第1章振动
2019-2020年高中物理鲁科版选修3-4教学案：第1章 第4节 生活中的振动(含答案)
2019-2020年高中物理鲁科版选修3-4教学案：第1章第4节生活中的振动(含答案)1．阻尼振动的机械能不断减少，主要体现在振幅不断减小。
2．受迫振动是在周期性外力作用下的振动，其振动频率等于周期性驱动力的频率。
3．驱动力的频率越接近物体的固有频率，受迫振动振幅越大；当驱动力频率与物体的固有频率相等时，受迫振动振幅最大，这就是共振。
对应学生用书P12阻尼振动[自读教材·抓基础]1．定义指振幅不断减小的振动。
2．产生的原因振动系统克服摩擦力或其他阻力做功，系统的机械能不断减少，振幅不断减小。
3．阻尼振动的振动图像如图1-4-1所示，振幅越来越小，最后停止振动。
图1-4-14．实际应用实际问题中，如果要求系统很快回到平衡位置，就增大阻力；如果希望物体在某一段时间内的运动接近简谐运动，则应减小阻力。
[跟随名师·解疑难]阻尼振动和无阻尼振动的比较振动类型阻尼振动无阻尼振动比较项目产生条件受到阻力作用不受阻力作用(1)物体做阻尼振动时，振幅虽然不断减小，但振动的频率仍由振动系统的结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。
例如用力敲锣，由于锣受到阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
(2)物体做无阻尼振动，并不一定指它不受阻尼，而是指它在振动过程中振幅保持不变。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中()A．振幅越来越小，周期也越来越小B．振幅越来越小，周期不变C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变D．振动过程中，机械能不守恒，周期减小解析：选B因单摆做阻尼振动，根据阻尼振动的定义可知，其振幅越来越小。
而单摆振动过程中的周期是其固有周期，是由本身特点决定的，是不变的，故A、D项错误，B项正确；又因单摆做阻尼振动过程中，振幅逐渐减小，振动的能量也在减小，即机械能在减少，所以C项错。
1．受迫振动(1)驱动力：给振动物体施加的一个周期性的外力。
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
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第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
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– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
高中物理第一章机械振动第六节受迫振动共振学案(含解析)粤教版
第六节 受迫振动 共振振和防止共振．一、阻尼振动振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，也叫减幅振动；简谐运动的振幅保持不变，叫等幅振动．二、受迫振动1．驱动力作用于振动系统的周期性的外力．2．受迫振动振动系统在驱动力作用下的振动．3．受迫振动的频率做受迫振动的系统振动稳定后,其振动频率等于驱动力的频率,与系统的固有频率无关，即f 迫＝f 驱．三、共振1．条件驱动力频率等于系统的固有频率．2．特征共振时受迫振动的振幅最大．预习交流设计一个实验如图所示，一根张紧的水平绳上挂五个摆，其中A、E摆长相等，D摆摆长最长,B摆最短．开始时，各摆都静止，让A摆先摆动起来，然后带动其他摆跟着摆起来．观察和分析A、B、C、D、E这五个单摆摆动周期的关系，观察B、C、D、E四个摆在振动过程中振幅的大小关系．答案：这五个单摆摆动的周期相同,E摆振幅最大,D摆振幅最小．因为A摆振动起来后，通过张紧的水平绳给其余四个摆施加驱动力,驱动力的频率等于A摆的固有频率，其余四个摆在驱动力的作用下做受迫振动，故它们振动的频率都等于驱动力的频率，所以这五个单摆摆动的周期相同；A、E摆长相等,它们的固有频率相等．故E摆发生共振，所以E摆振幅最大,D摆摆长和A摆相差最多，两者的固有频率相差最多，故D摆的振幅最小．一、受迫振动1．有的同学认为“阻尼振动就是受迫振动，稳定振动就是自由振动”，对不对?与同学讨论后说出自己的看法．答案:阻尼振动是在阻力作用下的振动，受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动，所以两者不是一回事．自由振动是振动系统在固有周期下的振动，是自由的，不受外力驱动的；而稳定振动是指振动特征相对稳定的振动，比如受迫振动在稳定后，振动的周期和频率与驱动力的周期和频率相等．2．受迫振动中，若周期性的驱动力给系统补充的能量与系统因阻尼振动消耗的能量相等，那么物体振动的振幅是否变化？它能否看成简谐运动？答案：物体振动的振幅不变，即物体将做等幅振动．振动系统的总机械能不变，但不是简谐运动，因为简谐运动所受阻力可以忽略，并且振动的频率等于固有频率,属于自由振动．3．如图所示，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手,曲轴可以带动弹簧振子上下振动，问:（1）开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动,测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么运动？其固有周期和频率各是多少？(2）在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后,振子做什么运动？振动频率为多少？（3）若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大?答案：(1)振子做简谐运动，其固有周期T固＝错误!s＝0。
模态分析与实验 第一章
jωk t
+ c−k e
−jωk t
=
k=−∞
ck ejkω0 t
(1-6)
在式 (1-1) 中， 若令 Ak =
2 则 a2 k + bk , A0 = a0 ， ∞
xT (t) = A0 +
k=1
Ak sin(ωk t + θk )
(1-7)
这里 Ak 反映了频率为 kω 的谐波在 xT (t) 中所占的份额， 称为振幅。 在复指数形式中， 第 k 次谐波为 ck ejωk t + c−k e−jωk t 1 1 其中， ck = (ak − jbk )， c−k = (ak + jbk )， 则 2 2 |ck | = |c−k | = 即 Ak = 2|ck |, k = 0, 1, 2, · · · 。 –3– 1 2
2F0 =− T bk 2 = T 2 =− T 2F0 = T =
T 2
0
2F0 cos ωk tdt + T
T 2
0 0 −T 2
cos ωk tdt = 0 2 F0 sin ωk tdt + T
T 2 T 2
−T 2
2 F (t) sin ωk tdt = − T
0
0
F0 sin ωk tdt
= a0 +
k=1 ∞
= a0 +
k=1
1 1 令 c0 = a0 ， ck = (ak − jbk )， c−k = (ak + jbk )， 则 2 2 其中 ck = 1 T
T /2 −T /2
xT (t)e−jkω0 t dt, c−k =
1 T
新教科版四年级上册科学第一单元《振动》教案
新教科版四年级上册科学第一单元《振动》
教案
一、教学目标
1. 了解振动的基本概念和运动特征；
2. 能够观察、探究、讨论物体的振动现象，初步认识常见振动
现象；
3. 发展学生科学探究能力和综合运用知识、分析问题的能力。
二、教学重点
1. 掌握振动的基本概念和运动特征；
2. 了解常见振动现象和规律。
三、教学难点
1. 如何通过实验和观察研究出物体的振动规律。
四、教学内容
1. 什么是振动？
2. 物体的振动规律；
3. 常见振动现象实例讨论；
4. 振动在生活中的应用。
五、教学过程
1. 通过图画、视频等形式介绍振动的基本概念和运动特征，让
学生初步认识振动现象；
2. 结合实验让学生观察、探究、讨论物体振动规律；
3. 通过案例，让学生了解常见的振动现象，并总结规律。
例如，音叉的振动规律、钟摆的运动规律等；
4. 结合生活实际，让学生认识到振动在生活中的应用，例如各
类交通工具的运动、楼房的结构等。
六、教学总结
通过本次教学，学生初步了解了振动的基本概念和运动特征，
探究、认识到常见的振动现象及其规律，加深了学生对科学探究的
理解和学习兴趣，也初步培养了学生的科学综合运用能力和问题解决能力。
2020_2021学年高中物理第一章机械振动4阻尼振动受迫振动
【核心归纳】 简谐运动、阻尼振动和受迫振动的比较:
振动类型 比较项目
产生条件
频率 振幅
简谐运动
不受阻力作用 固有频率 不变
阻尼振动
受阻力作用 频率不变 减小
受迫振动
受阻力和驱动力作用 驱动力频率
大小变化不确定
振动图像
形状不确定
实例
弹簧振子振动,单 敲锣打鼓发出的 扬声器纸盆振动发声、
摆做小角度摆动 声音越来越弱
4.阻尼振动 受迫振动
必备知识·自主学习
一、自由振动、阻尼振动 1.自由振动:系统___不__受__外__力____,也不受任何阻力,只在自身___回__复__力____作用下 的振动,又叫作___无__阻__尼__振__动____。 2.固有频率:___自__由____振动的频率。 3.阻尼:即阻力作用,通常包括___摩__擦__力____或其他阻力。 4.阻尼振动:振幅___逐__渐__减__小____的振动。
【情境思考】 如图为阻尼振动的振动图线,阻尼振动中,在振幅逐渐减小的过程中,振子的周 期如何变化?为什么?
