2017年自主招生考试数学试卷

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2017年自主招生数学试题(分值: 100分 时间:90分钟)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的)1、若对于任意实数,关于的方程都有实数根,则实数的a x 0222=+--b a ax x b 取值范围是( )A ≤0B ≤C ≤D ≤-1b b 21-b 81-b 2、如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点,且DE∥AC,已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3,则S △DOE ∶S △AOC 的值为( )A .1∶3B .1∶4C .1∶9D .1∶163、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动,带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。

已知电线杆直立于地面上,某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300,在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450,斜坡与地面成600角,CD=4m ,则电线杆的高(AB)是( )A .mB .mC .mD .12m )344(+)434(-)326(+4、如图,矩形ABCD 中,AB=8,AD=3.点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动,以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG .同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动,当经过( )秒时,直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。

A .53 B .12 C .43 D .23(第2题图) (第3题图) (第4题图)5、如图,在反比例函数的图象上有一动点A ,连接AO 并延长交图象的另一支于xy 2-=点B ,在第一象限内有一点C ,满足AC=BC ,当点A 运动时,点C 始终在函数的图xky =象上运动,若tan∠CAB=2,则k 的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 86、如图,O 是等边三角形ABC 内一点,且OA=3,OB=4,OC=5.将线段OB 绕点B 逆时针旋转600得到线段O′B,则下列结论:①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600得到;②∠AOB=1500;③6AOBO'S =+四边形6AOB AOCS S +=△△是( )A.②③④B.①②④C.①④D.①②③O'OCB A(第5题图) (第6题图)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)7、已知方程组,且,则的取值范围是 。

2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)

2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)

2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷一、选择题(共10小题,每小题6分,满分60分)1.(6分)有一个角为60°的菱形,边长为2,其内切圆面积为()A. B. C.D.2.(6分)若方程组的解为(a,b,c),则a+b+c=()A.1 B.0 C.﹣1 D.23.(6分)圆O1与圆O2半径分别为4和1,圆心距为2,作圆O2的切线,被圆O1所截得的最短弦长为()A.﹣1 B.8 C.2 D.24.(6分)如下图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O,记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S3与2S2的大小关系为()A.无法确定B.S1+S3<2S2C.S1+S3=2S2D.S1+S3>2S25.(6分)关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根,则实数k的取值共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.(6分)两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上,若同类书不相邻,英语书不放在最左边,则排法的种数为()A.32 B.36 C.40 D.447.(6分)若a=,则的值的整数部分为()A.1 B.2 C.3 D.48.(6分)在圆内接四边形ABCD中,∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E,过E 作直线MN平行于BC,与AB、CD交于M、N,则总有MN=()A.BM+DN B.AM+CN C.BM+CN D.AM+DN9.(6分)由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体(小正方形可以悬空),其三视图如图,则这样的小正方体至少应有()A.8个 B.10个C.12个D.14个10.(6分)正方体ABCD的边长为1,点E在边AB上,BE=,BF=,动点P 从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹,当点P第一次返回E时,P所经过的路程为()A. B.C.2D.二、填空题(共8小题,每小题6分,满分48分)11.(6分)对任意实数k,直线y=kx+(2k+1)恒过一定点,该定点的坐标是.12.(6分)如图,圆锥母线长为2,底面半径为,∠AOB=135°,经圆锥的侧面从A到B的最短距离为.13.(6分)设(3x﹣2)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,那么a1+a2+a3+a4+a5+a6=.14.(6分)如图,向正五边形ABCDE区域内均匀掷点,落在五边形FGHJK区域内的概率为.15.(6分)函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点(x1,y1)(x2,y2),若+=18,则k=.16.(6分)在△ABC中,∠C=90°,D、E分别是BC、CA上的点,且BD=AC,AE=CD,BE、AD相交于点P,则∠BPD=.17.(6分)函数y=2+的最大值为.18.(6分)若x≥y≥z,则(2x+1)(2y+1)(2z+1)=13xyz的正整数解(x,y,z)为.三、解答题(共2小题,满分42分)19.(22分)正方形ABCD边长为2,与函数x=(x>0)的图象交于E、F两点,其中E位于线段CD上,正方形ABCD可向右平移,初始位置如图所示,此时,△DEF的面积为.正方形ABCD在向右平移过程中,位于线段EF上方部分的面积记为S,设C点坐标为(t,0)(1)求k的值;(2)试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围;(3)若S=2,求t的值;(4)正方形ABCD在向右平移过程中,是否存在某些位置,沿线段EF折叠,使得D点恰好落在BC边上?若存在,确定这些位置对应t的值得大致范围(误差不超过0.1);若不存在,说明理由.20.(20分)(1)求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值;(2)求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值;(3)求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值;(4)求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x的取值.2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题6分,满分60分)1.(6分)有一个角为60°的菱形,边长为2,其内切圆面积为()A. B. C.D.【解答】解:过A作AE⊥BC,如图所示:∵菱形ABCD的边长为2,∠ABC═60°,∴∠BAE=30°,∴BE=AB=1,∴AE=BE=,∴内切圆半径为,∴内切圆面积=π•()2=;故选:A.2.(6分)若方程组的解为(a,b,c),则a+b+c=()A.1 B.0 C.﹣1 D.2【解答】解:,②×5﹣①得:14y+3z=﹣17④,②×2﹣③得:5y+2z=﹣7⑤④×2﹣⑤×3得:13y=﹣13,解得:y=﹣1,把y=﹣1代入⑤得:z=﹣1,把y=﹣1,z=﹣1代入②得:x=2,则(a,b,c)=(2,﹣1,﹣1),则a+b+c=2﹣1﹣1=0.故选:B.3.(6分)圆O1与圆O2半径分别为4和1,圆心距为2,作圆O2的切线,被圆O1所截得的最短弦长为()A.﹣1 B.8 C.2 D.2【解答】解:∵圆O1与圆O2半径分别为4和1,圆心距为2,∴4﹣1>2,故两圆内含,不妨设截得的弦为AB,切点为C,连接O1A,连接O1O2,O2C,∵半径确定,∴弦心距越小,则弦越长,∵AB是⊙O2的切线,∴O2C⊥AB,∴当O1、O2、C在一条线上时,弦AB最短,由题意可知OC1=2+1=3,AO1=4,在Rt△ACO1中,由勾股定理可得AC==,∴AB=2AC=2,故选:C.4.(6分)如下图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O,记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S3与2S2的大小关系为()A.无法确定B.S1+S3<2S2C.S1+S3=2S2D.S1+S3>2S2【解答】解:∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴=,∵△AOD与△AOB等高,∴S1:S2=AD:BC=a:b,∴S1=S2,S3=S2,∴S1+S3=(+)S2=S2,∵a≠b,∴a2+b2>2ab,∴>2,∴S1+S3>2S2,故选:D.5.(6分)关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根,则实数k的取值共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解答】解:方程两边都乘x(x+2)得,(2k﹣4)x(x+2)+(k+1)(x+2)=x(k ﹣5),整理得,(k﹣2)x2+(2k﹣1)x+k+1=0.①当k﹣2≠0时,∵△=(2k﹣1)2﹣4(k﹣2)(k+1)=9>0,∴一元二次方程(k﹣2)x2+(2k﹣1)x+k+1=0有两个不相等的实数根.∵关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根,而x(x+2)=0时,x=0或﹣2,∴x=0时,k+1=0,k=﹣1,此时方程﹣3x2﹣3x=0的根为x=0或﹣1,其中x=0是原方程的增根,x=﹣1是原方程的根,符合题意;x=﹣2时,4(k﹣2)﹣2(2k﹣1)+k+1=0,k=5,此时方程3x2+9x+6=0的根为x=﹣2或﹣1,其中x=﹣2是原方程的增根,x=﹣1是原方程的根,符合题意;即k=﹣1或5;②当k﹣2=0,即k=2时,方程为3x+3=0,解得x=﹣1,符合题意;即k=2.综上所述,若关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根,则实数k的取值为﹣1或5或2,共有3个.故选:C.6.(6分)两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上,若同类书不相邻,英语书不放在最左边,则排法的种数为()A.32 B.36 C.40 D.44【解答】解:设从左向右位置为①,②,③,④,⑤,∵英语书不在最左边,∴最左边①有4种取法,∵同类书不相邻,∴②有3种取法,③有两种取法,④有两种取法,⑤有一种取法,共4×3×2×2×1=48,但是英语书排在第②位置时,只能是语文、英语、数学、语文、数学,或者数学、英语、语文、数学、语文,故英语书排在第②位置时只有8种情况,故种情况为48﹣8=40种,故选:C.7.(6分)若a=,则的值的整数部分为()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵==﹣=﹣=﹣,∴=﹣+﹣+﹣=﹣∵a=,∴==4,0<a27<a3=()3=<,∴<1﹣a27<1,∴1<<2,∴的值的整数部分为2.故选:B.8.(6分)在圆内接四边形ABCD中,∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E,过E 作直线MN平行于BC,与AB、CD交于M、N,则总有MN=()A.BM+DN B.AM+CN C.BM+CN D.AM+DN【解答】解:如图,在NM上截取NF=ND,连结DF,AF∴∠NFD=∠NDF,∵A,B,C,D四点共圆,∴∠ADC+∠B=180°,∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∴∠AMN+∠ADN=180°,∴A,D,N,M四点共圆,∴∠MND+∠MAD=180°,∵AE,DE分别平分∠BAD,∠CDA,∴∠END+2∠DFN=∠END+2∠DAE=180°,∴∠DFN=∠DAE,∴A,F,E,D四点共圆,∴∠DEN=∠DAF,∠AFM=∠ADE,∴∠MAF=180°﹣∠DAF﹣∠MND=180°﹣∠DEN﹣∠MND=∠EDN=∠ADE=∠AFM,∴MA=MF,∴MN=MF+NF=MA+ND.故选:D.9.(6分)由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体(小正方形可以悬空),其三视图如图,则这样的小正方体至少应有()A.8个 B.10个C.12个D.14个【解答】解:综合三视图,我们可以得出,这个几何模型的底层至少有3个小正方体,第二层至少有3个小正方体,第三层至少有3个小正方体,则这样的小正方体至少应有3+3+3=9个,选项中10是满足条件最小的数字.故选:B.10.(6分)正方体ABCD的边长为1,点E在边AB上,BE=,BF=,动点P 从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹,当点P第一次返回E时,P所经过的路程为()A. B.C.2D.【解答】解:根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为,第一次碰撞点为F,在反射的过程中,根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为M,在DA上,且DM=DA,第三次碰撞点为N,在DC 上,且DN=DC,第四次碰撞点为G,在CB上,且CG=BC,第五次碰撞点为H,在DA上,且AH=AD,第六次碰撞点为Z,在AB上,且AZ=AD,第七次碰撞点为I,在BC上,且BI=AD,第八次碰撞点为D,再反方向可到E,由勾股定理可以得出EF=HZ==,FM=GH=ID=,MN=NG=,ZI=,P所经过的路程为(×2+×3+×2+)×2=.故选:B.二、填空题(共8小题,每小题6分,满分48分)11.(6分)对任意实数k,直线y=kx+(2k+1)恒过一定点,该定点的坐标是(﹣2,1).【解答】解:∵y=kx+(2k+1)∴y=k(x+2)+1,∴图象恒过一点是(﹣2,1),故答案为(﹣2,1).12.(6分)如图,圆锥母线长为2,底面半径为,∠AOB=135°,经圆锥的侧面从A到B的最短距离为2.【解答】解:如右图所示,是圆锥侧面展开的一部分,∵圆锥母线长为2,底面半径为,∠AOB=135°,∴,作AD⊥SB于点D,∵SA=SB=2,∴展开的扇形所对的圆心角为,∴在Rt△SAD中,AD=SD=,∴BD=SB﹣SD=2﹣,∴AB==,故答案为:2.13.(6分)设(3x﹣2)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,那么a1+a2+a3+a4+a5+a6= 1﹣26.【解答】解:由题意可知a0=(﹣2)6,令x=1,则1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,因此a1+a2+a3+a4+a5+a6=1﹣a0=1﹣(﹣2)6=1﹣26.故答案为:1﹣26.14.(6分)如图,向正五边形ABCDE区域内均匀掷点,落在五边形FGHJK区域内的概率为.【解答】解:正五边形ABCDE,∴∠BAE=∠ABC=BCD=∠CDE∠AED=108°,AB=BC=CD=DE=AE,∴△ABC≌△ABE,∴AC=BE,同理:△ABH≌△△BCG≌△AJE,∴AH=CG=JE,∴HJ=HG,同理:FG=FK=JK=HG,∴五边形HGFKJ是正五边形,∴正五边形HGFKJ∽正五边形ACBDE,设HE=CD=a,HJ=x,由题意,△HAB∽△ABE,∴,∴x=∴落在五边形FGHJK区域内的概率为=,故答案为.15.(6分)函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点(x1,y1)(x2,y2),若+=18,【解答】解:∵函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点(x1,y1)(x2,y2),∴,消去y得x2﹣kx+1=0,∴x1+x2=k,x1x2=1,∴+====18,∴k(k2﹣2)﹣k=18,解答k=3.故答案为3.16.(6分)在△ABC中,∠C=90°,D、E分别是BC、CA上的点,且BD=AC,AE=CD,BE、AD相交于点P,则∠BPD=45°.【解答】解:作AF∥CD,DF∥AC,AF交DF于点F,∴四边形ACDF是平行四边形.∵∠C=90°∴四边形ACDF是矩形,∴CD=AF,AC=DF,∠EAF=∠FDB=∠AFD=90°.∵BD=AC,AE=CD∴△BDF和△AEF是等腰直角三角形,∴∠AFE=∠DFB=45°,∴∠DFE=45°,∴∠EFB=90°.∴∠EFB=∠AFD.∴△BDF∽△AEF,∵∠EFB=∠AFD,∴△ADF∽△EBF∴∠PAF=∠PEF∴∠APE=∠AFE∵∠AFE=45°∴∠APE=45°17.(6分)函数y=2+的最大值为.【解答】解:根据题意得:,解得:1≤x≤2,由柯西不等式得:y=2+≤•=×=(当且仅当2=,即x=时,取等号),故函数y=2+的最大值为.故答案为:.18.(6分)若x≥y≥z,则(2x+1)(2y+1)(2z+1)=13xyz的正整数解(x,y,z)为(45,7,1)或(19,9,1).【解答】解:∵(2x+1),(2y+1),(2z+1)都是奇数,∴x,y,z都是奇数,∵(2x+1)(2y+1)(2z+1)=13xyz,∴(2+)(2+)(2+)=13,∵x≥y≥z,如果z≥3,那么(2+)(2+)(2+)≤(2+)2=<13,∴z=1,∴3(2x+1)(2y+1)=13xy,化简得:xy=6(x+y)+3,则x==6+,∵39的因子有:1,3,12,39,∴y﹣6=1,3,13,39,∴y=7,9,19,45,∴x的对应只有:45,19,9,7,∵x>y,∴正整数解(x,y,z)为:(45,7,1)或(19,9,1).故答案为:(45,7,1)或(19,9,1).三、解答题(共2小题,满分42分)19.(22分)正方形ABCD边长为2,与函数x=(x>0)的图象交于E、F两点,其中E位于线段CD上,正方形ABCD可向右平移,初始位置如图所示,此时,△DEF的面积为.正方形ABCD在向右平移过程中,位于线段EF上方部分的面积记为S,设C点坐标为(t,0)(1)求k的值;(2)试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围;(3)若S=2,求t的值;(4)正方形ABCD在向右平移过程中,是否存在某些位置,沿线段EF折叠,使得D点恰好落在BC边上?若存在,确定这些位置对应t的值得大致范围(误差不超过0.1);若不存在,说明理由.【解答】解:(1)由题设可知S=(2﹣)2=,△DEF解得k=1或7(不合题意,舍去),∴k=1;(2)①如图1,当2≤t≤时,因为C点坐标为(t,0),所以E点坐标为(t,),所以DE=2﹣,而F点坐标为(,2),所以DF=t﹣,所以S=DE•DF=(2﹣)(t﹣)=t+﹣1;②如图2,当t>时,此时OB=t﹣2,所以F点的坐标为(t﹣2,),所以AF=2﹣,所以S=•2•(DE+AF)=•2•(2﹣+2﹣)=4﹣﹣;(3)当2≤t≤时,DE和DF随t的增大而增大,S也类似,故当t=时S有最大值为<2,所以S=2只可能发生在t>时,令4﹣﹣=2,解得t=;(4)①如图3,当2≤t≤时,假设位置存在,由对称性知Rt△FDE∽Rt△DCD1,因为DE=D1E,则有=,其中D1C==,整理得:t(t﹣1)=4,解得t=>,与假设矛盾,所以当2≤t≤时,不存在;②如图4,当t>时,假设位置存在,过F作直线FG∥x轴交CD于G,由对称性可知Rt△FGE≌Rt△DCD1,DE=D1E,所以GE=D1C,而GE=﹣,整理可得t(t﹣1)(t﹣2)2=1,设y=t(t﹣1)(t﹣2)2,当t>2时,y随t的增大而增大,取t=2.5,则y=0.9375<1,取t=2.6,则y=1.4976>1,利用试值法可以判断位置存在且唯一,对应的t的取值在2.5和2.6之间.20.(20分)(1)求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值;(2)求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值;(3)求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值;(4)求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x的取值.【解答】解:(1)函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值的几何意义是数轴上x到1和3两点距离之和的最小值,∵两点之间线段最短,∴当1<x<3时,y min=|3﹣1|=2,(2)∵y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|=(|x﹣1|+|x﹣3|)+|x﹣2|,当x=2时,|x﹣2|有最小值,∴结合(1)的结论得出,当x=2时,y min=2+0=2,(3)当n为偶数时,y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=(|x﹣1|+|x﹣n|)+(|x﹣2|+|x ﹣(n﹣1)|)+…+(|x﹣|+|x﹣(+1)|),由(1)知,当<x<+1时,|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1,|x﹣2|+|x﹣(n﹣1)|有最小值(n﹣1)﹣2=n﹣3,…|x ﹣|+|x ﹣(+1)|有最小值1,∴当<x <+1时,y min=1+3+5+…+(n﹣3)+(n﹣1)=,当n为奇数时,y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=(|x﹣1|+|x﹣n|)+(|x﹣2|+|x﹣(n﹣1)|)+…+(|x ﹣|+|x ﹣(+1)|)+|x ﹣|,由(1)知,当x=时,|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1,|x﹣2|+|x﹣(n﹣1)|有最小值(n﹣1)﹣2=n﹣3,…|x ﹣|+|x ﹣(+1)|有最小值1,|x ﹣|的最小值为0,∴当x=时,ymin=0+2+4+…+(n﹣3)+(n﹣1)=,(4)类似(3)的做法可知,y=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣a n|,如果n 为偶数时,当时,y有最小值,如果n为奇数时,当x=时,y有最小值;∵y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|=++…++|x﹣1|∴共有9+8+7+…+2+1=45项,为奇数.∴当x=时,ymin=|﹣1|+|﹣1|+…+|﹣1|+|﹣1|=第21页(共21页)。

