第一章《勾股定理》单元检测题(含答案)

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数学八年级上《第一章勾股定理》单元测试(含答案解析)

故选C．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
10.试题分析：根据对称性可知：，，又，所以 ∽ ，根据相似的性质可得出：，，在中，由勾股定理可求得AC的值，，，将这些值代入该式求出BE的值．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．
12.在中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．
13. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．
14. 如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入填“能”或“不能” ．
15. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为______．
整理得：，
解得：，两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为．
故选D
根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5. 解：的面积，
由勾股定理得，，
则，
【解答】
解：由图可知，直角三角形的斜边长为即为大正方形的边长，
根据勾股定理可知大正方形的面积为，，即，，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积．

八年级上期数学第1章勾股定理单元测试题及答案

八年级上期数学第1章勾股定理单元测试题及答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第1章勾股定理单元测试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、选择题:（每题4分，共32分）1.三个正方形的面积如图（1），正方形A 的面积为（） A. 6 B. 36C. 64D. 82下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A. 1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,63. 有一三边长分别为m 2-n 2,2mn,m 2+n 2的三角形.则此三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍5.一个三角形的三边长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B. 310C. 25D. 5126.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（） A. 50cm B. 100cm C. 140cm D. 80cm7.在△ABC 中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC 的长为（）A. 14B. 14或4C. 8D. 4和88．已知Rt △ABC 中，两直角边及斜边长分别为a ，b ，c ，则下列结论恒成立的是( )A ．2ab <c 2B ． 2ab >c 2C ．2ab ≤c 2D ．2ab ≥c 2二、填空题:（每空4分，共28分）1.一个正方形的面积为1，那么以它的对角线为边长的正方形的面积是______.2. 一个三角形的三个内角之比为1：2：3，则此三角形是__________三角形. 2. 三角形的三边满足a 2=b 2+c 2,这个三角形是______三角形，它的最大边是____.3. 一个直角三角形的三边长为三个连续自然数，则它的三边长为____________。

(完整版)北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》单元测试卷(含答案),推荐文档

7 7第一章《勾股定理》单元测试卷班别：姓名：一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122.已知a=3，b=4，若a，b，c 能组成直角三角形，则c=（）A.5B.C.5 或D.5 或63.如图中字母A 所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（）①a= ，b=，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个7．在△ABC 中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形3 8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2 倍，这个三角形有一个锐角是（） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9. 已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ABE 的面积为（） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2 D.12cm 210. 已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（） A ．25 海里B ．30 海里C ．35 海里D ． 40 海里二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）11. 一个三角形三边长度之比为 1∶2∶ ，则这个三角形的最大角为度．12. 如图，等腰△ABC 的底边 BC 为 16，底边上的高 AD 为 6，则腰长 AB 的长为． 13．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B200m ，结果他在水中实际游了 520m ，求该河流的宽度为m ．14.小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9 米到A 点，小红向东走到B 点时,当两人相距为15 米，则小红向东走了米．15.一个三角形三边满足(a +b)2 -c2 = 2ab ,则这个三角形是三角形．16.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面（填”合格”或”不合格”）．17.直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为cm2．18.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是．三、解答题（共46 分）19.在RtΔABC 中，∠A CB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB 于D，求CD 的长．CA BD21．（7 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC 的值．22．（8 分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河北牧童A东B 小屋23．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域．（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？《勾股定理》单元测试卷答案一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1．C．2．C．3．D．4．C．5．D．6．A．7．D．8．C．9．C．10．D．二、填空题（共8 小题，每小题3 分，满分24 分）11．900 ．12．10 ．13．480 m．14．12 米．15．直角．16．合格．17．30 cm2．18．25 ．三、解答题（共46 分）19．略20．解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC2 = AB2 -AC2=42，∴BC=4，∵CD⊥AB，1 1 12∴AB·CD= AC·BC，∴5CD=12，∴CD=．2 2 5．21.解：∵AD⊥BC 于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．∴AC=22.解：设矩形的长是a，宽是b，根据题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m．23.如图，作出A 点关于MN 的对称点A′，则A′A=8 km,连接A′B 交MN 于点P，则A′B 就是最短路线.在Rt△A′DB 中，A′D=15 km,BD=8 km由勾股定理得A′B2= A′D 2+BD2=289∴A′D =17kmA′M P NAD B24.解：（1）由A 点向BF 作垂线，垂足为C，在Rt△ABC 中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A 城要受台风影响；（2）设BF 上点D，DA=200 千米，则还有一点G，“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)

第一章勾股定理单元测试卷一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A.3B.4C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题) 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+15.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，47.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.1011.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题) 12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为cm.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（）A.3B.4C.2D.4【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3.故选A.2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.故选：C.http://www、czsx、com、cn4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=5，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1.故选D.5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.【解答】解：△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC==，则××BD=2，解得BD=，故选：A.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，4【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、52+102≠132，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误.故选B.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB==40（海里），故选：C.8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.综上所述，△ABC的周长是42或32.故选：C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，∴AC==3，∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3，故选A.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.10【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=17，四个直角三角形的面积是：ab×4=17﹣5=12，即：ab=6.故选：B.11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m，AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m，BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m【解答】解：在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，∴OA===15（m），∴OB=0A+AB=20m，在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，∴OD===10（m），∴CD=OD﹣OC=2m，故选：D.二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2.【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP=60°，∴∠∠PBA=30°，∴AP=AB=2；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP=60°，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠BAP=90°时，如图3，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为：2或2.14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米.【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.=24﹣12=12cm.【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm.故答案是：11cm≤a≤12cm.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==，∴BD=CD′=，故答案为：.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为 5 cm. 【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm，4acm，由题意3a+4a=7，a=1，所以矩形的相邻两边分别为3cm，4cm，所以对角线长==5cm，故答案为5.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理得：CD==，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理得：AD==；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=+=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，∵AB=BC=CD=DE=1，∴在Rt△ACB中，AC═==，∴在Rt△ACD中，AD===，在Rt△ADE中，AE===2.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，∴CE=BE.∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.【解答】解：（1）S2+S3=S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（2）∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（3）∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.。

第一章勾股定理单元测试题(含答案)

第一章勾股定理单元测试题一、认真填一填 —— 要相信自己．1．如图1,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．S S S 321图1 图22．如果梯子的底端离建筑物5m ，那么13m 的消防梯可达建筑物的高度为 3．在△ABC 中，∠C =900， ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．（1）若c =10，a ﹕b =3﹕4，则a =____，b =_____．（2）若a =b ，c 2=m ，则a 2=______. （3）若c =61，a =60，则b =______.4．将直角三角形的各边扩大相同的倍数，则得到的三角形一定是_______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）．5．在Rt △ABC 中，AC =8，在△ABE 中，DE 为AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，则BC 长为_______．6．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： .（填“能”、或“不能”）7．如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为.E DA9．观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b = ，c =10．如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 上F 点处，已知CE ＝3厘米，AB ＝8厘米，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿平方厘米．二、细心选一选 —— 要认真考虑．11. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形一定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对12. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A ．222b c a =- B ．a ∶b ∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A －∠B D ．∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶15 13．下面说法正确的是（） A ．在Rt △ABC 中，a 2+b 2=c 2B ．在Rt △ABC 中，a =3，b =4，那么c =5 C ．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D ．直角三角形中，斜边最长14．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍15．有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,12 16. 如图所示，在△ABC 中，三边a,b,c 的大小关系是（）A.a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c17．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 3318．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D三、精心做一做 —— 要注意审题（共47分）19．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做多长？20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出2AB =2、2CD =5、2EF =13这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.21．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？观测点23．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？24．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里由一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”参考答案1．169 ;2．12米；3．（1）．6，8；（2）．2m；（3）．11； 4. 直角；5. 6；6．能；7. 49；8. CD =3cm ．提示：由题可知CD =DE ，AC =AE ，设CD =x cm ，在Rt △BDE 中，有42+ x 2= 8－x ．2，解得x =3． 9. 85，86；10．30；11．B ； 12．D ； 13. D ； 14．B ； 15．C ； 16.D ； 17．D ； 18．C ； 19. 解：设吸管长x cm ，由勾股定理得：（x －4.6）2=122+（2.5×2）2，解得x =17.6，即吸管要做17.6cm 长． 20.画图略，结合勾股定理说明．21．分析为了求解问题，将这个实际问题转化为数学问题，于是，根据题意画出图形，将问题转化到在直角三角形中来，从而可以运用勾股定理构建方程求解. 解如图1，D 为树顶，AB ＝10ｍ，C 为池塘，AC ＝20 m ，设BD 的长是x m ，则树高(x ＋10)m.因为AC +AB ＝BD +DC ，所以DC ＝20+10－x ，在△ACD 中，∠A ＝90°，所以AC 2+AD 2＝DC 2.故202+(x ＋10)2＝(30－x )2，解得x ＝5.所以x ＋10＝15，即树高15米.说明勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联.22．在Rt △ABC 中：BC 2＝225030 ＝1600，∴BC ＝40,小汽车速度＝40÷2＝20米/秒＝72千米/时>70千米/时. ∴这辆小汽车超速了23．解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA =12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，图1B走了5千米，即OB =5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13，因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 24．分析诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解.解如图1，不妨设图中的OA 为秋千的绳索，CD 为地平面，BC 为身高5尺的人，AE 为两步，即相当于10尺的距离，A 处有一块踏板，EC 为踏板离地的距离，它等于一尺.设OA ＝x ，即OB ＝OA ＝x ，F A ＝BE ＝BC －EC ＝5－1＝4尺，BF ＝EA ＝10尺.在Rt △OBF 中，由勾股定理，得OB 2＝OF 2+BF 2，即x 2＝(x －4)2+102，解这个方程，得x ＝14.5（尺）所以这个秋千的绳索长度为14.5尺.图2F OD ECB A。

