2－||2＋4·＝0，…… 6分而||＝||，所以·＝0，……8分则(－×cosα＋×sinα＝0，即cosα=sina ……10分又0°≤α<180°，则α＝30°.……12分18.(1解：设x∈(－1,0，则－x∈(0,1，由x∈(0,1时，f(x＝知f(－x＝＝，……4分又f(x为奇函数知，－f(x＝，即f(x＝－.故当x∈(－1,0时，f(x＝－.……6分(2证明：设0<x1<x2<1，则f(x2－f(x1＝……8分……10分∴f(x2－f(x1<0.即f(x2<f(x1．因此，f(x在(0,1上是减函数．……12分19.【解】(1f(x＝sin(2x＋＋，故f(x的最小正周期T＝＝π. ……1分……2分当2x＋即f(x＝sin(2x＋＋单调递减，……5分故函数在……6分(2由题意g(x＝f(x－＋∴g(x＝sin[2(x－＋]＋＝sin(2x－＋，……8分当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，g(x是增函数，……10分∴g(xmax＝g(＝. ……12分20.解：（1）时，设(，将代入得时，……3分时，将代入，得……5分∴．……6分（2）当时，显然符合题意，,当时，解得，∴…10分∴，………12分老师在时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．…13分注：t∈[12,32]不扣分。
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三上学期期末联考数学文(Word版含解析)
湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三（上）期末联考数学试卷（文科）一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（）A．A∩B B．A∪B C．C U（A∩B）D．C U（A∪B）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先解分式不等式化简集合A，求出集合A与集合B的并集，观察得到集合{x|x≤0}是集合（A∪B）在实数集中的补集．解答：解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．所以A={x|＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|x≥1}，则A∪B={x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}={x|x＞0}，所以，集合{x|x≤0}=C U（A∪B）．故选D．点评：本题考查了分式不等式的解法，求解分式不等式时，可以转化为不等式组或整式不等式求解，考查了交、并、补集的混合运算．此题是基础题．2．（5分）已知是虚数单位，则（）2013的值是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：利用=i，再利用i的幂的性质即可求得答案．解答：解：∵=i，i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，即i n的值是以4为周期出现的，故=•=i2012•i=i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i及其性质，属于中档题．3．（5分）某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，用分层抽样的方法从三个年级抽取学生到剧院观看演出，已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，则高三观看演出的人数为（）A．14 B．16 C．20 D．25考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，结合高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，得到要抽取的高三的人数．解答：解：∵高中高一、高二、高三年级的学生人数之比是8：7：10，且已知高一抽取的人数比高二抽取的人数多2人，∴高三年级观看演出的人数为=20，故选C．点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1；命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0．下列结论中正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧﹣q”是真命题C．命题“﹣p∧q”是真命题D．命题“﹣pv﹣q”是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质及基本不等式可判断命题p的真假；根据二次函数的图象和性质及对数函数的单调性，可判断命题q的真假，进而复合命题真假判断的真值表可判断四个答案的正误．解答：解：∵2x＞0，2﹣x＞0，则由基本不等式可得2x+2﹣x≥2故命题p：∃x∈R，使2x+2﹣x=1为假命题；∵x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，故lg（x2+2x+3）≥lg2＞lg1=0故命题q：∀x∈R，都有lg（x2+2x+3）＞0为真命题故命题“p∧q”是假命题命题“p∧﹣q”是假命题命题“﹣p∧q”是真命题命题“﹣pv﹣q”是真命题故选C点评：本题以命题真假判断为载体考查了指数函数对数函数及二次函数的图象和性质，其中根据函数的图象和性质判断出两个简单命题的真假是解答的关键．5．（5分）已知平面向量、满足||=2，||=1，且2﹣5与+垂直，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式即可得出．解答：解：∵，∴，化为，∵||=2，||=1，∴2×22﹣=0，∴．∴===．又．∴．故选B．点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系及向量的夹角公式是解题的关键．6．（5分）已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，则“a≤8”是“+≥a恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式可得“+≥a恒成立”等价于a≤9，再根据{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，从而得出结论．解答：解：∵已知a∈R，x＞0，y＞0，且x+y=1，∴+=（x+y）（+）=5++≥9，当且仅当x=且y=时，取等号．故“+≥a恒成立”等价于a≤9．而{a|a≤8}⊊{a|a≤9}，故“a≤8”是“+≥a恒成立”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，基本不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．x﹣y+1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x﹣y+3=0。