四川省资阳中学2017年5月自主招生数学试题

四川省资阳中学2017年5月自主招生数学试题

数学试题(2017)本试题卷分第Ⅰ卷(单项选择题)和第Ⅱ卷(非单项选择题),共4页。

考生作答时,须将答案写在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。

全卷满分120分,考试时间110分钟。

考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

Ⅰ卷选择题部分一、选择题:(每小题只有一个正确答案,共10小题,每小题4分,共40分)1.下列计算正确的是(▲)A.B.(a2)3=a5C.2a﹣a=2 D.a•a3=a42.2016年某市全年财政收入为373.9亿元,其中373.9亿元用科学记数法表示为(▲)A.373.9×108元B.37.39×109元C.3.739×1010元D.0.3739×10113.如右图是由五个相同的小立方块搭成的几何体,则它的俯视图是(▲)A B C D4.如图,直线1l∥2l,以直线1l上的点A为圆心、适当长为半径画弧,分别交直线12,l l于点B、C,连接AC、BC,若∠ABC=67°,则∠1=(▲)A.23°B.46°C.67°D.78°5.对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,如[4]=4,[3]=1,[-2.5]=-3.现对82进行如下操作:82第一次[8282]=9第二次[99]=3第三次[33]=1,这样对82只需进行3次操作后变为1,类似地,对121只需进行(▲)次操作后变为1。

A.1 B.2 C.3 D.46.一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是(▲)A.12B.13C.14D.5122顶点为(1,2),则结论:①abc>0;②x=1时,函数最大值是2;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤2c=3b.其中正确的结论有(▲)A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=5,CD=2.以A为圆心,AD为半径的圆与BC边相切于点M,与AB交于点E,将扇形A﹣DME剪下围成一个圆锥,则圆锥的高为(▲)A.1 B.4 C.15D.179.当m,n是实数且满足m﹣n=mn时,就称点Q(m,)为“奇异点”,已知点A、点B是“奇异点”且都在反比例函数y=的图象上,点O是平面直角坐标系原点,则△OAB的面积为(▲)A.1 B.C.2 D.10.如图,直线122y x=+与y轴交于点A,与直线12y x=-交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=(x-h)2+k的顶点在直线12y x=-上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是(▲)A.-2≤h≤12B.-2≤h≤1 C.-1≤h≤32D.-1≤h≤12Ⅱ卷非选择题部分二、填空题:(本题5小题,每小题4分,共20分)11.分解因式:3220x x x--=___▲___。

2017年温州中学自主招生数学试卷

2017年温州中学自主招生数学试卷

2017年温州中学自主招生数学试卷一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分):1. A2. B3.B.4. B5.B6. C7. B 8. D二、填空题(本大题共6题,每题6分,共36分) 9.2 10.173611. 1012. 直线y 1=kx+b 经过点P (3,4)且与直线y 2=3x 和y 3=x 分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当三角形AOB 的面积取得最小值时,k+b=______.13.14.2(0)y x =+> 三、解答题:学校_____________ 班级_____________ 姓名___________ 座位号____________ ………………………………装………………………………订…………………………………线………………………………15、当a 取什么整数时,方程0)2(222=-++-+-x x a x x x x x 只有一个实根,并求此实根 解原方程化为0)2(4222=-++-x x ax x(1)若0422,202=++-≠≠a x x x x 则且∵原分式方程恰有一个实根,∴△=0,即△=,0828)4(24)2(2=--=+⨯⨯--a a 则27-=a 于是2121==x x 但a 取整数,则舍去 (2)若方程04222=++-a x x ,有一个根为x=0,则a=-4 这时原方程为0)2(4222=--+-+-x x x x x x x ,去分母得0222=-x x ,解得x=0,x=1 显然x=0是增根,x=1是原分式方程的根(3)若方程04222=++-a x x ,有一个根为x=2,则a=-8 这时,原方程为0)2(8222=--+-+-x x x x x x x ,去分母,得04222=--x x 解得x=2,x=-1 显然x=2是增根,x=-1是原分式方程的根经检验当a=-4时,原方程恰有一个实根x=1;当a=-8时,原方程恰有一个实根x=-116、若满足不等式2)1(2)1(22-≤+-a a x 的x 值也满足不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ,求a 的取值范围解:2)1(2)1(22-≤+-a a x 等价于2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a , 解得122+≤≤a x a0)13(2)1(32≤+++-a x a x ,可化为0)]13()[2(≤+--a x x观察132)13(-=-+a a (1)当31<a 时3a+1<2;则3a+1《x 《2则由题意,可得⎩⎨⎧+≥≤+122132a a a 解得a=-1(2)当31=a 时,3a+1=2,解得x=2 则由题意,可得2212==+a a ,这与31=a 矛盾 (3)当31>a 时,3a+1>2解得2《x 《3a+1 则由题意可得⎩⎨⎧+≥+≤113222a a a解得1《a 《3 综上所述a 的取值范围是131-=≤≤a a 或已知:O 是坐标原点,()P m,n (m >0)是函数ky x=(k >0)上的点,过点P 作直线PA OP ⊥于P ,直线PA 与x 轴的正半轴交于点()0A a, (a >m ). 设△OPA 的面积为s ,且414n s =+.(1)当1n =时,求点A 的坐标(4分); (2)若OP AP =,求k 的值(5分);(3) 设n 是小于20的整数,且42n k ≠,求2OP 的最小值(5分).DC在等腰Rt△ABC 中,AC=BC ,点D 在BC 上,过点D 作DE⊥AD,过点B 作BE⊥AB 交DE 于点E ,DE 交AB 于F.(1)求证:AD=DE ;(2)若BD=2CD ,求证:AF=5BF 。

四川省资阳中学2017年7月自主招生数学试题

四川省资阳中学2017年7月自主招生数学试题

资阳中学高2017级学生核心素养评价(数学)本试题卷分第Ⅰ卷(单项选择题)和第Ⅱ卷(非单项选择题)。

考生作答时,须将答案写在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。

全卷满分120分,考试时间110分钟。

考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

Ⅰ卷 选择题部分一、选择题:(每小题只有一个正确答案,共10小题,每小题4分,共40分)1.某同学做了四道题:①3m +4n =7mn ;②(-2a 2)3=-8a 6;③6x 6÷2x 2=3x 3;④y 3•xy 2=xy 5,其中正确的题号是( )A.②④B.①③C.①②D.③④2.小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时,设计算机有x 台,列方程3+x +x (x +3)=48,则方程的解中一定不合题意的是( ) A.5 B.9 C.-5 D.-93.为促进朗诵艺术的普及,某校初二年级举办朗诵大赛,凡凡同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数,制作了一个表格,如果去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是( ) 中位数 众数 平均数 方差 9.2 9.3 9.1 0.3A.中位数B.众数C.平均数D.方差4.我们知道,一元二次方程x 2=-1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数“i ”,使其满足i 2=-1(即方程x 2=-1有一个根为i ),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算律和运算法则仍然成立,于是有i 1=i ,i 2=-1,i 3=i 2•i =(-1)•i =-i ,i 4=(i 2)2=(-1)2=1,从而对任意正整数n ,则6i =( ) A.-1 B.1 C.i D.-i5.已知⊙O 的两条直径AC ,BD 互相垂直,分别以AB ,BC ,CD ,DA 为直径向外作半圆得到如图所示的图形,现随机地向该图形内掷一枚小针,记针尖落在阴影区域内的概率为P 1,针尖落在⊙O 内的概率为P 2,则=( )A.4ππ- B.1π C. 2π D. 4π6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P 的圆心坐标是(3,a )(a >3),半径为3,函数y =x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42,则a 的值是( ) A.4 B.32+ C.32 D. 33+5题图 6题图 7题图7.如图,矩形ABCD 中,O 为AC 中点,过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ,连接BF 交AC 于点M ,连接DE 交AC 于点G ,连接BO .若∠COB=60°,FO=FC ,则下列结论:①FB 垂直平分OC ;②△EOB ≌△CMB ;③DE=EF ;④S △AOE :S 四边形DGOF =2:7.其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,平面直角坐标系中,平行四边形OABC 的顶点C (3,4),边OA 落在x 正半轴上,P 为线段AC 上一点,过点P 分别作DE ∥OC ,FG ∥OA 交平行四边形各边如图.若反比例函数ky x=的图象经过点D ,四边形BCFG 的面积为8,则k 的值为( ) A.16 B.20 C.24 D.28 9.如图,△ABC 中,∠ABC=90°,AB=2,BC=4,现将△ABC 绕顶点B 顺时针方向旋转△A′BC′的位置,此时A′C′与BC 的交点D 是BC 的中点,则线段C′D 的长度是( ) A.455 B. 655 C. 855D.258题图 9题图 10题图10.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①3a +2b +c <0; ②3a +c <b 2-4ac ; ③方程2ax 2+2bx +2c -5=0没有实数根; ④m (am +b )+b <a (m ≠-1). 其中正确结论的个数是( ) A1个 B.2个 C..3个 D.4个Ⅱ卷 非选择题部分二、填空题:(本题5小题,每小题4分,共20分) 11.分解因式:1-a 2+2ab -b 2=_ __. 12.一列数a 1,a 2,a 3,…满足条件:a 1=12,a n =(n ≥2,且n 为整数),则a 1+a 2+a 3+…+a 2017= _ _ .13.在平面直角坐标系x O y 中,对于不在坐标轴上的任意一点P (x ,y ),我们把点P′(1x,1y)称为点P 的“倒影点”,直线y =-x +1上有两点A ,B ,它们的倒影点A′,B′均在反比例函数ky x=的图象上.若AB=22,则k = _ __ .14.已知(2x +1)9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9,则(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)2-(a 1+a 3+a 5+a 7+a 9)2的值为____________.15.如图,正方形ABCD 中,AD=4,点E 是对角线AC 上一点,连接DE ,过点E 作EF ⊥ED ,交AB 于点F ,连接DF ,交AC 于点G ,将△EFG 沿EF 翻折,得到△EFM ,连接DM ,交EF 于点N ,若点F 是AB 的中点,则△EMN 的周长是 ____ __ .三、解答题:(本题共7小题,共60分)16.(7分)已知123a=+,求22212211a a a aa a a-+-+---的值.17.某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理,分成5个小组(x表成绩,单位:次,且100≤x<200),根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图,其中B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4:1,请结合下列图标中相关数据回答下列问题:测试成绩频数分布表组别成绩x次频数(人数)频率A 100≤x<120 5B 120≤x<140 bC 140≤x<160 15 30%D 160≤x<180 10E 180≤x<200 a(1)填空:a= ______ ,b= ______ ,本次跳绳测试成绩的中位数落在______ 组(请填写字母);(3分)(2)补全频数分布直方图;(2分)(3)已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为185次、195次,现要从E组中随机选取2人介绍经验,请用列表法或画树状图的方法,求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率.(3分)18.已知:A(a,y1).B(2a,y2)是反比例函数kyx=(k>0)图象上的两点.(1)若A、B两点在一次函数43y x b=-+第一象限的图象上(如图所示),分别过A、B两点作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB,且S△OAB=8,求a的值;(4分)(2)在(1)的条件下,如果3m=-4x+24,323nx=,求使得m>n的x的取值范围.(4分)19.已知△ABC中,∠BCA=90°,BC=AC,D是BA边上一点(点D不与A,B重合),M是CA中点,当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N,⊙O与射线NM交于点E,连接CE,DE.(1)求证:BN=AN;(4分)(2)猜想线段CD与DE的数量关系,并说明理由.(4分) 20.已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式002||1kx y bdk-+=+计算.例如:求点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离.解:因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7.所以点P(-1,2)到直线y=3x+7的距离为2|3(1)27|13d⨯--+=+=210=105.根据以上材料,解答下列问题:(1)已知⊙Q的圆心Q的坐标为(0,4),半径r为2,判断⊙Q与直线y=3x+8的位置关系并说明理由;(4分)(2)已知直线y=-2x+1与y=-2x+6平行,A、B是直线y=-2x+1上的两点且AB=8,P是直线y=-2x+6上任意一点,求△PAB的面积.(4分)21.如图,正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点(不含端点),且EG、FH均过正方形的中心O.(1)当四边形EFGH为矩形时,请问线段AE与AH应满足什么数量关系;(4分)(2)当四边形EFGH为正方形时,AO与EH交于点P,求OP2+PH•PE的最小值.(5分)22.已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(s,t)(s≠0).(1)当s=2时,t=1时,求抛物线对应的二次函数的表达式;(4分)(2)若(1)中的抛物线与x轴交于点B,过B作OA的平行线交抛物线于点D,求△BDO 三条高的和;(4分)(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-1≤s<2时,求a的取值范围.(4分)数学试题(2017)参考答案一、选择题:(每小题只有一个正确答案,共10小题,每小题4分,共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 A D A A C B C B B D 二、填空题:(本题5小题,每小题4分,共20分)11. (1+a-b)(1-a+b) 12. 10081213.4314. 93-15. 52102+三、解答题:(本题共7小题,共60分)16. 解:∵123a=+,∴a=2-3<1,………………..3分∴原式=2(1)1aa---2(1)(1)aa a--=a-1-1(1)aa a--=a-1+1a=2-3-1+2+3=4-1=3.… 7分17.解:(1)由题意可知总人数=15÷30%=50(人),所以D所占百分比=10÷50×100%=20%,A所占百分比=5÷50×100%=10%,因为B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4:1,所以5a=50-5-15-10,解得a=4,所以b=16÷50×100%=32%,因为B的人数是16人,所以中位线落在C组,故答案为4,32%,C;………………..3分(2)由(1)可知补全频数分布直方图如图所示:………………..5分(3)设甲为A,乙为B,画树状图为:由树状图可知从E组中随机选取2人介绍经验,则甲、乙两人中至少1人被选中的概率=1012=56.………………..8分18. 解:(1)∵A(a,y1)、B(2a,y2)在反比例函数kyx=(k>0)的图象上,∴AC=y1=ka,BD=y2=2ka,∴y1=2y2.又∵点A(a,y1)、B(2a,y2)在一次函数y=-43-x+b的图象上,∴y1=43-a+b,y2=83-a+b,∴43-a+b=2(83-a+b),∴b=4a,∵S△AOC+S梯形ACDB=S△AOB+S△BOD,又∵S△AOC=S△BOD,∴S梯形ACDB=S△AOB,∴12[(43-a+b)+(83-a+b)]•a=8,∴a2=4,∵a>0,∴a=2.……………….4分(2)由(1)得,一次函数的解析式为y=43-x+8,反比例函数的解析式为:y=323x,A、B两点的横坐标分别为2、4,且m=43-x+8、n=323x,因此使得m>n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围,从图象可以看出2<x<4或x<0.………………..8分19. (1)证明:∵CD为⊙O的直径,∴∠CND=90°,∴CN⊥AB,∵BC=AC,∴BN=AN;………………..4分(2)解:2DE,理由如下:∵△ABC中,∠BCA=90°,BN=AN,∴CN=AN,∵点M是CA中点,∴NM平分∠CNA,∵∠CNA=90°,∴∠CNM=45°,∴∠CDE=∠CNE=45°,∵CD为⊙O的直径,∴∠CED=90°,∴∠DCE=45°=∠CDE,∴DE=CE,∵CE2+DE2=CD2,∴2DE.……………….4分20. 解:(1)结论:判断⊙Q与直线y3+8相切.理由:根据点到直线的距离公式可知:点Q(0,4)到直线y3+8的距离d21(3)+=2.∵⊙Q的半径为2,∴d=r,∴⊙Q与直线y3x+8相切.……………….8分(2)在直线y=-2x+6上取一点Q(0,6),根据点到直线的距离公式可知:点Q (0,6),到直线y =-2x +1的距离d =2|061|1(2)-++-=5, ∵直线y =-2x +1与y =-2x +6平行, ∴S △PAB =12•AB•d =12•8•5=45. ………………..8分21解:(1)当四边形EFGH 为矩形时,∠HEF=90°, ∴∠AEH+∠BEF=90°,在正方形ABCD 中,∠HAE=∠EBF=90°, ∴∠AEH+∠AHF=90°,∴∠AHE=∠BEF , ∴△AEH ∽△BFE , ∴AE AHBF BE=, 令AE=x ,AH=y ,则BF=1-y ,BE=1-x ,∴11x y y x=--, 即x -y =x 2-y 2=(x +y )(x -y ), ∴x =y 或x +y =1,∴AE=AH ,或AE+AH=1; ………………..4分(2)如图所示,当四边形EFGH 为正方形时,∠HOE=90°,OH=OE , ∴∠OEH=∠OHE=45°, ∴∠OHP=∠PAE=45°, ∵∠HPO=∠APE , ∴△OPH ∽△EPA ,∴PH OP AP PE=,即PH×PE=OP×AP , ∴OP 2+PH×PE=OP 2+OP×AP=OP (OP+AP )=OP×OA , ∵∠OEP=∠OAE=45°,∠POE=∠EOA , ∴△OPE ∽△OEA , ∴OP OEOE OA=,即OP×OA=OE 2, ∴OP 2+PH×PE=OE 2,∵当OE ⊥AB 时,OE 最小,此时OE=12, ∴当OE=12时,OP 2+PH×PE 最小,且等于14. ………………..9分22. 解:(1)由题意可知A (2,1), 设抛物线的解析式为y =a (x -2)2+1, 由于抛物线过原点, ∴将(0,0)代入y =a (x -2)2+1,∴解得a =-14, ∴抛物线的解析式为:y =-14(x -2)2+1或214y x x =-+,……..4分 (2)令y =0代入y =-14(x -2)2+1, ∴解得x =4或x =0, ∴B (4,0)设直线OA 的解析式为:y =kx , 将A (2,1)代入y =kx ,∴k =12, ∵BD ∥OA , ∴设直线BD 的解析式为:y =12x +m , 将B (4,0)代入y =12x +m , ∴m =-2∴直线BD 的解析式为:y =12x -2联立21221(2)14y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩ 解得:x =4或x =-2∴D (-2,-3)∴由勾股定理可知:135 设OB 、OD 、BD 边上的高分别为h 1,h 2,h 3,∴h 1=3又∵OB=4, ∴S △BDO =12OB•h 1=6, ∴12BD•h 3=12OD•h 2=6, ∴h 2=1213,h 345, ∴△BDO 三条高的和h 1+h 2+h 3121345, ……………….8分(3)由题意可知:t =s 2-s ,∵A (s ,t )是y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点,∴y =a (x -s )2+t , 又因为该抛物线经过原点, ∴0=as 2+t ,∴0=as 2+s 2-s , ∴s =(a +1)s 2, 当s =0时, 此时,a 全体实数, 当s ≠0时,此时-1≤s <0或0<s <2,∴a =11s-, ∴a ≤-2或a >-12,综上所述,a ≤-2或a >-12, ………………..12分。

