江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元一次方程期末复习
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[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程期末复习(1)
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x 10 2 61 18
x1
5 9
61
x2
5 9
61
(4) 2x2 5x 0 -------因式分解法
解： x(2x 5) 0
x 0 或 2x 5 0
x1 0
x2
5 2
选择适当的解法解下列方程
（1） 3x2－48= 0 （2） y2 + 2y － 24 = 0 （3） 2x2－6x－5= 0 （4） a (a－2)－5a2 = 0
回顾
（2）一元二次方程的一般形式是 _a_x2__bx__c _0_(a__0_) _。其中_a_x_2_叫二次项，
____a_是二次项系数；__bx___叫一次 项,____b__是一次项系数；__c____叫常数
项。 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5
化为一般形式 x2+.3x-3=0
2a
因式分解法 (x a)(x b) 0
根的判别式： b2
根与系数的关系：x1
4ac
x2
b a
, x1
x2
c a
应用
配方法求最值问题
实际应用
思想方法 转化思想； 配方法、换元法
回顾
（1）定义：只含有__1___个未知数，且未 知数的最高次数是__2__的整式方程，叫做 一元二次方程。
x2
1 2
先考虑开平方法,再用因式分解法;
最后才用公式法和配方法;
动动脑筋
选择最恰当的方法解下列一元二次方程 1、3x²-1=0 2、x（2x +3）=5（2x +3） 3、x²- 3 x +2=0 4、2 x ²-5x+1=0
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：圆复习练习(1)
圆的任意一条直径的两个端点把圆 分成两条弧，每一条弧都叫做半 B 圆． O ·
A C
外国语学校 初三数学组
九年级数学（上册）
小于半圆的弧（如图中的
）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中 的 ）叫做优弧.
B O
·
C
A
外国语学校 初三数学组
九年级数学（上册）
课堂大比武：
1、抢答:(判断正误)
教学目标： 1、对本章所学的知识进行回顾，把 本章知识、技能、思想 方法进行梳理和反思。 2、培养学生的归纳、总结能力，建 立起新旧知识之间的联系。
3、培养学生的语言表达能力。
教学重点和难点： 重点：对本章知识进行梳理，建立 起新旧知识之间的联系， 圆的概念和相关性质。 难点：用准确的语言表达出自己对 本章的认识和综合应用本 章知识解决问题。
一.知识结构： 1、为什么要学习圆的知识？ 2、本章学习了圆的哪些知识？ 圆在现实生活中广泛的应用 圆 概 念 对 圆心角与 称 圆周角的 性 关系 垂径 定理
直线与圆 的位置关系 弧长、扇形 面积、圆锥 侧面积
切 线 的 性 质 切 线 的 判 定 切 线 的 作 图
圆和圆的 位置关系
圆心角、弧、弦 之间关系定理
ห้องสมุดไป่ตู้
4.圆周角定理:一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理的推论1： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 圆周角定理的推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
三、练习： (一).填空、 1、 在一个圆中，如果圆心角相等，那 么它所对的弧____，所对的弦____； 2、在一个圆中，如果弧相等，那么 ______相等，____相等,____相等；
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一次函数的图象(1)
-3 -2
●
y 3 2 ● 1● -1 O ● -1● 1 ●
●
2
● 3 x
x 0 －２ -2 不相同时几条直线平行。 -3 y 当k相同且 0 －１ b
直线y=kx+b与y=kx的位置关系 直线y=kx+b经过点P（0，b）， 并且与直线y=kx平行。
y
（0，b）
y=kx+b y=kx
正比例函数y=kx的图象是经过原 点的一条直线；移 b 个单位得到
5.3 一次函数的图象(1)
——如何画一次函数的图象
回顾与思考
1.函数有哪几种表示方法?
如何画函数 y=2x+1的图象
列式、列表、画图
2.什么是函数的图象? 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的 值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐 标系内描出它的对应点，所有这些点组成的 图形叫做该函数的图象。
0
x
问题. 说出函数②、③的图象怎样 由函数①的
图象变化得到？
①y=2x、②y=2x-6、③y=2x+6
y=2x+6
向上平移 6个单位
y ③y=2x+6
①y=2x ②y=2x-6
o x
y=2x
向下平移 6个单位
y=2x-6
y
归纳
①y=2x
o
x
向右平移 3个单位
②y=2（x-3） y=2x-6
y=2x+6 ③y=2（x+3）
向左平移 3个单位
①y=2x
试一试
y=2x+3
向上平移 3个单位 y=2（x+5） 向左平移 5个单位 向右平移 4个单位
y=2x
y=2（x-4）
●
y 3 2 ● 1● -1 O ● -1● 1 ●
●
2
● 3 x
x 0 －２ -2 不相同时几条直线平行。 -3 y 当k相同且 0 －１ b
直线y=kx+b与y=kx的位置关系 直线y=kx+b经过点P（0，b）， 并且与直线y=kx平行。
y
（0，b）
y=kx+b y=kx
正比例函数y=kx的图象是经过原 点的一条直线；移 b 个单位得到
5.3 一次函数的图象(1)
——如何画一次函数的图象
回顾与思考
1.函数有哪几种表示方法?
如何画函数 y=2x+1的图象
列式、列表、画图
2.什么是函数的图象? 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的 值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐 标系内描出它的对应点，所有这些点组成的 图形叫做该函数的图象。
0
x
问题. 说出函数②、③的图象怎样 由函数①的
图象变化得到？
①y=2x、②y=2x-6、③y=2x+6
y=2x+6
向上平移 6个单位
y ③y=2x+6
①y=2x ②y=2x-6
o x
y=2x
向下平移 6个单位
y=2x-6
y
归纳
①y=2x
o
x
向右平移 3个单位
②y=2（x-3） y=2x-6
y=2x+6 ③y=2（x+3）
向左平移 3个单位
①y=2x
试一试
y=2x+3
向上平移 3个单位 y=2（x+5） 向左平移 5个单位 向右平移 4个单位
y=2x
y=2（x-4）
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一次函数复习(1)
猜猜k和b
的符号?
y
y kx b(k 0)
(0,பைடு நூலகம்)
y kx(k 0)
o x
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 经过点(0,b)且平行于直线y=kx (k≠0)的一条直线。
一次函数图象的相互位置关系 已知直线L1 :y1=k1x+b1 L2 : y2=k2x+b2 L1∥ L2 L1与 L2相交 L1与 L2 重合
(-6,0) 点坐标为________, 与y轴的交点坐标 (0,4) 。 为____________
5. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过
0， 0 1，k的 点（_____ ）， (______) 一条直线 。 _________
y 三、一次函数的增减性 y=kx+b y 的 y 值 y 也 y x. x x . . . . . . . . . . . . . . 随 x x x x 0 着 y 增 y 大
练习.