提示:不变 周期与振幅无关
二、受迫振动与共振 1.驱动力:作用于振动系统的___周__期__性____的外力。 2.受迫振动:振动系统在___驱__动__力____作用下的振动。 3.受迫振动的频率:做受迫振动的频率等于___驱__动__力____的频率,与系统的固有频 率___无__关____。
摆回到最高点,所以周期为1.2 s,由T=2π l 可知该摆的摆长l= T2g =0.36 m,所
g
42
以选项D错误。
知识点二 共振的条件和规律 问题探究:
洗衣机在把衣服脱水完毕拔掉电源后,电动机还要转动一会才能停下来。在拔掉 电源后,发现洗衣机先振动得比较小,然后有一阵子振动得很剧烈,然后振动慢慢 减小直至停下来。 (1)开始时,洗衣机为什么振动比较小? (2)期间剧烈振动的原因是什么? 提示:(1)开始时,洗衣机的固有频率与脱水桶的频率相差较远。 (2)剧烈振动的原因是此时脱水桶的频率与洗衣机的固有频率接近。
高中物理第一章机械振动第4节阻尼振动受迫振动
12/9/2021
第二十五页，共二十九页。
(2)由于把手转动的转速为 4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为 f 驱＝4 Hz，周期 T 驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达稳定 状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有 频率(或周期)无关．即 f＝f 驱＝4 Hz，T＝T 驱＝0.25 s. (3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使驱动力的 频率 f 驱等于振子的固有频率 f 固，即 f 驱＝f 固＝2 Hz，故把手的 转速应为 n＝2 r/s. [答案] 见解析
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第七页，共二十九页。
明代抗倭名将戚继光曾在城墙根下每隔一定距离挖一深坑，坑 里埋置一只容量有七八十升的陶瓮，瓮口蒙上皮革，让听觉聪 敏的人伏在这个共鸣器上听动静，遇有敌人挖地道攻城的响声， 不仅可以发觉，而且根据各瓮瓮声的响度差异可以识别来敌的 方向和远近．你知道其中的道理吗？ 提示：戚继光是利用了共振的原理来感知敌人的军情的．
(1)共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象． (2)f 驱与 f 固相差越大，振幅越小；相差越小，振幅越大，f 驱＝ f 固，振幅最大．
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第十七页，共二十九页。
(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上一个电动
偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个
共振筛，筛子做自由振动时，完成 10 次全振动用时 15 s，在某
(多选)如图所示是单摆做阻尼运动的位移－时间图线， 下列说法中正确的是( )
A．摆球在 P 与 N 时刻的势能相等 B．摆球在 P 与 N 时刻的动能相等 C．摆球在 P 与 N 时刻的机械能相等 D．摆球在 P 时刻的机械能大于 N 时刻的机械能
第1节 机械振动
第十四章
命题点一 命题点二
第1节
机械振动
必备知识
关键能力
考情概览
命题点三
-13-
关于平衡位置 O 对称的两点,速度的大小、动能、 对称性特征 势能相等,相对平衡位置的位移大小相等;由对称点 到平衡位置 O 用时相等
第十四章
命题点一 命题点二
第1节
机械振动
必备知识
关键能力
考情概览
命题点三
-14-
典例1(多选)(2018· 天津卷)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在 坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则( ) 关闭
第十四章
机械振动和机械波 (选修3-4)
第十四章
第1节
机械振动
必备知识 关键能力
考情概览
-2-
考点及要求 简谐运动 Ⅰ 简谐运动公式和图 象 Ⅱ 单摆、单摆的周期 公式 Ⅰ 受迫振动和共振 Ⅰ 机械波、横波和纵 波 Ⅰ 横波的图象 Ⅱ 波速、波长和频率 (周期)的关系 Ⅰ
命题视角
对于振动 与波,高 考试题均 立足于对 基础知识 和基本研 究方法的 考查。
第十四章
第1节
机械振动
必备知识 关键能力
考情概览
-3-
考点及要求
命题视角 复习指要 考查点有简谐运动、振动 的周期和频率、共振、波 波的干涉和衍射现 长、单摆的周期公式、机 象 Ⅰ 械波的波长、频率、波速 多普勒效应 Ⅰ 关系、波的叠加、干涉和 实验:探究单摆的运 衍射等,应结合振动图象和 动、用单摆测定重 波的图象理解掌握。最近 力加速度 几年计算题考查倾向振动 的周期性和波的问题的多 解问题。
第十四章
命题点一 命题点二
第一章 振动和转动光谱 PPT课件
E = n2h2/(8md2)
结论：能量量子化，不连续
1.12量子力学谐振子
经典谐振子
量子力学
E=1/2FX2max
Evib=（+1/2）h
能级连续 Xmax 任意值 能级分离 ： 0，1，2
Evib=（+1/2）h
振动量子数，0，1，2，3， h普朗克常数，
振动频率
注意： 1 振动量子数不能取任意数值 2 振动能量是不连续的，能量是分立的数值 3 吸收光子后，可以从一个较低的能级跃迁到另一个较高的
同样时刻运动的轨迹
1.5 力学分子模型
The ratio of the stretching to bending force constants of the spring should be adjusted so that the ratio is about 8 or 10 to 1 which is approximately the ratio found in real molecules.