2017年山东省青岛十七中自主招生数学试卷(解析版)

2017年山东省青岛十七中自主招生数学试卷(解析版)

2017年山东省青岛十七中自主招生数学试卷一.填空题(每小题6分,共60分)1.(6分)如果说“舌尖上的中国”展现了中华饮食博大精深、美不胜收,那么“舌尖上的浪费”,则呈现了一种丑陋的饮食观.日前,央视报道,中国人每年在餐桌上浪费的粮食价值约高达1949亿元,共中数据“1949亿”用科学记数法可表示.2.(6分)计算2sin45°﹣(1+)0+=.3.(6分)随机掷一枚均匀的硬币两次,至少有一次正面朝上的概率是.4.(6分)如图所示,两个半圆中,长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切,则图中阴影部分的面积是.5.(6分)反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,则t的取值范围是.6.(6分)如图,要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长为2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为.7.(6分)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2),则B n的坐标是.8.(6分)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律,逐个排成若干个无缝隙的几何体,图①几何体表面积为6,图②几何体表面积为18,则图⑩中所示几何体的表面积为.9.(6分)如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是的中点,P是直径AB上的一动点,若MN=1,则△PMN周长的最小值为.10.(6分)如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD 于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:①△ABE≌△DCF;②=;③DP2=PH•PB;④=.其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)二.解答题(每小题15分,共60分):11.(15分)九(3)班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛,在班里选取了若干名学生,分成人数相同的甲、乙两组,进行了四次“五水共治”模拟竞赛,成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图统计图.根据统计图,解答下列问题:(1)第三次成绩的优秀率是多少?并将条形统计图补充完整;(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数=7,方差=1.5,请通过计算说明,哪一组成绩优秀的人数较稳定?12.(15分)如图1,地面BD上两根等长立柱AB,CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子.(1)求绳子最低点离地面的距离;(2)因实际需要,在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1米,离地面1.8米,求MN的长;(3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为,设MN离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2≤k≤2.5时,求m的取值范围.13.(15分)如图1,△ABC和△DEF中,AB=AC,DE=DF,∠A=∠D.(1)求证:=;(2)由(1)中的结论可知,等腰三角形ABC中,当顶角∠A的大小确定时,它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB或AC)的比值也就确定,我们把这个比值记作T(A),即T(A)==,如T(60°)=1.①理解巩固:T(90°)=,T(120°)=,若α是等腰三角形的顶角,则T(α)的取值范围是;②学以致用:如图2,圆锥的母线长为9,底面直径PQ=8,一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1).(参考数据:T(160°)≈1.97,T(80°)≈1.29,T(40°)≈0.68)14.(15分)如图,在Rt△ABC中,AB=AC=.一动点P从点B出发,沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点C即停止.在整个运动过程中,过点P作PD ⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D,延长PD至点Q,使得PD=QD,以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE.设运动时间为t秒(t>0).(1)在整个运动过程中,设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围;(2)当点D在线段AB上时,连结AQ、AP,是否存在这样的t,使得△APQ成为等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由;(3)当t=4秒时,以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF,将四边形PEQF 绕点P旋转,PE与线段AB相交于点M,PF与线段AC相交于点N.试判断在这一旋转过程中,四边形PMAN的面积是否发生变化?若发生变化,求出四边形PMAN的面积y 与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围;若不发生变化,求出此定值.2017年山东省青岛十七中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一.填空题(每小题6分,共60分)1.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:将1949亿用科学记数法表示为:1.949×1011.故答案为:1.949×1011.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.2.【分析】先根据特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算,然后根据二次根式的除法法则运算,最后合并即可.【解答】解:原式=2×﹣1++1=﹣1+2+1=3.故答案为3.【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.3.【分析】依据题意先用分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率.【解答】解:由树状图可知共有2×2=4种可能,至少有一次正面朝上的有3种,所以概率是.【点评】用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.4.【分析】阴影部分的面积=大半圆的面积﹣小半圆的面积.过O向AB作垂线OE,连接OB;再根据垂径定理和勾股定理求解.【解答】解:过O向AB作垂线,则小圆的半径为OE=r,BE=AE=AB=×4=2.连接OB,则OB为大圆的半径R,在Rt△OEB中:由勾股定理得:R2﹣r2=BE2,图中阴影部分的面积是π(R2﹣r2)=πBE2=2π.故答案为:2π.【点评】本题考查了垂径定理的应用,两圆的半径,利用勾股定理计算出两半圆的面积之差.5.【分析】联立方程,整理得出关于x的一元二次方程,由两函数图象有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.【解答】解:由得:﹣x+2=,整理,得:x2﹣2x+1﹣6t=0.∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点,且两交点横坐标的积为负数,∴,解得:t>.故答案为t>.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式以及根与系数的关系,解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组.6.【分析】延长OD,BC交于点P.解直角三角形得到DP=DC•cot30°=m,PC=CD ÷(sin30°)=4米,通过△PDC∽△PBO,得到代入数据即可得到结论.【解答】解:如图,延长OD,BC交于点P.∵∠ODC=∠B=90°,∠P=30°,OB=11米,CD=2米,∴在直角△CPD中,DP=DC•cos30°=2m,PC=CD÷(sin30°)=4米,∵∠P=∠P,∠PDC=∠B=90°,∴△PDC∽△PBO,∴,∴PB=米,∴BC=PB﹣PC=(11﹣4)米.故答案为:(11﹣4)米,【点评】本题考查了相似三角形的性质,直角三角形的性质,锐角三角函数的概念,正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.7.【分析】由图和条件可知A1(0,1)A2(1,2)A3(3,4),由此可以求出直线为y=x+1,Bn的横坐标为A n+1的横坐标,纵坐标为An的纵坐标,又A n的横坐标数列为An=2n﹣1﹣1,所以纵坐标为(2n﹣1),然后就可以求出Bn的坐标为[A(n+1)的横坐标,An的纵坐标].【解答】解:∵点B1(1,1),B2(3,2),∴A1(0,1)A2(1,2)A3(3,4),∴直线y=kx+b(k>0)为y=x+1,∴Bn的横坐标为A n+1的横坐标,纵坐标为An的纵坐标又A n的横坐标数列为An=2n﹣1﹣1,所以纵坐标为2n﹣1,∴Bn的坐标为[A(n+1)的横坐标,An的纵坐标]=(2n﹣1,2n﹣1).故答案为:(2n﹣1,2n﹣1).【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质,解决这类问题首先要从简单图形入手,抓住随着“编号”或“序号”增加时,后一个图形与前一个图形相比,在数量上增加(或倍数)情况的变化,找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论.8.【分析】根据已知图形的面积得出变化规律,第n个几何体的表面积为:3n(n+1),进而求出答案.【解答】解:(1)第①个几何体的表面积为:6=3×1×(1+1),第②个几何体的表面积为18=3×2×(2+1),故第③个几何体的表面积为3×3×(3+1)=36,第④个几何体的表面积为3×4(4+1)=60,…,按照这样的规律,第n个几何体的表面积为:3n(n+1),∴第10个几何体的表面积为3×10×11=330.故答案为:330【点评】此题主要考查了几何体的表面积以及图形的变化规律,根据图形面积得出数字之间的变化规律是解题关键.9.【分析】作点N关于AB的对称点N′,连接OM、ON、ON′、MN′,根据轴对称确定最短路线问题可得MN′与AB的交点即为PM+PN最小时的点,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠MOB=40°,然后求出∠BON=20°,再根据对称性可得∠BON′=∠BON=20°,然后求出∠MON′=60°,从而判断出△MON′是等边三角形,根据等边三角形的性质求出MN″,即为PM+PN的最小值,从而求得△PMN周长的最小值.【解答】解:作点N关于AB的对称点N′,连接OM、ON、ON′、MN′,则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点,PM+PN的最小值=MN′,∵∠MAB=20°,∴∠MOB=2∠MAB=2×20°=40°,∵N是弧MB的中点,∴∠BON=∠MOB=×40°=20°,由对称性,∠N′OB=∠BON=20°,∴∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60°,∴△MON′是等边三角形,∴MN′=OM=OB=AB==4,∴△PMN周长的最小值=1+4=5,故答案为:5.【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题,在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质,作辅助线并得到△MON′是等边三角形是解题的关键.10.【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质,得到∠ABE=∠DCF,∠A=∠ADC,AB=CD,证得△ABE≌△DCF,故①正确;由于∠FDP=∠PBD,∠DFP=∠BPC=60°,推出△DFP∽△BPH,得到===故②错误;由于∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC,推出△DPH∽△CPD,得到=,PB=CD,等量代换得到PD2=PH•PB,故③正确;根据三角形面积计算公式,结合图形得到△BPD的面积=△BCP 的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积,得到=故④正确.【解答】解:∵△BPC是等边三角形,∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,在正方形ABCD中,∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°,在△ABE与△CDF中,,∴△ABE≌△DCF,故①正确;∵PC=CD,∠PCD=30°,∴∠PDC=75°,∴∠FDP=15°,∵∠DBA=45°,∴∠PBD=15°,∴∠FDP=∠PBD,∵∠DFP=∠BPC=60°,∴△DFP∽△BPH,∴===,故②错误;∵∠PDH=∠PCD=30°,∵∠DPH=∠DPC,∴△DPH∽△CDP,∴=,∴PD2=PH•CD,∵PB=CD,∴PD2=PH•PB,故③正确;如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形,∴∠PBC=∠PCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2,PM=PC•sin30°=2,S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4,∴=.故答案为:①③④.【点评】本题考查的正方形的性质以及等积变换,解答此题的关键是作出辅助线,利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长,再根据三角形的面积公式得出结论.二.解答题(每小题15分,共60分):11.【分析】(1)利用优秀率求得总人数,根据优秀率=优秀人数除以总人数计算;(2)先根据方差的定义求得乙班的方差,再根据方差越小成绩越稳定,进行判断.【解答】解:(1)总人数:(5+6)÷55%=20(人),第三次的优秀率:(8+5)÷20×100%=65%,第四次乙组的优秀人数为:20×85%﹣8=17﹣8=9(人).补全条形统计图,如图所示:(2)=(6+8+5+9)÷4=7,S2乙组=×[(6﹣7)2+(8﹣7)2+(5﹣7)2+(9﹣7)2]=2.5,S2甲组<S2乙组,所以甲组成绩优秀的人数较稳定.【点评】本题考查了优秀率、平均数和方差等概念以及运用.它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.12.【分析】(1)直接利用配方法求出二次函数最值得出答案;(2)利用顶点式求出抛物线F1的解析式,进而得出x=3时,y的值,进而得出MN的长;(3)根据题意得出抛物线F2的解析式,得出k的值,进而得出m的取值范围.【解答】解:(1)∵a=>0,∴抛物线顶点为最低点,∵y=x2﹣x+3=(x﹣4)2+,∴绳子最低点离地面的距离为:米;(2)由(1)可知,对称轴为x=4,则BD=8,令x=0得y=3,∴A(0,3),C(8,3),由题意可得:抛物线F1的顶点坐标为:(2,1.8),设F1的解析式为:y=a(x﹣2)2+1.8,将(0,3)代入得:4a+1.8=3,解得:a=0.3,∴抛物线F1为:y=0.3(x﹣2)2+1.8,当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1,∴MN的长度为:2.1米;(3)∵MN=DC=3,∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,∴F2的横坐标为:(8﹣m)+m=m+4,∴抛物线F2的顶点坐标为:(m+4,k),∴抛物线F2的解析式为:y=(x﹣m﹣4)2+k,把C(8,3)代入得:(8﹣m﹣4)2+k=3,解得:k=﹣(4﹣m)2+3,∴k=﹣(m﹣8)2+3,∴k是关于m的二次函数,又∵由已知m<8,在对称轴的左侧,∴k随m的增大而增大,∴当k=2时,﹣(m﹣8)2+3=2,解得:m1=4,m2=12(不符合题意,舍去),当k=2.5时,﹣(m﹣8)2+3=2.5,解得:m1=8﹣2,m2=8+2(不符合题意,舍去),∴m的取值范围是:4≤m≤8﹣2.【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识,正确表示出函数解析式是解题关键.13.【分析】(1)证明△ABC∽△DEF,根据相似三角形的性质解答即可;(2)①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可;②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算,得到扇形的圆心角,根据T(A)的定义解答即可.【解答】解:(1)∵AB=AC,DE=DF,∴=,又∵∠A=∠D,∴△ABC∽△DEF,∴=;(2)①如图1,∠A=90°,AB=AC,则=,∴T(90°)=,如图2,∠A=120°,AB=AC,作AD⊥BC于D,则∠B=30°,∴BD=AB,∴BC=AB,∴T(120°)=;∵AB﹣AC<BC<AB+AC,∴0<T(α)<2,故答案为:;;0<T(α)<2;②∵圆锥的底面直径PQ=8,∴圆锥的底面周长为8π,即侧面展开图扇形的弧长为8π,设扇形的圆心角为n°,则=8π,解得,n=160,∵T(80°)≈1.29,∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.6.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T(A)的定义,正确理解T(A)的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.14.【分析】(1)当PQ过A时求出t=4,当E在AB上时求出t=,当P到C点时t=8,即分为三种情况:根据三角形面积公式求出当0<t≤4时,S=t2,当4<t≤时,S =﹣t2+8t﹣16,当<t<8时,S=t2﹣12t+48;(2)存在,当点D在线段AB上时,求出QD=PD=t,PD=2t,过点A作AH⊥BC于点H,PH=BH﹣BP=4﹣t,在Rt△APH中求出AP的长,分AP=PQ、AQ=PQ、AQ=PQ、AP=AQ四种情况列出方程,求出方程的解即可;(3)四边形PMAN的面积不发生变化,连接AP,此时t=4秒,求出S四边形PMAN=S△APM+S=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=8.△APN【解答】解:(1)当0<t≤4时,S=t2.当4<t≤时,S=﹣t2+8t﹣16.当<t<8时,S=t2﹣12t+48.(2)存在,理由如下:当点D在线段AB上时,∵AB=AC,∴∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=45°.∵PD⊥BC,∴∠BPD=90°,∴∠BDP=45°.∴PD=BP=t,∴QD=PD=t,∴PQ=QD+PD=2t.如图1,过点A作AH⊥BC于点H.∵AB=AC,∴BH=CH=BC=4,AH=BH=4,∴PH=BH﹣BP=4﹣t.在Rt△APH中,AP=.(ⅰ)若AP=PQ,则有=2t.解得:t1=,t2=(不合题意,舍去).(ⅱ)若AQ=PQ,如图1,过点Q作QG⊥AP于点G.∵∠BPQ=∠BHA=90°,∴PQ∥AH.∴∠APQ=∠P AH.∵QG⊥AP,∴∠PGQ=90°,∴∠PGQ=∠AHP=90°,∴△PGQ∽△AHP.∴,即,∴PG=.若AQ=PQ,由于QG⊥AP,则有AG=PG,即PG=AP,即=.解得:t1=12﹣,t2=12+(不合题意,舍去).(ⅲ)若AP=AQ,过点A作AT⊥PQ于点T.易知四边形AHPT是矩形,故PT=AH=4.若AP=AQ,由于AT⊥PQ,则有QT=PT,即PT=PQ,即4=×2t.解得t=4.当t=4时,A、P、Q三点共线,△APQ不存在,故t=4舍去.综上所述,存在这样的t,使得△APQ成为等腰三角形,即t1=秒或t2=(12﹣)秒.(3)四边形PMAN的面积不发生变化.理由如下:∵等腰直角三角形PQE已知,∴∠EPQ=45°.∵等腰直角三角形PQF已知,∴∠FPQ=45°.∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°.连结AP,如图2.∵此时t=4秒,∴BP=4×1=4=BC,∴点P为BC的中点.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AP⊥BC,AP=BC=CP=BP=4,∠BAP=∠CAP=∠BAC=45°.∴∠APC=90°,∠C=45°.∴∠C=∠BAP=45°.∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°,∠EPF=∠APM+∠APN=90°,∴∠CPN=∠APM.∴△CPN≌△APM.∴S△CPN=S△APM.∴S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=×4×4=8.∴四边形PMAN的面积不发生变化,此定值为8.【点评】本题考查了三角形面积,相似三角形的性质和判定,三角形内角和定理,等腰直角三角形等知识点的综合运用,用了分类讨论思想和方程思想,难度偏大.。

