2019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----立体几何
2019北京高三一模数学---立体汇编
B12019北京高三一模数学---立体汇编1.2019东城一模理 （17）（本小题14分）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 求1ADDB 的值. 2.2019西城一模理 16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE⊥，112AF AD DE ===，AB =（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得 平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由． 3.2019海淀一模理 (17)（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．(Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;(Ⅲ)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．4.2019朝阳一模理 17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由． 5.2019丰台一模理 17．（本小题14分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值；（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，请说明理由．6.2019石景山一模理 17. （本小题14分）EDCBA F11如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ； （Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BH BC ；若不存在，说明理由．7.2019怀柔一模理 16．（本小题满分14分）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值. 8.2019延庆一模理 17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面MEF 与平面PBC所成锐二面角的余弦值；12HE（Ⅲ）设=PMPDλ，当λ为何值时，直线ME 与平面PBCλ的值. 9.2019平谷一模理 17.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的一点，PB ∥平面AEC ； （I ）求证：E 为PD 的中点； （II ）求证：CD ⊥AE（III ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD= ，求AB 长。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n+；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n+．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)（Ⅱ）记12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= ，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=，所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++- 12nx x x =+++ 12ny y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++- 1122n n x y x y x y n ≤++++++= ，当(1,1,,1)α= ，(0,0,,0)β= 时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- 1122()n n n x y x y x y =-+++ 注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个，当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)n nαβ== 个个时，满足n ααββ*+*=，且2nαβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+= 个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=.所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈ 显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ，则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T = ，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.--..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式.由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项..............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+，即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d ++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤，由于d *∈N ，所以22+11n n a b +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立.............................14分【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.20.（本小题满分13分）（Ⅰ）3a 的值可取27,30,33,36..…………3分（Ⅱ）由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅，对于任意的n ，有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时，15(1)n a n a ≤-+，即5(1)4n a n n ≤-++，即61n a n ≤-.则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数，所以当14n a ≥-时，有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >，依以上所证，这样的n 的个数是有限的，设其中最大的为N .则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立，因为N a 是N 的倍数，故6N a N ≥.由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时，5n a n ≤.…………8分（Ⅲ）由上问知1155a ≤，因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数，所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤，280a ≤，185a ≤.则1=85a ,2=80a ,3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =,963a =,1060a =,当11n ≥时，5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85.………13分【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.20．（共13分）解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（答案不唯一） (4)分（Ⅱ）数阵{}i j m n b ⨯具有性质A .只需证明，对于任意的1,2,3,,i n = ，都有(1)i j i j b b +<，其中1,2,3,,1j n =- .下面用反证明法证明：假设存在(1)pq p q b b +>，则(1)(2),,,p q p q mq b b b ++ 都大于(1)p q b +，即在第q 列中，至少有1m p -+个数大于(1)p q b +，且(1)(1)(1)2(1)1(1)p q p q q q b b b b +-+++>>>> .根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)t q b t p += ，都至少存在一个t i q a {}(1,2,3,,)t i m ∈ ，使得(1)t i q t q a b +<，即在第q 列中，至少有p 个数小于(1)p q b +.所以，第q 列中至少有11m p p m -++=+个数，这与第q 列中只有m 个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵{}i j m n b ⨯具有性质A ....………….13分【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列.………………3分（Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N .考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=，所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数.…………5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+ 这k 项，其和为(1)12k k S +'=+，所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .………8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈- ，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ，因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈- .因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N - 的公倍数.………………9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6,7的倍数，即213287,,,a a a a a a --- 均为420的倍数（注：420为2,3,4,5,6,7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯= ，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项.………………11分如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6的倍数，即213276,,,a a a a a a --- 均为60的倍数（注：60为2,3,4,5,6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<< ，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤， ，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯= ≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i = ）时，167a a a +++ 取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873.………………13分【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n +；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n +．20.（本题（Ⅱ）（前两问答案不唯一，请酌情给分）（Ⅲ）不妨设A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()C A ,考虑含n +1个元素的集合2222{1,2}B n n n n n =--- ，，，，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为212x x n <≤…7分也必有至少两个数处于同一列，设为212y y n <≤.①若211max(,)1x y n n -+≥则有222111()max(,)1n n n C A x y n n n +<-+≤≤（因为33+1n n >）.②若211max(,)1x y n n <-+，即211x y n n ==-，则22x y ≠，222min(,)1x y n -≤．所以22222min(,)1(1)(1)1()(1)xy n n n n C A n n n n n n n -+-+==---≤≤.即不论何种情况，总有1()n C A n +≤.…13分。
高考数学2019真题汇编-立体几何(解析版)
专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=，即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=， 又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==，AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===， 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ，∴3112312cm 3O EFGHV -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=， 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.7．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m （如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α也对） 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，是不正确的，有可能m 在平面α内；但是已知了直线在平面外，故正确。
2019年北京高三数学二模分类汇编：立体几何--(教师版)
2019高三二模立体几何1、（2019北京海淀高三二模理17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足 为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置， 使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点。
(Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG ∥平面1D EC t (Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D BE ;(Ⅲ)是否存在点G ，使得二面角1G BE D --6\若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．`/；2、（2019北京东城高三二模理17)（本小题14分）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ．（Ⅰ）求证：CDEF ；（Ⅱ）若EF CD =，求二面角--A BC F 余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AM EM ⊥若存在，求BM 的长；/若不存在，说明理由．#{{3、（（2019北京西城高三二模理17)（本小题满分14分） 如图1，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为,AB AD 中点，04,42,45AD AB A ==∠=。
将AEF ∆ 沿折起到1A EF ∆位置，使得平面1A EF ⊥平面BCDEF ，如图2.记1AC 的中点为M 。
(Ⅰ) 求证：1A E CD ⊥；(Ⅱ)求二面角M DB C --的大小；(Ⅲ)设N 为线段1A D 上的一点，试给出点N 满足的一个条件，使得平面NEF ∥平面MBD ， 并证明你的结论。
@·；4、（2019北京朝阳高三二模理17)（本小题满分14分）>在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB = (Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ； (Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ； (Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值.B 1B'-(5、（2019北京丰台高三二模理17)（本小题14分）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3BAD π∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）．将ACD △沿AC 折起到'ACD △的位置，使得二面角'B AC D --为直二面角（如图2）．'（Ⅰ）求证：BC ∥平面'POD ；（Ⅱ）求二面角'A BC D --的大小；（Ⅲ）线段'PD 上是否存在点Q ，使得CQ 与平面'BCD若存在，求出'PQPD 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2ABCDEFM `，（6、（2019北京房山高三二模理17)（本小题14分）已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2,1AB AF ==，点M 在线段EF 上. （Ⅰ）若M 为EF 的中点，求证：AM 平面BDE ；（Ⅱ）求二面角A BF D --的余弦值；（Ⅲ）证明：存在点M ，使得AM ⊥平面BDF ，并求EMEF的值.$）ABCDEP（)$7、（2019北京昌平高三二模理16)（本小题14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ， 2AB =，!1BC =，PC PD ==E 为PB 中点．（Ⅰ）求证：PD ∥平面ACE ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使得AM ⊥BD 若存在， 求PMPD的值；若不存在，说明理由．？/￥[8、（2019北京顺义高三二模理16) （本小题14分）如图，在四棱锥中，等边三角形所在的平面垂直于底面，，，是棱的中点．—（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断直线与平面的是否平行，并说明理由．.]）?9、（2019北京通州高三二模理17)（本小题14分）如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为上一点，若EFDF FA 'ABCD B AE F CE AD ⊥BF EC BCAD 1BC CE ===3AD BCEF1AF FE ED ===F AE GF G 1AD 1GF D E BF EC GF BF F =GF BF ⊂， BFG 1,D E EC ⊂1D EC BFG 1CED BG GFB ⊂面BG 1D EC ABCD B AE F CE AD ⊥BF EC BC AD 1BC CE ===3AD BCEF F AE GF G 1AD 1GF D E 1D E ⊂1D EC GF ⊄1D EC GF 1D ECBFEC EC ⊂1D EC BF ⊄1D EC BF 1D EC GF BF F =BFG 1D EC BG GFB ⊂面BG1D EC ABCD B AE F CE AD ⊥BF EC BC AD 1BC CE ===3AD BCEF 1AF FE ED ===2AE =1 =2BCAE BC AE ，M 1D E ,MG MC G 1AD 1=2GM AE GM AE， =GM BC GM BC ，MGBC BGCM CM ⊂1D EC BG ⊄1D EC BG 1D EC 1D EC ⊥ABCE 1D EC ABCE EC=1,D E EC ⊥1D E ⊂1D EC 1D E ⊥ABCE AB ⊂ABCE 1D E AB ⊥2,2,2AB BE AE ===222AE AB BE =+BE AB ⊥1BED E E =AB ⊥1D EB 1,,EA EC ED 1E ACD -(2,0,0)A 1(0,0,1)D (1,1,0)B 1(2,0,1),(1,1,0)AD EB =-=，假设存在点G 满足题意，设1,01AG AD λλ=≤≤，则(2,0,1)AG λ=-，所以(2,0,0)(2,0,1)(22,0,)EG EA AG λλλ=+=+-=-设平面GBE 的法向量为(,,)a b c =m ，所以0EB EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即0(22)0a b a c λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取a λ=，则(,,22)λλλ=--m ，由（Ⅱ），(1,1,0)AB =-为平面1BED 的法向量， 令2226cos ,22(22)AB AB AB λλλ-⋅<>===⋅+-m m mABCD 1EDCBEA 'E DCBA图1 图2*解得23λ=或2λ=（舍） 所以存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为6，且123AG AD =，得25AG =.2、（2019北京东城高三二模理17)（本小题14分） 解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ．因为AB ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD ∥平面ABE ．}因为CD ⊂平面CDE ，且平面ABE平面CDE EF =，所以CD ∥EF ． ............................4分（Ⅱ）如图，取AD 的中点N ，连接BN ，EN .在等腰△ADE 中，.ENAN ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 又ENAD ⊥，所以EN ⊥平面ABCD .所以.EN BN ⊥由题意易得.AN BN ⊥…如图建立空间直角坐标系N xyz -，则(0,0,0),N (2,0,0)A ，(0,23,0)B ，(3,0)C -，(2,0,0)D -，(0,0,2)E ． 因为EFCD =，所以(3,2)F -.设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =，n (1,3,2),(3,3,0),BF BC =--=- 则0,0,BF BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330.x y z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令3y=1,1x z =-=．于是(3,1)=-n ．:又平面ABCD 的法向量为(0,0,2)NE =，所以5cos ,5NE NE NE⋅〈〉==n n n ． 由题知二面角--A BC F 为锐角， 所以二面角--A BC F 的余弦值为55. ............................9分 （Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AMEM ⊥，理由如下：若AMEM ⊥，则0EM AM ⋅=．因为点M 为线段BC 上的动点，设(01),CM tCB t =≤≤，(,,0)M u v ．则(3,3,0)(3,3,0)u v t +-=，￥解得(33,3+3,0)M t t -． 所以(33,33,2)EM t t =-+-，(35,33,0)AM t t =-+．所以(33,33,2)(35,33,0)=0EM AM t t t t ⋅=-+-⋅-+． 整理得22330t t -+=，此方程无实根．所以线段BC 上不存在点M ，使AMEM ⊥. (14)分3、（2019北京西城高三二模理17)（本小题满分14分）：4、（2019北京朝阳高三二模理17)（本小题满分14分）解： (I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB .又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D , 所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D ，连接1DD . '显然DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -, 则(0,0,0)D ，(23,0,0)A ，(0,2,0)B -，1(0,2,22)B -，1(0,2,22)C ,(3,1,0)E ,(0,2,0)C .所以1(0,2,22)DB =-，(23,0,0)DA =，1(0,4,22)BC =.又因为1230040220BC DA ⋅=⨯+⨯+⨯=，1100(2)422220BC DB ⋅=⨯+-⨯+⨯=, 所以111,BC DA BC DB ⊥⊥.又因为1DA DB D =，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分~（Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ， 又(23,2,0)AC =-，1(0,4,22)B C =-，由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2320,4220.x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 设1x =，则3y =，6z =，则2(1,3,6)=n .所以12121210cos 1010,⋅<>===n n n n n n .设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角， 所以10cos θ=. ………….14分 |5、（2019北京丰台高三二模理17)．（本小题14分）（Ⅰ）证明：因为在梯形ABCD 中，AB CD ∥，24AB CD ==，P 为AB 的中点， ，所以∥CD AP ，CD AP =，所以四边形APCD 为平行四边形， ………………1分 因为线段AC 与DP 交于O 点，z yx D 1GE1A 1C 1ABCD所以O 为线段AC 的中点，所以ABC ∆中∥OP BC ， ………………3分 因为平面，平面，所以BC ∥平面'POD ． ………………4分 ~（Ⅱ）解：因为平行四边形中，，所以四边形APCD 是菱形，AC DP ⊥，垂足为O ， 所以'AC OD ⊥，AC OP ⊥，因为'OD ⊂平面'ACD ，OP ⊂平面ACB ， 所以'D OP ∠是二面角'B AC D --的平面角， 因为二面角'B AC D --为直二面角，所以'2D OP π∠=，即'OP OD ⊥．可以如图建立空间直角坐标系O xyz -，其中(0,0,0)O ， ………………6分—因为在图1菱形APCD 中，3BAD π∠=， 所以1OD OP ==，3OA OC ==．所以(3,2,0)B -，(3,0,0)C -，'(0,0,1)D ．所以'(3,2,1)BD =-，(0,2,0)CB =． ………………7分 设()=x,y,z n 为平面'BCD 的法向量， 因为'CBBD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，所以0'0CB BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，即20,320.y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，得到0,3.y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩·所以(1,0,3)=-n ，易知平面ABC 的法向量为'(0,0,1)OD ==m ， ………………8分所以3cos ,<>==-m n m n |m ||n | ………………9分由图可知，二面角'A BC D --为锐二面角，所以二面角'A BC D --的大小为6π． ………………10分（Ⅲ）解：线段'PD 上存在点Q ，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为6，………………11分 设'(01)PQPD =λ≤λ≤，因为(3,1,0)CP =，'(0,1,1)PD =-，(所以'(3,1,)CQ CP PQ CP PD =+=+λ=-λλ． (12)分xPO B Cyz A D'Q因为23(1)6cos ,82224CQ CQ n CQ ⋅-λ<>===λ-λ+n n， ………………13分所以23720λ-λ+=， 因为01≤λ≤，所以13λ=． ………………14分 所以线段'PD 上存在点Q ，且1'3PQ PD =时，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为6．