81位移法
08第八章_位移法
第八章位移法本章的问题：A.什么是位移法的基本未知量？B.为什么求内力时可采用刚度的相对值，而求位移时则需采用刚度的真值？C.在力法和位移法中，各以什么方式来满足平衡条件和变形连续条件？D.位移法的基本体系和基本结构有什么不同？它们各自在位移法的计算过程中起什么作用？E.直接平衡法和典型方程法有何异同？F.力法和位移法的优缺点？G.在位移法中如何运用结构的对称性？§8-1位移法概述对图8-1所示单跨梁，象力法[例题7-4]-[例题 7-6]那样进行求解，从而可建立表8-1所示杆端内力。
需要指出的是，对于斜杆除表中所示弯矩、剪力外，还有轴力。
由位移引起的杆端内力称为“形常数”（shape constant）。
由“广义荷载”产生的杆端内力称为“载常数”（load constant），其中外荷载产生的杆端内力称为固端内力（internal force of fixed-end）。
杆端内力的符号及正、负规定见第3章。
两端固定一固一铰一固一定向图8-1 位移法基本单跨梁示意图*P。
P 。
P 有了表8-1，则图8-2 所示的两端固定单跨梁，利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力。
例如A 端杆端弯矩为F4322122646ABAB M l EI lEI l EI l EI M ++-+=∆∆∆∆ （a ） A 端杆端剪力为图8-2单跨梁杆段位移和荷载作用AB3∆4∆2∆1∆FQ 42332213Q 612612AB AB F l EI l EI l EI l EI F ++-+=∆∆∆∆ （b ）式（a ）和式（b ）中FAB M 和F Q AB F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。
同理，也可叠加得到B 端的杆端内力BA M 和BA F Q 。
这些将杆端位移和杆端内力联系起来的式子，称为两端固定单跨梁的转角位移方程（slope-deflection equation ）或刚度方程（stiffness equation ）。
《结构力学》第八章-位移法
4
⇁2 R2P
0
对R 于1P；系附数加是和链r1附1=自杆7加i由上,链项的杆可反上分力的为，反两可，力类分r：别2R11、P在=r附图22和加(a)R刚、2P臂(。b可上)、分的(c别反）在力中图矩用(a截r)11、面、(法rb1)2、割、(断和c)
两中柱取顶结端点，1为取隔柱离顶体端，以由上力横矩梁平部衡分方为程隔∑M离1体=0，求由得表：8r1—1=71i查, 出杆端
(b)
MAB
逆时针为正)。 图中所示均为正值。
B′ MBA
B
6
用力法解此问题，选取基本
A
结构如图。多余未知力为X1、X2。 力法典型方程为
EI
L
11X1+12X2+ △1△=A 21X1+22X2+ △2△=B
A
A′
AB
为计算系数，作 、 。
由图乘法算出：
X1
，
1
，
由图知
这里，AB称为弦转角，顺时针为
AB
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
个独立线位移(侧移)。例如(见图a）
（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生
各种位移时以及荷载等因素作用下的内力。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。
（3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
位移法结构力学知识点概念讲解
位移法结构力学知识点概念讲解1.结构位移：结构在受力作用下会发生形变，而位移描述了结构各点之间的距离变化。
位移可以分为水平位移和竖向位移，用于表示结构在水平和竖直方向的变形情况。
2.自由度：结构的自由度是指结构中可以自由变动的独立变量的个数。
自由度越多，结构描述和计算的精度越高。
常见的自由度有平动自由度和转动自由度，平动自由度用于描述结构的水平位移，而转动自由度用于描述结构的转动变形。
3.约束条件：结构中存在的各种约束条件限制了结构的自由度。
约束条件是指结构中一些部分的位移受到限制，不能随意变动。
常见的约束条件有支座和铰链等，它们可以限制结构的平动和转动自由度。
4.单元：位移法将结构划分为若干个单元，每个单元由一组节点和单元内部的位移函数组成。
节点是指结构中的一些特定点，单元内部的位移函数用于描述该单元内部各处的位移情况。
6.节点位移：节点位移是指结构中各个节点的位移，它通过节点的约束条件和单元的位移函数之间的关系得到。
节点位移是位移法计算的核心内容，通过计算节点位移可以得到结构的变形和位移分布。
7.应变：结构在荷载作用下会发生应变，应变描述了结构内部各点的变形情况。
应变是位移的导数，可以通过位移的一阶导数来表示。
应变的计算是位移法中重要的步骤之一8.应力：结构在荷载作用下会发生应力，应力描述了结构各点的受力情况。
应力是力和单位面积的比值，可以通过应变和材料的本构关系得到。
应力的计算是位移法中重要的步骤之一通过以上的概念和知识点，位移法可以对不同类型的结构进行分析和计算。
它是结构力学中常用的方法之一，通过假设结构的位移函数和节点之间的位移关系，得到了结构的变形和位移的近似解。
在实际工程中，位移法广泛应用于桥梁、建筑物和各种结构的设计和分析中，具有重要的理论和实践意义。
第8章 位移法