1、在下列函数中， x是自变量， y是x 的函数， 哪些是一次函数？哪些是正 比例函数？
y=2x
y=－3x+1
y=x2
5 y x
2.某风景区集体门票的收费标准为：20人以 内（含20人），每人25元；超过20人，超过部分 每人10元，则应收门票y元与游览人数x人之间的 关系式为：______________；
1 y x 对于函数 2
则y2 ＿＿＿ ＞ y1 对于函数
,若x2＞x1 ,
,
3 y x3 4
＞ x , 则y ＜y 若x2＿＿ 1 2 1
4、直线y=－3x－6与x轴的交点坐标 是 （－2，0），与y轴的交点坐标 为 （0，－6） .
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一次函数的图象(4)
大致图象
y
0 x y
性 质
y随着x增 大而增大
0
x
b＞ 0 k＜ 0
0
x
y
0
b＜ 0
y随着x增 大而减小
x
知识复习
1、y=-2x的图象经过二、四 象限，此时y随 着x的增大而 减小 。 2、如果正比例函数y=(m-3)x经过第一、三 象限,则m的取值范围_______. m ＞3 3、任意写出一个正比例函数，使它的图象 从左向右看呈上升趋势， 。 4、任意写出一个一次函数，使它的图象经 过第一、三、四象限，___________。
o A 1 3
●
5
x
-5
B
直线上到y轴距离等于1的点为(1,-2)或(-1,-6)。
例2： 已知一次函数y=2x－4
(5)当x为何值时，y＞0、y＝0、y＜0？
(5)当x＞2时，y＞0；
y
5 3 3
1 -5 -3 -1 -1 -3
●
当x=2时，y=0；
当x＜2时，y＜0；
o ●A 1 3
B
5
x
-5
⑵如直线y=3x+1经过点A(－1，m)， (-1, -2) 则点A的坐标为 ________.
练习
例1.已知直线y=－2x+6上点A 例题精讲
的横坐标为2，直线y=kx+b经过点
b的值.
2
1 A且与x轴相交于点B( ，0) ，求k、
变式1.一个一次函数的图象，与直线 y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线 y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这 个一次函数的解析式
A C
0
B x
例4：已知一次函数y=kx+b的图象经
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元一次不等式组复习
2 x 3 y 3m 1 的解满足x 0, y 0? 4 x 5 y m 9
9m-16 x= 11 解：解此法方程组得 5 m 7 y 11
9m 16 0 11 由题意得 5m 7 0 11
• 练习： • (1)在同一数轴上表示x＜2，x＞- 3的解集． • (2)在同一数轴上表示x＞- 4，x＞- 1的解集． • (3)在同一数轴上表示x＜2，x＜- 3的解集．
• (4)在同一数轴上表示x＞2，x＜- 1的解集．
大于小，小于大，取中间； •
同大取大； 同小取小； 大于大，小于小，无解。
解此不等式组得 7 16 - <m< 5 9
例2.
x-y=2k ① 已知方程组 的解x与y x+3y=1-5k ② 的和是负数，求k的取值范围。
1 k x 4 解：由方程组得 y 1 7k 4
∵x+y<0 解之得
1 k 1 7k 0 4 4
达标测试：
1.解不等式 3(X+3) <5(X-1)+7
2.a取什么值时，代数式4a+2的 值小于1？
1.填空题:
1 x 2 x 1
(1)不等式组 1
的解集是_________
2 x 2 （2）不等式组 的非正整数解集是
x 1
x 3
-1,0
3 不等式组
x2 x 5
的非负整数解是 _________
x=0,x=1
3 4 x 11 4 不等式组 1 x 1 x 的解集是_______ x>1 2 6 3
归纳总结 应用不等式组解决实际问题的步骤 1.审清题意； 2. 设未知数，根据所设未知数列 出不等式组； 3.解不等式组； 4. 由不等式组的解确立实际问题 的解； 5.作答.
9m-16 x= 11 解：解此法方程组得 5 m 7 y 11
9m 16 0 11 由题意得 5m 7 0 11
• 练习： • (1)在同一数轴上表示x＜2，x＞- 3的解集． • (2)在同一数轴上表示x＞- 4，x＞- 1的解集． • (3)在同一数轴上表示x＜2，x＜- 3的解集．
• (4)在同一数轴上表示x＞2，x＜- 1的解集．
大于小，小于大，取中间； •
同大取大； 同小取小； 大于大，小于小，无解。
解此不等式组得 7 16 - <m< 5 9
例2.
x-y=2k ① 已知方程组 的解x与y x+3y=1-5k ② 的和是负数，求k的取值范围。
1 k x 4 解：由方程组得 y 1 7k 4
∵x+y<0 解之得
1 k 1 7k 0 4 4
达标测试：
1.解不等式 3(X+3) <5(X-1)+7
2.a取什么值时，代数式4a+2的 值小于1？
1.填空题:
1 x 2 x 1
(1)不等式组 1
的解集是_________
2 x 2 （2）不等式组 的非正整数解集是
x 1
x 3
-1,0
3 不等式组
x2 x 5
的非负整数解是 _________
x=0,x=1
3 4 x 11 4 不等式组 1 x 1 x 的解集是_______ x>1 2 6 3
归纳总结 应用不等式组解决实际问题的步骤 1.审清题意； 2. 设未知数，根据所设未知数列 出不等式组； 3.解不等式组； 4. 由不等式组的解确立实际问题 的解； 5.作答.