6、（2019北京房山高三二模理17)（本小题14分）(（Ⅰ）设=AC BD O ，连结OE ，因为 正方形ABCD ，所以O 为AC 中点 又 矩形ACEF ,M 为EF 的中点 所以//,EM OA 且EM OA = ……………………………..2分所以OAME 为平行四边形 所以//AM OE ……………………………..4分又 AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE 所以 AM平面BDE ……………………………5分}（Ⅱ）以C 为原点，分别以,,CD CB CE 为,,x y z 轴建立坐标系C -xyz 则(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,2,1)A B D F(2,2,0),(0,2,1)DB DF =-=设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =，由00DB n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22020x y y z -+=⎧⎨+=⎩则(1,1,2)n =- ……………7分易知 平面ABF 的法向量(0,1,0)m = ……………8分6cos ,6n m n m n m⋅<>===⋅《由图可知 二面角A BF D --为锐角zyxAB CD EFM Ozyx O P FEDCBA所以 二面角A BF D --的余弦值为6……………10分（Ⅲ）设00(,,1)M x x ，则 00(2,2,1)AM x x =--若AM ⊥平面BDF 则//AM n ，即00(2,2,1)//(1,1,2)x x --- ……………12分 所以0122x -=-解得032x = 所以33(,,1)22M 所以 3232=422EM EF = ……………14分7、（2019北京昌平高三二模理16)（本小题14分） （解：（I ）设BD 交AC 于点F ，连结EF . 因为底面ABCD 是矩形, 所以F 为BD 中点 . 又因为E 为PB 中点 , 所以EF ∥PD .因为PD ACE EF ACE ⊄⊂平面，平面, 所以PD ∥ACE 平面. ….4分（II ）取CD 的中点O ，连结PO ，FO . …因为底面ABCD 为矩形,所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点, 所以,PO CD OF ⊥∥BC . 所以OF CD ⊥.又因为PCD ABCD ⊥平面平面,,PO PCD PCD ABCD CD ⊂⋂=平面平面平面,所以PO ABCD ⊥平面.—如图，建立空间直角坐标系O xyz -,则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A CB P E -，, 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m 131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-！所以20,0,2,131.00222x y AC x y z y x y z AE -+=⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =， 6cos ,6OP OP OP⋅<>==-⋅m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为6-.….10分 "（Ⅲ）在棱PD 上存在点M , 使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PMM x y z PD=∈λλ,则,01,0PM PD D =-λ（，）. 因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ,所以(0,,1)M --λλ.(1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--λλ.因为AM BD ⊥,所以0AMBD ⋅=.所以121=0--λ（），解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥，且12PM PD =. ….14分 8、（2019北京顺义高三二模理16) (Ⅰ)证明:∵平面⊥PCD 平面ABCD平面 PCD 平面CD ABCD = ⊂AD 平面ABCD CD AD ⊥∴⊥AD 平面PCD --------------------------- 4分（Ⅱ）取CD 的中点O ，连结OB ,OP —∵PD PC = ∴CD OP ⊥ ∵CD AB 21=, ∴OD AB =又∵90=∠=∠ADC BAD ∴四边形ABOD 是平行四边形 ∴AD OB // ∴OC OB ⊥∵⊥AD 平面PCD ∴OP AD ⊥PBCDMOxyz∴OP OB ⊥建立如图所示空间直角坐标系xyz O -， ----------------------------------------5分 则)0,1,1(-A ，)0,0,1(B ，)0,1,0(C ，)3,0,0(P ，)23,21,0(-M .)23,23,0(-=CM ，)0,1,1(-=CB 设),,(z y x m =为平面MBC 的一个法向量，由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0CB m CM m得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-002323y x z y 令1=x ，得1=y ，3=z ，所以)3,1,1(=m ------------------------------------7分因为z 轴垂直于平面BCD ,所以取平面BCD 的一个法向量)1,0,0(= -------------------------------------------------8分515153,cos =⨯=>=<nm ------------------------------------------------9分所以二面角D BC M --的余弦值为515. --------------------------- 10分（Ⅲ）解：直线CM 与平面PAB 不平行，--------------------------------------------11分理由如下：)0,1,0(=AB )3,0,1(-=PB设),,(z y x =为平面PAB 的一个法向量，由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PB v AB v得⎩⎨⎧=-=030z x y 令1=z ，得3=x ，所以)1,0,3(=023)1,0,3()23,23,0(≠=⋅-=⋅ --------------------------------------------13分所以与不垂直，又因为⊄CM 平面PAB所以直线CM 与平面PAB 不平行. ------------------------------------------14分 或法2：（反证法）假设//CM PAB 面,因为D //C PAB 面，且CM CD C ⋂= 所以//PAB PCD 面面，又PAB=P PCD ⋂面面（矛盾） 所以假设不成立，故直线CM 与平面PAB 不平行.9、（2019北京通州高三二模理17)（本小题14分）（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ． 所以． ………………1分 因为,， 所以 ………………3分 因为， 所以 ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，如图建立空间直角坐标系E-xyz ，则 ………………5分 E (0,0,0)，B (2,0,0)，， ， 所以. ………………6分设平面的法向量由 ………………7分得 所以令，则．所以． ………………8分所以，又，所以2321cos ,727A E A E A E '⋅-'<>===-'⋅n n n． ………………9分所以直线与平面所成角的正弦值为217. ………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，设，则 ………………11分． ………………12分因为EF1DFFA ='………………14分。
2019北京高考理科数学试题及答案详解共10页
2019北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤ x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.1B.23C.1321D.610987 5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex 关于y 轴对称，则f(x)=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x -- 6.若双曲线22221x y a b -=，则其渐近线方程为A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.2y x =± 7.直线l 过抛物线C: x2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43B.2C.83D.38.设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsinθ=2的距离等于 .10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n 项和Sn= .11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA=3，916PD DB =：：，则PD= ；AB= . 12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ= .14.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上，点P 到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
2019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编——解析几何
北京市各区高三理科数学分类汇编----圆锥曲线（2017海淀期末）1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ B ）A.12B.1C.2D.3（2017海淀期末）5.已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是（ A ） A.152y x =-B.152y x =C.32y x =- D.23y x =-+（2017东城期末）（2）抛物线22y x =的准线方程是（ D ） （A ）1y =-（B ）12y =-（C ）1x =-（D ）12x =- (2017西城期末)3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ B ）（A ）30x y =（B 30x y ±=（C ）30y =（D ）30x y ±=(2017通州期末) 4．“>1m ”是“方程2211x m m =-表示双曲线”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2017昌平期末）(7) 在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（ A ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（2017年朝阳一模）（5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3=PF （ C ）（A ） 34 （B ） 6 （C ） 8 （D ）16(2017年平谷一模)7.已知点M (0，15）及抛物线x y 42=上一动点)(y x N ，，则||MN x +的最小值为（ C ）A ．5B ． 32C ． 3D ． 4(2017年西城二模)5．设双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（ A ） （A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±= （D ）80x y ±=(2017年丰台二模)4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x=±的是（ D ）（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=填空题部分：（2017东城期末）（11）若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =____1±___．（2017朝阳期末）9．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 3 ． （2017石景山期末）11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是(0) ．（2017丰台期末）10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 53 ．(2017年东城一模) （13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边,OA OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则a = ___32____． (2017年海淀一模)10.已知12(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为__2213y x -=__.(2017年丰台一模)9. 抛物线22y x =的准线方程是 12x =- ． (2017年石景山一模)11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = 4 ．(2017年平谷一模)12．在平面直角坐标系xOy 中，若方程142222=+-m y m x 表示双曲线，则实数m 的范围_______ m >0 ______；若此双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为_____x y 2±=___.（2017年朝阳二模）9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 y = ，离心率是(2017年东城二模)（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60o，则||OA(2017年海淀二模)14.已知椭圆G ：22216x y b+=(0b << 的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_______①③______．解答题部分：（2017西城期末）19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【解析】将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB = 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，所以△MAB 面积的最大值是2．（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n --()()222200224242=n y n y y n----22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．（2017海淀期末）18. （本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点.（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==（Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+.由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得AB k =所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=u u u r u u u r. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++u u u r u u u r 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.（2017东城期末）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值． 【知识点】圆锥曲线综合 【难度】4 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=u u u r u u u r ．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即2222211222296(1)()()()14343x y x y λλλλλ--+++-=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． （2017朝阳期末）18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P与其顶点(A,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为3±，设直线OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-．由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分(2017石景山期末18)18．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由． 解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为c e a ==c =1b ==． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 (2017丰台期末)19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分(2017通州期末)19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列． 解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b+=① 11,22c e a ==又所以②由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y=2k -121212232()1x x x x x x g +--++⑤ 将④代入⑤得=+21k k 322k g -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分(2017房山期末)19．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为（θ为参数），已知圆O 与y 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，点P 为直线l ：y=4上的动点．直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ． （Ⅰ）写出圆O 的标准方程；（Ⅱ）若△PAN 与△MAN 的面积相等，求直线PA 的方程； （Ⅲ）求证：直线MN 经过定点． 【解答】（I ）解：由圆O 的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x 2+y 2=4．（II ）解：如图所示，A （0，2），B （0，﹣2），设P （t ，4）． 直线PA 方程为：y=x +2，（t ≠0）．联立，化为： +x=0，解得x M =﹣，y M =．可得M ．∵△PAN 与△MAN 的面积相等，∴PA=AM ． ∴0=，解得t=±2．∴直线PA 的方程为：y=±x +2．（III ）证明：直线PB 的方程为：y=x ﹣2．（t ≠0）． 由（II ）同理可得：N．k MN ==．直线MN 的方程为：y ﹣=，令x=0，可得y=1．∴直线MN 经过定点（0，1）．（2017年朝阳一模）(19)（本小题满分14分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率63e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ∆,11AE F ∆,1AFF ∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，试证明1322S S S 为定值. 解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又6c a =，即22123a a -=. 解得23a =.即3a =.所以222c a b =-=.所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±. …………………4分（Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R .设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y . 因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-222248(3)3m m m =+++22=2221224(3)m m +=+. 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分(2017年东城一模)（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是椭圆C 的左，右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP 和BP平行的射线，交椭圆C 于,M N 两点，求证：△OMN 的面积为定值．解：（Ⅰ）由题意得2222,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == 所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>． 射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002y y x x =-， 所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=． 过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+ 02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--． 由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得220112()42y x x x +=+， 即220102200004(2)2(2)2x x x x y +==+++， 同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN ． ………………14分(2017年海淀一模)19.（本小题满分14分）已知椭圆G :2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+设A (11,x y )，B (22,x y )，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以AB 中点M 21(,)33-，于是直线OM 的斜率为1323=-12-．（Ⅱ）解法1：假设存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以AM =1)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程，得：2222(21)42(1)0kx k x k +++-=，设A (11,x y )，B (22,x y )，则212x x +=2于是，1212(1)22y y x x k k ++=⋅+=⋅点M 的坐标为(2222,2121k kk k -++),AB ． 直线CD 的方程为：12y x k=-⋅，联立椭圆G 的方程，得：222421k x k =+，设C (x 0，y 0)，则222200021(1)4OC x y x k=+=+⋅224121k k +=+，由题知，22244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，即：22228(1)(21)k k ⋅++22222241(41)4()21(21)k k k k k ++=-++， 化简，得：212k =，故k =，所以直线l 的方程为：1),1)y x y x =+=+． （II ）解法2：假设存在直线l 使得2AMCM DM =成立由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my +--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则12122221,22m y y y y m m -+==++，2122)2m AB y m +-=+， 212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++， 所以AB 中点M 的坐标为222(,)22mm m -++， 所以直线CD 的方程为：2my x =-，由22222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2242x m =+， 由对称性，设00(,)C x y ，则00(,)D x y --，即20242x m =+2222022(4)(1)(2)M M M m m CM DM x x x x m ++=-+-=+，由||2||AB AM =，2AM CM DM =得，即22222(4)(1)4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭， 解得22m =，故m =，所以直线l 的方程为：1,1x x =-=-.(2017年西城一模)19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分] 所以直线OM 的斜率是222643843k k k k +=-+[ 9分] 所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是 3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分] 同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分] 在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分](2017年丰台一模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为，右焦点为F ，点()01，B 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，交直线2=x 于点P ，设=PM MF λu u u r u u u r，=PN NF μuuu r uuu r ，求证：λμ+为定值．（Ⅰ）解：因为点(01)B ,在椭圆C ：22221x y a b +=上，所以211b =，即1b =.又因为椭圆C的离心率为，所以c a=， 由222a b c =+，得a所以椭圆C 的方程为2212+=x y . ...………………5分（Ⅱ）证明：由已知得(1,0)F ,直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为(1)=-y k x ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(2,)P k . 由λ=u u u u r u u u u rPM MF ，μ=u u u r u u u r PN NF ,得121222,11λμ--==--x x x x ， 所以121212*********()2411()1x x x x x x x x x x x x λμ--+--+=+=---++， .联立221,2(1),y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 因为 221212224223()243241212k k x x x x k k -+--=⨯-⨯-++ 222212444812k k k k -+--=+0=，所以0λμ+=为定值． ...………………14分(2017年石景山一模)19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ． 