北师大版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)

八（上）第一章勾股定理单元检测班级_______ 姓名_______ 分数________一、填空题（每题3分，共24分）1．三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定2．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（）A.338B.24C.26D.303．若等腰△ABC 的腰长AB ＝2，顶角∠BAC ＝120°，以 BC 为边的正方形面积为（） A.3 B.12 C.427 D.3164．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 335．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（）A.15∶12∶8B. 15∶20∶12C. 12∶15∶20D.20∶15∶126．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（）A.258π B. 254π C. 2516πD.25π 7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm图1D 18cm图2B8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm二、填空题（每小题3分，共24分）9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．15．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；图3 列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…………列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a ），可以计算出正方形的对角线长为2；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B .若DB ＝53，则 DA 的长度为＿＿＿．三、解答题（共58分）17．如图6，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，BC ＝10cm ，AB ＝8cm ，求：(1)FC 的长；(2)EF 的长．18．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图7所示AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB ＝25km ，CA ＝15km ，DB ＝10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等?19．一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群，在A 处看见小岛C 在船北偏东 60°.40分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东30°，已知小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？图5EF BCAD图4（a ）（b ）（c ）（d ）图6图7E DCBA20．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P、Q在AB上，且∠PCQ＝45°试猜想分别以线段AP、BQ、PQ为边能组成一个三角形吗？若能试判断这个三角形的形状．21．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：图8①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．参考答案一、1．A 2．D 3．B 4．C 5．D.提示：由三角形面积公式，可得12·AB ·CD ＝12·BC ·AC .设BC ＝3k ，AC ＝4k ，AB ＝5k ，则5k ·CD ＝2k ·4k .所以CD ＝135k .所以AC ∶BC ∶CD ＝4k ∶3k ∶125k ＝20∶15∶12；6．A.提示：在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AB 2＝42+32＝25，所以AB ＝5.所以半圆的面积S ＝12π252⎛⎫ ⎪⎝⎭＝258π；7．B 8．B.二、9．108 10．13 11．12 12．由勾股定理，可以得到AB 2+BC 2＝AC 2，因为AB＝30，BC ＝20×2＝40，所以302+202＝AC 2，所以AC ＝50，即AC 间的距离为50海里；13．314．13cm ，30cm 2或522 15．84、85 16、52. 三、17．(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AF 2＝AB 2+BF 2，也就是 102＝82+BF 2.所以BF ＝6，FC ＝4(cm) (2)在Rt △ABC 中，由勾股定理，可以得到EF 2＝FC 2+(8－EF )2.也就是EF 2＝42+(8－EF )2.所以EF ＝5(cm)18．10米；19．设小岛C 与AB 的垂直距离为a ，则易求得a 2＝300＞102，所以这艘渔船继续航行不会进入危险区；20．能组成一个三角形，且是一个以PQ 为斜边的直角三角形.理由是：可将△CBQ 绕点C 顺时针旋转90°，则CB 与CA 重合，Q 点变换到Q ′点，此时，AQ ′＝BQ ，△APQ ′是直角三角形，即AP 2＋AQ ′2＝PQ ′2，另一方面，可证得△CPQ ′≌△CPQ （SAS ），于是，PQ ′＝PQ ，则AP 2＋BQ 2＝PQ 2.21．①能.设AP ＝x 米，由于BP 2＝16+x 2，CP 2＝16+(10－x )2，而在Rt △PBC 中，有BP 2+ CP 2＝BC 2，即16+x 2+16+(10－x )2＝100，所以x 2－10x +16＝0，即(x －5)2＝9，所以x －5＝±3，所以x ＝8，x ＝2，即AP ＝8或2，②能.仿照①可求得AP ＝4.第一章勾股定理单元检测题班级_____ 姓名_____ 分数_____一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．7，24，25 B ．321，421，521 C ．3，4，5 D ．4，721，821 2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 3．在下列说法中是错误的（）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶2∶4，则△ABC 为直角三角形4．四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a (a ＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有( )A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组5．三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（） A ． 6 B ． 36 C ． 64 D ． 86．一块木板如图2所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°，木板的面积为( )A ．60B ．30C ．24D ．127．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（） A ．6cm B ．8．5cm C ．1330cm D ．1360cm8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm10．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝40，CB ＝9，M 、N 在AB 上且AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题（每小题3分，共30分）A DBC图211．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝＿＿＿．12．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝．13．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿．14．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．15．直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿．16．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝＿＿＿．17．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．18．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．19．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．三、解答题（每小题8分，共40分）21．某车间的人字形屋架为等腰△ABC，跨度AB＝24m，上弦AC＝13m．求中柱CD （D为底AB的中点）．22．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．23．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．图3OB′图4BAA′24．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?25．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．参考答案：A卷：一、1．B2．B3．D4．B5．B6．C7．D8．B9．C10．C二、11．1312．4813．1814．1215．3、4、516．817．518．1319．2400 20．20三、21．5米22．设门高为x尺，则竹杆长为(x+1)尺，依题意由勾股定理，得x2+42＝(x+1)2，解得x＝7．5，所以门高为7．5尺，则竹杆长为8．5尺．23．设旗杆在离底部x m位置断裂，则根据题意，得(x+1)2－x2＝64，解得x＝6，即旗杆在离底部6m位置断裂．cb a cba ED CBACABcb a24．在Rt △ABO 中，梯子AB 2＝AO 2+BO 2＝22+72＝53．在Rt △A ′B ′O 中，梯子A ′B ′2＝53＝A ′O 2+B ′O 2＝32+B ′O 2，所以，B ′O＞2×3＝6．所以BB ′＝OB －OB ′＜1．25．因为a 2＝n 4－2n 2+1，b 2＝4n ，c 2＝n 4+2n 2+1，a 2+b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．北师大版八年级数学上册第一章勾股定理提高培优讲义：勾股定理、逆定理及应用基础知识梳理模块一：勾股定理及证明 1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边． 2．勾股定理的证明：（1）弦图证明DC BAGF E H内弦图外弦图221()42ABCD S a b c ab =-=+⨯正方形 221()42EFGH S c a b ab ==-+⨯正方形∴222a b c += ∴222a b c += （2）“总统”法（半弦图）如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形∴222a b c += 3．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．（2）(,,)a b c 是组勾股数，则(,,)ka kb kc （k 为正整数）也是一组勾股数. （3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等（4）21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数）（5）22a m n =-，2b mn =，22c m n =+（m n >，且m 和n 均为正整数）模块二：勾股定理逆定理及应用 1．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在ABC △中，如果222AC BC AC +=，那么ABC △是直角三角形．2．勾股定理的常见题型．模块三：例题精讲（1）勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c （c 为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明222a b c +=．cbaNMHFE DCBAABCEFHMNP（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________．【解析】（1）如上图可知：ACF ADB △△≌，2ACED ADB S S =正方形△，2AFGP ACF S S =矩形△，∴2AFGP b S =矩形，同理2GHBP a S =矩形，∴222a b c +=．（2）49cm 2．（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）． A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③22m n +，22m n -,2mn （m ，n 均为正整数，m n >）；④2a ，21a +，22a +．