康托集Hausdorff维数

康托集Hausdorff 维数

姓名:彭发醇学号 :13151056学院:宇航学院

摘要:在文晓老师的选修课中，我们了解了一些关于在20世纪,伴着分形图形的研究而应运而生一种新的维度---分数维。而它便是能解释康托集的Hausdorff 维数

关键词:Hausdorff 维数康托集

正文:

康托集是由德国数学家Georg Cantor 引进的。我们这里给出简单的构造方式——康托五分集.下面求它的五分集的Hausdorff 维数。

由［0,1］区间组成的一条线段。

第一步,把这个线段分成五等份.不妨去掉第二段,即去掉了（1

255，）

，剩下来是有4段闭区间. 第二步,把这4个区间都分成五等份,各自去掉第二段,剩下了16条闭区间,

第三步,把这剩下的16条线段再等成五等分,各自去掉第二段,剩下了64条线段.

把第ｋ步操作之后剩下k 2个闭区间构成的集合记为K I ,这是一个

闭集.那么集合r ln (r)d lim ln r

N →∞=-是一个非空的闭集.则这个集合P 称为康托五分集.P 的性质有

(1)P 的长度是k 1k k 1415-+∞

=-∑=0; (2)P 是不可数的.

根据Hausdorff 维数概念,考虑一个度量空间 X 。记N(r)为用半径

为r 的小球去充满整个 X 所需要的小球的最少数目,r ln (r)d lim ln r

N →∞=-

那么d 就是X 的维数.下面考虑集合P,如果用r=110的小球(即长度为15

的区间)来盖住P,那么最少需要4个.如果再用r=150

的小球(即长度为125的区间)来盖住P ,那么最少需要16个,如果用r=k 125

⋅的小球(即长度为k 15的区间)来盖住P,那么最少需要k 4个小球.因此所求的康托集的维数应该为k k k ln 4ln 4d lim 1ln 5ln 25

→∞=-=⋅.它是介于0和1两个整数维数之间,是一个分数维数.

由以上的计算和推导过程可以很容易的得到任意有限等分的康托集的维数..即任意有限n 等分的康托集的Hausdorff 维数是

ln(n 1)ln n -. 结论:康托五分集的Hausdorff 维数是ln 4ln 5.而由此推广

得到任意有限m 等分的康托集的Hausdorff 维数是ln(n 1)ln n -. 参考资料 :1.《Hausdorff 维数讲座讲稿》文晓

2.[Hausdorff 维数] 百度百科