一线三角模型及例题

相似三角形判定的复习：

1.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

2.相似三角形的判定定理：

(1)两角对应相等两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

(3)三边对应成比例，两个三角形相似。

3.直角三角形相似的判定定理：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。

相似三角形的性质：

要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例

要点2：相似三角形的性质定理：

相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比

相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方

要点3：知识架构图

1、如图，锐角∆ABC的高CD和BE相交于点O，图中相似三角形有多少对？请分别写出.

2、如图，在锐角∆ABC中，∠ADE=∠ACB，图中相似三角形有多少对？请分别写出.

3、如图已知∠BAC=∠BDC=90°，8,16==∆∆ADE EBC S S . 问：∠BEC 的大小确定吗？若确定，求期度数；若不确定，请说明理由.

4、如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．求证： （1）

EG CG

AD CD

=

； （2）FD ⊥DG ．

G

F E

D

C

B

A

5、如图，四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥AB ,BD ⊥CD. S ∆EBC =16，S ∆AED =8.

(1)求

AD

BC

的值； （2）问：∠BEC 是不是定角？如果是，把它求出来；如果不是，请说明理由.

5、如图，在△ABC 中，角ACB 为直角，CD⊥AB 于点D ，又△ACE 与△BCF 都是等边三角形，连结DE 、DF ；

求证:DE⊥DF

E

A

D

C

F

B

A

B

C

D

E

中考热点：一线三等角型的相似三角形

一、问题引入

如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。 求证：ABC

CED ∆∆

B E

A

D

C

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

其他常见的一线三等角图形

（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）

A B D

C

E

F

（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）

等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。

（1）等腰三角形中一线三等角

例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，

并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．

（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．

F

B

A

C

D E

讲解：1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；

2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1就是这类题型；

3、第三问中间的三角形与左右两个形似时有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；

4、在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。

D

变式练习1 （浦东新区22题）

如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中 点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.

变式练习2（宝山22题）

如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：2

BF CE AB ⋅=；

F

E C

B

A

变式练习3

如图，在三角形ABC 中，AB=4，AC=2，∠A =900

，点D 为腰AC 中点，点E 在底边BC 上，且DE ⊥BD ，求△CED 的面积。

变式练习4

已知∠ABC=90°，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD

PC AB

=

，当AD AB ，

且点Q 在线段AB 的延长线上时，求QPC ∠的大小．