第8章 位移法§8-1 概述§8-2 等截面直杆的转角位移方程§8-3 位移法的基本未知量和基本结构§8-4 位移法的典型方程及计算步骤§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6 对称性的应用2021-5-1212021-5-12 1§8-1 位移法的基本概念内力对于线弹性结构位移位移内力两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。
用位移法分析结构时，先将结构拆分成单个的杆件，进行杆件受力分析（建立杆件的转角位移方程）；再将杆件组装成原结构，利用结点和截面平衡条件建立位移法方程，解出结点位移，再由转角位移方程求出内力。
2021-5-121一、引例1. 确定基本位移未知量图a所示两跨常刚度连续梁，抗弯刚度为EI。
忽略二杆的轴向变形，B结点不会发生线位移，而仅会产生角位移，设此角位移为Z1。
因B结点刚结两梁段于B端，从而保证两梁段在B端有相同的角位移，均为Z1。
2021-5-1212. 分列各组成杆的转角位移方程AB和BC二杆在B端具有相同的角位移和零线位移后，因此可将二杆在B端处分开，单独分析。
2021-5-1211）AB杆2）BC杆2021-5-1213. 通过B结点的平衡条件求出Z1由B结点的平衡可得2021-5-1214. 将Z1代回转角位移方程，求出各杆端弯矩2021-5-1212021-5-121二、其他示例（a） 若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移。
对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量q A的值。
2021-5-1212021-5-121三、位移法计算原理思路小结1. 把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相应的单跨超静定梁。
位移法的知识点总结
位移法的知识点总结一、基本原理1. 位移法的基本原理位移法是以位移为基本变量进行分析的一种结构分析方法。
它的基本原理是根据结构受力状态和边界条件，通过对结构各部分的变形进行分析，推导出结构的位移场。
根据结构力学的基本原理，结构的受力和变形是密切相关的，因此通过分析结构的位移场，可以获得结构的受力分布和变形情况，为结构的设计和分析提供重要参考。
2. 位移的重要性在结构力学中，位移是描述结构变形的基本形式之一，它直接反映了结构受力的情况。
在进行结构分析时，通常可以通过计算结构的位移场来获得结构的受力分布和变形情况。
因此，位移是结构分析的重要变量，在位移法中被广泛应用。
3. 位移法的实质位移法的实质是通过假设结构各部分的变形是线性的，即受到外力作用后，结构的变形与受力成线性关系。
这一假设是位移法能够简化结构分析的基础，使得结构分析更加方便和实用。
二、应用范围1. 适用范围位移法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、板、桁架、壳体等。
它可以用于解决结构在受力作用下的位移和变形问题，对于复杂结构的受力分析和设计具有广泛的适用性。
2. 适用条件位移法的应用条件包括结构受力状态和边界条件的明确，结构各部分的变形可线性假设，结构受力和变形之间存在较强的相关性等。
在满足这些条件的情况下，位移法可以有效地用于解决各种结构受力和变形问题。
三、操作步骤1. 结构建模首先需要对结构进行建模，确定结构的几何形状、受力条件和边界条件等。
通过建模可以获得结构的刚度矩阵和载荷向量，为后续的分析提供基础数据。
2. 变形分析根据结构的刚度矩阵和载荷向量，可以建立结构的位移方程。
通过对位移方程进行分析，可以获得结构的位移场，揭示结构受力和变形的关系。
3. 反演求解根据结构的位移场，可以反演求解结构的受力分布和变形情况。
通过求解可以获得结构各部分的受力情况，评估结构的受力状况和安全性。
4. 结果分析最后需要对求解结果进行分析，评估结构的受力和变形情况。
位移法
示。基本结构的变形与原结构是相同的，要使它们受力也相同，则
基本结构在荷载与Z1、Z2的共同作用下，附加联系(含附加刚臂及附 加链杆)处的反力矩及反力应为零(因为原结构不存在这些约束)，假 设附加刚臂处的反力矩为 R1，附加链杆处的反力为R2，则
R1 0 R2 0
(a)
设由Z1、Z2及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为R11、R12、R1P，
“附加链杆”阻止结点的移动。位移法中的基本未知量用Z表示，
这是一个广义的位移，并用“ ⌒”及“→”分别表示原结点处
的角位移、线位移的方向，加在附加刚臂及附加链杆处，以保证 基本结构与原结构变形是一致的，如图8-5(c)、(f)。 对于图8-7(a)所示刚架，刚结点E、G的转角为基本未知量，分别 用Z1、Z2表示，铰结点处的竖向线位移也是一个基本未知量用Z3 表示，基本结构为图8-7(b)。图8-7(c)所示刚架，F为一组合结点， 即BF、EF杆在F处为刚结,该结构
(8-4)
式(8-3)称为图8-4(a)所示单跨梁的转角位移方程。式(8-3)还 可由式(8-1)推出，由MBA=0可得(荷载项单独考虑)
2i A 4i B
6i AB 0 l
(a)
B
1 3 ( A ab ) 2 l
将(a)式代入式(8-1)第一式可得
M AB 4i A 2i[ 3i A 1 3 6i ( A AB )] AB 2 l l
l
独立的角位移数目也就是刚结点的数目。图8-5(d)所示刚架，
E为铰结点，汇交于E结点的三根杆件各杆端转角由上节可
知不是独立的，故该刚架,
。 n 2, n 1.
