一个三角形函数最值的行列式解答
行列式三角形法则
行列式三角形法则行列式三角形法则是矩阵运算中重要的一条基本法则，它是用于求解行列式的一种方法，通常被用于矩阵的计算、线性代数及其它相关领域中。
行列式是一个很重要的概念，它是矩阵运算中比较常用的一个概念，有很多的应用。
计算行列式的方法有很多，其中最常用的是利用行列式三角形法则。
下面，我们来看一下行列式三角形法则的具体步骤。
行列式三角形法则步骤如下：第一步，将矩阵进行初等变换，化为行（列）简化形式。
也就是当行（列）表达式中存在某一行（列）的绝对值为1时，我们就可以将该行（列）作为基准行（列）进行变换。
第二步，利用行列式定义式，将行列表达式进行展开，将每行（列）展开为一个多项式。
我们可以先将行（列）表达式用基准行（列）展开，再利用余子式的定义式，将剩余的行（列）展开为多项式。
展开后得到的式子都是一次多项式的形式。
第三步，将所有行（列）进行展开后，得到的结果可以用一个三角形体现出来。
即，行列式的对角线及其上方部分，由多项式的系数构成的三角形，这样的三角形称为行列式三角形。
行列式的对角线以下部分，由多项式等于0的方程构成，称为零三角形。
第四步，根据此法则，行列式的值就等于行列式三角形中对角线上的数乘积。
而且，如果整个矩阵只有一行或一列，行列式的值即为该行（列）中的元素值。
通过以上四个步骤，我们就可以用行列式三角形法则来求解矩阵中的行列式。
实际上，在解决逆矩阵、线性方程组等问题时，行列式三角形法则都是一个十分重要的方法。
需要注意的是，这种求解行列式的方法，只适用于对角线元素都非零的矩阵。
总之，行列式三角形法则是矩阵运算中非常重要的一条基本法则。
在进行线性代数计算、逆矩阵矩阵乘法等运算时，都需要用到这个方法来求解行列式的值。
此法则的步骤简单易懂，但在实际应用中需要灵活掌握，才能更好地运用到实际问题中，以得到更准确的结果。
完整版)解三角形中的最值问题
完整版)解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。
解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。
解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。
设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。
（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。
解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。
由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。
行列式的若干解法
行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式．例1 nn D n 000000100200100-=计算行列式 .解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律： 1．行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变； 2．互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3．行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4．行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变； 5．行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6．行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列式的和；7．行列式各行或各列若线性相关，行列式为零．一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解．例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由 ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为000321323132231211312 nn nn nn n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由行列式的性质'A A =，000)1(0000321323132231211312321323132231211312 nn n n nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n , n n D D -=因而得0=n D .三、高斯消元法由行列式的定义，计算一般n 阶行列式的值的复杂度为(!)O n ，对n ≥4的非稀疏方阵并不实用，因此有必要寻找更好的方法．用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状，是计算行列式的基本方法．原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式．这个变换过程可用解线性方程组的算法（高斯消元法）严格描述，其复杂度为3()O n ，由原来的指数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度．例3 计算行列式2101044614753124025973313211----------=D . 解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．()()()()()()()()()()2313214315412311231112310010202041020410010202153021530022200222D +---↔----------------- ()()()()()()43523421-12-31112310204-10304100-10-200102001-12000100022-200026+++---------()()524112310204112(1)(1)(6)12 001020001000006+----=-⋅---=----．四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式．因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法．例4 计算n 阶行列式a b b b b a bb D bb ab b b ba=. 解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得ab b b abb b a b b b b n a ab b b n a b abbn a b b a b n a b b b b n a D1111])1([)1()1()1()1( -+=-+-+-+-+=[]])(])1([00000001)1(1---+=----+=n b a b n a ba b a b a bb b b n a .五、Laplace 展开法Laplace 展开的四种特殊情形： 1）0nn nn mm mn mm A A B C B =⋅ 2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mn nn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅应用行列式的Laplace 展开，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法．［注意］用此方法一定要看Laplace 展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构．如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法．例5 证明如下行列式：0001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++11,n n n D αβαβαβ++-=≠-证明 ：其中［分析］虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之．此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式．从行列式的左上方往右下方看，即知1n D -与n D 具有相同的结构．因此可考虑利用递推关系式计算．证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式．若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－） 或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：23112233422221[()()](1)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D αβαβαβαβαβαβαβααββ-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D βαβαβαβαβααβαββαβα-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当αβ≠时由（1）（2）式可解得：11n n n D αβαβ++-=-证毕．例6 计算行列式 xa a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. ［分析］对一时看不出从何下手的行列式，可以先对低阶情况求值，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明．解：当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-= 假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .六、加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法．当然，加边后所得的高一阶行列式要较易计算．加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况．加边法的一般做法是：1111111111121221222121111100000n n n n n n n n n nnn nnnn nna a a a a ab a a a a D a a b a a a a a a b a a === 特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====加边法能否顺利应用，关键是观察每行或每列是否有相同的因子． 例7 计算n 阶行列式：21121221221221212111n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+［分析］ 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘．这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法．解：11112122112121221222121212121211(1,,)(1,,)110110001010011101001001001i i i i nn n n n n n nn nin i ni i n i n r x r c x c i n x xx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法．1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式(1,2,)ii A i n =;3)*,1niji j D D xA==-∑例8 .求下列n 阶行列式的值：111211212111n n n D n --=-解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：(1)2*0002020()(1)(1)20n n n n n n D n n ---==-⋅--又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅-，其余的为零．(1)2*,1,11(1)(1)122(1)12()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n nnnn n ij i n i i j i n n n n nn n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+=-⋅-+=-⋅-+-⋅⋅-=-⋅-∑∑［点评］诸如此类的特殊行列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡爪”（除第一行、第一列、主对角线外全为零）、反对称方阵等，这些范式都有“专用”的解法．掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满足这些范式的行列式的值，更是为了给解一般行列式提供变换的目标和方向，争取把一般行列式变换到这些已知容易求解的范式．如果不知道这些范式，就只能盲目的寻找各种变成“最终范式”——上下三角行列式的变换方式，从而加大了解题的难度．七、拆行（列）法由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值．例9 设n 阶行列式：1112121222121n n n n nna a a a a a a a a =且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=对任意数b ，求n 阶行列式111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a ba b++++++=+++[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b ，显然用拆行（列）法．可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发．注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件．解：1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a ba b a a b a b b a ba b++++++++++++++==++++++++11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ba a ab a b a b a a ++++=++++11121111121212222122221212111111n n n n n n n n nnn nnn nna a a a a a a a a a a a a ab ba a a a a a a =+++21111nni i i i b A b A ===+++∑∑,11nij i j b A ==+∑A 又令＝111212122212n n n n nna a a a a a a a a ,,1,2,,ij ji a a i j n =-=且':1,A A A ∴==-有且 11A A A A A A⋅=＊－－＊由＝得：1A A ∴＊－＝'1''11()()()A A A A A ---===-=-＊＊又（） *A ∴也为反对称矩阵又(,1,2,,)ij A i j n =为*A 的元素1,10nij i j A ==∴=∑有从而知：1,111nn ij i j D bA ===+=∑［点评］求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系，此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论．此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联．八、多项式法如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x)．具体地说，若行列式中存在两个同时含变量x 的行（列），若x 等于某一数a 1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得D=0．那么x -a 1便是一个一次因式．由此便可找出行列式（多项式）的若干因式．如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等，那么行列式与这些因式的乘积便成比例（只差一个常数因子）．例10 求如下行列式的值：12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n ==时，有10n D +=．但大家认真看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式.1,2,,i x a i n -=,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，为：1ni i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式1ni i a x =+∑，这样行列式的次数就降了一次．解：1211221211232312323111()11ni n i nn i ni nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑令：122'123231111n nn n a a a x a a D a a a a a x+=显然当：.1,2,,i x a i n ==时，'10n D +=．又'1n D +为n 次多项式．'112()()()n n D C x a x a x a +∴=---设又'1n D +中x 的最高次项为nx ，系数为1，∴C=1'112()()()n n D x a x a x a +∴=---因此得：'111121()()()()()nn i n i ni n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑九、Vandermonde 行列式法 范德蒙行列式：1232222123111111231111()n n i j j i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=-∏例11 计算n 阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型．先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a aD a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得：n m n m E AB E BAλλλ--=-(1)(1)2211(1)[()()](1)()nn n n n j i nj i nD a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏［分析］从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式”，很多类似多项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联．例12 计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质．注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列．然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了．解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111201111100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]本题中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”．从而推广到一般，求下列行列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：令 0121101223411230n n n a a a a aa a a A a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a uu a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==∴=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++++++=++++这里用到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k kw n nw w k n w w w ππ-=∴=≠<<设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅=⋅==⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦记：方阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然为范德蒙行列式110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠=⋅⋅⋅⋅=⋅∴==⋅⋅⋅从而有： 又例12中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例12与11120'102n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --而与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+⋅⋅⋅⋅==≠=++++=+++=即得：=(-1)从而当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n nnf u u-∴-=++++-=--∴=-1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏而又令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n k k n n nn n n D f f w f w n n n w wwn n nw n n nn n ----------=---=⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅---+-⋅⋅=-+-⋅⋅=+=-⋅⋅∏从而有：(-1)(-1)与例12的答案一致．