广东省江门市新会中学2016届高三上学期11月月考数学试卷(文科)

2015-2016学年广东省江门市新会中学高三（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.把答案填涂在答题卡上.）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}2．若复数z满足i（z﹣3）=﹣1+3i（其中i是虚数单位），则z的实部为（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣63．已知α是第二象限角，=（）A．B．C．D．4．已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3 B．2C．D．15．已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．46．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A．2 B．3 C．4 D．57．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位8．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|．则函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为（）A．3 B．4 C．6 D．811．若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）12．若实数x，y满足|x﹣1|﹣lg=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上.）13．已知函数f（x）=2sin 2（+x）﹣cos2x﹣1，x∈R，则f（x）的最小值为．14．已知函数f（x）=mx3+nx2在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，则mn=．15．如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则•等于．16．函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递减区间是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（Ⅰ）求∠A的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC的面积为10，求b2+c2的值．18．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2与a4的等差中项；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n﹣log2a n，S n=b1+b2+…+b n，求使不等式S n﹣2n+1+47＜0成立的n的最小值．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E为AD的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点E到平面PBC的距离．20．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．21．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB 的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时在答题卡上注明所选题目的题号．22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【选做题】（共1小题，满分0分）23．（2011•长春二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．2015-2016学年广东省江门市新会中学高三（上）11月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.把答案填涂在答题卡上.）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}．故选A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z满足i（z﹣3）=﹣1+3i（其中i是虚数单位），则z的实部为（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】把给出的等式的左边展开，然后利用复数的除法运算求解复数z，则其实部可求．【解答】解：由i（z﹣3）=﹣1+3i，得：i•z=﹣1+6i．所以．所以z的实部为6．故选A．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数的除法运算，复数的除法运算，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．已知α是第二象限角，=（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3 B．2C．D．1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．【解答】解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．【点评】本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．5．已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．4【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，先求出f（1），然后利用条件f（f（1））=4a，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知f（1）=1+1=2，∴f（f（1））=f（2）=4+2a，即4a=4+2a，∴2a=4，解得a=2．故选C．【点评】本题主要考查分段函数求值问题，利用分段函数的取值范围，直接代入即可，比较基础．6．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】写出每次循环a，b的取值，根据退出循环的条件即可判定答案．【解答】解：a=1，b=1第1次循环：b=2，a=2，继续执行循环；第2次循环：b=4，a=3，继续执行循环；第3次循环：b=16，a=4；所以，为使输出的b值为16，循环体的判断框内应填a≤3，即满足a≤3则执行循环，否则退出循环，输出b=16；故答案为：B．【点评】本题考查程序框图和算法，属于基础题．7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．【解答】解：依题意，f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．8．实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质；不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断．【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，即0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．9．下列说法中，正确的是（）A．命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是假命题B．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件C．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＜0”D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】命题A找原命题的逆命题，易于判断，一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题；命题C是写特称命题的否定，应是全称命题；选项B是考查的线面垂直的判定；D可举反例分析．【解答】解：命题“若a＜b，则am2＜bm2”的逆命题是，若“am2＜bm2，则a＜b”，此命题为真命题，所以命题“若a＜b，则am2＜bm2”的否命题是真命题，所以A不正确．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，若l⊥β，根据线面垂直的判定，由α⊥β，反之，不一定成立，所以B正确．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是全程命题，为∀x∈R，x2﹣x≤0，所以C不正确．由x＞1不能得到x＞2，如，，反之，由x＞2能得到x＞1，所以“x＞1”是“x＞2”的必要不充分要条件，故D不正确．故选B．【点评】本题考查的知识点是命题真假的判断和充要条件问题，解答的关键是掌握定理中的限制条件，对于全称和特称命题否定的格式应牢记．10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=|x|．则函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】函数的周期性；函数的图象；对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期（﹣1，1]上，图象是2条斜率分别为1和﹣1的线段，且0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象；y=log4|x|是偶函数，图象过（1，0），和（4，1），结合图象可得函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数．【解答】解：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期（﹣1，1]上，图象是2条斜率分别为1和﹣1的线段，且0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象．函数y=log4|x|也是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，y=log4|x|=log4x，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与f（x）交与3个不同点，∴函数y=f（x）的图象与函数y=log4|x|的图象的交点个数是6个．故选C．【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．11．若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，又有f（﹣2）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵奇函数在（0，+∞）上是减函数，∴在（﹣∞，0）上也是减函数，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，作出函数f（x）的草图：则不等式x•f（x）＜0等价为x＞0时，f（x）＜0，此时x＞2当x＜0时，f（x）＞0，此时x＜﹣2，综上不等式的解为x＞2或x＜﹣2，故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：A【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．12．若实数x，y满足|x﹣1|﹣lg=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．【解答】解：∵|x﹣1|﹣lg=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选B．