联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=． 由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m << 所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=． 所以B 、N两点间距离为定值2． ………14分(2017年顺义一模)19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a经过点E，离心率为3， O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，点(3,0)A 与点P 的垂直平分线交y 轴于点B ，求||OB 的最小值.（Ⅰ）解：离心率为c a =，所以2223c a =，故2213b a =，椭圆C 为2222113x y a a +=把点E 带入得226, 2a b ==，所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则线段AP 的中点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-，…7分由点(3,0)A 关于直线l 的对称点为P ，得直线l AP ⊥， 故直线l 的斜率为031AP x k y --=，且过点D ，所以直线l 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-， ………9分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. …………11分 所以20023||||2y OB y --=003||2||y y =+≥…………13分当且仅当003||2||y y =，即0[y =时等号成立. 所以||OB. ………… 14分（2017年朝阳二模）18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y ab +=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小． 解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 00(,1)1xy --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =u u u r ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-u u u r ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-u u u r u u u r2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥u u u r u u u r．90OEG ∠=︒． ……………………13分(2017年东城二模)（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF上．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?．所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?． 此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k ==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF的距离2d =222|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==．即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分(2017年海淀二模)18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =. （Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220n NA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--=u u u r u u u r所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上. 法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k -+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=u u u r u u u r ，所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上.(2017年西城二模)18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ， 得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分]（Ⅱ）因为||||PM PN =， 所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补， 所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠， 将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k --．[11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k +--．[12分]所以222244()1(2)(2)ABk k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-．[14分](2017年丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++，通分得122112(4)(4)(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得 1k =. ..………………14分(2017年顺义二模)19.（本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.解：（Ⅰ）由点3(1,)2-在椭圆上得，221914a b+=-----------------① 依题设知2a c =，则223b c =. ----------------------------------②②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ---------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 消去y ,得 ()0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分 因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ------------③此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以点T 的坐标为43(,)k m m -. 由⎩⎨⎧+=-=mkx y x 4得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .则由已知条件知AT AS ⊥,即0=•对满足③式的k m ,恒成立. 因为()m k x AS +---=4,41，⎪⎫ ⎝⎛--=x mkAT 3,41，由0=•得0312********=+-+++m k x x m kx m k 034121=+++x x --------④ 由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=++=+0340441211x x x ，解得11-=x .故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分。
2019-2021数学高考试题分类汇编 专题05 立体几何(选择题 填空题)
专题05 立体几何（选择题、填空题）1．【2021·浙江高考真题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C 32D ．322．【2021·北京高考真题】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）A ．332+ B ．4 C ．33 D ．23．【2021·浙江高考真题】如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B4．【2021·全国高考真题（理）】已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A 2B 3C 2D 35．【2021·全国高考真题（理）】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π66．【2021·2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A ．2 B ．22C ．4 D ．27．【2021·全国高考真题】在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值 B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 8．【2021·全国高考真题（理）】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．9．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．514B ．512C ．514D ．51210．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H 11．【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC 93球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A 3B ．32C ．1D 312．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．2 B ．2 C ．3 D ．313．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC△的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π14．【2020年高考天津】若棱长为3为A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π15．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A ．63B ．623+C ．123+D ．1223+16．【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是( )A ．73B ．143C ．3D ．617．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )A ．6πB ．6πC ．62πD 6π20．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面21．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线22．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 23．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．24．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．25．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 5BCC 1B 1的交线长为________．26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.27．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．28．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 29．【2019年高考天津卷理数】25若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．30．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .31．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）专题05 立体几何（选择题、填空题）1．【解析】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，2211212-1111123222122ABCD A B C D V -=⨯=，故选：A. 2．根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为(2133331122+⨯⨯⨯ 3．连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点， 又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD 则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项B 错误，选项A 正确.故选：A.4．,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，2AB ∴则ABC 2又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，所以1112211332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯故选：A. 5．如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B ==1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 6．设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l ππ=22l =故选：B.7．易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确． 对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1312A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()110AP BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为30,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以031,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，131,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ． 8．选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体中，，分别为棱的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.故答案为：③④.（答案不唯一） 9．如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb -=-，由题意得212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得15b a +.故选C ． 10．根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .故选A.11．设球O 的半径为R ，则2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ， ABC △是面积为93的等边三角形，213932a ∴，解得：3a =，22229933434a r a ∴=--∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r --.故选：C ． 12．根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：22AB AD DB ===ADB △是边长为222113sin 60(22)2322ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：2362332=⨯++故选：C ．13．设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥=++，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A. 14．这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即()()()2222323233R ++=，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C ．15．由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D ． 16．由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，1111ABCD A B C D -12,1AB BC BB ===,E F 11,B C BC E ADF -所以几何体的体积为11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A 17．依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B 18．画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B.19．解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R ++364466π633R V R ∴=π=π，故选D ．20．由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．21．如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ==,，35,72MF BF BM =∴BM EN ∴≠，故选B ． 22．对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④. 23．易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ， 由于223122AM -1222222S =⨯⨯△ABC r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1332222r =⨯++⨯=22r ，其体积：3423V r =π.2.24．设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：1 25.如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E 3111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，因为球的半径为5，13D E ，所以2211||||||532EP D P D E --11B C CB 与球面的交线上的点到E 2||||2EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得222FG π=.2. 26．由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形，∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．27．如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 28．（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 29．25512-.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为.21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭ 30．因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 31．由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 的延长线交于点G ，延长BC 交正方体的棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，22,2(21)1BG GE CH GH x x ∴==∴=+==，2121x ∴+，21．。
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编立体几何（共10区）一、选择、填空题1、（昌平区2019届高三上学期期末）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示,一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛2、（朝阳区2019届高三上学期期末）如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．3、（朝阳区2019届高三上学期期末）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A.22B.33C.13D.144、（大兴区2019届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）23（B）43（C）83（D）2俯视图侧视图正视图22115、（东城区2019届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的 长度为(A) 2 (B)5 (C) 22(D) 3俯视图侧（左）视图正（主）视图1226、（房山区2019届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）10 （B ）14 （C ）20 （D ）60543 正（主）视图侧（左）视图俯视图7、（丰台区2019届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 （A ）2（B ）5（C ）22（D ）231俯视图侧（左）视图正（主）视图22228、（海淀区2019届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .9、（海淀区2019届高三上学期期末）正方体1111A B C D A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且A P⊥平面1M B D .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .10、（石景山区2019届高三上学期期末）某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为 A.433 B. 833 C.43D.8311、（通州区2019届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为A. 1 B .2C. 2D.512、（西城区2019届高三上学期期末）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（A）5（B）6（C）22（D）10参考答案一、选择、填空题1、A2、833、C4、A5、D6、C7、D8、232，9、622，10、A11、B12、C二、解答题1、（昌平区2019届高三上学期期末）如图，在五面体A B C D E F中，四边形A B C D是矩形，平面A D E ⊥平面A B C D，224,2A B A D E F A E D E=====.(Ⅰ) 求证：A B E F∥;(Ⅱ) 求直线B F与平面A D E所成角的正弦值;(Ⅲ) 求平面B C F与平面A D E所成锐二面角的余弦值.E FDCBA2、（朝阳区2019届高三上学期期末）如图，三棱柱111A B C A B C -的侧面11B C C B 是平行四边形，11B C C C ⊥，平面11A C C A ⊥平面11B C C B ，且,E F 分别是11,B C A B 的中点.（Ⅰ）求证：//E F 平面11A C C A ；（Ⅱ）当侧面11A C C A 是正方形，且11B C C C =时，（ⅰ）求二面角1F B C E --的大小；（ⅱ）在线段E F 上是否存在点P ，使得A P E F ⊥？若存在，指出点P 的位置；若不存在，请说明理由.3、（大兴区2019届高三上学期期末）如图，边长为2的正方形A B C D 和高为1的等腰梯形BD EF 所在的平面互相垂直，EF BD∥，1=2E F B D，A C 与B D 交于点O ，点H 为线段O F 上任意一点.（Ⅰ）求证： O F∥平面AD E ；（Ⅱ）求B F 与平面AD E 所成角的正弦值； （Ⅲ）是否存在点H 使平面B C H 与平面AD E 垂直，若存在，求出O H O F的值，若不存在，说明理由.4、（东城区2019届高三上学期期末）如图1，在四边形A B C D 中，A D B C ，2B C A D =,E ,F分别为,A D B C 的中点，A E E F =，2A F A E=.将四边形A B F E 沿E F 折起，使平面A B F E ⊥平面E F C D (如图2)，G 是B F 的中点. (Ⅰ)证明：A C E G ⊥；(Ⅱ)在线段B C 上是否存在一点H ，使得D H 平面A B F E ？若存在，求B H B C的值；若不存在，说明理由；(Ⅲ)求二面角D A C F --的大小.FEC 1B 1A 1CBAOHFADECB5、（房山区2019届高三上学期期末）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥底面A B C ，底面A B C 为等边三角形，2AB =,11AA =, E ,F 分别为1BB , AC 的中点.（Ⅰ）求证：B F ∥平面1A E C ；（Ⅱ）求平面1A EC 与平面ABC 所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设平面1A EC 与平面ABC 的交线为,m 求证：m 与平面11ABB A 不平行.6、（丰台区2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABC D -中，底面A B C D 为正方形，侧棱P A ⊥底面A B C D ，Q 为棱P D 的中点，PA AB =． （Ⅰ）求证：A QC D⊥；（Ⅱ）求直线P C 与平面A C Q 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角CA Q D--的余弦值．C 1B 1FE A 1CBA7、（海淀区2019届高三上学期期末）在四棱锥P A B C D -中，平面A B C D ⊥平面P C D ，底面ABC D为梯形，//A B C D ，A D P C ⊥且01,2,120A B A D D C D P P D C ====∠= （Ⅰ）求证：A D P D C ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.8、（石景山区2019届高三上学期期末）如图，在A O B △中，90,2,1A O B A O O B ∠=︒==．A O C △可以通过A O B △以直线A O 为轴旋转得到，且O B O C⊥，动点D 在斜边A B 上．（Ⅰ）求证：平面C O D⊥平面A O B ；（Ⅱ）当D 为A B 的中点时，求二面角B C D O--的余弦值；（Ⅲ）求C D 与平面A O B 所成的角中最大角的正弦值．9、（通州区2019届高三上学期期末）如图，在三棱柱111A B C A B C -中，1A A ⊥底面A B C ，△ABC 是边长为2的正三角形，13A A =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：C D ⊥平面11A A B B ； （Ⅱ）求二面角1B A E B --的余弦值；（Ⅲ）在线段11B C 上是否存在一点M ，使B M ⊥平面1A B E ？说明理由.D C 1B 1A 1CE B A10、（西城区2019届高三上学期期末）如图，在三棱柱111A B CA B C -中，侧面11B B C C 为正方形，M ，N分别是11A B ，A C 的中点，A B ⊥平面B C M ．（Ⅰ）求证：平面11B B C C ⊥平面11A A B B ；（Ⅱ）求证：1//A N平面B C M ；（Ⅲ）若11A A B B 是边长为2的菱形，求直线1A N 与平面1M C C 所成角的正弦值．参考答案 二、解答题1、证明：(Ⅰ) 在五面体A B C D E F 中，因为四边形A B C D 是矩形， 所以A B C D∥.