［点评］例12本身并不困难，但在“循环行列式”的推广中，运用了多项式单位根的相关理论，是比较难以想到的．由上述问题的求解可知，行列式的求值有时需要综合利用多种方法，上例就用到了Vandermonde 行列式和多项式理论．十、矩阵理论法有些行列式通过“矩阵”一章与行列式相关的某些等式，可以快速求解．引理：设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()nmE BA E BA =证明：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 00nn nn n m m m m mE A E E A E AB AE AB E BE B E BE E λλλλ-===--n E AB λ=- 又11n n nm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同样两边取行列式有：11n n n nmmmmE E A E A E ABE BE BBA E E λλλλλ-==-+()11nn m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλλ-=-+=-=- 得证．那么对于,A B 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠能否得到：n m n m E AB E BA λλλ-+=+答案是肯定的．证：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 有：nn mE AE AB BE λλ-=+ 又 11n nnm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1nn m n m m m E A E BA E E BA BE λλλλλ--∴=+=+ n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+即得：对,A B 分别为n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠时，有：n m nmE AB E BA λλλ-=则当1λ=时，有：nmE AB E BA =∴引理得证．例13 计算如下行列式的值：1231231233123n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b++=++解：令矩阵1231231233123n n n n a b a a a a a ba a A a a ab a a a a a a b++=++则可得：()123123121233123111,,,n nn n n n na a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11n n n bE B C ⨯⨯=+ 其中 ()()1112111,,,,Tn n n B C a a a ⨯⨯==那么根据上面所提到的引理可得：111n n n n n D bE BC b b C B -⨯⨯=+=+又 ()11121111,,,n n n n i i C B a a a a ⨯⨯=⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑可得：11()nn n i i D b a b -==+∑［点评］例13还可用加边法解决，不过这里的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻．十一、高等数学法有些行列式可以看成函数，运用高等数学的求导、积分等方法解决． 例14 求下列行列式的值：...........................n x y y y z x y yD z z x y z z z x=解：把n D 看作是x 的函数（即x 的n 次多项式），记作()n D x ，按Taylor 公式在z 处展开：()2'()''()()()()()()...1!2!!n n n n n n D z D z D z D x D z x z x z n =+-+-++，则 ......()=.....................n zy y y z z y yD z z z z y z z z z将()n D z 第一列减去第二列，第二列减去第三列，……，第n-1列减去第n 列，则有0..,00...0()...............00 0...0n z yy z y y D z z y y z--=- 故有1()()k k D z z z y -=-，1,2,...,k n = （*）将()n D z 对x 求导，结果是n 个行列式之和，而每个行列式是由()n D x 对每一行求导而其余各行不变得到的．例如，对第一行求导得到100...0........................z x y yz z x y z z z x将上述行列式按第一行展开，得到1()n D x -．类似地，对任意的第k 行求导，同样得到1()n D x -．因此1'()()n n D x nD x -=．类似地有12'()(1)()n n D x n D x --=-，……，21'()2()D x D x =，1'()1D x =（由于1()D x x =）取x z =处地导数，由（*）得1'()()n n D z nz z y -=-，2''()(1)()n n D z n n z z y -=--，……，(1)()(1)...2n nD z n n z -=-，()()(1)...1!n n D z n n n =-=代入Taylor 展开式，得12!()()()()...()1!!n n n n n n D x z z y z z y x z x z n --=-+--++- 当y z =时，上式简化为1()0...0()()n n n D x ny x y x y -=+++-+-1()[(1)]n x y x n y -=-+-当y z ≠时，上式简化为1()[()()()...()]()1!n n n n n z n y D x z y z y x z x z x z z y z y-=-+--++----- [()()]()n n z y z y x z x z z y z y=-+----- ()()n n z x y y x z z y---=-总结行列式问题变化多端，但方法和范式只有若干种．对于正常难度的问题，首先运用初等变换的方式看能否容易地变成各种已知解法的“范式”；若不易求出，则应对低阶情况下的行列式进行试验，尝试找出规律，再用数学归纳法证明，或利用初等变换、多项式法等，向结论“靠拢”．。
(完整版)高中数学解三角形最值
三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换,边角转化，正弦余弦定理等知识点,是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题,其中，三角形中的最值问题又是一个重点.其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决.类型一：建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b)sinC 。
（1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.变式1:已知向量(,)m a c b =+,(,)n a c b a =--,且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边。
(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值。
解：由m n ⋅=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC所以cosC=21,从而C=60故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时,sin sin A B +的最大值是3变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。
解：根据题意得：2R(224R a —224R c ）=（2a —b)*R b2化简可得 c 2=a 2+b 2—2ab ， 由余弦定理可得： C=45 , A+B=135 S=21absinC=212RsinA ＊2RsinB*sinC =2sinAsin(135 —A) =22R (2sin （2A+45 )+1 ∵0<A<135 ∴45 <2A+45 <315∴ 当2A+45 ＝90 即A=15 时，S 取得最大值2212R ＋。
行列式的计算
行列式的计算LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解． 例1 计算行列式这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)4321(=τ，这一项前面的符号应该是正的． 所以原式=244321004003002001000=⋅⋅⋅= 3.化为三角形计算法例2 计算行列式 解：这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用． 各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式解：当3≥n 时，各列减去第一列 得：之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当2=n 时，这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．各行(或列)加到同一行(或列)上去适用于各列(行)诸元素之和相等的情况. 例4 计算行列式解：把所有各列都加到第一列上去， 得：逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。
行列式的计算方法及应用
本科生毕业论文题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102作者姓名: 李延雪学号: 2007200676单位: 2007 级 1 班指导教师: 孙守斌2011年5 月20 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录前言 (1)1.行列式的定义及其表示 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.2 行列式的表示 (3)2.行列式的性质 (4)3.行列式的计算方法 (6)3.1加边法 (6)3.2利用已知公式 (7)3.3数学归纳法 (10)3.4递推法 (11)3.5构造法 (12)3.6拆项法 (13)4.行列式的应用 (13)4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13)4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15)4.3行列式在多项式理论中的应用 (15)4.4 行列式在解析几何中的应用 (16)结语 (17)参考文献 (18)致谢 (19)摘要行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用.关键词：行列式；计算方法；行列式的应用AbstractDeterminant calculation is an important tool in Higher algebra. Studying the definition and properties of the determinant and summarizing several methods which can solve the determinant calculation，such as add edge method，method of construction, triangle recursive method, demolition of method, mathematical induction etc. At the same time two linear determinant, "cross-strait" determinants, the upper (lower) triangular determinant, two line fork determinants and arrow type determinant of several kinds of special formula of calculating the determinant were summarized. Using determinant proof differential mid-value theorem.And through some specific examples in inverse matrix introduce determinant in solving inverse matrix，geometry equation calculation ,graphics area volume and many other aspects of actual applications.Keywords: Determinant; Calculation method; Determinant application行列式的计算方法前 言行列式不仅是研究高等代数的一个重要工具,它也是线性代数理论中极其重要的组成部分.在高等代数中,行列式的求解是非常重要的,但是直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显.根据这一情况,对行列式计算的常见方法进行了总结.计算行列式的常见方法有化三角形法,拆分法,降阶法,升阶法,待定系数法、数学归纳法,乘积法和加边法等.另外对行列式中存在的二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式等特殊构造的行列式的公式进行了归纳.行列式的产生和最早的应用都是在解线性方程组中,现在的应用范围已拓展得较为广泛,成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具.对这些应用技巧进行探讨归纳,不仅有课程建设的现实意义,而且有深刻的理论意义.通过介绍一些具体的实例,说明行列式在证明明微分中值定理、求逆矩阵及矩阵特征值、求解线性方程组、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面中的实际应用.1.行列式的定义及其表示1.1行列式的定义]1[行列式有各种各样的定义方法,本文以排列为工具来定义行列式.先来考察二、三阶行列式的共同规律,然后利用这些规律去定义n 阶行列式.二阶行列式为22211211a a a a 21122211a a a a -= . 于是二阶行列式可以简写成∑-=2121,2,1)(22211211)1(j j j j t a a a a a a .其中 ∑21j j 表示所有二元排列求和.我们约定,在一个行列式中,横排叫做行,纵排叫做列,行列式中的数ij a 叫做行列式的元素,其中i 表示ij a 所在的行,叫做行标；j 表示ij a 所在的列,叫做列标.从二阶行列式中可以得到以下规律： （1） 它是2！=2项的代数和；（2） 每一项都是两个元素相乘,且这两个元素既位于不同的行又位于不同 的列；（3） 每一项的两个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部 二元排列为12和21,前一个为偶排列,与其对应的项2211a a 取正号；后一个为奇排列,与其对应的项2112a a 取负号. 下面看三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=.类似于二阶行列式,可以得到以下规律：（1）它是3！=6项的代数和；（2）每一项都是三个元素相乘,且这三个元素既位于不同的行又位于不同的列；（3）每一项的三个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部三元排列为：123,231,312,321,213,132.前三个为偶排列,与其对应的项取正号,后三个为及排列,与其对应的项均取负号. 总之,三阶行列式可以写成∑-=321321321,3,2,1)(333231232221131211)1(j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a .以上是二、三阶行列式的共同构造规律,它也是一般n 阶行列式的本质所在.定义1.1 称nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=为一个n 阶行列式,它表示： （1）!n 项的代数和；（2）每一项是n 个元素相乘,且这n 个元素既位于D 中不同的行,又位于不同的列；（3）每一项的n 个元素行标按自然顺序排列后,其列排列为偶排列时该项取正号,为奇排列时该项取负号.这一定义可以简单的表示成∑-=nn j j j j n j j tnnn n nna a aa a a a a a a a a 2121,,2,1212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 阶行列求和.1.2行列式的表示.矩阵A 的行列式记作A .绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆.不过矩阵范数通常以双垂直线来表示,且可以使用下标.此外,矩阵的绝对值是没有定义的.因此,行列式经常使用垂直线记法（例如:克莱姆法则和子式）.例如,一个矩阵：khgf e dc b a A =矩阵行列式)det(A 也写作A 或明确的写作:khgf e dc b a A = 行列式即矩阵的方括号以细长的垂直线取代.n 阶行列式的表示：n j n j j t nnn na a a a a a a ,,2,1111121)1(-= , 其中)(21n j j j t 为n j j j 21的逆序数.2.行列式的性质为了有效地进行行列式的计算,有必要研究其性质,并由此得到实际可行的计算方法．性质2.1 设A 是n 阶矩阵,则A A T det det =,其中T A 是A 的转置矩阵. 今后称行列式T A det 为A det 的转置行列式,性质1说明行列式与它的转置行列式相等,具体地写出来,即nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212221212111212222111211=．根据性质1,对于行列式中有关行的性质完全适用于列．性质2.2 交换行列式中任意两行(列),其值变号． 例如二阶行列式22211211a a a a 中,若交换其第1行与第二行,则得222112112211122112112221a a a a a a a a a a a a -=-= ．推论2.1 若行列式有两行(列)的对应元素相同,则该行列式等于零. 证明 设行列式A det 中第i 行与第k 行)(k i ≠的对应元素相同,现交换这两行得一新行列式,记作D , 根据性质2,A D det -=,但因这两行对应元素相同,交换后所得行列式与原行列式又相同,即A D det =．于是D D =-,故0=D ．性质2.3 用常数c 乘以行列式中某行（列）的每个元素所得到的行列式,等于用c 乘以该行列式．nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=.证明 设行列式是nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=.若用c 乘以D 的第1行,则成为行列式nnn n n n a a a a a a ca ca ca D2122221112111=.现按D 1的第一行展开得∑∑=====nj nj j j j j cD A a c A ca D 1111111,其中D 与1D 中第一行各元素的代数余子式是相同的.现设用c 乘以D 的第i 行,1>i .我们记交换D 的第1行与第i 行所得的行列式为D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D nn n n n i i i nni i i nn i i i -==+++---,2,1,,12,11,1,12,11,1,12,11,1,22,21,2,2,1,2.现用c 乘以D 的第i 行,即得行列式nnn n nnin i i nnn n n n in i i nnn n ini i n n a a a a a a a a a a a a ca a a a a a a a a ca ca ca a a a ca ca ca a a a a a a211121122221212111211222212121212222111211-==cD D c cD =--=-=)(2.推论2.2 若行列式中有一行（列）的所有元素全是零,则该行列式等于零． 证明 在性质3中取0≠c 即可．推论2.3 若行列式某行（列）所有元素含有公因数c ,则可将该公因数c 提到行列式外面．此推论实际上就是性质3．推论2.4 若行列式有两行（列）的对应元素成比例,则该行列式等于零． 证明 只要把比例系数作为公因数提到行列式外面,就得到一个两行相同的行列式,所以行列式为零．3.行列式的计算方法在行列式的计算问题中,对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算. 