山东省潍坊市三县2011届最后一次模拟联考试卷数学理科

山东省潍坊市三县2011届最后一次模拟联考试卷数学理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分） 1. 命题“函数()y f x =()x M ∈是偶函数”的否定是 A. ,()()x M f x f x ∃∈-≠ B. x M ∀∈，()()f x f x -≠C.x M ∀∈，()()f x f x -=D.,()()x M f x f x ∃∈-=2. 已知y x y x ≠>>,0,0，则下面四个数中最小的是A.y x +1 B.)11(41yx +C.)(2122y x + D.xy213. 执行如右图所示的程序框图，若输出的n =5，则输入整数p 的最小值是A ．7B ．8C ．15D ．164. 两个正数,a b 的等差中项是5,2,a b >且则双曲线22221x y a b-=的离心率e 等于A.2 B.3 C.35. 先将函数x x x f cos sin )(=的图象向左平移4π个长度单位，再保持所有点的纵坐标不变 横坐标压缩为原来的21，得到函数)(x g 的图象，则使)(x g 为增函数的一个区间是 A ．ππ(,)42B. π(,π)2C. π(0,)2D. (π,0)-6. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+ ，且O A A B = ，则向量BA在向量BC方向上的投影为A.2-B. 2C. 12-D.127. 从221x y m n-=（其中,{1,2,3}m n ∈-）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为 A ．12B ．47C ．23 D ．348. 若函数1()axf x e b=的图象在0x =处的切线l 与圆22:1C x y +=相离，则(,)P a b 与圆C 的位置关系是A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D.不确定，与,a b 的取值有关9. 已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为 A.π36B.π6C.π9D.π610. 直线kx y =与曲线2ln --=x e y x有3个公共点时，实数k 的取值范围是A.),1(+∞B.),1[+∞C.)1,0(D.]1,0(11. 若函数1,10()πcos ,02x x f x x x +-<⎧⎪=⎨<⎪⎩≤≤的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为a ，则621()x ax -的展开式中常数项为12. 对两个实数y x ,,定义运算“*”，y x y x ++=*1．若点))(,(y x y x P *-*在第四象限，点))3()(,(y x x y x Q +-*-*在第一象限，当Q P ,变动时动点),(y x M 形成的平面区域为Ω，则使Ω⊆><++-)}0()1()1(|),{(222r r y x y x 成立的r 的最大值为A.2B.5C.55D.22 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 复数2+i i在复平面上对应的点在第 象限．14. 高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．15. 在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论： .16. 已知三个平面γβα,,，若γβ⊥，且α与γ相交但不垂直，直线c b a ,,分别为γβα,,内 的直线，给出下列命题：①任意γβ⊥⊂b b ,； ②任意γβ//,b b ⊂； ③存在γα⊥⊂a a ,； ④存在γα//,a a ⊂； ⑤任意αγ//,c c ⊂； ⑥存在βγ⊥⊂c c ,.其中真命题的序号是_________ .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω⋅-(0)ω>最小正周期为π2． （I ）求ω的值及函数)(x f 的解析式；（II ）若ABC ∆的三条边a ，b ，c 满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求角A 的取值范围及函数)(A f 的值域． 18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角B AC M --的余弦值.19．（本小题满分12分）张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生分析上述两条路线中，选择哪条上班路线更好些，并说明理由．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1n a +＋n a ＝4n －3(n ∈*N )． （I ）若1a ＝2，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（II ）若对任意n ∈*N ，都有2211n n n n a a a a ++++≥5成立，求n 为偶数时，1a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆1C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，抛物线C :224y a x =-的准线与x 轴的交点为A ，且122AF AF =． （I ）求p 的值及椭圆1C 的方程；（II ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图）， 求四边形DMEN 面积的最大值和最小值． 22．（本小题满分14分）已知k ∈R 函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠. (I) 若1mn =且函数()f x 为奇函数，求实数k ； (II) 若10,m n >>>试判断函数()f x 的单调性；(III) 当2m =，12n =，0k ≠时，求函数()y f x =的对称轴或对称中心.12参考答案一、选择题 ACBCA DBADC DC 二、填空题13.四；14. 20；15.正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值；16. ④⑥ 三、解答题17. 解：（I ）11π1()2cos 2sin(2)22262f x x x x ωωω=--=--. 由2ππ22ω=，得2=ω. ……………………………………………………………3分 函数21)64sin()(--=πx x f . ………………………………………………………5分（II ）因为2222221cos 2222b c a b c bc bc bc A bc bc bc +-+--===≥． ………………8分 而A 为三角形内角，所以03A π<≤. …………………………………………….10分所以ππ7π4666A -<-≤，1πsin(4)126A --≤≤， 即11()2f A -≤≤. ……………………………………………………………12分18. 证明：（Ⅰ）因为,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥= ，所以PC ABC ⊥平面. 又因为PC PAC ⊂平面，PAC ABC ⊥平面平面. ……………………………3分 （Ⅱ）由（I ）知，M 在面ABC 内的射影N 必在CB 上，易知1CN =.因为直线AM 与直线PC 所成的角为060，所以060AMN ∠=.在ACN ∆中，由余弦定理得AN ==在AMN ∆中，cot 1MN AN AMN =⋅∠==. …………………….5分建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.由题意知1,0)2A -，(0,1,1)M .