1.6 坐标与分子的振动 笛卡尔坐标 Cartesian displacement coordinates 内坐标 internal coordinates, 键长,键角 简正坐标 normal coordinate
CO2 反对称伸缩 X1氧原子1的笛卡尔位 移坐标，平衡点，X1=0， X2碳原子，平衡点0 X3氧原子2，平衡点 X3=0
红外和拉曼光谱导论
长春应用化学研究所
王海水
参考书： 1 Introduction To Infrared And Raman Spectroscopy
Norman B. Colthup, Lawrence H. Daly Stephen E. Wiberley Third Edition, Academic Press, 1990, San Diego 2 近代傅里叶变换红外光谱技术及应用 吴瑾光 主编 科学技术文献出版社, 北京,1994
3-4第1章第1节 简谐运动
第一节简谐运动一、预习与知识点梳理(一)、机械振动1.机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一中心位置两侧所做的运动，简称振动，这个中心位置称为平衡位置．2.弹簧振子：由小球和弹簧组成的的名称，是一个理想模型．如图所示．(二)、简谐运动1.回复力：当振动的物体离开平衡位置时，所受到的指向的力．2.简谐运动：物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成，并且总平衡位置的物体的运动．也称简谐振动．公式：F＝－kx.(三)、振幅、周期和频率1.振幅：振动物体离开平衡位置的，用A表示，单位是米，符号是m.物理意义：振幅是表示振动的物理量．2.周期和频率周期：振动物体完成一次所用的时间，用T表示，单位是秒，符号是s.频率：单位时间内完成的全振动的，用f表示，单位是赫兹，符号是Hz.周期与频率的关系：f＝1T，1 Hz＝1 s-1.物理意义：周期和频率都表示振动的快慢．(四)、简谐运动的能量1.振动系统的状态与能量的关系(1)振子的速度与动能：速度，动能．(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在，因而势能也在．2.简谐运动的能量简谐运动的能量一般指振动系统的，振动的过程就是和互相转化的过程．(1)在最大位移处，最大，为零；(2)在平衡位置处，最大，最小．(3)在简谐运动中，振动系统的机械能，因此简谐运动是一种的模型．3.决定能量大小的因素振动系统的机械能跟有关，越大，机械能就越大，振动就越强，对于一个确定的简谐运动是振动．(五)、弹簧振子的特点及回复力1.弹簧振子的特点(1)弹簧的质量可以忽略不计，可以认为质量全部集中于振子(小球)．(2)小球视为质点．(3)忽略一切阻力和摩擦力．(4)弹簧的形变在弹性限度内，则F＝kx.2.机械振动中的位移(1)位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段，方向为平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离．(2)位移也是矢量，若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移就为负．(3)区别机械运动中的位移：机械运动中的位移是从初位置到末位置的有向线段；在简谐运动中，振动质点在任意时刻的位移总是相对于平衡位置而言的，都是从平衡位置开始指向振子所在位置．特别提醒:振动的位移的起始位置都是平衡位置，位移的方向都是背离平衡位置的.3.简谐运动物体的回复力：F＝－kx(1)回复力是根据力的效果命名的，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某几个力的合力．(2)“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反．(3)公式反映出了回复力F的大小与位移量值间的正比关系，位移越大，回复力越大，位移增大为原来几倍，回复力也增为原来几倍．(4)“k”为F与x间的比例系数．对于弹簧振子，回复力与弹簧弹力有关，公式中k恰等于弹簧的劲度系数；一般情况k不等于弹簧的劲度系数．(5)物体做简谐运动到平衡位置时，回复力等于0，合外力可能不为零(如下节课学习的单摆)．(6)据牛顿第二定律，a＝Fm＝－km x，表明弹簧振子做简谐振动时的振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．(7)回复力是质点在振动方向上的合外力，它不一定是质点所受的合外力．（六）、周期、振幅、位移和路程1.全振动的特征(1)运动特征：物体第一次以相同的运动状态回到起始位置．(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)第一次同时与初始状态相同．(3)时间特征：历时一个周期．(4)路程特征：振幅的4倍．2.振幅与位移的关系(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离；位移是物体相对于平衡位置的位置变化．(2)振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，但位移却时刻变化． (3)振幅是标量；位移是矢量，方向为由平衡位置指向振子所在位置． (4)振幅在数值上等于位移的最大值． 3.振幅与路程的关系(1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅． (2)振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅．(3)振动物体在14T 内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有当14T 的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处，14T 内的路程才等于一个振幅．特别提醒:振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大． （七）、简谐运动中各物理量的变化 1.简谐运动的能量(1)一旦给振动系统以一定的能量(如拉力做功使弹簧振子偏离平衡位置，使系统具有一定的弹性势能)，使它开始振动，在振动过程中动能和势能相互转化，但总的机械能不变．(2)振幅决定着系统的总机械能，振幅越大，系统的总机械能越大． (3)简谐运动过程中能量具有对称性． 振子运动经过平衡位置两侧对称点时，具有相等的动能和相等的势能．(4)由于机械能守恒，简谐运动将以一定的振幅永远不停地振动下去，简谐运动是一种理想化的运动．特别提醒:(1)简谐运动中在最大位移处，x 、F 、a 、E p 最大，v ＝0，E k ＝0；在平衡位置处，x ＝0，F ＝0，a ＝0，E p 最小，v 、E k 最大．(2)简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒． 二、典型例题分析 【典例1】 一质量为m ，侧面积为S 的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示．现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．【变式1】如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是()．A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同C．振子在M、N两点加速度大小相等D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动【典例2】如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是()．A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1 s，振幅是10 cmC．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cmD．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm【变式2】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm.某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，则该振动的周期和频率分别为________、________；振子在5 s内通过的路程及5 s末的位移大小分别为________、________.【典例3】如图所示，质量为m的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是________，欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过________．三、巩固练习1．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，正确的是()．A．重力、支持力、弹簧的弹力B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力C．重力、支持力、回复力、摩擦力D．重力、支持力、摩擦力2．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中()．A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子的位移逐渐增大C．振子的速度逐渐减小D．振子的加速度逐渐减小3．关于振幅的各种说法中，正确的是()．A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅C．振幅等于振子运动轨迹的长度D．振幅越大，表示振动越强，周期越长四、课后练习A卷1．下列运动中属于机械振动的是()．A．小鸟飞走后树枝的运动B．爆炸声引起窗子上玻璃的运动C．匀速圆周运动D．竖直向上抛出物体的运动2．关于振动物体的平衡位置，下列说法中不正确的是()．A．加速度改变方向的位置B．回复力为零的位置C．速度最大的位置D．加速度最大的位置3．下列说法中正确的是()．A．