对于一般的行列式,我们主要有下面两种计算思想：1) 利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.2) 利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.3.1 加边法利用行列式按行(列)展开的性质,把n 阶行列式通过加行(列)变成与之相等的1+n 阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算．添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在：(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列．当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置．例3.1.1 计算n 阶行列式n ns n s n n n ns s ns s x x x x x x x x x x x x x x x1122121222211111211111+-+-+-的值.解 按第1+n 行展开得到的是关于z 的多项式,而所求行列式的值是上述加边行列式展开式的s z 项的系数乘以11)1(+++-s n .注意 能够利用加边法的题目往往具有如下两种特征之一：（1）各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把一行(列)的适当的倍数加到其它行(列)的时候不容易变成三角形行列式,或者说出现的零的个数还不够多；（2）添加一行(列)后能够跟范德蒙行列式联系起来. 3.2 利用已知公式3.2.1 定义二条线性行列式的计算定义 3.2.1 nn n a b a b a b a D 1122111--=的行列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出∏∏∏∏=-==-=--+-+-+-=-+=ni n i ni n i i n n in n i n i b c aD b c a D 1111112)2)(1(232211))1()1(()1(2.例 3.2.1 计算行列式01020101nn D -=和nn D 0102012-=的值.解 观察行列式01020101nn D -=和nn D 0102012-=可知它是二线型行列式,且由定义知其中),,2,1(n i a i =全为0.故代入公式可得出∏∏=-=++-=-+=ni n i n i n i n b c a D 111111!)1()1(.∏∏=-=----+--=-+-=ni n i n n i n n in n n b c aD 1112)2)(1(2)2)(1(2322!)1()1()1(2.类似的二条线型行列式还有=A ,=B ,=C 和=D （其中定义中给出的二线型行列式为1D =,2D =,在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）,它们均可以按定义中的方法进行计算展开进行降阶,再利用三角或次三角型行列式总结出相应的计算公式. 3.2.2 “两岸”行列式的计算方法定义3.2.2 形如ax aaaa a a a x a a aaax D n ---= )(21nn a aaa a a aa a a a a a D =的行列式称为“两岸”行列式,其计算可化成箭型行列式,且值等于).)1(()]()1([111∏∑==---+=--+=ni i ni i n n n a a a a aD a x a n x D 或注 对于各行各列元素之和相等的行列式.可将第1,3,2-n 列(行)都加到第1列（行）（或第1,3,2-n 列（行）加到第n 列（行））,则第1（或n ）列(行)的元素相等,再进一步化为三角或次三角型行列式.3.2.3 上三角形（或下三角形）行列式的计算定义3.2.3 形如nnn n n a a a a a a D 00022211211=)000(21222111nnn n n a a a a a a D=或的行列式称为上三角形（或下三角形）行列式,其值为nn n a a a a D 332211=.3.2.4 二条线叉型行列式的计算定义3.2.4 形如nnn n n n nnn n d c d c d c b a b a b a D 1111111122----⨯=的行列式为二条线叉型行列式.例 3.2.2 计算二线型行列式dd c d c d c b a b a b a D nnn n n n nnn n 1111111122----⨯=的值.解 可将此行列式按照第一行展开,则0)1(00011111111121111111122----+----⨯--=n n n n nn nn n n n nn n d c d c b a b a b c d d c d c b a b a a D然后将此两个行列式分别按最后一行和第一行展开,则 )1(2)1(2122=--⨯-=n n n n n n n n D b c D d a D∏==----=---=ni i i i i n n n n n n n n b c d a d c b a b c d a b c d a 111111111)()())(( .3.2.5箭型行列式的计算 定义 3.2.5 形如,,,的行列式称为箭型（或爪型）行列式,可直接利用行列式性质将其一条边化为零,从而可根据三角形或次三角形的结果求（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）.例 3.2.3 计算行列式100101012001111n n D n n -=⨯的值.解 可给该行列式第)1,,2,1(-n i 行分别乘以i1-加到第n 行则知原行列式 )1211(!)1(2)1(nn D n n n n ----=-⨯ . 3.3 数学归纳法数学归纳法多用于证明明题．用数学归纳法计算n 阶行列式,依据行列式元素间规律来计算,此类型的题变化较多,相应的方法也较多.例3.3.1 计算1+n D 的值,其中nn a a a a D 0010*******12101=+ 解 当0=n 时,01a D =；当1=n 时,)(11011102---==a a a a a D ；当2=n 时,)]([2211021212103--+-=--=a a a a a a a a a a D ； 假设当k n =时,)]([112110211---++++-=k k k a a a a a a a D .那么当1+=k n 时,将2+k D 按最后一行展开得11213200000001111)1(+++++-=k k k k k D a a a a D 112130000000001000)1(++++-=k k k k D a a a a , 所以11212++++=k k k k D a a a a D)]}([1{112110121---++++-+-=k k k a a a a a a a a )]([1112110121-+--++++-=k k k a a a a a a a a .综上可得)]([12110211---++++-=n n n a a a a a a a D . 3.4 递推法利用行列式的性质,把某一行列式表示成具有较低阶相同结构行列式的关系式（称为递推关系式）,根据所得递推关系式及低阶某行列式的值便可递推得到所需要的结果（有时用数学归纳法证明明其正确性）,这种计算行列式值得方法叫做递推法.（1）若,1-=n n pD D 则11D p D n n -=.（2）若,0,2,21≠>+=--q n qD pD D n n n 我们可以设α、β是02=--q px x 的根,则p =+βα,q =-αβ.于是有)(211----=-n n n n D D D D βαβ （1）)(211----=-n n n n D D D D αβα （2） 若βα≠,则βααββα----=--)()(121121D D D D D n n n .注意 由（1）和（2）得：)(1221D D D D n n n βαβ-=---, )(1221D D D D n n n αβα-=---.若βα=,则（1）与（2）变为)(211----=-n n n n D D D D ααα,即 )(1221D D D D n n n ααα-=---, 于是 )(12321D D D D n n n ααα-=----,)(212222D D D D n n n ααα-+=--依次做下去得： 11D D n n -=α.3.5 构造法通过构造新的行列式计算原行列式. 例 3.5.1 计算循环行列式1121121111---=n n n n nn x x x x x x D.解 设 1121121111---=n nn n nx x x x x x V,令 121)(-+++=n n x a x a a x f ,则)()()()()()()()()(1212111221121n n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f x f V D ---=V x f ni i ∏==1)(,因为0≠V ,故∏==ni i n x f D 1)(.3.6 拆项法这是计算行列式常用的方法.一般地,当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式,就可以考虑用拆为和的方法来进行计算.例3.6.1 以),(),,(),,(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------为顶点的三角形面积为D s =其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= ()()()()()()11111111121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x .解 第一行为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D 23222132123132332111121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x x x x +-------= )]1)(1)(1()[)()((21321321121323-------=x x x x x x x x x x x x . 四 、行列式的应用4.1 行列式在证明明微分中值定理中的应用 4.1.1 拉格朗日中值定理 设函数f 满足条件： （1）f 在闭区间],[b a 连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=)()()('ξ.证明 我们可以构造行列式辅助型函数来证明明定理.设1)(1)(1)()(x f xb f ba f ax =φ因)(a f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,所以)(X φ在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且0)()(==b a φφ,故由罗尔定理知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得())(10)()(1)('11)(1)()('x f a f b f ab a f a f b f ba f a --==ξξφ 所以ab a f b f f --=)()()('ξ4.1.2柯西中值定理（1）函数f 与g 都在闭区间],[b a 连续； （2）f 与g 都在开区间),(b a 内可导； （3）'f 与'g 则在),(b a 内不同时为零；（4）)()(b g a g ≠,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得)()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ.证明 设1)()(1)()(1)()()('b f b g a f a g x f x g x =φ由于)(x φ是)(),(x g x f 的多项式函数,从而在上],[b a 上连续,在),(b a 内可导,利用行列式性质易见),()(b a φφ=故由罗尔定理知,至少存在一点),(b a ∈ξ,使得1)()(1)()(1)(')(')(',0)('b f b g a f a g x f x g x ==φξφ 由此可得)()()(')(')(')('b g a g a f b f g f --=ξξ. 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用设)()(F M a A n m ij ∈=,A 则是非奇异矩阵的充分且必要条件是0≠A ,且当0≠A 时,A 的逆矩阵*11A AA =-其中*A 是A 的伴随矩阵. 例4.2.1 设)()(R M a A n n n ij ∈=⨯是正交矩阵,则⎩⎨⎧=-=-==.,,2,1,,1||,;1||,n j i A A A A a ij ijij 若若证明 由A 正交知道|A|= ±1.于是A '=A -1=|A|-1(adjA)．故由(2)易见ij a 与ijA 有上述关系．4.3行列式在多项式理论中的应用例4.3.1 证明明一个n 次多项式至多有n 个互异根.证明 设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有1+n 个互异的零点121,,,+n x x x 则有11,0)(2210+≤≤=++++=n i x a x a x a a x f n i n i i i .即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00122111022222201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a 这个关于n a a a ,,,10 的齐次线性方程组的系数行列式0)(1111112122221211≠-=∏+≤≤≤++n i j j in n n nn nx xx x x x x x x x x因此0210=====n a a a a 这个矛盾表明至多有n 个互异根.例 4.3.2 设)(,),(),(121x f x f x f n - 是1-n 个复系数多项式,满足)()()(/112211n n n n n n x f x x xf x f x x ---++++++ .证明：0)1()1()1(121====-n f f f .证明 设)1)(()()()(11221---+++=+++n n n n n n x x x p x f x x xf x f 取ni n w ππ2sin 2cos+=分别12,,,-=n w w w x 代入,可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++--------.0)1()1()1(,0)1()1()1(,0)1()1()1(1)2)(1(2111)2(22211221n n n n n n n n f w f w f f wf w f f w wf f由此得到这个行列式关于)1(,),1(),1(121-n f f f 的齐次线性方程组的系数行列式0111)2)(1(1)2(222≠-----n n n n n w w w w w w.因此0)1()1()1(121====-n f f f .4.4 行列式在解析几何中的应用 4.4.1 在向量积、混合积中的应用 设{}k j i O ,,;为右手直角坐标系,k c j c i c k b j b i b k a j a i a 321321321,,++=++=++=γβα因为 j k i i j k k i j j i k i k j k j i -=⨯-=⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯,,,,,所以 321321212131313232b b b a a a k j i k b b a aj b b a a i b b a a =+-=⨯βα()321321321321212313113232c c c b b b a a a c b b a a c b b a a c b b a a =+-=⋅⨯γβα 4.4.2 在面积、体积中的应用以k j b i b k j a i a 0,02121++=++=ηξ为邻边的平行四边形的面积为2121b b a a =⨯ηξ. 以k c j c i c k b j b i b k a j a i a 321321321,,++=++=++=γβα为相邻棱的平行六面体的体积为()321321321c c c b b b a a a =⋅⨯γβα. 4.4.3 在求解几何图形方程中的应用1)过不同两点()()222111,,,y x M y x M 的平面直线L 的方程为01112211=y x y x yx. 2)过不共线三点()()()333322221111,,,,,,,,z y x P z y x P z y x P 的平面π的方程为01111333222111=z y x z y x z y x z y x .行列式的应用是十分广泛的,本文只列举了行列式在数学中几个方面的应用,随着行列式理论的不断发展与完善,它必将应用到更加广泛的领域中.结语通过对行列式的计算方法的研究发现,不同的题目可能用到不同的计算方法,至于采用哪种方法进行计算要视具体的题目而定.每一种方法都各具特色,每一种方法都是从根本上解决行列式计算难的问题,简化了计算过程,避免了许多错误的出现.同样的题目有时也可以用不同的方法来计算,只要我们多观察行列式的特点就能找到适合的方法．特别需要注意的是有的行列式的计算不是单纯的一种方法就能够完成,有时需要用到两种或两种以上的方法.在对行列式定义及其方法了解透彻的基础上,可以将行列式灵活的运用在解决其它问题上.参考文献[1] 王文省,赵建立,于增海,王廷明.高等代数.山东大学出版社,2004.5.[2] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002．[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2003.[4] 赵树原.线性代数(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,1998.[5] 金圣才.线性代数（理工类）考研真题与典型题详解[M].北京：中国石化出版社，2005：116-122.[6] 北京大学.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1998.[7] 徐仲.线性代数典型题解集(第二版)[M].西安:西北工业大学出版社,2000．[8] 黎伯堂,刘桂良.高等代数解题技巧与方法.山东科学技术出版社,2002.[9] 同济大学数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007.[10] 王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业出版社,2003．[11] 卢潮辉.从一题多解看行列式的计算[M].牡丹江教育学院学报,2010年第1期.[12] 钱吉林.线性代数概论[M].武汉:华中师范大学出版社,2000.[13] 彭玉芳,尹福源.线性代数.北京:高等教育出版社.[14] 张秦龄,王凤瑞,王廷桢.高等代数思考与训练[M].成都科技大学出版社,1991.[15] 赵培标.中值定理矢量形式及其推广[J].数学通报,1997,(11):31-32.致谢在孙守斌老师的精心指导和大力支持下,我顺利完成了毕业论文写作. 几个月来,孙老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向孙老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.孙老师以其严谨求实的治学态度,高度的敬业精神,兢兢业业,孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响.他渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.同时,在此次毕业论文写作过程中我也学到了许多了关于行列式的相关知识,在分析问题并解决问题上有了很大的提高.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!。
行列式的计算方法
行列式的计算方法摘 要：行列式的求解是高等数学中一个非常重要的内容，通常是用行列式的性质和相关定理求解。
通过对课本知识的理解,加上参考网上与课外书有关资料，找出十种行列式的计算方法,整理如下：1． 定义法例 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n na aa a n---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
解三角形中的最值与范围问题(解析版)
专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设220CDBD m ==>， 则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。
微专题三角函数与解三角形中最值问题
【分析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【解析】∵直线 是曲线 的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线 为 .曲线 的一个对称中心为 . .
，注意到 ，故 的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像.则 在区间 上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以 ，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知 ，
，又 ，故 ，
，所以 的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，且 ，则 的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ， ．
5．（2020北京高三）将函数 图像上的点 向左平移 ( )个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图像上，则
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以 ，
又 在函数 的图象上，所以 ，则 或 ， ，得 或 ， ．又 ，故 的最小值为 ，故选A．