l
独立的线位移数目，对于较复杂的结构无法直接观察而得，可采
位移法基本概念
8 — 1 位移法基本概念一. 位移法的基本概念1. 位移发育力法的比较：1〉力法把多余约束力选为基本未知量，位移法把节点位移选为基本未知量。
2〉力法是把超静定结构拆成静定结构，再由静定结构构过渡到超静定结构。
位移法是将结构拆成单个杆件，再由杆件过渡到结构。
3〉力法是从静定结构为出发点，位移法是以杆件位出发点。
EI =M AB 2 B B EI=M Q C22〉荷载作用产生德杆端变矩称为固端变矩8P =M BA F 8P -=M AB F3〉转角与荷载共同作用产生的杆端变矩：P +EI =M B BA 814Q （1）B B EI=M Q C 4 (2)82P-EI =M B AB Q (3)B B EI=M Q C 22 (4)4〉如何求B Q ？取结点B 平衡。
0,0=M +M =MB BA B∑C40481=EI+P +EI B B Q QEI+P -=B )(322 Q 将B Q 代入式（1）（2）（3）（4）式求得B A B B BA M M M M C C ,,,18—2 位移法的基本未知量一.未知量：1>刚结点的角位移；2>刚结点的线位移。
二.刚结点角位移未知量的确定：c.∆产生的杆端变矩：∆-=M ∆-=M BA ABi i 6''',6''' d.荷载作用产生的固端变矩：8,8 P =M P -=M BA BA FFe.据叠 加原理的杆端变矩：P ∆B A ...Q Q 共同作用产生的杆端变矩。
转角位移方程：Fi iQ iQ BA B A BA M +∆-+=M642 Fi iQ iQ AB B A AB M +∆-+=M624 2. 一端固定一端铰支的梁： F iiQ AB A AB M +∆-=M3δ 0=M BA.这是位移各杆刚度取相对值，计算方便。
EI =1 解：1.未知量：∆B ,,C ϕϕ3. 转角位移方程——杆端变矩 816203832⨯+=+=M B BAB BA BA ϕϕ q iC C C C Ci i q ϕϕϕϕ2412252024122++⨯-=++-=M B B B B BA BB c CBC CB CB CBi i q ϕϕϕϕ2412252024122++⨯=++=M BC C CD CD i ϕϕ33==M∆⨯-⨯=∆-=M B BE BE B BE 443643464ϕϕ i i BE∆⨯-⨯=∆-=M B BE B BE EB 443643262ϕϕ i i∆⨯-⨯=∆-=M B 621621464ϕϕCF CF C CF CF i i ∆⨯-⨯=∆-=M 621621262B CF CF C CF FC i i ϕϕ∆,C0=M BC07.1125.12=-∆-+B C ϕϕ=M+M+M即:BA BC CBMKNCD.18.14-=M ; MKN.5=MBE; MKN.59.3=MEB。
位移法典型方程的物理意义
位移法典型方程的物理意义位移法是结构力学中常用的一种分析方法，其基本思想是将结构分为若干个单元，在每个单元内假定位移函数的形式，利用位移函数求解结构的响应。
在位移法中，位移函数的选择是至关重要的，而位移函数的形式则由结构的类型和边界条件决定。
因此，位移法的应用范围和精度都与位移函数的选取有密切关系。
位移法的典型方程是结构动力学中的基本方程之一，其物理意义是描述结构的振动特性。
在本文中，我们将通过对位移法典型方程的物理意义进行分析，探讨其在结构分析和设计中的应用。
一、位移法典型方程的基本形式位移法典型方程的基本形式为：[K]{u}+omega^2[M]{u}={f}其中，[K]和[M]分别表示结构的刚度矩阵和质量矩阵，{u}表示结构的位移向量，{f}表示结构受到的外载荷向量，$omega$表示结构的固有频率。
位移法典型方程是结构动力学中的基本方程，其描述了结构在受到外载荷作用下的振动响应。
其中，[K]和[M]分别表示结构的刚度矩阵和质量矩阵，{u}表示结构的位移向量，{f}表示结构受到的外载荷向量，$omega$表示结构的固有频率。
该方程的求解可以得到结构的振动模态和频率，从而为结构的优化设计提供参考依据。
二、位移法典型方程的物理意义1. 刚度矩阵刚度矩阵描述了结构在受到外载荷作用下的弹性变形情况。
其物理意义是描述结构单元在受到外力作用下的弹性形变，即单位力作用下结构单元的变形量。
刚度矩阵的计算需要考虑结构的几何形状、材料特性和边界条件等因素。
2. 质量矩阵质量矩阵描述了结构的惯性特性。
其物理意义是描述结构单元的质量分布情况，即单位体积内结构单元的质量。
质量矩阵的计算需要考虑结构的几何形状、材料密度和边界条件等因素。
3. 位移向量位移向量描述了结构在受到外载荷作用下的位移变化情况。
其物理意义是描述结构单元在受到外力作用下的位移变化量，即单位力作用下结构单元的位移量。