因为A B C D E F ⊄平面,C D C D E F ⊂平面, 所以A B C D E F 平面∥.因为,,A B A B F E A B F E C D E F E F ⊂=平面平面平面所以A B E F∥(Ⅱ) 取A D 的中点O ，B C 的中点M ,连接,.O E O M 因为四边形A B C D 是矩形,所以O M A D ⊥. 因为2A ED E ==,O 是A D 的中点，所以O EA D⊥,且1O E=.因为平面A D E ⊥平面A B C D ，平面A DE 平面A B C D A D=， ,O E A D E ⊂平面所以O E ⊥平面A B C D . 如图，建立空间直角坐标系Ox y z-,依题意得(0,0,0),(1,4,0),(0,2,1)O B F .所以(1,2,1)B F =--，平面A D E 的法向量为(0,1,0)=m . 设直线B F 与平面A D E 所成角为α，则|||2|6sin |c o s ,|3||||6B F B F B F α⋅-=<>===m m m ,所以直线B F 与平面A D E所成角的正弦值为63. ………9分(Ⅲ) 由 (1,4,0),C -得(2,0,0)B C =-. 设平面B C F 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0,B C B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x x y z -=⎧⎨--+=⎩ 令1,y =则(0,1,2)=n .因为平面A D E 的法向量为(0,1,0)=m ,所以15c o s ,||||55⋅<>===n m n m n m .所以平面B C F 与平面A D E 所成锐二面角的余弦值为55. ……14分2、证明：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连F G ，连G C .在△111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B A C 中点，所以11F G B C //，且1112F G B C =.在平行四边形11B C C B 中，因为E 是B C 的中点，所以11E C B C //，且1112E C B C =.所以E C F G //，且E C F G =.所以四边形F E C G 是平行四边形.所以F E G C //.又因为F E ⊄平面11A C C A ，G C ⊂平面11A C C A ，所以//E F 平面11A C C A . …………………4分 （Ⅱ）因为侧面11A C C A 是正方形，所以111A C C C ⊥.又因为平面11A C C A ⊥平面11B C C B ，且平面11A C C A 平面111B C C B C C =，所以11A C ⊥平面11B C C B .所以111A C C B ⊥.又因为11B C C C ⊥，以1C 为原点建立空间直角坐标系1C x y z -，如图所示. 设1C C a =，则11(0,,),(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)A a a B a C a A a B a a -，(,,0),(,,)22222a a a a a E F -.（ⅰ）设平面1F B C 的一个法向量为(,,z)x y =n .由110,0C B C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.222a x a a ax y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩即0,.x y z =⎧⎨=⎩令1y =，所以(0,1,1)=n . 又因为11A C ⊥平面1B C E ，所以11(0,0,)C A a =是平面1B C E 的一个法向量. 所以1111112c o s ,22C A a C A a C A ⋅===⋅⋅n nn.由图可知，二面角1F B C E --为钝角，所以二面角1F B C E --的大小为34π.GABC A 1B 1C 1E F yxzAB CA 1B1C 1E F……………10分 （ⅱ）假设在线段E F 上存在点P ，使得A P E F ⊥. 设,[0,1]E P E Fλλ=∈，则E P E F λ=.因为(,,)(0,,)222a a a A P A E E P A E E F a a λλ=+=+=--+-(,,)222a a a a a λλ=---+，又A P E F ⊥， 所以210()()()()022224a a a a A P E F a a a a λλλλ⋅=⨯+---+-+=+=.所以0[0,1]λ=∈.故点P 在点E 处时，有A P E F ⊥ .…………14分 3、证明：（Ⅰ）因为正方形A B C D 中，A C 与B D 交于点O ，所以12D OB D=.因为1=2E F B D，EF ∥B D所以 EF ∥D O且=E F D O ……1分所以E F O D 为平行四边形. ……2分 所以O F ∥E D . ……3分 又因为O F ⊄平面AD E ，ED ⊂平面AD E ，所以 O F∥平面AD E . ……4分解：（Ⅱ）取E F 中点M ，连结M O ，因为梯形BD EF 为等腰梯形，所以M OB D⊥.又因为平面A B C D⊥平面BD EF ，M O ⊂平面BD EF ，平面A B C D 平面=BD EF BD ,所以M O⊥平面A B C D . ……1分又因为O A O B⊥,所以O A O B O M 、、两两垂直.如图，建立空间直角坐标系-O xyz ， …… 2分 则11(100)(010)(100)(0,10)(0,1)(0,1)22A B C D E F ---，，，，，，，，，，，，，，1(0,,1)2B F =-，(1,1,0)D A=，1(0,,1)2D E=，设平面AD E 的法向量为(,,)nx y z=，则00D A n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令x =1，则11,2yz =-=，所以1(12n=，-1，）. (4)分设直线B F 与平面AD E 所成角为θ，1104522sin |c o s ,|15||||5322++B F n B F n =B F n ⋅=<>==⋅⋅θ，所以直线B F 与平面AD E 所成角的正弦值为4515. …… 6分（Ⅲ）设OH =O F λ， …… 1分则1(0,,)2O H =λλ，1(1,,)2C H =λλ，(1,,0)C B =1设平面B C H 的法向量为(,,)mx y z =，则00C H m C B m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即1020x y z xy λλ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，令x =1，则1y =-，2z λλ-2=.所以2(1,1,)2mλλ-=-. ……2分若平面B C H 与平面AD E 垂直，则0m n ⋅=. ……3分 由21104λλ-++=，得29λ=.所以线段OF 上存在点H 使平面B C H 与平面AD E 垂直，O H O F的值为29. ……4分4、解：(Ⅰ)在图1中，,2,A E E F A F A E ==可得△A E F 为等腰直角三角形，A E E F ⊥.因为A DB C ，所以,.E F B F E F F C ⊥⊥ 因为平面A B F E ⊥平面,E F C D E F 且两平面交于，C F C D E F ⊂平面， 所以C F A B F E⊥平面.又E GA B F E⊂平面，故C FE G⊥；由G 为中点，可知四边形A E F G 为正方形，A F E G⊥所以；又A FF C F =，EG A F C .⊥所以平面A C A F C⊂又平面，.A CE G ⊥所以.............................4分（II ）由(Ⅰ)知：F E ，F C ，F B 两两垂直，F x y z -如图建立空间直角坐标系，设1F E=，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).F C B DH B C 设是线段上一点，[0,1].B H BC λλ∈=则存在使得(0,2,22)(1,21,22).H D H λλλλ-=---因此点，(0,2,0).F C A B F E F C=由（Ⅰ）知为平面的法向量，D H A B FE ⊄因为平面，0D HA B F E D H F C ⋅=所以平面当且仅当，(12122)(0,2,0)=0.λλ⋅即-,-,-1=.2λ解得1.2B H BC HD HA B F E B C=所以在线段上存在点使得平面此时， ..........................9分（III ）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).A E G 设，，由(I)可得, (1,0,1).E GA F C E G =-是平面的法向量，(0,1,1),(1,1,0),A D C D =-=-设平面A C D 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0A D C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 00.y z x y -=⎧⎨-=⎩，即1,1, 1.x y z ===令则(1,1,1).于是n =c o s ,0.E G E G E G ⋅<>==所以n n n所以二面角90.D A C F--的大小为 (14)分5、6、解：（Ⅰ）因为⊥PA 底面ABCD ，⊂CD 底面ABCD ，所以CD PA ⊥，正方形ABCD 中CD AD ⊥， 又因为A AD PA = ，所以⊥CD 平面PAD ， 因为⊂AQ 平面PAD ，所以CD AQ ⊥． …………….4分 （Ⅱ）正方形ABCD 中AD AB ⊥，侧棱⊥PA 底面ABCD .如图建立空间直角坐标系Oxyz-，不妨设2=AB .依题意，则(0,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A C P Q ， 所以()()()110022222,,AQ ,,,AC ,,,CP ==--=.设平面ACQ 的法向量=n ()z ,y ,x ，因为00A C A Q ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，所以⎩⎨⎧=+=+0022z y y x .令1=x ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==111z y x ，即=n ()111,,-，所以1c o s,3||||C P C P C P <>==⋅n n n ，所以直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为31； ………………11分（Ⅲ）由（Ⅰ）知⊥CD 平面PAD ，所以()0,0,2=DC 为平面PAD 的法向量，因为3c o s,3||||D C D C D C <>==⋅n n n ， 且二面角D AQ C --为锐角，所以二面角D AQ C --的余弦值为33． …………………14分 7、解：（Ⅰ）在平面P C D 中过点D 作D H D C⊥，交P C 于H因为平面A B C D⊥平面P C DD H ⊂平面P C DzyxQADCBP平面A B C DI平面P C DC D=所以D H ⊥平面A B C D 因为AD ⊂平面A B C D 所以D H AD ⊥ 又A DP C⊥，且P CD H H=I所以A D ⊥平面P C D（Ⅱ）因为A D ⊥平面P C D ，所以A D C D⊥又D HC D⊥，D H AD ⊥以D 为原点，D A D C D H ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为A D ⊥平面P C D ，所以取平面P C D 的法向量为(,,)D A =200uuu r设平面P B D 的法向量为(,,)nx y z =r因为(,,),(,,)D P D B =-=013210uuu ruuu r，所以n D P nD B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uuu rruuu r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3yx =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以c o s ,||||A D n A D n A D n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuuu r r由题知B P D C--为锐角，所以BP D C--的余弦值为5719（Ⅲ） 法一：假设棱B C 上存在点F ，使得M F P C，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以F C⊂α，PM ⊂α所以B F C ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α 这与PA B C D-为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证法二：假设棱B C 上存在点F ，使得M F P C连接A C ，取其中点N在P A C ∆中，因为,M N 分别为,P A C A 的中点，所以M NP C因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以M F 与M N 重合 所以点F 在线段A C 上，所以F 是A C ，B C 的交点C ，即M F 就是M C 而M C 与P C 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱B C 上存在点F ，使得M F P C，设B FB C λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22M FM B B F λ=+=-+-因为M FP C，所以(0,3,3)M FP C μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证8、（Ⅰ）证明：在A O C △中，⊥A O O C ，∵⊥O B O C ，且A O O B =O I ，∴ ⊥O C 平面A O B ， 又⊂O C 平面C O D ，∴平面C O D ⊥平面A O B ．z yxDAO C B（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系-x y z O ， ∵D 为A B 的中点，∴(000)O ，，，(002)A ，，，(010)B ，，，(100)C ，，，1(01)2D ，，，∴(100)O C =uuu r ，，，1(01)2O D =uuu r ，，，(110)-B C =uuu r ，，，1(01)2-B D =uuu r ，， 设1111()=n x y z u r，，为平面O C D 的法向量， ∴1100⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n O C =n O D =u r uuu ru r uuu r，，即1110102⎧⎪⎨⎪⎩x =y +z =，， 令1=1z ，则1=2-y ，∴1(021)=-n u r，，是平面B C D 的一个法向量， 设2222()=n x y z u u r，，为平面O C D 的法向量， ∴2200⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n B C =n B D =u u ruuu ru u r uuu r，，即22220102-=⎧⎪⎨-⎪⎩x y y +z =， 令2=1z ，则2=2x ，2=2y ，∴2(221)=n u u r，，是平面O C D 的一个法向量，∴1212222222120(2)2115c o s 5||||0(2)1221⋅+-⨯+⨯<>===-⋅+-+⋅++n n n n n n u r u u ru r u u ru r u u r ，，∴二面角--B C D O 的余弦值为55．（Ⅲ）解法一:∵⊥O C 平面A O B ，∴∠C D O 为C D 与平面A O B 所成的角， ∵1=O C ，∴点O 到直线A B 的距离最小时，∠C D O 的正弦值最大，即当⊥O DA B时，∠CDO的正弦值最大， 此时255=O D ，∴355=C D ，∴5s in 3∠C D O =．解法二：设([0,1])A D =A B ∈λλuuu r uu u r，所以(0,,22)D λλ-．(1,,22)C D =λλ--uuu r．平面A O B 的法向量(1,0,0)n =r，所以22||11s in 49||||5855()55n C D n C D θλλλ⋅===-+-+r uuu r r uuu r 所以当45λ=时，C D 与平面A O B 所成的角最大，5s in 3θ=．9、（Ⅰ）证明：在三棱柱111A B C A B C -中，因为1A A ⊥底面A B C ，CD ⊂平面ABC ， 所以1A A C D ⊥． ………………………………………………1分 又A B C ∆为等边三角形，D 为A B 的中点，所以C D A B ⊥． ………………………………………………2分 因为1A BA A A =，所以C D ⊥平面11A A B B ； ……………………………………………………3分 （Ⅱ）解：取11A B 中点F ，连结D F ，则因为D ，F 分别为A B ，11A B 的中点， 所以D F A B ⊥．由（Ⅰ）知C D A B ⊥，C D D F ⊥，如图建立空间直角坐标系D x y z -． …………4分 由题意得()1,0,0A ，()1,0,0B -，()0,0,3C ，()11,3,0A ,()11,3,0B -,()10,3,3C ,()0,0,0D ,13,0,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 33,0,22A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()12,3,0A B =-． ………………………………………5分 设平面1A B E 法向量()1111,,x y z n =，则1110,0,A E A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即1111330,22230.x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩令11x =，则123y =，13z =．即121,,33⎛⎫⎪⎝⎭n =． …………………6分 平面BAE 法向量()10,3,0A A=． ……………………………………………………7分 因为()1120,3,01,,323A A ⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭n ，13AA =，142101393=++=n ，所以11111110c o s ,10A A A A A A ⋅==n n n ． ………………………………………………8分由题意知二面角1B A E B --为锐角，所以它的余弦值为1010. ………………9分（Ⅲ）解：在线段11B C 上不存在点M ，使B M ⊥平面1A B E ．理由如下． 假设线段11B C 上存在点M，使B M ⊥平面1A B E ．则[]0,1λ∃∈，使得111B M B C λ=．zyxFC 1CE B D A A 1B 1因为()111,0,3B C =，所以()1,0,3B M λλ=． ……………………………………10分 又()10,3,0B B=，所以()11,3,3B M B B B M λλ=+=． …………………………11分 由（Ⅱ）可知，平面1A B E 法向量121,,33⎛⎫⎪⎝⎭n =， B M ⊥平面1A B E ，当且仅当1BMn ，即R μ∃∈，使得1233B M μμμμ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，，=n ． ……………………………………12分所以23333λμμλμ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，，．解得[]9012λ=∉，． ……………………………………13分这与[]0,1λ∈矛盾．所以在线段11B C 上不存在点M ，使B M ⊥平面1A B E ． ………………………………14分 10、。
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编--解析几何
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编---解析几何一、选填题部分1.（2019海淀期末）双曲线22122x y -=的左焦点坐标为 AA ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2.（2019海淀期末）直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 AA ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=， 圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
3.（2019海淀期末）以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 . 答案：22(1)4x y -+=考点：抛物线的性质，圆的标准方程。
解析：抛物线24y x =的焦点F 为（1,0），圆心坐标为（1,0）， 抛物线的准线为x ＝－1，圆与准线相切，所以，R ＝2 所以，圆的方程为：22(1)4x y -+=221______.3x y m m m-==4.（2019东城期末）已知双曲线的一个焦点为，则5（2019通州期末）已知双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则a 等于（ ）B A ．1B ．2C ．3 D.4【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值．【解答】解：抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a 2+5＝32＝9， ∵a ＞0，解得a ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．6.（2019朝阳期末）在平面直角坐标系xOy 中，过(4,4),(4,0),(0,4)A B C 三点的圆被x 轴截得的弦长为AA.4B. C.2D.7.（2019朝阳期末）过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,C D .若4AF BF =，则CD =__________________. 5 8．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）D （A ）65（B ）54 （C ）32 （D ）52考点：双曲线的概念与性质。
2019年北京各区一模理科数学分类汇编---立体几何(含答案)
2019年北京各区一模理科数学分类汇编---立体几何（含答案）一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为A ．4B ．2C ．83D ．43正（主）视图 俯视图侧（左）视图2、（东城区2019届高三一模）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形3、（丰台区2019届高三一模）已知α和β是两个不同平面，l αβ=，12l l ,是与l 不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是 （A ）l 与12,l l 都不相交（B ）l 与12,l l 都相交（C ）l 恰与12,l l 中的一条相交（D ）l 至少与12,l l 中的一条相交4、（怀柔区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A ．B ．C ．D ．5、（门头沟区2019届高三一模）一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A.36 B ．8 C ．38 D ．126、（门头沟区2019届高三一模）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7、（石景山区2019届高三一模）某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 A. 2 B. 6 C. 10 D. 248、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A．12 B. 2 C.2+2 D. 3+29、（西城区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．10、（延庆区2019届高三一模）已知一个正四面体的底面积为33，那么它的正视图（如右图）的面积为（A）42（B）33（C）26（D）3211、（房山区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) 12(B)22(C)32(D)1侧（左）视图正（主）视图俯视图12、（平谷区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为A．1 B．2 C．3D．4参考答案1、D2、A3、A4、C5、A6、D7、B8、D9、4310、D11、C 12、D 二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．2、（东城区2019届高三一模）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点． （Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1ADDB 的值.3、（丰台区2019届高三一模）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值；（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，请说明理由．MCDBA1111C D B A4、（海淀区2019届高三一模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点． (Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;(Ⅲ)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．5、（怀柔区2019届高三一模）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值.6、（门头沟区2019届高三一模）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的菱形，且060ABC ∠=，PA ABCD ⊥平面，6PA =，F 是棱PA 上的一个动点，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：BD CF ⊥ （Ⅱ）若2AF =,（i ）求PC 与平面BDF 所成角的正弦值；（ii ）侧面PAD 内是否存在过点E 的一条直线，使得该直线上任一点M 与C 的连线,都满足//CM 平面BDF ，若存在,求出此直线被直线,PA PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由.7、（石景山区2019届高三一模）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ； （Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BHBC； 若不存在，说明理由．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））如图，在四棱锥ABCD P -中，等边三角形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD ，112AB AD CD ===， 90=∠=∠ADC BAD ，M 是棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：AD PCD ⊥平面；（Ⅱ）求二面角D BC M --的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM 与平面PAB 的是否平行，并说明理由．PABCDM·9、（西城区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =. （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求 出BQBE的值，若不存在，说明理由．10、（延庆区2019届高三一模） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面MEF 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值； （Ⅲ）设=PM PD λ，当λ为何值时，直线ME 与平面PBC 所成角的正弦值为1515，求λ的值.11、（房山区2019届高三一模）如图1，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，,,E F O 分别为,,DC AE BC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面POF ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PE 上是否存在点M ,使得AM ∥平面PBC ? 