弹簧振子的运动是简谐运动B．简谐运动就是指弹簧振子的运动C．简谐运动是匀变速运动D．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种4. 做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是()．A．速度B．加速度C．位移D．动能5．做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内()．A．振子的位移越来越大B．振子正向平衡位置运动C．振子速度与位移同向D．振子速度与位移方向相反6．一水平的弹簧振子，以平衡位置O点为中心，在A、B两点间做简谐运动，则()．A．振子在O点时的速度和加速度都达到最大值B．振子的速度方向改变时，位移方向就改变C．振子的加速度值变大时，速度值一定变小D．振子从A点运动到AO的中点，再运动到O点，两段位移运动时间相等7．下列关于简谐运动振幅、周期和频率的说法中正确的是()．A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处B．周期和频率的乘积不一定等于1C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关8．如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间振动，则()．A．从B→O→C→O→B为一次全振动B．从O→B→O→C→B为一次全振动C．从C→O→B→O→C为一次全振动D．OB的大小不一定等于OC9．关于振幅，下列说法中正确的是()．A．物体振动的振幅越大，振动越强烈B．一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大C．振幅越大，物体振动的位移越大D．振幅越大，物体振动的加速度越大10．如图所示，弹簧一端固定在天花板上，另一端挂一质量为m的物体，今托住物体使弹簧没有发生形变然后将物体无初速度释放而做简谐运动，在物体从开始运动到最低点的过程中物体的重力势能________，弹簧弹性势能________，物体动能________，(填“增大”或“减小”)而总的机械能________．11．弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法中正确的是()．A．在平衡位置时它的机械能最大B．在最大位移时它的弹性势能最大C．从平衡位置到最大位移处它的动能减小D．从最大位移到平衡位置处它的机械能减小12．取一根轻弹簧，上端固定在铁架台上，下端系一金属小球，如图1-1-9所示，让小球在竖直方向离开平衡位置放手后，小球在竖直方向做简谐运动(此装置也称为竖直弹簧振子)，一位同学用此装置研究竖直弹簧振子的周期T与质量m的关系，为了探索出周期T与小球质量m的关系，需多次换上不同质量的小球并测得相应的周期，现将测得的六组数据标示在以m为横坐标，T2为纵坐标的坐标纸上，即图中用“×”表示的点．(1)根据图中给出的数据点作出T2与m的关系图线．(2)假设图中图线的斜率为b，写出T与m的关系式为________．(3)求得斜率b的值是________．(保留三位有效数字)13．弹簧振子从距离平衡位置5 cm处由静止释放，4 s内完成5次全振动．(1)这个弹簧振子的振幅为________cm，振动周期为________s，频率为________Hz.(2)4 s末振子的位移大小为多少？4 s内振子运动的路程为多少？(3)若其他条件不变，只是使振子改为在距平衡位置2.5 cm处由静止释放，该振子的周期为多少？B卷14．如图所示，A、B两物体的质量都为m，拉A物体的细线与水平方向的夹角为30°时处于静止状态，不考虑摩擦力，设弹簧的劲度系数为k.若悬线突然断开后，A在水平面上做周期为T的简谐运动，当B落地时，A恰好将弹簧压缩到最短，求：(1)A振动时的振幅；(2)B落地时速度的大小．第一节 简谐运动参考答案例1：解析 以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx 深，当木块被压入水中x 后所受力如图所示，取向下为正方向，则F ＝mg －F 浮`①又F 浮＝ρgS (Δx ＋x )② 由①式和②式，得F ＝mg －ρgS (Δx ＋x )＝mg －ρgS Δx －ρgSx .mg ＝ρgS Δx ，所以F ＝－ρgSx . 即F ＝－kx (k ＝ρgS )．所以木块的振动为简谐运动．变式1：答案 C例2：答案 D 解析 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s ＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm.弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4 A ＝20 cm ，所以两次全振动中通过路程为40 cm,3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm. 变式2：答案 1.0 s 1.0 Hz 200 cm 10 cm例3：答案 12mg 2A 解析 物体做简谐运动时在最低点对弹簧的压力最大，在最高点时对弹簧的压力最小．物体在最高点的加速度与在最低点的加速度大小相等，回复力的大小相等．m 在最低点时：F 回＝1.5mg －mg ＝ma ①m 在最高点时：F 回＝mg －N ＝ma ②由①②两式联立解得N ＝12mg由以上可以得出振幅为A 时最大回复力为0.5mg所以有kA ＝0.5mg ③欲使物体在振动中不离开弹簧，则最大回复力为mg ， 所以有kA ′＝mg ④由③和④联立得A ′＝2A .巩固练习：1．答案 A 2．答案 D 3．答案 A 课后练习：1．答案 AB 2．答案 D 3．答案 A4．答案 BCD 解析 振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向都相同，速度的大小相同，但方向不一定相同，因此B 、C 、D 正确．5．答案 BD 解析 因振子速度越来越大，可判定振子正向平衡位置运动，而位移总是背离平衡位置的，因此速度与位移方向相反，所以选项A 、C 错误，B 、D 正确．6．答案 C 解析 振子在O 点时，速度达到最大值，但这时的位移为零，加速度也为零，选项A 错．振子的速度方向改变时，位移方向没有改变，只是从最大值逐渐减小，选项B 错．振子的加速度值变大时，振子一定在做减速运动，速度值一定是变小的，选项C 对．振子从A 点运动到AO 的中点时的速度是从零增加到一定值，从中点再运动到O 点时的速度是从这个值再增加到最大值，因此平均速度是不同的，而两段位移相同，故运动的时间是不相等的，选项D 错．7．答案 D 解析 振幅A 是标量，选项A 错误；周期与频率互为倒数，即Tf ＝1，选项B 错误；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，所以选项C 错误，D 正确．8．答案 AC 解析 O 为平衡位置，B 、C 为两侧最远点，则从B 起经O 、C 、O 、B 路程为振幅的4倍，即A 说法对；若从O 起始经B 、O 、C 、B 路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B 说法错；若从C 起经O 、B 、O 、C 路程为振幅的4倍，即C 说法对；因弹簧振子的系统不考虑摩擦，所以振幅一定，D 错．9．答案 AB 解析 物体振动的能量由振幅来决定，振幅越大，振动能量越大，振动越强烈，因此A 、B 正确．振幅是质点离开平衡位置的最大距离，与位移无关，而加速度随时间时刻变化，所以C 、D 不正确．10．答案 减小 增大 先增大后减小 不变解析 挂在弹簧下的物体做简谐运动，选地板为重力势能的零势面，物体从开始运动到最低点这一过程中，物体离地面的距离不断减小，则重力势能不断减小，弹簧的长度不断增大，则弹性势能不断增大，物体由静止变为运动，到达平衡位置时，速度增大到最大，由平衡位置运动到最低点过程中，速度不断减小，所以动能先增大后减小，但总机械能不变．11．答案 BC 解析 简谐运动过程中机械能守恒，因此选项A 、D 错误；在最大位移处，弹簧形变最大，因此弹性势能最大，选项B 正确，从平衡位置到最大位移处，x ↑→v ↓→E k ↓，选项C 正确．12．答案 (1)作图略 (2)T ＝bm (3)1.23～1.27均可 13．答案 (1)5 0.8 1.25 (2)5 cm 100 cm (3)0.8 s解析 (1)根据题意，振子从距平衡位置5 cm 处由静止释放，说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5 cm ，即振幅为5 cm.振子在4 s 内完成5次全振动，则T＝0.8 s ，又因为f ＝1T，则f ＝1.25 Hz.(2)4 s 内完成5次全振动，即振子又回到原来的初始位置，因而位移大小为5 cm ，振子做一次全振动的路程为20 cm ，则5次全振动路程为100 cm. (3)弹簧振子的周期是由弹簧的劲度系数和振子的质量决定的，其固有周期与振幅大小无关，故周期仍为0.8 s.14．答案 (1)3mg2k (2)(2n ＋1)2gT (n ＝0,1,2…)解析 (1)线断前，线的拉力F ＝mg ，设此时弹簧伸长为x 0，F cos 30°＝k x 0，得x 0＝3mg2k.线断后，在弹力作用下，A 做简谐运动的振幅为A ＝x 0＝3mg2k.(2)A 将弹簧压缩到最短经历的时间为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋n T (n ＝0,1,2…)，在t 时间末B 落地，速度v 的大小为v ＝gt ＝(2n ＋1)2gT (n ＝0,1,2…)．。
机械振动学 第一章 陈耀东
第一章机械振动学基础第一节引言机械系统振动问题的研究包括以下几方面的内容：1．建立物理模型要进行机械系统振动的研究，就应当确定与所研究问题有关的系统元件和外界因素。
比如汽车由于颠簸将产生垂直方向的振动。
组成汽车的大量元件都或多或少地影响到它的性能。
然而，汽车的车身及其他元件的变形壁汽车相对于道路的运动要小得多，弹簧和轮胎的柔性比车身的柔性要大得多。
因而，根据工程分析的要求，我们可以用一个简化的物理模型来描述它。
或者说，为了确定汽车由于颠簸而产生的振动，可以建立一个理想的物理系统，它对外界作用的响应，从工程分析的要求来衡量，将和实际系统接近。