2017年枣庄市高中自主招生考试数学试题(Word)

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2017年枣庄市高中自主招生数学试题一、选择题(3分×10)1.4的平方根是 ( )A .±2B .﹣2C .2D .2.分式方程122x x =-的解为 ( ) A .x =2 B .x =-2 C .x =72- D .x =163. 下列图形都是有同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有4个小圆圈,第②个图形中一共有10个小圆圈,第③个图形中一共有19个小圆圈,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中小圆圈的个数为()A .M(-2,-3),N(4,-6)B .(2,-3) ,(4,6)C .(2,-3),(-4,6)D .(2,3),(-4,6) 6A . 矩形ABFEB . 矩形EFCDC . 矩形EFGHD . 矩形DCGH7.某次中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下:甲:8、7、9、8、8 乙:7、9、6、9、9则下列说法中错误的是( )A . 甲、乙得分的平均数都是8B . 甲得分的众数是8,乙得分的众数是9C . 甲得分的中位数是9,乙得分的中位数是6D . 甲得分的方差比乙得分的方差小8.如图,在Rt △ABC 中,∠A=30°,以直角边AC 为直径作⊙O 交AC 于D , 则图中阴影部分的面积是( )A 32π-B . 32πC . 6πD .6π9.如图是一个正方体纸盒的外表面展开图,则这个正方体是 ( )10. 如图,在平面直角坐标系中,将△A B O 绕点B 顺时针旋转到△A 1B O 1的位置,使点A 的对应点A 1落在直线y =上,再将△A 1B O 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置,使点O 1的对应点O 2落在直线y =上,依次进行下去….若点A 的坐标是(0,1),点B 的坐标是(1),则点A 8的横坐标是( )A .31)2B . 1)C . 91)2D . 1)二、填空题(5分×5)11.一元一次方程3x -3=0的解是 。

北京大学2017年自主招生试题

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北京大学2017年自主招生数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填写在表格中,选对得5分,选错扣1分,不选得0分. 1.实数,a b 满足22(4)(1)5(21)a b ab ++=-,则1()b a a+的值为 () 1.5A () 2.5B () 3.5C ()D 前三个答案都不对解答:由柯西不等式()()()()()222221054126930ab a b ab ab ab ab -=++≥+⇒-+=-≤,所以13 3.5ab a b b a a ⎛⎫=⇒==⇒+= ⎪⎝⎭. 答案:C. 2.函数21212y x x x =--+-在区间[]1,2-上的最大值与最小值的差位于的区间是 5()32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 7()32B ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 7()42C ⎛⎫⎪⎝⎭, ()D 前三个答案都不对解答:2222213,10233,011221121,12122x x x x x x y x x x x x x x x x ⎧--+-≤<⎪⎪⎪--+≤<⎪=--+-=⎨⎪-++≤<⎪⎪+-≤≤⎪⎩,当14x =-时,max 4916y =;当x =时,min 12y =-;最大值与最小值的差为6516-,在732⎛⎫⎪⎝⎭,内.3.由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域的面积为()6A 33()5B 36()5C ()D 前三个答案都不对解答:画出平面区域,由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域面积为:6366=55⨯,答案C. 4. 3(1cos)(1cos)55ππ++的值为(A 1()14B +()C ()D 前三个答案都不对解答:3331cos1cos 1cos cos cos cos 555555ππππππ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2221coscos2cos cos 1cos cos555555ππππππ=-+=+ 24sincoscossin1555551144sinsin 55ππππππ=+=+⋅=, 答案:B.5.在圆周上逆时针摆放了4个点,,,A B C D 已知1BA =,2BC =,3BD =,ABD DBC ∠=∠,则该圆的直径为()A()B()C ()D 前三个答案都不对解答:由ABD DBC ∠=∠,得AD DC =.在,ABD DBC ∆∆内,由余弦定理得:229194612AD CD AD CD +-+-=⇒==所以1cos 23ABD ABD π∠=⇒∠=,在ABD ∆内由正弦定理可得,2sin 3ADR ABD==∠, 答案:D. 6.已知三角形三条中线长度分别为9,12,15,则三角形的面积为()69A ()72B ()75C ()D 前三个答案都不对解答:在AIE ∆中,6,5AI IE ==,在AIE ∆中,8,5CI IE ==,AEI CEI π∠+∠=,由余弦定理可得222536256401010AE CE AE CE+-+-+=,其中AE CE =,得=5AE CE =,则10AC =,同理可得另外两条边长分别为所以三角形面积为72.答案B. 7.已知x 为实数,使得22,,x x 互不相同,且其中有一个数恰为另一个数的2倍,则这样的实数x 的个数为()3A ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答:2221,1x x x =⇒==,不符合题意;222211x x x =⇒=⇒=-符合题意;24,16x x ==,符合题意;242,2x x x =⇒==-,舍去2x =;2120,2x x x x =⇒==,舍去0x =;220,2x x x x =⇒==,舍;综上,x 的值可以为4,-2,-1,0.5. 答案B.8.设整数,,a m n=(,,)a m n 的个数为()A 无穷个 ()4B ()2C ()D 前三个答案都不对解答:=2a m n -=+-由于,,a m n 都是整数,所以20mn =,则2a m n =+,且m n >所以整数组(,,)a m n 可以为()()3,5,4,3,5,4-,答案C. 9.设111123571111log log log log S ππππ=+++,则不超过S 且与S 最接近的整数为 ()5A - ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答:()11112357111111111log log 5,4log log log log 2357210S ππππππ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅=∈-- ⎪⎝⎭,答案A.10.已知复数z 满足2z z+是实数,则z i +的最小值等于()3A()2B ()1C ()D 前三个答案都不对解答: 由2z z +是实数可得22z z z z +=+,即22z z z z+=+,整理得2()10z z z z ⎛⎫--= ⎪⋅⎝⎭,所以z z =或z =若z z =,则z 为实数,当0z =时,z i +有最小值1;若z =z i +1; 综上可得z i +1. 答案D. 11.已知正方形ABCD 的边长为1,1234,,,P P P P 是正方形内部的4个点使得1234,,ABP BCP CDP DAP ∆∆∆∆和都是正三角形,则四边形1234PP P P 的面积等于()2A()B()C ()D 前三个答案都不对解答:四边形1234PP P P为边长为)12的正方形,故面积为2.答案:A.12.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度取值区间为10()53A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 20()5,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 20(),203C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 前三个答案都不对解答: 由面积相等,两条高之比为1:2,所对应的底边之比为2:1,设为2,x x ,则第三条边长的取值范围为(,3)x x ,由面积相等可知第三条高的长度取值区间为20,203⎛⎫⎪⎝⎭,答案C. 13.正方形ABCD 与点P 在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且222PA PB PC +=,则PD 的最大值为()2A +(B()1C +()D 前三个答案都不对解答:以点A 为坐标原点,AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系,则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D .设(),P x y ,由222PA PB PC +=得(),P x y 的轨迹方程为()2212x y ++=,所以PD的最大值为2答案A. 14.方程()()43log 23log 42x x x x +=-的实根个数为()0A ()1B ()3C ()D 前三个答案都不对解答:设()()43log 23log 42xxxxm +=-=234423x x mx x m⎧+=⎪⇒⎨-=⎪⎩两式相加得4343x x m m +=+,由函数34x x y =+单调递增,x m =;23413234124423x x x x xx x xx x x⎧+=⎪⎛⎫⎛⎫⇒+=⇒+=⎨ ⎪ ⎪-=⎝⎭⎝⎭⎪⎩,由介值定理易知其实根个数为1.答案A.15.使得2+x x 和222x x+都是整数的正实数x 的个数为 ()1A ()3B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答:因为2+x x是整数,所以 22222222221111222224x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是整数, 又222x x+和4是整数,所以22x是整数,所以221,21,x x x x ==⇒=±=;当x =2+x x不是整数,所以1x =±,正实数x 的值为1. 答案A.16.满足()()()4ff x f x =的实系数多项式()f x 的个数为()2A ()4B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答:()()()40,1,f x f x f x x ===, 答案D. 17.有多少个不大于100的素数p 满足327p p +为平方数.()0A ()1B ()2C ()D 前三个答案都不对解答:设()322277p p p p n +=+=,则7p +是完全平方数,所以2,29p p ==,答案C. 18.函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的最小值为()1A - () 1.5B - ()2C - ()D 前三个答案都不对解答:()()()22(1)(2)(3)332f x x x x x x xxx =+++=+++,设223993244t x x x ⎛⎫=+=+-≥- ⎪⎝⎭,则()()222211y t t t t t =+=+=+-,min 1y =-, 答案A.19.动圆与两圆221x y +=和22670x y x +-+=都外切.则动圆的圆心的轨迹是()A 双曲线 ()B 双曲线的一支 ()C 抛物线 ()D 前三个答案都不对解答:设动圆圆心为点P ,半径为r ,已知两圆圆心为()()120,0,3,0F F .由已知得122112||1,||||||1||3PF r PF r PF PF F F =+=⇒-=<=,所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 答案B. 20.在三角形ABC 中,44sin ,cos 513A B ==,则该三角形是 ()A 锐角三角形 ()B 钝角三角形 ()C 无法确定 ()D 前三个答案都不对解答:sin sin 132B A A B π=>⇒<<,又3cos 5A =,()cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B =-+=-=>,所以为锐角三角形, 答案A.本文档由华夏园教育提供。

2017数学试题自主招生题

2017数学试题自主招生题

自 主 招 生 模 拟 考 试数学试题1、已知点A ,B 的坐标分别为(1,0),(2,0). 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点,求a 的取值范围.2、在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4. CD ⊥AB 。

点M 、N 分别为Rt △ADC 和Rt △BDC 的内心。

求线段MN 的长度。

3、一天下午小明在4:00------5:00之间出门一趟,出门之际看了眼家中的圆形挂钟钟表,发现时针分针恰好重合在一起,大约下午5:00----6:00之间回到家时,恰巧发现时针分针又重合在一起。

你知道小明他这次出门一共多少时间吗?(结果保留准确值)4、如图,给定锐角三角形ABC ,BC CA <,AD ,BE 是它的两条高,过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ,过点D ,E 分别作l 的垂线,垂足分别为F ,G .试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论.5、一条直线截△ABC 的边BC 、CA 、AB (或它们的延长线)于点D 、E 、F 。

求证:1=⋅⋅FBAFEA CE DC BDABCDEF图9-156、证明三角形三条角平分线乘积小于三边乘积7、如图1,抛物线2y ax bx c =++的顶点为D (2,-4),交y 轴于E (0,-3),连接AD BD BC AC 、、、,且四边形ADBC 为梯形,点C 在抛物线上.如图2,点P 为线段AC 下方抛物线上的一个动点,过点P 作垂线交AC 于Q 点,过点P 作PM ⊥于AC 于点M ,连接PA 、PC ,设P 点的横坐标为m ,且互不与端点重合. ①求出点C 的坐标;②求线段MQ 的长度的最大值;③当APC △面积最大时,求以P 为圆心与AC 相切的圆的面积(结果保留π)以及此时切点N 的坐标;④在x 轴上是否存在点R ,使得以A R N 、、为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出点R 的坐标;若不存在,请说明理由.xyEBA OxyMQPEBAO。

