浅谈微积分中值定理

论文提要在微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,同时具体的分析微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；等式及不等式证明等问题。

浅谈微分中值定理柴洪雪摘 要：本文讨论了三大微分中值定理之间的递进关系,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等问题加以讨论、比较、总结。

关键词： 微分中值定理 新证法 罗尔定理推广1微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个(或多个)函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).定义 2 (凹性) 若)(x f y =的一阶导数)(x f '在()b a ,上单调递增(或递减),则称)(x f在()b a ,是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).定义3 (函数单调性) 函数)(x f 在定义域内,当21x x <时,有)()(21x f x f ≤<)((1x f ))(2x f则称)(x f 单调递增(严格单调递增).当21x x <时,有)()(21x f x f ≥>)((1x f ))(2x f ,则称)(x f 单调递减(严格单调递减).定义4 (极限的局部保号性) 若)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→>,则存在,0>∆任意,(0∆-∈x x),0∆+x 使得)()(x g x f >.定义5 (最小值或最大值) 设)(x f 在I 上有定义,若存在I x ∈0使任意I x ∈,≤)(0x f )(x f (≥)(0x f )(x f ),则)(0x f 称为)(x f 的最小值(最大值).0x 为最小值点(最大值点).定义6 (极小值或极大值) 设)(x f 在任意I x ∈上有定义,若存在,0,0>∆∈I x 任意∈x ),(00∆+∆-x x ,都有)()(0x f x f ≥ ()()(0x f x f ≤),则)(0x f 称为)(x f 的一个极小值(极大值),0x 称为极小值点(极大值点).2 微分中值定理普遍的证明法微分中值定理是微分学的基本定理，是构成微分学基础理论的重要内容。

它包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

其中拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

2.1 费马定理定理1 设)(x f 在区间K 有定义.若0x 是函数)(x f 的极值点,且)(x f 在0x 处可导,则0)(='x f .费马定理的几何意义:若将函数)(x f 的曲线置于平面直角坐标系XOY ,则费马定理具有几何意义:对曲线)(x f y =上,若有一点))(,(00x f x 存在切线,且0x 为)(x f 极值点.则这一点处的切线平行于x 轴.证明 0x 为)(x f 的极值点.设0x 为极小值点,则存在,0>∆任意,(0∆-∈x x )0∆+x ,有)()(0x f x f ≤, 若0x x >,则0)()(00≥--x x x f x f ;若0x x <,则0)()(00≤--x x x f x f ; 取极限00)()(lim 0x x x f x f x x --+→与00)()(lim 0x x x f x f x x ---→分别为T 、S ,由于)(x f 在0x 处可导,则T =S =00)()(lim 0x x x f x f x x --→ 由极限的局部保号性有0≥T , 0≤S .故 T =S =0.所以有0)()(lim00=--→x x x f x f x x ,即0)(0='x f . 2.2 罗尔中值定理定理 2 设)(x f 满足:(1) 在闭区间[]b a ,上连续; (2) 在开区间()b a ,内可导; (3))()(b f a f =,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .罗尔定理的几何意义:若)(x f 满足罗尔定理的条件,则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ,使得点P 处的切线平行于x 轴(如图), 其中))(,(a f a A ,))(,(b f b B .证明 由于在闭区间上连续,从而存在最大值M ,最小值m .若m M =则对任意[]b a x ,∈有m M x f ==)(,即)(x f 为常函数,所以0)(='x f .若m M >,由于)()(b f a f =.M 与m 不同时为区间的端点,不妨设)()(b f a f M =≠,所以M 必为)(x f 的极大值.设M f =)(ξ,则有),(b a ∈ξ,且)(x f 在()b a ,内可导,根据费马定理可知0)(='ξf .证毕.2.3 拉格朗日中值定理定理3 若函数)(x f 满足:(1) 在闭区间[]b a ,上连续;(2) 在开区间()b a ,内可导;则至少存在一点),(b a ∈ξ使得ab a f b f f --=')()()(ξ.证法 利用罗尔中值定理,构造辅助函数.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=)()()()()()(a x a b a f b f a f x f x F .2.4 柯西中值定理定理4 设函数)(x f 、)(x g 满足:(1) 在闭区间[]b a ,上连续;(2) 在开区间()b a ,内可导,且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ使)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.3 中值定理的推广3.1 拉格朗日中值定理的新证法证明拉格朗日中值定理的一种新方法，即从罗尔定理出发，采用复合函数求导法则证明拉格朗日中值定理，证明过程更加清晰易懂。

