2013_814高等代数(试题)
全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题与答案解析
2
2 2 1 2 1 1 A 1 2 A1 A 2 A b b 0 b 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 是 Ax b 的解． ，3
2 0 0 0 0 0 0 0 3 相似，则下列说法错误的是（ 7．若 3 阶方阵 A 与对角阵
1 1 3 4 4 5 0 k1 1 k 2 0 0 0 1
1 3 1 4 5 4 0 0 0 ，
0 2 1 1 0 0 0 0
1 4 3 2 6 2 1 3 1 2 6 2
1 1 0 2 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0 ，
向量组的秩是 2， 1 , 2 是向量组的一个极大无关组．
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2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
说明：本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置，αT 表示向量 的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式，A-1 表示 方阵 A 的逆矩阵，R(A)表示矩阵 A 的秩.
1 1 2 2 3 3 3 4 4 4
．
1 2 3 4 0 4 6 8 0 0 6 8 0 0 0 8 1 4 6 8 192
1 2
解：
1 2 3 4
．
5 2 1 A 0 4 2 4 3 1 ， B 是三阶方阵，且满足 AB A 2 B E ，求 B ． 22．设
(24)--13-14学年高等代数(II)试卷及参考答案
得分 五、(10 分) 设 V 是数域 Ω 上的 n 维向量空间, σ 是 V 上线性变换. 证明: 存
在 V 上线性变换 τ , 使得 kerσ = τ (V ), kerτ = σ(V ).
第 5 页 (共 6 页)来自得分 六、(10 分) 设 A1, A2, . . . , Ak 均为 n 阶实对称矩阵, 并且对任意的 i, j 均有
¯ Ý:˦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
(σ + τ )(u)v = u(σ − τ )(v),
(1)
(σ + 2τ )(u)v = uσ(v).
Ý ¦ ÈÙ Þ (2) − (1)
u, v ∈ V ,
τ (u)v = uτ (v).
À τ Ï ©¦». Á Ý (1) ¸ (3) ¦ ÈÙ u, v ∈ V , Þ
b
a + 3b
0
1
下对应的矩阵为
.
5. 设 V 是数域 Ω 上的有限维向量空间, 若 V 上线性变换 σ 的特征多项式
为 f (λ) = nk=1(λ − k)k, 则 dim ker(σ − k∗)k =
, 其中 k = 1, 2, . . . , n.
6. 设 V 是 2014 维欧氏空间, 若 V 上线性变换 σ 既是正交变换, 又是反对称
变换, 则 σ 的特征多项式为
.
7. 设 1, 2 都是 30 阶方阵 A 的特征根, 1 的代数重数为 29, 几何重数为 27,
则满足此条件且互不相似的 A 的总个数为
.
第 1 页 (共 6 页)
得分 二、(15 分) 设 A, B 均是 n 阶实对称矩阵. 证明: A, B 都是半正定矩阵, 当且
南京航空航天大学理学院《814高等代数》历年考研真题汇编
目 录2012年南京航空航天大学814高等代数考研真题2013年南京航空航天大学814高等代数考研真题2014年南京航空航天大学814高等代数考研真题2015年南京航空航天大学814高等代数考研真题2016年南京航空航天大学814高等代数考研真题2017年南京航空航天大学814高等代数考研真题2018年南京航空航天大学814高等代数考研真题2012年南京航空航天大学814高等代数考研真题南京航空航天大学2012年硕士研究生入学考试初试试题(d卷)科目代码：&14科目宿称：满分：150分注意：①认真阅谟答题纸上的注意事项；②所有答案必弑写在国巫上，与在本试题纸或革稿纸上均无效；③本试题飙领随答题纸一起装入试题袋中交回1一、(20分)设,=(1,2⑵气^=(3,0,0/,%在基岗，如是下的坐标分别是纺叫，％(这里丁表示转置，以下各题相同).1*求向量四，禹，防；2.在舟中求一组标准正交基，使得从基牝％、到基建s的过渡矩阵为上三角矩阵.二、(15分)设有两组向量'2、⑴：西=2a2=3,%=1'(11):&、=b L=b23£1-求参数八使得色,知,％线性相关;2.当％，气,昭线性相关时，求参数b和c,使得向量组(I)和(II)等价.三、(25分)设J?'的线性变换『使得1.求T在基旬=(1,0,0)七勺=(0,1,0)r t引=(0,0,1)『下的矩在&2.如果T有三个线性无关的特征向量，求参数环和可逆矩阵P,使得P l AP是对角矩阵；3,如果a={-\,l,l)r是T的一个特征向量，证明力不能与对角矩阵相似，并求彳的Jordan标准形.四、(2。
分)设实二次型/(X)=({1+a}^|+x,十…十五)，+(2x|+(2+。
[工？中，■■*卜2工“)2H----(■(叫+wx,+(百+a)工J,尸的正惯性指数小于…求参数a以及使得f(X)=0的全部h谁向量X.五、(15分)设A,B,C是三个占阶矩阵，旦期=0,A*BC=Ea，证明：1.秩GO+秩(5)=m;(E0、2-矩阵4与形如oj的矩阵相似，其中旦表示左阶单位矩阵，尹是矩阵力的秩•六、⑴分)设/⑴=注+工+1,h是自然数，证明：1■，Q)W+o(x+1)w的充分必要条件是】=],这里十表示整除；2,对任意多项式g(x),(/(x),g(x))=I的充分必要条件是(广(游法,(圳=1.七、(20分)设刃是”阶正定矩阵，占是以阶实对称矩阵，证明：1.存在"阶可逆矩阵尸，使得P T AP=E n而.RP为对角矩阵；2.存在正数么，当t>t c时，tA+B也是正定矩阵；3,如果B还是半正定矩阵，则|应+应习』.八、00分)设瓦&是两个h阶实对称矩阵，且A=B\证明；1.方程组4¥=0与敬=0同解；2,对任意实数。