其中能组成直角三角形的三边长的是（）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解析】（1）B ；（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12；（3）B ；容易知道①错误②正确，对于③，由2224224()2m n m m n n -=-+，222(2)4mn m n =，2224224()2m n m m n n +=++所以2222422422222()(2)(2)4()m n mn m m n n m n m n -+=-++=+．所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形．答案选B ．ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图3-1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC △不是直角三角形，如图3-2，90C ∠<︒；如图3-3，90C ∠<︒．请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．图1a b c a b c cb a A BCA B C C B Aa bca bcA ABC C Ba bcABC B图3-1 图3-2 图3-3【解析】图2猜想：222a b c +>．证明：过点A 作AD BC ⊥于D ，设CD x =，222AD b x =-， 22222222()()2c a x b x a ax x b x =-+-=-++-，即22220a b c ax +-=>，故222a b c +>．图3猜想：222a b c +<．证明：过B 作BD AC ⊥，交AC 的延长线于D ．设CD 为x ，则有222BD a x =-．根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=，∵0b >，0x >，∴20bx >，∴222a b c +<．（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x ，则最短边上的高为________．（3）若|1|0a b --=，则以a 、b 为边的直角三角形的第三边为________．在ABC △中，15AB =，13AC =，高12AD =，则三角形的周长是_________．【解析】32或42．DabcACBDa bcABC【提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B 卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高．（1）如图6-1，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，1AB =，2BC =，2CD =，3AD =，求四边形ABCD 的面积．（2）如图6-2，在四边形ABDC 中，BD CD ⊥，6BD =，8CD =，24AB =，26AC =，求该四边形面积．ABC DDCB A图6-1 图6-2（2）96．四边形ABDC 的面积为96．连接BC ，根据勾股定理可得10BC =，因为222BC AB AC +=，所以ABC △为直角三角形，故四边形ABDC 的面积1202496ABC BCD S S S =-=-=△△．（1）如图，梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置，BD 长0.5米，则梯子顶端A 下落了________米．（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C ，使梯子底端C 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至D ，那么BD （）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．以上结果都不对（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC ⊥，AC BC =，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯子B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（） A ．x y = B ．x y >C ．x y <D ．不确定【解析】（1）0.5；（2）C ；（3）选B ，设AC BC a==米，化简得222()0a x y x y -=+>，x y >．EAB CD（1）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于________．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若455AD =，25BC =，请求出ABC △的周长．【解析】（1）12；（2）222(25)45255AB AC AB AC ⎧+=⎪⎨⨯=⨯⎪⎩，解得6AB BC +=，625ABC C =+△．（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．（2）如图9-2，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在'C 处，'BC 交AD 于E ，16AD =，8AB =，则DE 的长度为________．（3）如图9-3，矩形纸片ABCD 的长9cm AD =，宽3cm AB =，沿EF 将其折叠，使点D 与点B 重合，则折痕EF 的长为________cm ．EDC'C BA图9-1 图9-2 图9-3【解析】（1）由题意得，10cm AF AD ==．在ABF △中，应用勾股定理得，6cm BF =．所以1064FC BC BF cm =-=-=．在CEF △中，应用勾股定理，设cm EC x =，得222(8)4x x -=+．解得3x =，即3cm EC =．（2）设ED x =，因为CBD EBD EDB ∠=∠=∠，则EB ED x ==，16AE AD ED x =-=-，在Rt E AB △中，由勾股定理可得：222(16)8x x +=-，∴10x =，即10DE =．（3）设AE x =，因为BEF DEF BFE ∠=∠=∠，则9BE DE B x F ===-，根据勾股定理得：222AB AE BE +=，即222239(9)x x x +=+=-，解得：4x =；∴4AE =，∴5DE BF ==，∴4CF DM ==，∴1EM =，根据勾股定理得：EF ==；若0x >，0y >且12x y +=【解析】如下图，不妨设12AB =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，2AC =，3BD =，y 2+9x 2+432y xPDC B AD CA P为线段AB 上的动点，AP x =，于是PB y =，PC，PD 问题转化为求点C ，D 之间距离的最小值．当P ，C ，D 三点不共线时，有PC PDCD +>；当P ，C ，D 共线时，PC PD CD +=．于是点C ，D 13．【教提示】数形结合，几何构造，将军饮马．模块四：课后作业设计1、如图1-1，分别以直角三角形A 、B、C 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+．）（1）如图1-2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）（2）如图1-3，分别以直角三角形A 、B 、C 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、S 表示，请你确定S 、S 、S 之间的关系并加以证明．B C S 1S 2图图图1A B C S 1S 3S 2图图2A BCS 1S 3S 2图3图1-1图1-2图1-3【解析】（1）设BC 、CA 、AB 长分别为a 、b 、c ，则222c a b =+，123S S S =+；（2）123S S S =+．证明如下：显然，21S =，22S =，23S ，AB D C∴22223133()44S S a b c S +=+==．【点评】分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用1S 、2S 、3S 表示，则123S S S =+（设斜边所做图形面积为1S ）．2、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，222a n n =+，21b n =+，2221c n n =++（n 为大于1的自然数），试说明ABC △为直角三角形．【解析】因为222212221n n n n n ++>+>+，222222(221)(22)441(21)n n n n n n n ++-+=++=+．所以22222(21)(22)(221)n n n n n +++=++，所以ABC △为直角三角形．3、如图，四边形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，24cm CD =，26cm DA =，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是（）cm 2．A ．336B ．144C ．102D ．无法确定【解析】答案：B ．连接AC ，运用勾股定理逆定理．4、如图，一根长5米的竹篙AB 斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A 距离墙根4米，若竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了多少米？【解析】设竹篙顶端下滑1米到1A 点，底端向外滑行到1B 点．由题意得AA 1=1m ，113m AC AC AA =-=，在11Rt ACB △中：2211114m B C A B AC -，在Rt ABC △中：223m BC AB AC =-=， 111BB B C BC m =-=，即竹篙顶端A 下滑1米，则底端B 向外滑行了1米．5、（1）（在ABC △中15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC S =△_______．（2）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，若3AD =，23BC =ABC △的周长为________．【解析】（1）24或84（分类讨论：行外高和行内高，对应例5）ABC（2）423+．（对应例8考查直角三角形与知二推二综合）．6、（1）如图6-1，已知ABC △是直角边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC △的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD △，再以Rt ACD △的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE △，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是________．（2）如图6-2，矩形ABCD 中，5cm AB =，3cm BC =，如图所示折叠矩形纸片ABCD ，使D 点落在边AB 上一点E 处，折痕端点G 、F 分别在边AD 、DC 上，则当折痕端点F 恰好与C 点重合时，AE 的长为________cm ．GFED CB A图6-1 图6-2（3）若0x >，0y >且15x y +=2264144x y ++________．【解析】（1）由题意可得：第1个等腰直角三角形，ABC △中，斜边长1AB BC ==，22112AC+＝＝；第2个等腰直角三角形，ACD △中，斜边长2222(2)AD AC CD =+==；第3个等腰直角三角形，ADE △中，斜边长22322(2)AE AD DE =+=；依此类推，……第n 个等腰直角三角形中，斜边长为(2)n ．（2）F 点与C 点重合时（如图），∵在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =， ∴5CD AB ==，90B ∠=︒，由折叠的性质可得：5CE CD ==， ∴224CE BE BC -=， ∴1AE AB BE =-=．（3）答案：25（对应例题10，几何构造）．北师大版八年级数学上册第一章勾股定理章末培优卷一、选择题：（共30分）1、一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm ，高为32cm ，则桶内所能容下的木棒最长为（）A ．20cmB ．50cmC ．40cmD ．45cm2、已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为A. 4B. 16C.D. 4或3、如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的平方为（）A 2524 B. 8 C. 25196 D.5 4、如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m ，树的顶端离树根6m ，则这棵树在折断之前的高度是（） A．18mB ．10mC ．14mD ．24m5、如图，在4×4方格中作以AB 为一边的Rt △ABC ，要求点C 也在格点上，这样的Rt △ABC 能作出（） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个二、填空题（共24分）11、ABC ∆的三边长c b a ,,满足：03018)602(2=-+-+-+c b b a ，则ABC ∆是三角形；12、如图，在平行四边形A BCD 中，C A ⊥A B ，若A B=3，BC=5，则平行四边形A BCD 的面积为。