证明（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在),(b a ∈ξ使得ab a f b f f --=')()()(ξ成立，即证,存在),(b a ∈ξ使得0)()()(=---'ab a f b f f ξ (1)成立.亦即0)()()(='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ξx x a b a f b f x f (2)记[]b a x x a b a f b f x f x F ,,)()()()(∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=, 则由)(x F 满足罗尔定理的条件知,存在),(b a ∈ξ使得(2)成立,进而(1)成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.2柯西中值定理的新证法柯西中值定理的传统证法是作辅助函数，然后应用罗马定理从而得证。

本文主要采用区间套原理给出一个新证法，这样就使得罗尔定理和拉格朗日中值定理成为它的直接推论。

证明 首先构造辅助函数⎩⎨⎧==)()(x f Y x g X , 由于0)(≠'x g ,故可知)(x g '恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在 ∈ξ()b a ,使得0)(='ξg .我们不妨设)(x g '恒大于零.于是,对于任意[]b a X X X ,∈ξ,其中=c X)(c g ,()b a c ,∈.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得))(()(1X g f x f Y -==在闭区间[]b a X X ,上连续;在开区间()b a X X ,内可导,且ξξξξ====''===x x x X X x g x f dxx dg dx x df x dX x dY dXdY )()()()()()(故即是要证明ab a b X X X X X g f X g f dXdY --=--=))(())((11ξ,因此可构造辅助函数:X X X X g f X g f X g f X ab a b ---=ψ---))(())(())(()(111,可以验证)(X ψ满足罗尔定理的条件,故至少存在一个[]b a X X X ,∈ξ,使得ab a b X X X X X g f X g f dXdY --=--=))(())((11ξ成立.再由ξξξξ====''===x x x X X x g x f dxx dg dx x df x dX x dY dXdY )()()()()()(知,至少存在()b a ,∈ξ使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 成立,柯西中值定理得证. 3.3罗尔定理的新证法罗尔定理很简便的方法仅依赖于大家熟知的Heine-Bord 有限覆盖定理，由此可见罗尔微分中值定理可以是实数完备性的直接推论。