位移向量的计算需要考虑结构的几何形状、材料特性和边界条件等因素。
位移法基本概念
+
+
+
+
+
+
基本概念
3.轴力 与以前相同，杆件受拉为正，受压为负。
4.内力图的画法规则 弯矩画在杆件受拉纤维一侧，不用标明正、负号； 剪力图、轴力图画在任意一侧，标明正、负号。
二、位移法位移的种类与位移正、负号的规定
1.位移的种类 1）角位移 2）线位移 3）杆端相对侧移
基本概念
C B
BH
CH
就等价于两端固定的超静定杆，上面没 有可产生弯矩的荷载。如下图。
B
MBC
qL2 8
q
B
C
A
基本思路
基本概念
此时结构的弯矩图为
qL2 / 8
3) 附加刚臂的约束力矩
取B结点为研究对象，得： RP= - qL2/8 （逆时针）
B
MBC= - qL2/8
RP MBA=0
RP
这里，依弯矩的符号规则写出的 MBC ，附加刚臂的约束力总是假 定顺时针方向。
基本概念
2.位移的正、负号规则
1）角位移：以顺时针转动为正，计算时，总是先假 定刚结点有顺时针方向转动。
2）杆端相对侧移：截面发生顺时针方向的相对侧移 为正，反之，为负。例图中的ΔAB就是正的相对侧移。
A
B
AB
B
AB
A
A
A B
A
B
A B
B
基本概念
3.位移法基本结构与未知量的确定 ①基本假设------弹性小变形 * 受弯杆件受弯后，不改变杆件的长度。
[举例]
基本概念
例题3
DH
EH
D EI1 E
Hale Waihona Puke FGEIEI1
位移法原理的理解和应用
位移法原理的理解和应用1. 什么是位移法原理？位移法原理是工程力学中一个重要的分析方法，用于研究物体在力的作用下发生形变和位移的规律。
通过对物体受力后的位移进行分析，可以得出物体的应力、弹性模量等力学参数。
位移法原理在力学、结构工程、地震学等领域有广泛的应用。
2. 位移法原理的基本思想和步骤位移法原理的基本思想是通过求解位移方程，推导出物体的位移和形变规律，从而得到物体的力学特性。
位移法原理的步骤如下：•建立受力物体的力学模型：将受力物体按照简化的方式进行建模，选择适当的坐标系和参考点。
•选择合适的受力方向：根据问题的特点和受力情况，选择适当的受力方向，确定受力的大小和方向。
•列写平衡方程：根据力学定律，列写物体在不同方向上的平衡方程，考虑受力物体的各个部分和整体的平衡条件。
•推导位移方程：通过对平衡方程的求解和积分，推导出位移的微分方程或通解，得到物体的位移规律。
•求解位移函数：根据边界条件或附加条件，求解位移方程得到位移函数，以得出物体的位移和形变规律。
•计算力学参数：利用位移函数，计算物体的应力、应变、弹性模量等力学参数，为工程设计和分析提供依据。
3. 位移法原理在工程力学中的应用位移法原理在工程力学中有广泛的应用，这里将介绍一些常见的应用场景。
3.1 结构力学在结构力学中，位移法原理可以用于分析和设计各种结构，如梁、柱、桁架等。
通过求解结构体系的位移方程，可以得到结构的受力分布、位移分布等信息，为结构的抗震、承载能力等方面的评估和设计提供依据。
3.2 地基基础工程在地基基础工程中，位移法原理可以用于分析和设计土体的变形和位移。
通过对土体的位移进行分析，可以评估土体的稳定性、承载力和沉降等性能，为地基基础工程的设计和施工提供指导。
3.3 水力工程在水力工程中，位移法原理可以用于分析和设计各种水利结构，如闸门、堤坝等。
通过求解水利结构的位移方程，可以预测结构的变形和稳定性，为水工结构的设计和运行提供依据。
结构力学 位移法
n EAi 2 ∑ ⋅ sin α i ∆ = F p li i =1
荷载之间的关系。 荷载之间的关系。 由基本方程得
(e)
上式就是位移法的基本方程 位移法的基本方程， 上式就是位移法的基本方程，它反映了结构的结点位移与结构的结点
Fp ∆= n EAi ⋅ sin2 αi ∑l i =1 i
由虎克定律得
(b)
图(a)
ui =
则：FN i
FN i l i EAi
(c)
∆
ui
EAi = u i (u i = ∆ sin α i ) (d) li
图(c)
上式就是拉压杆的刚度方程 它反映了杆端力F 与杆端位移u 拉压杆的刚度方程， 上式就是拉压杆的刚度方程，它反映了杆端力 N i与杆端位移 i 之间的 关系。 式代入(a)式得 关系。把(d)式代入 式得 式代入
F
p
2 1
Z
1
Z
1
Z
1
3
图(b) 图(a)
图(c)