2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )

2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )

2017年清华、北大自主招生数学模拟试卷(笔试试题附解析 )一、填空题(共12小题,每题10分,计120分). 1. 如图,在三棱锥中ABC D -中,已知AB =2,3-=⋅BD AC .设AD =a ,BC =b ,CD =c ,则c 2ab +1的最小值为 .2. 若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中,任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长,则称n 为四位三角形数,则所有四位三角形数的个数为 . 3. 已知函数b a 、满足21≤≤-a ,且1202≤-≤a b ,则ab b a w 8316322++= b a 34+-的取值范围是 .4. 若存在满足下列三个条件的集合A 、B 、C ,则称偶数n 为“萌数”:⑴ 集合A 、B 、C为集合{}n M ,,,,⋅⋅⋅=321的3个非空子集,A 、B 、C 两两之间的交集为空集,且M C B A = ;⑵ 集合A 中所有数均为奇数,集合B 所有数均为偶数,所有的3的倍数都在集合C 中;⑶ 集合A 、B 、C 所有元素的和分别为321S S S 、、,且321S S S ==.对于以下4个说法:① 8是“萌数”;② 60是“萌数”;③ 68是“萌数”;④ 80是“萌数”;其中正确的是 .(填所有正确的序号) 5. 若()n k m k =︒-∏=451212csc ,其中*∈N n m ,且2,≥n m ,则n m +的值是 .13922=+y x 6. 如图,设斜率为()0 >k k 的直线l 与椭圆C :交于A 、B 两点,OB OA ⊥.当A O B ∆面积取最大值时,直线l 的方程为 .7. 若离散型随机变量Y X ,满足32≤≤X ,且1=XY ,则()()Y E X E 的取值范围为 . 8. 已知0,≥b a ,1=+b a ,则229402213b a M +++=的最大值与最小值之和是 .9. 已知z 是实部虚部均为正数的复数,则对于说法:① ()z z -2Re 被2整除;② ()z z -3Re 被3整除;③ ()z z -4Re 被4整除;④ ()z z -5Re 被5整除;正确的是 .(填所有正确的序号)10. 在圆锥内部放有一个球,它与圆锥的侧面和底面都相切,则球的表面积与圆锥的表面积之比最大为 .AB第1题DC第6题11. 六边形ABCDEF 内接于圆O ,且13+===CD BC AB ,1===FA EF DE .则此六边形的面积为 .12. 已知n x x x ,,,⋅⋅⋅21()4≥n 是满足121=+⋅⋅⋅++n x x x 的非负实数,则21432321x x x x x x x x x n +⋅⋅⋅++的最大值是 . 二、解答题(共2小题,13题25分,14题35分,计60分). 13. ⑴ 函数()()b x a x x x f +++--=1323()R b a ∈<,0.(Ⅰ) 令()()31++--=a b x f x h ,判断()x h 的奇偶性,并讨论()x h 的单调性. (Ⅱ) 若()()x f x g =,设()b a M ,为()x g 在[]02,-的最大值,求()b a M ,的最小值.⑵ 设Z ∈a ,已知定义在R 上的函数()a x x x x x f +--+=6332234在区间()21,内有一个零点0x ,()x g 为()x f 的导函数.(Ⅰ) 求()x g 的单调区间;(Ⅱ) 设[)(]2,,100x x m ∈,函数()()()()m f x m x g x h --=0,求证:()()00<x h m h ;(Ⅲ) 求证:存在大于0的常数A ,使得对任意的正整数p ,q ,且[)(]2,,100x x q p ∈,满足401Aqx q p ≥-.14. ⑴ 设数列{}n a 满足221=-+n n a a ,2≤n a ,⋅⋅⋅=,,,321n . 证明:若1a 为有理数,则从某项后{}n a 为周期数列. ⑵ 数列{}n a 各项均为正数,且对任意*∈N n ,满足21n n n ca a a +=+(常数0>c ).(Ⅰ) 求证:对任意正数M ,存在*∈N N ,当N n >时,有M a n >;(Ⅱ) 设,n S 为数列{}n b 的前n 项和,nn ca b +=11求证:对任意0>d ,存在*∈N n ,当N n >时,有d ca S n <-<110.参考答案一、填空题(共12小题,每题10分,计120分). 1 考点:立体几何(三棱锥) {难度:★★☆☆☆}答案:22 考点:计数,排列 {难度:★★★☆☆}答案:16813 考点:代数式求值 {难度:★★☆☆☆}答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-574121, 4 考点:集合、数论、分类讨论 {难度:★★★☆☆}( 2017年中学生学术能力测试 )答案:①③④5 考点:三角函数(三倍角公式) {难度:★★★☆☆}答案:916 考点:解析几何(直线与椭圆) {难度:★★☆☆☆}答案:333+=x y 或333-=x y 7 考点:随机变量 {难度:★★★★☆}答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡24251,8 考点:导数,放缩 {难度:★★★☆☆}答案:11510433++9 考点:复数,费马小定理 {难度:★★★☆☆}( 2017年中学生学术能力测试 )答案:②④10 考点:立体几何(球与圆锥) {难度:★★☆☆☆}( 2017年全国高中数学联赛 天津预赛 )答案:2111 考点:平面几何(特征分析思想,转换法) {难度:★★★☆☆}答案:()3249+图1 → 图2(将小三角形重新组合)12 考点:基本不等式 {难度:★★★★☆}( 2017年IMO ,中国国家队选拔考试 )答案:161二、解答题(共2小题,13题25分,14题35分,计60分).13考点:函数、导数讨论的应用{难度:★★★☆☆} (25分)①② 2017年天津高考数学(理)【解析】(Ⅰ)由432()2336f x x x x x a =+--+,可得32()()8966g x f x x x x '==+--, 进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=,解得1x =-,或14x =. 当x 变化时,(),()g x g x '的变化情况如下表:所以,()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-,(,)4+∞,单调递减区间是(1,)4-. (Ⅱ)证明:由0()()()()h x g x m x f m =--,得0()()()()h m g m m x f m =--,000()()()()h x g x m x f m =--.(III )证明:对于任意的正整数 p ,q ,且00[1)(,],2px x q∈, 令pm q=,函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由(II )知,当0[1),m x ∈时,()h x 在区间0(,)m x 内有零点; 当0(,2]m x ∈时,()h x 在区间0(),x m 内有零点.所以041|2|()p x q g q -≥.所以,只要取()2A g =,就有041||p x q Aq-≥.13考点:数列,数学归纳法{难度:★★★★☆} (35分)(2017年全国高中数学联赛浙江预赛)(2013年清华大学自主招生)。

2017年成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷(含解析)

2017年成都市青羊区石室中学自主招生数学试卷(含解析)

2017年成都市青羊区石室中学自主招生考试数学试卷(考试时间:100分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.在三个数0.5,,|﹣|中,最大的数是()A.0.5 B.C.|﹣| D.不能确定2.化简的结果是()A.a﹣b B.a+b C.D.3.如果x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式,则m等于()A.6 B.﹣6 C.3 D.﹣34.如图,是一个正方体的表面展开图,正方体的每个面都标注了字母.在展开前,与标注字母a的面相对的面内标注的字母为()A.b B.d C.e D.f5.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限,且与y轴负半轴相交,那么()A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<06.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分别以A,C为圆心,以的长为半径作圆,将Rt△ABC截去两个扇形,则剩余(阴影)部分的面积为()cm2.A.24﹣πB.πC.24﹣πD.24﹣π7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.如图,P是正方形ABCD外一点,PA=,PB=4,则PD的长度的最大值是()A.5 B.C.6 D.9.已知7条长度分别为整数a1,a2,…,a7的线段,它们中的任意三条都不能构成三角形,若a1=1<a2<a3<a4<a5<a6<a7=21,则a6=()A.18 B.13 C.8 D.510.一只盒子中有m个红球,9个白球,n个黑球,每个球除颜色外都有相同.已知至少摸出17个球时其中一定有5个红球,至少摸出17个球时其中一定有8个相同颜色的球,则代数式|m﹣n|+|m﹣5|的值为()A.7 B.6 C.5 D.4第Ⅱ卷(非选择题,共70分)二、填空题(每小题3分,共15分)11.计算=.12.是方程组的解,则(a+b)•(a﹣b)的值是.13.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是.14.甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛,如果任意安排四位同学的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是.15.设a>0,b>0,称为a、b的调和平均数,如图所示,C为线段AB上的点,且CA=a,CB=b,O 为AB的中点,作AB的垂线交半圆于D.连接OD、AD、BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段的长度是a、b的调和平均数.三、解答题(共55分)16.(9分)解方程组:17.(10分)对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和点B(0,4).(1)求抛物线的解析式及顶点坐标.(2)设E(x,y)是抛物线上位于第四象限内的一动点,O是坐标原点,求△OEA的面积S与x的关系式,并写出自变量x的取值范围.18.(10分)对这样一个题:已知x=,求代数式x3﹣2x+1的值.TOM给出了如下解法:由x=,有x2==x+1,故x3﹣2x+1=x•x2﹣2x+1=x(x+1)﹣2x+1=x2﹣x+1=2.请你求解下面的问题:已知x=,求代数式的值.19.(12分)已知A(﹣1,m)与B(2,m+3)是反比例函数图象上的两个点.(1)求k的值;(2)若点C(﹣1,0),则在反比例函数图象上是否存在点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.20.(14分)如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.(1)求x的取值范围;(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:△ABC的最大面积?参考答案与试题解析1.【解答】解:∵|﹣|==,=,=,2<3<2≈4.4,∴这三个数中最大.故选:B.2.【解答】解:==a+b,故选B.3.【解答】解:把x=3代入方程2x2﹣5x+m=0中得18﹣15+m=0,解得:m=﹣3.故选:D.4.【解答】解:∵正方体的平面展开图中,相对面的特点是之间一定相隔一个正方形,∴在此正方体上与字母a相对的面上的字母是d.故选:B.5.【解答】解:由题意得,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,k>0,b<0.故选:B.6.【解答】解:∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC==10(cm),∴S阴影部分=×6×8﹣=24﹣(cm2).故选:A.7.【解答】解:开口向下,a<0;对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则b>0;抛物线与y轴的交点在x轴的上方,c>0,则abc<0,所以①不正确;当x=﹣1时图象在x轴上,则y=a﹣b+c=0,即a+c=b,所以②不正确;对称轴为直线x=1,则x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c>0,所以③正确;x=﹣=1,则a=﹣b,而a﹣b+c=0,则﹣b﹣b+c=0,2c=3b,所以④不正确;开口向下,当x=1,y有最大值a+b+c;当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,则a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1),所以⑤正确.故选:A.8.【解答】解:过A作AE⊥AP,使E、B在AP的两侧,使AE=PA=,∴PE=2,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∴∠PAE+∠PAB=∠BAD=∠PAB=90°+∠PAB,∴∠BAE=∠DAP.在△ADP与△ABE中,,∴△BAE≌△DAP(SAS),∴BE=PD,∵BE≤PB+PE=4+2=6,∴当点P落在线段BE上时,BE有最大值为6,∴PD长度的最大值为6.故选:C.9.【解答】解:不能构成三角形,那么前两个数之和小于或等于第三个数字,最小的a1是1,最小情况如下:1,2,3,5,8,13,21,34满足条件若a1=1厘米,a7=21厘米,则a6=13.故选:B.10.【解答】解:∵“至少摸出17个球时其中一定有5个红球”:“一定”包含最坏的情况,即摸完所有的白球和黑球才摸到红球,∴9+n+5=17,∴n=3;“至少摸出17个球时一定有8个相同颜色的球”:最坏的情况:这17个球中一定包含3个黑球.这样其余的14个球只有红球和白球.为了保证这14个球中一定有8个颜色相同的球,∴m+8=14,m=6(8为白球数,若m=8,则会出现7+7=14,不能保证8个同色),∴|m﹣n|+|m﹣5|=3+1=4.故选:D.11.【解答】解:原式=2﹣1﹣2×+2=+1,故答案为:+112.【解答】解:把代入,得,②﹣①得a﹣b=2,②+①得a+b=﹣8,所以(a+b)•(a﹣b)=﹣16.13.【解答】解:设多边形的边数为n,根据题意,得(n﹣2)•180=3×360,解得n=8.则这个多边形的边数是八.14.【解答】解:画树状图得:∴一共有24种情况,恰好由甲将接力棒交给乙的有6种情况;∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是=0.25.故答案为:0.25.15.【解答】解:∵AB为半圆的直径∴∠ADB=90°∴∠ADC+∠BDC=90°∵CD⊥AB∴∠BCD=90°,∠B+∠BDC=90°∴∠ADC=∠B,∠DCA=∠BCD∴△DCA∽△BCD∴=∴CD2=CA•CB∵CA=a,CB=b∴CD2=ab∵在Rt△OCD和Rt△CED中,∠ODC=∠CDE,∠OCD=∠CED=90°∴△OCD∽△CED∴=∴DE=∵CA=a,CB=b∴OD==∴DE==∴线段DE的长度是a、b的调和平均数.故答案为:DE.16.【解答】解:原方程组整理为.令A=x+y,b=xy,则,解得:或,解得:,,,.17.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣)2+h(h≠0),则依题意得:,解之得:,即:y=(x﹣)2﹣,顶点坐标为(,﹣);(2)∵设E(x,y)是抛物线上位于第四象限内的一动点,∴y<0,解得1<x<6,∴S△OEA===3×,=﹣2,=﹣2x2+14x﹣12,即S=﹣2x2+14x﹣12(1<x<6).18.【解答】解:∵x====4﹣;∴(x﹣4)2=3,∴x2﹣8x+13=0,∴====5.19.【解答】解:(1)将A(﹣1,m)与B(2,m+3)代入反比例函数中,得:m=﹣k,m+3=,∴(﹣1)•m=2•(m+3),解得:m=﹣2,则k=2;(2)如图1,作BE⊥x轴,E为垂足,则CE=3,BE=,BC=2,∵Rt△CBE中,BE=BC,∴∠BCE=30°,又点C与点A的横坐标相同,∴CA⊥x轴,∴∠ACB=120°,当AC为底时,由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B,故不符题意;当BC为底时,过点A作BC的平行线,交双曲线于点D,过点A,D分别作x轴,y轴的平行线,交于点F,由于∠DAF=30°,设DF=m1(m1>0),则AF=m1,AD=2m1,由点A(﹣1,﹣2),得点D(﹣1+m1,﹣2+m1),因此(﹣1+m1)•(﹣2+m1)=2,解之得(m1=0舍去),因此点,此时,与BC的长度不等,故四边形ADBC是梯形,如图2,当AB为底时,过点C作AB的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为D,由于AC=BC,因此∠CAB=30°,从而∠ACD=150°,作DH⊥x轴,H为垂足,则∠DCH=60°,设CH=m 2(m2>0),则,CD=2m2,由点C(﹣1,0),得点,因此,解之得m2=2(m2=﹣1舍去),因此点D(1,2,此时CD=4,与AB的长度不相等,故四边形ABDC是梯形,如图3,当过点C作AB的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为D时,同理可得,点D(﹣2,﹣),四边形ABCD是梯形,综上所述,函数图象上存在点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为梯形,点D的坐标为:或D(1,2或D(﹣2,﹣).20.【解答】解:(1)∵在△ABC中,AC=1,AB=x,BC=3﹣x.∴,解得1<x<2;(2)①若AC为斜边,则1=x2+(3﹣x)2,即x2﹣3x+4=0,无解,②若AB为斜边,则x2=(3﹣x)2+1,解得,满足1<x<2,③若BC为斜边,则(3﹣x)2=1+x2,解得,满足1<x<2,∴或;(3)在△ABC中,作CD⊥AB于D,设CD=h,△ABC的面积为S,则,①若点D在线段AB上,则,∴,即,∴x2(1﹣h2)=9x2﹣24x+16,即x2h2=﹣8x2+24x﹣16.∴S2=x2h2=﹣2x2+6x﹣4=﹣2(x﹣)2+(≤x<2),当时(满足≤x<2)S2取最大值,从而S取最大值;②若点D在线段MA上,则,同理可,得S2=x2h2=﹣2x2+6x﹣4=﹣2(x﹣)2+(1<x≤),易知此时,综合①②得,△ABC的最大面积为.。