勾股定理单元测试卷(含答案)

勾股定理单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 勾股定理中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，斜边被称为：A. 勾B. 股C. 斜边D. 高3. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 勾股定理的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 哥白尼A. a² + b² = c²B. c² = a² + b²C. a² b² = c²D. c² a² = b²二、填空题（每题2分，共10分）6. 勾股定理的公式是：__________。

7. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是__________。

8. 勾股定理在中国被称为__________。

9. 勾股定理的发现时间大约在公元前__________年。

10. 勾股定理的发现者毕达哥拉斯是__________国人。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两个直角边长度分别为8和15，求斜边的长度。

12. 在直角三角形中，若斜边的长度为17，且一个直角边的长度为8，求另一个直角边的长度。

13. 勾股定理的证明方法有很多种，请简述其中一种证明方法。

14. 请举例说明勾股定理在实际生活中的应用。

答案部分一、选择题答案1. B2. C3. A4. A5. C二、填空题答案6. a² + b² = c²7. 138. 勾三股四弦五9. 50010. 希腊三、解答题答案11. 斜边长度为17。

12. 另一个直角边的长度为15。

13. 勾股定理的证明方法有很多种，其中一种是通过面积证明。

将直角三角形分为两个小直角三角形和一个矩形，分别计算它们的面积，然后通过面积关系推导出勾股定理。

第一章勾股定理单元测试卷（解析版）

初中数学北师大版八年级上学期第一章测试卷一、单选题1.长度分别如下的四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 1.5，2，2.5B. 4，5，6C. 1，，3D. 2，3，42.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：3：2C. (b+c)(b-c)=a2D. a=3+k，b=4+k，c=5+k(k>0)3.如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为( )A. 4B. 15C. 16D. 184.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（）A. B.C. D.5.如图，一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为（）.A. B.C. D.6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝16，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A. 16B. 32C. 160D. 256二、填空题7.在△ABC中，∠C=90°，若b=7;c=9，则a=________，8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=2，CD=1，则AC的长是________。

9.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有________cm.10.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为________.11.如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了________ cm.12.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2019的值为________.三、解答题13.如图，∠ABC=90°,AB=6 cm，AD=24 cm，BC+CD=34 cm，C是直线L上一动点，请你探索当C离B 多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形?14.如图，某校组织学生到地开展社会实践活动，乘车到达地后，发现地恰好在地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东方向行驶10公里到达地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达地．求、两地间的距离，15.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）答案解析部分一、单选题1. A解析：A、∵1.52+22=2.25+4=6.25=2.52，可以构成直角三角形，符合题意；B、42+52=41>36=62, 可以构成锐角三角形，不符合题意；C、12+2=3<32=9, 可以构成钝角三角形，不符合题意；D、22+32=13<42=16，可以构成钝角三角形，不符合题意；故答案为：A.【分析】根据勾股定理判断，如果最大边的平方等于较小两边的平方和就是直角三角形。

第一章勾股定理单元测试卷（含答案与解析）

【新北师大版八年级数学（上）单元测试卷】第一章《勾股定理》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或1002.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形 B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形 D．三个角度之比为1：1：2的三角形3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为204.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：256.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．5111.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．含答案与解析一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或100【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2，解得：x2=100；（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x2=28．故选：D．2.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形【分析】A、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故为直角三角形；B、32+42=52，故为直角三角形；C、82+162≠172，故不为直角三角形；D、最大角=180°×=90°，故为直角三角形．故选：C．3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：25【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；D、因为72+242=252，所以能组成直角三角形，故选项正确；故选D．6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB=1000米．故选C．7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18．故选A．9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．以上关系都有可能【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系．【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，∠C是直角，则有a2+b2=c2；∠A是直角，则有b2+c2=a2．故选：D．10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．51【分析】根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．【解答】解：∵ =15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．11.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故选B．12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．【分析】（1）由勾股定理可求出正方形A的边长的平方，而正方形的面积=边长×边长，正好为所求出的值．（2）由勾股定理可得：斜边的平方=两直角边的平方和，将两直角边代入即可求出x的值．【解答】解：（1）设A的边长为a，如图（1）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：所以正方形A的面积为a2=36．（2）如图（2）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：x2=52+122，所以，斜边x=13．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．【分析】要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．【解答】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= 24 ．【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，故（14﹣b）2+b2=102，解得：b1=6，b2=8，则a1=8，a2=6，即S△ABC=ab=×6×8=24．故答案为：24．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC 的周长；（2）根据勾股定理的逆定理，看△ABC的三边是否符合勾股定理，即可判断出△ABC是否是直角三角形．【解答】解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，又AD=12，BD=16，CD=5，∴AB=20，AC=13，△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．（2）∵AB=20，AC=13，BC=21，AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN=m，∴BC2=1，NC2=，BN2=，∴BC2+NC2=BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，∴MA=7.5 m．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2∴x2+52=（x+1）2解得x=12∴AB=12∴旗杆的高12m．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．【解答】解：由图可得：正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）【分析】从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，再由勾股定理进行解答即可．【解答】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，则AC=2πr≈2×3×4=24（cm），则E′B=E′D′=AC=×24=12（cm）．又∵EA=8cm，EE′=3cm，∴AE′=EA﹣EE′=8﹣3=5（cm）．在Rt△ABE′中，AB2=AE′2+E′B2=52+122=132，∴AB=13（cm），∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，即16+x2=64﹣16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，故EC的长为3cm．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．。

第一章勾股定理单元测试题（含答案）

第一章勾股定理单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是下列各组中，不能构成直角三角形的是（）. （A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，41 2. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （）. （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 3. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为（）. （A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）294. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（的长为（）. （A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 5. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（，则此三角形是（）. （A ）锐角三角形）锐角三角形（B ）钝角三角形）钝角三角形（C ）等腰直角三角形）等腰直角三角形（D ）直角三角形）直角三角形 6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为，则这个直角三角形斜边上的高为（）. （A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）13607. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为的等腰三角形腰长为（）. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 8. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需沿边长爬行一周需（）. （A ）6秒（B ）5秒（C ）4秒（D ）3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2)(b a + 的值为的值为（）. （A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）1 10. 如图5所示，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE=12，BF=16，则由点E 到F 的最短距离为的最短距离为（）. （A ）20 （B ）24 （C ）28 （D ）32 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 写出两组直角三角形的三边长写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数）（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为的面积为 . （2）斜边x= . 个直角三角形为．，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积的半圆，的半圆，其边缘其边缘AB=CD=20m ，点E 在CD20.（8分）如图13（1）所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图13（2）所示.已知展开图中每个正方形的边长为1. （1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条. （2）试比较立体图中∠ABC与平面展开图中///CBAÐ的大小关系. 21.（8分）如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米. （1）这个梯子底端离墙有多少米？）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？米吗？22.（8分）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．4322+212´´AE=)4(1822»+p 定理可知，定理可知，BC=4000500022=-）10；（，所以梯子向后滑动了8米. 45,)45253,的周长为80m 3ADABAD。

第一章勾股定理单元检测题(含答案)