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元二次方程
x2+10x-900=0
2.为了绿化学校附近的荒山,某校学生连续
三年春季上山植树,已知这些学生在七年级 时种了160棵,到了九年级增加到320棵.求 这个年级两年来植树的平均增长率． 分析： 设这两年的年平增长率为x. 已知七年级时种了160棵,则八年级时 种了160(1+x)棵; 同样,九年级时种的是八年级时的 （1+x)倍，即160(1+x)(1+x)=160(1+x)2 棵．可得方程 160(1+x)2=320
例3、分别根据下列条件，写出 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的一般形式(1)a=2，b=3，c=1； (2)二次项系数为5，一次项系数 为－3，常数项为－1；
1.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房 之间,开辟面积为900㎡的一块长方形绿地,并 且长比宽多10m,则绿地的长和宽名为多少? 解: 设长方形绿地的宽为xm,则长方形绿地 的长为(x+10)m. 根据题意得 整理可得 x(x+10)=900
2
2
(2)2(x -1)=3y 1 2 (4) 2 － =0 x x 2 (6)9x =5－4x
2
下列各式中哪些是一元二次方程？试说明理由。 1) 3 x 2 5 x 3 不是 2) x 2 4 是 x2 2 2 2 不是 3) 1 x 4) x 4 x 2 不是 x 1 1 2 5) x 2 不是 不是 6 ) 2 x 1 x
一次项系数是
，常数项是
。
， 。其中
3、cx2-ax-b=0中二次项系数是 一次项系数是 ，常数项是
系数包含符号
≠0
注意：
典型例题
• 例2.判断下列方程是否一元二次方 程，若是，指出二次项系数a，一 次项系数b和常数项c；若不是，说 明理由。 步骤：1、化简 • (1)x-7x2=0 2、降序排列（移 动时连同符号一 2 • (2)y = - 4 起） • (3)3x(x+2)=11+2(3x-5) 3、把二次项化为 正数 2 • (4) (x-1) +7x=x(x+1)
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元一次方程及其解法复习
(四)等式的性质： 1、若a=b,则a±c=b±c
2、若a=b,则ac=bc. a/c=b/c (c≠0)
注：等式的性质是解方程的理论 依据，但解方程时方程两边同乘 的数也不能为0。
• （五）一元一次方程：只含有一个未知数， 且未知数的次数是1，系数不为0，这样的 整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的最简形式： ax=b (a≠0 ) 一元一次方程的标准形式： ax+b=0 ( 其中x是未知数, a, b是已知数， 并且a≠0 )
4
B．由 5 2 x，移项得x 5 2
x 1 2x 3 C．由 6 8 1去分母得 4x 1 32 x 3 1
D．由 3x 2 4x 5， 去括号得3x 4x 2 5
2. 判断下列解方程的步骤是否正确， 错误的改正过来 （1）方程6x=-5x 移项得6x+5x=0( 对 ) （2）方程3(2x-3)=-2x 去括号得6x-3=-2x （ 错 ） （3）方程 y y 1 3 y 2 1
使得一元一次方程左右两边相等的 未知数的值叫一元一次方程的解(也 叫一元一次方程的根)
基础练习(一)
1、巳知a=b,下列四个式子中,不正 确的是（C ） A．2a=2b B．-2a=-2b C．a+2=b-2 D．a-2=b-2 2、下列四个式子中，一元一次方 程是（ Ｄ ） 2 x y 1 A、x 1 0 B、 C、12 7 5 D、 x 0
解： 去括号，得：
2x 4 12x 30 9 9x
移项，得：
2x 12x 9x 9 4 30 合并同类项，得： x 17
方程两边同除以-1，得： x 17
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一次函数的应用复习
Y（元）
100
（1）根据图象求出y与x 的函数关系式； （2）请回答电力公司的 收费标准是什么？
75 70
26
将剩余的土豆售完，这时他
20
手中的钱（含备用零钱）
是26元，他一共带了 多少千克土豆？
5 O 30 x /千克
生活中有许许多多的 问题是可以用一次函数 去解决的.
例1
一辆汽车在普通公路上行驶了35km后，驶入高速 公路，然后以105km/h的速度匀速前进。 1.你能写出这辆车本次出行行驶路程s（km)与它 在高速公路上的行驶时间t(h)之间的关系吗？ 2 .当这辆汽车的里程表显示本次出行行驶175km 时，你能说出它在高速公路上行驶了多长时间？
Ａ
l2 l1
40
20 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (分)
思考:你觉得如果让兔子后退40米,两者再同时
起跑,它们能同时到达终点吗?
s (米) 120 100 80
l2
l1
60
40 20 -4 -3 -2 -1 O -20 -40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (分)
2、一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃 烧5厘米，燃烧时剩下的高度h（厘米）与 燃烧时间t（时）的函数关系式的图象是 （ D ）
(A)
(B)
（C）
（D）
3.李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进， 中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分 种，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持 匀速行进，结果准时到校。在课堂上，李老师请 学生画出自行车行进路程S（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的示 意图如下，你认为正确的是（ ） C
100
（1）根据图象求出y与x 的函数关系式； （2）请回答电力公司的 收费标准是什么？
75 70
26
将剩余的土豆售完，这时他
20
手中的钱（含备用零钱）
是26元，他一共带了 多少千克土豆？
5 O 30 x /千克
生活中有许许多多的 问题是可以用一次函数 去解决的.
例1
一辆汽车在普通公路上行驶了35km后，驶入高速 公路，然后以105km/h的速度匀速前进。 1.你能写出这辆车本次出行行驶路程s（km)与它 在高速公路上的行驶时间t(h)之间的关系吗？ 2 .当这辆汽车的里程表显示本次出行行驶175km 时，你能说出它在高速公路上行驶了多长时间？
Ａ
l2 l1
40
20 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (分)
思考:你觉得如果让兔子后退40米,两者再同时
起跑,它们能同时到达终点吗?