暨南大学2013年高等代数考研试题
1 0 1 B 0 1 0 1 0 1
1 2 1 C 2 7 1 1 1 8
2 −1 D −1 3 3 2 − 2
9 三、(15 分) 求矩阵 A = 1 8 18
−6 −12 −9
−2 − 3 的若当标准形. −6
λ 1 0 n 3、如果三阶矩阵 A = 0 λ 1 那么 A = ___________________. 0 0 λ
4 、 已 知 两 向 量 α1 = (1, 2, 4) , α 2 = (2,1, 7) , 那 么 与 α1 , α 2 线 性 无 关 的 所 有 向 量 为 _____________________. 1 3 3 2 5、矩阵方程 X = , 那么 X = _______________________. 2 4 6 5 6、设数域 F 上的三维列向量空间 V 上的线性变换 ϕ 在基 {e1 , e2 , e3 } 下的矩阵是
学科、 学科、专业名称： 专业名称：数学学科、 数学学科、基础数学、 基础数学、计算数学、 计算数学、概率论与数理统计、 概率论与数理统计、应用数学、 应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向： 研究方向：各方向 考试科目名称： 考试科目代码： 考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810 考生注意 所有答案必须写在答题纸（ 所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
2013 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（ 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题）
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2013年10月自考线性代数真题及答案
全国2013年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分) 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c =-2，则111222a b c a b c ++=（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 2．设矩阵A =10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=（ ） A ．001020300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．003020100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ） A ．r =m 时，Ax =0必有非零解 B ．r =n 时，Ax =0必有非零解 C ．r<m 时，Ax =0必有非零解D ．r<n 时，Ax =0必有非零解4．设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设1为3阶实对称矩阵A 的2重特征值，则A 的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，若B =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A =__________．7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|2A |=__________．8．若向量组12(2,1,),(4,,4),T T a a ==αα线性无关，则数a 的取值必满足__________． 9．设向量T T (1,0,1),(3,5,1)==αβ，则2-βα=__________． 10．设A =111221223132a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，b =123b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax =b 有解，则增广矩阵A 的行列式A =__________．11．齐次线性方程组x 1+x 2+x 3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________． 12．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 13．已知-2是矩阵A =022x -⎛⎫⎪⎝⎭的特征值，则数x =__________．14．已知矩阵A =122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与对角矩阵D =10001000a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则数a =__________．15．已知二次型222123123(,,)f x x x x x tx =++正定，则实数t 的取值范围是__________． 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16．计算行列式D =222222a b c a ab b ac b c c c a b------. 17．已知向量11(1,2,),(1,,),23k ==αβ且3,T T ==A βααβ，求（1）数k 的值； （2）A 10.18．