如果能求出转角Z 则各杆（ 杆 如果能求出转角 1，则各杆（12杆、13杆）的内力均可按前面的 杆 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移 作为基本未知量 作为基本未知量， 力法求得。因此，在位移法中，以结点位移Z作为基本未知量，并以 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时， 需要解决下面三个问题： 需要解决下面三个问题： (1)位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量） 位移法的基本未知量的数目 (2)单跨超静定梁分析 单跨超静定梁分析 (3)相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解
位移法典型方程根据
位移法典型方程根据位移法典型方程是结构力学中的重要内容之一，用于求解结构在荷载作用下的位移和变形。
它通过分析结构的静力平衡和变形关系，得到结构的力学方程，并进一步求解得到结构的位移和变形。
位移法典型方程的基本原理是根据结构的力学平衡和变形关系建立力学方程。
将结构分为若干个不重叠的单元，每个单元内部的位移以及单元之间的相对位移通过节点间的位移来表示。
在一个单元内，可以通过平衡方程和单元刚度矩阵得到单元内部的节点位移；而在多个单元之间，可以通过连续性方程来得到节点之间的位移关系。
这样通过逐个单元的力学方程求解，最终得到整个结构的位移和变形。
位移法典型方程的一般形式为KU=F，其中K是整个结构的刚度矩阵，U是结构的位移向量，F是荷载向量。
根据位移法的基本原理，可以得到结构的位移向量U和荷载向量F之间的关系。
位移法典型方程的求解可以通过直接解方程或迭代法。
在直接解方程的方法中，可以通过求解线性代数方程组来得到结构的位移；而在迭代法中，通过逐步迭代的方式来求解位移，直到满足位移方程的要求。
位移法典型方程的应用十分广泛，涉及到土木工程、建筑工程、桥梁工程等各个领域。
在土木工程中，位移法常用于分析结构的变形、应力、刚度等力学性能，从而确定结构的安全性和可靠性。
在建筑工程中，位移法可用于分析和设计建筑物的各个构件及整体结构。
在桥梁工程中，位移法可以用于评估桥梁的承载能力和变形性能。
总的来说，位移法典型方程是结构力学中的一种重要方法，它通过力学平衡和变形关系建立力学方程，用于求解结构的位移和变形。
它的应用十分广泛，可以用于分析和设计各种类型的结构，对于提高结构的安全性和可靠性具有重要意义。
由于其理论基础扎实和实用性强，位移法典型方程在结构分析和设计中具有重要的地位。
位移法刚度法
位移法刚度法
位移法和刚度法是结构力学中常用的两种分析方法。
位移法（Displacement method）是以结构的位移为基础进行分析的方法。
它利用结构的刚度矩阵和边界条件，通过建立并求解结构的平衡方程来确定结构的内力和位移。
在位移法中，结构的位移是未知的变量，通过求解线性方程组来确定。
位移法适用于一般结构的分析，但对于大型和复杂的结构来说，求解线性方程组的计算量较大。
刚度法（Stiffness method）是以结构的刚度为基础进行分析的方法。
它利用结构的刚度矩阵和节点位移等已知信息，通过建立并求解节点位移的线性方程组来确定结构的内力和刚度。
在刚度法中，结构的刚度是已知的变量，通过求解线性方程组来确定节点位移。
刚度法适用于刚结构和对称结构的分析，对于计算量较大的问题有较高的效率。
综上所述，位移法和刚度法是两种不同的结构分析方法，其基本思想和求解过程有所不同。
位移法以求解结构的位移为出发点，刚度法以求解节点位移为出发点。
在实际应用中，根据结构的特点和求解的难易程度选择适合的分析方法进行分析。
位移法基本概念汇总
位移法基本概念汇总位移法（也称位移法向量解法）是一种力学分析方法，用来求解物体在外力作用下的位移。
它通过将物体的整体位移分解为线性组合的简单位移元素，从而简化力学问题的计算。
位移法的基本概念包括位移向量、简单位移、整体位移和位移相加、位移相减的规则等。
以下将对这些概念进行详细介绍。
1.位移向量：位移被视为一个矢量量值，具有方向和大小。
通常用r 或Δr表示位移向量。
位移向量指示了一个物体从初始位置移动到最终位置之间的变化，在三维空间中有三个分量，分别表示在x、y和z方向的位移。
2. 简单位移：简单位移是指物体在外力作用下沿其中一特定方向发生的位移。
简单位移用Δri 表示，其中 i 表示位移方向。
简单位移可以表示出位移向量的各个分量。
3.整体位移：整体位移是指物体在外力作用下的总位移，它是各个简单位移的线性组合。
整体位移用Δr表示，可以通过将所有简单位移相加得到。
4.位移相加规则：位移相加规则表示位移向量的加法规则。
位移向量是矢量量值，遵循向量相加的几何法则。
当位移向量是直线的时候，位移相加规则即为向量相加法则；当位移向量不是直线的时候，位移相加规则按照平行四边形法则来进行计算。
5.位移相减规则：位移相减规则表示位移向量的减法规则。
位移相减规则是位移相加规则的逆运算。
对于两个位移向量r1和r2，其差向量Δr=r1-r2，表示从r2到r1的位移。
