2020版高考数学新增分大一轮新高考专用精练：第九章第2讲 两直线的位置关系 Word版含解析

第2讲 两直线的位置关系
一、选择题
1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定
解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，
且k 1k 2≠－1.故选C.
答案 C
2.(2017·刑台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧a （a －2）＝3×1，a×1≠3×1，
解得a ＝－1，因此选C. 答案 C
3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )
A.19x －9y ＝0
B.9x ＋19y ＝0
C.19x －3y ＝0
D.3x ＋19y ＝0
解析法一
由⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37， 则所求直线方程为：y ＝37－197
x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.
法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，
即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－45，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.
答案D
4.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )
A.x ＋2y －1＝0
B.2x ＋y －1＝0
C.x ＋2y ＋3＝0
D.x ＋2y －3＝0
解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.
答案 D
5.(2017·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )
A.7
B.172
C.14
D.17
解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以
|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172，故选B. 答案 B
6.(2017·石家庄模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为( )
A.45
B.－45
C.2
D.－12
解析 依题设，直线l 的斜率k ＝2，∴tan α＝2，且α∈[0，π)，则sin α＝255，cos α
＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172π－2α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos α＝45. 答案A
7.(2017·成都调研)已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )
A.(3，3)
B.(2，3)
C.(1，3)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32 解析 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k1＝－3，
所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2).两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，
即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).故选C.
答案 C
8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线
方程为( )
A.x ＋2y －4＝0
B.2x ＋y －1＝0
C.x ＋6y －16＝0
D.6x ＋y －8＝0
解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为
y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确.
答案 A
二、填空题
9.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.
解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.
∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，
即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.
答案 －9
10.(2017·沈阳检测)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________.
解析 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；
设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，
即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2
， ∴k ＝2或k ＝－23.
∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.
答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0
11.(2017·深圳模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1，1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为________.
解析 因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2的斜率k ＝2，又直线l 2过点(－1，1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0，
3).
答案 (0，3)
12.(2017·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·
1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0. 又反射光线经过点N (2，6)，
所以所求直线的方程为
y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝0
13.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( ) A.102 B.10C.5 D.10 解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，
∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ 为直径的圆上，
∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D.
答案 D
14.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )
A.(0，4)
B.(0，2)
C.(－2，4)
D.(4，－2)
解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2经过定点(0，2).
答案B
15.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.
解析 易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直，
即△APB 为直角三角形，
∴|P A |·|PB |≤|P A|2＋|PB|22
＝|AB|22＝102＝5. 当且仅当|P A |＝|PB |时，等号成立.
答案 5
16.在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.
解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |
＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.∵k AC ＝6－23－1
＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，
即2x －y ＝0.①
又∵k BD ＝5－（－1）1－7
＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，
即x ＋y －6＝0.②
由①②得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩
⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4). 答案 (2，4)。