已知矩阵A =123231340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B =101200-⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使得XA =B .19．求向量组1234(1,0,2,0),(1,1,2,0),(3,4,4,1),(6,14,6,3)T T T T ==---=--=--αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20．已知齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系为12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求r(A )及该齐次线性方程组.21．设向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,0),(1,1,2,0)T T T =--==-ααα.求一个非零向量4α，使得4α与123,,ααα均正交.22．用配方法化二次型22123121323(,,)2248f x x x x x x x x x =--+为标准形，并写出所用的可逆性变换.四、证明题（本题7分）23．设A 是m ×n 矩阵，证明齐次线性方程组Ax =0与A T Ax =0同解.全国2013年10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1-5 BBDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．1222⎛⎫ ⎪⎝⎭7．16 8．2a = 9．T(1,5,1)- 10．0 11．2 12．5 13．-4 14．5 15．(0,)+∞三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16．解：311111122002200a b c b b a c b a b c a b c a b c c c c a b a b c++--=++---=++-----原式=（）（）（）. 17．解：（1）因为1113, 3.3k k =++==T 则βα（2）A 1011231099991122333211(()332(1,,)321331⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T T T )= αβ αβαβαβ 18.解：（A T ，B T ）= 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 234 0 00-1-2 -2 -40-1-2 -2 -43 10 -1 00 -5-9 -4 -60 0 1 6 14⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 2 0 -17 -40 1 0 0 3 8 0-1 0 10 24010 -10 -240 0 1 6 140 01 6 14⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则T 3 8 X -10 -24 6 14⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故 3 -10 6X 8 -24 14⎛⎫= ⎪⎝⎭19．解：1234 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 0 -1 4 14 0 -1 4 14 0 1 -4 -14 (,,,) 2 -2 -4 -6 0 0 2 60 0 1 30 0 1 3 0 0 1 3 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪αααα=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 0 0 0 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1 -1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 1 0 -2 0 0 1 30 0 1 30 0 0 00 0 0 0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩为3，一个极大线性无关组为123,,ααα，且412323α=α-α+α. 20．解：易知n =3，且()2,n r A -=则r(A )=1又自由未知量为23,x x ，则0Ax =同解方程组为12323x x x =-+，即123230x x x +-=为所求方程组. 21．解：设41234(,,,)x x x x α=，由于4α与123,,ααα均正交，则123412123002 0x x x x x x x x x --+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，系数矩阵 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 0 0 2 1 -11 -1 2 00 0 3 -1A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2133111122331113331 -1 0 1 0 0 1 -1 -1 10 1 -0 1 0 -0 1 0 -0 0 1 -0 0 1 -0 0 1 -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同解方程组为1143124431343,x x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩为自由未知量一个基础解系为T (1,1,1,3)-，即T 4(1,1,1,3)=-α.22．