应当指出，一个物理模型对于某种分析是合适的，并不表示对于其他的分析也适合。
如果要提高分析的精度，就可能需要更高近似程度的物理模型。
图1.1-1和图1.1-2是分析汽车由于颠簸产生振动的两个物理模型。
在低颠和低振级的情况下，若把人体看做一个机械系统，就可以用图1.1-3所示形式的线性集总参量系统来粗略近似。
不幸的是，怎样才能得到一个确切描述实际系统的物理模型还没有一般的规则。
这通常取决于研究者的经验和才智。
2．建立数学模型有了所研究系统的物理模型，就可以应用某些物理定律对物理模型进行分析，以导出一个或几个描述系统他特征的方程。
通常，振动问题的数学模型表现为微分方程的形式。
3.方程的求解要了解系统所发生运动的特点和规律，就要对数学模型进行求解，以得到描述系统运动的数学表达式，通常，这种数学表达式是位移表达式，表示为时间的函数。
表达式表明了系统运动与系统性质和外界作用的关系。
4.结果的阐述根据方程解提供的规律和系统的工作要求及结构特点，我们就可以作出设计或改进的决断，以获得问题的最佳解决方案。
本教程的重点是论述机械振动系统的数学模型的建立和方程的求解这两个问题。
第二节机械振动的运动学概念机械振动是一种特殊形式的运动。
在这种运动过程中，机械运动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
第001章 自由振动
θ ω0
π ω0
2π
3π
ω0
ω0
图1.2
《振动力学》讲义 第1章 自由振动 振动的大小和起始状态由振幅A和初相角θ 两个常数确定， 即由初始条件确定，它们与系统本身无关。 振动的波动特性（简谐特性），由参数 ω 0 确定， 它只取决于系统本身的物理参数，同时它表征位移周期 性变化的快慢，再由于它的量纲为『角度/时间』，因此 参数 ω 0 称为系统的固有角频率，简称固有频率或自然频率。 系统的振动周期T和振动频率为
k2x2 (a +b) = k3x3a
《振动力学》讲义 第1章 自由振动
k3b k3a x3， x2 = x3 得： x1 = k1 ( a +b) k2 ( a +b)
1 2 1 2 1 2 V = k1x1 + k2x2 + k3x3 2 2 2 b2k3 a2k3 1 2 ]x3 = k3[1+ + 2 2 2 (a +b) k3 (a +b) k2
x = eλ t
λ 2 + ω02 = 0
特征值为 λ＝ ± iω 0， = − 1 为虚数单位 i
方程复数形式的特解为 e λ t = e i ω 0 t = cos ω 0 t + i sin ω 0 t 和 e − λ t = e − i ω 0 t = cos ω 0 t − i sin ω 0 t cos ω 0 t 和 sin ω 0 t
《振动力学》讲义
主讲人： 主讲人：何锃
华中科技大学土木工程与力学学院
力学系
参考教材： 参考教材： 等编著. 振动力学》 高等教育出版社， 刘延柱 等编著.《振动力学》.高等教育出版社，2002
振动原理资料
振动原理振动原理是力学中一个重要的概念，它涉及物体在受到外力作用时产生的周期性运动。
振动是许多物理现象的基础，包括声音传播、机械波的传播等，因此对振动原理的深入理解对于理解自然界中许多现象至关重要。
振动基本概念振动的基本概念可以通过一个简单的例子来说明：当一个弹簧悬挂着一个重物，当将这个重物向下拉开一段距离然后释放，重物会因为受到的重力而产生来回运动，这种周期性的来回运动就称为振动。
在这个过程中，弹簧被拉伸和压缩，这种弹簧的变形是振动的结果。
振动的特征振动具有一些特征，包括振幅、频率和周期。
振幅是指振动物体从平衡位置到最大位移的距离，频率是指单位时间内振动的次数，周期是指完成一个完整振动运动所需的时间。
这些特征可以帮助我们描述和分析振动。
振动的分类根据振动的性质和特点，振动可以分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指没有外力作用下的振动，比如弹簧振子在没有外力作用下的来回摆动；受迫振动则是指有外力作用下的振动，比如摆钟受到重力的影响进行来回摆动。
此外，振动还可以分为谐振动和非谐振动。
谐振动是指振动物体的加速度与位移成正比的振动，非谐振动则是指振动物体的加速度与位移不成正比的振动。
振动的应用振动原理在生活和工程领域有着广泛的应用。
例如，振动传感器可以用于检测机械设备的振动情况，振动吸收器可以用于减少汽车行驶时产生的震动，振动台可以用于测试产品的耐用性等。
振动原理也被应用于音响设备、振动筛选机等各个领域。
结语振动原理是一门深奥的物理学原理，它在自然界和工程领域都有着广泛的应用。
通过对振动原理的研究和理解，我们可以更好地掌握自然规律，提高生产效率，改善生活质量。
深入学习和探索振动原理将会给我们带来更多的启示和机遇。
第 1 章 振动
F = − kx
由牛顿第二定律
O
r F
x
m
r x
d2x F = ma = m 2 = − kx dt d2x k + x=0 2 dt m
二、简谐振动方程
k 则 令 ω = m 2 d x + ω 2 x = 0, 即 a = −ω 2 x dt 2
2
是简谐振动的动力学方程， 是简谐振动的动力学方程，其解为 动力学方程 x = Acos(ωt + ϕ) 或 x = Asin(ωt + ϕ) 为待定积分常量。 式中 A , ϕ 为待定积分常量。 习惯上用余弦形式 习惯上用余弦形式。
由此解得
A=
v 0 = −ωA sin ϕ
x0 +
2
ω2
v0
2
例 P. 13
v0 ) ϕ = arctan( − ωx0
四、简谐振动的速度、加速度 简谐振动的速度、 的速度 简谐振动的位移 简谐振动的位移 简谐振动 的速度
x = A cos(ωt + ϕ )
dx v= = −ωA sin(ωt + ϕ ) dt = v m cos(ωt + ϕ +
相。 x1
x2
三、旋转矢量图示法（相量图法） 旋转矢量图示法（相量图法 由初始条件确定振幅 A 和初相ϕ 初始条件确定振幅
dx x = A cos(ωt + ϕ ), v = = −ωA sin(ωt + ϕ ) dt x = x0 , v = v0 初始条件 t = 0,
x0 = A cos ϕ ,
即振动总机械能是恒量，并与振幅平方成正比。 即振动总机械能是恒量，并与振幅平方成正比。
第1章多自由度系统的固有振动特性
第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。
多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。
因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。
§1.2 无阻尼系统的自由振动1．振动方程（1－1），为广义位移矢量2．质量矩阵物理意义动能（1－2）（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移使（1－3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。
即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。
3．刚度矩阵的物理意义势能（1－4）（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”4．特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。
（1－5）求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。
5．几个基本概念（1）固有频率特征方程的根为，即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。
（2）固有模态或固有振型对应于特征方程根的特征矢量（1－6）它反映了结构自由振动在空间的变化特性。
（3）标准模态对固有模态归一化（1－7）则称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1）置中某一分量为12）置中绝对值最大的分量为13）置模态质量为1，（1－8）（4）刚体模态：对应于（1－9）纯刚体模态：仅含有一种刚体运动（5）纯静态模态：使的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使（1－10）（6）单频：称为单频。
（7）重频：称为重频，但相应有两个模态。
（8）密频或近频：通常当时，可以称为密频§1.3 固有频率与固有模态的特性1．正交性指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：（1－11）证明：由（1－12）分别前乘，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。
第1章 1.5 受迫振动与共振
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6.如图 1-5-7 所示，在曲轴 A 上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可 以带动弹簧振子上下振动.问：
图 1-5-7
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(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测 得振子在 10 s 内完成 20 次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各 是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
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振动物体的机械能不 由产生驱动力的物体 振动物体获得的
振动能量
变
提供
能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机械运转时底座发生 共振筛、声音的共
的振动
鸣等
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2.共振曲线的理解和应用 (1)两坐标轴的意义 纵轴：受迫振动的振幅，如图 1-5-4 所示.横轴：驱动力频率.