第一章勾股定理检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在△中，，，，则该三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍 3.下列说法中正确的是（）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+ B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C.在Rt △中，∠°，所以222c b a =+ D.在Rt △中，∠°，所以222c b a =+4.如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（） A.313 B.144 C.169 D.255.如图，在Rt △中，∠°，cm ，cm ，则其斜边上的高为（）A.6 cmB.8.5 cmC.1360cm D.1330cm 6.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A.三内角之比为 B.三边长的平方之比为C.三边长之比为D.三内角之比为7.如图，在△中，∠°，，，点在上，且，，则的长为（）ABC第4题图ACD第5题图A.6B.7C.8D.9 A8.如图，一圆柱高8 cm ，底面半径为π6cm ，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（） A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm9.如果一个三角形的三边长满足，则这个三角形一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.在△中，三边长满足222c a b =-，则互余的一对角是（）A.∠与∠B.∠与∠C.∠与∠D.∠、∠、∠二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知两条线段的长分别为5 cm 、12 cm ，当第三条线段长为________时，这三条线段可以构成一个直角三角形. 12.在△中，cm ，cm ，⊥于点，则_______.13.在△中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为__________. 14. 如图，在Rt △中，，平分，交于点，且，，则点到的距离是________.15.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 .16. 若一个直角三角形的一条直角边长是，另一条直角边长比斜边长短，则该直角三角形的斜边长为 ________.MBCN第7题图ABD第14题图17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形的面积之和为___________cm 2.18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1 m ），却踩伤了花草.三、解答题（共46分） 19.（6分）若△三边长满足下列条件，判断△是不是直角三角形，若是，请说明哪个角是直角. （1）1,45,43===AC AB BC ;（2）)1(1,2,122>+==-=n n c n b n a .20.（6分）在△中，，b ，．若90C ∠=︒，如图①，根据勾股定理，则222a b c +=.若△不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．21.（6分）若三角形的三个内角的比是，最短边长为1，最长边长为2.求：（1）这个三角形各内角的度数；（2）另外一条边长的平方.ABCABABC①②③第20题图22.（7分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？23.（7分）观察下表：列举猜想3，4，55，12，137，24，25… … … …请你结合该表格及相关知识，求出的值.24.（7分）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，cm，cm，求：（1）的长；（2）的长.25.（7分）如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？参考答案1. B 解析：在△中，由，，，可推出.由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B ． 2.B 解析：设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.3.C 解析：A.不确定三角形是不是直角三角形，故A 选项错误；B.不确定第三边是否为斜边，故B 选项错误；C.∠C =90°，所以其对边为斜边，故C 选项正确；D.∠B =90°，所以，故D 选项错误.4.D 解析：设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，所以，故，即.5.C 解析：由勾股定理可知cm ，再由三角形的面积公式，有 21，得1360=⋅AB BC AC . 6. D 解析：在A 选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B ，C 选项中，都符合勾股定理的条件，所以A ，B ，C 选项中都是直角三角形.在D 选项中，求出三角形的三个角分别是所以不是直角三角形，故选D ．7.C 解析：因为Rt △中，，所以由勾股定理得.因为，，所以.8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，∵ 为的中点，则就是蚂蚁爬行的最短路径.∵ ，∴ ．∵ ，∴ ，即蚂蚁要爬行的最短路程是10cm ．9.B 解析：由，整理，得，即，所以，符合，所以这个三角形一定是直角三角形. 10.B 解析：由，得，所以△是直角三角形，且是斜边，所以∠B =90°，从而互余的一对角是∠与∠. 11.cm 或13 cm 解析：根据勾股定理，当12为直角边长时，第三条线段长为；当12为斜边长时，第三条线段长为．12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一，∴ .∵，∴ .∵ ，∴ （cm ）．13.108 解析：因为，所以△是直角三角形，且两条直角边长分别为9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为.14. 3 解析：如图，过点作于.因为，，，所以.因为平分，，所以点到的距离．15.15 解析：设第三个数是，①若为最长边，则，不是整数，不符合题意；② 若17为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为：15．AB CD第14题答图E16. 解析：设直角三角形的斜边长是，则另一条直角边长是．根据勾股定理，得，解得，则斜边长是．17.49 解析：正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是最大的正方形的面积，即49 ．18.4 解析：在Rt △ABC 中，，则，少走了（步）．19.解：（1）因为，根据三边长满足的条件，可以判断△是直角三角形，其中∠为直角.（2）因为，所以，根据三边长满足的条件，可以判断△是直角三角形，其中∠为直角.20.解：如图①，若△是锐角三角形，则有222a b c +>.证明如下：过点作，垂足为，设为x ，则有a x -.在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AC 2 -CD 2=AD 2，即b 2 -x 2= AD 2. 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得AD 2=AB 2-BD 2，即AD 2= c 2 - (a -x )2，即222222b x c a ax x -=-+-，∴2222a b c ax +=+. ∵0,0a x >>，∴ 20ax >，∴ 222a b c +>.如图②，若△是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<. 证明如下：过点作，交的延长线于点.设为x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得222BD a x =-，在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得AD 2+ BD 2= AB 2，即2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=.∵0,0b x >>，∴20bx >，∴222a b c +<.21.解：（1）因为三个内角的比是，所以设三个内角的度数分别为.由，得，所以三个内角的度数分别为.（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2. 设另外一条直角边长为，则，即.所以另外一条边长的平方为3.22.分析：旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．解：设旗杆未折断部分的长为 m ，则折断部分的长为m ，根据勾股定理,得，解得：m ，即旗杆在离底部6 m 处断裂．23.分析：根据已知条件可找出规律；根据此规律可求出的值．解：由3，4，5：； 5，12，13：； 7，24，25： .故，，解得，，即.24.分析：（1）由于△翻折得到△，所以，则在Rt △中，可求得的长，从而的长可求；（2）由于，可设的长为，在Rt△中，利用勾股定理求解直角三角形即可．解：（1）由题意,得(cm)，在Rt△中，∵，∴(cm)，∴（cm ）．（2）由题意,得，设的长为，则.在Rt △中，由勾股定理,得，解得，即的长为5 cm．25.分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：如图（1），把长方体剪开，则成长方形，宽为，长为，连接，则构成直角三角形，由勾股定理,得.如图（2），把长方体剪开，则成长方形，宽为，长为，连接，则构成直角三角形，同理，由勾股定理,得.∴蚂蚁从点出发穿过到达点路程最短,最短路程是5．- 11 -。

初中数学北师大版八年级上册第一章勾股定理单元测试(含答案)

第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。

第一章勾股定理单元测试题(1)（含答案）

参考答案1. B 【解析】当12是斜边时，第三边是22125=119；当12是直角边时，第三边是22125=13.故选B.2. C 【解析】22＋32=13≠42，故A 选项构成不是直角三角形；32＋42=25≠62，故B 选项构成不是直角三角形；52＋122=169=132，故C 选项构成是直角三角形；42＋62=52≠72，故D 选项构成不是直角三角形. 故选C.3. D 【解析】两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长22212n n=4221n n =221n =n 2＋1.故选D.4. B 【解析】∵32＋42=52，∴是直角三角形，故(1)正确；∵32+42≠52，∴不是直角三角形，故(2)错误；∵222222345，∴不是直角三角形，故(3)错误；∵0.032＋0.042=0.052，∴是直角三角形，故(4)正确. 根据勾股定理的逆定理，只有(1)和(4)正确. 故选B.5. B 【解答】作底边上的高并设此高的长度为x ，根据勾股定理得62＋x 2=102，解得x =8.故选B .6. C 【解析】72＋242=252，152＋202≠242，222＋202≠252，故A 不正确；72＋242=252，152＋202≠242，故B 不正确；72＋242=252，152＋202=252，故C 正确；72＋202≠252，242＋152≠252，故D 不正确. 故选C.7. B 【解析】如图，小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH 是正方形，S □EFGH =EF •FG =5×5=25，S △AED =12DE •AE =12×1×2=1，S △DCH =12CH •DH =12×2×4=4，S △BCG =12BG •GC =12×2×3=3，S △AFB =12FB •AF =12×3×3=4.5. S 四边形ABCD =S □EFGH ﹣S △AED ﹣S △DCH ﹣S △BCG ﹣S △AFB =25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5. 故选B.8. C 【解答】化简(a ＋b )2=c 2＋2ab ，得a 2＋b 2=c 2所以三角形是直角三角形，故选C .9. B 【解析】在△ABC 中，∠C =90°，AC =30米，AB =50米，∴BC =22ABAC =40米，共需要资金为12×40×30•a =600a 元. 故选B .10. D 【解析】∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，∴BC=5，∵CD=17，∴DB=CD﹣BE=17﹣5=12，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB=BD=12，在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=5，∴AC=22AB BC=22125=13.故选D.11. 7 【解析】由勾股定理得：楼梯的水平宽度=2253=4，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3＋4=7米.故答案为7.12. 8 【解析】∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2＋BC2=AB2，又AB=2，∴AC2＋BC2=AB2=4，则AB2＋BC2＋CA2=AB2＋(BC2＋CA2)=4＋4=8.故答案为8.13. 24 【解析】设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n＋2.由勾股定理得(2n﹣2)2＋(2n)2=(2n ＋2)2，解得n1=4，n2=0(不合题意舍去)，即该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm.所以其周长为6＋8＋10=24cm.14. 258【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴由勾股定理得AB=5，即半圆的半径为52，所以半圆的面积为12×π×(52)2=258π，故答案为258π.15. 13 【解析】两棵树高度相差为AE=13﹣8=5m，之间的距离为BD=CE=12m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=22125=13m，即小鸟至少要飞13m.16. 4 【解析】∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC=22AD CD=4，故答案是4.17. 19 【解析】∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB=2234=5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣12×3×4=25﹣6=19，故答案为19.18. 49 【解析】由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D 的面积之和=49cm2. 故答案为49cm2.19. 解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC=22AB BC=5. ∴S△ABC=12AB•BC=12×4×3=6. 在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12.∵AC2＋CD2=52＋122=169，AD2=132=169. ∴AC2＋CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∴S△ACD=12AC•CD=12×5×12=30.∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=6＋30=36.20. 解：设BD=x，则AB=8﹣x，由勾股定理，可以得到AB2=BD2＋AD2，也就是(8﹣x)2=x2＋42，∴x=3，∴AB=AC=5，BC=6.21. 解：连接AC，已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，根据AD2＋CD2=AC2，可以求得AC=15m，在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，∴存在AC2＋CB2=AB2，∴△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，S=S△ABC﹣S△ACD=12AC•BC﹣12CD•AD=12×15×36﹣12×9×12=270﹣54=216m2，答：这块地的面积为216m2.22. 解：在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，则AC=222.50.7=2.4m，∵AC=AA1＋CA1，∴CA1=2m，∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，∴CB1=22111A B CA=1.5m，∴BB1=CB1﹣CB=1.5﹣0.7=0.8m. 答：梯足向外移动了0.8m.。