湖北省黄冈市2013年秋季高一年级期末考试
湖北省黄冈市2013年秋季高一年级期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、cos210°等于（）A．B．C． D．显示答案与解析2、设集合U={1，2，3，4}，M={x∈U|x2－5x＋p=0}，若，则实数p 的值为（）A．－4 B．4C．－6 D．6显示答案与解析3、已知角α的终边过点P（－3，－4），则tanα等于（）A．－3 B．－4C．D．显示答案与解析4、已知函数，则f（x）在[0，2π]上的零点个数为（）A．1 B．2C．3 D．4显示答案与解析5、设，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c显示答案与解析6、函数y=的对称中心是（）A．B．C．D．显示答案与解析7、定义行列式运算．函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称轴的是（）A．B．C．D．显示答案与解析8、函数y=sinx，y=cosx和y=tanx具有相同单调性的一个区间是（）A．B．C． D．显示答案与解析9、已知向量中任意两个都不共线，且与共线，与共线，则向量等于（）A．B．C．D．显示答案与解析10、已知，，，（a＞0且a≠1），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是（）A B C D显示答案与解析二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、函数的图像恒过定点_________．显示答案与解析12、若函数，且f（－3）=5，则f（3）等于_________．显示答案与解析13、在△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，D是边BC上的一点，且，则的值等于_________．显示答案与解析14、已知，方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数为_________．显示答案与解析15、已知下列四个命题：①，，则；②设是已知的平面向量，则给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③任意的，存在，使得当x＞x0时，2x＞x k；④函数的最小正周期为2π．正确的有_________．显示答案与解析三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分）已知．（1）求的值；（2）若x是第三象限角，求三角式的值．显示答案与解析17、（本小题满分12分）已知△ABC为直角三角形，且∠A为直角，向量，．（1）求k的值；（2）在△ABC所在平面上有一点P，使得，求△APB的面积．显示答案与解析18、（本小题满分12分）已知函数的图象的一部分如下图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出它的单调减区间；（2）当时，求函数y=f（x＋2）的值域；（3）记，求S值．显示答案与解析19、（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为C（x）（万元），当年产量不足80千件时，．当年产量不小于80千件时，．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？显示答案与解析20、（本小题满分13分）如图所示，在□ABCD中，，AB=2，AD=1，点E、F分别是边AD、DC上的动点，且，BE与AC交于G点．（1）若，试用向量表示向量；（2）求的取值范围．显示答案与解析21、（本小题满分14分）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）若函数f2（x）=tanx是“（a，b）型函数”，求满足条件的实数对（a，b）所组成的集合；（3）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2－m（x－1）＋1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．显示答案与解析。
湖北省黄冈中学2013年秋季高一数学期末考试试题
湖北省黄冈中学2012年秋季高一数学期末考试试题一、选择题。
1.若，，与的夹角为，则等于（）A． B． C． D．2.函数，的图像与直线的交点有（）A．1个 B． 2个 C．3个 D．0个3. 函数的最小值、最大值和周期分别是（）A．－1，3，4 B．－1，1，2 C．0，3，4 D．0，1，24.三个数之间的大小关系是（）A..B.C.D．5.对于向量和实数，下列命题中正确的命题是（）A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则6. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的可能值是（）A． B． C．D．7.若是(A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形8. 如果，那么等于（）A． B． C． D．9. 在中，已知是边上一点，若，则（）A． B． C． D．10.函数y＝cos(ωx＋φ(ω＞0,0＜φ＜π为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2，则该函数的一条对称轴方程为(A． B． C． D．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11.函数的值域是.12. 已知，，则.13.已知向量，若与垂直，则.14.函数的定义域为.15.下列命题①若、都是单位向量，则；②终边在坐标轴上的角的集合是；③若、与是三个非零向量，则；④正切函数在定义域上单调递增；⑤向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得成立.