基础知识天天练2-5. 数学 数学doc

第2模块 第5节[知能演练]一、选择题1．当0<a <1时，函数①y ＝a |x |与函数②y ＝log a |x |在区间(－∞，0)上的单调性为( ) A ．都是增函数 B ．都是减函数C ．①是增函数，②是减函数D ．①是减函数，②是增函数解析：①②均为偶函数，且0<a <1，x >0时，y ＝a |x |为减函数，y ＝log a |x |为减函数，当x <0时，①②均是增函数．答案：A2．函数f (x )＝a x ＋log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－14，最大值与最小值之积为－38，则a 等于( )A ．2B.12 C ．2或12D.23解析：a x 与log a x 具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f (1)＋f (2)＝－14，f (1)·f (2)＝－38，解得a ＝12，选B.答案：B3．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)，用h (t )替换x ，那么不改变函数f (x )的值域的替换是( ) A ．h (t )＝t 2 B ．h (t )＝2t －2 C ．h (t )＝sin tD ．h (t )＝1t解析：原函数f (x )＝lg(x ＋1)的值域是R ，用h (t )替换x 后，要使f (x )的值域不变，应使h (t )＋1能够取遍所有正数，只有h (t )＝2t －2符合题意，故选B.答案：B4．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为( )A ．{a |1<a ≤2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |2≤a ≤3}D ．{2,3}解析：由log a x ＋log a y ＝3，得log a (xy )＝3，即y ＝a 3x ，∵a >1且x >0，∴y ＝a 3x在x ∈[a,2a ]上单调递减，∴y max ＝f (a )＝a 3a ＝a 2，y min ＝f (2a )＝a 32a ＝a 22，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 22≥a ，a >1得a ≥2.故选B.答案：B 二、填空题5．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的减区间是 (－∞，0)，∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)6．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值等于________． 解析：令3x ＝t ，∴x ＝log 3t ， ∴f (t )＝4log 23·log 3t ＋233， 即f (t )＝4log 2t ＋233， ∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4(log 22＋log 24＋log 28＋…＋log 228)＋8×233 ＝4·log 22·22·23…28＋8×233 ＝4·log 2236＋1864. ＝4×36＋1864＝2008. 答案：2008 三、解答题7．对于正实数a ，函数y ＝x ＋a x 在(34，＋∞)上为增函数，求函数f (x )＝log a (3x 2－4x )的单调递减区间．解：∵y ＝x ＋a x 在(34，＋∞)上为增函数，∴34<x 1<x 2时y 1<y 2， 即x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0⇒x 1x 2－a >0⇒a <x 1x 2，∴a ≤916恒成立，f (x )＝log a (3x 2－4x )的定义域为(－∞，0)∪(43，＋∞)，而0<a ≤916<1，∴f (x )与g (x )＝3x 2－4x 在(－∞，0)，(43，＋∞)上的单调性相反，∴f (x )的单调递减区间为(43，＋∞)．8．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4(a ·2x －43a )，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是偶函数可知：f (x )＝f (－x )， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立， ∴k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，化简得：方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根，令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根，①a ＝1⇒t ＝－34，不合题意；②Δ＝0⇒a ＝34或－3，若a ＝34⇒t ＝－2，不合题意；若a ＝－3⇒t ＝12；③一个正根与一个负根，即－1a －1<0⇒a >1. 综上：实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．[高考·模拟·预测]1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．x 2解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .故选C.答案：C2．若不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0]解析：由题意得M ＝[0,1]，N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．故选A. 答案：A3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，故有a >b >c .答案：A4．若log 2a <0，(12)b >1，则( )A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：由log 2a <0⇒0<a <1，由(12)b >1⇒b <0，故选D.答案：D5．已知：f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )在其定义域内的单调性；(3)若f (x )在(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小． 解：(1)由a x －b x >0， ∴(a b )x >1.∵ab >1，∴x >0， ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设x 2>x 1>0，∵a >1>b >0， ∴a x 2>a x 1，b x 1>b x 2，－b x 2>－b x 1， ∴a x 2－b x 2>a x 1－b x 1>0，∴ax 2－bx 2ax 1－bx 1>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在(0，＋∞)内是增函数．(3)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)，要使f (x )>0，须f (1)≥0，∴a －b ≥1.[备选精题]6．已知f (x )＝log a x ，g (x )＝2log a (2x ＋t －2)(a >0，a ≠1，t ∈R )． (1)当t ＝4，x ∈[1,2]，且F (x )＝g (x )－f (x )有最小值2时，求a 的值； (2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a (2x ＋2)2x ，x ∈[1,2]，令h (x )＝(2x ＋2)2x ＝4(x ＋1x＋2)，x ∈[1,2]，设u ＝x ＋1x ，x ∈[1,2]作出u (x )的图象可知u (x )＝x ＋1x 在[1,2]上为单调增函数．∴h (x )在[1,2]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝16，h (x )max ＝18. 当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18， 令log a 18＝2，求得a ＝32>1(舍去)； 当a >1时，有F (x )min ＝log a 16， 令log a 16＝2，求得a ＝4>1.∴a ＝4.(2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立， 即当0<a <1，x ∈[1,2]时， log a x ≥2log a (2x ＋t －2)恒成立， 由log a x ≥2log a (2x ＋t －2)可得 log a x ≥log a (2x ＋t －2)，∴x ≤2x ＋t －2，∴t ≥－2x ＋x ＋2. 设u (x )＝－2x ＋x ＋2＝－2(x )2＋x ＋2 ＝－2(x －14)2＋178，∵x ∈[1,2]，∴x ∈[1，2]．∴u (x )max ＝u (1)＝1. ∴实数t 的取值范围为t ≥1.。