s (米) 120 100 80
l2
l1
60
40 20 -4 -3 -2 -1 O -20 -40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (分)
2、一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃 烧5厘米，燃烧时剩下的高度h（厘米）与 燃烧时间t（时）的函数关系式的图象是 （ D ）
(A)
(B)
（C）
（D）
3.李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进， 中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分 种，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持 匀速行进，结果准时到校。在课堂上，李老师请 学生画出自行车行进路程S（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的示 意图如下，你认为正确的是（ ） C
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元一次方程的解法(2)
系数化为1,得
x=5
即2x=10。
系数化为1，得 x=5
练习解方程 (1) 5 = 3x – 4
解：移项，得
(2) 8-5X=X+2
解:移项,得
5+4=3x
合并同类项，得 9=3x
8-2=X+5X
合并同类项,得 6= 6X
即3x=9。
系数化为1，得x=3
即 6X=6
系数化为1,得x=1
例2
解:
解方程
3x-4（2x-7）=3
去括号,得 移项,得 合并同类项,得 化系数为1,得
3x-8x+28=3 3x-8x=3-28
-5 x=-25 X=5
方程变形中的去括号并不是 等式变形，而是等号两边的代 数式的变形，依据的是所熟悉 的去括号法则和分配律，去括 号的符号法则要熟练掌握。
例3:解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
解： 2x+3-5-5x=3x-3 2x-5x-3x=-3+5-3
- 6x = - 1 ∴x= -1/6
2（x+3）-5（1-x）=3（x-1）
改正:
解： 2x+6-5+5x=3x-3 2x+5x-3x=-3+5-6
4x = - 4 ∴x= -1
解方程:
(1) 4(4-y) =3(y-3); (2) 2(2x-1)=1-(3-x);
(x=12)
(x=－4)
(3)-5x=70
(4)x-8=-1
(x=－14) (x=7)
(x=-7) (x=3)
(5) 2x = - 14
(6)-3x = - 9
解方程：
（1） 3x＋3＝2x＋7 （2） 2x＋6＝1
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一次函数的应用(3)
(2)雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的 时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
◆变式
某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千 克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。 已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料 3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种 原料4千克、乙种原料10千克，可
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获利润1200元。
(1)、按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种 方案？请你给设计出来； (2)、设生产A、B两种产品获总利润为y (元)，其中一 种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并 利用函数的性质说明 (1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
◆甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和
出购买“个人年票”的售票入公园无需再购买门票；B类 年票每张40元，持票者每次进入公园时需再购买每次2元 的门票.现有甲、乙、丙三位游客在一年中分别选择用A 类年票、B类年票、一次性使用门票三种方式去游园，并 且乙、丙每人一年中恰好都进入该公园x次.
⑴请分别写出乙、丙每人一年的门票费支出（用含x的 代数式表示） ⑵在三位游客每人一年的门票费支出中，当甲的支出为 最少时： ①问乙、丙每人一年中进入该公园至少超过多少次？ ②求此时三位游客一年中游园共支出的门票费总额的最 小值.
一次函数的应用(3)
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◆例题1.某家电集团公司生产某种型号的新家电，
前期投资200万元，每生产一台这种新家电，后期 还需其他投资0．3万元，已知每台新家电可实现 产值0．5万元． (1)分别求出总投资额y1(万元)和总利润 y2(万元)关于新家电的总产量x(台)的函数关系 式． (2)当新家电的总产量为900台时，求该公司的盈 亏情况． (3)请你利用第(1)小题y2与x之间的函数关系式， 分析该公司的盈亏情况．
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元二次方程解法(因式分解法)
二次方程 一次方程
如何使二次方程降为一次方程?
因式分解。
用因式分解法解一元二次方程
先用因式分解 x 4 使 一元二次方程 2 x 4 0 化为两个一次式 ( x 2)(x 2) 0 的乘积等于零的 形式 , 再使这两个 x 2 0或x 2 0 一次式分别等于 x 2或x 2. 0,从而实现降次, 原方程的两个根为 这种解法叫做因 式分解法. x1 2, x2 2.
• 解下列方程： • （1） x 1 6 0
2
•
（ 2）
x 7 6 x
2
什么叫解一元二次方程? 求一个一元二次方程的根 的过程，叫解一元二次方程。
一 元 二 次 方 程
使得一个一元二次方程方程 左右两边的值相等的未知数的 值叫做这个一元二次方程的根。
小结 首页
解一元二次方程的基本思路
2
配方法的几个注意点
• • 系数化成1的方法: 方程两边都除以二次项系数;
系数 转化的步骤:____,____,____,____,____; 化成1 移项 配方 开方 求解
• 移项的目标是: 二次项与一次项放在方 程的左边,常数项放在方程的右边; • 配方的方法是:
方程两边都加上一次项系数的一半的平 方
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
例2.解方程
(1) 3 x2－27 = 0
解:3x2 － 27=0
x2 －9 = 0 一 元 二 次 方 程
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3 2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2
如何使二次方程降为一次方程?
因式分解。
用因式分解法解一元二次方程
先用因式分解 x 4 使 一元二次方程 2 x 4 0 化为两个一次式 ( x 2)(x 2) 0 的乘积等于零的 形式 , 再使这两个 x 2 0或x 2 0 一次式分别等于 x 2或x 2. 0,从而实现降次, 原方程的两个根为 这种解法叫做因 式分解法. x1 2, x2 2.
• 解下列方程： • （1） x 1 6 0
2
•
（ 2）
x 7 6 x
2
什么叫解一元二次方程? 求一个一元二次方程的根 的过程，叫解一元二次方程。
一 元 二 次 方 程
使得一个一元二次方程方程 左右两边的值相等的未知数的 值叫做这个一元二次方程的根。
小结 首页
解一元二次方程的基本思路
2
配方法的几个注意点
• • 系数化成1的方法: 方程两边都除以二次项系数;
系数 转化的步骤:____,____,____,____,____; 化成1 移项 配方 开方 求解
• 移项的目标是: 二次项与一次项放在方 程的左边,常数项放在方程的右边; • 配方的方法是:
方程两边都加上一次项系数的一半的平 方
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
例2.解方程
(1) 3 x2－27 = 0
解:3x2 － 27=0
x2 －9 = 0 一 元 二 次 方 程
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3 2 1 (3)(3x 2)(2 x 1) 0 x1 , x2 3 2
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：圆复习练习(2)
B A
P C
D
3、如图，⊙I是△ABC的内切圆，与 AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∠DEF＝50°，求∠A的度数．
(第 3 题)
4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知 ∠ACO＝30°，求∠B的度数
第4题
5、△ABC 的内切圆⊙O 与AB、BC、AC
分别相切于点D、E、F，且AB＝6，BC＝ 8，AC＝7，求BE的长.