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷

2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)下列运算正确的是()A.B.C.x2•x3=x6D.﹣|﹣2|=﹣2 2.(3分)估计68的立方根的大小在()A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间3.(3分)分式值为零的条件是()A.x≠﹣1B.x=1C.x=﹣1D.x=±14.(3分)甲、乙两人各射靶10次,他们命中环数的平均成绩为7环,但方差不同,S2甲=2.5,S2乙=1.8,那么()A.甲的波动比乙的波动大B.乙的波动比甲的波动大C.甲、乙的波动大小一样D.甲、乙的波动大小无法确定5.(3分)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是()A.对角相等B.对角线相等C.邻角互补D.内角和是360°6.(3分)如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象,根据图象下列结论错误的是()A.轮船的速度为20千米/小时B.快艇的速度为40千米/小时C.轮船比快艇先出发2小时D.快艇不能赶上轮船7.(3分)下面说法错误的是()A.直线y=x就是一、三象限的角平分线B.函数y=3x﹣10的图象经过点(3,﹣1)C.函数中y随x的增大而减小D.抛物线y=x2﹣2x+1的对称轴是直线x=18.(3分)如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积是()A.B.C.D.9.(3分)如图,菱形ABCD的周长为20cm,sin∠BAD=,DE⊥AB于点E,下列结论中:①S ABCD=15cm2;②BE=1cm;③AC=3BD.正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个10.(3分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心坐标为(﹣1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是()A.2B.1C.D.11.(3分)《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题,其歌词为:“十五为股八步勾,内容圆径怎生求?有人算得如斯妙,算学方为第一筹.”当中提出的数学问题是这样的:今有股长15步,勾长8步的直角三角形,试求其内切圆的直径.正确的答案是()A.3步B.4步C.5步D.6步12.(3分)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()A.3B.8C.D.2二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)13.(3分)分解因式:a2﹣a=.14.(3分)函数y=的自变量x的取值范围为.15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出,(﹣2,0)是它与x轴的一个交点,则它与x轴的另一个交点的坐标为.16.(3分)两个圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是.17.(3分)标有1,1,2,3,3,5六个数字的立方体的表面展开图如图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为x,朝下一面的数为y,得到平面直角坐标系中的一个点(x,y).已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P(4,7),则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为.18.(3分)如图,有任意四边形ABCD,A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点,设S表示四边形ABCD的面积,S′表示四边形A′B′C′D′的面积,则的值为.三、解答题(共8小题,满分66分)19.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.20.(6分)如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥CD;(2)若AD=3,AC=,求AB的长.21.(8分)一只不透明的袋子中,装有2个白球和1个红球,这些球除颜色外都相同.(1)搅均后从中一把摸出两个球,请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率;(2)搅均后从中任意摸出一个球,要使摸出红球的概率为,应如何添加红球?22.(8分)如图,线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上,现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.(1)请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径;(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(﹣2,﹣1),则点C的坐标为;(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过的区域记为图形T,若将图形T 围成一个几何体的侧面,求该几何体底面圆的半径长.23.(8分)在刚刚结束的市中学生篮球比赛中,小明共打了10场球.他在第6,7,8,9场比赛中分别得了22,15,12和19分,他的前9场比赛的平均得分y,前5场比赛的平均得分x,如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分.(1)用含x的代数式表示y;(2)当y>x时,小明在前5场比赛中,总分可达到的最大值是多少?(3)小明在第10场比赛中,得分可达到的最小值为多少?24.(10分)已知:如图,直线y=﹣x+4与x轴相交于点A,与直线y=x相交于点P.(1)求点P的坐标;(2)请判断△OP A的形状并说明理由;(3)动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动(E不与点O,A重合),过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B,设运动t秒时,矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S.求:①S与t之间的函数关系式.②当t为何值时,S最大,并求出S的最大值.25.(10分)矩形纸片ABCD中,AD=12cm,现将这张纸片按下列图示方式折叠,AE是折痕.(1)如图1,P,Q分别为AD,BC的中点,点D的对应点F在PQ上,求PF和AE的长;(2)如图2,,点D的对应点F在PQ上,求AE的长;(3)如图3,,点D的对应点F在PQ上.①直接写出AE的长(用含n的代数式表示);②当n越来越大时,AE的长越来越接近于.26.(10分)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式;(2)设∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α﹣β)的值;(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2017年浙江省宁波七中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)下列运算正确的是()A.B.C.x2•x3=x6D.﹣|﹣2|=﹣2【分析】根据二次根式的定义,二次根式的加法法则,同底数幂的乘法法则以及绝对值的性质,可求得的答案.【解答】解:A、=2,故本选项错误;B、+≠,故本答案错误;C、x2•x3=x5,故本选项错误;D、﹣|﹣2|=﹣2,故本选项正确.故选:D.【点评】本题考查了二次根式的性质,同底数幂的乘法,绝对值的性质等知识.题目比较简单,解题要注意细心.2.(3分)估计68的立方根的大小在()A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间【分析】由于43=64,53=125,所以68的立方根在4和5之间,由此即可判定选择项.【解答】解:∵43=64,53=125,而64<68<125,∴4<<5.故选:C.【点评】此题主要考查了无理数的估算,需掌握三次根式的基本运算技能,灵活应用.“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.3.(3分)分式值为零的条件是()A.x≠﹣1B.x=1C.x=﹣1D.x=±1【分析】分式的值为0的条件是:(1)分子为0;(2)分母不为0.故x2﹣1=0且x+1≠0,解得x的值即可.【解答】解:由题意可得x2﹣1=0且x+1≠0,解得x=1.故选:B.【点评】本题考查了分式值为零的条件,若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题.4.(3分)甲、乙两人各射靶10次,他们命中环数的平均成绩为7环,但方差不同,S2甲=2.5,S2乙=1.8,那么()A.甲的波动比乙的波动大B.乙的波动比甲的波动大C.甲、乙的波动大小一样D.甲、乙的波动大小无法确定【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.【解答】解:由于S甲2<S乙2,则成绩较稳定的同学是甲.故选:A.【点评】此题主要考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.5.(3分)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是()A.对角相等B.对角线相等C.邻角互补D.内角和是360°【分析】此题可根据平行四边形的性质结合每个选项进行分析判断是否.【解答】解:平行四边形的性质有:①对角相等,②内角和是360°,③对边相等且平行,④邻角互补,⑤对角线互相平分,那么B、对角线相等是平行四边形不具有的.故选:B.【点评】此题考查了学生对平行四边形的性质的理解与掌握,解题的关键是根据平行四边形性质分析判断.6.(3分)如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象,根据图象下列结论错误的是()A.轮船的速度为20千米/小时B.快艇的速度为40千米/小时C.轮船比快艇先出发2小时D.快艇不能赶上轮船【分析】观察图象,该函数图象表示的是路程与之间的函数关系,可知轮船出发4小时后被快艇追上,在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等.【解答】解:观察图象,可知轮船出发4小时后被快艇追上,所以错误的是第四个结论.故选D.【点评】本题考查学生观察图象的能力,需仔细分析,从中找寻信息.7.(3分)下面说法错误的是()A.直线y=x就是一、三象限的角平分线B.函数y=3x﹣10的图象经过点(3,﹣1)C.函数中y随x的增大而减小D.抛物线y=x2﹣2x+1的对称轴是直线x=1【分析】根据二次函数、一次函数和反比例函数的性质进行解答,对于反比例函数,首先系数k的正负,然后判断图象所在象限和单调性,判断二次函数的对称轴,要把二次函数化成顶点式的形式进行判断.【解答】解:A、直线y=x就是一、三象限的角平分线,正确,B、把点(3,﹣1)代入y=3x﹣10中,式子成立,正确,C、反比例函数系数k=2,函数图象经过一三象限,在各个象限内,y随x增大而减小,在整个定义域内y不是随x增大而减小,故本选项错误,D、抛物线y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,故可得对称轴为x=1,正确.故选:C.【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数和一次函数的性质,解答本题的关键是熟练掌握这些函数的性质,本题是道基础性比较强的习题,同学们做题时需要细心.8.(3分)如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积是()A.B.C.D.【分析】该几何体的俯视图为一个圆,正视图以及左视图都是三角形,故可判断该几何体为圆锥.由已知三角形的边长为1,易得底面半径以及母线长,可求出侧面积.【解答】解:由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥,且其底面圆半径为,母线长为1,因此它的侧面积=π××1=.故选D.【点评】本题要先判断出几何体的形状,然后根据该几何体侧面积的计算方法进行计算.本题要注意圆锥侧面积的计算方式是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长.9.(3分)如图,菱形ABCD的周长为20cm,sin∠BAD=,DE⊥AB于点E,下列结论中:①S ABCD=15cm2;②BE=1cm;③AC=3BD.正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【分析】由菱形的性质和三角函数,可求出AE的长,即可求解.【解答】解:由题意可得,菱形的边长为5cm,又∵sin∠BAD==,∴DE=3,所以AE=4,∴S菱形ABCD=5×3=15cm2,BE=AB﹣AE=1cm,∴BD==,∴AC=15×2÷=3,∴AC=3BD.故可得①②③正确,共三个.故选:D.【点评】此题考查了菱形的性质:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相平分且相等;菱形的面积等于对角线积的一半.此题还要注意结合三角函数求解.10.(3分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心坐标为(﹣1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是()A.2B.1C.D.【分析】由于OA的长为定值,若△ABE的面积最小,则BE的长最短,此时AD与⊙O 相切;可连接CD,在Rt△ADC中,由勾股定理求得AD的长,即可得到△ADC的面积;易证得△AEO∽△ACD,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出△AOE的面积,进而可得出△AOB和△AOE的面积差,由此得解.【解答】解:若△ABE的面积最小,则AD与⊙C相切,连接CD,则CD⊥AD;Rt△ACD中,CD=1,AC=OC+OA=3;由勾股定理,得:AD=2;∴S△ACD=AD•CD=;易证得△AOE∽△ADC,∴=()2=()2=,即S△AOE=S△ADC=;∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣;另解:利用相似三角形的对应边的比相等更简单!故选:C.【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识;能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键.11.(3分)《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题,其歌词为:“十五为股八步勾,内容圆径怎生求?有人算得如斯妙,算学方为第一筹.”当中提出的数学问题是这样的:今有股长15步,勾长8步的直角三角形,试求其内切圆的直径.正确的答案是()A.3步B.4步C.5步D.6步【分析】首先根据题意画出图,观察发现直角三角形的内切圆半径,恰好是直角三角形内三个三角形的高,因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,这一面积相等,求得内切圆的半径.【解答】解:在Rt△ABC中,AB=15步,BC=8步,内切圆半径为r.AC=(勾股定理),,S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC==,∴=,∴r===3.∴直径为6.故选:D.【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理,解决本题的关键是将求内切圆半径转化为从不同角度求Rt△ABC的面积.12.(3分)将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是()A.3B.8C.D.2【分析】若连接CD、AC,则根据同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等,求得AC =CD;过C作AB的垂线,设垂足为E,则DE=AD,由此可求出BE的长,进而可在Rt△ABC中,根据射影定理求出BC的长.【解答】解:连接CA、CD;根据折叠的性质,知所对的圆周角等于∠CBD,又∵所对的圆周角是∠CBA,∵∠CBD=∠CBA,∴AC=CD(相等的圆周角所对的弦相等);∴△CAD是等腰三角形;过C作CE⊥AB于E.∵AD=4,则AE=DE=2;∴BE=BD+DE=7;在Rt△ACB中,CE⊥AB,根据射影定理,得:BC2=BE•AB=7×9=63;故BC=3.故选:A.【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理;能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形,是解答此题的关键.二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)13.(3分)分解因式:a2﹣a=a(a﹣1).【分析】这个多项式含有公因式a,分解因式时应先提取公因式.【解答】解:a2﹣a=a(a﹣1).【点评】本题考查了提公因式法分解因式,比较简单,注意不要漏项.14.(3分)函数y=的自变量x的取值范围为x≤3.【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0可知:3﹣x≥0,解得x的范围.【解答】解:根据题意得:3﹣x≥0,解得:x≤3.故答案为:x≤3.【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.15.(3分)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…容易看出,(﹣2,0)是它与x轴的一个交点,则它与x轴的另一个交点的坐标为(3,0).【分析】根据(0,6)、(1,6)两点求得对称轴,再利用对称性解答即可.【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过(0,6)、(1,6)两点,∴对称轴x==;点(﹣2,0)关于对称轴对称点为(3,0),因此它与x轴的另一个交点的坐标为(3,0).【点评】本题考查了二次函数的对称性.16.(3分)两个圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是3或7.【分析】分5为较大圆、较小圆两种情况求解.【解答】解:分两种情况:当5为较大的圆时,另一个圆的半径=5﹣2=3;当5为较小的圆时,另一个圆的半径=5+2=7.∴另一个圆的半径是3或7.【点评】本题用到的知识点为:两圆内切,圆心距=两圆半径之差.注意其中一圆的半径可能在较大圆,也有可能在较小圆.17.(3分)标有1,1,2,3,3,5六个数字的立方体的表面展开图如图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为x,朝下一面的数为y,得到平面直角坐标系中的一个点(x,y).已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P(4,7),则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为.【分析】根据概率的求法,找准两点:①符合条件的情况数目;②全部情况的总数;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:每掷一次可能得到6个点的坐标分别是(其中有两个点是重合的):(1,1),(1,1),(2,3),(3,2),(3,5),(5,3),通过描点和计算可以发现,经过(1,1),(2,3),(3,5),三点中的任意两点所确定的直线都经过点P(4,7),所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是=.故答案为:【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.18.(3分)如图,有任意四边形ABCD,A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D的对称点,设S表示四边形ABCD的面积,S′表示四边形A′B′C′D′的面积,则的值为5.【分析】根据C是BB′的中点,则根据三角形的面积公式可得△A′BC的面积=△A′B′C的面积,则△AA′D′的面积、△C′D′D的面积、△B′C′C的面积即可求得.【解答】解:连接A'C、BD,∵C是BB′的中点.∴△A′BC的面积=△A′B′C的面积.同理:△A′BC的面积=△ABC的面积.∴△A′BB′的面积=2△ABC的面积.同理:△AA′D′的面积=2△ABD的面积,△C′D′D的面积=2△ACD的面积,△B′C′C的面积=2△BCD的面积.∵△ABC的面积+△ABD的面积+△ACD面积+△BCD的面积=2S,∴△A′BB′的面积+△AA′D′的面积+△C′D′D的面积+△B′C′C的面积=4S,∴S′=5S,∴的值为5.【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的面积的计算,正确理解三角形的面积公式是解题的关键.三、解答题(共8小题,满分66分)19.(6分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.【分析】根据△=0时,方程有两个相等的两个实数根列出方程,解方程求出m,利用因式分解法解方程求出方程的根.【解答】解:∵一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根,∴△=42﹣4×1×(m﹣1)=20﹣4m=0,解得,m=5,x2﹣4x+4=0(x﹣2)2=0,x1=x2=2.【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.上面的结论反过来也成立.20.(6分)如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥CD;(2)若AD=3,AC=,求AB的长.【分析】(1)连接OC;根据切线的性质知:OC⊥CD;因此只需证OC∥AD即可.已知AC平分∠BAD,即∠DAC=∠BAC,等腰△OAC中,∠OAC=∠OCA,等量代换后可得出OC、AD的内错角相等,由此得证.(2)连接BC,证△ADC∽△ACB,根据相似三角形得出的对应边成比例线段,可将AB 的长求出.【解答】(1)证明:连接OC,∵直线CD与⊙O相切于点C,∴OC⊥CD.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠OAC.∴∠DAC=∠OCA.∴OC∥AD.∴AD⊥CD.(2)解:连接BC,则∠ACB=90°.∵∠DAC=∠OAC.∴△ADC∽△ACB.∴=.∴AB===5.【点评】本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.21.(8分)一只不透明的袋子中,装有2个白球和1个红球,这些球除颜色外都相同.(1)搅均后从中一把摸出两个球,请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率;(2)搅均后从中任意摸出一个球,要使摸出红球的概率为,应如何添加红球?【分析】(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率;(2)首先设应添加x个红球,根据概率公式即可列得方程,解方程即可求得答案.【解答】解:(1)树状图如图:∵一共有6种情况,两个球都是白球有2种,∴P(两个球都是白球)=;(2)设应添加x个红球,由题意得:,解得x=3,经检验是原方程的解,答:应添加3个红球.【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率,以及古典概率的求解方法.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.22.(8分)如图,线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上,现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.(1)请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径;(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(﹣2,﹣1),则点C的坐标为(5,0);(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过的区域记为图形T,若将图形T 围成一个几何体的侧面,求该几何体底面圆的半径长.【分析】(1)由旋转的性质可画出线段AC,点B经过的路径是以点A为圆心,AB长为半径的弧;(2)根据点AB的坐标建立直角坐标系,从而得出点C的坐标;(3)线段AB扫过的图形为扇形,它所围成的几何体为圆锥,可计算出圆锥的底面周长,从而求得底面半径.【解答】解:(1)如图;(2)C的坐标为(5,0);(3)l==,设该几何体底面圆的半径r,则2πr=,解得r=,该几何体底面圆的半径长为.【点评】本题考查了扇形面积的计算、坐标与图形的性质,以及圆锥的计算,解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.23.(8分)在刚刚结束的市中学生篮球比赛中,小明共打了10场球.他在第6,7,8,9场比赛中分别得了22,15,12和19分,他的前9场比赛的平均得分y,前5场比赛的平均得分x,如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分.(1)用含x的代数式表示y;(2)当y>x时,小明在前5场比赛中,总分可达到的最大值是多少?(3)小明在第10场比赛中,得分可达到的最小值为多少?【分析】(1)根据前5场比赛的平均得分x,以及第6,7,8,9场比赛中分别得了22,15,12和19分,以及前9场比赛的平均得分y,可以得出等式求出即可;(2)根据x的最值,可以求出总分的最大值;(3)根据10场比赛的得分最小值可以求出第10场比赛的最小值.【解答】解:(1)根据题意得:y=(5x+22+15+12+19),即y=x+;(2)由题意有y>x,即5x+68>9x解得:x<17,小明在前5场比赛中总分的最大值应为17×5﹣1=84;(3)由题意,小明在这10场比赛中得分至少为18×10+1=181,设他在第10场比赛中的得分为S,则有:84+(22+15+12+19)+S≥181,解得:S≥29,所以小明在第10场比赛中得分的最小值应为29.【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一次函数与一次不等式的综合应用,根据不等式确定最值是初中阶段的难点问题,同学们应认真思考.24.(10分)已知:如图,直线y=﹣x+4与x轴相交于点A,与直线y=x相交于点P.(1)求点P的坐标;(2)请判断△OP A的形状并说明理由;(3)动点E从原点O出发,以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动(E不与点O,A重合),过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B,设运动t秒时,矩形EBOF与△OP A重叠部分的面积为S.求:①S与t之间的函数关系式.②当t为何值时,S最大,并求出S的最大值.【分析】(1)由两直线相交可列出方程组,求出P点坐标;(2)将y=0代入y=﹣x+4,可求出OA=4,作PD⊥OA于D,则OD=2,PD =2,利用tan∠POA=,可知∠POA=60°,由OP=4.可知△POA是等边三角形;(3)①当0<t≤4时,在Rt△EOF中,∠EOF=60°,OE=t,则EF=,OF=,则S=•OF•EF=t2;②当4<t<8时,如图,设EB与OP相交于点C,易知:CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,可得AF=4﹣,EF=(8﹣t),有OF=OA﹣AF=4﹣(4﹣)=,S=(CE+OF)•EF=﹣t2+4t﹣8.【解答】解:(1)由题意可得:,解得,所以点P的坐标为(2,2);(2)将y=0代入y=﹣x+4,﹣x+4=0,∴x=4,即OA=4,作PD⊥OA于D,则OD=2,PD=2,∵tan∠POA==,∴∠POA=60°,∵OP==4,∴△POA是等边三角形;(3)①当0<t≤4时,如图1,在Rt△EOF中,∵∠EOF=60°,OE=t,∴EF=,OF=,∴S=•OF•EF=t2.当4<t<8时,如图2,设EB与OP相交于点C,∵CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,∴AF=4﹣,EF=(8﹣t),∴OF=OA﹣AF=4﹣(4﹣)=,∴S=(CE+OF)•EF=(t﹣4+t)×(8﹣t),=﹣t2+4t﹣8;②当0<t≤4时,S=,t=4时,S最大=2;当4<t<8时,S=﹣t2+4t﹣8=﹣(t﹣)2+,t=时,S最大=.∵>2,∴当t=时,S最大,最大值为.【点评】把动点问题与三角形的性质相结合,增加了难度,在解答时要注意t在三个取值范围内的情况,不要漏解.25.(10分)矩形纸片ABCD中,AD=12cm,现将这张纸片按下列图示方式折叠,AE是折痕.(1)如图1,P,Q分别为AD,BC的中点,点D的对应点F在PQ上,求PF和AE的长;(2)如图2,,点D的对应点F在PQ上,求AE的长;(3)如图3,,点D的对应点F在PQ上.①直接写出AE的长(用含n的代数式表示);②当n越来越大时,AE的长越来越接近于12.【分析】(1)根据P、Q是矩形ABCD中AD,BC的中点,可得,从而可得∠AFP=30°,∠F AD=60°然后利用三角函数值即可求解.(2)根据,求得FP,利用DE=EF,∠AED=∠AEF,∠AED=∠FGE,求证EF=GF,设DE=x,则GF=x利用△APG∽△ADE的对应边成比例可求的AE.(3)①可得,②当n越来越大时,根据可判定AE的长.【解答】解:(1)∵P、Q是矩形ABCD中AD,BC的中点,∴,∴∠AFP=30°,∴,∴∠F AD=60°,∴,∴,(2)∵,∴∴,∵DE=EF,∠AED=∠AEF,∠AED=∠FGE,∴∠FGE=∠FEG,∴EF=GF,设DE=x,则GF=x∵△APG∽△ADE,∴,∴∴,∴,∴;(3)①可得,②∵,∴当n越来越大时,AE越来越接近于12.故答案为:12.【点评】此题涉及到相似三角形的判定与性质,矩形的性质,翻折变换(折叠问题)等知识点,综合性较强,特别是翻折变换(折叠问题)要求学生应具备一定的空间想象能力,因此此题有一定的拔高难度,属于难题.26.(10分)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式;(2)设∠DBC=α,∠CBE=β,求sin(α﹣β)的值;(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据题意与图象可得点C的坐标,根据圆的性质可得点B的坐标,根据对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式;(2)由抛物线的解析式可求得点A,E,B,C,D的坐标,判断Rt△BOD∽Rt△BCE,得∠CBE=∠OBD=β,因此sin(α﹣β)=sin(∠DBC﹣∠OBD)=sin∠OBC=;(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE,此时点P1(0,0),过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2,由Rt△CAP2∽Rt△BCE,得P2(0,),过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3,由Rt△P3CA∽Rt△BCE,得P3(9,0),故在坐标轴上存在三个点P1(0,0),P2(0,),P3(9,0),使得以P、A、C为顶点。