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•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 4:42:57 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
第1章 质点的振动
实数形式 分析：
A e tcos(0 t0)
（1） 衰减模量：振动位移振幅衰减到初始值的1/e倍的 时间 （单位为秒）
1 2Mm
Rm
16
（2）小阻尼对振动频率的影响：
0 0 220 1 0 2 20 1 0 2 2
如果： 0
0
022
0
2 102
0
——小阻尼对振动频率的影响很小！
（3）小阻尼对振动幅度的影响：相隔一个周期的 相邻两次振动振幅的比值
振动系统元件 质量块Mm 弹簧（弹性系数或劲度系数Km ）
3
系统受力分析：弹力 FK 牛顿第二定律
d 2
Mm dt2 FK
虎克定律：弹簧在弹性限度内
FK Km
自由振动方程
d 2
dt2
02
0
0
Km Mm
4
方程的解
( t ) A c o s 0 t B s i n 0 t C c o s (0 t 0 )
——速度与频率无关！
压强式电容传声器
38
传声器的开路电压与振膜位移的关系:
E E0 D
E0:极化电压；D：振膜与后 电极之间静态距离
——与振动的位移成正比！
一般要求频响尽量平坦，由于在弹性控制区，位移与 频率无关，故使固有频率很高，在20—20kHz范围内， 都有 z1:f f0
第1章 1 简谐运动
1．简谐运动1．机械振动物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动．这个位置称平衡位置．2．简谐运动(1)弹簧振子在光滑的水平杆上套着一个小球，弹簧一端固定，另一端连接在小球上，小球可以在杆上滑动．小球和水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计．这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称为振子．(2)回复力当弹簧振子的小球偏离平衡位置时，都会受到一个指向平衡位置的力，这种力叫做回复力．(3)简谐运动如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动．弹簧振子的振动是简谐运动．做简谐运动的振子称为谐振子．注：简谐运动是最简单、最基本的振动．一切复杂的振动都可看成是若干简谐运动的叠加．[再判断]1．机械运动是匀速直线运动．(×)2．弹簧振子是一种理想化的模型．(√)3．弹簧振子的平衡位置都在原长处．(×)4．振动的物体可以做直线运动，也可以做曲线运动．(√)[后思考]1．如图1-1-1在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？图1-1-1【提示】在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端．动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置时．2．机械振动的物体到达平衡位置的右侧，它所受的回复力指向什么方向？【提示】回复力的方向总是指向平衡位置，故方向向左．1．简谐运动回复力的性质及来源(1)回复力是根据力的作用效果命名的，其方向总是指向平衡位置，作用总是要把物体拉回到平衡位置．(2)回复力的来源可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图1-1-2甲所示，水平方向的弹簧振子．如图乙所示，竖直方向的弹簧振子．如图丙所示，m随M一起振动．图1-1-22．简谐运动的回复力、加速度、速度、动能的变化规律(1)回复力、加速度向着平衡位置运动，越来越小；平衡位置处为零，最大位移处最大．(2)速度、动能向着平衡位置运动，越来越大；平衡位置处最大，最大位移处为零．3．物体做简谐运动时的位移(1)位移的规定简谐运动中的位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段，在振动中，不管振动质点初始时刻的位置在哪儿，振动中的位移都是从平衡位置开始指向振子所在的位置．这与一般运动中的位移不同，一般运动中的位移都是由初位置指向末位置．(2)位移的方向简谐运动中的位移也是矢量，规定正方向后，若振动质点偏离平衡位置的位移与规定的正方向相同，位移为正，与规定的正方向相反，位移为负．4．理解简谐运动的对称性如图1-1-3所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C、D两点关于O点对称，则有：图1-1-3(1)时间的对称t OB＝t BO＝t OA＝t AO，t OD＝t DO＝t CO＝t OC，t DB＝t BD＝t AC＝t CA.(2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如图1-1-3中的D点)的速度大小相等，方向相反．②物体经过关于O点对称的两点(如图1-1-3中的C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．(3)位移、回复力、加速度对称①物体连续两次经过同一点(如图1-1-3中的D点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相同．②物体经过关于O点对称的两点(如图1-1-3中的C与D点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相反．1．下列关于振动的回复力的说法正确的是()A．回复力方向总是指向平衡位置B．回复力是按效果命名的C．回复力一定是物体受到的合力D．回复力由弹簧的弹力提供E．振动物体在平衡位置所受的回复力是零【解析】回复力是按效果命名的，是指向平衡位置使振动物体回到平衡位置的力，可以由某个力或某几个力的合力提供，也可以由某个力的分力提供，故A、B正确，C错误；在水平弹簧振子中弹簧的弹力提供回复力，但在其他振动中，不一定由弹簧的弹力提供，D错误；振动物体在平衡位置受到的回复力是零，E正确．【答案】ABE2．如图1-1-4，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是()【导学号：18640000】图1-1-4A．振子的位移大小在减小B．振子的运动方向向左C．振子的位移方向向左D．振子的位移大小在增大E．振子所受的回复力在减小【解析】本题中位移的参考点应是O点，所以C、D错误．由于振子在O 点的右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，且大小在不断减小，回复力的大小和位移成正比，故减小，正确答案为A、B、E.【答案】ABE3.如图1-1-5所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是()图1-1-5A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移大小相同C．振子在M、N两点加速度大小相等D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动E．从M点到N点振子的动能先增大，后减小【解析】因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反．由此可知，A错误，B正确．振子在M、N 两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确．振子由M―→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O―→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．振子由M到N的过程中，其动能先增大后减小，故E正确．【答案】BCE分析简谐运动应注意的问题1．位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．2．回复力是变力，大小、方向发生变化，加速度也随之发生变化．3．要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而确定各物理量及其变化情况．1．振幅(A)(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离．(2)物理意义：表示振动强弱的物理量，是标量．2．周期(T)和频率(f)弹簧的势能和振子的动能之和就是振动系统的总机械能E，如果不考虑摩擦和空气阻力，振动系统的总机械能守恒．[再判断]1．振动物体的周期越大，表示振动的越快．(×)2．物体离开平衡位置的最大距离叫做振幅．(√)3．振幅随时间做周期性变化．(×)4．物体两次通过平衡位置的时间叫做周期．(×)[后思考]1．简谐运动中物体始、末位移相同的一个过程一定是一次全振动吗？【提示】不一定．一个全振动过程，物体的始末位移一定相同；但始末位移相同的一个过程，不一定是一次全振动．2．如果改变弹簧振子的振幅，其振动的周期是否会改变呢？弹簧振子的周期与什么因素有关呢？我们可以提出哪些猜想？怎样设计一个实验来验证这个猜想？【提示】猜想：影响弹簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等．我们可以设计这样一个实验：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动．通过改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数，测量不同情况下振子的周期，注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变．振幅与振动中几个常见量的关系1．振幅和振动系统的能量关系对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大．2．振幅与位移的关系振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．3．振幅与路程的关系振动中的路程是标量，是随时间不断增加的．其中常用的定量关系是：(1)一个周期内的路程为振幅的4倍；(2)半个周期内的路程为振幅的2倍；(3)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，14周期内的路程等于振幅；(4)若从一般位置开始计时，14周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．4．振幅与周期的关系在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．