6.位移法解决问题的步骤：利用位移法解决物体位移的问题通常分为以下几个步骤：（1）分析物体的外力情况和几何形状，确定简单位移的方向，画出位移图。
（2）根据位移图，求出整体位移向量，相加所有简单位移的向量。
（3）根据位移向量的大小和方向，解释和理解物体的位移情况。
通过使用位移法，我们可以方便地求解物体在各种复杂力学系统中的位移。
位移法可以用于解决弹性体（如弹簧）、刚体、杆件等不同类型的力学问题。
同时，位移法也是研究物体运动和变形的重要数学工具，在力学学科中具有广泛的应用。
清华大学结构力学第8章位移法
BA
l 2
以上就是弯曲杆件的刚度方程。
以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数, 该系 数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常 数.
清华大学结构力学第8章位移法
11
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
M AB
A
EI
A
B
l
i EI l
MAB 3iA
A
i
B
A
A
i
M
AB
3i l
B
MAB
3iA
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内
力，弯矩图仍画清华在大学受结构拉力学边第8。章位移法
7
2．结点转角
顺时针为正，逆时针为负。
Fp
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
A
l
B
l
A
清华大学结构力学第8章位移法
4
二．位移法计算刚架基本思路
分别分析杆AB和AC.
相对于杆AB和AC, A点分 别视为固定支座.
杆AB和AC分别受载荷和 支座位移作用.
基本未知量取为A点水平线位移和转角.
清华大学结构力学第8章位移法
5
结点位移是处于关键地位的未知量。
基本思路：
首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知 端点位移和已知荷载作用下的计算； 其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法 基本方程，借以求出基本未知量。
3i l
清华大学结构力学第8章位移法
12
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
结构力学中的位移法
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
10
QAB= QBA
6i l 12 i
l2 3i l
3i l2
0
二、由荷载求固端反力称为载参数
11
单跨超静定梁简图
q
A P
a
b
q
A
A
P
a
b
q
A
P
A
a
b
B
B B
B B
M
F AB
ql 2 12
Pab2 l2
ql 2
8
Pb(l 2 2l 2
生相应的附加约束反力。
P C
A
Step1：附加刚臂 限制结点位移，荷
B 载作用下附加刚臂
上产生附加力矩。
A θA
θA
3
C
Step2：对结点施加产生 相应的角位移，以实现结
B 点位移状态的一致性，产
生相应的附加约束反力。
Step 3：叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
120BB92CC411..7700
q=20kN/m
D
A
4Io
B 5I。 C 3I。
4I。
3I。
E
F
4m 5m
4m
(4) 解方程
17
B 1.15 C 4.89 (相对值)
(5) 杆端弯矩及弯矩图
M BA 3iAB B mBA 3B 40 31.15 40 43.5kN m
梁 M BC 4B 2C 41.7 41.15 2 4.89 41.7 46.9kN m
位移法整章全(课件类别)
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11
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温 度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力 结果。
FP x
y
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12
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：
(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或 支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件 受拉纤维一侧。剪力的规定同前.