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2017年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案

2017年浙江省重点高中自主招生考试数 学 试 题 卷本次考试不能使用计算器,没有近似计算要求的保留准确值.一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分。

每小题只有一个选项是正确的,不选,多选,错选,均不给分)1.“红灯停,绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则.小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口,且每个路口只安装了红灯和绿灯,假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同,那么小刚从家随时出发去学校,他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A .14 B .13 C .12 D .232.若关于x 的一元一次不等式组 ⎩⎨⎧>≤<mx x 21 有解,则m 的取值范围为( ▲ )A .2<mB .2m ≤C .1<mD .21<≤m 3.点M (2-,a ),N (4-,b )是所给函数图像上的点,则能使b a >成立的函数是 ( ▲ )A .32+-=x yB .4)3(22++-=x yC .1)2(32--=x y D .xy 2-= 4.据报道,日本福岛核电站发生泄漏事故后,在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”,含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天,即每8天含量减少一半,如8天后减少到0.2毫贝克),那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下,下列天数中,能达到目标的最少的天数是( ▲ )A .64B .71C .82D .1045.十进制数2378,记作)10(2378,其实)10(2378=0123108107103102⨯+⨯+⨯+⨯, 二进制数1001)2(=012321202021⨯+⨯+⨯+⨯.有一个(010k <≤为整数)进制数()165k ,把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数()561k 是原数的3倍,则k =( ▲ )A .10B .9C .8D .7 6.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示,点G 在线段DK 上,正方形BEFG 的边长为2,则△DEK 的面积为( ▲ )A .4B .3C .2D .27.如图,在Rt △ABC 中,AC =3,BC =4,D 为斜边AB 上一动点,DE ⊥BC ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F 。

2017年自主招生考试数学试卷

2017年自主招生考试数学试卷

2017年自主招生考试数学试卷一、选择题1.一组样本容量为5的数据中,其中,,,与的和为5,当、依次取()时,这组样本方差有最小值。

A.1.5 , 3.5 B.1 , 4 C. 2.5 , 2.5 D.2 , 3(第3题图)(第4题图)2.如图,在正方体的表面展开图中,要将、、填入剩下的三个空白处,(彼此不同),则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为()。

A. B. C. D.3.如图,反比例函数>0图象经过矩形边的中点,交边于点,连结、、,则的面积是()。

A. B. C. D.4.设[x]表示不超过实数x的最大整数.若实数a满足则[a]=()A.0或2 B.或2C.0或3 D .或25.如图,平面内有四条线段、、、首尾顺次相接,点E在的延长线上,∠的角平分线与∠的角平分线交于点F.若∠26°,∠62°,则∠ =()A.131°B.132°第6题C.133°D.134°6.已知第一象限内的点A 在反比例函数的图像上,第二象限内的点B 在反比例函数的图像上.若⊥ , ∠,则=()A .B .C .D .7.如图,以△的直角边为直径作半圆⊙O与边交于点D,过D 作半圆的切线与边交于点E,过E作∥,与交于点F.若20,7.5,则=()A.7B.8 C.9 D.108.已知二次函数的图象与轴交于点,,且,与轴的正半轴的交点在的下方,下列结论:①;②;③;④,其中正确结论的个数有()A 1个B 2个C 3个D 4个二.填空题9.设,则.10.已知满足,且,则函数的最小值是.11.如图,在菱形中,已知∠ = 60°,直线过点D,且与、的延长线分别交于点E、F, M是与的交点. 若4 , 5,则.12.计算:.13.化简:的值为.14.如图,⊙O 是△的外接圆,, = b,且∠A - ∠ 90° . 则⊙O 的半径为.15.已知实数满足:则的值为.第1616.已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数,且这三个数使得多项式x3-30x2+ ( a是常数)的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数.则此梯形的面积为.2016年江苏省海门中学自主招生考试数学试卷一、选择题(每小题6分,共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案三.填空题(每小题7分,共42分)11. 12. 13.14. 15. 16.三.解答下列各题(共48分)17.(本题满分10分)对任何实数,都有成立.求实数的最大值.18.(本题满分10分)已知,求的整数部分.19.(本题满分14分)如图,已知内接于⊙O,点E在弧上,交于点D,经过B、C两点的圆弧交于I⑴求证:∽;⑵如果平分,求证:⑶设O的半径为5,8,,求的长。