勾股定理单元测试题(含答案)

勾股定理单元测试题(含答案)第一段：勾股定理是初中数学中的重要概念，也是许多数学问题的基础。

以下是一些勾股定理的选择题和填空题。

1.选择题：1）哪组数可以构成直角三角形？A。

4.5.6B。

1.1.2C。

6.8.11D。

5.12.232）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长度是多少？A。

26B。

18C。

20D。

213）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP 的长度是多少？A。

3B。

4C。

5D。

74）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，c＝10，则a 的长度是多少？A。

5B。

10C。

5√2D。

525）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积是多少？A。

√3B。

3C。

2√3D。

3√36）若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为多少？A。

6B。

7C。

8D。

97）在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积是多少？A。

3cmB。

4cmC。

6cmD。

12cm8）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高AD＝12，则BC的长度是多少？A。

14B。

4C。

14或4D。

以上都不对2.填空题：1）若一个三角形的三边满足c－a＝b，则这个三角形是（）。

2）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面（）。

3）直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为（）。

4）如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A。

B。

C。

D的面积的和为（）。

5）如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠，极点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF＝（）。

第二段：勾股定理是初中数学中的重要概念之一，它是许多数学问题的基础。

本文提供了一些勾股定理的选择题和填空题。

第一章-勾股定理单元测试卷

ＡＢＣ图4第一章勾股定理单元试卷（时间100分钟满分100分）一、选择题：（每小题4分，共计20分）1．如图1，在山坡上种树，沿山坡走了１０米，高度上升了６米，如果要求树的株距（相邻两棵树之间的水平距离）是４米，那么，斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离应是（） A.10米 B.6米 C.5米 D.4米 .图12．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A.12米B.13 米C.14米D.15米.3．如图2，是一块长、宽、高分别是4cm ，2cm 和1cm 的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（） A.5cm B . 5.4cm C. 6.1cm D. 7cm .4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木版的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组A. 13，12，12B. 12，12，8C. 13，10，12D. 5，8，4. 5．如图3, 一个高米,宽米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是（） A. 米 B. 米 C. 4米 D. 米二、填空题（每小题4分，共计32分） 6．小明要把一根长为70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm 、40cm 、30cm 的木箱中，他能放进去吗？_______．7．李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方，这时,李明向正东方向走了______米．8．如图5，小明将一张长为20cm ，宽为15cm 的长方形纸剪去了一角，量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为_______．图2图3图5 图6 图79．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图6所示，撑脚长AB 、DC 为3m ，两撑脚间的距离BC 为4m ，则AC=____m 就符合要求．10．如图7，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．11．如图8，是一长方形公园，如果某人从景点A 走到景点C ，则至少要走_____米．图8 图9 图1012．在一棵树上的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树______米． 13．如图10是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、米、米，A 、B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是______米．三、解答题（本题共计48分）14．（本题满分5分）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C 偏离了想要达到的B 点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB 处的宽度．D B A15．（本题满分5分）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，（如图）请问这根藤条有多长？（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）.16．（本题满分6分）如图，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.17．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？12090 AB 小河东北牧童小屋18．（本题满分7分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？19. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.2.6m4m20.（本题满分6分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.21. （本题满分7分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km ，又往北走，遇到障碍后又往西走2km ，再转向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏.问登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是多少？图1图2答案:一、选择题：（每小题4分，共计20分）1．解析：坡面距离就是斜坡的长．沿山坡走了10米，高度上升了６米，则其水平距离为8（米）；设斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是x 米，则由题意知1084x=，所以x=5．答案：C ．2．解析：13米长的梯子可以达到建筑物的高度可设为x 米，因梯子的底端离建筑物5米，由勾股定理得： x 2=132-52，x=12米．答案：A ．3．解析：因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得ＡＢ2＝22(24)137++=； (2) 展开前面上面由勾股定理得ＡＢ2＝22(14)229++=； (3)展开左面上面由勾股定理得ＡＢ2＝22(21)425++=；所以最短路径的长为5cm ．答案：A ．4．解析：等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形, 腰为斜边,高和底边长一半为直角边,因此由三角形三边关系及勾股定理可知A. 132≠122+62， B. 122≠82+62 ，2=122+52 ，2≠42+42. 答案：C ．5．解析：如图，此题可运用勾股定理解决，设这条木板的长度为x 米，由勾股定理得：x 2＝１.522，解得．答案： B ．二、填空题（每小题4分，共计32分）6．解析：在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大．因此可设放入长方体盒子中的最大长度是x ㎝，根据题意，得x 2 ＝502＋40 2 ＋302＝5000．702 ＝4900，因为4900＜5000,所以能放进去．ＡＢＣ图4 答案：能．7．解析：如图4，把实际问题转化为数学模型，由题意可知AB=1200,AC=2000, 由勾股定理得：BC 2=ＡＣ2－ＡＢ2= 20002-12002=16002 ，所以BC=1600．李明向正东方向走了1600米．答案：1600．8．解析：延长AB 、DC 构成直角三角形，运用勾股定理得BC 2＝(15-3)2+(20-4)2＝122+162=400，所以BC=20．答案：20cm ．图5 图6 图7 9．解析：由题意可知AB 、DC 为3m ，BC 为4m ，由勾股定理得：AC 2＝AB 2+BC 2＝32+42=25=52，所以AC=5．答案：5．10．解析：由题意可知梯子的长是不变的，由云梯长10米，梯子顶端离地面6米，可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．当梯子顶端离地面8米时，梯子的底部距墙为6米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8-6=2（米）．答案：2．11．解析：依据两点之间线段最短，确定最短路线为长方形公园的对角线长，可设长方形公园的对角线长为x 米，由勾股定理得：x 2＝1202+3502，解得x=370．答案：370．D B A图8 图9 图1012．解析：如图9，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．设树的高度为x 米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x 2+202=[30-(x-10)]2，解得x=15．答案：15．13．解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为２，宽为(0.2+0.3)×3则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x ，由勾股定理得：x 2＝22+[(0.2+0.3)×3]22 ，x ＝．答案：．三、解答题（本题共计48分）14．解析：如图，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．答案：在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，所以AB 2+1402=5002，解得AB=480．答：该河AB 处的宽度为480米．15.解析：本题是一道古代数学题，由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按图的方法，转化为平面图形来解决．如图13,线段AB 的长就是古藤的长. 答案：如图13，在Rt △ABC 中，由勾股定理得 AB 2=BC 2+AC 2.因为BC=20，AC=3×7=21，所以AB 2=202+212=841. 所以AB=29.所以这根藤条有29尺．答：这根藤条有29尺．16．解析：如图14，彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，彩旗的对角线长为150，所以h=320-150=170cm.答案：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 为170cm.． 17．解析：找最短路程，只需要找到A 点关于河岸的对称点和点B的距离就可以，借助勾股定理可以求出来. 答案：如图，作出A 点关于MN 的对称点A′，连接A′B 交MN 于点P ，则A′B 就是最短路线. 在Rt △A′DB 中，由勾股定理求得A′B=17km.ABDPNA ′M120902.6m4m18．解析：本题关键是能将红莲移动后的图画出, 红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC 为红莲的长.答案：设水深为h 尺.如图，Rt △ABC 中，AB=h ，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2，即（h+3）2=h 2+62.∴h 2+6h+9=h 2+36，解得：h=4.5. 答：水深尺.19. 解析：如图，卡车能否通过，关键是车高4米与AC 的比较，BC 为米，只需求AB ，在直角三角形OAB 中，半径OA 为2米，车宽的一半为DC = OB =米，运用勾股定理求出AB 即可. 答案：过直径的中点O ，作直径的垂线交下底边于点D ，如图所示，在Rt △ABO 中，由题意知OA=2，，所以2222 1.4 2.04AB =-=. 因为4－2.6=1.4,21.41.96=，2.04>1.96,所以卡车可以通过.答：卡车可以通过，但要小心.20. 解析：①只须画直角边为2和3的直角三角形即可.这时直角三角形的面积为：1232⨯⨯=3；②画面积为5的四边形，我们可画边长的平方为5的正方形即可. 答案：如图1和图2.ABD C21. 解析：本题需要把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，利用勾股定理完成.答案：如图，过点B 作BC ⊥AD 于C ，则，BC=6，由勾股定理求得AB=6.5(km) .所以登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是.图2图1。