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用论行列式的计算方法及在生活中的实际应用10数字印刷一班孙晓康100220211行列式就是线性代数中的一个基本工具。
无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有著轻易或间接的联系。
行列式的排序具备一定的规律性和技巧性。
针对各种行列式的结构特点概括了行列式排序的常用计算方法，并以实例予以表明。
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于于排序低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即为主对角线的元素的乘积乘以辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想就是根据2阶，3阶行列式的定义排序行列式的值。
2.化成三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值3.分拆法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。
4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)(1)关系式降阶法：关系式法可以分成轻易关系式和间接关系式。
用轻易关系式法排序行列式的关键就是找到一个关于的代数式去则表示，依次从逐级关系式便可以算出的值；间接关系式的作法就是，转换原行列式以结构出来关于和的方程组，解出就可以Champsaur。
(2)依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。
如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
5.升阶法在排序行列式时.我们往往先利用行列式的性质转换取值的行列式，再利用进行定理使之降阶，从而并使问题获得精简。
微专题31 三角函数的最值问题求解策略(解析版)
微专题31 三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+ 题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅ 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+例1．（2022秋•景洪市校级期中）求函数sin 3y x x =+的周期，最大值和最小值． 【解析】解：化简可得sin 3y x x =+ 132(sin )2x x =+2(cos sin sin cos )33x x ππ=+ 2sin()3x π=+ ∴原函数的周期为2T π=，最大值为2，最小值为2-例2．（2022秋•镇江期末）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）()2sin (sin 3)1f x x x x =-22sin 23sin cos 1x x x =+- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-，22T ππ∴==， 令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈． ∴函数的增区间为：[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，5]6π；∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-，当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．例3．（2022•浙江模拟）已知函数()(3cos )cos f x x x x m =++的最大值为2． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求[()1][()1]12y f x f x π=-+-的最值以及取得最值时x 的集合．【解析】解：（Ⅰ）2()(3cos )cos 3cos cos f x x x x m x x x m =++=++31cos212sin(2)262x x m x m π+=++=+++的最大值为2， 1122m ∴++=，可得12m =， ()sin(2)16f x x π∴=++，3()sin(2)1sin 11121263f ππππ∴=⨯++=+=+．（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，3113[()1][()1]sin(2)sin(2)(2cos2)(sin 22)126322y f x f x x x x x x x πππ=-+-=++=+ 22333122sin 2cos2sin 42x x x x x =+=， 当8x π=时，即{|}8x x x π∈=时，32max y += 当38x π=时，即3{|}8x x x π∈=时，32min y -=．变式1．（2022秋•六枝特区校级月考）已知函数11()sin 322f x x x =．（1）求()f x 的最小正周期和对称轴； （2）当[6x π∈，9)4π时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】解：（1）函数111()sin 3cos 2sin()2223f x x x x π==-；故函数的最小正周期为2412ππ=， 令1232x k πππ-=+，()k Z ∈，整理得523x k ππ=+，()k Z ∈． 故函数的对称轴方程为523x k ππ=+，()k Z ∈． （2）由于[6x π∈，9)4π时， 所以119[,)23424x πππ-∈-，故12sin()[23x π-∈．当6x π=时，函数取得最小值为2，当56x π=时，函数取得最大值为1． 变式2．已知函数cos 4()22)4x f x x π=++，求： （1）函数的周期；（2）当x 为何值时函数()f x 取得最大值？最大值为多少？ 【解析】解：（1）cos 4()22)4x f x x π=++2222(cos2sin 2)22x x =-sin2cos22x x =++2)24x π=++，故22T ππ==；（2）令22()42x k k z πππ+=+∈，解得：8x k ππ=+，故()8x k k z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++例4．（2022秋•梅州期末）函数2cos sin y x x =-+的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，5]4【解析】解：2cos sin y x x =-+， 2sin sin 1x x =+-， 215(sin )24x =+-，当12sinx =-时，54min y =-．当sin 1x =时95.144max y =-=， 故函数的值域为：5[,1]4-．故选：C ．例5．（2022春•衡水期中）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，54【解析】解：2sin sin 1y x x =+-，令sin x t =，则有21y t t =+-，[1t ∈-，1]， 函数的对称轴：12t =-，开口向上，当12t =-及1t =时，函数取最值，代入21y t t =+-可得5[4y ∈-，1]．故选：C ．例6．（2022•湖南一模）函数11cos2sin 22y x x =-+-的值域为( )A ．[1-，1]B ．5[4-，1]C ．5[4-，1]-D ．[1-，5]4【解析】解：函数222111115cos2sin (12sin )sin sin sin 1(sin )222224y x x x x x x x =-+-=--+-=+-=+-1sin 1x -，∴当1sin 2x =-时，函数y 有最小值为54-．sin 1x =时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为5[4-，1]，故选：B ．变式3．（2022秋•天河区校级月考）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：2()cos26cos()2sin 6sin 12f x x x x x π=+-=-++，令sin t x =，[1t ∈-，1]，则函数()f x 可转化为关于t 的二次函数2261y t t =-++，[1t ∈-，1]， 图象开口向下，对称轴为32t =， 所以函数2261y t t =-++在[1-，1]上单调递增， 所以当1t =时，函数取得最大值为5， 故选：B ．变式4．（2022•浙江）已知4k <-，则函数cos2(cos 1)y x k x =+-的最小值是( ) A ．1 B ．1-C ．21k +D ．21k -+【解析】解：2cos2(cos 1)2cos cos 1y x k x x k x k =+-=+--令cos t x =，则221(11)y t kt k t =+---是开口向上的二次函数，对称轴为14kx =-> 当1t =是原函数取到最小值1 故选：A ．变式5．（2022秋•崇川区校级期中）已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在[0,]2x π∈时有最大值为72，则实数m 的值为 1 ．【解析】解：函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++21(12sin cos )cos42m x x x =++221(12sin 2sin 2)(12sin 2)2m x x x =+++-21(1)sin 22sin 22m x m x m =-+++． ①当1m =时，函数化为：12sin 212x ++．当sin21x =时，函数取得最大值，172122++=．满足题意． ②当1m >时，函数化为：21(1)(sin 2)121m mm x m m -++---，当sin21x =时，函数取得最大值，可得171222m m m -+++=，解得1m =，不满足题意． ③当12m时，[1,1]1m m ∈--，当sin 21m x m =--时，函数取得最大值，此时17212m m -=-，解得34m =，不满足题意． ④当112m <<时，sin21x =时函数取得最大值，此时有171222m m m -+++=，解得1m =不满足题意．综上，1m =． 故答案为：1．变式6．已知函数444()2(sin cos )(sin cos )f x x x m x x =+++在[0x ∈，)2π上的最大值为5，求实数m 的值．【解析】解：设sin a x =，cos b x =，且[0x ∈，)2π，则2222sin cos 1a b x x +=+=，1sin cos sin 22ab x x x ==，102ab∴； 444()2()()f x a b m a b ∴=+++222222222[()2](2)a b a b m a b ab =+-+++2224()(12)ab m ab =-++ 2224()[144()]ab m ab ab =-+++ 24(1)()42m ab mab m =-+++，当1m =时，()432sin 23f x ab x =+=+，在4x π=时取到最大值5，符合题意；当1m ≠时，21()4(1)[]12(1)1m f x m ab m m =-++---， 由抛物线性质，知：当1m >时，111()()4(1)42415242max f x f m m m m ==-⨯+⨯++=+=，解得1m =，不符条件，舍去； 当1m <时，若102(1)2mm -，则102m ， 1()[]152(1)1max m f x f m m ==-=--，解得34m =，不符条件，舍去；若112m <<，则1()()4152max f x f m ==+=，解得1m =，不符条件，舍去；若0m <，则()(0)25max f x f m ==+=，解得3m =，不符条件，舍去；综上，只有一个解1m =；即()f x 在[0x ∈，)2π上的最大值为5时，1m =．题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅例7．（2022春•习水县校级期末）函数sin cos sin cos y x x x x =++，[0x ∈，]3π的最大值是 122．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，[0x ∈，]3π，可得[44x ππ+∈，7]12π，1sin()[42x π∴+∈，1]，2[2t ∴∈2]，21sin cos 2t x x -=． ∴函数2211sin cos sin cos (1)122t y x x x x t t -=++=+=+-，故当2t =y 取得最大值为122，故答案为：122．例8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，则22t-，则21sin cos 2t x x -=，故22111(1)1(22)222y t t t t=+-=+--，对称轴是1t =-，故当2t =y 有最大值122．例9．（2022春•香洲区校级期中）已知sin cos x x t -= （Ⅰ）用t 表示33sin cos x x -的值；（Ⅱ）求函数sin cos sin cos y x x x x =-+，[0x ∈，]π的最大值和最小值．（参考公式：3322()())a b a b a ab b -=-++【解析】解：由sin cos x x t -=，得212sin cos x x t -=，即21sin cos 2t x x -=，（Ⅰ）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22t t t x x x x x x t ---=-+=+=； （Ⅱ）由题设知：2)4t x π=-，3444x πππ--，2sin()14x π-， 2221111(1)12222t y t t t t -∴=+=-++=--+，且[1t ∈-，2]，∴当1t =时，1max y =；当1t =-时，1min y =-．变式7．已知[6x π∈-，]2π，求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的最大值和最小值．【解析】解：函数(sin 1)(cos 1)y x x =++ sin cos sin cos 1x x x x =+++，令sin cos 2)4t x x x π=++，[6x π∈-，]2π，[412x ππ∴+∈，3]4π，62sin()[4x π-∴+∈1]， 31[t -∴∈2]， 又212sin cos t x x =+，21sin cos 2t x x -∴=， 22111(1)22t y t t -∴=++=+，对称轴：1t =-， 区间31[-，2]在对称轴的右边，为递增区间． 213123(2min y ++∴==， 21322(21)22max y +==． 变式8．设sin cos a x x =，sin cos b x x =+．（1）求a ，b 的关系式；（2）若(0,)2x π∈，求sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：（1）sin cos b x x =+，22(sin cos )12sin cos 12b x x x x a ∴=+=+=+；（2）由（1）21(1)2a b =-，2)(14b x π=+∈2]．2211(1)(1)122y a b b b b =+=-+=+-，2b ∴=sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为122． 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+例10．求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．【解析】解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++． 当sin 1x =时，43max y =， 当sin 1x =-时，2min y =-．∴函数的值域为4[2,]3-．例11．已知[0x ∈，2)π，求函数1cos sin 2xy x -=+的值域．【解析】解：1cos sin 2xy x -=+sin 21cos y x y x ∴+=-， sin cos 12y x x y ∴+=-，∴21)12y x y θ++=-，其中2tan 1yθ=+2sin()1x yθ∴++，[0x ∈，2)π， (,2)x θθπθ∴+∈+ 1sin()1x θ∴-+， 212111y y-∴-+，解得403y即函数的值域为[0，4]3．例12．求函数sin 2sin 1x y x =+，[6x π∈，]2π的值域．【解析】解：函数11sin sin 11222sin 12sin 124sin 2x x y x x x +-===-+++，[6x π∈，]2π 可得4sin 2[4x +∈，6]，111[,]4sin 264x ∈+，sin 11[,]2sin 143x y x =∈+．变式9．用至少2种方法求函数sin cos 2xy x =-的值域．【解析】解：方法1: cos 20x -≠，(cos 2)sin y x x ∴-= sin cos 2x y x y ⇔-=- ⇔21)2y x y θ++=-⇔2sin()1x y θ+=+，sin()[1x θ+∈-，1]，∴22111y y --+，解得333y ， ∴函数的值域为：33[． 方法22222tan212tan222:11322212x x x tan y x x tan tan xtan +==--+-+，令tan ()2x t t R =∈，则2213ty t =-+， 当0t =时，0y =， 当0t ≠时，213y t t=-+，13(,23][23,)t t+∈-∞-+∞，33[y ∈⋃． ∴函数的值域为：33[． 故答案为：33[．变式10．（1）求cos 2cos 1xy x =+值域（2）求1sin 3cos xy x+=+的值域．【解析】解：（1）由cos 2cos 1xy x =+可得，cos 12y x y =-，由于1cos 1x -，即为||112yy-， 即2(1)(31)0(12)y y y ---，解得1y 或13y， 则值域为(-∞，1][13，)+∞；（2）1sin 3cos xy x+=+，3cos 1sin y y x x ∴+=+，即sin cos 31x y x y -=-，∴21)31y x y θ++=-，2sin()1x yθ∴++，又1sin()1x θ-+， 231111y y-∴-+，解得304y ， 即函数1sin 3cos x y x +=+的值域是[0，3]4．【过关测试】 一．选择题1．（2022秋•湖州期末）函数sin (cos sin )y x x x =-，x R ∈的值域是( ) A ．1[2-，3]2B ．1212[22C ．31[,]22-D ．1212[22-- 【解析】解：函数211121sin (cos sin )sin cos sin sin 2cos2)22242y x x x x x x x x x π=-=-=-+=+-．1sin(2)14x π-+∴2121222y --． 故选：D ．2．函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为( )A ．[1-，1]B ．[2-，2]C ．1[2-，1]2D ．(1,1)-【解析】解：函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为[1-，1]，故选：A ．3．（2022春•渝中区校级期中）函数2sin sin 1()y x x x R =-+∈的值域是( ) A ．3[4，3]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．1[2，3]【解析】解：令sin x t =，则22131()24y t t t =-+=-+，[1t ∈-，1]，由二次函数性质，当12t =时，y 取得最小值34．当1t =-时，y 取得最大值3，3[4y ∴∈，3]故选：A ．4．（2022秋•武冈市校级期中）函数23()sin 3cos ,([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是( )A ．1B 334C ．334- D ．14【解析】解：2231()3cos 3cos 44f x sin x x cos x x =-=-+， 令cos t x =，[0x ∈，]2π，cos [0t x ∴=∈，1]，则原函数化为2134y t t =-+，其对称轴方程为3t =， ∴当3t =时，y 有最大值为1． 故选：A ．5．（2022秋•鄂尔多斯期中）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos (θ= )A 25B 5C ．25D ．5 【解析】解：由题意可得()sin 2cos 5()555f θθθθθ=-=∴155θθ=．再结合22sin cos 1θθ+=， 求得sin 5θ=25cos 5θ== 故选：C ．6．（2022秋•贵阳期末）当02x π<<时，函数2228()sin 2cos x sin xf x x +=的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43【解析】解：当02x π<<时，tan 0x >，∴函数2222282cos 8sin 11()4tan 24tan 4sin 22sin cos tan tan cos x sin x x x f x x x x x x x x++===+⨯，当且仅当1tan 2x =时，取等号， 故()f x 的最小值为4， 故选：C ．7．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解析】解：24()sin 24sin 2sin 2sin x f x x x x ==++-++，令sin 2t x =+，[1t ∈，3]，则44y t t=+-， 由对勾函数的性质可知44y t t =+-在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增， 当1t =时，1y =，3t =时，13y =， 所以函数()f x 的最大值为1． 