若存在，求PMPE的值；若不存在，说明理由.图 2PO FE图 1C BAO F EDC BA参考答案 1、解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ． 所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ， 则|2(1)|10sin |cos ,|552BF θ⨯-=〈〉==⨯n ．……………….9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， zy xEDCB AFMFEC 1OBB 1A 1AC设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m因为()0,0,1AF =，所以000(1)0,0. x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=m ． 因为()1,2,1CE =--，由0CE ⋅=m ， 所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分 2、解：（Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点， 所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,2,2)O A A B C C --， 2222(,0,),(2,,)2222E F --．FEC 1OBB 1A 1AxyzCFEC 1OBB 1A 1AxyzCD所以1(2,2,0),(0,2,2).A A AC =-=-设平面11A ACC 的法向量为(,,),x y z =m则10,0.AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即220,220.x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)=m ． 又因为322(,,0)22EF =-， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |15EF ,EF EFθ⋅=〈〉==m m m ． 所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为3015. ............................10分 （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD ．设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y ≠． 因为10(2,,0)A D y =-，1(2,0,2)AC =-． 设111(,,)x y z =n 为平面1A CD 的法向量，则110,0.A D A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即1011120,220.x y y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令11x =，则102y y =，11z =. 于是02(1,,1)y =n .若EF ∥平面1A CD ，0EF ⋅=n . 又322(,,0)22EF =-， 所以3222022y -⨯=，解得023y =． 此时EF ⊄平面1A CD ，所以223AD = ，1423DB =. 所以112AD DB =． ......................14分 3、解：（Ⅰ）因为 平面ABCD ⊥平面11ABB A ，平面ABCD 平面11ABB A AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC ⊥平面11ABB A . 因为 1AA ⊂平面11ABB A ， 所以 1BC AA ⊥.（Ⅱ）取11A B 的中点N ，连结BN .平行四边形11ABB A 中1AB AA =，160BAA ∠=︒.易证BN ⊥11A B . 由（Ⅰ）知BC ⊥平面11ABB A . 故以为B 原点，BABN BC ，，所在直线为坐标轴， 建立如图所示空间直角坐标系B xyz -. 依题意，1(2,0,0),(1,3,0),(1,0,1)A A D ， 设平面1DAA 的一个法向量为(,,)x y z =n则1(13,0AA =-，，），(1,0,1)AD =- 则100AA AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ， 即300x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令=1y ，得=(3,1,3)n ．易知平面11ABB A 的一个法向量为=(0,0,1)m ，设二面角1D AA B --的平面角为α，可知α为锐角，则321cos cos ,7313α⋅=<>===⋅++n m n m n m ， 即二面角1D AA B --的余弦值为217． （Ⅲ）解：设1DM DB λ=，[0,1]λ∈，(,)M x y z ,．因为(1,0,1)D ，1(1,3,0)B -，(0,0,1)C ， 所以1(2,3,1),(1,,1)DB DM x y z =--=-- 所以12,3,1x y z λλλ=-==-.(12,3,1)M λλλ-- (12,3,)CM λλλ=-- 因为CM ∥平面1DAA所以0CM =⋅n即3(12)330λλλ-+-=，所以1=2λ． 所以存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ，此时112DM DB =． 4、解：(Ⅰ)方法一：连结1BCNz yxMC DBA1111C D B A因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点, 所以11//DE A B 又因为11//AB A B ，所以//DE AB因为,E F 分别为11B C ,1B B 中点，所以1//EF BC 又因为DEEF E =DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC所以平面1ABC 平面DEF又1AC ⊂平面1ABC ，所以1AC 平面DEF方法二：取1AA 中点为G ,连结FG 由11AA BB 且11AA BB =又点F 为1BB 中点，所以11FGA B又因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点,所以11DE A B所以DEFG所以,,,D E F G 共面于平面DEF 因为D ,G 分别为111,AC AA 中点, 所以1AC DG1AC ⊄平面DEFDG ⊂平面DEF所以1AC 平面DEF方法三：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC 又因为AC BC ⊥以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz - 由题意得1(2,0,0),(0,0,2),(1,0,2)A C D ,(0,1,2),(0,2,1)E F . 所以(1,1,0)DE =-,(0,1,1)EF =-设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0DE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 令11x =，得111,1y z ==于是(1,1,1)=n 又因为1(2,0,2)AC =-所以12020AC ⋅=-++=n 又因为1AC ⊄平面DEF ， 所以1AC 平面DEF（Ⅱ）方法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC因为AC ⊂ABC ，所以1CC AC ⊥ 又因为AC BC ⊥， 且1CC BC C =所以AC ⊥平面11BB C CEF ⊂平面11BB C C ，所以AC EF ⊥又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形所以11BC B C ⊥ 又1BC EF ，所以1B C EF ⊥又AC EF ⊥， 且1ACB C C =所以EF ⊥平面1ACB 又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF方法二：设平面1ACB 的法向量为222(,,)x y z =m ，1(2,0,0),(0,2,2)CA CB ==100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22220220x y z =⎧⎨+=⎩ 令21y =，得220,1x z ==-于是(0,1,1)=-m(1,1,1)(0,1,1)0⋅=⋅-=n m即⊥n m ，所以平面1ACB ⊥平面DEF （Ⅲ）设直线DP 与平面1ACB 所成角为θ，则30θ=︒设1(01)AP AA λλ=≤≤，则(0,0,2)AP λ=(1,0,22)DP λ=-所以2221cos sin30221(22)DP DP λθλ-⋅===︒=⋅+-m m解得12λ=或32λ=（舍） 所以点P 存在，即1AA 的中点，1AP =5、证明：以A 为原点，AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P （0,0,2），C （0,2,0），B （4,0,0），M （2,0,1），N （1,0,0），S （2,1,0）--------------2分（Ⅰ）(2,2,1)=-CM ,(1,1,0)=--SN2(1)(2)(1)100⋅=⨯-+-⨯-+⨯=CM SN ，∴CM ⊥SN ------------------------------------------------5分（Ⅱ）(1,2,0)=-CN设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量， 则20220-=⎧⎨-+=⎩x y x y z ，令1=y ，则2=x ，2=-z ，∴a=（2，1，-2）2(1)1(1)02cos ,223⨯-+⨯-+<>==⨯a SN ∴SN 与片面CMN 所成角为45°。
2019年北京市各区高三一模试题分类汇编：3立体几何(含答案解析)
（A ） 14（C ） 10俯视图8 (2019 年石景山一模理科)右图是某个三棱锥的三视图，其中主视12B ．A ． 3B ． 4 AB ∥ CD ，AB =主视图= 3 ，CD 侧视图．若点 E 是线段 AD 上的动点，则满足 ∠SEC = 90︒ 的点 E 的个数是__2_ 俯视图1 1 1CD理科)棱长为 2 的12019 年北京市各区高三一模试题分类汇编 03 立体几何(理科)1 (2019 年东城一模理科)3 （B ）423 （D ）3A11 1 1主视图 侧视图 1主视图 左视图2B.P D 俯视图图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（B ）CA ． 63 3 C ． 64 D ．362 (2019 年西城一模理科)如图，设 P 为正四面体 A - BCD 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M ，如果集合 M 中有且只有 2 个元素，那么符合条件的点 P 有（ C ）9 (2019 年顺义一模理科)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_________1（A ） 4 个 （B ）6 个（C ）10 个（D ）14 个1223 (2019 年西城一模理科)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2，它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形，主视图 左视图10 (2019 年延庆一模理科)右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)那么它的侧（左）视图面积的最小值是__ 2 3 ____.4 (2019 年海淀一模理科)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__96__．3385 (2019 年朝阳一模理科)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______，表面积为______）6 (2019 年朝阳一模理科)如图，在四棱锥 S - ABCD 中，SB ⊥ 底面 ABCD ．底面 ABCD 为梯形，AB ⊥ AD ， 1, AD = 2 3 C ．111 (2019 年东城一模理科)俯视图D ．2341S6正视图侧视图BAE7 (2019 年丰台 一 模俯视图正方体被一平面 截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（B ）12 (2019 年西城一模理科)如图，在四棱柱 ABCD - A B 1C 1D 1E 是 CD 的中点， D 1E ⊥ CD ， AB = 2BC = 2 .（Ⅰ）求证： BC ⊥ D E ；1中，底面 ABCD 和侧面 BCC 1B 1 都是矩形，D 1 C 1 A 1 B 1E平面 P AD ⊥ 平面 ABCD ， P A = PD = AD = 2 ， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC3 ，求线段 D E 的长度.（Ⅲ）若平面 BCC B 与平面 BED 所成的锐二面角的大小为 上一点，且 PM = 13 PC .BFC ED（Ⅲ）求二面角 E - PD - C 的余弦值． PED1． ；2．C ；3． 2 3 ；4．96 ；5． ， 2+ 3 ；6．2 ；7．B ；8． B ；9． ；10．A ；（Ⅱ）若直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o ，求 AE（Ⅱ）求证： B 1C // 平面 BED 1；17 (2019 年顺义一模理科) 如图在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， ∠BAD = 600 ，π1 1 1 113 (2019 年海淀一模理科) 如图 1，在 △Rt ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为 AC 中点， AE ⊥ BD 于（Ⅰ）求证： PQ ⊥ 平面 ABCD ； E ，延长 AE 交 BC 于 F ，将 ∆ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，如图 2 所示． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值． （Ⅲ）在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ？若存在，请指明点 M 的位置；若不存在，请说 明理由．A ADEB FC 14 (2019 年朝阳一模理科)如图，四棱锥 P - ABCD 的底面为正方形，侧面 P AD ⊥ 底面 ABCD ． △P AD 为 等腰直角三角形，且 P A ⊥ AD ．E ，F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点． （Ⅰ）求证： EF ∥平面 P AD ； （Ⅱ）求证： EF ⊥ 平面 PCD ；FAEDB15 (2019 年丰台一模理科)如图，在棱长为 1 的C正 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 是棱 AB 上的动点.（Ⅰ）求证：DA1 ⊥ED1 ；（Ⅱ）证明： P A ∥平面 BMQ（Ⅲ）求二面角 M - BQ - C 的度数.18 (2019 年延庆一模理科) 在四棱锥 P - ABCD 中， P A ⊥ 平面 ABCD ， 底面 ABCD 是正方形，且 P A = AD = 2 ， E ，F 分别是棱 AD , PC 的中点． （Ⅰ）求证： EF // 平面 PAB ；（Ⅱ）求证： EF ⊥ 平面 PBC ； P （Ⅲ）求二面角 E - PC - D 的大小．FAB C2019 年北京市各区高三一模试题汇编--立体几何(理科)答案1 311.AB 的值；（Ⅲ）写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置（结论不要求证明）.D 1 C 1A 1B 1DCAE B16 (2019 年石景山一模理科)如图，正三棱柱 ABC - A 1B 1C1 的底面边长是2 ，侧棱长是3 ， D 是 AC 的中点．（Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD；（Ⅱ）求二面角 A 1 - BD - A的大小； CC1（Ⅲ）在线段 AA 1 上是否存在一点 E ， 使得平面 B 1C 1E ⊥ 平面 A 1BD ，若存在，D求出 AE 的长；若不存在，说明理由．BB1AA1由平面 BCC B 与平面 BED 所成的锐二面角的大小为 ，3m n 3 ， 所以 BC ⊥ 平面 DCC 1D 1 ， 连接 DB 交 D B 于点 F，连接EF，则 F 为 DB 的中点.在 ∆B CD 中，因为 DE = CE ， DF = B F ，所以 EF //B C .……………6 分 又因为 D 1E ⊥ CD ， BC CD = C ， A 1B 1设 G 为 AB 的中点，以 E 为原点，EG ，EC ， ED 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴 D EA GB 设平面 BED 1 法向量为 n = ( x, y , z) ， 3 ,0,0), C( 3, 2,0) ———————5 分平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos < n , EA >= EA ⋅ n 5 —————————————9 分 3 ,0, - 3) ，3 ,0, - 3) ，其中 λ ∈[0,1] ————————————10 分所以 EM = EA + AM =λ,0,(1 - λ) 3 ⎪ ————————————11 分 ⎝ 3EB = (1,1,0), ED = (0,0, a) ，由 ⎧ 得 ⎧ x + y = 0,n ⋅ EB = 0, ⎪⎨ ⎪⎩n ⋅ ED = 0,⎩ z = 0. 3 λ-(1-λ） 3 = 0 ———12 分解得 λ = ∈ (0,1)．————13 分由 EM ⋅ n = 0 ，即 3 3所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM ∥平面 A DC ，且 AM 令 1 ，得 m = (0, -a,1) ⎪⎩m ⋅ CB = 0, x+ y + az = 0. ⎩ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ π1 1 1得 | cos < m , n >|=吧解得 a = 1 .| m ⋅ n | a π= = cos 2 ⋅ a 2 + 1……………13 分………………14 分13（Ⅰ）因为平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，交线为 BD ，又在 ∆ABD 中， AE ⊥ BD 于 E ， AE ⊂ 平面 ABD 所以 AE ⊥ 平面 BCD ．————————————————3 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论 AE ⊥ 平面 BCD 可得 AE ⊥ EF ． 由题意可知 EF ⊥ BD ，又 AE ⊥ BD ．如图，以 E 为坐标原点，分别以 EF , ED, EA 所在直线为 x 轴，y 轴， 轴，建立空间直角坐标系 E - xyz ——4 分不妨设 AB = BD = DC = AD = 2 ，则 BE = ED = 1 ． 由图 1 条件计算得， AE =3 ， BC = 2 3 ， BF =33z12（Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 和侧面 BCC B 是矩形， 1 1所以 BC ⊥ CD ， BC ⊥ CC ，又因为 CDCC = C ，11………………2 分因为 D 1E ⊂ 平面 DCC 1D 1 ，所以 BC ⊥ D E .…………4 分1（Ⅱ）证明：因为 BB //DD , BB = DD ，所以四边形 D DBB 是平行四边形.1 1 1 111111111又因为 B C ⊄ 平面 BED ， EF ⊂ 平面 BED ，所以 B C // 平面 BED . ………8 分11111（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知 BC ⊥ D E ，1z 所以 D E ⊥ 平面 ABCD .………………9 分D 1C 11 1F如图建立空间直角坐标系， 设 D E = a ，则 E (0,0,0), B (1,1,0), D (0,0, a), C (0,1,0), B (1,2,a ), G (1,0,0) . C y1 1 1 x因为 1 ⎨1 令 x = 1 ，得 n = (1,-1,0) . …………11 分设平面 BCC B 法向量为 m = ( x , y , z ) ，因为 CB = (1,0,0), CB = (1,1, a) ，1 11111⎧⎪m ⋅ C B = 0, ⎧ x = 0, z = 1 由 ⎨ 得 ⎨ 1 .…………12 分1 则 E (0,0,0), D(0,1,0), B(0, -1,0), A(0,0, 3), F ( 3DC = ( 3,1,0), AD = (0,1, - 3) ．由 AE ⊥ 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA ．———————6 分⎧n ⋅ DC = 0, ⎧3x + y = 0, 设平面 ADC 的法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ 即 ⎨⎪ n ⋅ AD = 0. ⎪⎩ y - 3z = 0.令 z = 1，则 y = 3, x = 1 ，所以 n = (1, 3, -1) ．——————————8 分5| EA | ⋅ | n | =- 5 ，所以二面角 A - DC - B 的余弦值为5（Ⅲ）设 AM = λ AF ，其中 λ ∈[0,1] ．由于 AF = ( 3所以 AM = λ AF = λ( 3⎛3 ⎫⎪ ⎭4 3AF = 4 ．————————14 分14（Ⅰ）证明：取 PD 的中点 G ，连接 FG ， AG ．因为 F ， G 分别是 PC ， PD 的中点，所以 FG 是△ PCD 的中位线．所以 ⎨⎧- y + z = 0,所以 AE = 1| DA | ⋅ | v | = 2 ，所以 |2 - m | = 2 ，解得 m= 1 1 2 ，此时点 E 在 A 点处.------14 分u u ur uuur ， 又因为 PD ， CD 相交于 D ，所以 EF ⊥ 平面 PCD ．…………… 9 分 ⎪⎩n ⋅ PD = 0. ⎩2 y - 2 z = 0. 即 ⎨ 所以 cos 〈n , EF 〉 = n ⋅ EF u u ur = 2 33 ．…………14 分 （Ⅰ）证明：DA = (1,0,1) ， ED = (-1, -m ,1)DA ⋅ ED = 1⨯ (-1) + 0 ⨯ (-m ) + 1 ⨯1 = 0 所以 DA1⊥ED1. ----4B 1所以四边形AA 1B 1B 是矩形，所以 MD是三角形 AB 1C的中位线，…………………D ……2 分B（Ⅱ）解：作 CO ⊥ AB 于 O ，所以 CO ⊥ 平面 ABB1 A 1 ，A所以 D( ，0 ， 3 1 3 3 由题意可知 AA = (0 ， 3 ，是平面 ABD的一个法向量，………7 分A1 所以 cos < n ，AA >= 所以二面角 A 1 - BD -A 的大小为 ⎧⎪v ⋅ CD = 0 ，而 CD = (0, -1,1) ，CE = (1,m - 1,0) AE⎨⎪⎩v ⋅ CE = 0设平面B 1C 1E的法向量 n = ( x ，y ，z )，所以 ⎨1 ⎪⎩n ⋅ C 1B 1 = 0 ，⎧⎪- x + ( 3 - x) y + 3z = 0 ，即 ⎨2 - 0 0) ， ， 0) r 0 2) r ⎪ ， ur，0 0) 0 0) 0 0) 0 1 0) y z⎪⎪ ⎩ ⎩ 2 3)x 0) 0 - ⎪1所以 FG ∥ CD ，且 FG = CD ．又因为 E 是 AB 的 中2点，且底面 ABCD 为正方形，z⎩ x + (m - 1)y = 0, 取 z=1,得 y=1,x=1-m ， 得 v = (1- m ,1,1) .1 2 AB = 2 CD ，且 AE ∥ CD ．所以 AE ∥P FG ，因为直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o ，所以 sin 45︒ =| cos < DA , v >|1且 AE = FG ．所 以 四 边 形 AEFG 是 平 行 四 边 形 ． 所 以 EF ∥ AG ．又 EF ⊄ 平面 P AD ， AG ⊂ 平面 P AD ，所以 | DA ⋅ v |122 m 2 - 2m +3 2 2 .-----11 分所以 EF 平面 P AD ．…………………4 分 F（ Ⅱ ） 证 明 ： 因 为 平 面 P AD ⊥ 平 面 ABCD ， P A ⊥ AD ，且平面 P AD I 平面 ABCD = AD ，所以（Ⅲ）点 E 到直线 D1C 距离的最大值为 6P A ⊥ 平面 ABCD ． A 所以 P A ⊥ AB ，P A ⊥ AD ．又因为 ABCD 为正方形， E D y 所 以 AB ⊥ AD ，所以 AB, AD , AP 两两垂直．以点 A 为原点，分别以 AB, AD , AP 为 x, y , z 轴， B C 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 （ 如 图 ）． 由 题 意 易 知x AB = AD = AP ，设 AB = AD = AP = 2 ，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， C(2,2,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,2) ， E(1,0,0) ， F (1,1,1)．uuur u u ur u u ur 因为 EF = (0,11) ， PD = (0，， 2) ， CD = (-2，， ， 且 EF ⋅ PD = (0,11) ⋅ (0,2, -2) = 0 ， u u ur uu urEF ⋅ CD = (0,11) ⋅ (-2,0， = 0所以 EF ⊥ PD ， EF ⊥ CD ．u u u u ur （Ⅲ）易得 EP = (-1，， ， PD = (0,2 ,- 2) ．uu⎧ n ⋅ EP = 0, ⎧ - x + 2z = 0, ⎧ x = 2 z , 设平面 EPD 的法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuur 所以 ⎨u u ur ⎩ y = z. 令 z = 1 ，则 n = (2,1,1) ．由（Ⅱ）可知平面 PCD 的法向量是 EF = (0,11) ，u u uuur n ⋅ EF 2 ⋅ 6 = 3 ．由图可知，二面角 E - PD - C的大小为锐角，所以二面角E - PD - C 的余弦值为 315.解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 D(0,0,0),A （1，0，0），B(1,1,0) ， C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1) ， 设 E(1,m,0)（0≤m≤1） z D 1C 1 1 1 A 111（Ⅱ）设平面 CED1 的一个法向量为 v = ( x , y , z ) ,则D11xBC y分16（Ⅰ）证明：连结 AB 1 交 A 1B于 M，连结 B 1C DM，因为三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 是正三棱柱， CC1 所以 M 为A 1B 的中点．因为 D 是 AC的中点，… B所以 MD ∥B 1C ．…………………………3 分 M因为 MD ⊂ 平面 A BD ， B C ⊄平面 A BD，所以 B C ∥平面 A BD．……………4 分1 1 1 1 1 A 1 所以在正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中如图建立空间直角坐标系 O -xyz．因为 AB = 2 ， AA = 3 ， D 是 AC的中点． 1 所以 A(1， ， ， B(-1， ， ， C (0 ， ， 3)， A (1， 3 ，…………5 分 1z2 2 ) ， BD = ( 2 ， ，2) ，BA = (2 ， 3 ， ．设 n = ( x ， ， )是平面A 1BD 的法向量， C⎧n ⋅ BD = 0， ⎧ 3 x + 3z = 0 ， 所以 ⎨即 ⎨ 2 2⎪n ⋅ BA 1 = 0 ， ⎪2x + 3 y = 0 ， DB令 x = - 3 ，则 y = 2 ， z = 3，所以 n = (- 3 ， ， 是平面 A BD 的一个法向量．……………6 分O12 3 1x 1 4 3 =2．………………8 分 π 3．…………………………9 分 （Ⅲ）设 E (1， ， ，则 C E = (-1， 3 - x ， 3)， C B = (-1，， 3)1 1 1 ⎧n ⋅ C E = 0 ， 1 1 1 1 11 1 1⎪⎩- x 1 - 3z 1 = 0 ，11C1B1y3 - x ，- 3) ，…………………12 分3 EC = (2,1,0) ， EP = (0,-1,2) 设平面 PEC 的法向量 m = ( x , y , z) ，则 m ⋅ EC = 0, m ⋅ EP = 0∴ 2 x + y = 0 , - y + 2 z = 0 令 y = 2 ，则 x = -1, z = 1 ∴ m = (-1,2,1) …………12 分| m || AH | = 6 ⋅ 2 = 2 ．………………13 分 ∵ E, F 分别是 AD , PC 的中点，∴ GF // 1 令 z 1 = - 3 ，则 x 1 = 3 ， y 1 = 6- x ， n 1 = (3 ， 6 （Ⅱ）∵ P A = AB ，∴ AG ⊥ PB ，………………4 分∵ P A ⊥ ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又∵ BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 平面 P AB ，又 n ⋅ n = 0 ，即 -3 3+1123 - x - 3 3 = 0 ，解得 x = 3 3 ，∴ BC ⊥ AG ，………………6 分∵ PB 与 BC 相交，∴ AG ⊥ 平面 PBC ，所以存在点 E ，使得平面 B 1C 1E ⊥ 平面 A 1BD 且 AE =3 3 ．…………………………14 分∴ EF ⊥ 平面 PBC ．………………7 分（Ⅲ）以 AB, AD , AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ，…8 分 ∵ P A = AD = 2 ，∴ E (0,1,0) ， C (2,2,0) ， P(0,0,2) ， F (1,1,1) 设 H 是 PD 的中点，连接 AH ∵ AG ⊥ 平面 PBC ，∴同理可证 AH ⊥ 平面 PCD ，∴ AH 是平面 PCD 的法向量，AH = (0,1,1) ………………9 分m · A H 3 3∴ cos < m , AH >=∴二面角 E - PC - D 的大小为 30︒ ………………14 分结 BD ， Q 底面 ABCD 是菱形，且 ∠BAD = 600，∴ BAD 是等边三角形，∴ BQ ⊥ AD 由（Ⅰ） PQ ⊥ 平面 ABCD .∴ PQ ⊥ AD .以 Q 为坐标原点， QA, Q B, Q P 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系则 Q(0,0,0), A(1,0,0), B(0, 3,0), P(0,0,3) .————10 分⎧⎪m ⋅ Q B = 0设平面 BMQ 的法向量为 m = ( x , y , z) ，∴ ⎨⎪⎩m ⋅ MN = 0，注意到 MN ∥ P A⎧⎪m ⋅ Q B = 0∴ ⎨⎪⎩m ⋅ P A = 0，解得 m = ( 3,0,1) 是平面 BMQ 的一个法向量——12 分（Ⅰ）证明：设 G 是 PB 的中点，连接 AG, G F12 BC ， AE // 2 BC∴ GF // A E ，∴ AEFG 是平行四边形，∴ EF // A G ………………2 分∵ EF ⊄ 平面 P AB AG ⊂ 平面 P AB ，∴ EF // 平面 P AB ………………3 分。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--解析几何+答案