北师大数学八年级上册第1章《勾股定理》单元测试卷含答案解析

2018-20佃学年度北师大版数学八年级上册第1章《勾股定理》单元测试卷考试范围：第1章《勾股定理》；考试时间：100分钟；满分：120分题号-一一二二二 -三总分得分第I 卷（选择题）评卷人得分一 •选择题（共10小题30分）1 •以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ A. 2, 3, 4 B. 6, 8, 10 C . 5, 8, 13 D. 12, 13, 142•用四个边长均为a b 、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，贝U 下列结3.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，/BAC=90, AB=6, AC=8,点D , E , F , G , H , I 都是矩形KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为（）D . c= (a+b ) c 2=a 2 - 2ab+b 2JA. 360B. 400C. 440D. 4844 •如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME〜7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OAl=A l A2=A2A3=・・=AA8=1 , 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA i, OA2,…OA5这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）圏甲圏匕A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列说法中正确的是（）A. 已知a, b, c是三角形的三边，则a2+b2=c2B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C. 在RgABC中，/ C=90°,所以a2+b2=c?D. 在Rt A ABC中，/ B=90°,所以a2+b2=c?6. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1,则点A到边BC 的距离为（）D. 3 77. 满足下列条件的△ ABC,不是直角三角形的是（）A. b2- c?=a2B. a：b: c=3: 4: 5C.Z C=Z A-Z BD.Z A:/ B:Z C=9: 12: 158 •某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）•已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A.锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D•不能确定9 •长方形门框ABCD中, AB=2m, AD=1.5m.现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m,宽1.2m;②长2.1m，宽1.7m;③长2.7m，宽2.1m;④长3m，宽2.6m•其中不能从门框内通过的木板有（）A. 0块B. 1块C. 2块D. 3块10.如图铁路上A，B两点相距40千米，C, D为两村庄，DA丄AB，CB丄AB,垂足分别为A和B, DA=24千米，CB=16千米.现在要在铁路旁修建一个煤栈E, 使得C, D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A一■■CA. 20千米B. 16千米C. 12千米D.无法确定第U卷（非选择题）.填空题（共10小题30 分）11 •已知直角三角形的三边分别为6 8、x,则x __________ .12•如图，矩形ABCD中，AB=8, BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处, 则重叠部分△ AFC的面积为___________ .D113. 如图，在△ ABC中，/ C=90°, AC=2,点D 在BC上，/ ADC=2Z B, AD=孑, 则BC的长为 ______ .14. 观察下列式子：当n=2 时，a=2X 2=4, b=22- 1=3, c=22+1=5n=3 时，a=2x 3=6, b=32- 1=8, c=32+1=10n=4 时，a=2x 4=8, b=42-仁15, c=4^+1=17…根据上述发现的规律，用含n (n》2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a= ______ , b= ______ , c= _____ .15. _____________________________________________________________ 三角形的三边长a,b,c满足2ab=( a+b)2- c2,则此三角形的形状是_____________ 三角形.16. 已知一个三角形的三条边的长分别为=「和•—，那么这个三角形的最大内角的大小为______ 度.17. 如图，在四边形ABCD中，/ C=90°, AB=12cm, BC=3cm CD=4cm AD=13cm.求四边形ABCD的面积= _____ cm2.18. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为________ 米（精确到0.1m）.19. 上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C,测得/ BAC=60,点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是_______ 海里.20. ________ 如图是一段楼梯，/ A=30。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元检测题含答案

第一章勾股定理单元检测题(满分：120分时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线为4，它的腰长为( )A ．7B ．6C ．5D ．42．一直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边的长的平方为( )A ．25B ．7C ．5D ．25或73．在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，则△ABC 的面积为( )A ．180B ．90C ．54D ．1084．如图所示，AB ⊥CD 于点B ，△ABD 和△BCE 都是等腰三角形，如果CD ＝17，BE ＝5，那么AC 的长为( )A ．12B ．7C ．5D ．13,第4题图 ,第8题图),第10题图)5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离为( )A .365B .1225C .94D .3346．如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，则这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7．一架2.5米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底部在水平方向上滑动( )A ．0.9米B ．0.8米C ．0.5米D ．0.4米 8．如图所示，圆柱高8 cm ，底面圆的半径为6πcm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定9．在△ABC 中，若AC ＝15，BC ＝13，AB 边上的高CD ＝12，那么△ABC 的周长为( )A ．32B ．42C ．32或42D ．以上都不对10．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处，若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( )A .32B ．3C ．1D .43二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为___.,第11题图),第15题图),第16题图),第17题图)12．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，a＋b＋c是3的倍数，则c应为___，此三角形为____三角形．13．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是____米．14．小雨用竹竿扎了一个长80 cm，宽60 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉竿将四边形定形，则斜拉竿的长是____ cm.15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝3，AB＝5，则四边形EFGH的面积是____.16．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是____. 17．如图有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点(C 点在一条棱上，距离顶点B 3 cm处)，需爬行的最短路程是___cm.18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为___.三、解答题(共66分)19．(9分)如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．20．(9分)如图，AF⊥DE于F，且DF＝15 cm，EF＝6 cm，AE＝10 cm.求正方形ABCD的面积．21．(9分)一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A点处，升起云梯到发火的窗口点C.已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米，问发生火灾的窗口距地面有多少米？22．(9分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D 点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．23．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．(10分) 如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，求证∠PQC＝90°.25．(10分)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80 m，现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？答案：一、选择题(每小题3分，共30分)1—5 CDCDA 6—10 BBBCA 二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为__5__.,第11题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第17题图)12．△ABC 的两边分别为5，12，另一边c 为奇数，a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为__13__，此三角形为__直角__三角形．13．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是__170__米．14．小雨用竹竿扎了一个长80 cm ，宽60 cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉竿将四边形定形，则斜拉竿的长是__100__ cm . 15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AF ＝3，AB ＝5，则四边形EFGH 的面积是__1__.16．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是__245__.17．如图有一个棱长为9 cm 的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A 爬到C 点(C 点在一条棱上，距离顶点B 3 cm 处)，需爬行的最短路程是__15__cm .18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则C ′D 的长为__3__.三、解答题(共66分)19．(9分)如图，正方形网格中有△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：(1)求△ABC 的面积；(2)判断△ABC 是什么形状，并说明理由．解：(1)用正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC 的面积．S △ABC ＝4×4－1×2×12－4×3×12－2×4×12＝16－1－6－4＝5，∴△ABC 的面积为5(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：∵AB 2＝12＋22＝5，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝32＋42＝25，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形20．(9分)如图，AF ⊥DE 于F ，且DF ＝15 cm ，EF ＝6 cm ，AE ＝10 cm .求正方形ABCD 的面积．解：在Rt △AEF 中，AF 2＝AE 2－EF 2＝64，在Rt △AFD 中，AD 2＝AF 2＋DF 2＝289，所以正方形ABCD 的面积是28921．(9分)一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A 点处，升起云梯到发火的窗口点C.已知云梯BC 长15米，云梯底部B 距地面A 为2.2米，问发生火灾的窗口距地面有多少米？解：在Rt △BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝152－92＝144，所以CD ＝12米，即火灾的窗口距地面有12＋2.2＝14.2米22．(9分)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．解：连接BD，证△BDE≌△CDF，得BE＝FC，∴AB＝7，BF＝4，在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2＝25，即EF＝523．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，时间相同．即BC＝CA，设AC＝x，则OC＝45－x，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝BC2，即152＋(45－x)2＝x2，解得：x＝25.所以机器人行走的路程BC是25 cm24．(10分) 如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，求证∠PQC＝90°.解：(1)AP＝CQ.∵∠ABP＋∠PBC＝60°，∠QBC＋∠PBC＝60°，∴∠ABP＝∠QBC，又∵AB＝BC，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ，AP＝CQ(2)设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，连接PQ，在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ＝4a，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2，∴△PQC为直角三角形，即∠PQC＝90°25．(10分)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80 m，现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时，结束了噪声的影响，则有CA＝DA＝100 m，在Rt△ABC中，CB2＝1002－802＝602，∴CB＝60 (m)，∴CD＝2CB＝120 m．∵18 km/h＝5 m/s，∴该校受影响的时间为120÷5＝24 (s)．即该校受影响的时间为24 s。