8、如图，MN切⊙O于P，AB是⊙O的 弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N， 2 PQ⊥AB于Q。求证：PQ =AM· BN。
M P N
A
Q
O B
9、已知：如图，⊙O是△ABC的外接 圆，且AB=AC=13，BC=24，PA是 ⊙O的切线，A为切点，割线PBD过 圆心，交⊙O于另一点D，连结CD。 （1）求证：PA∥BC； （2）求⊙O的半径及A CD的长。
弦切角有什么性质？
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角
什么叫做三角形的内切圆？ 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内 切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
学.科.网
内切圆圆心有什么性质？
三角形的内心是三角形的三个内角的平分 线的交点,它到三角形的三边的距离相等
AB AC BC AD AF=AE= 2
公共点个数
圆心到直线距离d 与半径r 的关系 公共点名称 直线名称
2
d<r 交点 割线
1
d=r 切点 切线
0
d>r 无 无
圆的切线有什么性质？ ①、切线和圆有且只有一个公共点；
②、切线和圆心的距离等于半径。
③
圆的切线垂直于经过切点的半径。
如何判定一条直线与圆是否相切？
P C
D
3、如图，⊙I是△ABC的内切圆，与 AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∠DEF＝50°，求∠A的度数．
(第 3 题)
4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知 ∠ACO＝30°，求∠B的度数
第4题
5、△ABC 的内切圆⊙O 与AB、BC、AC
分别相切于点D、E、F，且AB＝6，BC＝ 8，AC＝7，求BE的长.
8、如图，MN切⊙O于P，AB是⊙O的 弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N， 2 PQ⊥AB于Q。求证：PQ =AM· BN。
M P N
A
Q
O B
9、已知：如图，⊙O是△ABC的外接 圆，且AB=AC=13，BC=24，PA是 ⊙O的切线，A为切点，割线PBD过 圆心，交⊙O于另一点D，连结CD。 （1）求证：PA∥BC； （2）求⊙O的半径及A CD的长。
弦切角有什么性质？
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角
什么叫做三角形的内切圆？ 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内 切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
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内切圆圆心有什么性质？
三角形的内心是三角形的三个内角的平分 线的交点,它到三角形的三边的距离相等
AB AC BC AD AF=AE= 2
公共点个数
圆心到直线距离d 与半径r 的关系 公共点名称 直线名称
2
d<r 交点 割线
1
d=r 切点 切线
0
d>r 无 无
圆的切线有什么性质？ ①、切线和圆有且只有一个公共点；
②、切线和圆心的距离等于半径。
③
圆的切线垂直于经过切点的半径。
如何判定一条直线与圆是否相切？
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：字母表示数期末复习(一)
1、下列各组是不是同类项： (1) 4abc 与 4ab
(2) -5 m2 n3 与 2n3 m2
k 2
不是 是
2、如果 3x y与 x y 是同类项, 那么k ２ 。
3、如果 2a b 与 3a b 是同类项, 3 。 那么 x 4 y ,
x 3 4 y
若5x2 y与 x m yn的和是单项式， m=( 2 ) n=( 1 )
知识回顾
----单项式
系数 次数 同类项
字 母 表 示 数
--- 整式 -----代数式
分 类
合并同类 项法则 去括号 法则
多项式----多项式的次数 项
法 则 整式的 加减
------
列代数式 求代数式的值
----
--
1.下面式子中符合书写要求的是(
A. ab3 C. B. 2 1 xy2
3
大显身手
4、
5、一个关于x、y的多项式，除常数项外， 其余各项的次数都是3，这个多项式最多 有（ 5 ）项。试写出一个这种要求的 多项式 （ 3 ) 2 2 3
x +x y+xy +y +1
合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得的结果作 为系数,字母和字母的指数保持不变.
问题二
下列各题合并同类项的结果对不对？ 若不对，请改正。
•
a-b2 (a-b)2
(2) (4)
a2-b2 ２n－５
．3.代数式应用:现代营养学家用身体质量
指数来判断人的身体健康情况，这个指数 等于人体质量（千克）除以身高（米）的 平方的商。一个健康人的身体质量指数在 20-25之间，身体质量指数低于18，属于不 健康的瘦，身体质量指数高于30，属于不 健康的胖。 • （1）设一个人的质量为w（千克），身高 为h（米），求他的身体质量指数。 • （2）周老师的身高为1.63米,质量为54千 克,求她的身体质量指数.
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元一次方程的解法(3)
① 是否含有一个未知数， ②且未知数次数是1, 未知数系数不为0， ③含未知数的代数式是整式. 只有满足这3个条件的， 才是一元一次方程。
练习（口答）：
1）下列方程是一元一次方程的有 _____________. ② ⑤
① 4x-7 ② 5y–3=2y+1 ③ 2x+y=2y－1 ④ 6x² -x=35 ⑤ 2x² -x+3=8+2x²
系数化为1，得
15 x 2
x 3 2x x （2 ） 5 2 解：方程的两边同乘以10， 去分母得 2 x 5(3 2 x) 10 x
想一想：解一元一次方程有哪些步骤？
解一元一次方程的步骤是： 要牢记：不要漏乘！ (1)去分母。 (2)去括号。 (3)移项。
注意项的符号的变化！· 注意项的符号的变化！·
, 得 3x 84. 移项合并同类项 系数化为1 , 得x 28.
解方程的步骤归纳：
步骤
去分 母
具体做法
依据
注意事项
在方程两边都乘以各 等式 分母的最小公倍数 性质2 不要漏乘不含分母的项
去括 一般先去小括号，再去 分配律 去括号 不要漏乘括号中的任何一项 号 中括号，最后去大括号 法则 移项 把含有未知数的项移 1）移动的项一定要变号， 到方程一边，其它项 移项 不移的项不变号 都移到方程另一边， 法则 2）注意移项较多时不要漏项 注意移项要变号 合并 把方程变为ax=b 合并同类 1）把系数相加 同类 （a≠0 ) 的最简形式 项法则 2）字母和字母的指数不变 项 系数 将方程两边都除以未知 等式 解的分子，分母位置 数系数a，得解x=b/a 性质2 化1 不要颠倒
母，我们可 先利用等式 的性质，去 掉方程的分 母，
练习（口答）：
1）下列方程是一元一次方程的有 _____________. ② ⑤
① 4x-7 ② 5y–3=2y+1 ③ 2x+y=2y－1 ④ 6x² -x=35 ⑤ 2x² -x+3=8+2x²
系数化为1，得
15 x 2
x 3 2x x （2 ） 5 2 解：方程的两边同乘以10， 去分母得 2 x 5(3 2 x) 10 x
想一想：解一元一次方程有哪些步骤？
解一元一次方程的步骤是： 要牢记：不要漏乘！ (1)去分母。 (2)去括号。 (3)移项。
注意项的符号的变化！· 注意项的符号的变化！·
, 得 3x 84. 移项合并同类项 系数化为1 , 得x 28.