解：配方法得22212313233(,,)2()2(2)6f x x x x x x x x =---+，令113223332y x x y x x y x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为1122331 0 -10 1 -20 0 1y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故标准行为222123123(,,)226f y y y y y y =-+.四、证明题（本题7分）23．证明：22212120,0,0.0()0,,()0,0(1,2,),0000.T T T T T T T T n n i T A A A A Ax A A A A A A A a a a A A a a a a i n A Ax Ax A Ax =======+++======设则即是的解若，则令（,,,）则=故即=，是的解.综上可知，和同解ξξξηηηηηηηηηη。
高等代数第四版考研题库
高等代数第四版考研题库高等代数作为数学学科中的核心课程之一，其考研题库的构建对于学生掌握和深化理论知识至关重要。
以下是针对高等代数第四版教材的考研题库内容概要：一、线性代数基础1. 向量空间的定义及其性质2. 基和维数的概念3. 线性变换及其矩阵表示4. 特征值和特征向量5. 内积空间和正交性二、行列式1. 行列式的定义和性质2. 行列式的展开定理3. 克莱姆法则及其应用4. 行列式与线性变换的关系三、矩阵理论1. 矩阵的运算和性质2. 逆矩阵和伴随矩阵3. 矩阵的秩和零空间4. 矩阵分解方法（如LU分解、QR分解）四、线性方程组1. 线性方程组的解的存在性与唯一性2. 高斯消元法和高斯-约当消元法3. 线性方程组的几何解释五、特征值问题1. 特征值和特征向量的求解方法2. 特征多项式及其应用3. 矩阵的对角化问题六、二次型1. 二次型的定义和性质2. 正定二次型和半正定二次型3. 配方法和正交变换七、线性空间和线性变换1. 线性空间的公理化定义2. 线性变换的映射性质3. 线性变换的不变子空间八、欧几里得空间1. 欧几里得空间的定义和性质2. 正交投影和最小二乘法3. 傅里叶级数和傅里叶变换九、张量分析1. 张量的概念和性质2. 张量的运算规则3. 张量在物理和工程中的应用十、群论基础1. 群的定义和性质2. 子群和陪集3. 群的表示理论结语高等代数的考研题库不仅涵盖了基础理论，也包括了实际应用和高级概念。
通过系统地学习和练习这些题目，学生可以更好地准备研究生入学考试，并为未来的学术和职业生涯打下坚实的数学基础。
希望这份题库能够成为学生们学习高等代数的有力助手。
高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nnA A A A A A A A A =( ) 。
湖南师范大学2013年高等代数
12、设 是一个实数，在实数域 上的多项式空间 中，令
证明：（1） 是 的一个子空间；
（2） 是 的一组基。
13、设 是实数域 上的 阶方阵，向量 （实数域 上的 维列向量），使得
是 的一个基。如果 上的 阶方阵 满足条件 ，证明：
（1）存在实数域 上一个次数不超过 的多项式 使得 ；
（2）对于（1）中找到的多项式 ，必有 。
6、设 ，且 是一个
二次多项式，求 的值。
7、计算 阶行列式
8、设 元实二次型
（1）当 时，用非退化线性替换化 为规范形；
（2）当 时，用非退化线性替换化 为标准形。
9、设 ，求正交矩阵 ，使 为对角形
三、（本大题共4小题，每小题15分，共60分）
10、设 ，且 满足 ，证明： 。
11、设 为 阶方阵， 为 的特征多项式，证明： 可逆的充要条件是
2013年硕士生入学考试初试
湖南师范大学自命题科目试题册
业务课代码：841业务课名称：高等代数
满分：150分考试时间：3小时
考生须知：1、答案必须写在答题纸上，写在其它纸上无效。
2、答题时必须使用蓝、黑色墨水笔作答，用其他笔答题不给分。不得使用涂改液。
一、填空题Байду номын сангаас本大题共5小题，每空6分，共30分）
1、若 除多项式 的余式为 ，则 除多项式 的余式是＿
＿＿。
2、设 是行列式 的第 行，第 列的代数余子式，则
＿＿＿。
3、将秩为 的 元实二次型按合同分类，一共可以分为＿＿＿类。
4、设 与 相似，则 ＿＿＿。
5、设 是三维欧氏空间 的一组基，其度量矩阵是 ，向量 ，则 ＿＿＿。
二、计算题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）
北京大学2013年高等代数与解析几何试题及解答
1 = 2 (a1b4 − a2b3 − a3b2 + a4b1) = (B, A).
在此基础上易验算 (k1A1 + k2A2, B) = k1(A1, B) + k2(A2, B), 从而上述映射为对称双线性函数.
(2)
M
=
1 2
01
1 0
0 0
.
0 0 −2
λ −1/2 (3) |λE − M | = −1/2 λ
准型. (
3. (1) 若 A 可逆, 对于任意 B, AB = BA, 证明 det A B
) B = det(A2 − B2). A
(2) 如果 A 为数域 K 上不可逆矩阵, 对于任意 K 上矩阵 B, AB = BA, (1) 中结论是否成立?
(3) 如果 A 可逆, AB = BA 不成立, (1) 中结论是否成立?
(3) 结论不成立. 例如取 A = 0 1
) 1
, B = E21. 0
(
)
(
)
4. (1) 设 A = a1 a2 , B = b1 b2 , 则
a3 a4
b3 b4
(
1 (A, B) =
a1 + b1
2 a3 + b3
a2 + b2 − a1 a4 + b4 a3
a2 − b1 a4 b3
)
b2 b4
(2) A 是投影映射的充要条件是 A2 = A 且 A 为对称映射.
(3) 任意对称映射可以表示为 f (α) = ∑r λiTwi(α), Wi 为子空间.