引理1非单调函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,则存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf .证明 因为)(x f 在[]b a ,上连续,且非单调,故存在),(b a ∈ξ为函数)(x f 的极值点.又)(x f 在()b a ,内可导,故在ξ点可导,由费马定理可知0)(='ξf .罗尔定理的新证法证明 因为b a <,且)()(a f b f =.（1） 若)()()(a f b f x f ==为常数,则必有0)(='x f ，所以,存在),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf ;（2） 若)(x f 不是常数,则)(x f 非单调,又有)(x f 在[]b a ,上连续在()b a ,内可导,根据引理1,存在),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf .证毕.4微分中值定理的推广微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式. 4.1拉格朗日中值定理的推广 定理5(推广一) 设)(),(),(x h x g x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,则存在),(b a ∈ξ使得0)()()()()()()()()(='''ξξξh g f b h b g b f a h a g a f . 证明 作辅助函数)()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x H =,很明显)(x H 在[]b a ,连续,在()b a ,内可导,且0)()(==b H a H ,则根据罗尔定理有,存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξH ,命题得证.4.2柯西定理的推广定理6 (推广一))(),(x g x f 在[]b a ,连续,在()b a ,内可导,任意),(b a x ∈,有0)(≠'x g .则存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 证明 作一个辅助函数[][])()()()()(x g b g a f x f x F --=,则)(x F 在[]b a ,连续,在()b a ,内可导,且[][]0)()()()()(=--=a g b g a f a f a F ,[][]0)()()()()(=--=b g b g a f b f b F 所以)(x F 在()b a ,上满足罗尔定理,即存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF .因为[][])()()()()()()(a f x f x g x g b g x f x F -'--'=',所以,[][])()()()()()(0)(a f f g g b g f F -'--'=='ξξξξξ,即得)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 定理7 (推广二) 若)(),(x g x f 在有限或无穷区间()b a ,中的任意一点有有限导数)(x f '和)(x g ',任意),(b a x ∈,0)(≠'x g ,)0(+a f ,)0(+a g ,)0(-b f ,)0(-b g 都存在,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)0()0()0()0()()(+--+--=''a g b g a f b f g f ξξ. 证明 首先证明0)0()0(≠+--a g b g .假设0)0()0(=+--a g b g 即)0()0(+=-a g b g ,根据定理5可知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(='ξg .与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数)]0()([)0()0()0()0()0()()(+-+--+---+-=a g x g a g b g a f b f a f x f x F由已知得)(x f 在()b a ,可导且0)0()()0()0()0()0()0()0(=-++--+---+-+=+a a a b g b g a f b f a f a f a F ,0)0()0()0()0()0()0()0()0(=--+--+---+--=-a b a g b g a f b f a f b f b F ,所以,)0()0(-=+b F a F .根据定理5可知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(='ξF 即)0()0()0()0()()(+--+--=''a g b g a f b f g f ξξ. 4.3罗尔定理的推广定理8 设)(x f 在()b a ,内可导,且A x f x f b x a x ==-+→→)(lim )(lim ,其中+∞≤A ,则存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .证明 由于)(x f 在()b a ,内可导,则必有)(x f 在()b a ,上连续,又有A x f x f bx a x ==-+→→)(lim )(lim .(1)当+∞<A 时,对)(x f 在b a ,两点进行连续延拓,使得A b f a f ==)()(,则有)(x f 在[]b a ,上连续,在),(b a 内可导且有A b f a f ==)()(,所以,满足罗尔定理的条件,存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .(2)当+∞=A 时,由于A x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim ,故存在()2121,,,x x b a x x <∈,使得)()(21x f x f =, 所以)(x f 在[]21,x x 上连续,在),(21x x 内可导,满足罗尔定理,即存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .综上所述,存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξf .5微分中值定理的应用微分学是整个数学分析的重要组成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等问题的重要工具.5.1讨论方程根的存在性注意到在中值定理中有0)(='ξf ,令)()(x g x f =',这样就可以利用中值定理讨论方程0)(=x g 的根的存在性. 例1 设函数)(x f 在区间K 上可导,则)(x f 的两个零点间一定存在)()(x f x f '+的零点.