解方程的步骤归纳：
步骤
去分 母
具体做法
依据
注意事项
在方程两边都乘以各 等式 分母的最小公倍数 性质2 不要漏乘不含分母的项
去括 一般先去小括号，再去 分配律 去括号 不要漏乘括号中的任何一项 号 中括号，最后去大括号 法则 移项 把含有未知数的项移 1）移动的项一定要变号， 到方程一边，其它项 移项 不移的项不变号 都移到方程另一边， 法则 2）注意移项较多时不要漏项 注意移项要变号 合并 把方程变为ax=b 合并同类 1）把系数相加 同类 （a≠0 ) 的最简形式 项法则 2）字母和字母的指数不变 项 系数 将方程两边都除以未知 等式 解的分子，分母位置 数系数a，得解x=b/a 性质2 化1 不要颠倒
母，我们可 先利用等式 的性质，去 掉方程的分 母，
江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：有理数复习5
（五）有理数的乘方： 求几个相同因数的积的运算叫做乘 方 an表示n个a相乘，其中a是底数， n是指数， an叫做幂 注：乘方实质上是乘法的简便写法 -3 2 2 在(-3) 中，底数是 ，指数是 3 2 2 在-3 中，底数是 ，指数是
； 。
（五）有理数的乘方：
正数的任何次幂都是正数， 负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数， 0的正整数次幂都是0。
三.有理数的应用问题：
（ 2 ）某企业第一季度的盈亏情 况如下：一月盈利28万元，二月 亏损44万元，三月盈利80万元， 该 企 业 第 一 季 度 共 盈 利 64万元 。
三.有理数的应用问题： （ 3 ）大年初一小明从家出发去 拜年，向西走了 3.5 千米到达小 红家，继续走了 2 千米到达小锋 家，然后向东走了 7.5 千米到达 小龙家，最后回家。小龙家距小 5.5 千米，小明一共走了 红家 _____ 15 千米。 _____
3 101
2 (2) 2 (2)
2 2 3
3
三.有理数的应用问题：
（ 1 ） 10 袋 化 肥 称 得 重 量 分 别 为 97kg ， 95kg ， 86kg ， 96kg ， 94kg ， 93kg ， 87kg ， 88kg ， 98kg ， 91kg ， 已知每袋额定重量为 90kg ，求这批 化肥的总重是多少kg?与额定总重量 相差多少？
（ 6 ）气象统计资料表明， 高度每增加 1000 米，气温就 降低大约6℃，现在某地8000 米高空的气温大约是零下 21℃ ， 则 地 面 气 温 是 27 ℃。 ______
（ 7 ）要拆掉由 1280 盆花组成的 一个花坛，第1次搬走一半，第2 次搬走剩下的一半，如此下去， 20 盆。 搬第 6 次后剩下的花有 ______ （8）有一张0.1毫米厚的纸，若 将它连续对折10次，则厚度是多 少？ 102.4毫米
[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程期末复习(3)
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例4、如图，要建造一个面积为130平 方米的小仓库，仓库的一边靠墙且墙 长16米，并在与墙平行的一边开一道1 米宽的门。现有能围成32米的木板， 求仓库的长和宽。
x
x
(32 2x) 1
三、二次三项式的因式分解
ax2 bx c a(x x1)(x x2 ) 其中x1、x2是方程ax2 bx c 0的两根
zxxkw
一元二次方程 学.科.网
复习(3)
1.回顾配方法的过程及应用 2.列一元二次方程解应用题的步骤, 应注意点. 3.用求根法分解二次三项式.
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一、知识网络图示
实际 问题
检验
分析数 量关系
一元二次方程
解法
1 直接开平方法 2 因式分解法
3 配方法
4 公式法
一元二次方程的根
配方法
练习.用配方法说明：不论x为何
值时，代数式x2＋8x＋17的值总 大于0z，xxkw 并求出当x取何值时，代
数式x2＋8x＋17有最大值或最小
值？最大值或最小值是多少？
例3.代数式2x2-8x+9何时能取得最小 值，最小值是多少？
练一练：
1、对于任意实数x，
多项式x2－5x+7的值是 (C )
值时多少?
解 : x2 6x 10 x2 6x 9 1 (x 3)2 1 (x 3)2 0 (x - 3)2 1 0 不论x取何值, 代数式x2 - 6x 10的值总大于零, 当x - 3 0时, 即x 3时, 代数式x2 - 6x 10的值最小,最小值是1
与另一个函数 y 2 x 1 x
的函数值互为相反数. 4、 已知等腰三角形的底边长为8，
[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程复习课
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一解为0，则m的值是
.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根，那么
代数式m2-m =
.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则
4a+c b
的值为
.
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知识回顾
对应练习3：解下列方程 1.(x+5)(x-5)=7 2.x(x-1)=3-3x
zxxkw
3.x2-4x-4=0 4.3x2+x-1=0 5.x2-x-12=0 6.x2+5x+6=0 7.x2+15x+50=0 8.y2-7y-18=0 9.y2-2y-120=0 10.m2-10m+24=0
zxxkwLeabharlann 一元二次方程复习课学.科.网
知识回顾
一、一元二次方程的概念
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
对应练习1：
1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般
形式 .其中二次项系数 ，常数项
.
2. 当m 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二 次方程. 当m 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是 一元一次方程.
D.50(1+x)2=182
谢谢！再见！
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,
b=
.
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知识回顾
五、一元二次方程与其他知识结合
1.一元二次方程与分式结合 典型题:若分式 x2 2x 3 的值为零,
| x3|
则x的值是 .
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知识回顾
2.一元二次方程与几何图形结合
典型题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰
[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程复习(1)
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(2)拓展练习:
中考直击
1.解方程x4－x2－6=0
2. (2005北京中考)已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
3、解方程：x2-5∣x∣-6=0
般形式是：2_x2_-_3_x-_1_=_0____, 其二次项
系数是___2_,一次项系数是__-_3_,常数
项是_-_1_zxxkw_. 3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于
x的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2
C.m=-2 D.m≠ ±2
（二）一元二次方程的解法
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 -3x+4=x 2 -7 (× )
(2) 2X2 = -4 (3)32X+5X-1=0
(√ ) (× )
(4)
3x 2 -
1 x
2
0
(× )
(5) x2 1 3
( ×)
(6)
y 4
y2
0
(√ )
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一
③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
x=
- b±
b2 2a
4ac
4、用分解因式法解方程： （y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
(2005福州中考) 解方程: (x+1)(x+2)=6
江苏省太仓市第二中学中考数学复习课件：一元一次不等式(组)
说明：此题公共解是实际问题的 解. 请同学们用不等式组解决实际问 题时，需要考虑其公共解是否一 定为实际问题的解呢？
例6．将若干只鸡放入若干个笼，若每 个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若 每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，那 么至少有多少只鸡，多少个笼？
解：设有x个笼有则(4 X+1)只鸡， 根据题意，得
2x＋8－9x＋3>6，
－7x＋11>6，
－7x>－5，
5
5
的任何得数时，x代<数7式
所以，当x取小于 7 X 4 的值与3X 1
的值差大于1。
3
2
1.由几个一元一次不等式所组成的不 等式组叫做一元一次不等式组.