故选：D ．8．（2022秋•诸暨市校级月考）已知当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，则3()4f x π+是()A ．奇函数，在0x =时取到最小值B ．偶函数，在0x =时取到最小值C ．奇函数，在x π=时取到最小值D ．偶函数，在x π=时取到最小值【解析】解：由于当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，故2221a +=+1a =-， 故()cos sin 2)4f x x x x π=-+，所以3()cos()cos 4f x x x ππ+=+=-，故函数3()4f x π+为偶函数，在0x =时，函数取得最小值1-． 故选：B ． 二．填空题9．（2022春•南关区校级期中）函数21sin 2sin 2y x x =+，x R ∈的值域是 ．【解析】解：函数2111cos2122212sin 2sin sin 2(2))222224x y x x x x x x π-=+=+==-，1sin(2)14x π--，222sin(2)242x π-， ∴12122222y -+， 故函数的值域为2121[]22+， 故答案为2121[]22+． 10．（2022•江西）设()33cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有|()|f x a ，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】解：不等式|()|f x a 对任意实数x 恒成立， 令()|()|33cos3|F x f x x x ==+， 则()max a F x ．()3sin3cos32sin(3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴- 0()2F x ∴ ()2max F x =2a ∴．即实数a 的取值范围是2a 故答案为：2a ．11．（2022秋•南昌期末）若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是 ．【解析】解：2()3sin 2cos 29)f x x a x a x θ=+=++（其中tan )3aθ=，又6x π=是函数的一条对称轴，262k ππθπ∴⨯+=+，即6k πθπ=+，k Z ∈．由3tan 3tan()3tan 366a k ππθπ==+==299323a ++=∴函数()f x 的最大值是3故答案为：2312．（2022秋•阆中市校级月考）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的值域为 ． 【解析】解：22317()cos23cos 2cos 3cos 12(cos )48f x x x x x x =--=--+=-++，1cos 1x -，∴当cos 1x =时，()4min f x =-，故函数()f x 的最小值为4-，∴当3cos 4x =-时，()f x 最大为178，故函数()f x 的最小值为178， ()f x ∴的值域为[4-，17]8． 故答案为：[4-，17]8． 13．函数(2sin )(2cos )y x x =+-的最大值是 ． 【解析】解：函数(2sin )(2cos )y x x =+- 42(sin cos )sin cos x x x x =+--，设sin cos t x x =-，则2)[24t x π-∈-2]；212sin cos t x x =-，21sin cos 2t x x -∴=， 2211342(2)222t y t t -∴=+-=++，当[2t ∈-2]时，函数y 单调递增； 2t ∴=y 取得最大值是9222． 故答案为：9222． 14．函数3sin xy 的值域是 ．【解析】解：由3sin xy =3cos 2x y x y +=，∴23)2y x y α++=，2sin()3x yα∴+=+2|13y+，解得11y -故答案为：[1-，1]．15．（2022•湖南）若(0,)2x π∈则2tan tan()2x x π+-的最小值为 ．【解析】解：12tan tan()2tan 2tan x x x xπ+-=+(0,)2x π∈，tan 0x ∴>，112tan 22tan 22tan tan x x x x ∴+⋅2tan x =时，等号成立） 故答案为：2216．（2022春•蚌埠期末）当02x π<<时，函数21cos28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为 ．【解析】解：2221cos28sin 8sin 2cos 4sin cos ()4sin 22sin cos cos sin x x x x x x f x x x x x x+++===+当且仅当224sin cos x x =时等号成立． 故答案为：417．（2022秋•东城区期末）已知函数()sin 3f x x x =+，则()f x 的最大值为 ．【解析】解：函数()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，()f x ∴的最大值为2，故答案为：2．18．（2022秋•台江区校级期末）当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x -=⋅-的最小值是 ． 【解析】解：222cos 1()sin cos sin tan tan x f x x x x x x==--． 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，2111tan tan 244x x⇒--=， ()4f x ∴．19．（2022秋•杭州期末）函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π上的最大值为 ．【解析】解：[4x π∈-，]4π， 2(2)[63x ππ∴-∈-，]3π， 2sin(2)[26x π∴-∈-3]，∴函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π3 3 三．解答题20．（2022春•石门县校级期末）已知函数()2)4f x x π=+，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（3）当[0x ∈，]2π，求()f x 值域．【解析】解：（1）由解析式得3ω=， 则函数的最小正周期223T ππω==． （2）由232242k x k πππππ-++，k Z ∈，得323244k x k ππππ-+，k Z ∈，即2234312k k x ππππ-+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈， 由3232242k x k πππππ+++，k Z ∈， 得225312312k k x ππππ++，k Z ∈， 即函数的单调递减区间为2[312k ππ+，25]312k ππ+，k Z ∈． （3）当[0x ∈，]2π时，3[0x ∈，3]2π，3[44x ππ+∈，7]4π， 则当342x ππ+=时，函数()f x 取得最大值，此时()222f x π=，当3342x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，此时3()222f x π==- 即()f x 值域为[2-2]．21．（1）求函数34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π的最大值和最小值及相应的x 值．（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域．（3）若函数2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π的最小值为12，求a 的值．【解析】解：（1）34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π， 2[33x ππ+∈-，2]3π， ∴当203x π+=时取最小值，最小值为1-，即6x π=-，2233x ππ+=时取最大值，最大值为5，即6x π=，6x π∴=-时，y 取最小值为1-，6x π=时，y 取最大值为5；（2）2cos 2sin 2y x x =+-， 2sin 2sin 1x x =-+-，令sin x t =，[1t ∈-，1]，221y t t ∴=-+-，[1t ∈-，1]， 由二次函数图象可知，对称轴为1， y ∴在定义域[1-，1]上单调递增，y 的值域为[4-，0]，∴函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域[4-，0]；（3）2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π，2()cos cos 1f x x a x ∴=++，[0x ∈，]2π，令cos x t =，[0t ∈，1]，2()1f t t at ∴=++，[0t ∈，1]， 由二次函数性质可知：0a <， 当对称轴12at =->，即2a <-时， ∴最小值为f （1）12=， 322a ∴=->-，不成立，当012a-，20a -， 当2at =-取最小值，2a ∴=-．22．（2022秋•南阳期中）已知函数22()2cos ()sin 3f x x x π=-+-．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()(0)2g x f x πϕϕ=+<<的图像关于点(,1)2π中心对称，求()y g x =在[,]63ππ上的值域．【解析】解：（1）22222131cos(2)cos 2cos sin 2sin 1cos 2211cos 21cos 21cos 233322()2cos ()sin 2223222222x x x x x x x x f x x x ππππ++-+-+---=-+-=--=--=--13cos 2211cos 2333313222cos 221(2sin 2)1)122423x x x x x x x x π-+-=--=+=++=++，即3())13f x x π++， 令222,232k x k k Z πππππ-++∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，所以函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． （2）因为33()())]12)133g x f x x x ππϕϕϕ=+=+++=+++， 又()g x 的图像关于点(,1)2π中心对称， 所以2,3k k Z ππϕπ++=∈，解得21,32k k Z πϕπ=-+∈， 因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以33())121g x x x π=++=+， 当[,]63x ππ∈时，22[,]33x ππ∈，所以3sin 2[x ∈，所以31()[1,]4g x ∈， 即()y g x =在[,]63ππ上的值域为31[1]4．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和严格递减区间；（2）若()()1g x f x =+，[0,]2x π∈，求函数2()()2g x y g x =+的值域．【解析】解：（1）2()2sin cos 2cos sin 2(1cos2)2)14f x x x x x x x π=-=-+=--，所以最小正周期22T ππ==， 令2(242x k πππ-∈+，32)2k ππ+，k Z ∈，则3(8x k ππ∈+，7)8k ππ+，k Z ∈， 故最小正周期为π，严格递减区间为3(8k ππ+，7)8k ππ+，k Z ∈． （2）()()12)4g x f x x π=+-，因为[0,]2x π∈，所以2[44x ππ-∈-，3]4π，所以()[1g x ∈-2]，故2()2(()2)442[2()2()2()2g x g x y g x g x g x +-===-∈-+++，222]-+．24．（2022秋•硚口区期末）已知函数22()(sin cos )233f x x x x =+- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()12y f x π=+，[0,]2x π∈的值域．【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得： 1cos2()1sin 22332xf x x +=+-sin 23cos212sin(2)13x x x π=+=-+， 由222232k x k πππππ--+可得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，()f x ∴的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由（1）可得()2sin(2)1126y f x x ππ=+=-+，2x π，∴52666x πππ--，∴1sin(2)126x π--，03y ∴∴函数的值域为：[0，3]25．（2022春•柳州期末）已知函数2()(sin cos )cos(2)16f x x x x π=+++-．求：（1）函数()f x 的最小正周期；（2）方程()0f x =的解集；（3）当[,]44x ππ∈-时，函数()y f x =的值域．【解析】解：（1）函数231()(sin cos )cos(2)11sin 2sin 2162f x x x x x x x π=+++-=+--sin 23sin(2)23x x x π==+，故它的最小正周期为22ππ=．（2）由()0f x =，可得sin(2)03x π+=，23x k ππ∴+=，k Z ∈， 求得26k x ππ=-，k Z ∈，故方程()0f x =的解集为{|26k x x ππ=-，k Z ∈}． （3）当[,]44x ππ∈-时，2[36x ππ+∈-，5]6π，1sin(2)[32x π∴+∈-，1]， 故函数()y f x =的值域为1[2-，1]． 26．（2022秋•汶上县校级月考）已知函数()2sin(2)6f x x aa R π=++∈，a 是常数 （1）求5()3f π的值 （2）若函数()f x 在[,]44ππ-3a 的值． 【解析】解：（1）()2sin(2)6f x x a π=++，a R ∈， 510()2sin()2336f a a πππ∴=++=-+⋯（3分） （2）因为[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π， 3sin(2)[6x π∴+∈，1]⋯（6分） 3()2a f x a ∴-+⋯（9分）即2max y a =+，3min y a =，由已知得323a a -++=31a ∴⋯（12分）27．（2022春•兴庆区校级期末）已知函数2()2cos 2222x x x f x =． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[π-，0]上的值域．【解析】解：（1）211cos 2()2cos 22sin 2sin()222224x x x x f x x x π-=-=+， ()f x ∴的最小正周期为221ππ=． （2）[x π∈-，0]，3[44x ππ∴+∈-，]4π，sin()[14x π∴+∈-2，22sin()[14x π∴+-，0]，故()f x 的值域为2[1--． 28．求函数cos 21y x +- 【解析】解：函数cos 21y x =+-，sin 1cos 20x y x y y ∴-=+-=，即sin cos (21)1x y x y -=+， 21)(21)1y x y θ++=+，即2(21)1sin()1y x y θ-++=+． 根据|sin()|1x θ+，求得2(21)111y y -++，平方化简可得2(222)2(21)y y -， 即(1)0y y -，解得1y ，或0y ，即函数的值域为{|1x y ，或0}y ．。
行列式的计算方法常见
用数k乘以某一行， 等于用数k乘以此行 列式。
交换任意两行，行列 式的值不变。
范德蒙德行列式定义及性质
若某一行全为0，则此行列式为0。
若某一行是两组数的和，则此行列式可以拆分为两个行列式的和，其中每个行列 式分别由这两组数构成。
雅可比行列式定义及性质
01
02
03
行列式的计算方法常见
目录
• 行列式基本概念与性质 • 二阶与三阶行列式计算 • 高阶行列式计算技巧 • 克拉默法则与拉普拉斯展开定理 • 范德蒙德行列式和雅可比行列式 • 线性方程组与矩阵方程求解方法
01
行列式基本概念与性质
行列式定义及表示方法
行列式的定义
行列式是数学中的一个重要概念，它是一个数表，由n行n列元素按一定规则排列而成。行列式表示了线性方程 组系数矩阵的一种性质，可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的唯一性雅可比行列式是 向量微积分中的一个重 要概念，特别是在求解 重积分和偏微分方程的 变量替换时。对于一个 从n维欧氏空间到n维欧 氏空间的函数映射，其 雅可比矩阵是一个n×n 的矩阵，其元素为函数 的偏导数。雅可比行列 式则是这个矩阵的行列 式。
性质：雅可比行列式具 有以下性质
若函数映射是可逆的， 则其雅可比行列式不等 于0。
拉普拉斯展开定理内容和证明
拉普拉斯展开定理（Laplace's Expansion Theorem）是行列式计算 中的一个重要定理。
证明过程可以通过数学归纳法和行列式的性 质进行，具体步骤包括验证n=1和n=2时的 基本情况，以及假设n-1时定理成立，推导n 时的情况。
它表明，在n阶行列式中，任意取定k行（列 ），由这k行（列）元素所组成的一切k阶子 式与其代数余子式的乘积之和等于行列式的 值。
行列式的应用
行列式的应用行列式是线性代数中重要的概念之一，它有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍行列式的定义及其应用领域。
行列式的定义在高中数学课本中就有讲解，这里不再赘述。
而行列式的应用则是如此广泛，以至于无法在一篇3000字的文章中详细介绍每个领域的应用。
因此，我将简要地介绍一些常见的应用领域，以帮助读者了解行列式的实际应用价值。
首先，行列式在线性方程组求解中起到重要作用。
线性方程组是实际问题中常见的数学模型，例如电路中的电流分布、力学中的受力分析等。
通过将线性方程组转化为矩阵形式，可以用行列式来求解未知变量。
行列式的性质可以用来判断线性方程组的解的个数和可解性。
此外，行列式的值还可以用来判断线性方程组的解是否唯一。
其次，行列式在几何学中有着重要的应用。
例如，平面上的三个点可以构成一个三角形，而这个三角形的有向面积可以通过这三个点的坐标计算得到。
这个有向面积的值就等于这三个点所确定的行列式的值的绝对值。
因此，行列式可以用来计算三角形的面积。
同样地，在三维空间中，四个点可以构成一个四面体，而四面体的有向体积也可以通过这四个点的坐标计算得到，其值等于这四个点所确定的行列式的值的绝对值。
行列式在计算几何体的体积、面积以及位置关系等方面都有重要的应用。
另外，行列式在概率与统计学中也有着重要的作用。
在概率论中，行列式可用来计算随机变量的联合概率密度函数的雅可比行列式，进而计算随机变量之间的相关性。
在统计学中，行列式可以用来计算多元线性回归模型的参数估计，并且可以通过行列式的性质来检验回归模型的拟合优度。
行列式在概率与统计学中的应用可以帮助我们理解和分析复杂的随机现象。
除此之外，行列式还有着许多其他领域的应用。
例如在图论中，行列式可以用来计算图的邻接矩阵，进而研究图的连通性和路径问题。
在密码学中，行列式可以用来计算密码算法中的置换、替代和扩散等操作。
此外，行列式在物理学、经济学、工程学等领域也有广泛的应用。
综上所述，行列式作为线性代数的重要内容，具有广泛的应用领域。
求解三角形最值问题的两种路径