则错误的命题的序号是.三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本题满分12分）已知向量，，，（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.18.（本题满分12分）已知全集，，，求：（1）；（2）.19. （本题满分12分）已知向量，（1）当时，求与的夹角的余弦值；（2）若，求函数的最大值和最小值.20. （本题满分13分）已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）求的单调区间；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，那么称函数为理想函数．(1 若函数为理想函数，求的值；(2 判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3 若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证：．。
高一上册数学上学期期末练习题真题42
湖北省黄冈中学2012-2013年秋季高一数学期末考试试题一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）1.若2a =，14b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅等于（ ）A B C ．14D 2.函数1sin y x =+，(0,2)x π∈的图像与直线32y =的交点有（ ） A ．1个B ． 2个C ．3个D ．0个3. 函数12cos 2y x π=-（）的最小值、最大值和周期分别是（ ） A ．－1，3，4B ．－1，1，2C ．0，3，4D ．0，1，24.三个数20.90.9,ln 0.9,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A.b c a <<.B.c b a <<C.c a b << D ．a c b << 5. 对于向量,,a b c 和实数λ，下列命题中正确的命题是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a =C ．若22a b =，则a b =或a b =- D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =6. 如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么ϕ的可能值是（ ） A ．3πB ．4π C ． 6π D ．56π7. 若20,AB BC AB ABC ⋅+=∆则是 ( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8. 如果(cos )sin 3f x x =，那么(sin )f x 等于（ ） A ．sin 3xB ．sin 3x -C ．cos3xD ．cos3x -9. 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示， A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22轴方程为( ) A ．2x π=B ．2x π=C ．1x =D ．2x =二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)11.函数siny =的值域是 .12. 已知(0,)θπ∈，1cos 3θ=，则tan θ= . 13.已知向量(1,),(1,)a n b n ==-，若2a b -与b 垂直，则a = .14.函数1()f x x=的定义域为 . 15.下列命题①若a 、b 都是单位向量，则a b =； ②终边在坐标轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈； ③若a 、b 与c 是三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅； ④正切函数在定义域上单调递增；⑤向量b (0)b ≠与a 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b a λ=成立. 则错误．．的命题的序号是 . 三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16. （本题满分12分）已知向量(1,2)a =，(,1)b x =，2u a b =+，2v a b =-（1）当//u v 时，求x 的值； （2）当u v ⊥时，求x 的值.已知3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα---+=---+（1）化简()f α； （2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值.18.（本题满分12分）已知全集U R =，{}|11A x x =-≥，3|02x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，求： （1）AB ；（2）()()U U A B u u 痧.19. （本题满分12分）已知向量(sin ,1)a x =，3(sin ,cos )2b x x = （1）当3x π=时，求a 与b 的夹角θ的余弦值；（2）若,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x a b =⋅的最大值和最小值.已知函数()sin()f x x b ωϕ=+-(0,0)ωϕπ><<的图像两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图像先向右平移6π()g x 为奇函数. （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间；（3）若对任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围.21. （本题满分14分）对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，那么称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2) 判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数()f x 为理想函数，假定存在[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．