2. 几个一元一次不等式的解集的 公共部分,叫做由它们所组成的一元 一次不等式组的解集.
0 1 2 3 45 6 7 8 9
解:原不等式组的解集为x3
(4) x2 x5
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
解:原不等式组的解集为x -5
大小小大取中间
x 2, (5)x 5. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
解:原不等式组的解集为-5<x<-2
- 7 <m< 16
5
9
练习.
已知方程组
x-y=2k ① x+3y=1-5k
的解x与y
②
的和是负数，求k的取值范围。
解：由方程组得
x
1
4
k
y
1
7k 4
∵x+y<0 1 k 1 7k 0 44
解之得
k1 3
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一元一次方程复习 (一)
一、本章内容的知识结构
一 元 一 次 方 程 解 一 元 一 次 方 程 一 元 一 次 方 程 的 解
实 际 问 题
分析
数量关系
等量关系
方程变形
运算
抽象
设元
解释
检验
一元一次方程复习
一、概念
1、方程：含有未知数的等式叫方程。
2、一元一次方程：在一个整式方程中， 只含有一个 未知数，且未知数的指数是1 次。
A 4 x－1 = 2 x ， B 3x－2 x = 7 ， C x－ 2 = 0 ， D x=y；
5.如果关于 x 的方程 2 x 是一元一次方程，那么 a 6.写一个根为 是 。
3a 2
1 0 １ 。
x 2的一元一次方程
7.已知方程 ax 3 2 x 的解是 x 2 , 则 a -3.5 。
x 13
2.
0.01 0.02 x 1 0.3 x 1 0.03 0.2
1 2x 10 3 x 1 3 2
解：原方程可化为：
去分母，得：
去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 方程两边同除以13，得：
21 2 x 310 3 x 6
2 4 x 30 9x 6 4x 9x 6 2 30 13x 34
1 3x 5 7 (D) x 2 (E) x 2 (F)3x+3＞1 其中是一元一次方程的有 A、E (填 序号）
3：给出下列方程，其中一元一次方程是 （D ） A
3x 4 y 0
y 5y 9
2
1 3 4 x B x
C
D
x 1
4、下列不是一元一次方程的是--（ D ）
选择题
2、方程 x －a = 7 的解是x =2，
则a = --------（ D ）
A. 1 ， B. －1 ， C. 5 ， D. －5 ；
3、方程
去分母后可得-----（ B ）
A. 3 x－3 =1＋2 x ，
x 3 1 2x 2 6
B. 3 x－9 =1＋2 x ，
C. 3 x－3 =2＋2 x ， D. 3 x－12=2＋4 x ；
合并 (ax=b)
系 数 化 成 1
练 习 题
填空题
1、方程5 x – 6 = 0的解 1.2 是x =________ ；
x x 1 2 、 2 5
5x-10 = 2x 得： .
方 程 去 分 母
选择题
1、方程 3x －5 = 7＋2 x 移项后得------------（D ） A. 3x－2 x = 7－5 ，B. 3x＋2 x = 7－5 ， C. 3x＋2 x = 7＋5 ，D. 3x－2 x = 7＋5 ；
3、方程的解：使方程左右两边的值相等 的未知数的值。
练习：
1、判断下列等式哪些是一元一次方程？ （1） （ 2） （ 4）
x 2x 2 0
2
（不是） （是） （是） （不是）
x 3 3x
x y 1
(3) x－2 = 0 ，
2、已知下列方程： (A)x+1=3(B)x-2y=3 (C)x(x+1)=2
5a+3=2a-1
(2) x 与7的和等于x的2倍与3的差的一半
x+7=(2x-3)/2
(3) y的三分之一比x的五分之一大4
y/3-x/5=4
(4) 某数的5倍比它的三倍多2,设该数为x,
则可列方程:
5x-3x=2
解一元一次方程的一般步骤
变 形 名 称 去 去 移 分 括 母 号 项
注
意
事
项
防止漏乘（尤其整数项），注意添括号； 注意变号，防止漏乘； 移项要变号，防止漏项； 1、系数相加。2、字母及其指数不变。 计算要仔细，分子分母不要颠倒
34 x 13
k 例2、若方程 kx x 6(k 1) 有正整 数解，则整数 k 的取值有（ D ）个
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：
( k 1) x 6
6 x k 1
要使
6 k 1 为正整数，
∴k=2, 3, 4, 7
k 1 > 0且k-1必为6的约数
即：k-1=1, 2, 3, 6
（方程的简单应用）
例3.代数式x+6与3(x+2)的值互为 相反数，则x的值为
-3 。
x4 6 例4.若 与 5 3
则x= -1.5 。
互为倒数，
练习
1、当 x=
9
互为倒数。 1 2、已知 x 2 是方程
1 时， x 3与 2
2 3
mx 1 2 m
8. 已知 X2m – 1+5=33是一元一次方程, 则 m= 1 X= 28
9、方程 （
a 2x
2
5x
m3
2 3
是一元一次方程，则a和m分别为---） B
A 2和 4 ， C 2 和 －4 ，
B －2 和 4 ， D －2 和－4 。
10. 读句子,列方程 (1) a的5倍与3的和等于a的2倍与1的差
的解，求 m 的值。
m 6
3 3.当a=_________ 时,关于x的方程
X+2 4
－
2X-a 6
=1的解是0.
