CAGD-010_有理曲线曲面)

第10章 有理曲线曲面
10.1 问题分析 10.2 有理曲线的形式 10.3 有理Bezier曲线曲面 10.4 NURBS曲线曲面
10.1 问题分析
Hermit插值、Bezier、B-Spline曲线具有很好的直观 性，可以比较好地生成自由曲线。但有一个问题是对 圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)只能逼近，不 能精确地表示。
i =0 j =0 ij i ,n j ,m
vi ,
0 ≤ u, v ≤ 1
优点：
(1)良好的端点和边界性质； (2)良好的几何性质； (3)包含Bezier曲面； (4)易离散性； (5)可以表示旋转面；
缺点：
(1)不具备局部性 (2)计算量随顶点增加 (3)高次曲面形状与定义的顶 点网格差异较大。
⎧ A = 2(Q 2 − Q3) ⎪ B = Q − 4Q + 2Q + Q ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪C = 2(Q2 − Q1 ) ⎪ D = Q1 ⎩
P(t ) = 1 t t 2
[
0 0 ⎡1 ⎢ 2 0 3 ⎢− 2 t ⎢ 1 −4 2 ⎢ 2 −2 ⎣0
]
Ball参数曲线
10.2 有理曲线的形式
．
10.2 有理曲线的形式
Ferguson曲线
Ferguson首先在飞机设计中应用了三次曲线，其曲线表达式为：
P (u ) = a3u 3 + a2u 2 + a1u + a0
切矢为：
（1）
p (u ) = 3a3u + 2a2u + a1
' 2
式中u为参数，u∈[0,1]；a0，a1，a2和a3为四个待定矢量。
Q0
Q1
θ
θ
Q2
10.3 有理Bezier曲线曲面
有理Bezier曲面
P(U,V) = ∑∑Qijβi,n (u)βj,m(v)
i=0 j=0 n m
权因子ω
P(u , v ) =
∑∑ ω Q β (u )β (v )
i =0 j =0 n m ij ij i ,n j ,m
n
m
∑∑ ω β (u )β (v )
C B A]
T
10.2 有理曲线的形式
BALL曲线
t=0,1代入(1)(2)式
⎧ P(0 ) = D ⎪ P(1) = At 3 + Bt 2 + Ct + D ⎪ ⎪• ⎨ ⎪ P(0 ) = C ⎪• ⎪ P(1) = 3 A + 2 B + C ⎩
=Q1 =Q4 =2(Q2-Q1) =2(Q4-Q3) 0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 0⎦ ⎡ Q1 ⎤ ⎢Q ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢Q3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Q4 ⎦
有理曲线是为了统一表示自由曲线与圆锥曲线而发展 起来的。
10.2 有理曲线的形式
BALL曲线
■在有理曲线的工程应用中，一种新颖的Ball曲线尤其引人注.1974
年，英国数学家Ball在为沃尔顿(Warton)前英国航空公司开发的 CONSURF机身曲面造型系统中，建立了机身造型的三次曲线模型。
10.2 有理曲线的形式
BALL曲线
定义：曲线通过多边形首、末点，而且曲线上首、末点处的切 矢量等于特征多边形的第一边和最后一边矢量的2倍。
⎧ P(0) = Q1 ⎪ P(1) = Q 4 ⎪ ⎪• ⎨ ⎪ P(0) = 2(Q2 − Q1 ) ⎪• ⎪ P(1) = 2(Q4 − Q3 ) ⎩
⎡ P(0 )⎤ ⎡ 1 ⎢ P(1) ⎥ ⎢ ⎢• ⎥=⎢ 0 ⎢ P(0 )⎥ ⎢− 2 ⎢• ⎥ ⎢ ⎢ P(1) ⎥ ⎣ 0 ⎣ ⎦
BALL曲线
10.2 有理曲线的形式
BALL曲线的推广
Ball曲线在计算机辅助几何设计中得到了广泛及成功的应用,改变 了传统的飞机外形设计中烦琐费时的手工放样工艺。Ball曲线原 型的基函数仅限于三次，国际上对这种参数曲线的基函数作了不 同形式的推广。 1987年，王国瑾提出一种广义Ball曲线，后被国际上命名为WangBall曲线。这种广义Ball曲线还具有两个特点：1、这种曲线的同 一族基函数中，基的次数按序号呈阶梯形分布，两边低中间高， 相邻两个基的次数一般相差二次，且首尾两个基只有二次，基次 数的缩减无疑能减少大量乘法运算；2、不同次数的两族基函数之 间具有递推性，因此想把高次曲线求值转化为低次曲线求值只要 改变一个或两个中间的控制顶点。
10.4 NURBS曲线曲面
■NURBS(非均匀有理B样条)
10.4 NURBS曲线曲面
■NURBS曲线定义
权因子w
p (u ) = ∑ Bi ,k (u )vi
i =0
n
P (u ) =
∑B
i =0 n i 0
n
i ,k
(u ) wi vi (u ) wi