湖北省黄冈中学2012-2013年秋季高一数学期末考试参考答案 1—5 BBACB 6—10 DBDAC11. []1,1- 12. 13. 2 14. [4,0)(0,1)- 15.①③④⑤16. 【解析】2(12,4)u a b x =+=+，2(2,3)v a b x =-=- （1）当//u v 时，则3(12)4(2)x x +=-，得12x =（2）当u v ⊥时，则(12)(2)120x x +-+=，解得722x =-或.17.（本题满分12分）【解析】（1）3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2f ππαπαααππαα---+=---+sin cos sin()2cos cos()2παααπαα-=- cos sin cos sin αααα-==-；（2）31cos()cos()sin 225ππααα-=+=-=，∴1sin 5α=-又α是第三象限角，则cos α==，∴()f α=. 18.（本题满分12分）【解析】(1)Ａ＝｛ｘ｜ｘ－１≥１或x －1≤－1｝=｛x ｜x ≥2或x ≤0｝B =｛x ｜⎩⎨⎧≠-≥--020)2)(3(x x x ｝=｛x ｜x ≥3或x ＜2}∴A ∩B =｛x ｜x ≥2或x ≤0｝∩｛x ｜x ≥3或x ＜2}=｛x ｜x ≥3或x ≤0｝．(2) ∵U =R ，∴ðU A =｛x ｜0＜x ＜2，ðU B =｛x ｜2≤x ＜3∴(ðU A )∩(ðU B )=｛x ｜0＜x ＜2}∩｛x ｜2≤x ＜3}=∅． 19. （本题满分12分）【解析】（1）cos θ==（2）2325()(cos )416f x a b x =⋅=--+,又,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos x ⎡∈⎢⎣当cos 0x =时，有min ()1f x =； 当3cos 4x =时，有max 25()16f x =. 20. （本题满分13分） 【解析】（1）2=22ππω⨯，∴=2ω ∴()sin(2)f x x b ϕ=+-又()sin[2()]6g x x b πϕ=-+-0ϕπ<<，则3πϕ=，b =故()sin(2)3f x x π=+（2）增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）整理可得1()1()1m f x f x ≤+--，又1()1f x -≤-≤则1()1()1f x f x ≤+-≤-，故m ≤，即m 取值范围是⎛-∞ ⎝.21. （本题满分14分）【解析】（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．（2）显然12)(-=xx g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，故)(x g 是理想函数．（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，则∈-m n [0，1]，)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾． 故)(00x f x =。
黄冈市2012-2013学年高一下学期期末数学试题及答案7
湖北省黄冈市2012-2013学年高一下学期期末一、选择题（10*5=50分）1．过点(1,0)且与直线220x y --=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y +-= 2．设1,0a b c >><，给出下列三个结论：①c ca b>；②c c a b <；③log ()log ()b a a c b c ->-，其中所有的正确结论的序号是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 3．已知不等式2230x x --<的解集是A ，不等式260x x +-<的解集是B ，不等式20x ax b ++<的解集是A B ⋂，那么a =( )A ．3-B ． 1C ．1-D ．34．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，且co s c o s a A b B =，则此三角形为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形5．等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为,,A B C ，则（ ） A ．A B C += B ．2B AC = C ．2()A B C B += D ．22()A B A B C +=+6． 已知变量,x y 满足约束条件10020y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩， 则24x y z =⋅的最大值为（ ）A ．16B ．32C ．4D ．27． 已知数列{}n a 满足12111,1,||(2)n n n a a a a a n +-===-≥， 则该数列前2013项的和等于（ ）A ．1340B ．1341C ．1342D ．13438． 设,,l m n 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是（ ）(1)若//,//,l m m n l α⊥，则n α⊥； (2) 若//,,m l βαβα⊥⊥，则l m ⊥； (3)若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥； (4) 若//,,l m m n αα⊥⊥,则l n ⊥．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 9．一个体积为于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）A．．8 C．．1210． 曲线||||123x y -=与直线2y x m =+有二个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >或4m <-B ．44m -<<C ．3m >或3m <-D ．33m -<< 二、填空题（5*5=25分）11． 已知实数,x y 满足250x y ++= ,的最小值为_______； 12．一个直径为32厘米的园柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为________厘米； 13．在ABC ∆中，2,3,1AB AC AB BC ==⋅=，则BC =_______；14．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是_____；它的外接球的体积是_____；15．将正奇数排列如下表（第k 行共k 个奇数），其中第i 行第j 个数表示为(,)i j a i j N **∈．例如3311a *=,若2013i j a *=,则i j +=_______．135791113151719三、解答题（共6题）16．（本小题12分）已知两定点(2,5),(2,1)A B -，直线l 过原点，且//l AB ，点M （在第一象限）和点N 都在l 上，且||MN =如果AM 和BN 的交点C 在y 轴上，求点C 的坐标。