例5.解关于x的方程：
ax+5=2x-1
例1、解方程 x 3 4 x 1 1
2 5
解： 去分母，得： 5( x 3) 2(4 x 1)
10
去括号，得： 移项，得：源自5 x 15 8 x 2 10 5 x 8 x 10 15 2
合并同类项，得： 3 x
27
系数化为1，得：
x 9
注：去分母时需注意：
①所选的乘数是所有分母的最小公倍数； ②用这个最小公倍数去乘方程两边时，不 要漏掉等号两边不含分母的项； ③去掉分母时，分数线也同时去掉，分子 上的多项式要用括号括起来。
巩固练习
解方程：
2x 5 3 x 1 6 4
0.01 0.02 x 1 0.3x 1 0.03 0.2
4 x 1
2x 5 3 x 1. 1 6 4
去分母，得： 解、 12 2( 2x 5 ) 3( 3 去括号，得：
x)
12 4x 10 9 3x
4 x 3 x 9 12 10 移项，得： 合并同类项，得： x 13
方程两边同除以-1，得：
一、本章内容的知识结构
一 元 一 次 方 程 解 一 元 一 次 方 程 一 元 一 次 方 程 的 解
实 际 问 题
分析
数量关系
等量关系
方程变形
运算
抽象
设元
解释
检验
一元一次方程复习
一、概念
1、方程：含有未知数的等式叫方程。
2、一元一次方程：在一个整式方程中， 只含有一个 未知数，且未知数的指数是1 次。
A 4 x－1 = 2 x ， B 3x－2 x = 7 ， C x－ 2 = 0 ， D x=y；
5.如果关于 x 的方程 2 x 是一元一次方程，那么 a 6.写一个根为 是 。
3a 2
1 0 １ 。
x 2的一元一次方程
7.已知方程 ax 3 2 x 的解是 x 2 , 则 a -3.5 。
x 13
2.
0.01 0.02 x 1 0.3 x 1 0.03 0.2
1 2x 10 3 x 1 3 2
解：原方程可化为：
去分母，得：
去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 方程两边同除以13，得：
21 2 x 310 3 x 6
2 4 x 30 9x 6 4x 9x 6 2 30 13x 34
1 3x 5 7 (D) x 2 (E) x 2 (F)3x+3＞1 其中是一元一次方程的有 A、E (填 序号）
3：给出下列方程，其中一元一次方程是 （D ） A
3x 4 y 0
y 5y 9
2
1 3 4 x B x
C
D
x 1
4、下列不是一元一次方程的是--（ D ）
选择题
2、方程 x －a = 7 的解是x =2，
则a = --------（ D ）
A. 1 ， B. －1 ， C. 5 ， D. －5 ；
3、方程
去分母后可得-----（ B ）
A. 3 x－3 =1＋2 x ，
x 3 1 2x 2 6
B. 3 x－9 =1＋2 x ，
C. 3 x－3 =2＋2 x ， D. 3 x－12=2＋4 x ；
合并 (ax=b)
系 数 化 成 1
练 习 题
填空题
1、方程5 x – 6 = 0的解 1.2 是x =________ ；
x x 1 2 、 2 5
5x-10 = 2x 得： .
方 程 去 分 母
选择题
1、方程 3x －5 = 7＋2 x 移项后得------------（D ） A. 3x－2 x = 7－5 ，B. 3x＋2 x = 7－5 ， C. 3x＋2 x = 7＋5 ，D. 3x－2 x = 7＋5 ；
3、方程的解：使方程左右两边的值相等 的未知数的值。
练习：
1、判断下列等式哪些是一元一次方程？ （1） （ 2） （ 4）
x 2x 2 0
2
（不是） （是） （是） （不是）
x 3 3x
x y 1
(3) x－2 = 0 ，
2、已知下列方程： (A)x+1=3(B)x-2y=3 (C)x(x+1)=2
5a+3=2a-1
(2) x 与7的和等于x的2倍与3的差的一半
x+7=(2x-3)/2
(3) y的三分之一比x的五分之一大4
y/3-x/5=4
(4) 某数的5倍比它的三倍多2,设该数为x,
则可列方程:
5x-3x=2
解一元一次方程的一般步骤
变 形 名 称 去 去 移 分 括 母 号 项
注
意
事
项
防止漏乘（尤其整数项），注意添括号； 注意变号，防止漏乘； 移项要变号，防止漏项； 1、系数相加。2、字母及其指数不变。 计算要仔细，分子分母不要颠倒
34 x 13
k 例2、若方程 kx x 6(k 1) 有正整 数解，则整数 k 的取值有（ D ）个
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：
( k 1) x 6
6 x k 1
要使
6 k 1 为正整数，
∴k=2, 3, 4, 7
k 1 > 0且k-1必为6的约数
即：k-1=1, 2, 3, 6
（方程的简单应用）
例3.代数式x+6与3(x+2)的值互为 相反数，则x的值为
-3 。
x4 6 例4.若 与 5 3
则x= -1.5 。
互为倒数，
练习
1、当 x=
9
互为倒数。 1 2、已知 x 2 是方程
1 时， x 3与 2
2 3
mx 1 2 m
8. 已知 X2m – 1+5=33是一元一次方程, 则 m= 1 X= 28
9、方程 （
a 2x
2
5x
m3
2 3
是一元一次方程，则a和m分别为---） B
A 2和 4 ， C 2 和 －4 ，
B －2 和 4 ， D －2 和－4 。
10. 读句子,列方程 (1) a的5倍与3的和等于a的2倍与1的差
的解，求 m 的值。
m 6
3 3.当a=_________ 时,关于x的方程
X+2 4
－
2X-a 6
=1的解是0.
例5.解关于x的方程：
ax+5=2x-1
例1、解方程 x 3 4 x 1 1
2 5
解： 去分母，得： 5( x 3) 2(4 x 1)
10
去括号，得： 移项，得：源自5 x 15 8 x 2 10 5 x 8 x 10 15 2
合并同类项，得： 3 x
27
系数化为1，得：
x 9
注：去分母时需注意：
①所选的乘数是所有分母的最小公倍数； ②用这个最小公倍数去乘方程两边时，不 要漏掉等号两边不含分母的项； ③去掉分母时，分数线也同时去掉，分子 上的多项式要用括号括起来。
巩固练习
解方程：
2x 5 3 x 1 6 4
0.01 0.02 x 1 0.3x 1 0.03 0.2
4 x 1
2x 5 3 x 1. 1 6 4
去分母，得： 解、 12 2( 2x 5 ) 3( 3 去括号，得：
x)
12 4x 10 9 3x
4 x 3 x 9 12 10 移项，得： 合并同类项，得： x 13
方程两边同除以-1，得：