∑B
i ,k
式中: (1) vi为控制顶点, (2) wi为权因子, (3) Bi,k为k次B样条基函数
10.2 有理曲线的形式
类似Ball曲线
⎧ R(0 ) = H 1V1 ⎪ R(1) = H V 4 4 ⎪ ⎪• ⎨ ⎪ R(0 ) = 2(H 2V2 − H 1V1 ) ⎪• ⎪ R(1) = 2(H 4V4 − H 3V3 ) ⎩
代入普通三次参数方程，得
R(t ) = 1 t t 2
[
0 0 ⎡1 ⎢ 2 0 3 ⎢− 2 t ⎢ 1 −4 2 ⎢ 2 −2 ⎣0
]
0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 0⎦
⎡ H 1V1 ⎤ ⎢H V ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ (3) ⎢ H 3V3 ⎥ ⎢ ⎥ H 4V4 ⎦ ⎣
MBL
(3)式改写为
R(t ) = ∑ Fi (t )H iVi
i =1 4
∑ F (t )H = [1
4 i =1 i i
t t 2 t 3 M BL [H1 H 2
10.2 有理曲线的形式
BALL曲线的推广
1989年，马来西亚数学家Said提出一种新曲线，后被国际上命名 为Said-Ball曲线，把Ball的三次曲线原型推广到任意奇数次.其 后，英国Goodman和Said在共同研究的过程中，又对此曲线的求值 算法、升降阶公全正性等性质作了研究.
10.2 有理曲线的形式
10.3 有理Bezier曲线曲面
■有理Berzier曲线的定义 性质： (1)包含Bezier曲线； (2)形状灵活； (3)良好的几何性质； 引入权因子hi （i=1，2，3，……），Berzier曲线表达式变为： (4)易拼接； (5)计算量增加，但可以方便的控制曲线形状。
称上述参数曲线为以V0,V1,…,Vn为控制多边形，以h0,h1,…, hn为权的n次有理Bezier曲线。
10.3 有理Bezier曲线曲面
二次有理Bezier曲线
ω0 v0 (1 − t )2 + 2ω1v1t (1 − t ) + ω2 v2t 2 Q(t ) = vi , 2 2 ω0 (1 − t ) + 2ω1t (1 − t ) + ω2t
0 ≤ t ≤1
性质：
(1)具有不变量:R=ω12/ω0ω2 （形状不变因子）； (2)Q(t)的类型由R值决定: R<1,Q(t)为椭圆段， R=1,Q(t)为抛物线段， R>1,Q(t)为双曲线段 (3)Q(t)为圆弧的充要条件为R=cos2θ；
10.2 有理曲线的形式
Ferguson曲线
P (u ) = [ u ⎡ 2 ⎢ − ⎢ 3 1 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 1 −2 3 0 0 1 −2 1 0
3
u
2
u
1
]
1⎤ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 0⎦
⎡ P (0 ) ⎤ ⎥ ⎢ P (1) ⎥ ⎢ ⎢ P ' (0)⎥ ⎢ ' ⎥ ⎣ P (1) ⎦
（5）
10.4 NURBS曲线曲面
■NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：非均 匀有理B样条 1、均匀基B样条的节点等距分布，各节点集形成的B样条相 同，可看作同一B样条的简单平移，计算效率高。 2、均匀B样条曲线不能贴切地反映控制顶点的分布特点， 当型值点分布不均匀时，难以获得理想的插值曲线。---可 借助非均匀B样条曲线解决 3、在自由曲线设计中经常会遇到传统的圆锥曲线，无论均 匀还是非均匀B样条曲线都不能对其作精确表示。---用有 理B样条曲线解决 4、要求用统一的方式表示一条由直线、圆锥曲线和自由曲 线构造的复合曲线。----必须应用非均匀有利B样条曲线， 即NURBS曲线。
Ferguson曲线
将式（4）代入式（1），并P(0),P(1),P‘(0),P’(1)整理得到Ferguson 曲线段表达式：
P(u) = F0 (u) p(0) + F (u) p(1) + G0 (u) p (0) + G1(u) p (1) 1
' '
式中：
⎧ F 0 (u ) = 2 u 3 − 3 u 2 + 1 ⎪ F 1 (u ) = − 2 u 3 + 3 u 2 ⎪ ⎨ G 0 (u ) = u (u − 1) 2 ⎪ ⎪ G (u ) = u 2 (u − 1) ⎩ 1
∑ ∑
v B (u ) B ( w )W
i
j = 0
式中: Vi,j为控制顶点, Wi,j为权因子, Bi,k(u)和Bj,l(w)为别为沿u向的k次和沿w向的l次B样条基函数.
10.4 NURBS曲线曲面
■有理基函数的性质
NURBS曲线
P (u
)=
∑
n
B
i= 0 n
i,k
(u ) w iv i (u ) w
U