2013年黄冈市秋季期末调考高三数学理科考试试题答案
2013年黄冈市秋季期末调考高三数学理科考试试题答案D21、解答：(1)直线:2MN y x =-，设()()1122,,,M x y N x y222y x y px=-⎧⎨=⎩()24240x p x ⇒-++=121242, 4x x p x x ∴+=+=()()22221121214114244MN k x x x x p ∴=++-=++-⨯ 2241646p p =+=0p >2p ∴= ……………………4分（2）设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y则直线MD 的方程为：11x n x y n y -=+，代入抛物线方程22y px=，整理得，()211220p x n yy pn y ---=132y y pn∴=-，即312pn yy =-从而23212pn x y =，故点221122,pn pn P y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理，点222222,pn pn Q y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ……………………8分,,M E N三点共线1212y y x m x m∴=--211122x y y m x y my ∴-=-即()2221121222y y y y m y y p p-=-整理得122y ymp=-所以，()()()()12212143212222243121222212222222pn pny y y y mp y y y y y y k pn pn x x n px px n y y y y -+----====----()()21121m y y mk n x x n-==-即21k mk nλ== …………………………………………13分22、解答：（1）当0a =时，()ln(1),1f x x x x x =-+>- 当(]1,0x ∈-时，2()ln(1)f x xx =--+，21221()2011x x f x x x x ++'=--=-<++，()f x ∴在(]1,0-上是减函数；当()0,x ∈+∞时，2()ln(1)f x x x =-+，21221()211x x f x x x x +-'=-=++，令()0f x '>得，31x ->，()f x ∴在31⎛- ⎝⎭上单减，在31⎫-+∞⎪⎝⎭上单增 综上得，()f x 的单减区间是31⎛-- ⎝⎭，单增区间是31⎫-+∞⎪⎝⎭． ……………4分（2）当1a =-时，()()2()1ln 1ln 1f x x x x x x x =+-+=+-+[)()()220,,ln 11x x x x k x ∴∀∈+∞+-+≤+即()2ln 10kxx x -++≥，设()()2ln 1,0g x kxx x x =-++≥……5分当0k ≤时，(1)1ln 20g ≤-+<，不合题意；…………6分 当0k >时，12112()2111kx x k g x kx x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-+=++令()0g x '=得，10x =，21112xk=->-① 12k ≥时，21102x k=-≤，()0g x '>在()0,+∞上恒成立，()g x 在[)0,+∞上单增，()(0)0g x g ∴≥=，故12k ≥符合题意；……8分 ②当102k <<时，21102x k =->，对10,12x k⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0g x '<，()(0)0g x g <=，故102k <<不合题意．综上，k的最小值为12． ……………………9分(3)由（2）得，()2ln 12x x x -+≤①证明：当n ＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．当n ≥2时，令①式中()*221x i N i =∈-得()()222222ln 1ln 21ln 21212121nn ni i i i i i i i ===⎡⎤⎛⎫-+=-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥---⎝⎭⎣⎦∑∑∑()22ln 21ln 321ni n i ==-++-∑()22221ni i =≤-∑()()()2222221111212323212121nnn i i i i i i i n i ===⎡⎤⎡⎤<=-=-⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦-⎣⎦∑∑∑()221ln 211ln 32121ni n i n =∴-+<----∑()121ln 2121ln 322121ni n i n =∴-+<+--<--∑所以当n ≥2时不等式成立．命题得证． ……………………14分其他证法可参照给分．命题人：黄梅一中 熊习锋 胡浪 胡柳忠审题人：黄州区一中杨安胜。
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湖北省黄冈中学2012年秋季高一数学期末考试试题
一、选择题。
1.若2a = ，14
b = ，a 与b 的夹角为30
，则a b ⋅ 等于（ ）
A B C ．
14
D 2.函数1sin y x =+，(0,2)x π∈的图像与直线3
2
y =的交点有（ ） A ．1个
B ． 2个
C ．3个
D ．0个
3. 函数12cos 2
y x π
=-（）
的最小值、最大值和周期分别是（ ） A ．－1，3，4
B ．－1，1，2
C ．0，3，4
D ．0，1，2
4.三个数2
0.9
0.9,ln 0.9,2
a b c ===之间的大小关系是（ ）
A.b c a <<.