2019高三二模分类汇编—解析几何1.若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)22.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为3.已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 4.（本小题满分13分）已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点 A 与上顶点B．(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．5.椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．6.设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 . 7.（本小题13分）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.8.以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为9.（本小题满分14分）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
(Ⅰ) 若5AF =，求以线段OA 为直径的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且平行于OA 的直线l 交抛物线W 于,B C 两点，判断四边形OABC 能否为等腰梯形？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由。
2019年北京卷理科数学高考真题及答案解析(word精编)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)（A（B（C ）3（D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15（B）2 5（C）4 5（D）6 5（4）已知椭圆2x2a +2y2b=1（a>b>0）的离心率为12，则（A）a2=2b2.（B）3a2=4b2.（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x,y满足的最大值为（A）-7 （B）1（C）5 （D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）。
已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是“的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。
2019北京市12区高三一模(3、4月)数学理分类汇编--立体几何
2019北京市12区高三一模（3、4月）数学理分类汇编--立体几何一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为A ．4B ．2C ．83D ．432、（东城区2019届高三一模）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形3、（丰台区2019届高三一模）已知α和β是两个不同平面，l αβ=，12l l ,是与l 不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是（A ）l 与12,l l 都不相交 （B ）l 与12,l l 都相交（C ）l 恰与12,l l 中的一条相交 （D ）l 至少与12,l l 中的一条相交4、（怀柔区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A ．B ．C ．D ．正（主）视图 俯视图 侧（左）视图5、（门头沟区2019届高三一模）一个体积为为 A.36 B ．8 C ．38 D ．126、（门头沟区2019届高三一模）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是7、（石景山区2019届高三一模）某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为A. 2B. 6C. 10D. 248、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是A ．12 B. 2 C.9、（西城区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．10、（延庆区2019届高三一模）已知一个正四面体的底面积为（A ）（B ） （C ）（D ）11、（房山区2019届高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) 12 (B) 2(C) 2 (D)112、（平谷区2019届高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4侧（左）视图正（主）视图俯视图数学试题答案1、D 2、A 3、A 4、C 5、A6、D7、B8、D9、4310、D11、C 12、D二、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．2、（东城区2019届高三一模）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1AD DB 的值.3、（丰台区2019届高三一模）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1=2=22AB AA BC CD ==．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求二面角1D AA B --的余弦值；（Ⅲ）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ？若存在，求1DM DB 的值；若不存在，请说明理由．4、（海淀区2019届高三一模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．(Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF(Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;(Ⅲ)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．5、（怀柔区2019届高三一模）已知三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC ，AB⊥AC，PA=AC=AB=2，N 为AB 上一点，AB=4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角--B NC M 大小的余弦值.6、（门头沟区2019届高三一模）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的菱形，且060ABC ∠=，PA ABCD ⊥平面，6PA =，F 是棱PA 上的一个动点，E 为PD 的中点.1112（Ⅰ）求证：BD CF ⊥（Ⅱ）若2AF =,（i ）求PC 与平面BDF 所成角的正弦值；（ii ）侧面PAD 内是否存在过点E 的一条直线，使得该直线上任一点M 与C 的连线,都满足//CM 平面BDF ，若存在,求出此直线被直线,PA PD 所截线段的长度，若不存在，请明理由.7、（石景山区2019届高三一模）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）． （Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ；（Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BH BC； 若不存在，说明理由．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））如图，在四棱锥ABCD P -中，等边三角形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD ，112AB AD CD ===， 90=∠=∠ADC BAD ，M 是棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：AD PCD ⊥平面； （Ⅱ）求二面角D BC M --的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM 与平面PAB 的是否平行，并说明理由．9、（西城区2019届高三一模）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由．10、（延庆区2019届高三一模） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求平面MEF 与平面PBC所成锐二面角的余弦值； （Ⅲ）设=PM PD λ，当λ为何值时，直线ME 与平面PBCλ的值.PA B CD M·11、（房山区2019届高三一模）如图1，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，,,E F O 分别为,,DC AE BC 的中点.以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE (如图2)．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面POF ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PE 上是否存在点M ,使得AM ∥平面PBC ? 若存在，求PM PE的值；若不存在，说明理由.图 2P O F E 图 1C BA OE数学试题答案1、解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,x =n 则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20. x y z +=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ则sin |cos ,|5BF θ=〈〉==n （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．1设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m因为()0,0,1AF =，所以000(1)0,0. x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=m ． 因为()1,2,1CE =--，由0CE ⋅=m ， 所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分 2、解：（Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形. .....................5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OAOA ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A BC C ，(E F ．Bxx所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=-设平面11A ACC 的法向量为(,,),x y z =m则10,0.AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1,x=则1, 1.y z == 于是(1,1,1)=m ．又因为3(22EF =-， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |15EF ,EF EFθ⋅=〈〉==m m m ． 所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为15. ............................10分 （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD．设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y≠．因为10(,0)A D y =，1(AC =． 设111(,,)x y z =n 为平面1A CD 的法向量，则110,0.A DA C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即101110,0.yy ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则10y y =，11z =. 于是0(1,,1)y =n . 若EF ∥平面1A CD ，0EF ⋅=n .又3(22EF =-，所以022y -=，解得03y =． 此时EF ⊄平面1A CD ，所以3AD =，13DB =. 所以112AD DB =． ......................14分 3、解：（Ⅰ）因为 平面ABCD ⊥平面11ABB A ，平面ABCD平面11ABB A AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC ⊥平面11ABB A . 因为 1AA ⊂平面11ABB A ， 所以 1BC AA ⊥.（Ⅱ）取11A B 的中点N ，连结BN .平行四边形11ABB A 中1AB AA =，160BAA ∠=︒.易证BN ⊥11A B . 由（Ⅰ）知BC ⊥平面11ABB A .故以为B 原点，BABN BC ，，所在直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -.依题意，1(2,0,0),(1,0,1)A A D ，设平面1DAA 的一个法向量为(,,)x y z =n则1(1AA =-，(1,0,1)AD =- 则100AA AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ， 即00x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令=1y ，得=n ．易知平面11ABB A 的一个法向量为=(0,0,1)m ， 设二面角1D AA B --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,7α⋅=<>===⋅n m n m n m ，yx即二面角1D AA B --的余弦值为7． （Ⅲ）解：设1DM DB λ=，[0,1]λ∈，(,)M x y z ,．因为(1,0,1)D，1(1B -，(0,0,1)C ， 所以1(2,3,1),(1,,1)DB DM x y z =--=-- 所以12,,1x y z λλ=-==-.(12,1)M λλ-- (12,)CM λλ=--因为CM ∥平面1DAA所以0CM =⋅n2)0λ-+-=，所以1=2λ． 所以存在点M ，使得CM ∥平面1DAA ，此时112DM DB =． 4、解：(Ⅰ)方法一：连结1BC因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点, 所以11//DE A B 又因为11//AB A B ，所以//DE AB因为,E F 分别为11B C ,1B B 中点，所以1//EF BC 又因为DEEF E =DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC所以平面1ABC 平面DEF又1AC ⊂平面1ABC ，所以1AC 平面DEF方法二：取1AA 中点为G ,连结FG 由11AA BB 且11AA BB =又点F 为1BB 中点，所以11FGA B又因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点,所以11DE A B所以DEFG所以,,,D E F G 共面于平面DEF 因为D ,G 分别为111,AC AA 中点, 所以1AC DG1AC ⊄平面DEFDG ⊂平面DEF所以1AC 平面DEF方法三：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC 又因为AC BC ⊥以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz - 由题意得1(2,0,0),(0,0,2),(1,0,2)A C D ,(0,1,2),(0,2,1)E F . 所以(1,1,0)DE =-,(0,1,1)EF =- 设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0DE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 令11x =，得111,1y z ==于是(1,1,1)=n 又因为1(2,0,2)AC =-所以12020AC ⋅=-++=n 又因为1AC ⊄平面DEF ， 所以1AC 平面DEF（Ⅱ）方法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC因为AC ⊂ABC ，所以1CC AC ⊥又因为AC BC ⊥， 且1CC BC C =所以AC ⊥平面11BB C CEF ⊂平面11BB C C ，所以AC EF ⊥又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形所以11BC B C ⊥ 又1BC EF ，所以1B C EF ⊥又AC EF ⊥， 且1ACB C C =所以EF ⊥平面1ACB 又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF方法二：设平面1ACB 的法向量为222(,,)x y z =m ，1(2,0,0),(0,2,2)CA CB ==100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22220220x y z =⎧⎨+=⎩ 令21y =，得220,1x z ==-于是(0,1,1)=-m(1,1,1)(0,1,1)0⋅=⋅-=n m即⊥n m ，所以平面1ACB ⊥平面DEF （Ⅲ）设直线DP 与平面1ACB 所成角为θ，则30θ=︒设1(01)AP AA λλ=≤≤，则(0,0,2)AP λ=(1,0,22)DP λ=-所以1cos sin302DP DP θ⋅===︒=m m解得12λ=或32λ=（舍） 所以点P 存在，即1AA 的中点，1AP =5、证明：以A 为原点，AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P （0,0,2），C （0,2,0），B （4,0,0），M （2,0,1），N （1,0,0），S （2,1,0）--------------2分 （Ⅰ）(2,2,1)=-CM ,(1,1,0)=--SN2(1)(2)(1)100⋅=⨯-+-⨯-+⨯=CM SN ，∴CM⊥SN ------------------------------------------------5分 （Ⅱ）(1,2,0)=-CN设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量， 则20220-=⎧⎨-+=⎩x y x y z ，令1=y ，则2=x ，2=-z ，∴a=（2，1，-2）2cos ,<>==a SN ∴SN 与片面CMN 所成角为45°。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编-- 立体几何+答案
2019高三二模分类汇编—立体几何1.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P 与1,A C 不重合）．则下面结论中错误的是(A)存在点P ，使得平面1A DP ∥平面11B CD (B)存在点P ，使得1AC ⊥平面1A DP(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ，平面11BB C C 上 的正投影图形的面积，对任意点P ，12S S ≠ (D)对任意点P ，△1A DP 的面积都不等于262.（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足 为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置， 使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点。
(Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG ∥平面1D EC t (Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D BE ;(Ⅲ)是否存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为63？ 若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72、4.（本小题14分）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=o ，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ． （Ⅰ）求证：CD PEF ；（Ⅱ）若EF CD =，求二面角--A BC F 余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AM EM ⊥？若存在，求BM 的长；若不存在，说明理由．5.已知正四面体ABCD 的棱长为1，平面α与该正四面体相交，对于实数(01)d d <<，记正四面体ABCD 的四个顶点中到平面α的距离等于d 的点的个数为m ，那么下列结论中正确的是(A) m 不可能等于2 (B) m 不可能等于3 (C) m 不可能等于4 (D) 以上三个答案都不正确6.某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥表面的四个三角形中，等腰三角形的个数为 。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212xy+=的左焦点为F，过点(2,0)M-的直线l与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求'AB的取值范围. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x yCa+=过点(2,1)P.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A P'与C交于另一点B.设O为原点，判断直线与直线OP的位置关系，并说明理由.【朝阳】19.（本小题满分14分）AB过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：的离心率为2，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；解：（Ⅰ） 因为,ab ==2221，所以,a bc ===11 所以离心率c e a ==（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y 显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+ 所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212 所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y - 所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+，12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+ 所以 |'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x yB x y 当直线l 是x 轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420， 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=222222)222t t t ====-+++ 因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线与直线OP 的位置关系，并说明理由. （19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =. 所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==. .........................4分 （Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，AB由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则 同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A Bx x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B ky y k x x k k --=+-=+有，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故 所以直线与直线OP 平行. .............................13分【朝阳】19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =. 19. （本小题满分14分）AB解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+. 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中，121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =. 18.（共14分）解：（Ⅰ）由题意得222112.c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y += ………………5分 （Ⅱ）设()()112212,,,(11)M x y N x y x x ≠≠且.由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222433264120k x k x k +-+-=依题意()()()2222=3244364120k k k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<. 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………8分因为121211MF NF y yk k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=--()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠. 因为OF AB ⊥，所以||||FA FB =. …………………14分【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值. 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分 解得2a =，c =C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C的内部，得m 又因为(2,0)A -，所以直线AM的斜率0(022AM m m k -==∈+， …………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)2AM k ∈.……………… 6分 （Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=.所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. …………… 7分 令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ yk x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -.由002()2y FP x =-+，002()2y FQ x =-- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值.……………… 14分【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以222p =，2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 点坐标为(1,0)．（Ⅱ）因为BMF △与ABF △的面积相等，所以BM AB =，所以B 为AM 的中点．设0000(,)(0)M x y x y ≠，则0(,0)A x -．所以直线l 的方程为000()2y y x x x =+，与抛物线24y x =联立得： 2000840x y y x y -+=， 2200002006464161604x x x x y x ∆=-=-= 所以直线l 是抛物线C 的切线．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