证明 (采用罗尔定理)任取)(x f 的两个零点21,x x .不妨设21x x <.作辅助函数x e x f x F )()(=,则)(x F 在[]21,x x 上连续,在21x x <内可导,且0)()(21==x F x F ,由罗尔定理,存在),(21x x ∈ξ,使得0)(='ξF ,即0)()(='+ξξξξe f e f ,而0≠ξe,故有0)()(='+ξξf f ,即)(x f 的两个零点间一定存在)()(x f x f '+的零点.例2 证明:若01210=++++n a a a n , 则多项式1210)(++++=n n x a x a x a x f在()1,0内至少有一个实根.证明 令121012)(+++++=n n x n a x a x a x g 则)()(x f x g =',又有)(x g 在[]1,0连续可导,且0)1()0(==g g ,满足罗尔定理的条件,故存在()1,0∈ξ使得0)(='ξg即0)(=ξf ,结论得证.例3 若函数)(x f 在[]b a ,上非负,且三阶可导,方程0)(=x f 在()b a ,内有两个不同的实根.证明存在()b a ,∈ξ使得0)(='''ξf .证明 因为方程0)(=x f 在()b a ,内有两个不同的实根,设其分别为)(,2121x x x x <所以0)()(21==x f x f ,又由于)(x f 非负，根据极值定义可以知道21,x x 为)(x f 的两个极值点,所以有0)()(21='='x f x f 又因为)(x f 满足罗尔定理，所以存在()b a k ,1∈使得 0)(1='k f ,又)(x f 三阶可导，所以)(x f '满足罗尔定理,即存在()112,k x k ∈,()213,x k k ∈使得0)()(32=''=''k f k f , 同样)(x f ''满足罗尔定理,则存在()()b a k k ,,32⊂∈ξ使得0)(='''ξf .证毕.5.2 利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为))()()()(()()(N a g b g a f b f M N a b a f b f M <--<<--<或的形式,且))(),()((x g x f x f 或满足拉格朗日或柯西定理的条件,再证明对一切的()b a x ,∈有))()(()(N x g x f M N x f M <''<<'<或, 最后利用中值定理证明.例4 证明对任何正数a 、)(b a b <有aab b a b a b -<<-ln . 证明 令x x f ln )(=,[]b a x ,∈.则)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,根据拉格朗日中值定理,存在()b a ,∈ξ使得()a b a b -=-ξ1ln ln ,由于()b a ,∈ξ,所以ab 111<<ξ,即有 aa b b a b a b -<<-ln . 例5 设)(x f 为非线性函数,且在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,则存在()b a ,∈ξ使得)()()()(a f b f f a b ->'-ξ.证明 变换待证不等式为[])()()()(0a f b f f a b --'-<ξ[]{})()()()(a f b f f a b d d--'-=ξξ)(ξF '=,其中[])()()()()(a f b f x x f a b x F ---=,若结论不成立,则)(0)(b x a x F <<≤',因而)(x F 单调递减.但是[])()()()()()(b F a f b f a a f a b a F =---=,故,必有)()(a F x F ≡,从而与已知矛盾,所以结论成立.即)()()()(a f b f f a b ->'-ξ成立.例6设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导)(0)()(a f b f a f '<==,则存在()b a ,∈ξ,使得0)(<''ξf .证明 若不存在ξ,则0)(≥''ξf ,从而)(x f '单调递增，又由于)(x f '满足罗尔定理,则存在()b a x ,0∈使得0)(0='x f ,又有0)(>'a f ,所以,)(x f '非单调递增.上下矛盾.因而,存在()b a ,∈ξ使得0)(<''ξf .5.3 利用微分中值定理证明等式例7 设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导.证明存在()b a ,∈ξ使得abf a f b f ln )()()(ξξ'=-,b a <<0.证明 利用柯西中值定理 令x x g ln )(=,0>x ,显然,)(x g 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且01)(≠='xx g ,所以,存在()b a ,∈ξ使得 ab a f b f a g b g a f b f g f ln)()()()()()()()(-=--=''ξξ,所以ab f a f b f ln)()()(ξξ'=-. 证毕.例8 设函数)(x f 在[]a a ,-上连续,在()a a ,-内可导,且0)()(==-a f a f .证明对任意常数k ,存在()a a ,-∈ξ,有0)()(=+'ξξkf f .证明 利用罗尔定理,构造函数kx e x f x F )()(=,由于)(x f 在[]a a ,-上连续, 在()a a ,-内可导,且)()(a f a f =-，所以,0)()(==-a F a F ,且)(x F 在[]a a ,-上连续,在()a a ,-内可导，所以,存在()a a ,-∈ξ使得0)(='ξF ,即0)()(=+'ξξkf f .例9 证明恒等式:212arcsin 21-arctan 2π++=x x x . 证明 令212arcsin 21arctan )(x x x x f ++=, 则 ()()()()1,014121412111)(22222222≥≡+-++-++='x x x x x x x x f ,所以,)(x f 在()+∞,1为常函数.又有)1()(lim 1f x f x =+→，所以2)1()(π==f x f ,即 212arcsin 21-arctan 2π++=x x x成立.参考文献：[1] 刘玉链：数学分析讲义[M] 高等教育出版社 2003[2] 张勇：微分中值定理的认识及推广[J].消费导刊·时空教育 . 2009(02) 166[3] 李阳; 郝佳： 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011（01）6-8[4] 张晓彦; 刁光成： 微分中值定理的推广[J]. 科技天地. 2009(34) 31-32[5] 朱美玉： 微分中值定理的进一步探讨[J]. 湖北广播电视大学学报. 2009(08) 158-159[6] 邢建平; 徐湘云： 微分中值定理的解题应用[J].中小企业管理与科技(上旬刊). 2010(08) 158学年论文（设计）成绩表。