B.c b a <<
C.c a b << D ．a c b <<
5. 对于向量,,a b c
和实数λ，下列命题中正确的命题是（ ）
A ．若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =
B ．若0a λ= ，则0λ=或0a =
C ．若22a b = ，则a b = 或a b =-
D ．若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =
6. 如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称，那么ϕ的可能值是（ ） A ．
3
π B ．
4
π C ． 6
π
D ．56π
7. 若2
0,AB BC AB ABC ⋅+=∆ 则是 ( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
8. 如果(cos )sin3f x x =，那么(sin )f x 等于（ ） A ．sin3x
B ．sin 3x -
C ．cos3x
D ．cos3x -
9. 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123
AD DB CD CA CB λ==+
，，
则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23
-
10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示， A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴方程为( ) A ．2
x π
=
B ．2
x π
=
C ．1x =
D ．2x =
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)
11.函数sin
y =的值域是 .
12. 已知(0,)θπ∈，1
cos 3
θ=，则tan θ= . 13.已知向量(1,),(1,)a n b n ==- ，若2a b - 与b
垂直，则a = .
14.函数1
()f x x
=的定义域为 . 15.下列命题
①若a 、b 都是单位向量，则a b = ；
②终边在坐标轴上的角的集合是{|,}2
k k Z π
αα=∈； ③若a 、b 与c 是三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ；
④正切函数在定义域上单调递增；
⑤向量b (0)b ≠ 与a 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b a λ=
成立.
则错误．．
的命题的序号是 . 三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．)
16. （本题满分12分）
已知向量(1,2)a = ，(,1)b x =
，2u a b =+ ，2v a b =-
（1）当//u v 时，求x 的值； （2）当u v ⊥
时，求x 的值.
已知3sin()cos(2)sin()2()3cos()cos()2
f ππαπαααππαα---+
=
---+
（1）化简()f α； （2）若α是第三象限角，且31
cos()25
πα-=，求()f α的值.
18.（本题满分12分）
已知全集U R =，{}
|11A x x =-≥，3|02x B x x -⎧⎫
=≥⎨⎬-⎩⎭
，求： （1）A B ；（2）()()U U
A B u u 痧.
19. （本题满分12分）
已知向量(sin ,1)a x = ，3
(sin ,cos )2
b x x =
（1）当3
x π
=时，求a 与b 的夹角θ的余弦值；
（2）若,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x a b =⋅ 的最大值和最小值.
已知函数()sin()f x x b ωϕ=+-(0,0)ωϕπ><<的图像两相邻对称轴之间的距离是2
π，
若将()f x 的图像先向右平移
6
π
()g x 为奇函数. （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若对任意0,
3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，2
()(2)()20f x m f x m -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围.
21. （本题满分14分）
对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有
()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成
立，那么称函数()f x 为理想函数．
(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；
(2) 判断函数()21x
g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；
(3) 若函数()f x 为理想函数，假定存在[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．。