i=1
(
6. 定义矩阵 A 的双曲余弦 cosh(A) = E + A2 + A4 +· · ·, 是否存在二阶复矩阵 A，使得 cosh(A) = 1
2013级线性代数期末考试题(A卷)答案
2013—2014学年第一学期线性代数课程期末考试试卷参考答案（A 卷）一、（每小题2分，共8小题）1 错；2 对；3 对；4 C ；5 B ；6 B ；7 A ；8 B二、行列式计算 （本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）1、计算四阶行列式1110110110110111D =.解：根据行列式的性质，原行列式等于：1(234)21311/3414*3/211103333110111012101110110111011111111111110100103*3*21011010001111003*(1)*1*(1)*(1)*(1)32r r r r r r r r r r r D +++---==-==--=----=-分分分2、计算n 阶行列式11111222(2)1233123n n>.解：根据行列式的性质，原行列式等于：12111110111001100011n n r r r r ---==原式6分2分三、矩阵X ，A ，B 满足3AX X B =+,其中 （本题共8分）301050303A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222369B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X 。
解：由 3AX X B =+ 可得：(3)A E X B -= 2分又因为 0010203003A E ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭-= 且它是可逆矩阵 1分所以 1(3)X A E B -=- 1分通过计算可得：1001/301/20100(3)A E -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭- 2分所以 123111111X ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭= 2分四、当a 取何值时，线性方程组：1232312343133(1)0x x x ax x x x a x ---+==+++=⎧⎪⎨⎪⎩无解，有惟一解，有无穷多解？并在方程组有无穷多解时求其通解。
（本题14分） 解：方程组的增广矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---01313301141a a 。
南昌大学理学院《814高等代数》历年考研真题专业课考试试题
目 录
第1部分 南昌大学高等代数考研真题2010年南昌大学高等代数考研真题2009年南昌大学高等代数考研真题2008年南昌大学高等代数考研真题第2部分 兄弟院校高等代数考研真题
2014年北京科技大学825高等代数考研真题
2014年苏州大学831高等代数A卷考研真题
2013年华东师范大学817高等代数考研真题
2013年华中师范大学834高等代数考研真题
2012年西南大学819高等代数考研真题
第1部分 南昌大学高等代数考研真题
2010年南昌大学高等代数考研真题
南昌大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题
1．（20分）计算n（n>1）级行列式
2．（25分）设是复数域上一个常数项不为零的单元多项式，n为一个正整数，证明：没有重根，当且仅当没有重根。
3．（26分）设n级矩阵A满足=0，其中k是一个正整数，证明：n级矩阵E+A的行列式为1，这里E为n级单位矩阵。
4．（26分）设V是数域P上一个n为向量空间，A是V的一个线性变换，
且，现考虑V如下子集：W=。
证明：（1）W是V的一个A-不变子空间
（2）对于V的任意一个包括的A-不变子空间U, W U。
5．（27分）设V是一个欧式空间，是V的一个标准正交向量组，证明：对于V的任意一个向量如下不等式成立：
，
这里（u,v）表示V中向量u和v的内积。
6．（28分）设A是一个n级是对称矩阵，是A的顺序主子式，。
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南京航空航天大学
2013年硕士研究生入学考试初试试题（
A 卷） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、(15分)设有向量组T T T a a )1,,3(,)3,1,1(,)1,1,2(321−=−==ααα，这里“T ”表示转置，以下各题相同．
１．求参数a ，使得321,,ααα线性相关；
２．在题1的基础上，记T A 21αα=，求方程组3α=AX 的通解．
二、(25分)设二次型AX X X f T =)(的秩为3，其中⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=212111b b a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121α是A 的伴随
矩阵*A 的特征向量.
１．求参数a 和b ；
２．求正交矩阵P ,使得AP P T 为对角矩阵;
３．求二次型)(X f 在条件1232221=++x x x 下的最大值．
三、(15分)设1V 是由向量组T T T )7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321−==−=ααα生成的子空间, 2V 是由向量组T T T b a )1,2,(,)1,1,0(,)0,1,(321=−==βββ生成的子空间.
１．若11V ∈β,求参数a ；
２．若1V 与2V 有相同的维数,求参数b a ,满足的条件；
３．问:对任意给定的常数b a ,,21V V +是否有可能是直和?说明理由.
四、(25分)设3R 的线性变换Γ使得,222321
321321321⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛++++−+=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛Γbx x x ax x x x x x x x x 且T )1,1,1(=α是Γ的一个特征
向量.
１．求参数b a ,和Γ对应于α的特征值λ;
２．求Γ在基T T T )1,1,1(,)1,1,0(,)0,1,1(321===εεε下的矩阵A ;
３．求题2中矩阵A 的初等因子和Jordan 标准形.
五、(15分)设)(),(x g x f 和)(x h 是三个非零多项式,“|”表示多项式的整除,证明: １．若)(|)()(2x h x g x f ,)(|)(x f x h ,则)(|)(x h x g ；
２．若1))(),(())(),((==x h x g x h x f ,则1))(),()((=x h x g x f ;
３．若1))(),((=x h x f ,则))(),(())(),()((x h x g x h x g x f =．
六、(15分)设B A ,是n 阶方阵,分块矩阵⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=A B B A C ，证明： １．B A B A C −+=；
２．若B 可逆,则B A AB B C −=−1.
七、(25分)设A 是秩为1r 的n m ×矩阵，B 是秩为2r 的k m ×矩阵,分块矩阵()B A C =的秩为r ，证明：
１．2121),max(r r r r r +≤≤；
２．矩阵方程B AX =有解的充分必要条件是1r r =;
３．齐次线性方程组0=Y A T 与0=Y C T 同解的充分必要条件是B AX =有解．
八、(15分)设)(ij a A =是n 阶实对称矩阵，证明： １．若n i a a i
j ij ii ,,2,1,"=>∑≠,则0≠A ； ２．若n i a a i
j ij ii ,,2,1,"=>∑≠,则A 是正定矩阵.。