【点评】本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上.）13．已知函数f（x）=2sin 2（+x）﹣cos2x﹣1，x∈R，则f（x）的最小值为﹣2．【考点】三角函数的最值．【专题】数形结合；转化思想；转化法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用和差公式、倍角公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：f（x）=2sin 2（+x）﹣cos2x﹣1=）﹣cos2x﹣1 =sin2x﹣cos2x=2≥﹣2，当=﹣1时取等号．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了和差公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=mx3+nx2在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，则mn= 3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，又根据f'（﹣1）=﹣3，f（﹣1）=2可得到关于m，n 的值，即可得出结论．【解答】解：由已知条件得f'（x）=3mx2+2nx，由f'（﹣1）=﹣3，∴3m﹣2n=﹣3．又f（﹣1）=2，∴﹣m+n=2，∴m=1，n=3∴mn=3．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程．属于基础题．15．如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB=6，MN=4，则•等于5．【考点】平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量减法法则，用、、表示、，再根据向量数量积运算公式计算．【解答】解；∵=﹣；=﹣．•=•﹣•﹣•+•=2×2×（﹣1）﹣2×3×cos ∠POM ﹣3×2×cos ∠PON+3×3．∵∠POM+∠PON=π，∴cos ∠POM=﹣cos ∠PON ． ∴=9﹣4=5．故答案是5．【点评】本题考查向量运算及向量的数量积公式．16．函数f （x ）=2x 2﹣lnx 的单调递减区间是．【考点】利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x 在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．【解答】解：由f （x ）=2x 2﹣lnx ，得：f ′（x ）=（2x 2﹣lnx ）′=．因为函数f （x ）=2x 2﹣lnx 的定义域为（0，+∞）， 由f ′（x ）＜0，得：，即（2x+1）（2x ﹣1）＜0，解得：0＜x ＜．所以函数f （x ）=2x 2﹣lnx 的单调递减区间是．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠A 是锐角，且b=2a •sinB ． （Ⅰ）求∠A 的度数；（Ⅱ）若a=7，△ABC 的面积为10，求b 2+c 2的值．【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】转化思想；整体思想． 【分析】（1）利用正弦定理，可把b=2a •sinB 变形为sinB=2sinAsinB ，从而解出sinA ，进而求出A ．（2）利用三角形的面积公式可得bc=40，代入余弦定理即可求出b 2+c 2的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵b=2a •sinB ， ∴由正弦定理知： sinB=2sinAsinB ， ∵∠B 是三角形内角， ∴sinB ＞0， ∴sinA=，∴∠A=60°或120°，， ∵∠A 是锐角，∴∠A=60°．（Ⅱ）∵a=7，△ABC的面积为10，∴10=bcsin60°，∴bc=40；由余弦定理得72=b2+c2﹣2bccos60°，∴b2+c2=89．【点评】本题主要利用了正弦定理的变形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，三角形面积公式和余弦定理，注意整体思想的应用．18．已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2与a4的等差中项；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n﹣log2a n，S n=b1+b2+…+b n，求使不等式S n﹣2n+1+47＜0成立的n的最小值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，根据2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）确定数列的通项，并求和，由S n﹣2n+1+47＜0，建立不等式，即可求得结论．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项∴a1（2+q2）=3a1q（1），a1（q+q3）=2a1q2+4（2）由（1）及a1≠0，得q2﹣3q+2=0，∴q=1，或q=2，当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，把q=2代入（2）得a1=2，所以，a n=2•2n﹣1=2n；（2）b n=a n﹣log2a n=2n﹣n．所以S n=b1+b2+…b n=（2+22++2n）﹣（1+2+…+n）=2n+1﹣2﹣n﹣n2因为S n﹣2n+1+47＜0，所以2n+1﹣2﹣n﹣n2﹣2n+1+47＜0，即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．故使S n﹣2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值为10．【点评】本题考查等比数列的通项，考查数列的通项与求和，考查解不等式，解题的关键是确定数列的通项与和，属于中档题．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E为AD的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点E到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接PE、EB、BD，分别在等边△PAD和等边△BAD中利用“三线合一”，证出PE⊥AD且BE⊥AD，结合线面垂直判定定理证出AD⊥平面PBE，从而可得AD⊥PB；（2）过E作EF⊥PB于F，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定与性质，证出EF⊥平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离．根据题中数据算出Rt△PEB中各边之长，利用直角三角形的面积公式算出EF的长，即得点E到平面PBC的距离．【解答】解：（1）连接PE、EB、BD，∵△PAD为等边三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD…（2分）∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，E为AD的中点，∴BE⊥AD…（4分）∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，∵PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB…（6分）（2）过E作EF⊥PB于F∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，PE⊥AD∴PE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC∵菱形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，∴BE⊥BC∵PE、BE是平面PBE内的相交直线，∴BC⊥平面PBE∵EF⊂平面PBE，∴BC⊥EF，∵EF⊥PB且PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离∵△ADB、△ADP是边长为2的等边三角形，∴Rt△PEB中，PE=BE==，得PB==由此可得：，即点E到平面PBC的距离等于．…（12分）【点评】本题在四棱锥中证明线线垂直，并求点到平面的距离．着重考查了面面垂直性质定理、线面垂直的判定与性质，考查了等边三角形的性质和点到平面距离求法等知识，属于中档题．20．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）由频率计算公式得样本中第一组共有2人，得第二组共有6人．用组合数的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．…（4分）（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．…（7分）（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．从这8人中随机抽取2人有C共28种情况．事件A包括2×6共12种情况．所以事件A的概率P==．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．…（13分）【点评】本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．21．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB 的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得．（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用OA⊥OB推断出x1x2+y1y2=0，求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小，最后根据求得AB的坐标值．【解答】解：（I）由，∴．由右焦点到直线的距离为，得：，解得．所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，．∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴，整理得7m2=12（k2+1）所以O到直线AB的距离．为定值∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．由，∴，即弦AB的长度的最小值是．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力和基本的运算能力．四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时在答题卡上注明所选题目的题号．22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【点评】本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．【选做题】（共1小题，满分0分）23．（2011•长春二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．【考点】椭圆的参数方程；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程；直线的参数方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l 的距离的最大值．【解答】解：（1）由得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴直线l：x+y﹣4=0．由得C：．（2）在C：上任取一点，则点P到直线l的距离为d==≤=3．∴当=﹣1，即+2kπ，k∈z 时，d max=3．【点评】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容，属于中档题．。