4．如图1-1-6所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间振动，则( )【导学号：18640001】图1-1-6A ．从B →O →C →O →B 为一次全振动B ．从O →B →O →C →B 为一次全振动C ．从C →O →B →O →C 为一次全振动D ．OB 不一定等于OCE ．B 、C 两点是关于O 点对称的【解析】 O 点为平衡位置，B 、C 为两侧最远点，则从B 起经O →C →O →B 的路程为振幅的4倍，即A 正确；若从O 起经B →O →C →B 的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B 错误；若从C 起经O →B →O →C 的路程为振幅的4倍，即C 正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，即D 错误，E 正确．【答案】 ACE5．弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点．求：(1)振子的振幅；(2)振子的周期和频率；(3)振子在5 s 内通过的路程大小．【解析】 (1)设振幅为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以A ＝10 cm.(2)从B 首次到C 的时间为周期的一半，因此T ＝2t ＝1 s ；再根据周期和频率的关系可得f ＝1T ＝1 Hz.(3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，则5 s 内通过的路程为s ＝t T ·4A＝5×40 cm ＝200 cm.【答案】 (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm振幅与路程的关系振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，14周期内的路程等于振幅．(2)若从一般位置开始计时，14周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．。
第1章 第1节 简谐运动
第1节简谐运动什么是机械振动[1．定义物体在平衡位置附近做往复运动，叫作机械振动，简称为振动．2．平衡位置振动物体所受回复力为零的位置．3．回复力(1)方向：总是指向平衡位置．(2)作用效果：总是要把振动物体拉回到平衡位置．(3)来源：回复力是根据力的作用效果命名的力．可能是几个力的合力，也可能是由某一个力或某一个力的分力来提供．[再判断]1．机械振动是匀速直线运动．(×)2．机械振动是匀变速直线运动．(×)3．机械振动是物体在平衡位置附近所做的往复运动．(√)[后考虑]机械振动的物体到达平衡位置的右侧，它所受的回复力指向什么方向？【提示】回复力的方向总是指向平衡位置，故方向向左．[核心点击]1．机械振动的特点(1)物体在平衡位置附近做往复运动．(2)机械振动是一种周期性运动．2．回复力的理解(1)回复力的方向总是指向平衡位置．(2)回复力的效果是使偏离平衡位置的物体返回到平衡位置，是产生振动的条件．(3)回复力可以是振动物体所受的某一个力，也可以是物体所受几个力的合力．1．以下运动中属于机械振动的是()【导学号：78510000】A．树枝在风的作用下运动B．竖直向上抛出的物体的运动C．说话时声带的运动D．爆炸声引起窗扇的运动E．匀速圆周运动【解析】物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动，故A、C、D正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动，故B错误．匀速圆周运动不是在平衡位置附近往复运动，E错误．【答案】ACD2．以下关于振动的回复力的说法正确的选项是()A．回复力方向总是指向平衡位置B．回复力是按效果命名的C．回复力一定是物体受到的合力D．回复力由弹簧的弹力提供E．振动物体在平衡位置所受的回复力是零【解析】回复力是按效果命名的，是指向平衡位置使振动物体回到平衡位置的力，可以由某个力或某几个力的合力提供，也可以由某个力的分力提供，故A、B正确，C错误；在程度弹簧振子中弹簧的弹力提供回复力，但在其他振动中，不一定由弹簧弹力提供，D错误；振动物体在平衡位置受到的回复力是零，E正确．【答案】ABE3．关于振动物体的平衡位置，以下说法正确的选项是()A．加速度改变方向的位置B．回复力为零的位置C．速度最大的位置D．加速度最大的位置E．合外力一定为零的位置【解析】振动物体在平衡位置回复力为零，而合外力不一定为零，在该位置加速度改变方向，速度达最大值．故A、B、C正确，D、E错误．【答案】ABC机械振动的理解1．机械振动是物体在平衡位置附近的往复运动．2．回复力的方向总指向平衡位置．3．平衡位置是回复力为零的位置，此位置振动物体速度到达最大，加速度方向改变．弹簧振子的振动1．弹簧振子弹簧振子是一种理想化模型，其主要组成局部是一个质量可以忽略不计的弹簧和一个质量为m的物体．图1-1-12．简谐运动(1)定义：假如物体所受回复力的大小与位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，那么物体的运动叫做简谐运动．如弹簧振子的振动．(2)简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx.(3)简谐运动的运动学特征：a＝－k m x.[再判断]1．弹簧振子是一种理想化的模型．(√)2．在F＝－kx中，负号表示回复力总是小于零的力．(×)3．弹簧振子的加速度方向一定与位移一样．(×)[后考虑]弹簧振子的回复力一定是弹簧的弹力吗？【提示】不一定．竖直方向的弹簧振子的回复力是由弹簧弹力与重力的合力提供．[核心点击]1．简谐运动中相关量的变化规律(1)变化规律：当物体做简谐运动时，它偏离平衡位置的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能E k、势能E p及振动能量E，遵循一定的变化规律，可列表如下：①平衡位置是速度大小、位移方向、回复力方向和加速度方向变化的转折点；②最大位移处是速度方向变化的转折点．(3)一个守恒：简谐运动过程中动能和势能之间互相转化，但总的能量守恒．2．简谐运动的对称性如图1-1-2所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，任取关于O点对称的C、D两点，那么有：(1)时间对称．(2)位移、回复力、加速度大小对称．(3)速率、动能对称．图1-1-24．如图1-1-3，当振子由A向O运动时，以下说法中正确的选项是()A．振子的位移大小在减小B．振子的运动方向向左C．振子的位移方向向左D．振子的位移大小在增大E．振子所受的回复力在减小图1-1-3【解析】此题中位移的参考点应是O点，所以C、D错误．由于振子在O 点的右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，且大小在不断减小，回复力的大小和位移成正比，故减小，正确答案为A、B、E.【答案】ABE5.如图1-1-4所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)一样，那么，以下说法正确的选项是()【导学号：78510001】图1-1-4A．振子在M、N两点所受弹簧弹力一样B．振子在M、N两点相对平衡位置的位移大小一样C．振子在M、N两点加速度大小相等D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动E．从M点到N点振子的动能先增大，再减小【解析】因位移、速度、加速度和弹力都是矢量，它们要一样必须大小相等、方向一样．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反．由此可知，A错误，B正确．振子在M、N 两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确．振子由M―→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动．振子由O―→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．振子由M到N的过程中，其动能先增大后减小，故E正确．【答案】BCE6.如图1-1-5所示，质量为m的物体A放在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑程度面上做简谐运动，振动过程中，A、B之间无相对滑动，设弹簧的劲度系数为k，求当物体分开平衡位置的位移为x时，B对A的摩擦力大小．图1-1-5【解析】A、B两物体做简谐运动的回复力由弹簧的弹力提供，当物体分开平衡位置的位移为x时，回复力大小F＝kx，A和B的共同加速度大小a＝FM＋m＝kxM＋m，而物体A做简谐运动的回复力由A受到的静摩擦力提供，由此可知f＝ma＝mkx M＋m.【答案】mkxM＋m分析简谐运动应注意的问题1．位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要一样，必须大小相等、方向一样．2．回复力是变力，大小、方向发生变化，加速度也随之发生变化．3．要注意简谐运动的周期性和对称性，由此断定振子可能的途径，从而确定各物理量及其变化情况．。
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A合 成 A A 2 A1 A2 cos 12 能量不是简单相加！
2 1 2 2
2）方向垂直，频率相同的两谐振动的合成。
23 注意质点运动轨迹与 xy 的关系！
演示：振动的合成(KZ022) 2. 谐振分析的思想——合成的逆过程 ●周期性振动：分解为 有限个不同频率谐振动的合成 （基频、倍频） 为该周期性振动的频率 分立频谱
解：用旋转矢量法 2 定出初相
3
？
回到平衡位臵，振幅 矢量至少再转过 5
6
o
A/ 2
？
10
T 5 2 5 s 所以需时 t 2 6 2 6
二.无阻尼自由谐振动系统的动力学特征 1）
F kx
广义力
——线性恢复力
广义坐标（位移） （线性恢复力矩）
25
P.A Bender 反跳振子
周期性驱动力
演示：混沌摆(KL036)
调节参量：驱动力频率
振子振幅
A
分岔 完全不确定
混沌区
非线性系统 某些参量范围
0
非线性方程 不确定结果！ 第一章结束
在非线性系统的受迫振动中可出现混沌现象 26
相图上一点代表一个振动状态 相轨特征：闭合，椭圆
反映出运动的周期性以及 速度与位移之间相位差为π/2
3.简谐振动的微分方程
d x 2 x 0 标准方程！ 2 dt
2
9
振幅矢量法用于计算直观、简便。举例如下
例
质点作谐振动，初位臵在(-A/2)处 正朝-x方向运动。振动周期2s.