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移 法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间 确定的关系计算相应的内力。
第八章 位移法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8-6 对称性的利用
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1
§8-1 概述
已有的知识：
（1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。
仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。
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16
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
位移法方程中系数与自由项的简化求法
位移法方程中系数与自由项的简化求法随着社会科学技术的不断发展，理论物理学及其推导在学术研究上受到了越来越多的重视。
在此背景下，位移法方程的出现也带来了一系列新的物理学研究方法。
位移法方程中的系数与自由项的简化求法也被不断提出，用以提升研究结果的准确性与可行性。
位移法方程是一种常见的物理学方程，其主要应用于解决非线性方程组，比如热力学中的各种热迁移、流体动力学中的定常流、声学中的振动与声谱等。
它可以帮助解决复杂的物理学问题，提供最准确的结果。
位移法方程的系数与自由项的简化求法也是物理学研究的一个重要的方面。
一、基础知识首先，简单介绍一下位移法方程的基本概念。
位移法方程是一种非线性方程，其由位移变量和时间变量组成，可以根据实际问题构建对应的多变量函数，以求解出最终的平衡解。
位移法方程包括若干系数以及一个自由项，其有多种表达形式，如多项式形式、积分形式等。
其次，学习位移法方程中系数与自由项的简化求法。
位移法方程中系数是描述系统动力学特性的重要参数，如果它们不能正确的描述系统，那么系统很可能无法达到正确的行为。
位移法方程中自由项也是一个重要的参数，它描述了系统的受力情况，若自由项的取值不当，则可能导致系统的不稳定。
二、位移法方程中系数与自由项的简化求法为了使位移法方程求解更加简单，有许多简化求法可供选择。
1.接求解法这是最基本的求法，也是最常用的方法，即采用已有的系数和自由项，根据位移法方程的基本解法，直接求解出结果。
直接求解的优点是求解速度快，不需要太多的步骤，但是其缺点也很明显，即结果的可靠性受到系数及自由项的限制，因此有时候很难得到准确的结果。
2.似法近似法是比较常用的简化求法，它通过分析系统的性质以及位移法方程的构成，给出近似解，以简化求解过程。
使用近似法可以显著缩短求解时间，同时也能够得到较为准确的解。
但是需要注意的是，由于近似方法并不能得到最精确的解，因此需要结合直接求解法，以校正出最终的解。
矩阵位移法的计算步骤及示例
1
2
3
4
K
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
k (2) 11
=⎢⎢⎢⎢−10/2 ⎢⎣ 0
3/2 0
⎥⎢ 0 ⎥ EA⎢ 3
1 −3
0
3/2
1/2
⎥ ⎥
8l
⎢ ⎢
−3
−3
3
0 −1/2 3/2⎥⎦ ⎢⎣− 3 −1 3
−1 3 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
FPl
⎪⎪ ⎨
0
⎪⎪ ⎬
EA⎪ 1.67381⎪
⎪⎩−.03849⎪⎭7
⎧− 0.6285⎫
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
0 0.6285
（3） 计算结构坐标系中的单刚 36
单元②和③ θ(2) = θ(3) = 90D
cosθ = 0 sin θ = 1
坐标转换矩阵为：
⎡0 1 0
⎤
⎢⎢−1 0 0
0
⎥ ⎥
T (2)
= T (3)
=
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
⎢
0 1 0⎥
⎢0 ⎢
−1 0 0⎥ ⎥
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
计算结构坐标系中的单刚
⎫ ⎬
⎩Δ1 ⎭
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 0 0 0 ⎤ ⎧ 0 ⎫
=
⎢⎢−1 ⎢0
⎢ ⎣
0
0 0 0
0 0 −1
0⎥⎥ EA⎢⎢0 1⎥ 8l ⎢0 0⎥⎦ ⎢⎣0
16 0 −16
0 0 0
−16⎥⎥
0⎥
16
⎥ ⎦
FPl EA
⎪⎪ 0 ⎪⎪
⎨ ⎪
1.67381
⎬ ⎪
⎪⎩− .038497⎪⎭
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1 A l 2
M AB i A M BA i A
B 0
FQAB FQBA 0
2．由荷载求固端弯矩和载常数
■载常数：荷载作用下的固端弯矩和固端剪力。 ■三种基本杆件 （1）两端固定的梁； （2）一端固定、另一端简支的梁； （3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
（3）计算系数和自由项
11
1 EI
3 l 2 M 1 dx 3EI
1c l
（4）求多余约束力
3EI a X1 2 ( ) l l
（5）作M图
M M1 X1
解法 2
（1）取基本体系 （2）列力法基本方程
11 X1 1c
（3）计算系数和自由项 1 l 2 11 M d x 1 EI 3EI
求图示结构A、B的转角。
1 1
1 1 A M AB M BA 3i 6i
1 1 B M AB M BA 6i 3i
由杆端位移求杆端弯矩
EI 杆件的线刚度 i l
若
A B
l
1 1 A M AB M BA 1 1 M AB M BA A 3i 6i 3i 6i l 1 1 B M AB M BA 1 1 6i 3i B M AB M BA 6i 3i l
位移法计算, 1个基本未知量
位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移1引起的杆端内力称为形常数. 例： i=EI/l----线刚度 6i/l就是形常数
等截面直杆的刚度方程和形常数 正负号规则