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第一章《勾股定理》一、选择题1. 三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为（）A. 4B. 5C. 6D. 82. 三角形各边（从小到大）长度的平方比如下，其中不是直角三角形的是（）A. 1:1:2B. 1:3:4C. 9:25:36D. 25:144:1693. 设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边上的高为 h，斜边长为c，则以 c+h，a+b，h为边的三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定4. △ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则BC:AC:AB为（）A. 1:2:3B. 1:2:3C. 1:3:2D. 3:1:25. △ABC中，AB=15，AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是（）A. 42B. 32C. 42或32D. 37或33二、填空题1. 若有两条线段，长度分别为8 cm，17cm，第三条线段长满足__________条件时，这三条线段才能组成一个直角三角形。

2. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线长为68cm，这个桌面__________ （填“合格”或“不合格”）。

3. 如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________ cm。

（π取3）4. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于________ 。

三、计算题1. 如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？2. 已知直角三角形的三边长分别为3，4，x，求x2。

3. 暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6 km处往东一拐，仅1 km就找到埋宝藏点宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？登陆点4. 有一梯子长2.5米，靠在垂直的墙面上，梯子的跟部离墙的底部是0.7米，若梯子顶部下滑0.4米，那么梯子跟部到墙的底部的多少米？5. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，他们同时发现C 处有一筐水果，一只猴子从D 处往上爬到树顶A 处，又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，在由B 跑到C 处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB 。

6. 若△ABC 三边a 、b 、c 满足 a 2＋b 2＋c 2＋338=10a+24b+26c ，△ABC 是直角三角形吗？为什么？7. 在△ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则△ABC 是否为直角三角形？为什么？8. 在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=41CD ，试判断△AEF 是否是直角三角形？试说明理由。

9. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1处，如图，已知长方形长6cm，宽5 cm，高3 cm。

蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？10. 把一个直角三角形的三边扩大相同的倍数，构成的三角形是否仍为直角三角形？什么你的理由。

11. 有一圆柱形油罐底面周长为12米，高AB是5米，要以点A环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米？12.木箱的长、宽、高分别为40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放进去吗？请说明理由。

13. 已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？14. 如图，铁路上两站A 、B （视为直线上两点）相距25km ，C 、D 为两村庄（视为两点）， DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，问E 站建在距A 站多远处？15. 已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC 的长。

16. 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，CB=5，AM=AC ，BN=BC ，求MN 的长。

17. 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线—盘旋前进的。

难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如果树的周长为3 cm ，绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树的周长为8 cm ，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？18. 如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，延长AB 到F ，使BF=41AB ，那么FE 与FA 相等吗？为什么？19. 如图，∠A=60°, ∠B=∠D=90°。

若BC=4，CD=6，求AB 的长。

20．如图，∠xoy=60°，M 是∠xoy 内的一点，它到ox 的距离MA 为2。

它到oy 的距离为11。

求OM 的长。

答案一、选择题1. D2. C3. C4. C5. C 提示：3.⎩⎨⎧=+=222c b a ch ab ch c ab b a ab b a ch c h h c 22)(2)(2)(22222222+=++=+⇒+=-+⇒二、填空题1. 15或3532. 合格3. 154. 3cm 三、计算题提示：1. 以A 为圆心，以100为半径画圆，与MN 相交于P ′、N ′两点，则拖拉机经过P ′N ′所用的时间就是学校受影响的时间。

T=24秒。

2. 252=x 或7。

3. 10km4题图 5 题图 9题图4. 梯子未下滑前高为：AC=227.05.2-=2.4米。

下滑后在直角三角形A ′B ′C ′中，A ′C=2.4－0.4=2 ∴B ′C==-225.2 1.5（米）。

5. 设AD=x ，则225)10(++x =15－x ⇒222)10()15(5x x +--= [])10()15(25x x ++-=⇒ [])10()15(x x +--解得：x=2 ，树高为12。

6. 是直角三角形。

原式变形为：()222)13()12(5-+-+-c b a =07. 注意BC 、AC 、AB 的大小关系。

AB ＜BC ＜AC 。

AB 2+BC 2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC 2。

8. △AEF 为直角三角形。

设AD=4a ，则AF 2=()22225)3(4a a a =+；EF 2=52a ，AE 2=202a注意：①设AF=4a 比较方便、直观，计算过程中不出现分数；②不要直接求AF 、EF 、AE 。

直接利用平方关系。

9. 130。

如上图。

10. 设原三角形的三条边为a 、b 、c （c 为斜边），扩大k 倍，则有222)()()(kc kb ka =+； 11. 13米12. 能放进去。

长方体中两顶点之间的最长距离为其对角线BF （CG 、AE 、DH ）的长。

连接BE 、BF ，△BEF 为直角三角形。

在Rt △BCE 中，222CE BC BE +=，22222222504030++=++=+=EF CE BC EF BE BF =502＞70。

13. 是直角三角形。

（平方差公式的灵活运用）ab b a b a 2)(222-+=+=2216960217c ==⨯-。

14. 设AE=x ，则BE ＝25－x ，AD 2+AE 2=EB 2+BC 2⇒222210)25(15+-=+x x ，解得：x ＝10。

15. 作DM ⊥AB 于M 。

（如上图），ＤＭ＝１.５，ＢＭ＝２，设ＡＭ=AC ＝Ｘ，则在Ｒt △ACB 中，x x +=+2422 ∴x=3.16. AB=13，设ＭＮ＝x ，由于ＢＮ＝ＢＣ＝５，∴ＭＢ＝５－Ｘ又ＭＢ＝ＡＢ－ＡＭ＝ＡＢ－ＡＣ＝１，∴Ｘ＝４。

17. （１）爬行路程是５cm ，（２）高６cm ，爬行１０圈高为６０cm 。

18.类第８题19. 过点Ｄ作ＦＥ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长线于点Ｅ，交ＢＣ的平行线ＡＦ于Ｆ点。

ＡＢ＝ＥＦ，ＤＥ＝33，ＣＥ＝３（在直角三角形中，３０°角所对的边＝斜边的一半），∴ＡＦ＝ＢＥ＝７。

在Ｒt △ＡＤＦ中，ＦＤ＝337373==AF ∴ＡB=DE+FD=331633733=+20. 延长ＡＭ交oy 于Ｍ′，ＭＭ′＝２２ ∴ＡＭ′＝２４ＯＢ＝ＯＭ′－Ｍ′Ｂ＝35311316=- ∴在Ｒt △ＯＭＢ中，ＯＭ＝1422=+BM OB。