所以1(,,0)22CA =- ，(0,1,1)CM = . …………………………………….7分设平面MAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1020x y y z -=⎪+=⎩. 取11x=(1n =得. ……………………………………………9分又平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =. …………………………………….10分设m 与n 所成的角为θ，则cos 7m n m nθ⋅===-………………..11分 显然，二面角M AC B --为锐角，故二面角M AC B --的余弦值为7. …………………………………………………………………..12分 19. 解：（Ⅰ）设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=．所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12．………………………………3分 （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2． ……………………………4分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=，339(=2)=4520P X ⨯=． …………………………………………………7分随机变量X 的分布列为：01210202020EX =⨯+⨯+⨯=．………………………………………9分（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1(3,)2Y B ，所以13322EY =⨯=． ………………………………………11分因为EX EY <，所以选择L 2路线上班更好．………………………………………12分20. 解：（I ）由1n a +＋n a ＝4n －3(n ∈*N )得2n a +＋1n a +＝4n ＋1(n ∈*N )． 两式相减，得2n a +－n a ＝4．所以数列{}21n a -是首项为1a ，公差为4的等差数列；数列{}2n a 是首项为2a ，公差为4的等差数列． …………………………. ……………………………………2分 由2a ＋1a ＝1，1a ＝2，得2a ＝－1．所以n a ＝2=2125=2n n k n n k-⎧⎨-⎩(k ∈Z )．……. …………………………………3分①当n 为奇数时，n a ＝2n ，1n a +＝2n －3，n S ＝1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a ＝(1a ＋2a )＋(3a ＋4a )＋…＋(2n a -＋1n a -)＋n a＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n ＝1(1411)22n n -⨯+-＋2n ＝22352n n -+．……. ……………………………………5分②当n 为偶数时，n S ＝1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a ＝(1a ＋2a )＋(3a ＋4a )＋…＋(1n a -＋n a )=1＋9＋…＋(4n －7) ＝2232n n-．所以n S ＝22235=21223 =22n n n k n n n k ⎧-+-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩(k ∈Z )．……………………………………7分（II ）由（I ）知，n a ＝1122=2123=2n a n k n a n k -+-⎧⎨--⎩，，(k ∈Z )．当n 为偶数时，n a ＝2n －3－1a ，1n a +＝2n ＋1a ．由2211n n n n a a a a ++++≥5，得21a ＋13a ≥24n -＋16n －12． ………………………….9分 令()g n ＝24n -＋16n －12＝24(2)n --＋4． 当n ＝2时，max ()g n ＝4，所以21a ＋13a ≥4．解得1a ≥1或1a ≤－4． ……………………………………………11分 综上所述，1a 的取值范围是(-∞，4][2- ，)+∞．…………………………12分21. 解：（I ）由题意，1222F F c == . 抛物线C :224y a x =-的准线方程为2x a =，所以点A 的坐标为2(,0)a .122AF AF =，2F ∴为1AF 的中点. …………………………………….2分23a ∴=，22b =，即椭圆方程为22132x y +=. ………………………….3分 （II ）①当直线DE 与x轴垂直时，22b DE a =⋅=，此时2MN a == 四边形DMEN 的面积42DE MNS ⋅==； 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积42DE MNS ⋅==. ……5分 ②当直线DE 、MN 均与x 轴不垂直时，设直线:(1)DE y k x =+，11(,)D x y ，22(,)E x y .由22132(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2222(23)6360k x k x k +++-=. ………………….7分 则2122623k x x k -+=+，21223623k x x k -⋅=+.所以，2122(1)23k DE x x k +=-=+；同理221[()1]123()k MN k-+==+- . …….…………………… 9分 所以四边形的面积2222124(2)126()13k DE MN k S k k++⋅==++，令221u k k =+得24(2)613u S u +=+ 因为2212u k k =+≥，当1k =±时，2u =，9625S =，且S 是以u 为自变量的增函数，所以96425S ≤<. 综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625. ………………………………………………12分22. 解：（1）因为()f x 为奇函数，所以()(),f x f x -=-x x x x m k n m k n --+⋅=--⋅恒成立. 即,x x x x n k m m k n +⋅=--⋅()()0,x x x x n m k m n +++=即()(1)0,x xn m k ++=由0x x n m +≠恒成立，得 1.k =- …………………….3分 （II ）10,m n >>> 1mn>， ∴ 当0k ≤时,显然()x x f x m k n =+⋅在R 上为增函数； ………………….5分当0k >时，()ln ln [()ln ln )]0x x x x mf x m m kn n m k n n n'=+=+=，由0,x n >得()ln ln 0,x m m k n n +=得ln ()log ,ln x m m nk k n n m =-=-得log (log )m m n x k n =-.……………………………………7分∴当(,log (log )]m m nx k n ∈-∞-时, ()0f x '<,()f x 为减函数;当[log (log ),)m m nx k n ∈-+∞时, ()0f x '>,()f x 为增函数. …………………9分(III) 当12,2m n ==时，()22,x x f x k -=+⋅ 若0,k <22log ()log ()()222()222222k k x x x x x x x x f x k k ------=+⋅=--⋅=-⋅=-，则2(log ())(),f k x f x --=-∴函数()y f x =有对称中心21(log (),0).2k - ………………………………..12分若0,k >22log log ()2222222,k k x x x x x x f x k ---=+⋅=+⋅=+ 则2(log )(),f k x f x -=∴函数()y f x =有对称轴21log 2x k =. ………………………………..14分。