2017年安徽省合肥168中自主招生数学试卷

2017年安徽省合肥168中自主招生数学试卷

2017年安徽省合肥168中自主招生数学试卷一、选择题(本大提共8小题,每小题5分,共40分)1.(5分)已知a=,b=,则二次根式的值是()A.6B.7C.8D.92.(5分)已知有9张卡片,分别写有1到9这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的不等式组有解的概率为()A.B.C.D.3.(5分)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,3),且与坐标轴围成面积为6的三角形,则满足条件的函数有()A.2个B.3个C.4个D.5个4.(5分)若实数a≠b,且a,b满足a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,则代数式的值为()A.﹣20B.2C.2或﹣20D.2或205.(5分)对于每个非零自然数n,抛物线y=x2﹣x+与x轴交于A n,B n 以|A n B n|表示这两点间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是()A.B.C.D.6.(5分)已知a,b,c是△ABC的三边,则下列式子一定正确的是()A.a2+b2+c2≥ab+bc+ac B.<C.D.a3+b3<c37.(5分)如图,从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC,各与其对边或其延长线相交于D,E,F.若△ABC的面积为1,则△DEF的面积为()A.3B.C.D.28.(5分)半径为2.5的圆O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在弧AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,则CQ的最大值为()A.B.C.D.二、填空题(本大提共7题,每小题5分,共35)9.(5分)若分式方程=a无解,则a的值为.10.(5分)已知一列数a1,a2,a3,…满足a1=,a2=,a3=,a4=,…,依此类推,则a1,a2,…,a2017,这2017个数的积为.11.(5分)某公司加工252个零件,计划若干天完成,加工了2天后,由于改进新技术,每天可多加工9个零件,因此提前1天完成任务,则原计划完成任务的天数为.12.(5分)已知函数y=x2﹣2mx+4(m是实数)与x轴两交点的横坐标为x1,x2,当1<x1<2,1<x2<3时,则m的范围是.13.(5分)如图,已知四边形ABCD是矩形,BC=2AB,A,B两点的坐标分别是(﹣1,0),(0,1),C,D两点在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值等于.14.(5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,内取一点P,且AP=AC=a,BP=CP=b(b<a),则=.15.(5分)足球运动员在足球场上,常需要带球跑到一定位置后,再进行射门,这个位置为射门点,射门点与球门边框两端的夹角是射门角.如果点A,B表示球门边框(不考虑球门的高度)的两端点,点C表示射门点,连接AC,BC,则∠ABC就是射门角,在不考虑其他因素的情况下,一般地,射门角越大,射门进球的可能性越大,如图(1)(2)(3)是运动员带球跑动的三种常见路线(用直线L表示),则下列说法:①如图(1),AB∥L,当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时,进球的可能性最大;②如图(2)AB⊥L垂足为D,设AB=2a,BD=b,当运动员在离底线AB的距离为的点C处(即CD=)射门时,进球可能性最大.③如图(3),AB与L交于点Q,设AB中点为O,当点C满足OQ=CQ时,运动员在点C处射门时,进球的可能性最大.④如图(3),过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M,当M恰好是△ABC的外心时,运动员在点C处射门时,进球可能性最大.其中正确的序号是(写出所有正确的序号)三、解答题(本大题共5小题,共75分)16.(12分)若,求的值.17.(13分)某学校在大课间举行跳绳活动,为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干,要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍.已知长跳绳单价是20元,中跳绳的单价是15元,短跳绳的单价是8元.(1)若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳,问学校有几种购买方案可供选择?(2)若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳.求n的最大值.18.(13分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE×CA.(1)求证:BC=CD(2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半径.19.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣),点M 是抛物线C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.20.(14分)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).2017年安徽省合肥168中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大提共8小题,每小题5分,共40分)1.(5分)已知a=,b=,则二次根式的值是()A.6B.7C.8D.9【解答】解:∵a==(﹣)2=4﹣,b===4+,∴ab=(4+)(4﹣)=1,∴======9.故选:D.2.(5分)已知有9张卡片,分别写有1到9这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的不等式组有解的概率为()A.B.C.D.【解答】解:因为关于x的不等式组有解,可得:,所以得出a>5,因为a取≤9的整数,可得a的可能值为6,7,8,9,共4种可能性,所以使关于x的不等式组有解的概率为,故选:C.3.(5分)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(1,3),且与坐标轴围成面积为6的三角形,则满足条件的函数有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解答】解:把A(1,3)代入y=kx+b中,得3=k+b,∴b=3﹣k,∴一次函数的解析式为:y=kx+3﹣k,∴一次函数图象与坐标轴的交点为(0,3﹣k),(,0),∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与坐标轴围成三角形的面积为6,∴,解得,k=﹣3,或k=9,∴k的值有3个,∴满足条件的函数有3个.故选:B.4.(5分)若实数a≠b,且a,b满足a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,则代数式的值为()A.﹣20B.2C.2或﹣20D.2或20【解答】解:∵a,b满足a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,∴a,b可看着方程x2﹣8x+5=0的两根,∴a+b=8,ab=5,====﹣20.故选:A.5.(5分)对于每个非零自然数n,抛物线y=x2﹣x+与x轴交于A n,B n 以|A n B n|表示这两点间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是()A.B.C.D.【解答】解:y=x2﹣x+=(x﹣)(x﹣),∴A n(,0),B n(,0),∴|A n B n|=﹣,∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|=+++…+=1﹣=,故选:C.6.(5分)已知a,b,c是△ABC的三边,则下列式子一定正确的是()A.a2+b2+c2≥ab+bc+ac B.<C.D.a3+b3<c3【解答】解:A、由三角形三边关系可得:(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2≥0,可得:2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac),可得:(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2≥0,故选项正确;B、由三角形三边关系不一定得出a+b>c,<,可得<,>,选项错误;C、由三角形三边关系不一定得出a>b>c,由,可得:a>b>c,选项错误;D、由三角形三边关系不一定得出a3+b3<c3,选项错误;故选:A.7.(5分)如图,从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC,各与其对边或其延长线相交于D,E,F.若△ABC的面积为1,则△DEF的面积为()A.3B.C.D.2【解答】证明:∵AD∥BE,AD∥FC,FC∥BE,∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等,△ADF和△ADC在底边AD上的高相等,△BEF和△BEC在底边BE上的高相等,∴S△ADF=S△ADC,S△BEF=S△BEC,S△AEF=S△BEF﹣S△ABE=S△BEC﹣S△ABE=S△ABC∴S△DEF=S△ADE+S△ADF+S△AEF=S△ABD+S△ADC+S△ABC=2S△ABC.即S△DEF=2S△ABC.∵S△ABC=1,∴S△DEF=2,故选:D.8.(5分)半径为2.5的圆O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在弧AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,则CQ的最大值为()A.B.C.D.【解答】解:∵AB是直径,∴AB=5,∠ACB=90°,∴AB2=AC2+BC2,且BC:CA=4:3,∴BC=4,AC=3,∵∠A=∠P,∠ACB=∠PCQ=90°,∴△ACB∽△PCQ,∴,∴CQ=,∴当PC最大时,CQ有最大值,∴PC是直径时,CQ的最大值=×5=,故选:B.二、填空题(本大提共7题,每小题5分,共35)9.(5分)若分式方程=a无解,则a的值为1或﹣1.【解答】解:去分母得:x﹣a=ax+a,即(a﹣1)x=﹣2a,显然a=1时,方程无解;由分式方程无解,得到x+1=0,即x=﹣1,把x=﹣1代入整式方程得:﹣a+1=﹣2a,解得:a=﹣1,综上,a的值为1或﹣1,故答案为:1或﹣110.(5分)已知一列数a1,a2,a3,…满足a1=,a2=,a3=,a4=,…,依此类推,则a1,a2,…,a2017,这2017个数的积为.【解答】解:a1=,a2=,=2,a3==﹣1,a4==,…,依此类推,发现每3个数为一组一个循环,前3个数的乘积为:2×(﹣1)=﹣1,所以2017÷3=672…1,则a1,a2,…,a2017,这2017个数的积为(﹣1)672×=.故答案为:.11.(5分)某公司加工252个零件,计划若干天完成,加工了2天后,由于改进新技术,每天可多加工9个零件,因此提前1天完成任务,则原计划完成任务的天数为7.【解答】解:设原计划每天加工x个零件.由题意得:+2+1=,整理得:x2+27x﹣2268=0.解得:x1=36,x2=﹣63(不合题意舍去).经检验:x=36是原方程的解.当x=36时,=7,即原计划7天完成,故答案为:7.12.(5分)已知函数y=x2﹣2mx+4(m是实数)与x轴两交点的横坐标为x1,x2,当1<x1<2,1<x2<3时,则m的范围是2<m<.【解答】解:由题意得:△=b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4×4>0,解得:m>2或m<﹣2①,函数的对称轴为x=﹣=﹣=m,当1<x1<2,1<x2<3时,1<(x1+x2)<,而x=﹣=﹣=m=(x1+x2),即1<m<②,联立①②并解得:2<m<,故答案为:2<m<.13.(5分)如图,已知四边形ABCD是矩形,BC=2AB,A,B两点的坐标分别是(﹣1,0),(0,1),C,D两点在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值等于﹣6.【解答】解:过点C作CE⊥y轴,垂足为E,∵A,B两点的坐标分别是(﹣1,0),(0,1),∴OA=OB=1,∠OAB=∠OBA=45°,∵ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴∠CBE=180°﹣90°﹣45°=45°=∠BCE,∴△AOB∽△BEC,∴==,又∵BC=2AB,∴BE=CE=2,OE=OB+BE=1+2=3,∴点C(﹣2,3),代入反比例函数关系式得,k=﹣2×3=﹣6,故答案为:﹣6.14.(5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,内取一点P,且AP=AC=a,BP=CP=b(b<a),则=.【解答】解:如图:过点P作PD⊥BC与点D,作PE⊥AC于点E,可得矩形PDCE,有PD=EC,PE=CD,∵PC=PB,PD⊥BC,∴DC=DB=BC=AC=a,∴PE=CD=a,Rt△AEP中,AP=AC=a,PE=a,∴AE=a,∴EC=AC﹣AE=a﹣a=a.∴PD=EC=a,Rt△CDP中,PD2+CD2=CP2,∴(a)2+()2=b2,∴a2+a2=b2,∴a2=b2,∴(2﹣)a2=b2.∴=2﹣,∴===.故答案是:.15.(5分)足球运动员在足球场上,常需要带球跑到一定位置后,再进行射门,这个位置为射门点,射门点与球门边框两端的夹角是射门角.如果点A,B表示球门边框(不考虑球门的高度)的两端点,点C表示射门点,连接AC,BC,则∠ABC就是射门角,在不考虑其他因素的情况下,一般地,射门角越大,射门进球的可能性越大,如图(1)(2)(3)是运动员带球跑动的三种常见路线(用直线L表示),则下列说法:①如图(1),AB∥L,当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时,进球的可能性最大;②如图(2)AB⊥L垂足为D,设AB=2a,BD=b,当运动员在离底线AB的距离为的点C处(即CD=)射门时,进球可能性最大.③如图(3),AB与L交于点Q,设AB中点为O,当点C满足OQ=CQ时,运动员在点C处射门时,进球的可能性最大.④如图(3),过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M,当M恰好是△ABC的外心时,运动员在点C处射门时,进球可能性最大.其中正确的序号是①②④(写出所有正确的序号)【解答】解:①作△ABC的外接圆圆O,过C作圆O的切线,由圆的切线性质可得,当△ABC等腰三角形的时候,∠ACB最大,所以正确;②当△DBC∽△DAC时,∠ACB最大,此时,CD2=BD•AD=b(2a+b)=2ab+b2,CD=,所以正确;③④过点C作l的垂线,交AB垂直平分线于M,当M恰好是△ABC的外心时,∠ACB最大,所以③错误,④正确.故答案为:①②④.三、解答题(本大题共5小题,共75分)16.(12分)若,求的值.【解答】解:∵=﹣,∴x=a+﹣2,∵x≥0,∴≥,∴a≥1,≤1,原式=,=,=,=,当a≥时,原式==a2;当a<时与a≥1,≤1相矛盾.综上所述,原二次根式的值为:a2.故答案为:a2.17.(13分)某学校在大课间举行跳绳活动,为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干,要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍.已知长跳绳单价是20元,中跳绳的单价是15元,短跳绳的单价是8元.(1)若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳,问学校有几种购买方案可供选择?(2)若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳.求n的最大值.【解答】解:(1)设购进x条长跳绳,则购进2x条中跳绳,(200﹣x﹣2x)条短跳绳,依题意,得:,解得:22≤x≤26.∵x为正整数,∴x=23,24,25,26,∴学校共有4种购买方案可供选择.(2)设可以购买a条长跳绳,则购进2a条中跳绳,(n﹣a﹣2a)条短跳绳,依题意,得:,化简,得:,∴13a=4(375﹣n),∴a为4的倍数,设a=4k,则n=375﹣13k,∴375﹣13k≤36k,∴k≥7,∴k的最小值为8,n的最大值为271.18.(13分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE×CA.(1)求证:BC=CD(2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半径.【解答】(1)证明:∵DC2=CE•CA,∴,而∠ACD=∠DCE,∴△CAD∽△CDE,∴∠CAD=∠CDE,∵∠CAD=∠CBD,∴∠CDB=∠CBD,∴BC=DC;(2)解:连接OC,如图,设⊙O的半径为r,∵CD=CB,∴=,∴∠BOC=∠BAD,∴OC∥AD,∴,∴PC=2CD=4,∵∠PCB=∠P AD,∠CPB=∠APD,∴△PCB∽△P AD,∴,即,∴r=4,即⊙O的半径为4.19.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣),点M 是抛物线C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.【解答】解:(1)y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣3)(x+1),∵m≠0,∴当y=0时,x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0);(2)设C1:y=ax2+bx+c,将A、B、C三点的坐标代入得:,解得,故C1:y=x2﹣x﹣.如图:过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,由B、C的坐标可得直线BC的解析式为:y=x﹣,设P(x,x2﹣x﹣),则Q(x,x﹣),PQ=x﹣﹣(x2﹣x﹣)=﹣x2+x,S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OB=×(﹣x2+x)×3=﹣(x﹣)2+,当x=时,S△PBC有最大值,Smax=,×()2﹣﹣=﹣,P(,﹣);(3)y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x﹣1)2﹣4m,顶点M坐标(1,﹣4m),当x=0时,y=﹣3m,∴D(0,﹣3m),B(3,0),∴DM2=(0﹣1)2+(﹣3m+4m)2=m2+1,MB2=(3﹣1)2+(0+4m)2=16m2+4,BD2=(3﹣0)2+(0+3m)2=9m2+9,当△BDM为Rt△时有:DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2.①DM2+BD2=MB2时有:m2+1+9m2+9=16m2+4,解得m=﹣1(∵m<0,∴m=1舍去);②DM2+MB2=BD2时有:m2+1+16m2+4=9m2+9,解得m=﹣(m=舍去).综上,m=﹣1或﹣时,△BDM为直角三角形.20.(14分)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).【解答】解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6,在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t.∵OP2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得:t1=2,t2=﹣2(舍去).∴点P的坐标为(,6).(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP,∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC,∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°,∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ.又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ,∴,由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11﹣t,CQ=6﹣m.∴.∴m=(0<t<11).(Ⅲ)过点P作PE⊥OA于E,∴∠PEA=∠QAC′=90°,∴∠PC′E+∠EPC′=90°,∵∠PC′E+∠QC′A=90°,∴∠EPC′=∠QC′A,∴△PC′E∽△C′QA,∴,∵PC′=PC=11﹣t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6﹣m,∴AC′==,∴,∴,∴3(6﹣m)2=(3﹣m)(11﹣t)2,∵m=,∴3(﹣t2+t)2=(3﹣t2+t﹣6)(11﹣t)2,∴t2(11﹣t)2=(﹣t2+t﹣3)(11﹣t)2,∴t2=﹣t2+t﹣3,∴3t2﹣22t+36=0,解得:t1=,t2=,点P 的坐标为(,6)或(,6).法二:∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′,∴OC′=PC′=PC=11﹣t,过点P作PE⊥OA于点E,则PE=BO=6,OE=BP=t,∴EC′=11﹣2t,在Rt△PEC′中,PE2+EC′2=PC′2,即(11﹣t)2=62+(11﹣2t)2,解得:t1=,t2=.点P 的坐标为(,6)或(,6).第21页(共21页)。

2017年___数学自招真题

2017年___数学自招真题

2017年___数学自招真题1. 已知三角形的三边为a、b、c,求a+b+c-2ab-2bc-2ca的值。

解:根据三角形的三边关系,有a+b>c,b+c>a,c+a>b。

将a+b+c-2ab-2bc-2ca进行化简,得到(a-b-c)^2>0,即a-b-c不等于0。

2. 设m、n是正整数,且m+n>mn,判断以下四个结论中正确的一个。

解:将m+n-mn>0进行化简,得到(m-1)(n-1)<1。

若m、n均大于1,则m-1≥1,n-1≥1,因此(m-1)(n-1)≥1,与(m-1)(n-1)<1矛盾。

3. 已知方程2x+a=x+a有一个根为1,求实数a的值。

解:将x=1代入方程2x+a=x+a,得到a+2=a+1,化简得a=-1±√5。

当a=-1-√5时,方程2x+a=x+a的根不包括1,因此舍去。

4. 已知a、b、c是不完全相等的任意实数,求x=a-2b+c,y=a+b-2c,z=-2a+b+c的大小关系。

解:将x、y、z相加,得到x+y+z=-2a-2b-2c。

若x、y、z均小于0,则x+y+z<0,与上式矛盾。

5. 已知a、b、c不全为无理数,判断关于a+b、b+c、c+a的说法是否正确。

解:若a、b、c均为有理数,则a+b、b+c、c+a均为有理数,选项A正确。

若a=2,b=3,c=√2,则a+b、b+c、c+a均为无理数,选项B正确。

若a=2,b=-2,c=√2,则a+b、b+c、c+a中有且仅有一个为有理数,选项D错误。

6. 求方程组(x-y)(x-2y)=1,(x+y-2)^2+(2x-y-1)^2的实数解。

解:将(x-y)(x-2y)=1化简,得到x^2-3xy+2y^2=1。

将x+y-2=a,2x-y-1=b,化简得到a^2+b^2=10。

将x=ay+b代入x^2-3xy+2y^2=1,得到a^2-3ab+2b^2=1。

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A.7 B.8 C.9 D.10
8.已知二次函数 的图象与 轴交于点 , ,且 ,与 轴的正半轴的交点在 的下方,下列结论:① ;② ;③ ;④ ,其中正确结论的个数有( )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
二.填空题
9.设 , 则 =______________.
10.已知 满足 ,且 ,则函数 的最小值是___________________________.
A.131°B.132°
C.133°D.134°
6.已知第一象限内的点A在反比例函数 的图像上,第二象限内的点B在反比例函数 的图像上.若OA⊥OB, tan∠OAB= ,则 =( )
A. B. C. D.
7.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D,过D作半圆的切线与边AC交于点E,过E作EF∥AB,与BC交于点F.若AB=20,OF= 7.5,则CD=( )
⑴求证: ∽ ;
⑵如果BI平分 ,求证:
⑶设O的半径为5,BC=8, ,求AD的长。
20.(本题满分14分)已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(﹣3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K,如图所示.
(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;
一、选择题(每小题6分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
三.填空题(每小题7分,共42分)
11.12.13.
14.15.16.
三.解答下列各题(共48分)
17.(本题满分10分)
对任何实数 ,都有 成立.求实数 的最大值.
18.(本题满分10分)
已知 ,求 的整数部分.
19.(本题满分14分)如图,已知 内接于⊙O,点E在弧BC上,AE交BC于点D, 经过B、C两点的圆弧交AE于I
15.已知实数 满足:
则 的值为___________________.
16.已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数,且这三个数使得多项式x3-30x2+ax(a是常数)的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数.则此梯形的面积为__________.
2016年江苏省海门中学自主招生考试数学试卷
A. B. C. D.
3.如图,反比例函数 >0 图象经过矩形 边 的中点 ,交边 于 点,连结 、 、 ,则 的面积是( )。
A. B. C. D.
4.设[x]表示不超过实数x的最大整数.若实数a满足 则[a]=பைடு நூலகம் )
A.0或2 B. 或2
C.0或3 D. 或2
5.如图,平面内有四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接,点E在BA的延长线上,∠DAE的角平分线与∠BCD的角平分线交于点F.若∠B=26°,∠D=62°,则∠AFC=( )
2017年自主招生考试数学试卷
一、选择题
1.一组样本容量为5的数据中,其中 , , , 与 的和为5,当 、 依次取( )时,这组样本方差有最小值。
A.1.5 , 3.5 B.1 , 4 C. 2.5 , 2.5 D. 2 , 3
(第3题图) (第4题图)
2.如图,在正方体的表面展开图中,要将 、 、 填入剩下的三个空白处,(彼此不同),则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为( )。
(2)抛物线的对称轴被直线l1,抛物线,直线l2和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由;
(3)当直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标.
11.如图,在菱形ABCD中,已知∠ABC= 60°,直线EF过点D,且与BA、BC的延长线分别交于点E、F,M是CE与AF的交点. 若CM=4 ,EM=5,则AC=___________.
12.计算: =________.
13.化简:
的值为___________.
14.如 图,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC =a,CA = b,且∠A - ∠B= 90° . 则 ⊙O 的半径为____________.
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