求：初相和回到平衡位臵的最短时间
2 A
π 2
情况如何？
fr fc !
14
五.两种共振 1. 位移共振 共振条件： r 02 2 2 h 共振振幅： r A 2 2 2 0 2. 速度共振
演示：共振 (KZ008,014)
共振条件： v ,r 0
速度共振时的位移振幅：Av r
取液面相平时势能为零 设一侧液面上升y时，液柱 速率为v
1 2 能量守恒： 2 Slv Sygy const .
O
方程对时间微分：
dy dv dy lv 2 gy 0 v dt dt dt
2g l
为谐 振动 17
d2 y 2 g y0 2 dt l
例2 一LC电路，不计导线电阻，求电容器放电 规律 i 解：设任一时刻电容器 q 带电 q ，导线中电流 i L C 2 电容器 q 电感中 1 2 Li 中能量： 能量：
如：
M c
典型振子：弹簧振子，单摆，复摆的方程
2）
k ——固有频率 m （本征频率）
演示：垂直振子 (KZ001)
Ek ( t ) E p ( t ) c
——能量守恒 11
三.三种振动的对比
无阻尼自 由谐振动
A cos( t )
0
线性系统 受迫振动 阻尼振动 （稳态）
t
Ae cos(t )
A cos(t )
由系统
0
决定 由初始 条件定
p 0
2 2 0
0
F
A,
k
A, 由初始
条件定 能量、振幅 均衰减
A, 由系统阻
尼外力定
p
E (t ) E (t ) E
E (t ) E (t ) c
6
◆分解：谐振分析的思想（原则方法） 频谱 ◆垂直方向谐振动的合成 △两同频率谐振动的合成 （旋转矢量法作图） 相位差的作用 △李萨如图（作图方法，由图形决定频率比） 六.专题 ◆无阻尼谐振动、阻尼振动、受迫振动的比较 ◆电振动系统与力学振动系统的比较 （典型系统、对应量） ◆ 能量法求解无阻尼自由振动 ◆用振动合成法讨论受迫振动稳定解 7 的振幅和相位
x, v
k k , m , m
0
q, i
1 , L, c
0
1 Lc
v
速度 共振
2
Ri
电流 共振
2
22
八.振动的合成
是讨论波动的基础！
1. 振动的合成
◆ 注意两点：1）旋转矢量法的应用； 2）相位差是决定合成结果的活跃因素。 ◆ 基本要求：掌握两类合成 1）同方向、同频率的简谐振动的合成； 仍为 谐振动
振动自学问题
一.（一维）简谐振动的描述 ◆简谐振动的运动学特征（运动函数） ◆描述简谐振动的三个特征量 ◆谐振动的旋转矢量表示和复数表示 ◆同频率谐振动的相位比较 ◆谐振动的位移、速度、加速度之间 的相位关系 二.无阻尼自由谐振动系统的动力学分析 ◆典型的无阻尼自由谐振系统 及其受力（力矩）特征 运动微分方程 4
h 2 0 Ar
15
弱阻尼近似下二者一致。
六.振动的能量分析 谐振动的能量（强度）∝A2 1. 无阻尼自由振动系统的能量守恒
●振动系统的初始能量决定了振幅
2 E0 2E A k k
●由能量守恒求解无阻尼自由振动问题 例题1 U形管中液面的振动 例题2 LC谐振电路
16
例1 截面均匀的U形管液面的起伏,液柱总长为l 不计黏性，求振动规律及频率。 y 解：液柱作无阻尼自由振动
◆无阻尼自由谐振动的能量特征 振动强度 ◆无阻尼自由谐振动的频率、振幅、相位的 决定因素 三.阻尼振动 ◆线性阻尼系统的三种阻尼状态 ◆欠阻尼振动的运动学特征 ◆弱阻尼振动的能量衰减
四.受迫振动 ◆周期性驱动力作用下的稳定受迫振动特征 ——频率、振幅、相位的决定因素
5
◆共振 两种共振：位移共振和速度共振的条件 速度共振时的能量分析 五.振动的合成 ◆同方向（矢量）谐振动（标量谐振动）的合成 △两同频率谐振动的合成（旋转矢量法求解） ——合振动振幅的决定因素 * N个同频率，同振幅，相位差依次相同的 谐振动的合成 △两同方向、不同频率谐振动的合成 拍和拍频
d2 E p 1 E p ( x ) E p0 ( )0 x ( )0 x 2 dx 2! d x 2 d Ep
小幅度：忽略三次以上各项。 稳定平衡： 为线性 )0 0 平衡位臵 ( dx 恢复力 2 d Ep 2 d Ep d Ep ( 2 )0 0 ∴是谐 ( ) x dx 力 fcx 2 0 19 振动 dx dx
分解 频率连续变化 ●非周期性振动： 的简谐振动
连线频谱 其数学基础：傅立叶分析(不要求计算）
24
*九.非线性振动系统中的混沌现象 Duffing 振子:
钢片的振动：非线性系统 的受迫振动 调节参量：A, 结果：钢片振动无序
N
x1 x2
S
支架谐振动
x1
O
t
x1 ，x2——新平衡位臵
x2
两次实验，曲线完全不同
方程左端可看作三个同频率谐振动叠加
13
由旋转矢量法，容易得出 A,
方程
d x dx 2 2 0 x h cos t dt 2 dt
2
三项振动相位差依次为π/2， 三个振幅矢量相互垂直！
A
2 0
h
h
0
A
2 0
A
2
0
A
2
由图几何 关系可得
0
2 A
振动小结
一.简谐振动的描述 1.三个特征量 A T φ 2.描述方法 ◆解析式
x Acos(t )
A
2
A
A φ x
◆曲线法 x～t ◆旋转矢量法 ◆复数法 x
Ae
i(t )
~ it Ae
8
~ i 复振幅 A Ae
*◆相图
v
相轨
x
速度、位移分别为 纵、横坐标轴。
k
等幅振动
等幅振动 12
四.由振幅矢量法讨论受迫振动稳态解 的振幅和初相
微分方程： d x 2 d x 2 x h cos t 0 2 dt dt 稳态解
2
x=Acos( t+)
h 振幅： A 2 [( 0 2 ) 2 4 2 2 ]1 / 2
2 初相： tg 2 2 （落后于策动力） 0
T c c 0 fr
c 0 x 2
v r=0
20
①速度与策动力同相，
策动力时刻作正功。 平均功率为极大值* ②阻力时刻与策动力等值反向 相当于无阻尼自由振动 （频率为固有频率）。
h Fo / m
2 A
m
A
21
七.振荡电路和振动系统的对比 弹簧振子 自由 无阻尼 阻尼 功率 受迫振动 LC电路
d Ep
3. 受迫振动的能量分析
fr
阻力的功率： P f v v 0
2 r
策动力的功率：
P f v F A cost cos(t ) 2
c c 0 x
●稳态时：策动力并非时刻提供能量 但一周期内： P 1 P dt P 维持等 幅振动 T ●速度共振时：
2c
2
能量守恒(无电阻，无电源）
dq q 1 2 Li const. i dt 2c 2
2
d2 q 1 q0 2 dt Lc
1 Lc
18
q dq di Li 0 c dt dt
2. 稳定平衡位臵附近小幅度的无阻尼自由振动 无阻尼自由振动系统：内力为保守力 在其稳定平衡位臵附近小幅度振动必为谐振动 证明：势能函数在稳定平衡位臵附近展开
波
动
1
目录 第1章 振动 第2章 波的传播 第3章 波的叠加原理 波的干涉 第4章 光的衍射