解题宝典三角形最值问题主要有：（1）求三角形面积的最值；（2）求三角形周长的最值；（3）求三角形某个角的最值；（4）求三角形某条边长的最值.这类问题具有较强的综合性，通常要灵活运用勾股定理、正余弦定理、三角形的性质、不等式的性质，以及三角函数的定义、性质、图象等来解题.下面主要谈一谈求解三角形最值问题的两种路径.一、利用三角函数的性质在求解三角形最值问题时，我们可以根据勾股定理、正余弦定理，将三角形的边、角、周长、面积用三角函数表示出来，这样就可以将问题转化为三角函数最值问题,利用三角函数的单调性、有界性、周期性快速求得最值.例1.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若c =1，cos B sin C +()a -sin B cos ()A +B =0．(1)求角C 的大小；(2)求ΔABC 面积的最大值．解：(1)C =π4；（过程略）(2)由（1）可知c =1,C =π4，∴2R =c sin C =a sin A =bsin B =2，得sin C ，∴S ΔABC =12ab sin C=R sin A ∙2R sin B =A sin B A sin æèöøπ4+A=12sin A cos A +12sin 2A=14sin 2A -14cos 2A +14=æèöø2A -π4+14，∵C =π4，∴A +B =3π4，∴0<A <3π4，∴-π4<2A -π4<5π4，由正弦函数的单调性和图象可知sin æèöø2A-π4≤1，∴0æèöø2A -π4+14+14，∴ΔABC 面积的最大值为14．我们先根据正弦定理求得sin C 的值，即可根据三角形的面积公式求得ΔABC 面积的表达式；然后通过三角恒等变换将目标式变形为只含有一个角A 和正弦函数的式子，即可根据正弦函数的单调性、图象，以及角A 的取值范围求得三角形面积的最值.在求得目标式后，往往要利用三角函数的基本公式对目标式进行三角恒等变换，使其化为最简形式：只含有一个角和一种三角函数名称的式子，这样便于直接运用三角函数的性质、图象求最值.例2.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a sin A +C 2=b sin A ．(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，c =1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)B =π3；（过程略）(2)∵c =1,B =π3，由正弦定理a sin A =csin C，可得a =c sin A sin C =sin A sin C =sin æèöøC +π3sin C=12sin C +2cos Csin C =12+∙1tan C，∵ΔABC 为锐角三角形，B =π3，∴ìíîïï0<C <π2，0<2π3-C <π2，∴π6<C <π2，∴0<1tan C <3，∴12<12+∙1tan C<2，由三角形面积公式得S ΔABC =12ac sin B =èöø÷12∙1tan C，<S ΔABC <∴ΔABC 面积的取值范围为èø．我们运用正弦定理和三角形的面积公式，就可以快速求得ΔABC 面积的表达式.该式中含有1tan C，需根据正切函数的有界性和单调性，以及角C 的取值范围求得最值.这就要求我们熟记正弦、余弦、正切函数的单调性，以及一些特殊角的三角函数值.例3.已知在△ABC 中，sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C .44解题宝典(1)求A ；(2)若BC =3，求ΔABC 周长的最大值．解：(1)A =2π3．（过程略）(2)∵a =BC =3,A =2π3,∴2R =a sin A=23,∴C ΔABC =a +b +c =3+b +c =3+2R sin B +2R sin C=3+23()sin B +sin C =23éëêùûúsin B +sin æèöøB +2π3=3sin B +3cos B =23sin æèöøB +π3，∵A =2π3，∴C +B =π3，∴0<B <π3，∴π3<B +π3<2π3，由正弦函数的性质可得2sin æèöøB +π3≤1，∴3<23sin æèöøB +π3≤23，∴()C ΔABC max =3+23，∴ΔABC 周长的最大值为3+23．在利用三角函数的性质求得目标式的最值时，往往要仔细研究目标式中角的取值范围.可根据已知条件、隐含条件，以及有关三角形的定理，如三角形内角和为180o ，尽可能地缩小角的范围，这样才能得到正确的答案.二、利用基本不等式若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a=b 时等号成立，该式称为基本不等式.基本不等式是解答最值问题的重要工具.在解答三角形最值问题时，往往可以将目标式进行适当的变形，使得该式为两式的和或积，并使其中之一为定值，便可运用基本不等式求得目标式的最大值或最小值.以例1为例.解：(1)C =π4．（过程略）.（2）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，∵c =1,C =π4，∴1=a 2+b 2-2ab，∴1+2ab=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时取等号，∴()2-2ab ≤1，∴ab ≤，∴S ΔABC =12ab sin C =≤∴ΔABC 面积的最大值为14．我们根据余弦定理可得1=a 2+b 2-2ab ，该式中含有两式的和a 2+b 2与两式的积ab ，根据基本不等式的变形式a 2+b 2≥2ab ，即可求得ab 以及ΔABC 面积的最值.例 4.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 满足sin A -sin B +sin C sin C =sin Bsin A +sin B -sin C ．(1)求角A ；(2)若ΔABC 的外接圆半径为1，求ΔABC 的面积的最大值．解：(1)A =π3．（过程略）(2)∵A =π3，R =1，∴a =2R sin A =3，由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，∴3=c 2+b 2-bc ，∴3+bc =c 2+b 2≥2bc ，∴bc ≤3，当且仅当a =b 时取等号，而S =12bc sin A =≤，∴ΔABC 面积的最大值为．在运用基本不等式求最值时，要仔细观察代数式的结构特征，尤其要关注两式的和、积，对其进行合理的拆分、变形，可通过添项、凑分子、凑系数、常数代换等方式，配凑出两式的和或积.以例3为例.解：(1)A =2π3．（过程略）（2）由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，∵a =3,A =2π3，∴9=b 2+c 2+bc ，∴()b +c 2-2bc +bc =9，∴()b +c 2-9=bc ≤æèöøb +c 22，当且仅当a =b 时取等号，∴34()b +c 2≤9，∴b +c ≤23，而C ΔABC =a +b +c ≤3+23，∴ΔABC 周长的最大值为3+23．先根据余弦定理将已知的边角关系化为边的关系，求得三角形的周长的表达式；然后根据关系式9=b 2+c 2+bc 的特征，运用基本不等式求得b +c 的取值范围，进而求得三角形周长的最值.总之，解答三角形最值问题，既可以从角的关系入手，灵活运用三角函数的基本公式、定义、性质、图象求解；也可以从边的关系入手，根据代数式的特征，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.相比较而言，运用基本不等式求三角形最值问题较为便捷.（作者单位：江苏省淮安市洪泽湖高级中学）45。
行列式的若干解法
例1计算行列式D nn 1行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式.0 1 02 0 00 0 00 0 n(n 1)( n 2) 解:D n不为零的项一般表示为ai n-1 a2n 2玄“1咼“n!,故D n （ 1）2n!.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律：1 •行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变；2•互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3 •行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4.行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变；5 •行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6.行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列式的和；7 •行列式各行或各列若线性相关，行列式为零.一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解.例2 一个n阶行列式D n a ij的元素满足a j a j「i,j 1,2, , n,则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明：由a ij a ji 知a ii a，即 a 0,i 1,2, n .故行列式可表示为0 a12 a13 a1 na12 0a23 a2nD n a13 a23 0 a3n 5a1 n a2n a3n0 由行列式的性质A0 a12 a13a12 0 a23D n a13 a23 0a1n a2n a3n 当n为奇数时，得D n三、高斯消元法a1n 0 a12a2n a12 0a3n (1)n a13 a23a1n a2nD n，因而得D n 0.913 a1na23 92n0 93n丄n f1 D n93n 0O（ n!），对n >4的非稀疏方阵换过程可用解线性方程组的算法（高斯消元法）数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度.1 1 23 3 7例3计算行列式D 2 0 43 5 74 4 10 严格描述，其复杂度为0（n3）,由原来的指3 19 52 1 .14 610 2由行列式的定义，计算一般n阶行列式的值的复杂度为并不实用，因此有必要寻找更好的方法. 用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状, 是计算行列式的基本方法.原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式•这个变解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算.2 313 214 315 41D —11 20 12 02 10 23 1 | 1 1 20 2 0 2 04 1 0 0 15 3 0 2 12 2 0 0 23 4 0 5 21-12-314 3 0 2 0 4 -15 2 3 0 0-10-20 0 1-120 0 2 2 -2 112 30 3 0 40 0 1 00 0 0 10 0 0 2112321126根据行列式的性质，把第2,3,…,a (n 1)b b b b a (n 1)b a b b D a (n 1)b baba (n 1)b bb a1b b0 a b0 a (n 1)b 00 a b1 1 b a b b b b [a (n1)b] 1b a b1 bbab[a (n 1)b] (a b)n1]Laplace1)A nn C mnBmmA nJ |B mmA nn 0 C ^nmB □mmA nnB mm3)B mmA nnCmn(1)mnAmmC nmBmmA nn 0(1)mn A nJ |Bmm1 2( 1)(112 3 1 0 2 0 4 1 0 0 10 2 0 0 01 0 00 06四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式. 因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法.a b b L bb a b Lb例4计算n 阶行列式Db b a L bM M M Mb b b Lan 列都加到第1列上，行列式不变，得五、展开法Laplace 展开的四种特殊情形:应用行列式的Laplace展开，把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式•根据递推关系式及某个低阶初始解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,10 1M M0 0D n 1与D n具有相同D n ( + )D n-厂D n-2D n-D n-1= D n——Dn-2=(D n-1—D n—2)或D n-D n—1= D n——D n- 2 (D n——D n— 2)D n —(D n―(D((D D=n)冋样有：D n —(—)(D_ 2( D—D)'(D n- 3—D n—4)()]n L L (1)'(D n- 3—D n—4)()]n L L ⑵行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法.［注意］用此方法一定要看Laplace展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构•如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.例5证明如下行列式:0 L 0 0LOOL 0 0M MM0 L 1证明：n 1 n 1D n ,其中［分析］虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之.此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零,这种行列式称"三对角”行列式.从行列式的左上方往右下方看，即知的结构.因此可考虑利用递推关系式计算.证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有:这是由D-1和D-2表示D的递推关系式.若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：n 1 n 1由（1）（2）式可解得：D n ------------------- 证毕.现可反复用低阶代替高阶，有:因此当时a n a n 2 a n 3 a2a1 x［分析］对一时看不出从何下手的行列式，可以先对低阶情况求值, 利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想的证明.解: 当n 2时, D2 x(xa2 a2 印a2x2a1x a2假设n k时，有D k a1x k 2a2x a k 1X a k则当n k 1时，把D k 1按第一列展开，D k 1 xD k a k 1 x(x k a〔x a2x k a k 1X a k ) a k 1a k X a k由此，对任意的D n a1x n 1a n22xa n 1x a n .六、加边法有时为了计算方法称为加边法.当然，加边后所得的高一阶行列式要较易计算. 加边法适用于某有一个相同的字母，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况.加边法的一般做法是：an L a nD n a21 L a2nM Ma n1L a nn 特殊情况取a1a2L a n1 加边法能否顺利应用，关键是观察每1 a1 L a n 1 0 L 0 0 a11 L a1n D LM M M M M M例7计算n阶行列式: 例6计算行列式DX/2 X%x 22 1 NX 2 %x 2 %x 2%x 2X n 2 1:分析］我们先把主对角线的数都减1,这样我们就可明显地看出第一行为X 1与1 0 X 1 x2 1 X 2 X 1X 2 LL D n0 x 2x 1 X ； 1 L M M MX n X 1X n X 2LX n %X X 2X(i r i 11 X 1 X2 L X 1 1 0 L X 2 0 1 L M M MX n 00 LX n 0 0 M1n2 Xii 1X 1 X 2 L X n C1X i Ci 11 0L0 (i 1,L ,n)0 0 1 L 0MM MMn1 X 2i 13) DD *X 1,X 2,…,X n 相乘，第二行为 X 2与X 1,X 2,…,X n 相乘， ..... ,第n 行为 X n 与 X 1,X 2,…,X n 相乘.这样就知道了该行列式每行有相同的因子X 1,X 2,…,X n ,从而就可考虑此法.解：对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的 框架下，有针对此种问题的特殊解法.1） 在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ,使新行列式D *除主对角线外，其余 元素均为0;2） 计算D *的主对角线各元素的代数余子式A i （i 1,2丄n ）;nXA ji,j 1例8 •求下列n 阶行列式的值:1,L , n)2 X n1 1 L 1 1 L1 2 n2 n 1 M M 1 1解：在D n的各元素上加上（1）后，则有:(D n)*M2 nn(n 1)(1厂(1 n)nn(n 1)Al ( 1)F (1 n)n 1，其余的为零.D n (D n)*nj 1n Nj(11)(1) (1n)( 1)n ((1) (1n)［点评］诸如此类的特殊行列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡爪”（除第一行、第一列、主对角线外全为零）、反对称方阵等，这些范式都有“专用”的解法•掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满足这些范式的行列式的值，更是为了给解一般行列式提供变换的目标和方向，争取把一般行列式变换到这些已知容易求解的范式.如果不知道这些范式，就只能盲目的寻找各种变成“最终范式”一一上下三角行列式的变换方式，从而加大了解题的难度.七、拆行（列）法而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行容易求得行列式的值.（列）相同，禾U用行列式的这一性质，有时较a12 L a1na22 L a2n1M Ma n2L a nn 且满足a j a ji ,i, j 1,2丄，n,对任意数b,求n阶行列式a11 b a12 b La21ba22b L M Ma n1b a n2 b Lam ba2n bM9nn b［分析］该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b,显然用拆行（列）法.可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发. 注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件.解：又A1n A2,n 1Hi b a *2 b a ?i b a ?2 bM Ma 11 a 12L a 1nba 21 a 22La2n b M MMa n1a n2L a nnba 1nba 11 a 12b L a 1nb a 2nba 21 a 22b L a 2nbMMMMa nnba n1a n2b L a nnba 11b Lnb1a 12La 21b L a 2n bb1 a22LMMM M Ma n1b L an nb1a n2Lb 3]2b L a i nb b a 22b L a 2nbMMMb a n2 b L a nnba i2L a 21 a 22 LM Ma n1 a n2L1 La 1 n1 a 12 La 1na 2nba 211 L a 2nLb1 a22L a 2nM M MMM MMa nna n11 La nn1a n2La nnan a 12a 1n又令Aa 21a 22a 2n且 aij a ji , i,j 1,2丄,na n1 a n2 a nn有：A 1,且 A ' A*由 A 1=Ar |A|得: A _1 A 1AA *= A "* ' 又(A )1 '(A 1)(A) 1 (A)A *也为反对称矩阵又A j （i, j1,2丄，n ）为A *的元素n有A j 0i 1,j 1n从而知：D n 1 bA j 1i 1,j 1［点评］求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系， 此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论.a n1ba n2ba ina 2nMa nnn 1 bA 2i L i 1nbA ii i 1n1 bA ji,j 1a ix a 11 na ixx1D n 1 M Mna i1 nx a 2a i1 x a 2a 2 L a na 2 La nnMM(ai 1a 3 L a na 3 Lx1 1 a 1 x a2 a 2 LLa n a n x) M M MM1 a 2a 3 L a n1 a 2a 3 Lx令:此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节(如矩阵)的关联. 八、多项式法如果行列式D 中有一些元素是变数 x (或某个参变数) 的多项式，那么可以将行列式 D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出 f(x)的互素的一次因式，使得 f(x)与这些因式的乘积 g(x)只相差一个常数因子 C,比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值, 便可求得D=Cg(x).具体地说，若行列式中存在两个同时含变量 x 的行(列)，若x 等于某一数a i 时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得D=0 •那么x a i 便是一个一次因式.由此便可找出行列式(多项式)的若干因式•如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等， 那么行列式与这些因式的乘积便成比例(只差-一个常数因子)•例10求如下行列式的值：xaa 2La na xa 2 L a nD n 1M M MMaa 2 a 3 L a naa 2 a 3Lx［分析］根据该行列式的特点， 当 x a.i1,2,L ,n 时，有D n 1 0 .但大家认真看下，该行列式 D n+1是一个 n+1次多项式， 而这时我们只找出了n 个一次因式x 3i . i 1,2丄，n ,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是n一样的，为：a i x ，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式i 1a i x ，这样行列式的次数就降了一次.i 1解:n1 a a2 La n1 x a2 L a nD n 1M M MM1 a2 a3 L a n1 a2 a3 Lx显然当：x a i .i 1,2,L , n 时， D n 110.又D n 1'为n 次多项式.I设D n iC(x aj(x a ?)L (x a n )例11计算n 阶行列式n 1 n 1 L (a 1) a n 2n 2L(a 1)aMM L a 1aL 1 1 / 八n 1 n 1(a 1) a (a 1) aMM a 1 a 11D n 1 (x aj(xa 2)L(x a n ) 因此得：D n 1n( i 11a i x)D n 1n(i 1a i x)(x aj(x a 2)L (x a .)又D n l'中X 的最高次项为x n，系数为1 , C=1 九、Van derm onde 行歹U 式法范德蒙行列式：1 1 11 %X 2 X 3 X n22 2 2X 1X 2X 3X nn 1 n 1 n 1 n 1X 1X 2 X 3 X n (x 为)1 j i n(aA、1(a n 2)n 1(an 1) 2(a n 2)n2D nMMa n 1 a n 21 1(a 八n 1 n 1) (a n 2)n1L(a 八n 2 n 1) (a n 2)n 2LD nM Ma n 1a n 2 L11L解显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它 化为范德蒙行列式的类型.先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…，2行，1行对换，再将得到到的新的行列式 的第n 行与第n-1行， 对换，这样，共经过( n-2行，…，2行对换，继续仿此作法, n-1) + (n-2) + …+2+1=n (n-1 ) /2直到最后将第 次行对换后，得到n 行与第n-1行 D n (n(n 1)1)h(a (a M n 2 n 1)n 1n 1)(a (a M n 2)nn 2)nM (a 1)n(a 1)nM n 2 a n 1a上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得:E n AB E m BAn(n 1) D n ( 1)F n(n 1) [(a n i) (a n j)] ( 1产 n (i i n j)［分析］从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式” 项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联. ，很多类似多例12计算如下行列式的值: D n ［分析］显然若直接化为三角形行列式， 意到从第1列开始；每一列与它一列中有 n-1列开始乘以一1加到第n 列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一 加到第2列•然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多 了. 计算很繁， n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第 1解:所以我们要充分利用行列式的性质.注1 1 1 L2 1 1 LD n 311 L M M M n 1 n 1 L1 1 1 1 n 1 n1 M M 1 1 (i 2,L , n) rr ;1 1 L 0 0 L 0 0 L M M n 0 L 1 1 0 n n 0 M M 0 01 A - rnn1) 1 n(n n 2 (n 1) n 1n 2 (i 2,L,n)〔 ［问题推广］ 本题中，显然是 L n0 L 00 10 L 0n2 0 L n 0 M MM M n 2 0 L 0 0 n 1 n L(n 1)(n 2)(n)n 1 ( 1)^^ n(n 1)10 inu M n 2 0 n 0 L0 LM n L0 L0 n n 0 M M 0 0 0 01,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是 a o ,a 1,…，a n-2 ,a n-1 这 n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式” a 。