俯视图侧（左）视图正（主）视图 北京市各区高三理科数学分类汇编----立体几何选择题部分：（2016东城期末）（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于（ A ）侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （2016昌平期末）⑸ 某三棱锥的三视图如图所示，则该三 棱锥四个面的面积中最大的是（ C ）A.B. 3C.D.（2016西城期末）5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ B ） （A ）16+ （B ）16+ （C ）20+ （D ）20+（2016朝阳期末）7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ A ）A ．27B ．30侧(左)视图正(主)视图俯视图C ．32D ．36（2016东城期末）（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积(V h =，则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为（ D ） ()A ①()B ②()C ③（D ）④(2016丰台期末)8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2016海淀期末）8. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是（ D ） A. 1,1m n == B. 4,1m n == C. 3,4m n == D. 4,4m n ==(2016海淀一模)4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ A ）A ．33 B ．32 C ．33 D ．263(2016朝阳一模)7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ A ）A ．13B ．12C ．1D ．32（2016东城一模）（6）一个几何体的三视图如图所示，那么该几 何体的最长棱长为（ C ） （A ）2 （B ）2（C ）3 （D 10(2016丰台一模)7.如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O ，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB =PA =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是（ A ） （A ）3 （B ）4,2,22（C ）322 2(第7题图)正视图侧视图俯视图2 111 侧视图zyy xABP俯视图侧（左）视图1 1 正（主）视图22（D ）23,2,22(2016房山一模)（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ D ）(2016石景山一模)5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( C ) A ．8 B ．62 C ．10 D ．82(2016顺义一模)8.如图，已知平面αI 平面β=l ，⊥αβ.A B 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且⊥DA l ，⊥CB l ，4,=DA 6=AB ，8=CB .P 是平面α上的一动点，且有∠=∠APD BPC ，则四棱锥-P ABCD 体积的 最大值是 （ A ）（A ）48 （B ） 16 （C ）243 （D ）144(2016西城二模)4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ C ） （A ）2 （B ）5 （C ）3 （D ）22(2016丰台二模)8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD（A ）32 （B ）16 （C ）323 （D ）1632正（主）视图4侧（左）视图222正（主）视图侧（左）视图俯视图 11为正方形，给出下列命题：① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o ； ② 四边形AECF 是正方形； ③ 点A 到平面BCE 的距离为1.其中正确的命题有（ C ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个(2016房山二模)（6）多面体MN ABCD -的底面ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长为（ C ）（A 3（B 5（C 6（D ）22(2016东城二模)3．如图，ABC V 为正三角形，111////AA BB CC ，1CC ⊥底面ABC V ，若1122BB AA ==，113AB CC AA ==，则多面体111ABC A B C -在平面11A ABB 上的投影的面积为（ A ） A. 274 B. 92 C. 9 D. 272(2016朝阳二模)8．已知正方体1111A B C D A B C D -的棱长为2，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且EF ∥平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ C ） A ．92错误!未找到引用源。
B ．3错误!未找到引用源。
C ．33!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
填空题部分：DBE俯视图11111(2016丰台期末)13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 163.（2016海淀期末）12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为_____23___(2016顺义一模)11.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆， 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是___43+π___（单位:2cm ）.(2016昌平二模)(12) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为____5_____.(2016海淀二模)14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P Q R ，，分别是棱11111A A A B A D ，，的中点，以PQR ∆为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个222俯视图侧视图主视图11主视图2左视图2俯视图RQPD 1C 1B 1BCDA 1A顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h =_______.解答题部分：（2016西城期末）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值. （Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=o， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=o ，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A =I ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F I ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面 所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分F CADPMB ED（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-u u u r ，(2,2,2)PD =--u u u r ，(2,2,0)BC =-u u u r， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--u u u u r ， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--u u u r，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=u u u r n ，0PB ⋅=u u u r n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>u u u r u u u r m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u rm n m n ， ………………13分 所以|22|λ-=，解得λ=λ=. ………………14分（2016海淀期末）17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC P ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====. （Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF P 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；FADCBP（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由. 17．解：（Ⅰ）过点F 作FH AD P ，交PA 于H ,连接BH , 因为13PF PD =，所以13HF AD BC ==.…………………………….1分 又FH AD P ，AD BC P ，所以HF BC P .…………………………….2分 所以BCFH 为平行四边形, 所以CF BH P .…………………………….3分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ,………………….4分（一个都没写的，则这1分不给） 所以CF P 平面PAD . …………………………….5分 （Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC P ，AD AB ⊥,所以BC AB ⊥. 因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，,如图，以B 为原点，,,BC BA BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,…………………………….6分所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =u r, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=u u u r u u u r所以00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，…………………………….7分取1x =得到(1,1,0)n =-r,…………………………….8分 同理可得(0,1,1)m =u r,…………………………….9分所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-r u rr u r r ur ,…………………………….10分 因为二面角B PD A --为锐角，所以二面角B PD A --为π3.…………………………….11分 （Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-u u u u r u u u r，所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-u u u u r u u u r u u u u r,…………………………….12分 所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=u u u r u u u u r ，解得12λ=,…………………………….13分HFA DCBPPB CDA F y zx所以存在点M ，且1332PM PD ==.…………………………….14分(2016丰台期末)16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，BC =1，PC =5. （Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ； （Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ， 因为M 是AP 中点，F 是PD 中点， 所以1,2MF AD MF AD =P ， 又因为1,2BC AD BC AD =P ， 所以四边形BCFM 是平行四变形 ,FC BM FC ⊄P 面ABP ， BM ⊂面ABP所以FC P 面ABP …………………………5分 （Ⅱ）连接CE ，因为在ABP ∆中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点， 所以PE AB ⊥且22213PE =-=，在Rt BEC ∆中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ∆中，3PE =，2EC =，5PC =， 所以PE EC ⊥又因为,AB EC E AB =⊂I 面ABCD ，EC ⊂面ABCD所以PE ⊥面ABCD …………………………9分（Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B ，(0,0,3)P ，(1,0,0)A -因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP面ABP 的法向量为(0,1,0)BC =u u u r设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =u u r(1,0,3)AP =u u u r ，(2,1,0)AC =u u u rxyz NFEABCP2019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----立体几何20000200200AP n x x y AC n ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩u u ur u u r u u u r u u r 2(1,2,n =-u u r由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ1212cos ||||||2n n n n θ⋅==⋅ 二面角B PA C --余弦值为：1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅ ………………………14分（2016东城期末）（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA ⊥CD ． 因为AD CD ⊥，所以CD PAD ⊥面. 由于AE PAD ⊂面， 所以有CD AE ⊥．…………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，()0,2,0D ， ()0,0,2P .zC由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =uu u v向量(2,2,0)BD =-u u u r ,(2,0,2)PB =-u u r.设(,,)n x y z =r为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅00PB n BD n 即⎩⎨⎧=-=+-022022z x y x ．不妨令1y =，可得=（1,1,1）为平面PBD 的一个法向量.所以cos ,3AE EF =uu u v uu u v .所以，直线EF 与平面PBD…………………11分（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =--u u r ，(2,2,0)AC =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r. 由点M 在棱PC 上，设,(01)CM CP λλ=≤≤u u u r u u r. 故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r.由AC FM ⊥，得0=⋅，因此，(1-2)2(2-2)20λλ⨯+⨯=所以 13PM MC =.…………………13分（2016朝阳期末）17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以(E a -，(2a F -．所以3(,0,)22a AF =-u u u r，(,,0)22a EF =-u u u r ． 设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r所以,.3z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD，所以,0)GB =u u u r是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,GB <GB >GB⋅===⋅n n n u u u ru u u r u u u r 所以平面PAF 与平面AFE． ……………………13分（2016昌平期末）（17）（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,P MD CBAC12AB AD CD ==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．（I ）求证://MB 平面PAD ； （II ）求二面角P BC D --的余弦值； （III ）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由.（Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 ,所以 1//,2HM CD HM CD =.因为1//,2AB CD AB CD =. 所以//AB HM 且AB HM =. 所以四边形ABMH 为平行四边形, 所以 //BM AH . 因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD ,所以//BM 平面PAD . …………………………..4分 （Ⅱ） 取AD 中点O ,连结.PO 因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD I 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面.取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =则(1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --(2,2,0),(1,2,BC PB =-=uu u r uu r. 平面BCD的法向量OP =uu u r,设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =u r,2019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----立体几何由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u r uu r u r 得220,230.x y x y -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1x =，则3)n =u r.15cos ,||||OP n OP n OP n ⋅<>==uu u r ruu u r u r uu u r u r .由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --15…………………………..9分 （Ⅲ） 不存在. 设点(,,)N x y z ,且,[0,1]PNPBλλ=∈ , 则,PN PB λ=u u u r u u u r所以(,,3)(1,2,3)x y z λ-=.则,2,33.x y z λλλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,233)N λλλ, (1,2,33)DN λλλ=+-uuu r.若 DN PBC ⊥平面,则//DN n uuu r u r,即33123λλλ-+==，此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. …………………………..14分 （2016东城一模）（16）（本小题共14分）已知三棱柱111C B A ABC -中，1A A ⊥底面ABC ，ο90=∠BAC ，1A A 1=，3=AB ，2=AC ,E 、F 分别为棱C C 1、BC 的中点.（Ⅰ）求证 1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与B A 1所成的角；（Ⅲ）若G 为线段A A 1的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求A HA 1∠.（Ⅰ）证明 因为三棱柱111C B A ABC -，1AA ⊥底面ABC 所以 1AC AA ⊥．因为 ο90=∠BAC ， 所以 AC AB ⊥． 因为 1A A AB A =I ， 所以 11AC A ABB ⊥平面．因为 111A B A ABB ⊂平面，所以 1AC A B ⊥. ……４分 （Ⅱ）解如图建立空间直角坐标系xyz A —， 则()1,0,0A 1，()0,03B，，⎪⎭⎫ ⎝⎛2120，，E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,123F ，. 所以 ()10,31-=，A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211,23，. 所以22==. 因为 010,90A B EF <<uuu r uu u r ，所以 直线EF 与B A 1所成的角为45°. ……９分（Ⅲ）解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛2100，，G 则 ()020，，= , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=211,23，. AH 所在直线的向量与平面GEF 的法向量平行.设平面GEF 的法向量为，(,,)n x y z =v，因为 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.02123,02z y x y 令3=z ，则()3,0,1=.所以 AH 所在直线的单位向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23,0,21. 因为 1(0,0,1)AA =uuu v,所以23=. 因为 10,AA e π<<uuu r r，所以 16HA A π∠=. .…１４分(2016丰台一模)17.（本小题共13分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2. (Ⅰ)求证： EF //BC ；(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形所以AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF所以BC ∥面ADEF 且面ADEF I 面BCEF EF =所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为FO ⊥面ABCD 所以FO AO ⊥，FO OB ⊥ 又因为OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD .又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：31(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(,,3)22B C D F E----向量31(,,3)22DEu u u r=-，向量(3,1,0)BCu u u r=--，向量(0,1,3)BFu u u r=-设面BCFE的法向量为：0000(,,)n x y zu u r=,n BCn BFu u u ru u u r⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到00003030x yy z⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩令3y=时(1,3,1)nu u r=-设DFu u u r与nu u r所成角为ϕ，直线DE与面BCEF所成角为θ.sinθ=|cos|ϕ=0||||||n DEn DEu u r u u u ru u r u u u r⋅⋅=22222231|()(1)331|2231(1)(3)(1)()()(3)22-⨯-+⨯+⨯--++⋅++=15直线EF与平面BCEF所成角的正弦值为155.------------------------------------13分（2016海淀一模）17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证： BC⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小为3π时，求PN 的长．