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩（杆 端力矩）M AB 、M BA一律以顺时针转向为正； 杆端剪力（杆端横向力）FQAB、FQBA 绕杆端顺时针转向为 正。
r
11
Z1
EI
q
EI
Z1
Z1=1
=
Z1
q
Z1
Z1
q
=
+
Z1
EI
q
EI
----刚臂,限制转动的约束 R1=0 R1=r11 Z1+ R1P =0
Z1
R1
EI
q
r11
3i 3i
ql 8
2
EI
r
11
=6i
R1P
ql 2 / 8
R1P
q
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql 2 / 48i
M M 1 Z1 M P
1C=0 2C=0 3C=0
X3
X1
11 X 1 12 Байду номын сангаас 2 13 X 3 1C 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C 0 X X X 0 33 3 3C 31 1 32 2
统称弯曲杆件的刚度方程
M AB 4i A 2i B 6i FQ AB FQ BA l 6 i 6 i 12 i A B 2 M BA 2i A 4i B 6i l l l l （1）B端为固定支座 B 0 （2）B端为铰支座 M BA 0
X3
X1
X2
X2
1C [1 b ( l ) ]
l
X1 1
0
1
X2 1
0
1 1 1 0 X3 1
0 0
l b 2 C a 3C
支座移动时,结构中的位移以及 位移条件的校核公式如下:
M i Mds M i Mds i iC Ri ci EI EI
22
l EI
l/2
X1 1
2C
EI X2 l
M1
EI X 1 6 2 l
2 EI l
1
M2
M M1 X1 M2 X 2
M
X2 1
4 EI l
支座移动引起的内力与各杆 的绝对刚度 EI 有关。
练习:写出典型方程,并求 出自由项。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C X X X a 33 3 3C 31 1 32 2
五、 支座移动时的计算
力法
超静定结构有多余约束。因此，超静定结构在没有荷载 作用时，只要有发生变形的因素，如支座移动、温度变化、 材料收缩、制造误差等，都可以产生内力，这种内力称为自 内力。
1.支座移动时的计算 例 6-13 求图示等截面梁自内力。
解 （1）选取基本体系 （2）列出力法方程
11X1+1c=-a
练习: 作 M图
EI
q
2 EI
l l
q
Z1
q
Z1=1 4i 6i
2 EI EI
l
l
R1=0 r11 Z1+ R1P =0 r11=10i
R1 P ql / 8
2
基本体系
r11 4i 6i R1P
2i
M1
q
ql 2 / 8 ql 2 / 8
MP
2 ql / 20 位移法求解过程 :
Z1 ql 2 / 80i
M AB 4i A 6i M BA
l 2i A 6i l
M AB 3i A 3i
l
M AB 4i A 2i B 6i FQ AB FQ BA l 6 i 6 i 12 i A B 2 M BA 2i A 4i B 6i l l l l
制造误差引起的内力计算: AB杆造长了1cm,如何作弯矩图? A
10m
X3
X2
10m
X1
静定结构与超静定结构特性比较
静定结构 组成 反力和内力 计算 荷载作用 非荷载 因素作用 无多余约束 几何不变体系 平衡条件能完全 确定反力和内力 内力与刚度 无关 无内力 超静定结构 有多余约束 几何不变体系 平衡条件不能完全 确定反力和内力 内力与刚度绝对值无关, 与刚度相对值有关, 内力与刚度 绝对值成比例
几个常用的等截面梁的载常数
荷载引起的杆端内力称为载常数.
√ × √
√ √ √ √ √
位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念
EA
Z1
l/2 P l/2
Z1 =
EI
EI
内力计算的关键是 求结点位移Z1
Z1 Z1 =
Z1=1
Z1
P
P
EA
Z1
Z1
l/2 P l/2
ql2 / 16
MP
r11
3i
Z1=1 3i
M1
Z1
M
位移法基本未知数 ----结点位移.
位移法的基本结构 ----单跨梁系. 位移法的基本方程 ----平衡方程.
位移法求解过程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
11 Pl / 32
EI
M
EI
P
5 Pl / 32
R1=0 R1P
R1
位移法 基本体系
位移法方程
EA
P
MP
R1=r11 Z1+ R1P =0 5P/16 R1P Z1---位移法
基本未知量
3Pl/16
Z1=1 EA
M1
3i/l
3i/l
r11 6i / l 2 3i / l 2 3i / l 2 R1P 5P / 16 r11 2 Z 5 Pl / 96i 1 Z1 M M 1 Z1 M P
M AB M BA
Dü ï = 4iqA + 2iqB - 6i ï ï lï ï ý Dï = 2iqA + 4iqB - 6i ï ï lï ï þ
转角位移方程
FQ AB FQ BA 1 M AB M BA l 6i 6i 12i A B 2 l l l
超静定结构的另一解法
位移法计算
第八章 超静定结构的解法 （二）
位移法 (Displacement Method)
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures（2）
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
几何法: 1C=b/l 2C=-b/l 3C=0 公式法: iC Ri C
1/l
1C (1/ l )b b / l
1/l
0
1C 0 b 0
2C (1/ l )b b / l
练习:写出典型方程,并求 出自由项。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1C b 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2C a X X X 33 3 3C 31 1 32 2
a 1c l （4）求多余约束力
3EI a X1 2 ( ) l l
（5）作M图
M M1 X1
解法 3
11 X1 1c 0
小结
（1）力法方程的右侧可不为零；
（2）力法方程的自由项是基本结构由支座位移产生的；
（3）内力全部是由多余约束引起的；
（4）内力与杆件的EI有关；