行列式计算的若干种方法讲解
中南民族大学毕业论文(设计)学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师2012年4月30日中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.作者签名：年月日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2.1排列 (2)2.2行列式的定义 (2)2.2.1 二阶、三阶行列式 (2)2.2.2 n阶行列式的定义 (3)2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3)2.3 行列式的基本性质 (5)3几种常见的行列式的计算方法 (6)3.1利用行列式定义直接计算 (6)3.2 利用行列式的性质计算 (6)3.3 三角化法 (7)3.4 降阶法 (8)3.5利用范德蒙德行列式求解 (10)3.6 数学归纳法 (11)3.7 拆项法 (12)3.8析因子法 (13)3.9 加边法(升阶法) (13)3.10递推公式法 (14)3.11超范德蒙行列式法 (15)3.12利用分块计算行列式 (16)4 结论 (16)致谢 (17)参考文献 (17)行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式.关键词：行列式；性质；计算方法Some Methods of Determinant CalculationAbstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paperwe first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1 引言行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不如此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组，二次型有广泛应用，其中行列式的计算是个重要问题.利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题, 如运用行列式分解因式, 证明等式与不等式, 以及在几何方面的应用, 从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.线性代数在各门学科中占据着重要地位，在大多数的理工科专业都开设这个课程，是所有理工科的基础学科，而行列式在线性代数里是最为基础且最重要的一章.行列式是研究线性代数的有力手段和重要工具，主要应用在线性方程组、二次型、矩阵的计算求解中，例如求解线性方程组、求矩阵的秩、判断向量线性相关、求矩阵的特征值等.许多实际和理论问题归结为行列式计算.因此，行列式尤为重要，跟其他理工学科相辅相成，然而行列式的计算往往是极为复杂的，求解行列式的算法要比解线性方程组的算法要少得多，所以在实际运用中，我们要掌握各种计算行列式的方法，寻求最优算法来计算行列式，从而解决各种实际问题.行列式计算的基本思想：对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算.对于一般的行列式，我们主要有下面两种计算思想：①利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.②利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.本文将介绍行列式的定义以及性质，通过介绍行列式计算的基本方法——利用行列式定义直接计算、利用行列式的性质计算、三角形化法、降阶法、利用特殊行列式、数学归纳法、拆项法、析因子法、加边法、递推法、超范德蒙行列式法等.再应用实例计算行列式，理论和应用相结合，较全面的介绍行列式的几种计算方法.2 行列式的定义及性质[1][8]2.1排列定义 1 由n 个不同自然数n ,,2,1 组成的一个有序数组称作为n 级排列，n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅⋅=定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 2.2行列式的定义 2.2.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如下：1112112212212122a a a a a a a a =- （2-1）111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++322311332112312213a a a a a a a a a --- （2-2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式.行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标.如32a 表示该元素位于第3行、第2列.从上面的二级行列式和三级行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一些乘积的代数和，而且每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素组成，并且所有的展开式恰好是由所有这种可能的乘积组成.每一项乘积所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的（当排列的逆序数为偶排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数为奇排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号）.2.2.2 n 阶行列式的定义 12121112121222()12!12(1)n nn n p p p p p np n n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑ （2-3）其中∑!n 表示对所有n 阶排列np p p 21 的种数进行相加，共有!n p n =项2.2.3 几种特殊的行列式的定义在行列式计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，再进行计算，因此熟悉和掌握这些特殊行列式及其计算公式对提高计算行列式的技巧和效率是非常重要的.（1）上(下)三角行列式等于它主对角线元素的乘积.nn nnnn a a a a a a a a a221122211211= ；nn nn n n a a a a a a a a a 121121222111=. （2-4）（2）对角行列式等于它的主对角线元素的乘积，nn nna a a a a a22112211=. （2-5）（3）副对角线下(上)边的元素全为0的行列式()()11,212112221112111n n n n n n n a a a a a a a a a---=； （2-6）()()1122,1212,11121.nn n n n n n n n n nna a a a a a a a a ---=- （2-7）（4）n 阶范德蒙德行列式()2≥n()∏≤<≤-----=ni j j i n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a 1113121122322213211111（2-8） 称为范德蒙德（Vandermonde ）行列式，其中∏表示连乘.范德蒙德行列式的特点：① 第一行全为1； 第二行的各个数各不相同； 后一行与前一行对应列的比值等于第二行对应列的元素; ② 范德蒙德行列式为零的充要条件是12,,n a a a 这n 个数中至少有两个相同.（5）箭形行列式设n j a jj ,,3,2,0 =≠，则n n n j jj j j nnnn a a a a a a a a a a a a a a a a a 3322211111331322121131211000000⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=. （2-9） 若存在某个或某些对角元()20≥=k a kk 可对k 行进行降阶处理，箭形行列式有以下几个形式：这几个形式的都可类似方法化为三角行列式进行计算.（6）分块上(下)三角行列式等于它的主对角线上各方阵的行列式的乘积分块上三角行列式，又称为上块(准)三角行列式：kk kkkk A A A A A A A A A221122211211=. （2-10）其中对角块ii A det 为i n 阶行列式，且n nki i=∑=1，n 为行列式的阶，特别地，当2=k ，11=n ，12-=n n 时成立：nnn nnnn nna a a a a a a a a a a a222211222211211=分块下三角行列式，又称为下块(准)三角行列式：kk kkk k A A A A A A A A A 221121221211=. （2-11）（7）分块对角方阵的行列式等于主对角线上各方阵的行列式的乘积kk kkA A A A A A22112211=. （2-12）2.3 行列式的基本性质性质1 行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记作,T T D D D = （2-13） 性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式. 推论 两行（或两列）元素对应相同或者有一行（或列）全为零的行列式，其值为零. 性质4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零 性质5 行变换s t λγγ+与列变换s t c c λ+行列式的值不变.性质6下列行列式成立111211112111121'''''''''11222'''''''''12212121212nn n s s s s s sn s s s s s snn n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a aaaaaaa a a a a a a a a +++=+ （2-14）3几种常见的行列式的计算方法3.1利用行列式定义直接计算 例1计算行列式00100210000n D n n=-解: n D 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=. （3-1）该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=- （3-2）3.2 利用行列式的性质计算例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= （3-3）则称n D 为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= （3-4）12131121311223212232132331323312312300000(1)0(1)0n n n nn n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a D a a a a a a D a a a a a a ------=-=---=---- 当n 为奇数时，得n nD D =-，因而得0n D = 3.3 三角化法[2]运用行列式的性质把行列式变换成位于主对角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线上的情形，行列式的值等于()()121n n --与次对角线上所有元素的乘积.例3计算行列式xa a a a xaa D aa ax=解：把每行均加至第一行, 提出公因式(1)x n a +-,再把第一行的-a 倍分别加到第二行至第n 行,得111111111[(1)][(1)][(1)]()n ax a ax aD x n a aa x a x n a xn a x a x ax aaaa x --=+-=+-=+----例4计算n 阶行列式1232341112121n n D n n n n n =---解：利用性质7对行列式做变换，依次将第i 行乘()1-加到第1+i 行()1,,2,1 --=n n i ，再将第n ,,3,2 列全加到第1列.得()112323211110111111101111111111n n n n n nn D n nn n +--==---- 按()2111+=n n a 展开，得()11111112111n n n n D n n-+=--再将1-n 阶行列式的第1行乘()1-加到其余各行后，将第2,,2,1-n 列全加到第1-n 列，得()11111112nn nn nn n D nnn----+==--，根据副对角线下三角为零的行列式，得()()()()()()()()()12122221111122n n n n n n n n n n n D n n -----++=---=-⨯3.4 降阶法[2][3]就是把一个阶行列式化简为个阶行列式，然后以此类推，直到把阶行列式化为若干个2阶行列式来计算.特别需要注意的是，按行或列展开时一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，这样才能有效减少运算量. （1）一般降阶法n 阶行列式D 等于它的任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积的和，即1,1,2,,nij ij j D a A i n ===∑或1,1,2,,nij ij i D a A j n ===∑. （3-5）行列式按一行（列）展开能将高阶行列式转化为若干低阶行列式计算，称为降级法.这是一种计算数字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用时应先利用行列式的性质，将某行（列）元素尽可能多的变成零，然后再展开，计算才能更方便，对一些特殊构造的行列式可利用拉普拉斯定理降阶计算.此法中由于n 级行列式D 的第i 行构成的k 级子式kn C 个，所以对一般行列式能降阶却不能减少计算量.例5 计算n 阶行列式0000000n x y x y D x y y x=分析：该行列式的元素分布规律来看，可以用直接递推降阶法，找出1n D -，再依次递推出其他项，最终可求出n D .解：根据行列式展开定理，将n D 按第一行展开，则000000000000000000000000n n x y y y x x x D xy x y x y x y x y xyxyx=-=-将后面的行列式按第一列展开，则()()100000110000nn n n n n y xy D x yy x y y xy+=--⨯=+-（2）递推降阶法设n 阶行列式ijn nD a ⨯=，欲求其值，由于交换行列式的两行（列），行列式只改变符号，故110a ≠，现在令11A a =，()12131n B a a a =，21311n a a M a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2223232n n n nn a a aa N a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦递推降阶法可分为直接递推和间接递推.直接递推关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ，依次从123n D D D D →→→→逐级递推便可以求出n D 的值.间接递推即借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可以解得n D .例6 计算n 阶行列式0000000n a xa a a a yx D y x yx+-=-- 解：将n D 按第n 列展开可得()11111nn n n n yx yxD x D a x D ay x y+-----=+-=+-， 整理得，12111221;;.n n n n n n D x D ay D x D ay D x D ay -----=+=+=+将这1-n 个式子两边分别同乘以22,,,,1-n x x x 后，再相加得11221n n n n n D x D ayay x ayx----=++++而1D a x =+则()1221n n n n n n D x a x x y xy y ----=+++++这道例题也可以直接用一般的降阶法直接展开，一般降阶法和递推降阶法之间是没有很明确的界定，往往在计算行列式中，是两种方法融汇结合的.如果一个行列式的元素分布上比较有规律，则可以设法找出n 阶行列式n D 与低级行列式的关系依次类推，将行列式按行(列)展开，达到降阶的目的，最后将低阶行列式计算即可.3.5利用范德蒙德行列式求解[4][12]例7计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式 1222212111112111()n n i j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤≤≤---==-∏例8 计算n+1 阶行列式 122111111111122122222222122111111111nn n n nn n n n n n n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=解：从第i 行提取公因子ni a (i=1,2,…,n+1)就可以得到转置n+1 阶范德蒙行列式2111112111112122222122221211111211111111n n n n n n nn n n ii n n n n n n n n n n n n b b b b a a a a b b b b D aa a a ab b b b a a a a ----=-++++-++++=∏求解得111=()nj ni i i j i n jib b D a a a =≤≤≤+-∏∏3.6 数学归纳法[1][4]一般是采用不完全归纳法，先分析猜想出行列式值的规律，得到一般性结论，然后再利用数学归纳法证明结论的正确性.行列式nD 的特点是主对角线上元素含有三角函数,并且几近相同，沿主对角线两侧的元素全是1.例9计算0001001n D αβαβαβαβαβ++=+分析：221D αβαβαβ-=+=-，33222D αβααββαβ-=++=-，，所以猜想11n n n D αβαβ++-=-所以考虑用数学归纳法证明原行列式的值等于猜想值.证明：当1n =时命题成立. 假设1n k ≤-时命题成立. 当n k =时，将k D 按第一列展开()()2000010010000000101k K D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++++=+-++++级()()111112k k k k k k k k D D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ--++-----=+-=+⋅-⋅=--- 当n k =时命题成立，对n N ∀∈有：11n n n D αβαβ++-=-，证明猜想值成立.3.7 拆项法[2][5]就是利用行列式的性质，将行列式拆成若干个较容易计算的行列式，再分别计算.例10行列式n xm m m m mx m m mD mmxmm m m m m x-=------的特点是主对角线的元素全部是x ，上三角与下三角的元素分别是m 和m -,二者互为相反数.