解:（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，AB BC⊥,因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA BC⊥.因为AB PA A=I，且AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB（Ⅱ）证明：因为BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB,所以BC PB⊥在PBC∆中，BC PB⊥，MN PB⊥，所以MN BCP.在正方形ABCD 中，AD BC P , 所以MN AD P ， 所以 MN AD ，,可以确定一个平面，记为α 所以,,,M N D A 四个点在同一个平面α内（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥,PA AD ⊥.又AB AD ⊥,如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -, 所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)C D B P .设平面DAN 的一个法向量为(,,)n x y z =r， 平面CAN 的一个法向量为(,,)m a b c =u r, 设PN PC λ=u u u r u u u r, [0,1]λ∈，因为(2,2,2)PC =-u u u r ，所以(2,2,22)AN λλλ=-u u u r，又(0,2,0)AD =u u u r ，所以00AN n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即22(22)020x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩，取1z =, 得到1(,0,1)n λλ-=r, 因为(0,0,2)AP =u u u r ，(2,2,0)AC =u u u r所以00AP m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ，即20220c a b =⎧⎨+=⎩，取1a =得, 到(1,1,0)m =-u r,因为二面C AN D --大小为3π, 所以π1|cos ,|cos 32m n <>==u r r ,所以1|cos ,|2||||m nm n m n ⋅<>===u r ru r r u r u u r 解得12λ=,所以PN = (2016朝阳一模)17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为AMPCBA 1C 1B1轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点． （Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =I ， 所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====， 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ．易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rn n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B--的大小为锐角，所以cos,17⋅〈〉===⋅m nm nm n．所以二面角P AM B--的余弦值为17．………………………………9分（Ⅲ）存在点P，使得直线1A C//平面AMP．设111(,,)P x y z，且1BP BBλ=u u u r u u u r，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y zλ-=-，所以1110,2,2x y zλλ==-=．所以(0,2,2)APλλ=-u u u r．设平面AMP的一个法向量为0000(,,)x y z=n，由00,0,AMAP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u rnn得00000,(2)20.x yy zλλ+=⎧⎨-+=⎩取1y=，得2(1,1,)2λλ-=-n（显然0λ=不符合题意）．又1(2,0,2)AC=-u u u r，若1A C//平面AMP，则10AC⊥u u u rn．所以10220ACλλ-⋅=--=u u u rn．所以23λ=．所以在线段1BB上存在点P，且12BPPB=时，使得直线1A C//平面AMP．…………14分(2016房山一模)（17）（本小题14分）在三棱锥P ABC-中，平面PAC^平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA PC^,AC BC^,24BC AC==,M为AB的中点.（Ⅰ）求证：AC PM^；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM^平面PAB？若存在，求出PNPB的值，若不存在，说明理由.解:（Ⅰ）取AC中点O，连结,PO OMQ PAC∆为等腰直角三角形，且PA PC⊥PO AC∴⊥………………1分又Q在ABC∆中,CA CB^,M为AB的中点.//OM CB∴OM AC∴⊥………………2分Q=PO OM O⋂NPBCMPO OM POM ⊂，平面AC POM ∴⊥平面……………3分 PM POM ⊂Q 平面AC PM ∴⊥ ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ） PO AC ⊥,OM AC ⊥∵平面PAC ^平面ABC 平面PAC Ç平面ABC=ACPO AC ⊥PO PAC ⊂平面 PO ∴⊥平面ABCPO OM ∴⊥,,PO AC OM ∴两两垂直,以O 为原点,建立空间直角坐标系如图: …5分(001)P ，，,-1,0,0C （）,10,0A （，）,-1,4,0B （） 10,1PA ∴=-u u u r （，）,,0AB =u u u r（-2，4）设平面PAB 法向量1(,,)n x y z =u r,{1100PA n AB n u u u r u u r u u u r u u r ⋅=⋅=∴{0240x z x y -=-+=∴1(2,1,2)n ∴=u r………………7分,1PC =-u u u r Q （-1，0） ………………8分111cos ,||||PC n PC n PC n u u u r u ru u u r u r u u u ur u r ⋅∴<>==3 ………………9分 ∴PC 与平面PAB所成角的正弦值是3. （Ⅲ）在线段PB 上存在点N ,使得平面CNM ^平面PAB ，PN PB =19…10 证明如下：设PNPB=,λλ∈（0，1） 由（Ⅱ）知平面PAB 法向量1(2,1,2)n =u r(0,2,0)M Q ,2,0CM ∴=u u u u r（1） CN CP PN CP PB λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ==,4,1λλλ-（1-）设平面CNM 法向量2(,,)n x y z =u u r,{2200CM n CN n u u u u r u u r u u u r u u r ⋅=⋅=∴{20(1)4(1)0x y x y z λλλ+=-++-=∴262(2,1,)1n λλ-∴=--u u r………………12分Q 平面CNM ^平面PAB 120n n u r u u r⋅=即62412()01λλ--++=-解得19λ= ………………14分∴在线段PB 上存在点N ,当PN PB =19时,平面CNM ^平面PAB .(2016石景山一模) 17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：连接1B C ，与1BC 相交于O ，连接OD ．∵11BCC B 是矩形，∴O 是1B C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥1AB ． ………2分 ∵1AB ⊄平面1BDC ，OD ⊂平面1BDC ， ………3分 ∴1AB ∥平面1BDC ． ………4分（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则1(000)C ，，，(032)B ，，，(030)C ，，，(230)A ，，，(130)D ，，， ………5分设111()n x y z =r，，是平面1BDC 的一个法向量，2019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----立体几何则1100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u u r，，即111132030y z x y +=⎧⎨+=⎩，， 令11x =，则11(1)32n =-r，，， ………7分易知1(030)C C =u u u u r，，是平面ABC 的一个法向量， ………8分 ∴11112cos 7736n C C n C C n C C ⋅-<>===-⋅⨯r u u u u r r u u u u r r u u u u r ，， ………9分 由题意知二面角1C BD C --为锐角，∴二面角1C BD C --的余弦值为27． ………10分（Ⅲ）假设侧棱1AA 上存在一点(2,0)P y ，， (03y ≤≤)，使得CP ⊥平面1BDC ． 则1100CP C B CP C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，，，即3(3)023(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩，，∴373y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，． ………12分∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱1AA 上不存在点P ，使CP ⊥平面1BDC ． ………14分(2016顺义一模)17.（本小题满分13分） 如图，在四棱锥-P ABCD 中，等边V PAD 所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直,O 为AD 的中点，E 为DC 的中点，且 2.=AD（Ⅰ）求证：⊥PO 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角--P EB A 的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点M ，使线段PM 与V PAD 所在平面成30︒角.若存在， 求出AM 的长,若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）Q V PAD 是等边三角形，O 为AD 的中点, ∴⊥PO ADQ 平面⊥PAD 平面ABCD ，AD 是交线，⊂PO 平面PAD∴⊥PO 平面ABCD . 【4分】（Ⅱ）取BC 的中点F ，Q 底面ABCD 是正方形，∴⊥OF AD ，∴,PO OF AD ，两两垂直. 分别以OA OF OP 、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0)---P B C D A E 【5分】(1,0,=u u u r PA ，(2,1,0,)=-u u u r AE，(1,1=-u u u r EP ，(2,1,0,)=u u u rEB设平面PBE 的法向量为(,,)=r n x y z ，∴00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u rn PE n EB ，∴(,,)(1,0(,,)(2,1,0)0⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z x y z∴020⎧-=⎪⎨+=⎪⎩x y x y ，∴12⎧=⎪=-⎨⎪=⎩x y z ，∴(1,2,=-r n 平面EBA 的法向量即为平面ABCD的法向量=u u u rOP .由图形可知所求二面角为锐角，∴cos ,||||||⋅<>==r u u u rr u u u r r u u u r n OP n OP n OP 【9分】 (Ⅲ)方法1：设在线段AB 上存在点(1,,0)M x ，(02)<≤x ， 使线段PM 与V PAD 所在平面成030角，Q 平面PAD 的法向量为(0,2,0)，(1,,=u u u u rPM x ，∴01sin 302===，解得3=x∴在线段AB 上存在点M ，当线段=AM ，与V PAD 所在平PM 面成030角. 【13分】 方法2：由（Ⅰ）知⊥PO 平面ABCD ， Q ⊥BA AD ，⊥BA PO ,=I PO AD O∴⊥BA 平面POD .设在线段AB 上存在点M 使线段PM 与V PAD 所在平面成030角，连结PM ，由线面成角定义知：∠MPA 即为PM 与V PAD 所在平面所成的角,0tan 303=⋅=AM PA ,当线段=AM ，与V PAD 所在平PM 面成030角.(2016西城二模) 17．（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠=o . 设G 为AF 的中点.（Ⅰ）求证：DG EF ⊥；（Ⅱ）求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；（Ⅲ）设,P Q 分别为线段,DG CF 上一点，且//PQ 平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值.C（Ⅰ）证明：因为正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点， 所以EF FD ⊥，EF FA ⊥， 又因为FD FA F =I ，所以EF ⊥平面DFA . ………………2分 又因为DG ⊂平面DFA ，所以DG EF ⊥. ………………4分 （Ⅱ）解：因为60DFA ∠=o ，DF FA =，AG GF =， 所以DFA ∆为等边三角形，且DG FA ⊥. 又因为DG EF ⊥，EF FA F =I ，所以DG ⊥平面ABEF . ………………5分设BE 的中点为H ，连接GH ，则,,GA GH GD 两两垂直，故以,,GA GH GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，(1,4,0)B，(0,C ，(1,0,0)F -，所以(1,0,0)GA =u u r,(1,BC =-u u u r ，(2,4,0)BF =--u u u r. ………………6分 设平面BCF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 由0BC ⋅=u u u r m ，0BF ⋅=u u u r m，得0,240,x x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩ 令2z =，得2)=m . (7)设直线GA 与平面BCF 所成角为α，则||sin |cos ,|19||||GA GA GA α⋅=<>==u u ru u ru u r m m m .即直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值为19. ………………9分（Ⅲ）由题意，可设(0,0,)(0P k k ≤，(01)FQ FC λλ=u u u r u u u r≤≤，F E GA BD C⇒由(1,FC =u u u r，得(,4)FQ λλ=u u u r，所以(1,4)Q λλ-，(1,4)PQ k λλ--=u u u r. ………………10分由（Ⅱ），得(0,GD =u u u r为平面ABEF 的法向量. 因为//PQ 平面ABEF ，所以0GD PQ ⋅=u u u r u u u r0k -=. ………………11分所以||PQ =u u ur=， ………………12分 又因为221172117()171716λλλ-+=-+，所以当117λ=时，min ||17PQ =u u u r.所以当117λ=，17k =PQ17………………14分(2016海淀二模) 17.（本小题满分14分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD P ，DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，且2AE BF EF ===，2DE CF ==.将AED ∆和BFC ∆分别沿DE 、CF 折起，使A 、B 两点重合，记为点M ，得到一个四棱锥M CDEF -，点G ，N ，H 分别是,,MC MD EF 的中点.（Ⅰ）求证：GH ∥平面DEM ； （Ⅱ）求证：EM CN ⊥；（Ⅲ）求直线GH 与平面NFC 所成的角的大小. 解:（Ⅰ）证明：连结NG NE ，.在MCD ∆中，因为,N G 分别是所在边的中点，所以1CD 2NG P ， …………………1分 又1CD 2EH P , 所以 NG EH P , …………………2分 所以NEHG 是平行四边形，所以EN GH P , …………………3分 又EN ⊂平面DEM ，GH ⊄平面DEM , …………………4分BFACDECE所以GH P 平面DEM . …………………5分 （Ⅱ）证明：方法一：在平面EFCD 内，过点H 作DE 的平行线HP ，因为,,DE EM DE EF ⊥⊥,EM EF E =I 所以DE ⊥平面EFM , 所以HP ⊥平面EFM ，所以HP ⊥EF .又在EMF ∆中，因为EM MF EF ==，所以MH EF ⊥.以H 为原点，,,HM HF HP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 …………………6分所以1(0,1,0),(0,1,2),,1)2E M C N --…………………7分所以3,1)2EM CN ==--u u u u r u u u r ， …………………8分所以0EM CN ⋅=u u u u r u u u r，所以EM CN ⊥. …………………9分方法二：取EM 中点K ，连接,NK FK .又NK 为EMD ∆的中位线，所以NK DE P又DE CF P ，所以NK CF P ，所以NKFC 在一个平面中. …………………6分 因为EMF ∆是等边三角形，所以EM FK ⊥,又DE EM ⊥，所以NK EM ⊥, …………………7分 且NK FK K =I ，所以EM ⊥平面NKFC ， …………………8分 而CN ⊂平面NKFC ,所以EM CN ⊥. …………………9分（Ⅲ）因为(0,0,2)CF =-u u u r , 所以0EM CF ⋅=u u u u r u u u r, 即EM CF ⊥,又 CF CN C =I , 所以EM ⊥平面NFC ，所以EM u u u u r就是平面NFC 的法向量. …………………11分又1,1)2HG =u u u r ，设GH 与平面NFC 所成的角为θ，则有31sin |cos ,|||||HG EM HG EM HG EM θ+⋅=<>===u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r …………………13分所以GH 与平面NFC 所成的角为π4. …………………14分(2016丰台二模) 17.（本小题共14分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O, BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD .（Ⅰ）求证AD ⊥PB ； （Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD . ①求二面角B-PC-D 的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足(01)PM PC λλ=≤≤u u u r u u u r ，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O，求λ的值.解：（Ⅰ）在图1中，因为AB ∥CD ，AB =CD ，所以ABCD 为平行四边形，所以AD ∥BC ,因为∠B =90O,所以AD ⊥BE ，当三角形EDA 沿AD 折起时，AD ⊥AB ，AD ⊥AE ， 即：AD ⊥AB ，AD ⊥PA ， -----------------------3分 又AB ∩PA =A .所以AD ⊥平面PAB ， -----------------------4分 又因为PB 在平面PAB 上，所以AD ⊥PB . ---------------------5分（Ⅱ） ①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，如图. -------6分 则A （0,0,0），B （1,0,0），C （1,1,0），P （0,0,1）.即(1,1,1)PC u u u r =-，(0,1,0)BC u u u r =，(1,0,0)DC u u u r=—————-------———7分设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z r=，则 0,PC n BC n uuu r r uuur r ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0x y z y +-=⎧⎨=⎩，取1z =，取1x =， —------———8分所以(1,0,1)n r =；同理求得平面PCD 的法向量(0,1,1)m u r=--.设二面角B-PC-D 为α，所以1cos 2||||n m n m r u r ru r α⋅-==⋅,————————9分 所求二面角B-PC-D 为120o. —————————————10分②设AM 与面PBC 所成的角为ϕ.(0,0,1)(1,1,1)(,,1)AM AP PM u u u u r u u u r u u u u rλλλλ=+=+-=-，图2图12019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编----立体几何平面PBC 的法向量 1(1,0,1)n u r=, --------------12分sin ϕ=1|cos ,||2AM n u u u u r u r <>==,---------------13分解得：20,3λλ== —————————————14分(2016房山二模) （17）（本小题14分）如图，已知直角梯形ACEF 与等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直，EF AC ∥，12EF AC =，EC AC ⊥，112AD DC CB CE AB =====．（Ⅰ）证明：BC AE ⊥；（Ⅱ）求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）判断直线DF 与平面BCE 的位置关系，并说明理由．（Ⅰ）取AB 中点G ，连结CG ，由已知可得ADCG 是平行四边形，所以12CG AD AB ==， 所以 AC BC ^ …………………1分又 平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF I 平面ABCD AC = 所以 BC ⊥平面ACEF ， …………………3分 又 AE Ì平面ACEF ，所以 BC AE ^ …………………4分 （Ⅱ）因为 平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF I 平面ABCD AC =EC AC ⊥所以 EC ^平面ABCD ，由（Ⅰ）知AC BC ^ 如图，以C 为坐标原点，以,,CA CB CE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， …………………5分1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),,0)2C B E FD -3(0,1,1),,0)2EF BE BD ==-=-u u u r u u u r u u u r设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =r，则 00n EF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur 即00x y z =⎪-+=⎩所以(0,1,1)n =r …………………7分 FEDC BAy设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =u r，则m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r ur u u u r 即 33020y y z ⎧-=⎪⎪-+=⎩所以3,1,1)m =u r …………………9分 10cos ,525m n m n m n×<>==u r ru r r u r r…………………11分所以 二面角D BE F --的余弦值为105（Ⅲ）直线DF 与平面BCE 平行． …………………12分平面BCE 的法向量为(1,0,0)t =r ，1(0,,1)2DF =u u u r因为0t DF ⋅=r u u u r 所以t DF ⊥r u u u r所以 DF P 平面BCE………………………………14分(2016东城二模) 16．（本小题共14分）如图，ABC ∆是等腰直角三角形90CAB ∠=o，2AC a =，E F ，分别为AC BC ，的中点，沿EF 将CEF ∆折起，得到如图所示的四棱锥-C ABFE ' （Ⅰ）求证： AB AEC '⊥平面；（Ⅱ）当四棱锥-C ABFE '体积取最大值时，(i)若G 为BC '中点，求异面直线GF 与AC '所成角；(ii)在-C ABFE '中AE 交BF 于C ，求二面角A CC B '--的余弦值．证明：（Ⅰ）因为ABC ∆是等腰直角三角形90CAB ∠=o，E F ，分别为AC BC ，的中点， 所以EF AE ⊥，EF C E '⊥. 又因为AE C E E '⋂=, 所以EF AEC '⊥平面. 由于EF AB P ,所以有AB AEC '⊥平面. -------------------------4分 解：（Ⅱ）(i)取AC '中点D ，连接,,,DE EF FG GD ,由于GD 为ABC '∆中位线，以及EF 为ABC ∆中位线, 所以四边形DEFG 为平行四边形.直线GF 与AC '所成角就是DE 与AC '所成角.所以四棱锥C ABFE '-体积取最大值时，C E '垂直于底面ABFE . 此时AEC '∆为等腰直角三角形，ED 为中线， 所以直线ED AC '⊥. 又因为ED GF P ,所以直线GF 与AC '所成角为π2. -------------------------------------------------------10分 (ii) 因为四棱锥C ABFE '-体积取最大值,分别以EA EF EC '、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，则(0,0,)C a '，(,2,0)B a a ，(0,,0)F a ，(,2,)C B a a a '-，(0,,)C F a a '-. 设平面C BF '的一个法向量为n =(x,y,z),由0,0C B C F ⎧⎪⎨⎪⎩'⋅='⋅=n n uuu ruuu r 得⎩⎨⎧=-=-+002az ay az ay ax ,取y =1，得x =-1,z =1． 由此得到n =(-1,1,1).同理，可求得平面C AE '的一个法向量m =(0,1,0). 故平面C'AE 与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为--------------------------------------14分(2016朝阳二模) 17．（本小题满分14分）如图1，在等腰梯形ABCD 中，//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒， E 为AD 中点，点,O F 分别为,BE DE 的中点．将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，使得平面1A BE ⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：1A O CE ⊥；y（Ⅱ）求直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱1A C 上是否存在点P ，使得//BP 平面1A OF ? 若存在，求出11A PA C的值；若不 存在，请说明理由．解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD 中，由//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点， 所以ABE ∆为等边三角形．如图2, 因为O 为BE 的中点，所以1A O BE ⊥． 又因为平面1A BE ⊥平面BCDE ， 且平面1A BE I 平面BCDE BE =，所以1A O ⊥平面BCDE ，所以1A O CE ⊥．………4分（Ⅱ）连结OC ，由已知得CB CE =，又O 为BE 的中点，图2所以OC BE ⊥．由（Ⅰ）知1A O ⊥平面BCDE ， 所以11,A O BE A O OC ⊥⊥， 所以1,,OA OB OC 两两垂直．以O 为原点，1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为2BC =，易知1OA OC ==所以1(00(100),(0(100)A B C E -，，，，， ECDBA图1BFOCDA 1E 图2DCBFODA 1E。