此类行列式常用拆分法来计算.11100011()11n n x m m m m x m m m m mm m m mxm m m D m mm m m mxm m x mm m m mmx m m m mxm m x m D m m mxm m m mm---=--+--------=-+------1112220020()00201()()n n n x m m m mx m m m x m D m x mm mmmmx m D m x m ---++=-++----=-++1[()()]2n n n D x m x m =++- （3-6）根据行列式的性质，行列式的行列互换时行列式的值不变，得11()()n n n D x m D m x m --=+-- （3-7） 由式子（3-6），（3-7）消去1n D -，得1[()()]2n n n D x m x m =++-3.8析因子法[4][10]所谓析因子法, 就是当行列式0D =时, 求得方程的根, 从而将行列式转化为其因子和积, 这样会大大减少计算量.该方法适用于主对角线上含x 多项式的题型. 例11计算行列式2112312-23=23152319x D x -解：由行列式的定义知D 为x 的4次多项式.当1x =±时，1、2行相同，有0D =，1x ∴=±是D 的根. 当2x =±时，1、2行相同，有0D =，2x ∴=±是D 的根. 故D 有四个一次因式，1,1,2, 2.x x x x +-+- 设(1)(1)(2)(2)D a x x x x =+-+-令0x =则11231223==-1223152319D ， 即1(1)2(2)12. 3.a a ⋅⋅-⋅⋅-=-∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-3.9 加边法(升阶法)[2][4]加边升阶法是将所要计算的n 阶行列式适当地添加一行一列（或m 行m 列）得到一个新的1n +（或n m +）阶行列式，保持行列式的值不变，但要所得的1n +（n m +）阶行列式较易计算，加边法的一般做法是：1111111212212111000nn nn n n nnn nna a a a a a a a a a a a a a =或1111111212221211100nnn n n nnnn nna ab a a a a b a a a a b a a = （3-8）特殊情况取121n a a a ====或121n b b b ====例12计算行列式1111111111111111aa Db b+-=+-解：1111111110111111110111111111111111101111a a a D a b b bb ++-==-++--2211111100010001000100a a ab b b-=--=---3.10递推公式法[3][10]递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2 阶, 1阶)行列式的值求出D的值.该方法适用于行(列) 中0 较多的或主对角线上、下方元素相同的题型.例13计算行列式9500495049095049n D = 解：112150049594920549n n n n n D D D D ----=-=-该二阶齐次线性递归式的特征方程为2920x =-x ，其根为4、5，既有11254(5)n n n n D D D D ----=-，于是有2221232154(5)==4(5)4(6145)4n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=同理有2221232145(4)==5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=所以，115=4,45.n n n n n n D D D D ----= 联立两式的11=54.n n n D ++- 3.11超范德蒙行列式法[3][9]超范德蒙行列式法就是考察n+ 1阶范德蒙行列式()f x , 利用行列式n D与()f x 某元素余子式的关系计算行列式的方法.该方法适用于nD 具有范德蒙行列式形式的题型.例14 计算行列式(超范德蒙德行列式)12222122221212111nnn n n n n nn n nx x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙德行列式12222212121111112121111()()()()().nnn i j j i nn n n n n n n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤----==----∏显然n D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式,1M n n +.即,1,1M n n n n n D A ++==-（,1n n A +为代数余子式）.又由f(x)的表达式（及根与系数的表达式）知，f(x)中1n -x 的系数为121()().n ijj i nx x x x x ≤≤≤-+++-∏即,112,11211()().()().n n n i j n n n i j j i nj i nA x x x x x D x x x x x ++≤≤≤≤≤≤=-+++-=+++-∏∏3.12利用分块计算行列式[11]分块矩阵是行列式计算中的一个重要方法，这个计算方法就是通过分块矩阵的行（列）的初等变换将它化成准三角行列式，从而可以将它化成较低阶行列式的乘积，再根据分块矩阵的公式进行计算求出行列式的值.例15计算5阶行列式00000000021212154321543215e e d d c c b b b b b a a a a a D = 解：先对行列式中的行列转换得()000000012154321543212121325c c b b b b b a a a a a e ed d D ⨯-=由公式（2-10）式，得0054354321215==b b b a a a e e d d D .4 结论行列式的计算方法灵活多变，但万变不离其宗，在计算时一定要仔细观察其类型特点，恰当运用行列式计算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解.选择行列式计算方法最主要的还是看行列式元素分布的规律，例如用范德蒙德行列式计算时，要注意行列式中元素的分布要与范德蒙德行列式有所相似，才能对行列式进行转换变成范德蒙德行列式计算，否则盲目的进行转换不仅不能使行列式计算更快捷反而会使计算更繁杂.所以要按不同的情况进行选择：（1）对于阶数较低的行列式可以直接用定义、性质或是化三角法进行计算；（2）而阶数较高的行列式可以进行降阶递推计算，或者进行拆分计算.当然在选择这些计算方法时不一定是一种方法独立进行计算，也可以是多种方法的综合计算，例如可以对行列式进行降阶，再根据性质展开递推出行列式的结果；也可能先对行列式进行加边升阶再递推降阶计算.有时对于一个行列式也可以有很多种计算方法计算.因此，要对行列式的性质和定理等相关的基础非常的熟悉，了解各种行列式计算方法的不同，才能针对不同的行列式选择最适合的计算方法.利用高等数学理论与方法解决初等数学问题具有很强的优越性.可以利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决了初等数学中的一些较繁与较难解决的问题. 本文较全面的介绍行列式的几种计算方法，然而行列式的计算方法很多，无法一一列举，本文只介绍了其中一部分.致谢四年的读书生涯在这个季节即将画上句号.首先，我要感谢大学以来的老师们，是他们传授了我很多知识，带我走进了数学这个神奇的领域，同时也交给了我很多学习方法，使我受益匪浅；其次，感谢这篇论文所涉及的各位学者，本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者研究成果的帮助和启发，我将很难完成本片论文的写作.在此，尤其要感谢我的论文指导老师—汪宝彬老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的进行论文的修改与改进，谢谢老师！参考文献[1]王萼芳. 石生明. 《高等数学》[M ] . 高等教育出版社, 2003.[2]万广龙.《行列式的计算方法与技巧》[J].大庆师范学院数学科学学院,2005.[3]黄璞生,赵冰,赵生久.《线性代数题解手册》[M].北京:机械工业出版社,2004.[4]黄光谷.《高等代数辅导与习题解答》[M].武汉:华中科技大学出版社,2005.[5]张学茂.《行列式计算的几种新方法》[J]. 江苏泰州师范高等学校, 2008.[6]杨家骐.《高等代数在初等数学中的应用》[M]. 济南: 山东教育出版社, 1992.[7]齐成辉.《求解行列式的方法和技巧》[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2003.[8]徐胜林，孙平.《几类特殊行列式的求解方法》[J].高等函授学报(自然科学版)，2002.[9]同济大学数学系.《线性代数》[M].北京：高等教育出版社，2007.[10]蒋银山.《行列式的计算》，[J].广东外语外贸大学南国商学院教师，2009.[11]陈文华.《计算行列式的几种特殊方法》[J]．保山师专学报，2009.[12]毛纲源.《线性代数解题方法技巧归纳》(第二版)[M].华中科技大学出版社，2000.17。
三角形中的最值问题
第42课 三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ； （2）△ABC 中，当A=3π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值范围是 21>m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==，令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得21>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值范围是 30º＜B ＜45º ．4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则rR5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值范围是 0°＜B ≤120° ．6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．①A sin >B sin ； ②A cos <B cos ； ③A 2sin >B 2sin ； ④A 2cos <B 2cos ． 解 A>B ⇔a >b A R sin 2⇔>B R sin 2⇔A sin >B sin ，故①正确；A cos <B cos ⇔)2sin(A -π<)2sin(B -π⇔A>B ，故②正确（或由余弦函数在(0,)π上的单调性知②正确）；由A 2cos <B 2cos ⇔212sin A -<212sin B -⇔A sin >B sin ⇔A>B ，故④正确．知识梳理1．直角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若内切圆的半径为r ，则2a b cr +-=． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．点评例2 已知△ABC 中，1,2a b ==．（1）求最小内角的最大值； （2）若△ABC 是锐角三角形，求第三边c 的取值范围．解 （1）由三角形三边关系得第三边c 满足122112c,c ,c ,+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩解得13c <<，故最小内角为A ．又22223131cos 2444b c a c A c bc c c +-+===+⨯=()≥（当且仅当c =，所以A ≤30°，即最小内角的最大值为30°． （2）因为△ABC 是锐角三角形，即A ，B ，C 三个角均为锐角，又因为a ＜b ，所以A ＜B ，故只需说明B ，C 为锐角即可．由B ，C 为锐角得0<cos 10<cos 1B ,C ,<⎧⎨<⎩ 即221401214014c ,cc ,⎧+-<<⎪⎪⎨+-⎪<<⎪⎩c <<点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“内角A 为锐角0<1cos A ⇔<”．例3 （2008江苏）求满足条件BC AC AB 2,2==的△ABC 的面积的最大值．解 设BC ＝x ，则AC．根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯= 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有2,2,x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当212,x x ==时ABC S ∆= 点评例4 如图，已知∠A=30°，P ，Q 分别在∠A 的两边上，PQ=2．当P ，Q 处于什么位置时，△APQ 的面积最大？并求出△APQ 的最大面积．点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．例5 已知△ABC 的周长为6，||,||,||BC CA AB 成等比数列，求： （1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BC BA ⋅的取值范围． 解 设||,||,||BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b 2 =ac ．由622a c bb ac +-==≤得02b <≤（当且仅当a =c 时，等号成立）， 又由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥（当且仅当a =c 时，等号成立），故有03B π<≤，（1）22111sin sin 2sin 32223S ac B b B π==⋅⋅=≤，即max 3S =（当且仅当a =b =c 时，等号成立）；（2）22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅222(6)3(3)272b b b --==-++． 02,218b BA BC <⋅<∴≤≤．点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．方法总结1．三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的范围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．2．三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关系决定．3．三角形中面积的最值（范围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的范围．练习42 三角形的最值问题班级 姓名 学号1．若直角三角形斜边的长m （定值），则它的周长的最大值是 m ．2．在锐角△ABC 中，若2C B =，则ACAB解B B BC AC AB sin 2sin sin sin ==B cos 2=，而46ππ<<B ，32<<ACAB．3．在△ABC 中，若1b ==，则A 的取值范围是 0º＜B ≤45º ． 4．若2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则x 的取值范围是 )13,5( ．5．若三角形两边之和为16 cm ，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是 周长的最小值是 24 ．6．已知△ABC 中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC 的最大值为___． 7．钝角三角形的三边为2,1,++a a a ，其中最大角不超过120°，则a 的取值范围是332a <≤ ． 解 由题意钝角三角形中，2+a 为最大边且最大角不超过120°，因此得2)1(+>++a a a ①，222)2()1(+<++a a a ②，222121cos 212a (a )(a )A a(a )++-+=-+≥ ③，由①得1>a ，②得31<<-a ，③得a ≤1-或a ≥23，故23≤3<a ． 8．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =9，S △COD =16，则四边形面积的最小值是 49 ．9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 610 cm 2． 解 由题意可围成以下几种三角形． 图（1）中，115cos sin 44,θθ==，415S =； 图（2）中，210210sin 7AD ,θ==，610S =； 图（3）中，13cos sin 2,θθ==，103S =．比较 上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为610cm 2．点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．10．在△ABC 中，已知223coscos 222C A a c b +=． （1）求证：a 、b 、c 成等差数列； （2）求角B 的取值范围．解11．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，∠EAF=30°，求△AEF 面积的最小值．解 设△AEF 的面积为S ，∠BAE=θ（15º≤θ≤45º），则由∠EAF=30°得∠DAF=60θ-． ∵正方形ABCD 的边长为a ， ∴在Rt △BAE 中，cos cos AB aAE θθ==； 在Rt △DAF 中，cos(60)cos(60)AD aAF θθ==--，∴1sin 2S AE AF EAF =⋅⋅∠ 21sin302cos cos(60)4cos cos(60)a a a θθθθ=⋅⋅⋅=--22==22==22==2222sin(230)12sin(23030)13a a a θ==++⨯++≤．12．（2008四川延考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是,,a b c ，已知2222a c b +=．（1）若4B π=，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值．解 （1）由题设及正弦定理，有222sin sin 2sin 1A C B +==．故22sin cos C A =．因A 为钝角，所以sin cos C A =-．由cos cos()4A C ππ=--，可得sin sin()4C C π=-，C=8π，A=58π．（2）由余弦定理及条件2221()2b a c =+，有22cos 4a c B ac+=，故cos B ≥12．由于△ABC 面积1sin 2ac B =，又ac≤221()42a c +=，sin B≤2， 当a c =时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC 面积的最大值为142⨯=备用题1．直角△ABC 的斜边AB=2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值为 21- ．2．在△ABC 中，已知sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，求证：3sin 5C ≤． 解 等式sin 2A + sin 2B = 5sin 2C 立即联想正弦定理，有a 2+b 2=5c 2． 而a 2+b 2=5c 2与余弦定理连起来也无可非议． ∵c 2= a 2+b 2－2ab cosC ，∴5c 2= c 2+2ab cosC ，∴4c 2=2ab cosC ．于是可知cosC ＞0，C 为锐角，而5c 2= a 2+b 2≥2ab ， 故4c 2=2ab cosC ≤5c 2cosC ． ∴cosC ≥45，∴sinC ≤35． 点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中．3．已知△ABC 的内角满足)cos (cos sin sin sin C B A C B +=+． （1）求A ； （2）若△ABC 的面积为4，求△ABC 周长的最小值．4．如图，边长为a 的正△ABC 的中心为O ，过O 任意作直线交AB 、AC 于M 、N ，求2211ON OM +的最大值和最小值． 答案 最大值218a 、最小值215a．5．如图∠A = 90°，∠B = α，AH = h ，α，h 为常数，AH ⊥BC 于H ，∠AHE=∠AHD = x ，问当x 取何值时，△DEH 的面积最大？并求出最大面积．。
考研数学三类行列式计算分析
考研数学三类行列式计算分析行列式是线*代数的重要考察点，出题比较灵活，考生需熟练掌握。
小编为大家精心准备了考研数学三类行列式计算指南，欢迎大家前来阅读。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。
三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的*质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。
特殊低阶行列式可以直接利用行列式的*质进行求解。
对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：一是利用行列式的*质进行三角化，也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。
其中在高阶行列式中我是用加边法把其最终化为上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展开了，展开后有的时候就直接是上或者下三角形行列式了，但有时其还不是上下三阶，可能就要用到递推的类型来处理此类题目了。
总之，我们对于高阶行列式要求不是很高，只要掌握几种常见的情形的计算方法就可以了。
有的时候，对于那些比较特殊的形式，比如范德蒙行列式的类型，我们就直接把它凑成此类行列式，然后利用范德蒙行列式的计算公式就可以了，但是，我们一定要把范德蒙行列式的形式，一阶其计算方法给它掌握住，我们在上课时也给同学们讲解了其记忆的方面，希望同学们课下多多做些练习题进行巩固。
当然对于行列式我们有时可能还会用到克莱默法则和拉普拉斯展开来计算，只是这些都是些特殊的行列式的计算，其有一定的局限*，比如1995年数三就考到了一题用克莱默法则来处理的填空题。
对于抽象型行列式来说，其计算方法就有可能是与后面的知识相结合来处理的。